Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 8, стр. 1296-1308

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

На протяжении ряда лет дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями привлекают внимание многих исследователей. Такие уравнения представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений. Последние десять лет проблема существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными правыми частями изучалась в [1–12]. Настоящая работа является продолжением этих исследований.

Рассмотрим модельную краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с параметром и разрывной правой частью, в которой решения выписываются в явном виде. А именно,

Здесь $\lambda $ – положительный параметр, правая часть имеет разрыв первого рода вдоль линии $u = 1$, $a$ и $b$ – вещественные числа.

Отметим, что если $u(x)$ – решение задачи (1), (2), то ${v}(x) = u(1 - x)$ также является решением этой задачи. Действительно, имеем

(последнее равенство справедливо в силу вида правой части), а также

Таким образом, решения краевой задачи (1), (2) либо симметричны относительно прямой $x = 1{\text{/}}2$ (т.е. $u(x) = u(1 - x)$), либо имеются парные решения, получаемые отражением относительно данной прямой.

2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

В зависимости от параметра $\lambda $ решим искомую задачу аналитически при различных значениях $a$ и $b$. Имеем нижеследующие теоремы 1–4 о числе решений краевой задачи (1), (2).

Теорема 1. Пусть $0 < a < b$. Тогда задача (1), (2) имеет одно решение при $\lambda \in \left( {0,8(2b - a){\text{/}}{{b}^{2}}} \right) \cup $ $ \cup \;\left( {8{\text{/}}a, + \infty } \right)$, три решения при $\lambda \in \left( {8(2b - a){\text{/}}{{b}^{2}},8{\text{/}}a} \right)$ и два решения при $\lambda = 8(2b - a){\text{/}}{{b}^{2}}$ или $\lambda = 8{\text{/}}a$.

Доказательство. Сначала установим вид решения. Будем искать решение задачи (1), (2) через задачу Коши для уравнения (1) с начальными условиями $u(0) = 0$, $u{\kern 1pt} '(0) = t$.

Пока $u(x)\;\leqslant \;1$, уравнение (1) дает $ - u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = \lambda a$, и

Если $t\;\leqslant \;0$, то $u(1) = t - (1{\text{/}}2)\lambda a < 0$, и решений, удовлетворяющих условию $u(1) = 0$, нет. Поэтому $t > 0$.

Функция (3) достигает максимума при $x = t{\text{/}}(\lambda a)$, равного $u\left( {t{\text{/}}(\lambda a)} \right) = {{t}^{2}}{\text{/}}(2\lambda a)$. Если $t\;\leqslant \;\sqrt {2\lambda a} $, то этот максимум не превосходит единицы, а значит, решение $u(x)\;\leqslant \;1$ при всех $x \in [0,1]$. Таким образом, возможно существование решения в виде параболы (3).

Рассмотрим теперь случай $t > \sqrt {2\lambda a} $. Тогда существует ${{x}_{1}}$ такое, что $u({{x}_{1}}) = 1$. Подставляя (3), получим квадратное уравнение $(1{\text{/}}2)\lambda ax_{1}^{2} - t{{x}_{1}} + 1 = 0$ с решениями ${{x}_{1}} = (t \pm \sqrt {{{t}^{2}} - 2\lambda a} ){\text{/}}(\lambda a)$. Однако следует учесть, что после перехода решения через линию $u = 1$ правая часть $g(x,u)$ меняет значение, и решение перестает описываться формулой (3). Так что рассматривать следует лишь ${{x}_{1}} = (t - \sqrt {{{t}^{2}} - 2\lambda a} ){\text{/}}(\lambda a)$. Из (3) найдем $u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) = t - \lambda a{{x}_{1}} = \sqrt {{{t}^{2}} - 2\lambda a} > 0$.

Пока $u(x) > 1$, уравнение (1) имеет вид $ - u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = \lambda b$, и решение описывается формулой

Поскольку мы ищем решения, удовлетворяющие условию $u(1) = 0$, то должна найтись точка ${{x}_{2}} \in ({{x}_{1}},1)$, при которой решение вновь пересечет линию, на которой правая часть терпит разрыв, т.е. $u({{x}_{2}}) = 1$. Полагая $x = {{x}_{2}}$ в (4) и учитывая $u({{x}_{1}}) = u({{x}_{2}}) = 1$, ${{x}_{2}} > {{x}_{1}}$, находим ${{x}_{2}} - {{x}_{1}} = 2u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}){\text{/}}(\lambda b)$. А тогда $u{\kern 1pt} '({{x}_{2}}) = u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) - \lambda b({{x}_{2}} - {{x}_{1}})$ = $ - u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) = - \sqrt {{{t}^{2}} - 2\lambda a} < 0$.

Наконец, при $x\; \geqslant \;{{x}_{2}}$ вновь $u < 1$, и решение дается формулой

В силу $u({{x}_{2}}) = 1$, $u{\kern 1pt} '({{x}_{2}}) < 0$ получим, что $u(x)\;\leqslant \;1$ при $x\; \geqslant \;{{x}_{2}}$, так что больше решение не пересечет линию $u = 1$. Таким образом, возможно существование решения в виде объединения трех парабол (3)–(5).

Перейдем теперь к нахождению самих решений. Рассмотрим решения вида (3). Ограничение $u(1) = 0$ приводит к значению $t = (1{\text{/}}2)\lambda a$, так что решение описывается уравнением $u(x) = (1{\text{/}}2)\lambda ax(1 - x)$. Оно достигает максимума при $x = 1{\text{/}}2$, равного $u(1{\text{/}}2) = (1{\text{/}}8)\lambda a$. Условие $t\;\leqslant \;\sqrt {2\lambda a} $ равносильно условию $u(1{\text{/}}2)\;\leqslant \;1$, откуда можно получить значения параметра, при которых это решение существует: $\lambda \;\leqslant \;8{\text{/}}a$.

Рассмотрим теперь решения, состоящие из трех парабол. Положим

Такой выбор $u{\kern 1pt} '(x)$ удовлетворяет уравнению (1), если $u(x) > 1 \Leftrightarrow {{x}_{1}} < x < {{x}_{2}}$. Обозначим $u{\kern 1pt} '(1{\text{/}}2) = c$. Тогда $r = (1{\text{/}}2)\lambda b + c$. В точке $x = {{x}_{1}}$ должно быть выполнено равенство $ - \lambda a{{x}_{1}} + t = - \lambda b{{x}_{1}} + r$, откуда $t = r - \lambda (b - a){{x}_{1}} = (1{\text{/}}2)\lambda b - \lambda (b - a){{x}_{1}} + c$. По аналогии, в точке $x = {{x}_{2}}$ должно быть $ - \lambda b{{x}_{2}} + r = - \lambda a{{x}_{2}} + s$, откуда $s = (1{\text{/}}2)\lambda b - \lambda (b - a){{x}_{2}} + c$. Итак, учет непрерывности $u'(x)$ привел к выражению Проинтегрируем его с учетом ограничений (2). Имеем Учтем, что $u({{x}_{1}}) = u({{x}_{2}})$: откуда и в силу ${{x}_{2}} > {{x}_{1}}$ получаем $c = - (1{\text{/}}2)\lambda b({{x}_{1}} + {{x}_{2}} - 1).$

Теперь учтем непрерывность $u(x)$. При $x = {{x}_{1}}$ потребуем

откуда При $x = {{x}_{2}}$ должно выполняться откуда Приравнивая выражения для $d$, находим откуда Приравнивание выражений для $c$ дает и либо ${{x}_{1}} + {{x}_{2}} = 1$, либо $ - (1{\text{/}}2)\lambda b = (1{\text{/}}2)\lambda (b - a)({{x}_{1}} - {{x}_{2}} + 1),$ откуда ${{x}_{2}} - {{x}_{1}} = (2b - a){\text{/}}(b - a) > 1,$ что невозможно в силу $0 < {{x}_{1}} < {{x}_{2}} < 1$. Таким образом, ${{x}_{2}} = 1 - {{x}_{1}}$. Отсюда следует $c = 0$.

Наконец, учтем требование $u({{x}_{1}}) = 1$. Тогда $(1{\text{/}}2)\lambda ax_{1}^{2} - \lambda bx_{1}^{2} + (1{\text{/}}2)\lambda b{{x}_{1}} = 1$, откуда

Эти корни имеются в случае ${{b}^{2}} - (8{\text{/}}\lambda )(2b - a)\; \geqslant \;0$ или $\lambda \; \geqslant \;8(2b - a){\text{/}}{{b}^{2}}$. Однако следует еще убедиться в выполнении условия $0 < {{x}_{1}} < {{x}_{2}} < 1$. Положительность ${{x}_{1}}$ очевидна. В силу ${{x}_{2}} = 1 - {{x}_{1}}$ остается проверить, что ${{x}_{1}} < 1{\text{/}}2$. Это условие приводит к неравенству

справедливому для нижнего знака в силу условия $a < b$. Для верхнего знака получаем ${{b}^{2}} - (8{\text{/}}\lambda )(2b - a) < {{b}^{2}} - a(2b - a),$ откуда $\lambda < 8{\text{/}}a$. Отметим, что в силу положительности $a$ ограничения на $\lambda $ совместны: $8(2b - a){\text{/}}{{b}^{2}} < 8{\text{/}}a$.

Таким образом, при $0 < \lambda < 8(2b - a){\text{/}}{{b}^{2}}$ задача (1), (2) имеет единственное решение

При $\lambda = 8(2b - a){\text{/}}{{b}^{2}}$ помимо решения (7) появляется решение При $8(2b - a){\text{/}}{{b}^{2}} < \lambda < 8{\text{/}}a$ существуют три решения, одно из которых дается формулой (7), а два других имеют вид где ${{x}_{2}} = 1 - {{x}_{1}}$, а ${{x}_{1}}$ дается выражением (6). При $\lambda = 8{\text{/}}a$ остаются два решения $u(x) = 4x(1 - x)$ и Наконец, при $\lambda > 8{\text{/}}a$ остается единственное решение (8), в котором ${{x}_{2}} = 1 - {{x}_{1}}$ и Теорема 1 доказана.

Проиллюстрируем полученный результат. На фиг. 1 изображены графики трех решений краевой задачи (1), (2) при $a = 1$, $b = 2$, $\lambda = 6.4$. Нижний график соответствует решению, не проходящему через точки разрыва правой части, а два верхних графика проходят через область $u > 1$.

Каждое решение задачи (1), (2) при $a > 0$ достигает своего максимума при $x = 1{\text{/}}2$. На фиг. 2 изображена зависимость максимального значения $u(0.5)$ от параметра $\lambda $. По этому графику легко проследить изменение количества решений.

Теорема 2. Пусть $a = 0 < b$. Тогда задача (1), (2) имеет одно решение при $\lambda \in (0,16{\text{/}}b)$, два решения при $\lambda = 16{\text{/}}b$ и три решения при $\lambda \in (16{\text{/}}b, + \infty )$.

Доказательство. Сначала заметим, что при $u\;\leqslant \;1$ уравнение (1) принимает вид $u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = 0$, и его решениями являются линейные функции. Существует единственная линейная функция, удовлетворяющая условиям (2): $u = 0$. Это тривиальное решение, существующее при всех значениях параметра $\lambda > 0$.

Теперь будем искать решения, пересекающие линию $u = 1$. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1) с начальными условиями $u(0) = 0$, $u{\kern 1pt} '(0) = t$. В начале $u < 1$, уравнение (1) имеет вид $u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = 0$, и решение $u(x) = tx$. Очевидно, что при $t\;\leqslant \;0$ решение не достигнет значения $u = 1$. Так что $t > 0$. Потребуем существование ${{x}_{1}} \in (0,1)$ такого, что $u({{x}_{1}}) = 1$. Тогда $t = 1{\text{/}}{{x}_{1}}$.

При $u > 1$ уравнение (1) приобретает вид $ - u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = \lambda b$, так что $u{\kern 1pt} '(x) = u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) - \lambda b(x - {{x}_{1}}) = 1{\text{/}}{{x}_{1}} - $ $ - \;\lambda b(x - {{x}_{1}})$, а

Чтобы удовлетворить ограничению $u(1) = 0$, решение снова должно пересечь прямую $u = 1$, поэтому существует ${{x}_{2}} \in ({{x}_{1}},1)$ такое, что $u({{x}_{2}}) = 1$. Подстановка $x = {{x}_{2}}$ в (9) с учетом ${{x}_{2}} > {{x}_{1}}$ дает Отсюда $u{\kern 1pt} '({{x}_{2}}) = - u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) = - 1{\text{/}}{{x}_{1}}$.

Далее $u < 1$ и $u{\kern 1pt} '(x)$ сохраняет свое значение, так что больше решение не примет значения $u = 1$. Таким образом, решение должно иметь вид

Из условия непрерывности производной $u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) = 1{\text{/}}{{x}_{1}} = - \lambda b{{x}_{1}} + c$ находим $c = 1{\text{/}}{{x}_{1}} + \lambda b{{x}_{1}}$. Из условия $u({{x}_{1}}) = 1$ находим $d = 1 + (1{\text{/}}2)\lambda bx_{1}^{2} - c{{x}_{1}} = - (1{\text{/}}2)\lambda bx_{1}^{2}$. Далее, условие $u({{x}_{2}}) = 1$ дает $(1 - {{x}_{2}}){\text{/}}{{x}_{1}} = 1$ или ${{x}_{1}} = 1 - {{x}_{2}}$. С учетом (10) получаем $1 - 2{{x}_{1}} = 2{\text{/}}(\lambda b{{x}_{1}})$ или $2x_{1}^{2} - {{x}_{1}} + 2{\text{/}}(\lambda b) = 0$, откуда

Данное решение возможно при значениях параметра $\lambda \; \geqslant \;16{\text{/}}b$. Отметим, что по этой формуле справедливы неравенства $0 < {{x}_{1}} < 1{\text{/}}2$ и $0 < {{x}_{1}} < {{x}_{2}} < 1$.

Таким образом, при $0 < \lambda < 16{\text{/}}b$ существует лишь тривиальное решение $u = 0$. При $\lambda = 16{\text{/}}b$ помимо тривиального появляется еще решение

Наконец, при $\lambda > 16{\text{/}}b$ имеем три решения, одно из которых тривиальное $u = 0$, а два других даются формулой в которой ${{x}_{2}} = 1 - {{x}_{1}}$, а два значения ${{x}_{1}}$ находятся из (11). Теорема 2 доказана.

Также проиллюстрируем полученные решения. На фиг. 3 изображены графики трех решений задачи (1), (2) при $a = 0$, $b = 2$, $\lambda = 9$. Нетривиальные решения достигают максимума при $x = 1{\text{/}}2$. На фиг. 4 изображена зависимость значений $u(0.5)$ от параметра $\lambda $, по которой можно проследить изменение количества решений.

Теорема 3. Пусть $a < 0 < b$. Тогда существует счетное множество бифуркационных значений параметра ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}, \ldots $ таких, что при $\lambda \in (0,{{\lambda }_{1}})$ задача (1), (2) имеет единственное решение, при $\lambda \in ({{\lambda }_{k}},{{\lambda }_{{k + 1}}})$ существует $2k + 1$ решение, при $\lambda = {{\lambda }_{k}}$ имеется $2k$ решений в случае нечетного $k$ и $2k - 1$ решение в случае четного $k$. Здесь ${{\lambda }_{{2k - 1}}} = - 8({{k}^{2}}{{(b - a)}^{2}} - {{b}^{2}}){\text{/}}(a{{b}^{2}})$, ${{\lambda }_{{2k}}} = - 8{{k}^{2}}{{(b - a)}^{2}}{\text{/}}(a{{b}^{2}})$, $k\; \geqslant \;1$.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда $u\;\leqslant \;1$. Уравнение (1) имеет вид $ - u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = \lambda a$, его решение $u(x) = (1{\text{/}}2)\lambda ax(1 - x)$ удовлетворяет условиям (2) и притом $u\;\leqslant \;0$. Таким образом, это решение существует при всех $\lambda > 0$.

Теперь рассмотрим случай, когда решение пересекает линию $u = 1$. Пусть ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}, \ldots $, ${{x}_{{2k}}}$ – все точки, при которых $u(x) = 1$, $u{\kern 1pt} '(x) \ne 0$. Этих точек четное количество, поскольку для того, чтобы выполнить условия (2), решение должно перейти между областями $u\;\leqslant \;1$ и $u > 1$ четное число раз.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1) с начальными условиями $u(0) = 0$, $u{\kern 1pt} '(0) = t$. Тогда при $0 < x < {{x}_{1}}$ будем иметь $u{\kern 1pt} '(x) = t - \lambda ax$, так что $u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) = t - \lambda a{{x}_{1}}$. При этом $\int_0^{{{x}_{1}}} {u{\kern 1pt} '(x)dx} = u({{x}_{1}}) - $ $ - \;u(0) = 1$, так что $t{{x}_{1}} - (1{\text{/}}2)\lambda a{{x}_{1}} = 1$, откуда $t = 1{\text{/}}{{x}_{1}} + (1{\text{/}}2)\lambda a{{x}_{1}}$, а $u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) = 1{\text{/}}{{x}_{1}} - (1{\text{/}}2)\lambda a{{x}_{1}}$.

При ${{x}_{{2i + 1}}} < x < {{x}_{{2i + 2}}}$ будем иметь $u{\kern 1pt} '(x) = u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i + 1}}}) - \lambda b(x - {{x}_{{2i + 1}}})$, причем в силу условий $u({{x}_{{2i + 2}}}) = u({{x}_{{2i + 1}}}) = 1$ должно выполняться равенство $\int_{{{x}_{{2i + 1}}}}^{{{x}_{{2i + 2}}}} {u{\kern 1pt} '(x)dx} = 0$, откуда $u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i + 1}}})({{x}_{{2i + 2}}} - {{x}_{{2i + 1}}}) - $ $ - \;(1{\text{/}}2)\lambda b{{({{x}_{{2i + 2}}} - {{x}_{{2i + 1}}})}^{2}} = 0$, и в силу неравенства ${{x}_{{2i + 1}}} < {{x}_{{2i + 2}}}$ имеем ${{x}_{{2i + 2}}} - {{x}_{{2i + 1}}} = 2u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i + 1}}}){\text{/}}(\lambda b)$. При этом $u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i + 2}}}) = u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i + 1}}}) - \lambda b({{x}_{{2i + 2}}} - {{x}_{{2i + 1}}}) = - u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i + 1}}})$.

При ${{x}_{{2i}}} < x < {{x}_{{2i + 1}}}$ будем иметь $u{\kern 1pt} '(x) = u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i}}}) - \lambda a(x - {{x}_{{2i}}})$. Аналогично, $\int_{{{x}_{{2i}}}}^{{{x}_{{2i + 1}}}} {u{\kern 1pt} '(x)dx} = 0$, откуда ${{x}_{{2i + 1}}} - {{x}_{{2i}}} = 2u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i}}}){\text{/}}(\lambda a)$, и $u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i + 1}}}) = - u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i}}})$.

Таким образом, в точках ${{x}_{1}},{{x}_{2}}, \ldots ,{{x}_{{2k}}}$ значения производной имеют чередующиеся знаки и одинаковы по абсолютной величине: $u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i + 1}}}) = u{\kern 1pt} '({{x}_{1}})$, $u{\kern 1pt} '({{x}_{{2i}}}) = - u{\kern 1pt} '({{x}_{1}})$.

Наконец, рассмотрим промежуток ${{x}_{{2k}}} < x < 1$. Здесь $u{\kern 1pt} '(x) = u{\kern 1pt} '({{x}_{{2k}}}) - \lambda a(x - {{x}_{{2k}}})$, и в силу условий $u({{x}_{{2k}}}) = 1$, $u(1) = 0$ должно выполняться равенство $\int_{{{x}_{{2k}}}}^1 {u{\kern 1pt} '(x)dx} = - 1$ или $u{\kern 1pt} '({{x}_{{2k}}})(1 - {{x}_{{2k}}}) - $ $ - \;(1{\text{/}}2)\lambda a{{(1 - {{x}_{{2k}}})}^{2}} = - 1$. Отсюда $u{\kern 1pt} '({{x}_{{2k}}}) = - 1{\text{/}}(1 - {{x}_{{2k}}}) + (1{\text{/}}2)\lambda a(1 - {{x}_{{2k}}})$.

Из равенства $u{\kern 1pt} '({{x}_{{2k}}}) = - u{\kern 1pt} '({{x}_{1}})$ получаем уравнение

или Отсюда либо ${{x}_{{2k}}} = 1 - {{x}_{1}}$, либо ${{x}_{1}}(1 - {{x}_{{2k}}}) = 2{\text{/}}(\lambda a)$.

Теперь вспомним, что

Тогда $1 = {{x}_{1}} + ({{x}_{2}} - {{x}_{1}}) + \cdots + ({{x}_{{2k}}} - {{x}_{{2k - 1}}}) + (1 - {{x}_{{2k}}})$ = ${{x}_{1}} + 2cu{\kern 1pt} '({{x}_{1}}){\text{/}}\lambda + 1 - {{x}_{{2k}}}$, где c = k/b – $ - \;(k - 1){\text{/}}a$. Отсюда ${{x}_{{2k}}} - {{x}_{1}} = 2cu'({{x}_{1}}){\text{/}}\lambda = 2c{\text{/}}(\lambda {{x}_{1}}) - ac{{x}_{1}}$.

Если ${{x}_{{2k}}} = 1 - {{x}_{1}}$, то $1 - 2{{x}_{1}} = 2c{\text{/}}(\lambda {{x}_{1}}) - ac{{x}_{1}}$, $(2 - ac)x_{1}^{2} - {{x}_{1}} + 2c{\text{/}}\lambda = 0$ и

Данное решение возможно при условии

Если ${{x}_{1}}(1 - {{x}_{{2k}}}) = - 2{\text{/}}(\lambda a)$, то

Данное решение существует при условии

Следует выяснить, могут ли формулы (12) и (13) давать одинаковые значения ${{x}_{1}}$. Это важно для количества решений, поскольку каждому ${{x}_{1}}$ однозначно соответствует свое значение $u{\kern 1pt} '(0)$ и, таким образом, свое решение задачи $u(x)$. Равенство

равносильно откуда следует

При таком значении $1 - (8c{\text{/}}\lambda )(2 - ac) = 1{\text{/}}{{(1 - ac)}^{2}}$, и при выборе верхнего знака в форму-ле (12) получим ${{x}_{1}} = (1 + 1{\text{/(}}1 - ac)){\text{/}}(2(2 - ac)) = 1{\text{/}}(2(1 - ac))$, что совпадает с формулой (13). П-оскольку решение однозначно определяется значением $u{\kern 1pt} '(0)$, которое выражено через ${{x}_{1}}$, при $\lambda = - (8{\text{/}}a)(1 - ac{{)}^{2}}$ решение, задаваемое формулой (13), совпадает с решением, вытекающим из формулы (12). Интересно также отметить, что при этом значении параметра $u'(0) = 1{\text{/}}{{x}_{1}} + (1{\text{/}}2)\lambda a{{x}_{1}} = 0$. Теорема 3 доказана.

Проиллюстрируем полученный результат. На фиг. 5 изображены шесть решений задачи (1), (2) при $a = - 1$, $b = 2$, $\lambda = 64$. В данном случае значение $u(0.5)$ не обязательно является точкой максимума решений, и отследить количество решений по этому значению не удается. Для этой цели на фиг. 6 приведен график зависимости $u{\kern 1pt} '(0)$ от $\lambda $.

Теорема 4. Пусть $0 < b\;\leqslant \;a$. Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение при всех значениях параметра $\lambda \in \left( {0, + \infty } \right)$.

Доказательство. Случай $a = b$ очевиден, поскольку правая часть непрерывна, и единственное решение $u(x) = (1{\text{/}}2)\lambda ax(1 - x)$.

Рассмотрим случай $a > b$. Сначала будем искать решения, лежащие в области $u\;\leqslant \;1$. Они имеют вид (7) и удовлетворяют условию $u\;\leqslant \;1$ при $\lambda \;\leqslant \;8{\text{/}}a$.

Теперь предположим, что решение заходит в область $u > 1$, другими словами, существует точка ${{x}_{1}} \in (0,1)$ такая, что $u({{x}_{1}}) = 1$, $u{\kern 1pt} '({{x}_{1}}) > 0$. Тогда из-за краевого условия $u(1) = 0$ должна найтись точка ${{x}_{2}} \in ({{x}_{1}},1)$ такая, что $u({{x}_{2}}) = 1$, $u{\kern 1pt} '({{x}_{2}}) < 0$. Затем, в силу отрицательности второй производной, $u{\kern 1pt} '(x)$ убывает и остается отрицательной, так что решение больше не примет значение $u = 1$. Поэтому оно состоит из трех парабол.

Положим

Здесь уже учтено требование непрерывности $u{\kern 1pt} '(x)$. Интегрирование с учетом начального условия $u(0) = 0$ и непрерывности решения приводит к выражению Учет краевого условия $u(1) = 0$ позволяет выразить

В силу равенства $u({{x}_{1}}) = u({{x}_{2}})$ имеем

откуда с учетом ${{x}_{2}} > {{x}_{1}}$ и выражения для $s$ получаем Тогда либо ${{x}_{1}} + {{x}_{2}} = 1$, либо откуда ${{x}_{2}} - {{x}_{1}} = a{\text{/}}(a - b) > 1$, что невозможно.

Таким образом, ${{x}_{2}} = 1 - {{x}_{1}}$ и $s = (1{\text{/}}2)\lambda b(1 - 2{{x}_{1}})$. Остается рассмотреть условие $u({{x}_{1}}) = 1$:

Если $a > 2b$, то

второй корень не удовлетворяет условию ${{x}_{1}} > 0$. В силу $0 < {{x}_{1}} < {{x}_{2}} < 1$ мы должны иметь ${{x}_{1}} < 1{\text{/}}2$, откуда $\lambda > 8{\text{/}}a$.

Если $a = 2b$, то ${{x}_{1}} = 2{\text{/}}(\lambda b)$, и условие ${{x}_{1}} < 1{\text{/}}2$ справедливо при $\lambda > 8{\text{/}}a$.

Если $b < a < 2b$, то

Условие ${{x}_{1}} < 1{\text{/}}2$ приводит к неравенству $ \pm \sqrt {{{b}^{2}} - (8{\text{/}}\lambda )(2b - a)} < b - a$, в котором правая часть отрицательна, поэтому верхний знак не подходит. Для нижнего знака условие выполняется при $\lambda > 8{\text{/}}a$.

Таким образом, при $a > b$ и $\lambda > 8{\text{/}}a$, имеется единственное значение ${{x}_{1}}$, которое позволяет получить решение вида (8).

Объединяя рассмотренные случаи, получаем существование единственного решения при всех $\lambda > 0$. Теорема 4 доказана.

На фиг. 7 изображен график решения задачи (1), (2) при $a = 3$, $b = 2$, $\lambda = 9$. Решение достигает максимума при $x = 1{\text{/}}2$. Зависимость значений $u(0.5)$ от параметра $\lambda $ приведена на фиг. 8.

Отметим, что при $a \in \mathbb{R}$ и $b \in \left( { - \infty ,0} \right]$ остаются лишь решения $u(x)$ вида (7), не выходящие из области $u\;\leqslant \;1$ и существующие при $\lambda a\;\leqslant \;8$.

Таким образом, рассмотрены все возможные соотношения между числами $a$ и $b$.

3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Приближенное решение краевой задачи (1), (2) будем искать методом пристрелки (см. [13]). Для этого сначала выбираем наугад значения ${{t}_{0}}$ и ${{t}_{1}}$ – начальные приближения значения $u{\kern 1pt} '(0)$. Решаем задачу Коши для уравнения $ - u_{i}^{{''}} = \lambda g(x,{{u}_{i}})$ с начальными условиями ${{u}_{i}}(0) = 0$, $u_{i}^{'}(0) = {{t}_{i}}$, находим значения ${{u}_{i}}(1)$, $i = 0,1$. Затем получаем следующее приближение:

Процесс продолжается, пока не будет выполнено неравенство ${\text{|}}{{u}_{i}}(1){\text{|}} < \varepsilon $, где $\varepsilon > 0$ – выбранная желаемая точность.

Задачу Коши для уравнения (1) с начальными условиями $u(0) = 0$, $u{\kern 1pt} '(0) = t$ решаем методом Эйлера. Выбираем количество промежутков $N$, шаг $h = 1{\text{/}}N$. Обозначим ${{x}_{i}} = ih$, ${{u}_{i}}$ будут приближать значения $u({{x}_{i}})$, а $u_{i}^{'}$ соответственно $u{\kern 1pt} '({{x}_{i}})$. Полагаем ${{u}_{0}} = 0$, $u_{0}^{'} = t$. На каждом шаге рассчитываем $u_{{i + 1}}^{'} = u_{i}^{'} - \lambda g({{x}_{i}},{{u}_{i}})h$, ${{u}_{{i + 1}}} = {{u}_{i}} + (1{\text{/}}2)(u_{i}^{'} + u_{{i + 1}}^{'})h$.

За счет простой левой части уравнения (1) данный метод дает точное решение задачи Коши при условии, что точки, в которых правая часть испытывает скачок на решении, попадают на узлы сетки. Однако численный метод, как правило, используется тогда, когда нет точной информации об этих точках. Поэтому предлагается следующая корректировка.

Инициализация: ${{u}_{0}} = 0$, $u_{0}^{'} = t$.

Рассчитываем $u_{{i + 1}}^{'} = u_{i}^{'} - \lambda g({{x}_{i}},{{u}_{i}})h$, ${{u}_{{i + 1}}} = {{u}_{i}} + (1{\text{/}}2)(u_{i}^{'} + u_{{i + 1}}^{'})h$. Если выполнено условие $({{u}_{i}} - 1)({{u}_{{i + 1}}} - 1)\; \geqslant \;0$, то продолжаем. В противном случае проводим коррекцию. Будем искать на отрезке $[0,h]$ такой подшаг ${{h}_{*}}$, что при вычислении

получим значение ${{u}_{*}} = 1$. Для этого предлагается использовать бинарный поиск. Начинаем с ${{h}_{l}} = 0$, ${{h}_{r}} = h$, ${{u}_{l}} = {{u}_{i}}$, ${{u}_{r}} = {{u}_{{i + 1}}}$. На каждой итерации выбираем среднее значение ${{h}_{c}} = (1{\text{/}}2)({{h}_{l}} + {{h}_{r}})$ и вычисляем соответствующие $u_{c}^{'} = u_{i}^{'} - \lambda g({{x}_{i}},{{u}_{i}}){{h}_{c}}$, ${{u}_{c}} = {{u}_{i}} + (1{\text{/}}2)(u_{i}^{'} + u_{c}^{'})h$. Если $({{u}_{i}} - 1)({{u}_{c}} - 1) < 0$, то присваиваем ${{h}_{l}} = {{h}_{c}}$, ${{u}_{l}} = {{u}_{c}}$, иначе полагаем ${{h}_{r}} = {{h}_{c}}$, ${{u}_{r}} = {{u}_{c}}$. Процесс продолжается до тех пор, пока значение подшага не будет найдено с заданной точностью: ${\text{|}}{{h}_{r}} - {{h}_{l}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \delta $, где $\delta > 0$. Пусть ${{h}_{*}} = (1{\text{/}}2)({{h}_{l}} + {{h}_{r}})$. Тогда вычисляем первый подшаг по формулам (14), а затем вычисляем второй подшаг $u_{{i + 1}}^{'} = u_{*}^{'} - \lambda g({{x}_{i}},{{u}_{{i + 1}}})(h - {{h}_{*}})$, ${{u}_{{i + 1}}} = {{u}_{*}} + (1{\text{/}}2)(u_{*}^{'} + u_{{i + 1}}^{'})(h - {{h}_{*}})$. Здесь в правую часть необходимо подставить вычисленное перед запуском коррекции значение ${{u}_{{i + 1}}}$, чтобы получить ее значение после скачка.

Если ${{h}_{*}}$ удается находить точно, то такой метод позволяет получать точное решение рассматриваемой задачи Коши.

На фиг. 9 в логарифмических осях приведены результаты численных расчетов зависимости ошибки $\mathop {\max }\limits_i {\text{|}}{{u}_{i}} - u({{x}_{i}}){\kern 1pt} {\text{|}}$ приближения точного решения $u(x)$ краевой задачи (1), (2), изображенного на верхнем графике на фиг. 1, значениями ${{u}_{i}}$, вычисленными по описанной схеме, от выбора $\varepsilon $ при значениях $a = 1$, $b = 2$, $\lambda = 6.4$, $N = 1000$, $\delta = \varepsilon $. В данном случае ошибка имеет порядок $O(\varepsilon )$.