Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 9, стр. 1524-1530

ВВЕДЕНИЕ

В неограниченной плоской области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ с одним выходом на бесконечность и кусочно-гладкой некомпактной границей $\partial \Omega $, состоящей из конечного числа гладких кривых, рассматривается краевая задача Дирихле для эллиптического уравнения в дивергентной форме с разрывным скалярным кусочно-постоянным коэффициентом $\varkappa > 0$, имеющим конечное число подобластей непрерывности в $\Omega $, ограниченных кусочно-${{C}^{1}}$ гладкими линиями разрыва. Задача Дирихле рассматривается в слабой постановке, соответствующей функциональному классу решений с первыми производными из ${{L}_{p}}$ во всей шкале значений показателя $p \in (1,\infty )$. Статья продолжает начатое в [1] исследование вопросов существования и единственности решений для случая одной конечной и одной бесконечной граничных особых точек.

Конечной граничной особой точкой будем называть точку негладкости $\partial \Omega $ и/или вхождения линий разрыва коэффициента $\varkappa $ в $\partial \Omega $. Углы, образуемые входящими в особую точку кривыми границы и линиями разрыва коэффициента, предполагаются ненулевыми.

Бесконечной граничной особой точкой будем называть связную компоненту окрестности бесконечности в $\Omega $ с образующими ненулевой угол асимптотами $\partial \Omega $ и, возможно, асимптотами линий разрыва $\varkappa $ в этой компоненте. Такое определение допускает области с несколькими выходами на бесконечность. В рамках данной статьи ограничимся единственным выходом $\Omega $ на бесконечность.

Ограничимся также рассмотрением особых точек, допускающих локальное разделение переменных в полярных координатах в некоторой своей окрестности. Переход к общему случаю производится с помощью известных ${{L}_{p}}$-оценок и теоремы об устойчивости индекса при малых возмущениях в операторной норме.

Полученный результат является обобщением полученного ранее в [1]. Теперь допускается неравенство наименьших собственных значений ${{\lambda }_{1}}$, $\widetilde {{{\lambda }_{1}}}$, возникающих в задаче Штурма–Лиувилля по полярному углу. При этом возникают интервалы значений $p$, на которых эллиптический оператор имеет конечные ненулевые размерности ядра и коядра.

Отметим, что приведенные здесь и полученные ранее результаты переносятся и на задачу Неймана в смысле установленной в [2] взаимосвязи разрешающих операторов.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Определим пространство как замыкание подпространства в пространстве Соболева $L_{p}^{1}(\Omega )$ с нормой

где $\omega $ – какая-либо фиксированная ограниченная подобласть $\omega \subset \Omega $, и введем эквивалентную норму ${{\left\| u \right\|}_{{L_{p}^{1}(\Omega )}}}\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;{{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}_{p}}(\Omega )}}}$. Пространство определим как двойственное к пространство линейных непрерывных функционалов, т.е.

Понимая обобщенную дивергенцию в смысле $\mathcal{D}{\kern 1pt} '(\Omega )$, рассмотрим дифференциальный оператор

позволяющий записать в операторной форме $Lu = f$ слабую постановку задачи Дирихле

Операторная постановка проясняет связь размерностей $\dim \ker $ и $\dim {\text{coker}}$ ядра и коядра

линейного оператора (1.1) в случае, когда эти размерности конечны. В свою очередь, операторная постановка эквивалентна слабой ${{L}_{p}}$-постановке той же задачи Дирихле для класса слабых решений . При этом, как хорошо известно, для всякого функционала найдется векторное поле ${\mathbf{F}} \in {{{\mathbf{L}}}_{p}}(\Omega )$ такое, что $f = \operatorname{div} {\mathbf{F}}$ в смысле $\mathcal{D}{\kern 1pt} '(\Omega )$ с оценкой

Определение 1. Для произвольной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ элемент будем называть слабым решением задачи Дирихле, если выполняется интегральное тождество

при заданной вектор-функции ${\mathbf{F}} \in {{{\mathbf{L}}}_{p}}(\Omega )$, где $( \cdot {\kern 1pt} , \cdot )$ – скалярное произведение в ${{\mathbb{R}}^{2}}$, $q = p{\text{/}}(p - 1)$ – показатель, сопряженный к $p \in (1,\infty )$.

Отметим, что в случае ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ класс пробных функций может быть заменен на пространство Соболева .

Замечание 1. При построении примеров несуществования слабых решений можно ограничиться рассмотрением правых частей . В таком случае тождество (1.2) примет более простой вид:

2. ЗАДАЧА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ

При разделении переменных в полярных координатах по полярному углу возникает задача Штурма–Лиувилля. Напомним постановку этой задачи и приведем здесь без доказательства некоторые ее свойства, установленные в [1].

Взяв в качестве веса кусочно-постоянный коэффициент $\varkappa = \varkappa (\varphi ) > 0$ с конечным числом линий разрыва, введем пространство Лебега ${{L}_{{2,\varkappa }}}(0,\alpha )$ со скалярным произведением

порождающим соответствующую весовую норму ${{\left\| \Phi \right\|}_{{2,\varkappa }}}$.

На ${{L}_{{2,\varkappa }}}(0,\alpha )$ введем операцию слабого дифференцирования

где штрих означает слабое дифференцирование на ${{L}_{{1,{\text{loc}}}}}(\mathbb{R})$ или, в более широком понимании, дифференцирование в смысле $\mathcal{D}{\kern 1pt} '(\mathbb{R})$ с требованием регулярности обобщенной производной.

Рассматривая операцию дифференцирования (2.1) на подпространстве

приходим к замкнутому неограниченному дифференциальному оператору

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Геометрическая кратность всех собственных значений задачи Штурма–Лиувилля $\mathcal{L}u + \lambda u = 0$ равна единице.

Теорема 2. Система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля является ортогональным базисом в .

Занумеруем собственные функции $\{ {{\Phi }_{k}}\} _{{k = 1}}^{\infty }$ по возрастанию чисел ${{\lambda }_{k}} > 0$. Верны утверждения следующих трех теорем и леммы.

Теорема 3. Существует зависящая только от чисел $\alpha $, ${{\varkappa }_{{{\text{min}}}}}$, ${{\varkappa }_{{{\text{max}}}}}$ постоянная $M > 0$ такая, что

Теорема 4. Собственная функция ${{\Phi }_{1}}$ задачи Штурма–Лиувилля, соответствующая ${{\lambda }_{1}}$, не имеет нулей на $(0,\alpha )$.

Теорема 5. Собственные функции ${{\Phi }_{k}}$, $k\; \geqslant \;2$, задачи Штурма–Лиувилля меняют знак на $(0,\alpha )$ в силу ${{\lambda }_{k}} > {{\lambda }_{1}}$.

Лемма 1. Для собственных функций ${{\Phi }_{k}}$ задачи Штурма–Лиувилля верны неравенства

3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Напомним, что рассматриваются уже описанные во введении конечная и бесконечая граничные особые точки, допускающие локальное разделение переменных в полярных координатах. При этом ключевым вопросом в вычислении $\dim \ker L$ является количество значений ${{\lambda }_{k}} \in (0,1)$ в соответствующих особым точкам задачах Штурма–Лиувилля по $\varphi $. Особые точки, имеющие значения ${{\lambda }_{k}} \in (0,1)$, будем называть сингулярными, а не имеющие таковых – регулярными. Простой пример сингулярной особой точки можно найти в [1].

Дополнительно потребовав ${{\lambda }_{1}} < 1 < {{\lambda }_{2}}$ и ${{\widetilde \lambda }_{1}} < 1 < \widetilde {{{\lambda }_{2}}}$, представим решение в окрестностях конечной и бесконечной особых точек в виде

При исследовании взаимодействия конечной и бесконечной особых точек понадобятся следующие свойства локальной знакоопределенности/знакопеременности решения.

Лемма 2 (знакоопределенность в окрестности особой точки).

1. Пусть $p < 2{\text{/}}(1 + {{\mu }_{1}})$ и, соответственно, в окрестности конечной особой точки решение $u(r,\varphi )$ имеет вид

Если ${{B}_{1}} > 0$, то $u(r,\varphi )\; \geqslant \;0$ в некоторой окрестности этой особой точки.

2. Пусть $p > 2{\text{/}}(1 - {{\tilde {\mu }}_{1}})$ и, соответственно, в окрестности бесконечной особой точки решение $u(\tilde {r},\tilde {\varphi })$ имеет вид

Если ${{\widetilde A}_{1}} > 0$, то $u(\tilde {r},\tilde {\varphi })\; \geqslant \;0$ в некоторой окрестности этой особой точки.

Доказательство. Доказательства 1 и 2 аналогичны. Приведем доказательство второго утверждения леммы, для удобства убрав тильды из обозначений.

Оценим решение, переписав его в виде

Заметим, что коэффициенты ${{B}_{k}}$ разложения в ряд Фурье по ортонормированному базису в ${{L}_{{2,\varkappa }}}(0,\alpha )$ ограничены в силу, например, Используя оценку ${\text{|}}{{\Phi }_{k}}(\varphi ){\text{/}}{{\Phi }_{1}}(\varphi ){\kern 1pt} {\text{|}}\;\leqslant \;C\mu _{k}^{2}$  $\forall k\; \geqslant \;1$ из леммы 1, получаем При этом ряд сходится и имеет сумму порядка $O({{r}^{{ - {{\mu }_{1}}}}})$ при $r \to \infty $ в силу теоремы $3$ о сходимости ряда $\sum \,\mu _{k}^{{ - 4}}$ и очевидного неравенства с некоторой постоянной $m(R) > 0$.

Таким образом, $u(r,\varphi ) = {{\Phi }_{1}}(\varphi )[{{A}_{1}}{{r}^{{{{\mu }_{1}}}}} + O({{r}^{{ - {{\mu }_{1}}}}})]$, $r \to \infty $. А по теореме $4$ функция ${{\Phi }_{1}}$ знакопостоянна на $(0,\alpha )$. Лемма доказана.

Лемма 3 (смена знака в окрестности особой точки).

1. Пусть в окрестности конечной особой точки решение $u(r,\varphi )$ имеет вид

Тогда $u(r,\varphi )$ меняет знак в любой окрестности этой особой точки.

2. Пусть в окрестности бесконечной особой точки решение $u(\tilde {r},\tilde {\varphi })$ имеет вид

Тогда $u(\tilde {r},\tilde {\varphi })$ меняет знак в любой окрестности этой особой точки.

Доказательство. Доказательства 1 и 2 аналогичны. Приведем доказательство первого утверждения леммы.

Предположим, что найдется такой номер $m\; \geqslant \;2$, что ${{A}_{m}} \ne 0$, тогда как все ${{A}_{k}} = 0$ при $k < m$. Согласно теореме $5$, собственная функция ${{\Phi }_{m}}$ меняет на ${{\Omega }_{R}}$ знак, а тогда на любой дуге $\{ r = \delta ,0 < \varphi < \alpha \} $ с достаточно малым $\delta $ происходит смена знака рассматриваемого решения $u$. Действительно, на дуге $r = \delta ,$ $0 < \varphi < \alpha $ функция ${{\Phi }_{m}}$ в малой окрестности своего нуля строго монотонна и принимает значения $( - \sigma ,\sigma )$ с некоторым $\sigma > 0$. Оценивая при достаточно малых $\delta $ оставшуюся часть ряда

устанавливаем смену знака.

Лемма доказана.

4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ

Напомним, что рассматривается задача Дирихле с одной конечной и одной бесконечной граничными особыми точками с локально-разделяющимися переменными. При этом в соответствующих особым точкам задачах Штурма–Лиувилля наложены ограничения ${{\mu }_{1}} < 1 < {{\mu }_{2}}$ и ${{\tilde {\mu }}_{1}} < 1 < {{\tilde {\mu }}_{2}}$.

Лемма 4 (нетривиальное решение однородной задачи).

1. Пусть ${{\mu }_{1}} < {{\tilde {\mu }}_{1}}$, $p \in \left( {2{\text{/}}(1 + {{{\tilde {\mu }}}_{1}}),2{\text{/}}(1 + {{\mu }_{1}})} \right)$, тогда существует нетривиальное решение однородной задачи Дирихле, имеющее особенность в конечной точке.

2. Пусть ${{\mu }_{1}} > {{\tilde {\mu }}_{1}}$, $p \in \left( {2{\text{/}}(1 - {{\mu }_{1}}),2{\text{/}}(1 - {{{\tilde {\mu }}}_{1}})} \right)$, тогда существует нетривиальное решение однородной задачи Дирихле, имеющее особенность на бесконечности.

Доказательство. Доказательства 1 и 2 аналогичны. Приведем конструктивное доказательство первого утверждения.

Рассмотрим $u(x) = {{\eta }_{\sigma }}(x){{u}_{{{{\mu }_{1}}}}}(x) - v(x)$, где ${{u}_{{{{\mu }_{1}}}}} = {{r}^{{ - {{\mu }_{1}}}}}{\kern 1pt} {{\Phi }_{1}}(\varphi )$, срезающая функция ${{\eta }_{\sigma }} \in {{C}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{2}})$ равна единице в $\sigma $-окрестности конечной особой точки и нулю – вне $2\sigma $-окрестности.

В силу выполнения тождеств

определяющее решение тождество равносильно Применяя теорему Рисса в гильбертовом пространстве со скалярным произведением $\int_\Omega {\varkappa (x)( \cdot {\kern 1pt} , \cdot ){\kern 1pt} dx} $, заключаем, что существует . А значит, не только ${{\eta }_{\sigma }}(x){{u}_{{{{\mu }_{1}}}}}(x)$, но и $u$ попадает в $L_{p}^{1}(\Omega )$ в силу общего вида решения в окрестностях особых точек при рассматриваемых здесь значениях p.

Лемма доказана.

Теорема 6 (тривиальное ядро).

1. Если ${{\mu }_{1}} < {{\tilde {\mu }}_{1}}$, то $\dim \ker L = 0$ для $p \in \left( {1,{\kern 1pt} 2{\text{/}}(1 + {{{\tilde {\mu }}}_{1}})} \right] \cup \left[ {2{\text{/}}(1 + {{\mu }_{1}}),\infty } \right)$.

2. Если ${{\mu }_{1}} > {{\tilde {\mu }}_{1}}$, то $\dim \ker L = 0$ для $p \in \left( {1,2{\text{/}}(1 - {{{\tilde {\mu }}}_{1}})} \right] \cup \left[ {2{\text{/}}(1 - {{\mu }_{1}}),\infty } \right)$.

Доказательство. Доказательства 1 и 2 аналогичны. Приведем здесь доказательство второго утверждения, т.е. для ${{\mu }_{1}} > {{\tilde {\mu }}_{1}}$.

Выбор $2{\text{/}}(1 + {{\tilde {\mu }}_{1}})\;\leqslant \;p\;\leqslant \;2{\text{/}}(1 - {{\tilde {\mu }}_{1}})$ исключает из рядов (3.1) и (3.2), представляющих решение в окрестностях особых точек, члены ${{\widetilde A}_{1}}{{\tilde {r}}^{{{{{\tilde {\mu }}}_{1}}}}}{{\widetilde \Phi }_{1}}(\tilde {\varphi })$, ${{B}_{1}}{{r}^{{ - {{\mu }_{1}}}}}{{\Phi }_{1}}(\varphi )$. Решение попадает в $L_{2}^{1}(\Omega )$, а значит, оно тривиальное.

При $p\; \geqslant \;2{\text{/}}(1 - {{\mu }_{1}}) > 2{\text{/}}(1 - {{\tilde {\mu }}_{1}})$ сразу получаем ${{A}_{1}} = {{B}_{1}} = 0$. Докажем от противного, что и ${{\widetilde A}_{1}} = 0$. Не ограничивая общности, предположим ${{\widetilde A}_{1}} > 0$. Выберем дугу $\tilde {r} = R > 1$ в такой окрестности бесконечной особой точки, что

• переменные разделяются в полярных координатах,

• по лемме 2 решение $u\; \geqslant \;0$.

Применяя принцип существенного максимума (см. теорему 9.27 в [3]) на ${{\Omega }_{R}} = \Omega \cap \{ x\,{\text{|}}\,\tilde {r} < R\} $, получаем ${{\left. u \right|}_{{{{\Omega }_{R}}}}}\; \geqslant \;0$. Однако в окрестности конечной особой точки ${{A}_{1}} = {{B}_{1}} = 0$ и применима лемма 3 о знакопеременности решения. Приходим к противоречию.

При $p < 2{\text{/}}(1 + {{\tilde {\mu }}_{1}})$ сразу получаем ${{\widetilde A}_{1}} = {{\widetilde B}_{1}} = 0$. Докажем от противного, что и ${{B}_{1}} = 0$. Не ограничивая общности, возьмем ${{B}_{1}} > 0$. Выберем дугу $r = \delta < 1$ в такой окрестности конечной особой точки, что

• переменные разделяются в полярных координатах,

• по лемме 2 решение $u\; \geqslant \;0$.

Применяя принцип существенного максимума на ${{\Omega }_{\delta }} = \Omega \cap \{ x\,{\text{|}}\,r > \delta \} $, получаем ${{\left. u \right|}_{{{{\Omega }_{\delta }}}}}\; \geqslant \;0$. Однако в окрестности бесконечной особой точки ${{\widetilde A}_{1}} = {{\widetilde B}_{1}} = 0$ и применима лемма 3 о знакопеременности решения. Приходим к противоречию.

Теорема доказана.

Теорема 7 (нетривиальное ядро).

1. Если ${{\mu }_{1}} < {{\tilde {\mu }}_{1}}$, то $\dim \ker L = 1$ для $p \in \left( {2{\text{/}}(1 + {{{\tilde {\mu }}}_{1}}),2{\text{/}}(1 + {{\mu }_{1}})} \right)$.

2. Если ${{\mu }_{1}} > {{\tilde {\mu }}_{1}}$, то $\dim \ker L = 1$ для $p \in \left( {2{\text{/}}(1 - {{\mu }_{1}}),2{\text{/}}(1 - {{{\tilde {\mu }}}_{1}})} \right)$.

Доказательство. Доказательства 1 и 2 аналогичны. Приведем здесь доказательство второго утверждения, т.е. для ${{\mu }_{1}} > {{\tilde {\mu }}_{1}}$.

Согласно лемме 4 существует нетривиальное решение ${{u}_{1}}$ однородной задачи. Введем обозначение

Покажем, что произвольное решение ${{u}_{2}}$ линейно зависимо от ${{u}_{1}}$. Введем обозначение Линейная комбинация $u = B_{1}^{{''}}{{u}_{1}} - B_{1}^{'}{{u}_{2}}$ в окрестности конечной особой точки будет по построению иметь коэффициент ${{B}_{1}} = 0$ при ${{r}^{{ - {{\mu }^{1}}}}}{{\Phi }_{1}}(\varphi )$. Применяя схему доказательства случая $p\; \geqslant \;2{\text{/}}(1 - {{\mu }_{1}})$ предыдущей теоремы, показываем, что $u = 0$.

Теорема доказана.

Следствие 1 (размерность коядра).

1. Если ${{\mu }_{1}} < {{\tilde {\mu }}_{1}}$, то $\dim \operatorname{coker} L = 1$ для $p \in \left( {2{\text{/}}(1 + {{{\tilde {\mu }}}_{1}}),2{\text{/}}(1 + {{\mu }_{1}})} \right)$ и $\dim {\text{coker}}L = 0$ для остальных $1 < p < \infty $ кроме $2{\text{/}}(1 \pm {{\tilde {\mu }}_{1}})$, $2{\text{/}}(1 \pm {{\mu }_{1}})$.

2. Если ${{\mu }_{1}} > {{\tilde {\mu }}_{1}}$, то $\dim \operatorname{coker} L = 1$ для $p \in \left( {2{\text{/}}(1 - {{\mu }_{1}}),2{\text{/}}(1 - {{{\tilde {\mu }}}_{1}})} \right)$ и $\dim {\text{coker}}L = 0$ для остальных $1 < p < \infty $ кроме $2{\text{/}}(1 \pm {{\tilde {\mu }}_{1}})$, $2{\text{/}}(1 \pm {{\mu }_{1}})$.

Замечание 2. Не требуется совпадения числа линий разрыва в конечной и бесконечной особых точках $\partial \Omega $. Так, линия разрыва может замыкаться через особую точку, т.е. начало и конец линии разрыва могут совпадать с этой особой точкой. На фиг. 1 приводится пример допустимой области: показаны линии разрыва коэффициента и граница $\partial \Omega $, а пунктиром – их асимптоты в окрестности бесконечности.