Зоологический журнал, 2023, T. 102, № 3, стр. 349-353

Описание бутстрэп метода

Метод бутстрэп анализа позволяет оценить параметры экспериментальной выборки (дисперсию, среднее и пр.) путем искусственного увеличения размера выборки. Исследователи используют результаты вычислений по синтетическим выборкам, собранным из исходных реальных данных, и предполагают, что синтетические выборки являются выборками с такой же функцией распределения, как и исходная выборка (Efron, 1979). При этом анализируется большое число “искусственных” выборок, называемых бутстреп-выборками. Обычно случайным образом генерируется несколько тысяч выборок. Для создания искусственной выборки (y₁, y₂, .., y_n) из исходной (x₁, x₂, .., x_m) выберем на первом шаге случайным образом один из элементов исходной выборки (пусть x_i) и запишем его первым элементом искусственной выборки (y₁). Затем вернем этот элемент (x_i) обратно в исходную выборку. Далее выберем второй элемент для искусственной выборки (y₂) снова из полной исходной выборки (x₁, x₂, .., x_m). Пусть это элемент (x_j), при этом j может быть равно i, т.е. любой элемент исходной выборки может повториться несколько раз в искусственной выборке. Повторим описанную процедуру случайного выбора n раз (до желаемой длины выборки).

Таким образом, бутстрэп предполагает случайный выбор с возвращением, т.е. выбранные элементы исходных данных возвращается в выборку и далее могут быть снова выбраны. На каждом шаге мы выбираем элемент исходной выборки с вероятностью 1/m. В итоге имеем новую выборку в n элементов, набранную из m элементов исходной выборки. При этом n может быть как больше, так и меньше m, элементы исходной выборки могут повторяться в новой неоднократно либо могут вообще в нее не попасть. Таких выборок генерируется необходимое количество по желанию исследователя, в данном случае мы остановились на 100 000, что легко достижимо для современных компьютеров.

На основе собранных бутстрэпом выборок можно проводить различный анализ данных: считать среднее, вычислять ошибку и прочее, все то, что можно и планировалось сделать на оригинальных данных. Стоит заметить, что бутстрэп метод реализован во многих пакетах анализа данных (MATLAB, Statistica, R, PopTools для Microsoft Exel), однако нами метод был реализован самостоятельно в собственной программе, чтобы избежать скрытых настроек и неконтролируемых параметров в этих программах. Математическая реализация осуществлялась строго по оригинальной статье Эфрона.

Описание метода визуализации (“треугольные графики”)

Данный метод визуализации был применен нами в ситуации, когда исследуемое животное совершало выбор из трех вариантов. Выбор не был абсолютным (т.е. животное не выбирало постоянно и однозначно один вариант, а имело набор сочетаний всех трех вариантов, предоставленных для выбора). При этом необходимо было наиболее наглядно представить данные и проверить гипотезу о том, что у животного в исследовании есть предпочтение какого-либо из предоставляемых вариантов.

Нами был выбран равносторонний треугольник, где каждая из вершин была возможным вариантом выбора. Внутри треугольника отмечали точки, соответствующие пропорции выбора вариантов. Чем чаще животное совершало определенный выбор, тем ближе точка оказывалась к одной из вершин. Если животное совершало всегда один и тот же выбор, то точка оказывалась в соответствующей вершине треугольника. Данный метод является обобщением общепринятого представления выбора из двух вариантов для выбора из трех (стоит заметить, что метод можно обобщить и на большое число выборов, хотя это отразится на наглядности). Традиционная оценка для выбора из двух вариантов это N₁/(N₁ + N₂), где N₁, N₂ количество выборов первого и второго варианта соответственно. При появлении третьего варианта выбора картина становится сложнее. Можно рассматривать пары выборов и сравнивать их между собой, но это неудобно. Однако при рассмотрении только двух выборов, они оказываются равноудалены один от другого. Точка безразличия оказывается посередине. При добавлении третьего выбора он также должен оказаться равноудален от двух других выборов. Визуально это ложится в равносторонний треугольник, где вершины – три варианта выбора. Точка безразличия оказывается в центре треугольника. Положение (координаты в треугольнике со стороной 1) точки выбора вычисляется следующим образом:

где N_1–3 – абсолютное значение выбора каждого варианта. Точка безразличия оказывается в координатах (${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$; ${{\surd 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{\surd 3} 6}} \right. \kern-0em} 6}$).

Положение точек в пространстве можно анализировать: расположение, плотность группировки и пр. В результате такой график позволяет проверять различные гипотезы.

Описание животных и эксперимента

Описанная комбинация методов обработки данных была применена нами для анализа поведения при взаимодействиях взрослых самцов и детенышей нильских крыланов (Rousettus aegyptiacus). Работа проводилась на базе Московского зоопарка, в искусственной колонии, созданной более 20 лет назад. В нашем эксперименте участвовали три детеныша (с индивидуальными номерами 116, 141, 142) и три взрослых самца нильского крылана (№ 86, 91, 53). Нами было отмечено, что детеныши (в отсутствие матери, которая улетает кормиться) часто собираются возле взрослых самцов. При этом каждый детеныш имел свои предпочтения по выбору самца. Наблюдения проводились визуально 14 дней. Ежедневная длительность наблюдений составляла 3 ч. Суммарный объем наблюдений составил 42 ч. Методом мгновенной выборки один раз в течение 5 мин оценивалось положение каждого детеныша относительно каждого из взрослых самцов. Если расстояние между самцом и детенышем было меньше половины длины туловища детеныша, то детеныш отмечался “в контакте с самцом”, если расстояние было больше – “вне контакта”. Таким образом, для каждого дня наблюдений получено 36 положений для каждого детеныша и самца. Для каждого дня наблюдений для каждого самца и детеныша были вычислены количество мгновенных выборок положения “в контакте” и доля этого состояния в отношении к общему числу мгновенных выборок. Время, проведенное детенышем около самца, вычислялось не из общего времени наблюдений, а из времени, когда детеныш не висел на матери.

Построение “треугольных графиков”

Используя собранные данные, мы применили наш метод визуализации – треугольный график. На основе абсолютных значений, полученных по каждому дню, строился треугольный график, где вершинами были обозначены все три самца группы. Чем больше детеныш проводит времени возле конкретного самца, тем ближе к одной из вершин оказывается точка. Для каждой точки были определены координаты в формате (x, y) при использовании абсолютного значения времени, проведенного детенышем с каждым из самцов за день наблюдений (см. описание вверху). Расстояние между самцами (длина стороны треугольника) было принято за 100. Для каждого детеныша было определено среднее значение предпочтения (x_s, y_s) в течение 14 дней наблюдений, причем выбор строился на количестве времени, проведенного с каждым самцом за весь период наблюдения.

При наличии большого объема данных можно провести все вычисления на них и не применять дополнительно бутстрэп метод. В нашем же случае оригинальных данных было маловато и, для того чтобы понять, что данных по каждому детенышу достаточно для однозначных выводов, был применен бутстрэп анализ.

Применение бутстрэп анализа

Из экспериментальных данных были сгенерированы (см. выше) по 100 000 выборок для каждого из детенышей. В исходную выборку включены элементы “вне контакта”, т.е. исходная выборка по каждому детенышу: 14 дней по 36 наблюдений (наблюдения ведись по 3 ч), итого 504 элемента. В каждой из 100 000 сгенерированных выборок также было по 504 элемента.

Проверка гипотезы о наличии предпочтения

По 100 000 сгенерированным выборкам было определено среднее количество подсадок детеныша к каждому из самцов. Рассчитанные по бутстрепу средние отличались от средних по исходной выборке менее чем на 0.1%. Также для каждой из этих сгенерированных выборок были посчитаны x_s, y_s (всего 100 000 точек) и нанесены на треугольный график, таким образом было получено распределение возможных результатов. Плотность этого распределения имела ярко выраженный максимум. Вокруг этого максимума были оценены размеры областей, в которые укладываются 50, 90, 95 и 99% всех сгенерированных выборок.

В данном случае эти области были построены следующим методом. Набор теоретических координат x_s, y_s был переведен в карту плотностей n_i, j. Карта плотностей состояла из ячеек 1 на 1 – бинов. Таким образом, n_i, j – количество точек, где координаты (x_s, y_s) удовлетворяют условиям: x_i < < x_s≤ x_i + 1 и y_j < y_s≤ y_j + 1, при этом x_i + 1 = x_i + Δx и y_j + 1 = y_j + Δy. Δx, Δy – шаг по сетке, когда мы строили карту плотностей (у нас по 1), x₁, y₁= 0.

Вычисление размера областей, куда укладывается какая-то часть из выборки, можно делать разными методами. Мы считали таким образом: находили бин (т.е. ячейку), где n_i, j наибольшее. Далее проверялись все прилегающие бины, находился бин с наибольшим значением. Этот бин прибавлялся к максимальному бину, формируя область максимума, и исключался из общего набора. Снова определялся в общем наборе бин с максимальным n_ij из числа прилегающих к полученному пятну, прибавлялся к пятну и исключался из общего набора и т.д. На каждом шаге в этой области вычислялась доля событий, лежащих в этой области относительно всех событий (посадок). Процедура повторялась до тех пор, пока не были определены области, в которые укладывались 50, 90, 95 и 99% от всех посадок.

Полученные этим методом результаты приведены на рис. 1. На том же графике: крест, выделенный синим цветом, обозначает точку безразличия (точка, в которой нет предпочтения ни одного из самцов и которая равноудалена от вершин); зеленым цветом – точку с координатами (x_s, y_s), вычисленную на основе реальных значений, (как описано выше); красным цветом – точку предпочтения, причем средние значения получены бутстрэп методом (см. выше). Пунктирными линиями обозначены границы областей, принадлежащих каждому из самцов.

Для того чтобы узнать, есть ли достоверное предпочтение какого-либо самца, было проведено следующее. Для каждой из трех областей, ограниченных вершиной треугольника и двумя пунктирными перпендикулярами, было посчитано количество точек, которое здесь оказывается (из 100 000). Далее численные значения были переведены в проценты. По этим данным можно судить о предпочтении или, наоборот, об избегании какого-либо из самцов.