Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 8, стр. 1272-1278

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время большое внимание уделяется разработке численных методов для уравнений математической физики повышенного порядка точности. Здесь сложились два направления. Первое направление связано с повышением порядка аппроксимации разностных уравнений. Подходы, связанные с этим направлением, рассматривались в исследованиях Г.И. Марчука [1], Г.И. Марчука и В.В. Шайдурова [2], А.А. Самарского [3], Г.И. Шишкина и Л.П. Шишкиной [4]. Второе направление связано с построением решений на основе разностных уравнений сравнительно невысокого порядка на последовательности равномерных вложенных сеток. Эти методы получили название экстраполяций по Ричардсону, см., например, [5]. В настоящей работе для задачи Коши для уравнения переноса строятся разложения обратных разностных производных и соответствующих невязок по степеням шагов основной и разреженной сеток соответственно. Это позволяет применить технику Ричардсона на двух вложенных сетках и построить разностную схему, сходящуюся в равномерной норме со вторым порядком скорости сходимости.

О содержании работы. Постановка задачи Коши для уравнения переноса и цель исследования приводятся в разд. 2. Априорные оценки решения и производных устанавливаются в разд. 3. Стандартная разностная схема для задачи Коши для уравнения переноса рассматривается в разд. 4 и устанавливается ее сходимость в равномерной норме с первым порядком скорости сходимости. В разд. 5 и 6 построены разложения обратных разностных производных по степеням шагов основной и разреженной сеток соответственно. С использованием этих разложений получены разложения для соответствующих невязок. В разд. 7 на основе разложений невязок сеточных решений с применением техники Ричардсона строится схема, сходящаяся в равномерной норме со вторым порядком скорости сходимости. Выводы приводятся в разд. 8.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

На полосе $\bar {G}$:

где рассмотрим задачу Коши для регулярного уравнения переноса Здесь функции $b(x,t)$, $c(x,t)$, $p(x,t)$, $f(x,t)$ предполагаются достаточно гладкими на $\bar {G}$, функция $\varphi (x)$ предполагается достаточно гладкой на множестве $S$, причем, Через $M$ (через $m$) обозначаем достаточно большие (малые) положительные постоянные. В случае сеточных задач эти постоянные не зависят от шаблонов разностных схем.

Наша цель – для задачи Коши для уравнения переноса (2.2), (2.1) построить разностную схему, сходящуюся в равномерной норме с порядком скорости сходимости выше первого.

3. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ И ПРОИЗВОДНЫХ

Рассмотрим ряд априорных оценок решения задачи (2.2), (2.1), необходимых при построении разностных схем и обосновании их сходимости. В разд. 5 и 6 нам потребуется ограниченность производных ${{\partial }^{k}}{\text{/}}\partial {{x}^{k}}{\kern 1pt} u(x,t)$, ${{\partial }^{{{{k}_{0}}}}}{\text{/}}\partial {{t}^{{{{k}_{0}}}}}{\kern 1pt} u(x,t)$, $(x,t) \in \bar {G}$, при $k + {{k}_{0}} \leqslant 3$. Вывод оценок подобен выводу оценок решения и производных регулярных и сингулярных компонент решения сингулярно возмущенного уравнения переноса в [6].

3.1. Для задачи Коши для уравнения переноса (2.2), (2.1) справедлив принцип максимума, подобный принципу максимума для сингулярно возмущенного уравнения переноса в [6].

Теорема 3.1. Пусть для данных задачи Коши для уравнения переноса (2.2), (2.1) выполняется условие

Тогда для функции $u(x,t)$ справедлива оценка $u(x,t) \geqslant 0,$ $(x,t) \in \bar {G}$.

3.2. Приведем априорные оценки для решения задачи Коши (2.2), (2.1).

Применяя технику мажорантных функций (подобную приведенной в [6] для начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения переноса), находим оценку решения задачи (2.2), (2.1)

При исследовании производных решения задачи Коши считаем, что коэффициенты и правая часть уравнения являются достаточно гладкими на $\bar {G}$: $b,c,p,f \in {{C}^{{k,{{k}_{0}}}}}(\bar {G})$, $k + {{k}_{0}} \leqslant K$, $K \leqslant 3$, начальная функция – достаточно гладкая на множестве $S$, производные $\frac{{{{\partial }^{k}}}}{{\partial {{x}^{k}}}}\varphi (x)$, $k \leqslant K$, ограничены при $K = 3$. При этих условиях выполняется включение

Тогда для функции $u(x,t)$ справедлива оценка

Справедлива следующая

Теорема 3.2. Пусть для данных задачи Коши для уравнения переноса (2.2), (2.1) выполняется условие $b,c,p,f \in {{C}^{{k,{{k}_{0}}}}}(\bar {G})$, $k + {{k}_{0}} \leqslant K$, $K = 3$. Тогда для решения задачи Коши $u(x,{\kern 1pt} t)$ и его производных справедливы оценки (3.1), (3.3).

4. СТАНДАРТНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

Построим стандартную разностную схему на основе монотонной сеточной аппроксимации задачи Коши для уравнения переноса (2.2), (2.1) и исследуем ее сходимость.

4.1. На множестве $\bar {G}$ введем сетку

Здесь $\bar {\omega }$ и ${{\bar {\omega }}_{0}}$ – равномерные сетки на множествах $( - \infty ,{\kern 1pt} \infty )$ и $[0,T]$ соответственно. Пусть $h$ и $\tau $ – шаги сеток $\bar {\omega }$ и ${{\bar {\omega }}_{0}}$; узел $(0,{\kern 1pt} 0)$ принадлежит сетке ${{\bar {G}}_{{h\tau }}}$.

Предполагаем выполненным условие $h \leqslant M{\kern 1pt} {{N}^{{ - 1}}}$, $\tau \leqslant M{\kern 1pt} N_{0}^{{ - 1}}$, где $N + 1$ и ${{N}_{0}} + 1$ – число узлов на отрезке единичной длины на множестве $( - \infty ,{\kern 1pt} \infty )$ и число узлов сетки ${{\bar {\omega }}_{0}}$ соответственно.

Задачу (2.2), (2.1) аппроксимируем стандартной разностной схемой [3]

Здесь ${{G}_{{h\tau }}} = G \cap {{\bar {G}}_{{h\tau }}}$, ${{S}_{{h\tau }}} = S \cap {{\bar {G}}_{{h\tau }}}$, ${{\delta }_{{\bar {x}}}}{\kern 1pt} z(x,t)$ и ${{\delta }_{{\overline t }}}{\kern 1pt} z(x,t)$ – первые обратные разностные производные (производные назад) по $x$ и $t$ соответственно.

Разностная схема (4.2), (4.1) монотонна (определение монотонности разностных схем см., например, в [3]). Для схемы (4.2), (4.1) справедлив сеточный принцип максимума.

Теорема 4.1. Пусть для разностной схемы (4.2), (4.1) выполняются условия $\Lambda z(x,t) \geqslant 0$, $(x,t) \in {{G}_{{h\tau }}}$; $z(x,t) \geqslant {\kern 1pt} 0$, $(x,t) \in {{S}_{{h\tau }}}$. Тогда для функции $z(x,t)$ справедлива оценка $z(x,t) \geqslant 0$, $(x,t) \in {{\bar {G}}_{{h\tau }}}$.

4.2. С учетом априорных оценок устанавливаем сходимость в равномерной норме разностной схемы (4.2), (4.1) .

С использованием оценок (3.3), где $K = 2$, подобно [6], получаем, что решение разностной схемы (4.2), (4.1) сходится в равномерной норме к решению задачи Коши (2.2), (2.1) с оценкой

Теорема 4.2. Пусть для решения задачи Коши (2.2), (2.1) выполняется оценка (3.3) при $K = 2$. Тогда решение разностной схемы (4.2), (4.1) сходится в равномерной норме и для него справедлива оценка (4.3).

5. РАЗЛОЖЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И НЕВЯЗОК ПО СТЕПЕНЯМ ШАГОВ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ВРЕМЕННОЙ СЕТОК

В случае разностной схемы (4.2), (4.1) построим разложения первых обратных разностных производных по $x$ и $t$ по степеням шагов $h$ и $\tau $ равномерных сеток $\bar {\omega }$ и ${{\bar {\omega }}_{0}}$. С использованием этих разложений получим разложения по степеням шагов $h$ и $\tau $ для соответствующих невязок, которые будем использовать в разд. 7 при построении схемы, сходящейся со вторым порядком скорости сходимости.

5.1. Рассмотрим разложение обратной разностной производной ${{\delta }_{{\bar {x}}}}u(x,t)$ по шагу $h$ в узле $(x,t)$, где

Заметим, что узел $(0,{\kern 1pt} 0)$ принадлежит сетке ${{\bar {G}}_{{h\tau }}}$.

Заметим, что для $u(x - h,t)$ выполняется следующее разложение по степеням шага $h$:

С учетом разложения (5.1) для $u(x - h,t)$ получаем разложение обратной разностной производной ${{\delta }_{{\bar {x}}}}u(x,t)$ по степеням шага $h$ в узле $(x,t)$

Теперь, с учетом разложения (5.2) получаем разложение по степеням шага $h$ в узле $(x,t)$ для разности ${{\delta }_{{\bar {x}}}}u(x,t) - \partial {\text{/}}\partial xu(x,t)$, которую назовем невязкой по аналогии с определением у Н.Н. Калиткина [5]

5.2. Рассмотрим разложение обратной разностной производной ${{\delta }_{{\overline t }}}u(x,t)$ по степеням шага $\tau $ в узле $(x,t)$, где

Узел $(0,{\kern 1pt} 0)$ принадлежит сетке ${{\bar {G}}_{{h\tau }}}$.

Подобно разложению (5.1), для $u(x,t - \tau )$ выполняется следующее разложение по степеням шага $\tau $:

С учетом разложения (5.4) для $u(x,t - \tau )$ получаем разложение обратной разностной производной ${{\delta }_{{\bar {t}}}}u(x,t)$ по степеням шага $\tau $

Аналогично (5.3), с учетом разложения (5.5), получаем разложение по степеням шага $\tau $ в узле $(x,t)$ для невязки ${{\delta }_{{\bar {t}}}}u(x,t) - \partial {\text{/}}\partial t{\kern 1pt} u(x,t)$:

5.3. Основные результаты о разложении обратных разностных производных по $x$ и $t$ и невязок по степеням сеточных шагов $h$ и $\tau $ равномерных сеток $\bar {\omega }$ и ${{\bar {\omega }}_{0}}$.

Справедлива следующая

Теорема 5.1. Пусть для решения задачи Коши для уравнения переноса (2.2), (2.1) выполняется оценка (3.3) при $K = 3$. Тогда в случае разностной схемы (4.2), (4.1) для разностных производных ${{\delta }_{{\bar {x}}}}u(x,t)$ и ${{\delta }_{{\bar {t}}}}u(x,t)$, $(x,t) \in {{G}_{{h\tau }}}$ справедливы разложения (5.2) и (5.5) соответственно.

Также справедлива следующая

Теорема 5.2. Пусть выполняется условие теоремы $5.1$. Тогда для невязок ${{\delta }_{{\bar {x}}}}u(x,t) - \frac{\partial }{{\partial x}}u(x,t)$ и ${{\delta }_{{\bar {t}}}}u(x,t) - \frac{\partial }{{\partial t}}u(x,t)$ справедливы разложения (5.3) и (5.6).

6. РАЗЛОЖЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И НЕВЯЗОК ПО СТЕПЕНЯМ ШАГОВ РАЗРЕЖЕННЫХ СЕТОК

На основе сетки ${{\bar {G}}_{{h\tau (4.1)}}}$, введенной в (4.1), строим разреженную сетку, на которой для разностной схемы (4.2) , аналогично построениям в разд. 5, строим разложения разностных производных по $x$ и $t$ по степеням шагов разреженных сеток и разложения для соответствующих невязок, которые будут использованы в разд. 7 при построении схемы улучшенного порядка точности, сходящейся со вторым порядком скорости сходимости.

6.1. На основе сетки ${{\bar {G}}_{{h\tau (4.1)}}}$ строим следующую разреженную сетку:

Здесь $\bar {\omega }{\kern 1pt} *$ и $\bar {\omega }_{0}^{*}$ – равномерные сетки на множествах $( - \infty ,{\kern 1pt} \infty )$ и $[0,T]$ соответственно. Величины шагов $h{\kern 1pt} *$ и $\tau {\kern 1pt} *$ сеток $\bar {\omega }{\kern 1pt} *$ и $\bar {\omega }_{0}^{*}$ в два раза больше величины шагов $h$ и $\tau $ сеток $\bar {\omega }$ и ${{\bar {\omega }}_{0}}$. Узел $(0,{\kern 1pt} 0)$ принадлежит исходной сетке ${{\bar {G}}_{{h{\kern 1pt} \tau }}}$.

На сетке $\bar {G}_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$ рассмотрим разностную схему

Здесь $G_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*} = G \cap \bar {G}_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$, $S_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*} = S \cap \bar {G}_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$; ${{\delta }_{{\bar {x}{\kern 1pt} *}}}{\kern 1pt} z{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x,t)$ и ${{\delta }_{{\bar {t}{\kern 1pt} *}}}{\kern 1pt} z{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x,t)$ – первые обратные разностные производные на разреженной сетке

Для функции

выполняется следующее соотношение: причем

6.2. Рассмотрим разложение обратной разностной производной ${{\delta }_{{\bar {x}{\kern 1pt} *}}}u(x,t)$ по шагу $h{\kern 1pt} *$ в узле $(x,t)$.

Для производной ${{\delta }_{{\bar {x}{\kern 1pt} *}}}u(x,t)$ имеем следующее представление:

Узел $(0,{\kern 1pt} 0)$ принадлежит сетке $\bar {G}_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$.

Заметим, что для $u(x - h{\kern 1pt} *,t)$ выполняется следующее разложение по степеням шага $h{\kern 1pt} *$:

С учетом разложения (6.4) для $u(x - h{\kern 1pt} *,t)$ получаем разложение обратной разностной производной ${{\delta }_{{\bar {x}{\kern 1pt} *}}}u(x,t)$ по степеням шага $h{\kern 1pt} *$

6.3. Подобно (6.4), для $u(x,t - \tau {\kern 1pt} *)$ выполняется следующее разложение по степеням шага $\tau {\kern 1pt} *$:

С учетом разложения (6.6) для $u(x,t - \tau {\kern 1pt} *)$, получаем разложение обратной разностной производной ${{\delta }_{{\bar {t}{\kern 1pt} *}}}u(x,t)$ по степеням шага $\tau {\kern 1pt} *$

6.4. Основной результат о разложении разностных производных по $x$ и $t$ по степеням сеточных шагов разреженной сетки $G_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$.

В силу разложений (6.5) и (6.7), для невязок ${{\delta }_{{\bar {x}{\kern 1pt} *}}}u(x,t) - \frac{\partial }{{\partial x}}u(x,t)$ и ${{\delta }_{{\bar {t}{\kern 1pt} *}}}u(x,t) - \frac{\partial }{{\partial t}}u(x,t)$ справедливы следующие разложения по степеням сеточных шагов $h{\kern 1pt} *$ и $\tau {\kern 1pt} *$:

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 6.1. Пусть для данных задачи Коши для уравнения переноса (2.2), (2.1) выполняется условие $b,c,p,f \in {{C}^{{k,{{k}_{0}}}}}(\bar {G})$, $k + {{k}_{0}} \leqslant K,$ $K = 3$. Тогда для невязок ${{\delta }_{{\bar {x}{\kern 1pt} *}}}u(x,t) - \frac{\partial }{{\partial x}}u(x,t)$ и ${{\delta }_{{\bar {t}{\kern 1pt} *}}}u(x,t) - \frac{\partial }{{\partial t}}u(x,t)$ справедливы разложения (6.8) на разреженной сетке $G_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$.

7. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА РИЧАРДСОНА

Отметим, что структура разложений невязок сеточных решений относительно шагов сеток на основной и разреженной равномерных сетках подобна. Эти разложения позволяют применить технику Ричардсона и построить сеточное решение, сходящееся со вторым порядком скорости сходимости.

7.1. Рассмотрим линейную комбинацию решения $z(x,t)$ разностной схемы (4.2), (4.1) на основной сетке и решения $z{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x,t)$ разностной схемы (6.2), (6.1) на разреженной сетке $\bar {G}_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$, введенной в (6.1):

где параметр $\alpha $ выбираем из условия, чтобы разложения по $h$ и $\tau $ для невязки $\hat {z}(x,t)$ не содержали линейных членов разложения.

С учетом разложений невязок (5.6) и (6.8), получаем

В силу соотношений (7.1) и (7.2), функция $\hat {z}(x,t)$, $(x,t) \in \bar {G}_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$, при $\alpha = 2$ переходит в функцию $\tilde {z}(x,t)$, определяемую следующим соотношением:

Заметим, что для функции $\tilde {z}(x,t)$ разложения невязок по $h$ и $\tau $ не содержат линейных членов, что влечет следующую оценку:

Здесь мы учли, что при $t = 0$ и $\alpha = 2$ соотношение (7.3) также выполняется.

Таким образом, построенная разностная схема – будем говорить – схема Ричардсона (7.3), (6.1), при $N,{{N}_{0}} \to \infty $ сходится в равномерной норме со вторым порядком скорости сходимости; для решения разностной схемы справедлива оценка (7.4).

Справедлива следующая

Теорема 7.1. Пусть для данных задачи Коши для уравнения переноса (2.2), (2.1) выполняется условие $b,c,p,f \in {{C}^{{k,{{k}_{0}}}}}(\bar {G})$, $k + {{k}_{0}} \leqslant K$, $K = 3$. Тогда решение $\tilde {z}(x,t)$, $(x,t) \in \bar {G}_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$, разностной схемы Ричардсона (7.3), (6.1) сходится в равномерной норме со вторым порядком скорости сходимости; для решения $\tilde {z}(x,t)$, $(x,t) \in \bar {G}_{{h{\kern 1pt} *\tau {\kern 1pt} *}}^{*}$, справедлива оценка (7.4).

8. ВЫВОДЫ

1. Рассмотрена постановка задачи Коши для уравнения переноса и определена цель исследования.

2. Для задачи Коши для уравнения переноса построена монотонная стандартная разностная схема и установлена ее сходимость в равномерной норме с первым порядком скорости сходимости.

3. Построены разложения первых обратных разностных производных по степеням шагов основных равномерных пространственной и временной сеток. С использованием этих разложений получены разложения для соответствующих невязок сеточных решений.

4. Построены разложения первых обратных разностных производных по степеням шагов разреженных равномерных пространственной и временной сеток. С использованием этих разложений получены разложения для соответствующих невязок сеточных решений.

5. На основе линейной комбинации решений разностных схем на основной и разреженной сетках, с учетом разложений соответствующих невязок на основной и разреженной сетках, построена разностная схема Ричардсона, сходящаяся в равномерной норме со вторым порядком скорости сходимости.