Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 9, стр. 1537-1552

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Диффузионно-дрейфовое приближение часто используется в практике физико-математического моделирования процессов зарядки диэлектриков в неравновесных внешних условиях. Развитию данного подхода посвящены как ранние работы [1–6], так и современные исследования [7–14]. В частности, применение детерминированной модели обусловлено необходимостью прогнозирования состояния функциональных диэлектрических материалов при диагностике и модификации их свойств методами растровой электронной микроскопии. В числе важнейших аспектов, подлежащих исследованиям, в указанных работах рассмотрены вопросы разработки фундаментальных основ, развития математических моделей, создания математического и программного обеспечения для исследования процессов стимулированной зарядки. Отдельно отметим статьи [12, 13], в которых предложена авторская модификация классической нестационарной модели процесса зарядки сегнетоэлектрических материалов при электронном облучении с учетом собственной радиационно-стимулированной проводимости объекта, диффузии и дрейфа инжектированных зарядов.

Априорный анализ показывает, что если облучение диэлектрического материала поддерживается достаточно длительное время (на практике достаточно и доли секунды), то это время намного превышает временной диапазон, который необходим для перехода динамической системы в стационарное состояние (менее микросекунды). В связи с этим особую актуальность для практики приобретает детальное исследование математических моделей, описывающих стационарные режимы процессов зарядки. Корректность одной из таких моделей была впервые обоснована в [15] в предположении свойства однородности поляризационных характеристик объекта.

Моделирование процессов зарядки в неоднородных диэлектриках представляет сложную и многоаспектную задачу, поскольку требует рассмотрения покомпонентного представления распределения поляризации в объекте. В качестве приближения к общей проблеме в настоящей работе рассмотрим упрощенную модель зарядки неоднородного полярного диэлектрика, в которой “неоднородность” описывается с помощью нормализованной функции. Такой подход позволяет задать пространственную характеристику изменения уровня заряда, обусловленного начальным (неиндуцированным) состоянием самого диэлектрика. Учитывая введенное предположение и модельную характеристику, для рассматриваемого объекта далее будем использовать понятие “неоднородный диэлектрик”. Будем считать, что функция $\beta ({\mathbf{x}})$ описывает неравномерность потерь заряда в пространстве, что на практике может быть обусловлено анизотропией кристалла, наличием дефектной структуры, композитным составом материала или присутствием примеси, предварительной ионизирующей обработкой и др.

Математическая модель процесса зарядки неоднородного полярного диэлектрика может быть представлена следующей краевой задачей, рассматриваемой в ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ с границей $\Gamma $:

Здесь $\rho $ – объемная плотность заряда, ${\mathbf{E}}$ – вектор-функция напряженности электрического поля, $d({\mathbf{x}}) > 0$ – коэффициент диффузии электронов, ${{\mu }_{n}}$ – дрейфовая подвижность электронов, $\varepsilon $ – диэлектрическая проницаемость материала, ${{\varepsilon }_{0}}$ – электрическая постоянная, $f$ – генерационное слагаемое, отвечающее за действие объемного источника зарядов в объекте, $\beta ({\mathbf{x}}) > 0$ – нормализованный коэффициент потери заряда. Ниже на задачу (1)–(3) будем ссылаться как на задачу 1.

В [15] доказаны глобальная разрешимость и локальная единственность решения соответствующей краевой задачи в случае, когда $\beta \equiv 1$, а также установлен принцип минимума и максимума для плотности заряда. Хорошо известно, что принцип максимума применяется для контроля вычислительных экспериментов. В указанной статье один из вычислительных экспериментов по решению прямой задачи посвящен проверке установленного теоретически принципа максимума.

В настоящей работе результаты [15] по исследованию краевой задачи обобщены на случай, когда коэффициент $\beta $ не является константой. По возможности полученные в настоящей статье результаты о разрешимости краевой задачи представлены в виде коррекции результатов [15]. Отметим, что функция $\beta ({\mathbf{x}})$ влияет на достаточные условия локальной единственности решения краевой задачи и входит в оценку принципа максимума.

Основные результаты статьи связаны с исследованием задачи восстановления неизвестных функций $d,\;\beta $ и $f$ по измеренным в некоторой подобласти области $\Omega $ плотности заряда $\rho $ и напряженности электрического поля ${\mathbf{E}}$. В частности, восстановление функции $\beta $ позволит обнаружить вкрапления в кристалле диэлектрика. В рамках оптимизационного подхода указанная обратная задача сводится к задаче управления (о корректности применяемого подхода см. [16, 17]). В результате формулируется задача управления, содержащая два мультипликативных управления $d$ и $\beta $ и одно распределенное управление $f$, и доказывается ее разрешимость. Далее для задачи управления выводится система оптимальности и обосновывается ее локальная регулярность. Наконец, на основе анализа системы оптимальности доказывается локальная единственность решения задачи распределенного управления. В заключение отметим работу [18], в которой доказана разрешимость задачи мультипликативного управления при более жестких условиях на функцию $d$.

2. РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

При анализе краевой задачи будем использовать функциональные пространства Соболева ${{H}^{s}}(D)$, $s \in \mathbb{R}$. Здесь $D$ обозначает область $\Omega $, либо некоторую подобласть $Q \subset \Omega $, либо границу $\Gamma $. Через ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{s,Q}}},$ ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{{s,Q}}}$ и ${{( \cdot , \cdot )}_{{s,Q}}}$ будем обозначать норму, полунорму и скалярное произведение в ${{H}^{s}}(Q)$. Нормы и скалярные произведения в ${{L}^{2}}(Q)$ и ${{L}^{2}}(\Omega )$ будем обозначать соответственно через ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{Q}}$ и ${{( \cdot , \cdot )}_{Q}}$, ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{Q}}$ и ${{( \cdot , \cdot )}_{\Omega }}$.

Введем функциональные пространства ${{H}^{1}}(\Delta ,\Omega ) = \{ h \in {{H}^{1}}(\Omega ):\Delta h \in {{L}^{2}}(\Omega )\} $,

функциональные множества $L_{{{{d}_{0}}}}^{p}(\Omega ) = \{ h \in {{L}^{p}}(\Omega ):h \geqslant {{d}_{0}} > 0\;{\text{п}}{\text{.в}}{\text{.}}\;{\text{в}}\;\Omega \} ,\;1 \leqslant p \leqslant \infty $, $H_{{{{d}_{0}}}}^{s}(\Omega ) = \{ h \in $ $ \in {{H}^{s}}(\Omega ):h \geqslant {{d}_{0}} > 0\;{\text{п}}{\text{.в}}{\text{.}}\;{\text{в}}\;\Omega \} ,\;s \geqslant 0$, где ${{d}_{0}}$ – положительная константа и произведение пространств $X = H_{0}^{1}(\Omega ) \times \tilde {H}_{N}^{1}(\Omega )$.

Предположим, что выполняются следующие условия:

(i) $\Omega $ – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{3}}$ с границей $\Gamma \in {{C}^{{0,1}}}$;

(ii) $f \in {{L}^{2}}(\Omega )$, $d \in L_{{{{d}_{0}}}}^{\infty }(\Omega )$;

(iii) $\beta \in {{L}^{4}}(\Omega )$ и $\beta \geqslant {{\beta }_{0}} \geqslant 1{\text{/}}2$ п.в. в $\Omega $.

Напомним, что в силу теоремы вложения Соболева пространство ${{H}^{1}}(\Omega )$ вкладывается в пространство ${{L}^{s}}(\Omega )$ непрерывно при $s \leqslant 6$, компактно при $s < 6$ и с некоторой константой ${{C}_{s}}$, зависящей от $s$ и $\Omega $, справедлива оценка

При $s = 2$ мы полагаем ${{C}_{2}} = 1$.

Ниже будем использовать формулы Грина (см. [19, 20])

Справедливы следующие леммы (см. [15, 20]).

Лемма 2.1. При выполнении условий (i), ${\mathbf{E}} \in {{H}^{1}}{{(\Omega )}^{3}}$ существуют положительные константы ${{C}_{0}},\;{{\delta }_{1}},\;\gamma _{1}^{'}$ и ${{\gamma }_{1}}$, зависящие соответственно от $\Omega $ , такие что

Если функции ${\mathbf{E}} \in {{H}^{1}}{{(\Omega )}^{3}}$ и $\rho \in H_{0}^{1}(\Omega )$ связаны вторым соотношением в $(2)$, то справедливо равенствопринимающее при $h = \rho $ следующий вид:

Лемма 2.2. При выполнении условия (i) для любой функции $\sigma \in {{L}^{2}}(\Omega )$ существует единственное решение ${\mathbf{E}} \in \tilde {H}_{N}^{1}(\Omega )$ задачи $\operatorname{rot} {\mathbf{E}} = {\mathbf{0}}$, $\operatorname{div} {\mathbf{E}} = \sigma $ в $\Omega $, ${\mathbf{E}} \times {\mathbf{n}} = {\mathbf{0}}$ на $\Gamma $, для которого справедлива оценка ${{\left\| {\mathbf{E}} \right\|}_{{1,\Omega }}} \leqslant {{C}_{N}}{{\left\| \sigma \right\|}_{\Omega }}$, где ${{C}_{N}}$ – положительная константа, зависящая от $\Omega $.

Пусть $(\rho ,{\mathbf{E}}) \in ({{C}^{2}}(\Omega ) \cap {{C}^{0}}(\bar {\Omega })) \times ({{C}^{1}}{{(\Omega )}^{3}} \cap \tilde {H}_{N}^{1}(\Omega ))$ – классическое решение задачи 1. Умножим уравнение в (1) на функцию $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$ и проинтегрируем по $\Omega $, применяя формулу Грина (6). Приходим к слабой формулировке задачи 1

Разрешимость задачи (11), (12) докажем с помощью теоремы Шаудера. Для этого построим отображение $G\,:H_{0}^{1}(\Omega ) \to H_{0}^{1}(\Omega )$, действующее по формуле $\rho = G(r)$.

Здесь функция $\rho \in H_{0}^{1}(\Omega )$ является решением линейной задачи

Из леммы 2.2 вытекает, что для любой функции $r \in H_{0}^{1}(\Omega )$ существует единственное решение ${\mathbf{E}} \in \tilde {H}_{N}^{1}(\Omega )$ задачи (14), для которого справедлива оценка

Из леммы 2.1 вытекает, что форма $a(\rho ,h)$ непрерывна. Так же из леммы 2.1 и равенства (14) следует, что

При $h = \rho $ равенство (16) принимает вид

Положим $h = \rho $ в (13). С учетом (17) приходим к равенству

Поскольку $\beta \geqslant 1{\text{/}}2$ в силу (iii), то $(\beta {\text{|}}r{\kern 1pt} {\text{|}} - (1{\text{/}}2)r,{{\rho }^{2}}) \geqslant 0$.

Тогда из (18) и леммы 2.1 вытекает, что форма $a$ коэрцитивна на пространстве $H_{0}^{1}(\Omega )$ с константой ${{d}_{0}}{{\delta }_{1}}$. Из теоремы Лакса–Мильграма следует, что при любом $r \in H_{0}^{1}(\Omega )$ существует единственное решение $\rho \in H_{0}^{1}(\Omega )$ задачи (13), для которого справедлива оценка

Из вышесказанного вытекает, что отображение $G\,:H_{0}^{1}(\Omega ) \to H_{0}^{1}(\Omega )$ определено корректно и переводит шар ${{B}_{R}}$ радиуса $R = {{C}_{*}}\left\| f \right\|$ в себя. Компактность и непрерывность оператора $G$ на ${{B}_{R}}$ показывается в точности, как в [15].

Тогда из теоремы Шаудера вытекает, что оператор $G$ имеет неподвижную точку $\rho = G(\rho )$, которая является решением уравнения (11). В свою очередь, пара $(\rho ,{\mathbf{E}})$ является искомым решением задачи (11), (12). При этом для функции $\rho $ справедлива оценка (19). Тогда для электрического поля ${\mathbf{E}}$ из (15) в силу леммы 2.2 и с учетом (19) получаем оценку

Установим достаточные условия единственности решения задачи (11), (12). Обозначим через $({{\rho }_{1}},{{{\mathbf{E}}}_{1}}) \in X$ и $({{\rho }_{2}},{{{\mathbf{E}}}_{2}}) \in X$ любые два ее решения.

Несложно проверить, что разности $\rho = {{\rho }_{1}} - {{\rho }_{2}}$ и ${\mathbf{E}} = {{{\mathbf{E}}}_{1}} - {{{\mathbf{E}}}_{2}}$ удовлетворяют соотношениям

Поскольку $\operatorname{div} {{{\mathbf{E}}}_{i}} = (1{\text{/}}\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}){{\rho }_{i}}$ в $\Omega $, $i = 1,2$, то с учетом леммы 2.1 получаем, что

Тогда равенство (21) при $h = \rho $ с учетом (23) принимает вид

Для левой части (24) при $\beta \geqslant 1{\text{/}}2$ в силу (8) справедлива следующая оценка

Оценки для правой части (24) вытекают из неравенства Гёльдера, соотношения (7), и с учетом (4), (19) и (20) принимают следующий вид:

Окончательно приходим к неравенству

Пусть исходные данные задачи 1 таковы, что выполняется условие

Тогда из (25) вытекает, что ${{\left\| \rho \right\|}_{{1,\Omega }}} = 0$ или ${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{2}}$ в $\Omega $. В таком случае из (22) получаем, что $\operatorname{div} {\mathbf{E}} = 0$ в $\Omega $. Последнее в силу леммы 2.2 означает, что ${\mathbf{E}} = {\mathbf{0}}$ или ${{{\mathbf{E}}}_{1}} = {{{\mathbf{E}}}_{2}}$ в $\Omega $.

Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1. При выполнении условий (i)–(iii) существует слабое решение $(\rho ,{\mathbf{E}}) \in X$ задачи $1$ и справедливы оценки (19) и (20). Если к тому же выполняется условие (26), то слабое решение задачи $1$ единственно.

3. ПРИНЦИП МИНИМУМА И МАКСИМУМА

Положим ${{f}_{{{\text{max}}}}}$ – положительная константа.

Пусть в дополнение к (i)–(iii) выполнено условие

(iv) $0 \leqslant f \leqslant {{f}_{{{\text{max}}}}}$ п.в. в $\Omega $.

Рассуждая, как в [15], установим принцип минимума и максимума для плотности заряда $\rho $.

Лемма 3.1. При выполнении условий (i)–(iv) для слабого решения $\rho \in H_{0}^{1}(\Omega )$ задачи $1$ справедлив следующий принцип минимума и максимума:

Доказательство. Докажем, что $\rho \geqslant 0$ п.в. в $\Omega $. Введем функцию $w = \min \{ \rho ,0\} $. Ясно, что оценка $\rho \geqslant 0$ выполняется тогда и только тогда, когда $w = 0$ п.в. в $\Omega $.

Через $Q \subset \Omega $ обозначим измеримое подмножество $\Omega $, в котором $w < 0$. Очевидно, что $w \in {{H}^{1}}(\Omega )$, а из [21, 22] вытекает, что $w{{{\text{|}}}_{\Gamma }} = \min \{ {{\left. \rho \right|}_{\Gamma }},0\} = 0$. Тогда $w \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Справедливо следующее равенство: $\nabla w = \nabla \rho \;{\text{п}}{\text{.в}}{\text{.}}\;{\text{в}}\;Q$ (см. [21]).

Из вышесказанного вытекает, что

С учетом (10) из второго равенства в (29) получаем

При этом

Полагая в (11) $h = w$, будем иметь

С учетом (28)–(31) последнее соотношение (32) принимает вид Поскольку $w < 0$ в $Q$ и $f \geqslant 0$ п.в. в $\Omega $, то ${{(f,w)}_{Q}} \leqslant 0$. С учетом того, что $\beta \geqslant 1{\text{/}}2$, в силу неравенства Фридрихса–Пуанкаре (8) из (33) приходим к оценке из которой вытекает, что ${{\left\| w \right\|}_{{1,\Omega }}} = 0$, а следовательно, $w = 0$ п.в. в $\Omega $. Тогда $\rho \geqslant 0$ п.в. в $\Omega $.

Для доказательства принципа максимума введем функцию $\tilde {\rho } = \max \{ \rho - M,0\} $, которая, как и вспомогательная функция $w$, принадлежит ${{H}^{1}}(\Omega )$. Ясно, оценка $\rho \leqslant M$ п.в. в $\Omega $ выполняется тогда и только тогда, когда $\tilde {\rho } = 0$ п.в. в $\Omega $. Из [21, 22] вытекает, что ${{\left. {\tilde {\rho }} \right|}_{\Gamma }} = \max \{ {{\left. \rho \right|}_{\Gamma }} - M,0\} = 0$. В таком случае $\tilde {\rho } \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Через ${{Q}_{M}} \subset \Omega $ обозначим открытое измеримое подмножество $\Omega $, в котором $\rho > M$. Как и выше, из [21] вытекает, что

Из сказанного выше вытекает, что

Тогда с учетом леммы 2.1 приходим к равенству

Далее

Подставляя $h = \tilde {\rho }$ в (11), с учетом (36), (37) получим Поскольку $\beta \geqslant 1{\text{/}}2$, то, применив к левой части (38) оценку (8), приходим к оценке из которой выводим, что $\tilde {\rho } = 0$ п.в. в $\Omega $, если параметр $M$ определен в (27). Лемма 3.1 доказана.

4. ПОСТАНОВКА И РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

В данном разделе мы исследуем задачу управления для задачи 1 с двумя мультипликативными управлениями: $d$ и $\beta $, и одним распределенным управлением $f$.

Будем считать, что функции $d$, $\beta $ и $f$ могут изменяться соответственно во множествах ${{K}_{1}},{{K}_{2}}$ и ${{K}_{3}}$, удовлетворяющих условию

(j) ${{K}_{1}} \subset H_{{{{d}_{0}}}}^{s}(\Omega ) \cap {{L}^{\infty }}(\Omega )$, $s \geqslant 1{\text{/}}2$, ${{K}_{2}} \subset L_{{{{\beta }_{0}}}}^{4}(\Omega )$ и ${{K}_{3}} \subset {{L}^{2}}(\Omega )$ – непустые выпуклые замкнутые множества.

Введем функциональные пространства $X = H_{0}^{1}(\Omega ) \times \tilde {H}_{N}^{1}(\Omega )$, $Y = {{H}^{{ - 1}}}(\Omega ) \times {{L}^{2}}(\Omega )$ и положим ${\mathbf{x}} = (\rho ,{\mathbf{E}}) \in X$, $u = (d,\beta ,f) \in K$, где $K = {{K}_{1}} \times {{K}_{2}} \times {{K}_{3}}$. Далее введем оператор $F = ({{F}_{1}},{{F}_{2}}):X \times K \to Y$ по формулам

и перепишем слабую формулировку задачи 1 в виде операторного уравнения $F({\mathbf{x}}, u) = 0$.

Пусть $I:X \to \mathbb{R}$ – слабо полунепрерывный снизу функционал. Рассмотрим следующую задачу управления:

Через ${{Z}_{{ad}}} = \{ ({\mathbf{x}},u) \in X \times K:F({\mathbf{x}},u) = 0,\;J({\mathbf{x}},u) < \infty \} $ обозначим множество допустимых пар для задачи (39).

Пусть, в дополнение к (j), выполняются следующие условия:

(jj) множество ${{K}_{1}}$ ограничено по норме ${{L}^{\infty }}(\Omega )$, множество ${{K}_{2}}$ ограничено по норме ${{L}^{4}}(\Omega )$;

(jjj) ${{\mu }_{0}} > 0$, ${{\mu }_{i}} \geqslant 0$, $i = 1,2$, множество ${{K}_{1}}$ ограничено в ${{H}^{s}}(\Omega )$, $s > 1{\text{/}}2$, множество ${{K}_{3}}$ ограничено в ${{L}^{2}}(\Omega )$ или ${{\mu }_{i}} > 0$, $i = 0,1,2$, и функционал $I$ ограничен снизу.

Будем использовать следующие функционалы качества:

Здесь ${{\rho }^{d}} \in {{L}^{2}}(Q)$ обозначает заданное поле концентрации в подобласти $Q \subset \Omega $. Функция ${{{\mathbf{E}}}^{d}}$ имеет аналогичный смысл для электрического поля.

Теорема 4.1. Пусть выполняются условия (i)–(iii) и (j)–(jjj), функционал $I:X \to R$ слабо полунепрерывен снизу и ${{Z}_{{ad}}}\not { = }\emptyset $. Тогда существует по крайней мере одно решение $({\mathbf{x}},u) \in X \times K$ задачи управления (39).

Доказательство. Через $({{{\mathbf{x}}}_{m}},{{u}_{m}}) = ({{\rho }_{m}},{{{\mathbf{E}}}_{m}},{{d}_{m}},{{\beta }_{m}},{{f}_{m}}) \in {{Z}_{{ad}}}$ обозначим минимизирующую последовательность, для которой

Из условий (jj) и (jjj) и теоремы 2.1 вытекают следующие оценки:

где константы ${{c}_{1}},\;{{c}_{2}},\;{{c}_{5}}$ не зависят от $m$. Из оценок (41) и условия (j) вытекает, что существуют слабые пределы $d{\kern 1pt} * \in {{K}_{1}}$, $\beta {\kern 1pt} * \in {{K}_{2}}$, $f{\kern 1pt} * \in {{K}_{3}}$, $\rho {\kern 1pt} * \in H_{0}^{1}(\Omega )$ и ${\mathbf{E}}{\kern 1pt} * \in \tilde {H}_{N}^{1}(\Omega )$ некоторых подпоследовательностей последовательностей $\{ {{d}_{m}}\} $, $\{ {{\beta }_{m}}\} $, $\{ {{f}_{m}}\} $, $\{ {{\rho }_{m}}\} $ и $\{ {{{\mathbf{E}}}_{m}}\} $ соответственно.

С учетом этого можно считать, что при $m \to \infty $ имеем

Ясно, что ${{F}_{2}}({\mathbf{x}}{\kern 1pt} *) = 0$. Покажем теперь, что ${{F}_{1}}({\mathbf{x}}{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *) = 0$, т.е. что

При этом пара $({{{\mathbf{x}}}_{m}},{{u}_{m}})$ удовлетворяет соотношению

Перейдем в (44) к пределу при $m \to \infty $, начав со слагаемого $({{d}_{m}}\nabla {{\rho }_{m}},\nabla h)$:

Поскольку $d{\kern 1pt} *\nabla h \in {{L}^{2}}{{(\Omega )}^{3}}$, то согласно (42) для второго слагаемого в (45) имеем

Для работы с первым слагаемым в (45) введем последовательность $\{ {{h}_{n}}\} \in \mathcal{D}(\Omega )$ такую, что ${{h}_{n}} \to h$ при $n \to \infty $ по норме ${{H}^{1}}(\Omega )$. Существование такой последовательности следует из плотности вложения $\mathcal{D}(\Omega ) \subset H_{0}^{1}(\Omega )$. Справедливо следующее равенство:

В силу равномерной ограниченности величин ${{\left\| {{{d}_{m}} - d{\kern 1pt} *} \right\|}_{{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}$ и ${{\left\| {\nabla {{\rho }_{m}}} \right\|}_{\Omega }}$ по $m$ существует такой номер $N = N(\varepsilon ,h)$, что для второго слагаемого в (46) справедливо неравенство

Из равномерной ограниченности величин ${{\left\| {\nabla {{h}_{n}}} \right\|}_{{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}$ по $n$ и ${{\left\| {\nabla {{\rho }_{m}}} \right\|}_{\Omega }}$ по $m$ соответственно и из (42) следует существование такого номера $M = M(\varepsilon ,h)$, что для первого слагаемого в (46) справедливо неравенство

Тогда из (46)–(48) вытекает, что

В таком случае $({{d}_{m}}\nabla {{\rho }_{m}},\nabla h) \to (d{\kern 1pt} *\nabla \rho {\kern 1pt} *,\nabla h)$ при $m \to \infty $ для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Для второго слагаемого имеем

В силу (42), используя лемму 2.1 и (41), получаем для первого слагаемого Поскольку ${\mathbf{E}}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} h \in {{L}^{2}}{{(\Omega )}^{3}}$, то для второго слагаемого в силу (42) имеем Тем самым, $({{{\mathbf{E}}}_{m}} \cdot \nabla {{\rho }_{m}},h) \to ({\mathbf{E}}{\kern 1pt} *\; \cdot \nabla \rho {\kern 1pt} *,h)$ при $m \to \infty $ для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Далее рассмотрим третье слагаемое:

Так как ${\text{|}}\rho {\kern 1pt} *{\text{|}}\rho {\kern 1pt} *h \in {{L}^{2}}(\Omega )$, то согласно (42) для второго слагаемого в (50) имеем

Первое слагаемое в (50) перепишем в виде

В силу (42) и равномерной ограниченности по $m$ величин ${{\left\| {{{\beta }_{m}}} \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}$, ${{\left\| {{{\rho }_{m}}} \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}$ для каждого слагаемого в правой части (51) получаем

Следовательно, $({{\beta }_{m}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\rho }_{m}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\rho }_{m}},h) \to (\beta {\kern 1pt} *{\kern 1pt} {\text{|}}\rho {\kern 1pt} *{\kern 1pt} {\text{|}}\rho {\kern 1pt} *,h)$ при $m \to \infty $ для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Поскольку функционал $J$ слабо полунепрерывен снизу на $X \times K$, то из (41) получаем, что $J({\mathbf{x}}{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *) = J{\kern 1pt} *$. Теорема 4.1 доказана.

Замечание 4.1. Ясно, что все функционалы качества из (40) удовлетворяют условиям теоремы 4.1.

5. ВЫВОД СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Через

обозначим пространства, двойственные к пространствам $X$ и $Y$, введенным в разд. 4.

Несложно показать, что производная Фреше от оператора $F:X \times K \to Y$ по состоянию ${\mathbf{x}}$ в любой точке $({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}) = (\hat {\rho },{\mathbf{\hat {E}}},\hat {d},\hat {\beta },\hat {f})$ является линейным непрерывным оператором $F_{{\mathbf{x}}}^{'}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}):X \to Y$, который каждому элементу $(\tau ,{\mathbf{e}}) \in X$ ставит в соответствие элемент

Здесь ${{\hat {y}}_{1}} \in {{H}^{{ - 1}}}(\Omega )$ и ${{\hat {y}}_{2}} \in L_{0}^{2}(\Omega )$ определяются по паре $(\hat {\rho },{\mathbf{\hat {E}}})$ и $(\tau ,{\mathbf{e}})$ с помощью следующих соотношений: Через $F_{{\mathbf{x}}}^{'}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}){\kern 1pt} *:Y{\kern 1pt} * \to X{\kern 1pt} *$ обозначим сопряженный к $F_{{\mathbf{x}}}^{'}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u})$ оператор.

Следуя общей теории гладко-выпуклых экстремальных задач (см. [23]), введем элемент ${\mathbf{y}}{\kern 1pt} * = (\theta ,\sigma ) \in Y{\kern 1pt} * = H_{0}^{1}(\Omega ) \times {{L}^{2}}(\Omega )$, на который будем ссылаться, как на сопряженное состояние, и введем Лагранжиан $\mathcal{L}:X \times K \times \mathbb{R} \times Y{\kern 1pt} * \to \mathbb{R}$ по формуле

Доказательство следующей теоремы проведем по схеме, предложенной в гл. 6 из [19].

Теорема 5.1. Пусть выполняются условия (i)–(iii) и (j)–(jjj) и элемент $({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}) \in X \times K$ является точкой локального минимума для задачи (39). Предположим, что функционал качества $I:X \to \mathbb{R}$ непрерывно дифференцируем по Фреше по состоянию ${\mathbf{x}}$ в точке ${\mathbf{\hat {x}}}$. Тогда:

$1)$ существует ненулевой множитель Лагранжа $({{\lambda }_{0}},{\mathbf{y}}{\kern 1pt} *) = ({{\lambda }_{0}},\theta ,\sigma ) \in {{\mathbb{R}}^{ + }} \times Y{\kern 1pt} *$, с которым выполняется уравнение Эйлера–Лагранжа $F_{{\mathbf{x}}}^{'}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}){\kern 1pt} *{\mathbf{y}}{\kern 1pt} * = - {{\lambda }_{0}}J_{{\mathbf{x}}}^{'}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u})\;в\;X{\kern 1pt} *$, эквивалентное соотношениям

и справедлив принцип минимума $\mathcal{L}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u},{{\lambda }_{0}},{\mathbf{y}}{\kern 1pt} *) \leqslant \mathcal{L}({\mathbf{\hat {x}}},u,{{\lambda }_{0}},{\mathbf{y}}{\kern 1pt} *)$ для всех $u \in K$, эквивалентный неравенствам

$2)$ если, к тому же, выполняется условие

то любой нетривиальный множитель Лагранжа $({{\lambda }_{0}},{\mathbf{y}}{\kern 1pt} *)$, удовлетворяющий (54)–(58), является регулярным, т.е. имеет вид $(1,{\mathbf{y}}{\kern 1pt} *)$ и определяется единственным образом по заданной паре $({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u})$.

Доказательство. Согласно гл. 2 из [23] для доказательства существования множителя Лагранжа $({{\lambda }_{0}},{\mathbf{y}}{\kern 1pt} *)$ достаточно показать, что $F_{{\mathbf{x}}}^{'}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}):X \to Y$ – фредгольмов оператор. В силу (52) оператор $F_{{\mathbf{x}}}^{'}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}):X \to Y$ можно представить в следующем виде:

Здесь ${{\Phi }_{2}}({\mathbf{x}}) = \operatorname{div} {\mathbf{E}} - (1{\text{/}}\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}){\kern 1pt} \tau $ для всех ${\mathbf{x}} = (\tau ,{\mathbf{E}}) \in X$ и операторы ${{\Phi }_{1}}$ и ${{\hat {\Phi }}_{1}}:X \to Y$ определяются формулами

Покажем, что оператор $\Phi = ({{\Phi }_{1}},{{\Phi }_{2}}):X \to Y$ является изоморфизмом. Для этого достаточно показать, что для любой пары $(f,s) \in Y$ существует единственное решение $(\tau ,{\mathbf{e}}) \in X$ линейной задачи

Из леммы 2.1 и условия (iii) вытекают непрерывность и коэрцитивность билинейной формы ${{a}_{1}}$ с константой ${{\lambda }_{*}} = {{d}_{0}}{{\delta }_{1}}$. Тогда по теореме Лакса–Мильграма существует единственное решение $\tau \in H_{0}^{1}(\Omega )$ задачи (61), для которого справедлива оценка

Тогда в силу леммы 2.2 для любой функции $s \in {{L}^{2}}(\Omega )$ существует единственное решение ${\mathbf{e}} \in \tilde {H}_{N}^{1}(\Omega )$ задачи (62) и справедлива оценка

Докажем, что оператор $\hat {\Phi } = ({{\hat {\Phi }}_{1}},0):X \to Y$, определенный формулой (60), является непрерывным и компактным. Поскольку пространство ${{H}^{1}}{{(\Omega )}^{3}}$ непрерывно и компактно вложено в ${{L}^{4}}{{(\Omega )}^{3}}$, то данное утверждение вытекает из оценки

В таком случае оператор $F_{{\mathbf{x}}}^{'}({\mathbf{x}},u):X \to Y$ является фредгольмовым, как сумма изоморфизма $\Phi :X \to Y$ и компактного оператора $\hat {\Phi }:X \to Y$.

Для доказательства второго утверждения теоремы 5.1 достаточно доказать, что однородная система (54), (55) (при ${{\lambda }_{0}} = 0$) имеет только тривиальное решение ${\mathbf{y}}{\kern 1pt} * = (\theta ,\sigma ) \equiv {\mathbf{0}}$.

Предположим противное, т.е., что существует по крайней мере одно нетривиальное решение ${\mathbf{y}}{\kern 1pt} * = (\theta ,\sigma ) \in Y{\kern 1pt} *$ системы (54), (55) при ${{\lambda }_{0}} = 0$, в которой элементы ${\mathbf{\hat {x}}} = (\hat {\rho },{\mathbf{\hat {E}}})$ и $\hat {u} = (\hat {d},\hat {\beta },\hat {f})$ связаны соотношением $F({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}) = 0$.

Подставим $\tau = \theta $ и ${\mathbf{e}} = {\mathbf{\tilde {e}}}$, такое что $\operatorname{div} {\mathbf{\tilde {e}}} = \sigma $ в $\Omega $, в (54), (55). Существование указанной функции ${\mathbf{\tilde {e}}}$ вытекает из леммы 2.2, причем справедлива оценка ${{\left\| {{\mathbf{\tilde {e}}}} \right\|}_{{1,\Omega }}} \leqslant {{C}_{N}}{{\left\| \sigma \right\|}_{\Omega }}$. В результате приходим к соотношениям

Из (66) с учетом (7) и (19) выводим оценку Используя (67) и коэрцитивность формы ${{a}_{1}}$, из (65) приходим к неравенству Из (68) вытекает, что если выполняется (59), то ${{\left\| \theta \right\|}_{{1,\Omega }}} = 0$ или $\theta = 0$ в $\Omega $. Тогда из (67) получаем, что $\sigma = 0$, но это противоречит предполагаемой нетривиальности множителя Лагранжа $(\theta ,\sigma )$. Единственность и регулярность множителя Лагранжа $(1,{\mathbf{y}}{\kern 1pt} *)$ при условии (59) вытекают из фредгольмовости оператора ${{F'}_{{\mathbf{x}}}}({\mathbf{\hat {x}}},\hat {u}):X \to Y$. Теорема 5.1 доказана.

6. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

В данном разделе докажем локальную единственность решения задачи управления

отвечающую функционалу качества ${{I}_{1}}$ в (40), роль управления в которой играет только одна функция $f$.

Пусть выполняются следующие условия:

(j)' $K \subset {{L}^{2}}(\Omega )$ – непустое выпуклое замкнутое множество;

(jj)' ${{\mu }_{0}} > 0$, ${{\mu }_{1}} \geqslant 0$, множество $K$ ограничено или ${{\mu }_{i}} > 0$, $i = 0,1$.

Из теоремы 2.1 вытекают оценки

Положим

Для удобства разобьем доказательство единственности решения задачи (69) на отдельные этапы.

1. Вывод оценок норм разностей $\rho $ и ${\mathbf{E}}$ через норму разности управлений $f$.

Для этого вычтем уравнения (11), (12), записанные при $({{\rho }_{2}},{{{\mathbf{E}}}_{2}},{{f}_{2}})$, из уравнений (11), (12) для $({{\rho }_{1}},{{{\mathbf{E}}}_{1}},{{f}_{1}})$. Рассуждая, как при выводе (21), (22), получаем

Из (73) в силу леммы 2.2 вытекает оценка С учетом (74), рассуждая как при доказательстве локальной единственности решения задачи 1, при выполнении условия из неравенства приходим к следующей оценке: С учетом (77) оценка (74) примет вид

2. Вывод оценок для множителей Лагранжа ${{\theta }_{i}}$ и ${{\sigma }_{i}}$, $i = 1,2$.

Предполагая, что выполняются условия теоремы 5.1, запишем (54), (55) при $I = {{I}_{1}}(\rho ) = \left\| {\rho - {{\rho }^{d}}} \right\|_{Q}^{2}$, ${{\lambda }_{0}} = 1$ для $({{\rho }_{i}},{{{\mathbf{E}}}_{i}},{{\theta }_{i}},{{\sigma }_{i}})$. Будем иметь

В силу леммы 2.2 существуют функции ${{{\mathbf{\tilde {e}}}}_{i}}$ такие, что $\operatorname{div} {{{\mathbf{\tilde {e}}}}_{i}} = {{\sigma }_{i}}$ и ${{\left\| {{{{{\mathbf{\tilde {e}}}}}_{i}}} \right\|}_{{1,\Omega }}} \leqslant {{C}_{N}}{{\left\| {{{\sigma }_{i}}} \right\|}_{\Omega }}$, $i = 1,2$. Полагая ${\mathbf{e}} = {{{\mathbf{\tilde {e}}}}_{i}}$ в (80), приходим к неравенству Полагая $\tau = {{\theta }_{i}}$ в (79), с учетом лемм 2.1 и 2.2 и оценки (81) при выполнении условия получаем оценку для ${{\theta }_{i}}$: С учетом (83) из (81) получаем оценку для ${{\sigma }_{i}}$:

3. Вывод оценок норм $\theta $ и $\sigma $ через норму $f$.

В дополнение к (71) положим $\theta = {{\theta }_{1}} - {{\theta }_{2}}$ и $\sigma = {{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{2}}$ и вычтем равенства (79), (80), записанные при $i = 2$, из (79), (80) при $i = 1$. Будем иметь

Рассуждая, как при выводе (84), из (86) с учетом (77) приходим к неравенству

Подставим $\tau = \theta $ в (85). Применяя неравенство Гёльдера и оценки леммы 2.1, с учетом (77), (78) будем иметь

При выполнении условия (82) из (88) выводим оценку для разности $\theta $: С учетом (89) из (87) получаем оценку для разности $\sigma $:

4. Вывод основного неравенства.

Полагая в (85) $\tau = \rho $, получим

Положим теперь $h = \theta $ в (72). Будем иметь Вычитая (92) из (91), получим

Положим $f = {{f}_{1}}$ в неравенстве (58) (при ${{\lambda }_{0}} = 1$ и при ${{\mu }_{2}} = {{\mu }_{1}}$ согласно (70)), записанном для $({{f}_{2}},{{\theta }_{2}})$, и положим $f = {{f}_{2}}$ в (58) при $({{f}_{1}},{{\theta }_{1}})$. Будем иметь

Складывая эти неравенства, приходим к оценке С учетом (95) из (93) получаем основное неравенство

5. Оценка слагаемых в (96) через норму разности $f$.

Применяя неравенство Гёльдера, оценки леммы 2.1 и используя (70), (77), (78), (83), (89) и (90), оценим слагаемые в левой части последнего неравенства:

Пусть выполняются условия

где параметры ${{M}_{\rho }}$, ${{M}_{\theta }}$ и ${{\omega }_{1}}$ введены соответственно в (70), (83) и (88).

Тогда из (96), (77) и (78) вытекает, что $f = 0$, $\rho = 0$ и ${\mathbf{E}} = {\mathbf{0}}$ в $\Omega $.

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 6.1. Пусть в дополнение к условиям (i)–(iii) и (j)', (jj)' выполняются условия (75) и (97). Тогда задача управления (69) имеет единственное решение $(\rho ,{\mathbf{E}},f) \in H_{0}^{1}(\Omega ) \times \tilde {H}_{N}^{1}(\Omega ) \times K$.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе обоснована корректность задачи моделирования зарядки неоднородного полярного диэлектрика и проведен качественый анализ свойств ее решения. При этом обобщены результаты [15] по исследованию разрешимости краевой задачи (1)–(3), полученные при $\beta \equiv 1$. Здесь отметим работы [24–26] по исследованию схожих реакционно-диффузионных моделей, также учитывающих зависимость аналогичной нелинейности от пространственных переменных, которая описывает неоднородность протекания химической реакции в рассматриваемой области.

Одним из основных результатов настоящей работы является доказательство разрешимости задачи управления при минимальной гладкости используемых в ней мультипликативных управлений и вывод для нее системы оптимальности. На основе анализа данной системы установлены достаточные условия локальной единственности решения задачи распределенного управления. Отметим также аналогичные результаты для близких моделей тепломассопереноса, сложного теплообмена и поляризационных процессов, полученные в работах [27–31].