Автоматика и телемеханика, № 9, 2020

Нелинейные системы

(Институт проблем машиноведения РАН;

Санкт-Петербургский государственный университет;

Балтийский государственный технический университет,

Санкт-Петербург, Россия),

И.Б. ФУРТАТ, д-р техн. наук (cainenash@mail.ru)

(Институт проблем машиноведения РАН;

Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия)

НАБЛЮДАТЕЛИ ВОЗМУЩЕНИЙ:

МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ. ЧАСТЬ 1. МЕТОДЫ¹

Обзор посвящен изложению истории развития и современного состоя-

ния теоретических методов построения наблюдателей возмущений, по-

явление которых в теории и практике управления восходит к середине

60-х гг. прошлого века и связано с расширением алгебраических методов

синтеза регуляторов, появлением компьютерно-ориентированных проце-

дур синтеза и усложнением круга решаемых задач и стремлением опти-

мизировать процесс управления. В обзоре описываются наблюдатели гар-

монических возмущений, излагается метод внутренней модели, рассмат-

риваются наблюдатели ограниченных возмущений и описываются мето-

ды оценки возмущений с использованием вспомогательных фильтров в

форме передаточных функций и наблюдателей состояния.

Ключевые слова: возмущения, оценивание, наблюдатель.

DOI: 10.31857/S0005231020090019

1. Введение

История появления наблюдателей возмущений в теории и практике управ-

ления восходит к середине 60-х гг. XX в. и связана с расширением ал-

гебраических методов синтеза регуляторов, появлению компьютерно-ориен-

тированных процедур синтеза, с усложнением круга решаемых задач и стрем-

лением оптимизировать процесс управления. В теории оптимального управ-

ления стало уделяться все большее внимание решению таких сложных задач,

как управление нелинейными и многосвязными (MIMO) системами, а исполь-

зуемые в то время методы управления часто оказывались более чувствитель-

ными к возущениям и помехам, чем классические [1]. В начале 1970-х гг.

появились многие публикации о неудаче в применении имеющихся методов

¹ Результаты разделов 1-4 получены при финансовой поддержке Российского фонда

фундаментальных исследований (проект № 18-38-20037). Результаты раздела 5 получе-

ны в ИПМаш РАН в рамках госзадания Минобрнауки РФ (Рег. № НИОКТР АААА-А19-

119120290136-9).

оптимального управления из-за отсутствия робастности синтезированных ре-

гуляторов [2-4]. Решением явилось понимание важности учета при синтезе

регуляторов существенных возмущений, что в 1970-х гг. инициировало раз-

работку методов робастного управления [2, 5-7]. Для снижения чувствитель-

ности к возмущениям обычных наблюдателей состояния (Калмана, Луенбер-

гера) в то время были предложены робастные варианты наблюдателей, учи-

тывающие внешние неизмеряемые возмущения. Сюда же можно отнести и

наблюдателей неизвестных входных сигналов [1, 8-15]. В настоящее время

робастность по отношению к возмущениям и помехам, как и выполнение тре-

бований устойчивости и качества работы системы, стали ключевой задачей

синтеза регуляторов в обратной связи [1]. Как хорошо известно и из класси-

ческой теории управления, робастность по отношению к возмущениям может

достигаться подавлением влияния возмущений обратной связью или их ком-

пенсацией в разомкнутом контуре [16-18]. Возможно также комбинированное

управление, сочетающее оба метода [19, гл. 9].

Поскольку в рассматриваемых в данном обзоре публикациях принято, что

возмущения непосредственно не измеряются, то компенсация в разомкнутом

контуре становится подавлением возмущений по измерениям выхода, т.е. так-

же с помощью обратной связи. В обзорах [20, 21] аннотированы появившиеся

за период 1980-1998 гг. публикации по оцениванию изменяющихся во вре-

мени входных сигналов (в том числе и возмущений) для различных классов

динамических систем.

К публикациям по проблеме идентификации (восстановления) нестацио-

нарного входного сигнала, действующего на динамический объект относятся

публикации по аппроксимационным методам идентификации с использова-

нием глобальной аппроксимации [22-25], локальной аппроксимации [26-29],

по методам на основе теории инвариантных наблюдателей [30, 31], теории об-

ращения и смежных подходов [32-35] и некоторые другие публикации [36-39].

Чтобы преодолеть проблему, возникающую при невозможности непосред-

ственного измерения возмущений для их компенсации в разомкнутом конту-

ре, разработаны наблюдатели, позволяющие оценивать возмущения на основе

доступных измерению переменных состояния объекта и модели его динами-

ки. Робастность регулятора достигается использованием оценок возмущений

вместо их истинных значений. Тем самым неявно синтезируется регулятор

в обратной связи. Поэтому для задач подавления неизмеряемых возмуще-

ний разница между указанными двумя подходами имеет методический ха-

рактер, относящийся больше к способу синтеза регулятора, а не к свойствам

полученной системы. Поскольку для синтеза наблюдателя возмущений ис-

пользуется их представление как процесс на выходе некоторой динамической

системы, которая дополняет модель самого объекта управления, то в боль-

шом числе публикаций такая структура трактуется в качестве реализации

“принципа внутренней модели” (англ. Internal Model Principle), см., на-

пример, [1, 6, 13, 17, 40-52].

Методы синтеза наблюдателей возмущений получили дальнейшее разви-

тие в направлениях применения адаптивного подхода [48, 51, 53-64], скользя-

щих режимов [65-69], нелинейных наблюдателей [70, 71], наблюдателей для

объектов с запаздыванием [57, 59, 60, 63, 72-79] и других. Следует отметить,

что задача оценивания и подавления возмущений может иметь более широ-

кое применение, чем просто парирование влияния внешней среды: под воз-

мущениями можно также понимать неопределенность параметров объекта,

несоответствие принятой модели динамики объекта его поведению и действие

других факторов. Подавление таких возмущений позволяет повысить робаст-

ность системы управления по отношению к данным условиям [80].

В данной части обзора приводятся сведения о теоретических результатах

по наблюдателям возмущений. Оценка возмущений с использованием наблю-

дателей состояния описывается в разделе 2. Оценке возмущений с использо-

ванием вспомогательных фильтров в форме передаточных функций посвя-

щен раздел 3. Наблюдателям ограниченных возмущений посвящен раздел 4.

В разделе 5 описываются наблюдатели гармонических возмущений и связан-

ный с ними метод внутренней модели.

Практическому применению наблюдателей возмущений будет посвящена

следующая часть обзора [81].

В статье используются следующие обозначения и аббревиатуры: R мно-

жество вещественных чисел, C множество комплексных чисел, ОУ объ-

ект управления, ПФ передаточная функция, ИПВ инвариантные по вре-

мени (системы) системы с постоянными параметрами. Для таких систем в

литературе используется также термин “стационарные системы”. ЛМН ли-

нейное матричное неравенство (англ. Linear Matrix Inequality, LMI), SISO

системы системы со скалярными входами и выходами (англ. Single-Input,

Single-Output), MIMO системы системы с векторными входами и выходами

(англ. Multiple-Input, Multiple-Output). Для SISO и MIMO систем в отече-

ственной литературе часто используются термины “одноканальные” (“одно-

связные”) или соответсвенно “многоканальные” (“многосвязные”) системы.

2. Оценка возмущений с использованием наблюдателей состояния

Для решения поставленной задачи оценивания и компенсации адди-

тивных возущений в течение более 60-ти лет известен подход, связанный с

применением наблюдателей состояния (а в стохастической постановке оп-

тимальных фильтров Калмана-Бьюси), см., например, [82-88]. Приведем

краткие сведения.

В реальных условиях измерение вектора состояния ОУ, как правило,

неосуществимо из-за необходимости установки датчиков в труднодоступных

местах, измерения производных высоких порядков и т.д. Еще более сложной

задачей является измерение возмущений. Преодолеть (или уменьшить) эти

трудности можно, если наиболее полно использовать имеющуюся априорную

информацию о модели объекта и текущие измерения его входов и выходов.

С этой целью в систему управления вводится подсистема (алгоритм) оцени-

вания состояния объекта и возмущений. Рассматриваемая задача оценивания

состояния системы по доступной текущей информации о ее входах и выходах

принципиально разрешима, если имеется взаимно однозначное соответствие

между переменными вход-выход и состоянием объекта. Это соответствие име-

ется для полностью наблюдаемых объектов [84-87, 89, 90]. При этом предпо-

лагается, что имеется достаточно полная априорная информация об объекте

в виде его математической модели и значений параметров. Задачи оценива-

ния при неполной априорной информации относятся к робастным [9, 91-93]

или к адаптивным [64, 85, 89, 91, 94, 95].

Рассмотрим модель ОУ в виде уравнений состояния

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + d(t),

(2.1)

y(t) = C(t)x(t) + v(t), x(t₀) = x₀, t ≥ t₀.

Здесь x(t)∈ Rⁿ вектор состояния объекта; u(t)∈ R^m, y(t)∈ R^l входной и

выходной векторы; A(t), B(t), C(t) известные матричные функции. Объ-

ект подвержен действию возмущений d(t) и шума (погрешности) измере-

ний v(t). Во время работы системы датчиками измеряются переменные u(t),

y(t), а переменные x(t), d(t), v(t)

не измеряются. Рассматривается зада-

ча получения оценки состояния объекта x(t), в некотором смысле близкой

к x(t). Для полностью наблюдаемого ИПВ объекта при отсутствии возму-

щений и шумов измерения можно получить асимптотически точную оценку

состояния с любым заданным временем переходного процесса. Более того,

полная наблюдаемость теоретически позволяет построить алгоритм оценива-

ния, обладающий конечным временем сходимости оценок состояния. Влияние

возмущений и шумов измерения приводит к появлению ошибок оценивания.

Наблюдатель состояния (идентификатор состояния, наблюдающее

устройство, наблюдатель) можно представить в виде модели объекта управ-

ления, на вход которой поступает то же управляющее воздействие, что и на

объект управления, и дополнительный сигнал коррекции (обратной связи),

который получается из невязки между выходами объекта и модели. Для ли-

нейных систем наблюдатель описывается уравнением [82-88]

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + L(t)(y(t) - ŷ(t)),

(2.2)

ŷ(t) = C(t)x(t),

x(t₀) = x₀, t ≥ t₀.

Здесь x(t)∈ Rⁿ вектор состояния наблюдателя, служащий оценкой состоя-

ния объекта; ŷ(t)∈ R^l вектор выхода; L(t) подлежащая выбору при син-

тезе (n × l)-матрица коэффициентов обратной связи.

У наблюдателя (2.2) размерность вектора состояния x(t) такая же, как и

у объекта управления (так называемый наблюдатель полного порядка, или

наблюдатель Калмана), и равна n. Порядок наблюдателя можно понизить,

используя непосредственно содержащуюся в выходных переменных информа-

цию о состоянии объекта. Это дает возможность построить алгоритм оценива-

ния порядка n - p, где p = rank C. Такие наблюдатели пониженного порядка

часто называются наблюдателями Луенбергера [82-85]. Известны и наблюда-

тели повышенного порядка адаптивные наблюдатели [64, 85, 89, 94, 95].

Рассмотрим теперь ошибку оценивания ε(t) = x(t) - x(t). Вычитая из (2.1)

уравнение (2.2), получим

(2.3)

ε(t) = (A(t) - L(t)C(t)) ε(t) + d(t) - L(t)v(t), ε(t₀) = ε₀, t ≥ t₀.

Как видно из (2.3), источниками ошибки ε(t) являются начальное рассогла-

сование ε₀ = x₀ - x₀, возмущение d(t) и помеха измерений v(t). Динамика

переходного процесса ε(t) определяется матрицей A_obs(t) = A(t) - L(t)C(t).

Если матрица A_obs постоянна (не меняется со временем), то динамика ε(t)

определяется ее собственными числами. Если эти собственные числа имеют

отрицательные вещественные части, а возмущения d(t) и шумы v(t) отсут-

ствуют, то lim_t→∞ ε(t) = 0 для любых начальных значений x₀, x₀. Матри-

ца A_obs зависит от A, C и от выбираемой при синтезе матрицы L. Как из-

вестно [84-87, 90], для полностью наблюдаемого объекта всегда имеется такая

матрица L, что собственные числа матрицы A_obs будут заданными. Матри-

ца L влияет и на точность процесса оценивания при внешних воздействиях.

Как видно из (2.3), это влияние оказывается разным по отношению к возму-

щениям d(t), с одной стороны, и помехам измерений v(t) с другой. Поэтому

при определении L следует учитывать характеристики внешних воздейст-

вий, обеспечивая компромисс между требованиями быстродействия и точ-

ности системы. Обычно повышение быстродействия связано с увеличением

элементов матрицы L и, следовательно, с подавлением влияния возмущений

и усилением действия помех измерения. Для более детального анализа мож-

но использовать передаточные функции по ошибке от возмущений W^εd(s) и

помех W^εv(s), определяемые формулами:

(2.4)

W^εd(s) = (sI_n - A + LC)^-1 , W^εv(s) = - (sI_n - A + LC)^-1

Оптимальный в стохастическом смысле выбор матрицы L(t) приводит к оп-

тимальному фильтру Калмана-Бьюси [86].

Перейдем к задаче оценивания возмущений и помех. Как видно из (2.3),

неизмеряемые внешние воздействия (возмущения и помехи) приводят к по-

явлению дополнительных составляющих ошибки оценивания переменных со-

стояния и снижают точность системы управления. Уменьшить их влияние

можно путем совместного оценивания состояния ОУ и неизмеряемых внеш-

них воздействий.

Основная идея использования наблюдателей для оценивания возмущений

и помех измерения состоит в следующем [84, 85, 96]. Для внешних воздейс-

твий строится некоторая математическая модель (“модель внешней среды”,

англ. “internal model of disturbances”) [6, 13, 17, 41-44]. В этой модели воз-

мущения обычно представлются как решения системы однородных диффе-

ренциальных (или разностных) уравнений с известными коэффициентами и

неизвестными начальными условиями, в которых и содержится вся неопреде-

ленность относительно внешних воздействий². Затем модель внешних воздей-

ствий объединяется с моделью объекта управления, и для полученной расши-

ренной системы строится наблюдатель. Полученные с помощью наблюдате-

ля оценки содержат как собственно оценки состояния объекта, так и оценки

внешних воздействий. Естественно, что для этого требуется полная наблю-

даемость расширенной системы.

Подход к синтезу систем управления на основе постулирования динами-

ческих моделей для отдельных подсистем и сигналов нашел широкое приме-

нение и называется “принципом внутренних моделей” (“internal model prin-

ciple”). Для построения эффективных алгоритмов проектирования, оценива-

² Случай неизвестных параметров модели среды рассматривается в рамках теории

адаптивного оценивания [56, 58, 64, 85, 87-89, 95, 97].

ния, управления системами модели в виде уравнений состояния могут зада-

ваться не только для возмущающих воздействий, но и для помех измерений,

командных сигналов (“эталонные модели”), динамики изменения параметров

объекта и т.д.

Процедура синтеза выглядит достаточно просто, если внешние процессы

∑_N

можно представить как квазимногочлены выражения вида

eλitP_i(t),

i=1

где λ_i ∈ C известные постоянные, P_i(t)

многочлены с заданными ко-

эффициентами [85, 98, 99]. Сюда относятся степенные функции, гармоники

с заданной частотой, экспоненты с заданным показателем затухания, про-

изведения гармоник на экспоненты и их линейные комбинации. Рассмотрим

процедуру оценивания для этого случая более подробно.

Пусть внешние воздействия d(t), v(t) можно представить в виде процессов

на выходе линейной системы, заданной уравнениями

(2.5)

s(t) = As(t)xs(t), ys(t) = Csxs(t), xs(t0) = xs₀ , t ≥ t0.

Здесь x_s(t) ∈ Rns

вектор состояния “среды”, y_s(t)∈ R^n+l

выход мо-

дели источника возмущений вектор внешних по отношению к объекту

[C_d]

воздействий, y_s(t) = col {d(t), v(t)}; A_s, C_s известные матрицы; C_s =

;

C_v

C_d, C_v - подматрицы размеров n × n_s, l × n_s, определяющие связь между

состоянием x_s(t) модели внешних воздействий, возмущениями d(t) и поме-

хами v(t) в (2.1). Начальное состояние xs0 системы (2.5) неизвестно. Вве-

дем расширенный вектор состояния, включающий состояние объекта и сре-

ды: x(t) = col {x(t), x_s(t)}∈ Rn+ns . Объединяя уравнения (2.1), (2.5), полу-

чим уравнения расширенной системы в виде

(2.6)

x(t)=A¯x(t)+ Bu(t),y(t)=

Cx(t),

x(t₀) = x₀, t ≥ t₀,

в которых матриц

A,B

C имеют следующую блочную структуру:

[

]

[

]

A C_d

(2.7)

C = [C, C_v

0ns×n As

0ns×m

Расширенная система (2.6) рассматривается как некоторый новый объект по-

рядка n = n + n_s, для которого строится наблюдатель (2.2).

Рассмотрим возможность приведения системы с компенсацией возмуще-

ния с помощью наблюдателя (2.2) для расширенной системы (2.6) с “внут-

ренней моделью” возмущений [6, 13, 17, 41-44] к традиционному виду с кор-

ректирующими звеньями в прямой цепи и местной корректирующей обратной

связью [19, 100-102], аналогичным (3.2). Для определенности будем считать,

что возмущение d(t) скалярная переменная, действующая аддитивно со

скалярным управлением u(t). Структурная схема системы представлена на

рис. 1.

Здесь через u_r(t) обозначено воздействие, вырабатываемое регулятором с

ПФ R(s) в главной обратной связи, через u(t) сигнал управления, посту-

пающий на объект с передаточной функцией (ПФ) P (s), на который действу-

u_r

R(s)

P(s)

Q(s)

----

P_n(s)

Рис. 1. Структура системы управления с компенсацией возмущений по [103].

ет аддитивное возмущение d(t), которое считается низкочастотным и описы-

вает как воздействие со стороны среды, так и нелинейность и неопределен-

ность модели ОУ. (Стоит заметить, что при неопределенности и нелинейности

ОУ d(t) зависит от его состояния, что следует учитывать при анализе.) Вы-

ход объекта y(t) измеряется вместе с аддитивным “шумом измерения” ζ(t),

который предполагается высокочастотным. Чере

d(t) обозначена оценка воз-

мущения, вырабатываемая как разность между фильтрованным сигналом

управления δ = Q(s)u и выходом фильтра сигнала измерений с передаточ-

ной функцией Q(s)P_n(s)^-1. Передаточная функция P_n(s) соответствует “но-

минальной” модели объекта. Управление u(t) получается как разность между

сигналом u_r(t) и оценкой возмущени

d(t).

Найдем связь между сигналами u_r(t) (выходом регулятора в цепи глав-

ной обратной связи, v(t) = y(t) + ζ(t) (сигналом измерений выхода), с одной

стороны, и управлением u(t) с другой. В качестве примера, используем

следующие приведеные в [103] выражения для передаточных функций:

k₀

k_Ds² + k_P s + k_I

P_n(s) =

R(s) =

Q(s) =

(T s + 1)s

τs² + 2τs + 1

При синтезе наблюдателя для расширенной системы (2.6) возмущение d(t)

считаем неизвестной постоянной величиной

d(t) = 0, а модель шума измере-

ний ζ(t) в процесс оценивания включать не будем.

, запишем следующие уравнения

Для ОУ, имеющего ПФ P_n(s)

Ts+1)s

состояния в канонической форме фазовой переменной [84, 85]:

{

x₁(t) = x₂(t),

y(t) = x₁(t),

(2.8)

(

))

x₂(t) = T^-1

-x₂(t) + k₀

u(t) + d(t)

Введем матрицу (вектор-строку)

C_d ∈ R1×ns так, что для расширенного

наблюдателя имеет мест

d(t)

C[dx(t). (] рассмотренном выше примере, так

ка

d(t) = x₃(t), выполнен

C_d =

.) По уравнениям состояния наблю-

дателя расширенной системы с матрицами (2.7)

C_d получим его передаточ-

ные функции

(s)

от сигнала управления u к оценке возмущени

d и

(s)

от сигнала измерений v = y + ζ

d. Получим

(2.9)

(s)

C_d(sI - A_obs)^-1 B,

(s)

C_d(sI - A_obs)^-1

(

)

Учитывая что u(t) = u_r(t)

d(t), запишем

(s) u = u_r -

(s)v, от-

куда следует что

W_v

(s)

(2.10)

W₁(s) =

W₂(s) =

(s)

где

(s),

(s) приведены в (2.9).

В [104] рассмотрен синтез линейных регуляторов для линейных с постоян-

ными параметрами (ИПВ, англ. - linear time-invariant, LTI ) ОУ с векторными

входом и выходом, обеспечивающих заданное расположение корней характе-

ристического многочлена замкнутой системы, и асимптотическое подавление

постоянных возмущений. Рассматриваются ОУ, заданные уравнениями со-

стояния

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + d(t),

(2.11)

y(t) = Cx(t), x(t₀) = x₀, t ≥ t₀,

где x(t)∈ Rⁿ вектор состояния; u(t)∈ R^m (m ≤ n), y(t)∈ R^l входной и вы-

ходной векторы; A, B, C матрицы соответствующих размеров. Принято,

что rank C = l. Неизвестное и неизмеряемое возмущение d(t)∈ Rⁿ представля-

ет собой сумму импульсных (δ-Дирака) или ступенчатых (единичная функция

Хевисайда 1(t)) вектор-функций, возникающих на ограниченном временном

интервале, а именно: считается, что для некоторых натуральных p₁, p₂ и по-

ложительных T₁, T₂ < ∞ выполнено

∑

d(t) =

d¹ⁱ(t) · 1(t - t^∗i) +

d^2j · δ(t - t^∗j),

i=1

j=1

0 ≤ t^∗i ≤ T₁ < ∞, i = 1,...,p₁,

(2.12)

0 ≤ t^∗j ≤ T₂ < ∞, j = 1,...,p_j,

причем для вектор-функций d¹ⁱ(t)∈ Rⁿ выполнено

(2.13)

lim

d¹ⁱ(t)

d¹ⁱ,

d¹ⁱ

∥ < ∞.

t→∞

Требуется найти минимальный реализуемый динамический ИПВ регуля-

тор в обратной связи, решающий задачу модального управления [84-86, 89,

105], т.е. обеспечивающий заданное, с отрицательными вещественными ча-

стями расположение полюсов замкнутой системы (при естественных усло-

виях комплексной сопряженности невещественных полюсов и полной управ-

ляемости ОУ) и асимптотическое стремление выхода y(t) к нулю для всех

возмущений d(t) указанного класса.

Замечание 1. С нашей точки зрения, в обобщенном представлении воз-

мущений (2.12) нет необходимости, и оно только усложняет восприятие ос-

новной идеи. Действительно, в силу свойств суперпозиции и инвариантности

во времени ИПВ систем достаточно рассмотреть только случай p₁ = p₂ = 1 и

совместить моменты времени t₀, t^∗1, t^∗2, полагая t₀ = t^∗1 = t^∗2 = 0. Кроме того,

естественным образом (см., например, [85]) δ-образное воздействие d²¹ · δ(t)

пересчитывается в начальные условия: x(0₊) ≡ lim_t→0

x(t) = x₀ + d²¹, и зату-

t>0

хание реакции y(t) на такое возмущение тривиально следует из асимптотиче-

ской устойчивости замкнутой системы. Следовательно, δ-образную компонен-

ту возмущений можно не включать. Что касается компоненты d¹¹(t) · 1(t - t^∗1),

то при t₀ = t^∗1 = 0 выполнено 1(t - t^∗1) ≡ 1, поэтому этот сомножитель мож-

но не записывать. Таким образом, возмущение имеет смысл представить в

виде d(t) ≡ d¹¹(t) с условием (2.13). В силу этого условия d¹¹(t) можно пред-

ставить как сумму ограниченного затухающего сигнала и постоянной состав-

ляюще

d¹ⁱ. Поскольку реакция асимптотически устойчивой линейной систе-

мы на ограниченный затухающий сигнал тоже стремится к нулю, то указан-

ное выше требование компенсации возмущений обеспечивается известным в

классической теории управления свойством астатизма по возмущению, ко-

торое может быть обеспечено введением интегральной составляющей (И-,

ПИ-, ПИД-регулятор) в закон управления [19, 102]. К такому управлению

приводит и работа [104]. Некоторая специфика заключается в рассмотрении

многосвязных (MIMO) систем.

Основной результат работы [104] заключается в том, что искомый закон

управления минимального порядка (равного l) имеет вид пропорциональной

обратной связи по состоянию и интегральной по выходу:

∫^t

(2.14)

u(t) = K₁x(t) + K₂ y(τ) dτ + u₀,

где K₁ ∈ R^m×n, K₂ ∈ R^m×l матричные коэффициенты регулятора, значе-

ние вектора u₀ ∈ R^m несуществененное (например, им могут быть начальные

состояния интеграторов или приведенные ко входу системы δ-образные ком-

поненты возмущения, см. замечание 1). Обратная связь по состоянию слу-

жит для получения желаемого расположения полюсов замкнутой системы, а

интегральная составляющая от выхода y(t) для обеспечения астатизма

первого порядка [19] по возмущению.

Коэффициенты K₁, K₂ должны быть выбраны на основе заданного спек-

тра матрицы уравнений состояния расширенной (включающей интеграторы

выхода) замкнутой системы

]

[A + BK

BK₂

(2.15)

A^∗ =

0_l×l

Матрица A^∗ уравнений состояния замкнутой системы вида (2.15) получает-

ся из (2.11), (2.14), если ввести для интеграторов в (2.14) вектор состояния

v(t)∈ R^l. Этот вектор подчиняется уравнению v(t) = y(t). Введением расши-

ренного вектора состояния x = col {x, v} и после подстановки (2.14) в (2.11)

получим указанную матрицу A^∗ уравнений состояния расширенной системы.

Показано [104, теорема 2], что задача разрешима, если выполнены следую-

щие условия: пара (A, B) - управляема, и

]

[A B

(2.16)

rank

=n+l.

C 0_l×l

Как отмечено в [104], результат не изменится при отклонении параметров

ОУ и регулятора, не нарушающего условий асимптотической устойчивости

матрицы A^∗. Показано, что при отсутствии вариаций матрицы C выполняет-

ся и условие (2.16). Свойство подавления постоянных возмущений независимо

от параметров объекта типично для систем со скалярными входом и выходом

(односвязные системы, англ. single-input single-output, SISO) и с интегра-

лом в контуре управления, так как оно является структурным (не завися-

щим от параметров) [19, 102]. От системы требуется только асимптотическая

устойчивость.

Отметим, что при выполнении (2.16) возможна полная компенсация по-

стоянного возмущения d ∈ Rⁿ управлением u ∈ R^m меньшей размерности.

В выполнении условия согласованности (которое имеет место при возмуще-

нии, действующем аддитивно управлению) тоже нет необходимости. В каче-

стве примера рассмотрим систему

{

x₁(t) = x₂(t) + d₁,

x₁(t) = -a₂x₁(t) - a₂x₁(t) + u(t) + d₂,

(2.17)

y(t) = c₁x₁(t) + c₂x₂

(t),

∫t

(2.18)

u(t) = -k₁x₁(t) - k₂x₂(t) - k_I

y(τ) dτ .

Легко получить, что выход замкнутой системы (2.17), (2.18) отвечает урав-

нению

(2.19)

α(p)y(t) = β₁(p)d₁(t) + β₂(p)d₂

(t),

где α(p), β₁(p), β₂(p)

многочлены от оператора дифференцирования

p = d/dt:

α(p) = p³ + (a₁ + k₂)p² + (a₂ + k₁ + c₂k_I )p + c₁k_I ,

β₁(p) = c₁s² + (a₁c₁ - a₂c₂ + c₁k₂ - c₂k₁)p,

β₁(p) = (c₁p + a₁c₁ - a₂c₂ + c₁k₂ - c₂k₁)p,

β₁(p) = (c₂p + c₁)p.

Условием разрешимости задачи в данном случае будет c₁ = 0, и поскольку

β₁(0) = β₂(0) = 0, то вынужденная составляющая ошибки от постоянных воз-

мущений d₁, d₂ будет равна нулю. Если известны оценк

d₁,

d₂ постоянных

возмущений d₁, d₂, то эффекта их компенсации можно добиться заменой (или

дополнением) интегральной составляющей в законе управления (2.18) ком-

пенсирующим сигналом

u_c =

d₁(a₁c₁ - a₂c₂ + c₁k₂ - c₂k₁)c^-11

d₂

(c₁ = 0).

Заметим, что закон управления с компенсацией возмущений через u_c, в отли-

чие от интегрального (2.18), чувствителен к отклонению параметров от рас-

четных. Кроме того, могут появиться проблемы с оценкой возмущений, так

как ОУ (2.17), расширенный уравнениями внутренней модел

d₁ = 0

d₂ = 0,

при a₁c₁ = a₂c₂ не полностью наблюдаем по компоненте d₁. Далее, при та-

ком сочетании параметров возникает сложность в использовании наблюда-

теля при оценке состояния x(t) для перехода от управления по состоянию

(2.18) к управлению по выходу. Эти трудности устраняются использованием

∫t

вместо (2.18) стандартного ПИ-регулятора u(t) = -k_P y(t) - k_I

y(τ) dτ (см.,

например, [19, 102]). ПИ-регулятор, в отличие от (2.18), не дает возможно-

сти обеспечить здесь заданное расположение полюсов замкнутой системы, но

это требование имеет скорее академическое, чем практическое, значение при

разработке систем управления.

В [40] получены необходимые и достаточные условия управления систе-

мой (2.11) линейным динамическим регулятором при действии неизмеряемых

возмущений d₁(t), . . . , d_n(t), которые можно представить в виде решений сле-

дующего однородного линейного дифференциального уравнения r-го порядка

(2.20)

d^(r)k(t) + α_rd^(r-1)k(t) + ··· + α₂d˙_k(t) + α₁d_k

(t) = 0, k = 1, . . . , n,

с заданными коэффициентами α₁, . . . α_r и неизвестными начальными усло-

виями d^(r-1)k(0), . . .

d_k(0),d_k(0), у которого все корни λ_i, i = 1,... ,r, характе-

ристического многочлена λ^r + α_rλ^(r-1) + · · · + α₂λ + α₁ имеют неотрицатель-

ные вещественные части, Re λ_i ≥ 0. Требуется, чтобы независимо от дейст-

вующих на систему возмущений, ее выход y(t) ∈ R^l асимптотически при-

ближался к вектор-функции y^∗(t) ∈ R^l, компоненты y_k(t) которой известны

заранее и удовлетворяют однородному линейному дифференциальному урав-

нению

(2.21)

y^(r)k(t) + α_ry^(r-1)k(t) + ··· + α₂ y_k(t) + α₁y_k

(t) = 0, k = 1, . . . , l,

с известными начальными условиями y^(r-1)k(0), . . . , y_k(0), y_k(0). Заметим, что

характеристические многочлены “генераторов” возмущений (2.20) и задающе-

го воздействия (2.21) совпадают, поэтому процессы d_k(t) и y_k(t) отличаются

только начальными условиями.

Синтез регулятора выполняется так, чтобы либо оптимизировать задан-

ный интегральный квадратичный функционал [86, 87, 95, 101], либо получить

требуемое расположение полюсов замкнутой системы. Кроме того, обеспе-

чивается ее полная управляемость. Как и в [104], закон управления в [40]

содержит интегральную составляющую.

Условиями разрешимости задачи являются полная управляемость пары

(A, B) и аналогичный публикации [104] ранговый критерий. Критерии, при-

веденные в [104], где рассмотрены постоянные возмущения, и в [12, 13], в

которых принято что rank C = n, получаются из критерия [40] как частные

случаи. Показано, что, как и в [40], полученная система робастна по отно-

шению к вариациям параметров. Отметим, что, хотя описание возмущений

в виде квазимногочленов (решения (2.20)) оправдано и часто используется

на практике, представление программного воздействия y^∗(t) в форме (2.21)

является довольно специфичным. В частности, указанный вид y^∗(t) не поз-

воляет воспользоваться результатами [40] для задачи слежения, в которой

поведение задающего воздействия заранее не известно [19].

Принцип внутренней модели работы [40] нашел применение в статье [106],

которая посвящена классу гибридных систем, образованных семейством

ИПВ подсистем (называемых модами), с дискретными событиями переклю-

чения из одной моды на другую. Рассматриваются переключающиеся (англ.

switching) системы, в которых переключение наступает в зависимости от те-

кущего состояния системы. Ставится задача обеспечения асимптотического

отслеживания периодических траекторий такими системами при условии, что

динамика каждой моды линейна. В [106] показано, как обеспечить робаст-

ность асимптотического слежения по отношению в вариациям параметров у

этого класса гибридных систем.

Задача построения робастных следящих систем (сервомеханизмов) рас-

сматривается в [6, 107]. Получены необходимые и достаточные условия, а

также дана характеристика всех робастных регуляторов, позволяющих осу-

ществлять асимптотическое слежение, независимо от действующих на ОУ

возмущений, погрешности измерения и изменения параметров объекта и ре-

гулятора.

Линейный объект управления с постоянными параметрами в [6] описыва-

ется следующими уравнениями состояния

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Ed(t),

(2.22)

y(t) = C(t)x(t) + Du(t) + F d(t),

где x(t)∈ Rⁿ вектор состояния; u(t)∈ R^m вектор управления, y(t)∈ R^l

вектор выхода (подлежащая управлению переменная); A, B, C, D, E, F

матрицы соответствующих размеров; d(t)∈ Rnd вектор возмущений, содер-

жащий как измеряемые, так и неизмеряемые компоненты. Вводится ошибка

слежения e(t) = y(t) - y^∗(t)∈ R^l, где y^∗(t)∈ R^l задающее (командное) воз-

действие. Предполагается, что вектор возмущений удовлетворяет однородно-

му линейному дифференциальному уравнению

(2.23)

x_s(t) = A_s(t)x_s(t), d(t) = C_sx_s(t), x_s(t₀) = xs0 , t ≥ t₀.

Здесь x_s(t)∈ Rns

вектор состояния модели возмущений (см. также

(2.5)-(2.7)). Пара (A_s, C_s) считается полностью наблюдаемой.

Замечание 2. Наблюдаемость пары (A_s,C_s) с первого взгляда кажется

естественным требованием, но заметим, что ее отсутствие говорит о том, что

Серво-

y_m

ОУ

(I_r, 0)T

компенсатор

K₀

Стабилизирующий

компенсатор

Рис. 2. Обобщенная структурная схема робастного серворегулятора по [6].

некоторые компоненты x_s или их комбинации не участвуют в формировании

возмущения. Следовательно, такая модель была бы избыточной. Выбор же

этой модели определяется не физическими свойствами среды источника

возмущений, а возлагается на разработчика системы управления.

Предполагается, кроме того, что задающее воздействие y^∗(t)∈ R^l также

подчиняется аналогичному однородному уравнению состояния порядка n_y с

матрицами A_y, C_y соответствующих размеров. Пара (A_y, C_y) считается на-

блюдаемой, а начальное значение вектора состояния генератора задающего

воздействия известным (тем самым заранее известно и y^∗(t)). Принято,

что измеряется только сигнал y_m(t) = C_m(t)x(t) + D_mu(t) + F_md(t). При этом

требуется с помощью регулятора обеспечить асимптотическое стремление к

нулю ошибки e(t) при всех начальных значениях состояния объекта и “гене-

раторов” возмущающего и задающего воздействий.

Далее в [6] вводится новый тип компенсатора, называемый сервоком-

пенсатором, который соответствует интегральному регулятору в класси-

ческой теории управления и в обобщенном виде описывается уравнением

ξ = Sξ + Be, e = y - y^∗, где S, B матрицы соответствующих размеров, опре-

деляемые при синтезе, ξ выход сервокомпенсатора. Второй структурой,

входящей в серворегулятор, является стабилизирующий компенсатор ди-

намический регулятор, обеспечивающий устойчивость замкнутой стистемы.

Его выход оценка x состояния ОУ, полученная с помощью наблюдате-

ля по входным сигналам y_m, u, ξ. Окончательно управление u имеет вид

u = K₀x + Kξ с некоторыми выбираемыми при синтезе матрицами K₀, K.

Обобщенная структурная схема робастного серворегулятора по [6] представ-

лена на рис. 2. Эта структура объединяет идею введения в закон управления

интеграла от ошибки (развивая результаты [40, 104]) и метод внутренней мо-

дели в сочетании с наблюдателем для оценивания состояния ОУ и источников

входных сигналов.

Замечание 3. Заметим, что в [6] предполагается, что y^∗(t) известно за-

ранее. Это допустимо для систем программного регулирования [19], но не

для следящих систем, у которых y^∗(t) известно только для моментов времени

s ≤ t. Кроме того, в [6, 40, 107] и ряде следующих работ рассматривается весь-

ма узкий класс функций y^∗(t) (“квазимногочлены” [98, 99]), в то время как

для сервоприводов y^∗(t) может иметь сложный, в том числе случайный харак-

тер. Исходя из принципа суперпозиции можно заметить, что рассмотренные

в этих работах регуляторы обеспечивают инвариантность (стремление ошиб-

ки регулирования к нулю) только частично, а именно для тех составляющих

внешних воздействий, которые описываются принятыми моделями.

Работа [108] посвящена наблюдателю возмущений, названному “оцени-

вающий возмущения фильтр” (англ. Disturbance Estimating Filter, DEO).

В [108] отмечено, что преимуществом наблюдателя возмущений является то,

что он компенсирует влияние возмущений в системе обычным регулятором

в обратной связи без влияния на качество процессов в системе. Это свой-

ство разделения обеспечивает два независимых этапа синтеза всего регуля-

тора: один этап обеспечение качества системы, а другой для подавления

помех. Через несколько лет после введения наблюдателя возмущения этот

подход привел к концепции регулятора с “двумя степенями свободы” (2-dof ),

см., например, [109-111]. В [108] показано, что свойства подавления возму-

щений 2-dof-регулятора для линейных объектов и некоторых методологий

проектирования эквивалентны давно известному наблюдателю возмущений

Джонсона (Johnson), названному “наблюдателем неизвестных входных воз-

мущений” (англ. Unknown Input Disturbance Observer, UIDO) [14]. Авто-

ры [108] отмечают, что в силу эквивалентности результатов термины UIDO

и DEO относятся только к методикам синтеза, а не к наблюдятелям как та-

ковым. В [108] показана также эквивалентность регуляторов, основанных на

наблюдателях возмущений и на обеспечении пассивности. С этой целью пока-

зано, как наблюдатель возмущений может быть преобразован к классической

структуре систем с обратной связью, откуда следует, что любой метод проек-

тирования регуляторов с обратной связью можно использовать для синтеза

наблюдателей возмущений.

Структура наблюдателя возмущений в [108] идентична внутреннему кон-

туру системы управления с компенсацией возмущений работы [103], показан-

ной на рис. 1³. В [108, 112] приведена эквивалентная система наблюдателя

возмущений, соответствующая введению в контур управления последователь-

ного корректирующего звена и местной обратной связи объекта управления,

идентичная представленной уравнениями (3.2) (в [108] сигнал местной обрат-

ной связи поступает на вход последовательного корректирующего звена, что

приводит к ПФ обратной связи W^′2(s) = Q(s)P_n(s)^-1, не такой, как в (3.2).

Принципиального значения это не имеет). В [108] обсуждается выбор филь-

тра Q(s), при котором обеспечивается подавление возмущений, которые мо-

гут быть представлены решениями однородного уравнения pnj d(t) = 0 (где

p = d/dt), т.е. многочленов от t степени n_j - 1. Со ссылкой на метод внутрен-

ней модели в изложении [43] указано, что тогда ПФ фильтра должна иметь

вид

∑

α_ms^m

m=1

(2.24)

Q(s) =

∑

1+ α_ms^m

m=1

³ Точнее говоря, структура [103] идентична структуре [108] как хронологически более

ранней.

где ρ_q

относительная степень Q(s), выбор которой определяется тре-

бованием неотрицательности относительной степени Q(s)P^-1n(s). Коэффи-

циенты α_m, m = 1, . . . , n_q, должны обеспечивать гурвицевость многочлена

∑nq

α_ms^m. Кажущаяся разница c [103] при определении Q(s) состоит в

m=1

том, что в последней работе используется ПИ-регулятор в основном контуре

обратной связи, что и обеспечивает астатизм по возмущению. В [108] этого

регулятора нет и астатизм достигается выбором Q(s). При таком виде Q(s)

выполнено

∑

a_ms^m

m=1

(2.25)

(

1 - Q(s)

∑

snj anj +

anj

+ms^m

m=1

где выполнено n_j = n_q - ρ_q + 1. Как видно из (2.25), для компенсации сте-

пенных возмущений, последовательное корректирующее звено в регуляторе

должно содержать n_j “чистых” интеграторов, что полностью согласуется с

классическим методом обеспечения астатизма системы по отношению к воз-

мущениям [19, гл. 9]. Авторы [108] отмечают, что структура (2.24) была из-

ложена ранее в [109, 110, 113], а в своей работе они предлагают новую (по

отношению к (2.24)) структуру, преимуществом которой является возмож-

ность ее применения к неминимально-фазовым объектам (см. замечание 4).

С этой целью в [108] производится сепарация ПФ объекта управления, т.е.

представление ее числителя произведением устойчивого N_s(s) степени n_s и

неустойчивого N_u(s) степени n_u = n - n_s многочленов:

N (s)

N_u(s)N_s(s)

(2.26)

P_n(s) =

D(s)

Тогда Q(s) формируется в виде

∑

1+ α_ms^m + g_msnj+m-1

m=1

(2.27)

Q(s) =

∑

1+ α_ms^m

m=1

В этой структуре коэффициенты g₁, . . . , g_n выбираются так, чтобы чис-

литель(Q(s) для некоторых r0, .). , rn-1 можно было представить в виде

N_u(s) ·

rnj-1snj-1 + ··· + r1s + r0

. Далее в [108] излагается пошаговая про-

цедура синтеза наблюдателя возмущений с фильтром (2.27), продемонстри-

ровано преобразование наблюдателя возмущений к форме системы с обрат-

ной связью, показана эквивалентность структур с DEF-наблюдателем и с

UIDO-наблюдателем работы [14], обсуждается использование общих моделей

возмущений, попадающих под определение “квазимногочленов” (т.е. решений

(2.20) ), в том числе гармонических процессов. Рассмотрено применение из-

ложенных методов к синтезу систем управления роботами-манипуляторами

с n степенями свободы и систем слежения.

3. Оценка возмущений с использованием вспомогательных фильтров

в форме передаточных функций

В [103], основываясь на предложенном в [114, 115] подходе, рассматрива-

ется система с компенсацией возмущений, структурная схема которой пред-

ставлена на рис. 1. Скорректированная система замыкается обратной свя-

зью по ошибке от задающего воздействия r(t) через регулятор с ПФ R(s).

Заметим, что если шумы измерения отсутствуют, ζ ≡ 0, а P_n(s) ≡ P (s), то

при устойчивости замкнутой системы по окончании переходных процессов

сигнал управления u(t) содержит слагаемое -Q(s)d, которое частично (в по-

лосе пропускания частот фильтра D(s)) компенсирует возмущение d(t). Вы-

бор D(s) производится таким образом, чтобы обеспечить реализуемость (от-

сутствие упреждения, т.е. “идеального дифференцирования”) у звена с ПФ

Q(s)P_n(s)^-1, что достигается, если относительная степень (разность между

порядками знаменателя и числителя) ПФ Q(s) превосходит или равна отно-

сительной степени ПФ P_n(s).

Нетрудно получить, что для номинальных значений параметров, при

P_n(s) ≡ P(s), выходной сигнал y(t) ОУ определяется через входы выраже-

нием

(

)

(3.1)

y = P(s)u_r + P(s)

1 - Q(s)

d + P(s)Q(s)ζ.

С учетом замыкания системы главной обратной связью с регулятором R(s)

по окончании переходных процессов выход y(t) выражается через внешние

воздействия как

(

)

y = D(s)^-1

(P (s)(1 - Q(s))d + (R(s) + Q(s))ζ + R(s)r

где

D(s) = 1 + R(s)P (s).

Отсюда видно, что в области частот ω, для которых |Q(iω)| ≪ 1, происходит

подавление шума измерений, а при |Q(iω)| ≈ 1 подавляется внешнее воз-

мущение. Близкие соотношения (но с дополнительными искажениями) име-

ют место и при некотором отличии между ПФ P(s) и P_n(s). Изложенный

подход, связанный с формированием полосы пропускания системы с подав-

лением возмущений и шумов в характерных для них областях частот, весьма

распространен в инженерной практике (см., например, [19, 100-102]) и вряд

ли представляет собой что-то принципиально новое. Очевидно, что рассмат-

риваемую систему можно представить в виде, типичном для традиционных

систем автоматического управления с последовательным корректируюим зве-

ном и местной отрицательной обратной связью, охватывающей ОУ [19, 102],

представив сигнал управления в виде u = W₁(s)u_r - W₂(s)v, где v = y + ζ

сигнал измерений выхода ОУ. Для рассматриваемой структуры выполнены

выражения

Q(s)

(3.2)

W₁(s) =

W₂(s) =

(

)

1 - Q(s)

P_n(s)

Замечание 4. Подход работы [103] можно рассматривать в качестве

некоторой регулярной процедуры синтеза корректирующих звеньев систем

управления. Надо, однако, учесть, что он непригоден (приводит к неустой-

чивости) для неминимально-фазовых ОУ (числитель ПФ P_n(s) должен быть

гурвицевым многочленом). Действительно, при P (s) ≡ P_n(s) ПФ представ-

ленной на рис. 1 замкнутой системы от r к y содержит в качестве общих

множителей числитель ПФ объекта P_n(s), что говорит о неполной управляе-

мости данной системы, а если этот множитель не гурвицев, то о ее нестаби-

лизируемости [84-86, 89, 90] (при любом выборе регулятора R(s) замкнутая

система будет неустойчивой).

4. Наблюдатели и оценка ограниченных возмущений

Для компенсации ограниченных возмущений в [116] предложен метод

вспомогательного контура. Рассмотрим линейный ОУ

(4.1)

Q(p)y(t) = R(p)u(t) + f(t),

где f(t)

ограниченная функция, операторы Q(p) и R(p) порядков n и m

содержат неизвестные коэффициенты. Для получения информации о возму-

щении вводится вспомогательный контур (параллельная эталонная модель)

в виде

(4.2)

Q₀(p)y₀(t) = R₀

(p)u(t),

где Q₀(p) и R₀(p) известные операторы порядков n и m. В силу уравнений

(4.1) и (4.2) разность e(t) = y(t) - y₀(t) можно переписать в виде

(4.3)

Q₀(p)e(t) = R₀

(p)u(t) + ϕ(t),

откуда будет определено новое возмущение

ϕ(t) = ΔR(p)u(t) - ΔQ(p)y(t) + f(t),

которое включает в себя параметрическую неопределенность и сигнал f(t).

Если производные y(t) измеряемы, то закон управления u(t) = -Q0(s)Re(t)

0(s)

обеспечит полную компенсацию параметрических и внешних возмущений.

Если же производные y(t) не измеряются, то используется закон управле-

ния u(t) = -Q0(s)Rê(t), где ê(t)

оценка сигнала e(t), полученная с помощью

0(s)

наблюдателя с большим коэффициентом усиления [117]

ξ(t) =

ξ(t) + B (ê(t) - e(t)) ,

(4.4)

ê(t) =

ξ(t).

Здесь ξ ∈ R^ρ, ρ = deg Q(s) - deg R(s) относительная степень ОУ,

[

]

]_T

[d₁

d_ρ

, ...

µ^ρ

d₁,... ,d_ρ выбираются из условия гурвицевости матрицы G - [d₁,... ,d_ρ]^TL,

L = [1,0,...,0]. По сути, наблюдатель (4.4) является наблюдателем возмуще-

ний, поскольку сигнал ξ(t) содержит информацию о новом возмущении ϕ(t).

В [118] результат [116] обобщен для управления объектами с неизвестными

параметрами, возмущениями и неизвестным переменным порядком ОУ. На

базе [118] в [76-78] рассмотрена компенсация возмущений в динамических

сетях, в том числе и сетях с коммуникационным запаздыванием.

В [72] рассмотрено применение метода [116] для компенсации возмущений

в линейных объектах с запаздыванием в канале управления. В [119] пред-

ложена компенсация ограниченных возмущений вместе с заданным количе-

ством производных в линейных объектах, которые могут быть неустойчивы-

ми. Показано, что интегральный предиктор [120] на практике не может быть

реализован точно, вследствие чего есть возможность компенсации возмуще-

ний в неустойчивых объектах только определенного класса.

В [121] предложен новый метод компенсации возмущений, основанный на

схеме [116] и применении процедуры многошагового прогнозирования векто-

ра состояния и возмущения (суб-предикторы состояния и возмущения). По-

казано, что такая схема позволяет управлять объектом с большей величиной

возмущения, чем при использовании численной реализации интегрального

предиктора [120]. Итак, рассматривается объект управления

x(t) = Ax(t) + Bu(t - h) + Bf(t),

(4.5)

t ≥ 0, u(τ) = 0 при τ < 0,

где x(t) ∈ Rⁿ измеряемый вектор состояния, u(t) ∈ R^m сигнал управле-

ния, f(t) ∈ R^m внешнее возмущение с ограниченными r + 3 производны-

ми, r ≥ 0 параметр, который будет использоваться при синтезе алгоритма

управления, h > 0 известное время запаздывания, A и B известные мат-

рицы соответствующих размеров, пара (A, B) управляема и выполнено усло-

вие B⁺B = I, B⁺ - псевдообратная матрица для матрицы B. Схема управ-

ления состоит из:

1) субпредиктора вектора состояния

(

)

x_i(t) = Ax_i(t) + D_i

x_i+1(t) - x_i(t -h)

+ Bu₁(t - (i - 1)h),

(4.6)

i = 1,...,M - 1,

(

)

x_M (t) = Ax_M (t) + D_M

x(t) - x_M (t -h)

+ Bu₁(t - (M - 1)h),

где x_i(t) ∈ Rⁿ,h =^hM . Число M задается разработчиком, а матрицы D_i вы-

бираются из условия устойчивости субпредиктора;

2) вспомогательного контура

(4.7)

ė_a(t) = Ae_a(t) - De_a(t - h) + Bu₂

(t - h),

где e_a(t) ∈ Rⁿ;

3) субпредиктора возмущения

∑

f (t +ĥ) =

(-1)^j-1C^jr+1fˆ(t -ĥ(j - 1)),

j=1

∑

f (t + lĥ) =

(-1)^j-1C^jr+1f˜(t -ĥ(j - l)) +

(-1)^j-1C^jr+1×

j=1

j=l

(4.8)

×fˆ(t -ĥ(j - l)), l = 2, . . . , r + 1

(или l = 2, . . . , N, если N < r + 2),

∑

f (t + kĥ) =

(-1)^j-1C^jr+1f˜(t -ĥ(j - k)), k = r + 2, . . . , N

j=1

(если N ≥ r + 2);

4) закона управления

u(t) = u₁(t) + u₂(t),

u₁(t) = -Kx₁(t),

(4.9)

u₂(t) =

f (t + h),

ξ_i(t) =

ξ_i(t), i = 1,... ,n,

µp + 1

где матрица K задается из условия гурвицевости матрицы A - BK, µ > 0

достаточно малое число.

В [122] решена задача компенсации возмущений в условиях ограничений

на сигнал управления. Идея решения состоит в следующем. С одной стороны,

выделяется информация о возмущении в виде некоторой доступной измере-

нию функции (или ее оценки с помощью наблюдателя возмущений). Сигнал

управления противоположен значению новой функции возмущения. С другой

стороны, по условию задачи на сигнал управления наложены ограничения в

виде насыщения. Следовательно, для решения задачи на функцию возмуще-

ния накладываются соответствующие ограничения.

Совершенно другой подход к компенсации возмущений рассморен в [123].

Здесь параметрические и внешние возмущения выделяются в виде новой

функции. Для компенсации возмущений требуется существование правого

делителя нуля матрицы управления, с помощью которого реализуется управ-

ление, инвариантное к возмущениям. Более общие условия существования

инвариантного управления получены в [124] в виде так называемого “универ-

сального регулятора”.

В [125] предложены методы каскадного синтеза наблюдателей состоя-

ний линейных и нелинейных динамических систем. При синтезе алгорит-

мов управления исходная динамическая система представляется в блочно-

наблюдаемой форме. Затем используются алгоритмы с большим коэффици-

ентом усиления в обратной связи и/или с разрывными управлениями. В от-

личие от других существующих схем управления здесь предлагается деком-

позиция многомерной задачи синтеза корректирующих воздействий наблю-

дателя на независимые подсистемы меньшей размерности по сравнению с

исходной системой. Решена задача инвариантного управления по отношению

к параметрической неопределенности и внешним возмущениям. В [66, 71, 125]

также предложены наблюдатели возмущений. Остановимся более подробно

на некоторых результатах по компенсации возмущений с использованием на-

блюдателей возмущений.

В [71, 125] предложен наблюдатель возмущений в нелинейных системах

вида

(4.10)

x = f(x,u) + Q(x)η,

где x ∈ X ⊂ Rⁿ

вектор состояния, u ∈ U ⊂ R^r

вектор управления,

η ∈ H ⊂ R^p вектор неконтролируемых внешних возмущений, f(x,u)

вектор-функция, Q(x)

нелинейная матрица соответствующих размеров.

Если в системе доступна оценка вектора состояния

x(t) ∈ Rⁿ, то возмуще-

ние можно оценить в виде

(

)

(

)

Q(x(t))η(t) =

x(t) - f

x(t), u(t)

В более общем виде в [71, 125] наблюдатель возмущений формируется в

виде

(

)(

)

η(t) =Q-1

x(t)

τ (t)

где µ_i

˙τ_i = -τ_i + v_i, i = 1,... ,n, µ_i > 0, v вектор разрывных корректирую-

щих воздействий, полученный с помощью соотношений

z = f(z,u) + v,

ε = f(x,u) - f(z,u) + Q(x)η - v,

v = Msignε, M > 0.

В [66, 125] рассмотрен синтез наблюдателя возмущений для системы вто-

рого порядка

x₁ = x₂,

x₂ = f(x,t) + b(x₁)u,

где x ∈ X ⊂ R², u ∈ R вектор управления, b(x₁) = 0 известная функция,

f (x, u) - неизвестная ограниченная функция, которая зависит от внешних

возмущений, приче

f также ограниченная функция. Для решения задачи

используется наблюдатель на скользящих режимах

Ż₁ = z₂ + v₁,

Ż₂ = b(x₁)u + v₂,

где µ₂

˙τ₂ = -τ₂ + v₂, v₁ = M₁σ(k₁ε₁), v₂ = M₂σ(k₂v₁), µ₂, M₁, M₂, k₁ и k₂

положительные константы, σ(kx) = 2/(1 + e^-kx) - 1, k > 0.

Достоинства алгоритмов компенсации ограниченных возмущений по срав-

нению с алгоритмами компенсации гармонических возмущений состоят в воз-

можности рассмотрения более общих возмущений, что расширяет класс рас-

сматриваемых задач, а также независимость структуры алгоритма от источ-

ника возмущений.

4.1. Динамическое восстановление входов

Работа [21], посвященная в основном идентификации нестацинарных и

нелинейных объектов, содержит раздел, относящийся к идентификации вход-

ных воздействий. Указано, что в [126] обсуждается история вопроса и приво-

дятся результаты теоретических исследований по восстановлению нестацио-

нарных сигналов, проходящих через линейную стационарную систему. Со-

гласно [126] в обшей постановке эта задача сводится к обратной

реше-

нию интегрального уравнения Вольтерра. В [126] рассматриваются различ-

ные (аппроксимационные, итерационные и алгебраические) методы решения

основного интегрального уравнения и проблема борьбы с шумами в кана-

ле измерения (некорректностью). Обсуждаются регуляризационные методы

решения задачи и вопросы их численной реализации.

Суть этой теории состоит в том, что алгоритм восстановления представ-

ляется в виде алгоритма управления по принципу обратной связи некоторой

подходящим образом сконструированной вспомогательной динамической си-

стемы моделью. Такой алгоритм, выходом которого служит, в частности,

реализация управления в модели, по своему определению является динамиче-

ским. Управление в модели адаптируется к результатам текущих наблюдений

таким образом, что его реализация во времени обеспечивает малое возраста-

ние некоторого специальным образом выбранного функционала типа Ляпу-

нова. При этом обратная связь в цитированных выше работах строится на

основе известного в теории позиционных дифференциальных игр принци-

па экстремального сдвига, локально регуляризованного с помощью широко

применяемых в теории некорректных задач методов сглаживающего функ-

ционала или невязки.

В [127] рассматривается нелинейная система с запаздыванием по состоя-

нию

(

)

(4.11)

x(t) = f

t,x(t),x(t - ν)

+ Bu(t), x(s) = x₀

(s), s ∈ [-ν, 0],

t ∈ [0,T], x(t)∈ R^q; f : R × R^q × R^q → ×R^q; B (q × n)-мерная матрица. u(t) ∈

(

)

∈ Rⁿ возмущение (управление) неизвестно, u(·) ∈ P(·) = L_∞

[0, T ]; Rⁿ

принадлежит множеству допустимых возмущений P (·).

Цель: реконструкция u(·) с некоторой точностью µ построить алгоритм

вычисления v(·) такой, что

∥u(·) - v(·)∥L2([0,T ];Rn) < µ.

Входные данные результат измерения состояния x(t). Динамический

алгоритм реконструкции: а) вычисление v(τ), 0 ≤ τ ≤ t, на основе измерения

состояния x(τ) при τ < t; б) только после вычисления v(τ) на промежутке

0 ≤ τ ≤ t возможно использование новой информации о состоянии x(t) для

вычисления v(τ) при τ > t.

Следуя подходу [26, 128-130], вводится вспомогательная система

“мо-

дель”:

(

)

(4.12)

w_n(t) = f

τ_k,n, ξ_k,n, ξk-rk,n

+ Bv_n(t), w_n(0) = x₀

(0)

при почти всех t ∈ δ_k,n = [τ_k,n, τ_k+1,n), где входное воздействие (управление)

аппроксимирует u(·), а τk-rk,n

единственная точка наблюдения, принад-

лежащая интервалу [τ_k,n - ν, τ_k,n - ν + δ). С другими результатами данного

направления можно ознакомиться в [131-139].

В статье [140] для некоторых классов систем, описываемых обыкновен-

ными дифференциальными уравнениями, дается обзор алгоритмов дина-

мического восстановления входов. Предлагаемые алгоритмы, устойчивые

к помехам измерений и погрешностям вычислений, основаны на методах

теории некорректных задач и на подходящих модификациях известного в

теории гарантированного управления метода экстремального прицеливания

Н.Н. Красовского. Траектория системы зависит от меняющегося во времени

входного воздействия (управления). Заранее как вход, так и траектория не за-

даны. Однако известно множество, ограничивающее допустимую реализацию

входа. Требуется сконструировать алгоритм приближенного восстановления

ненаблюдаемой “части” координат, а также входа, обладающий свойствами

динамичности (текущие значения приближения соответствующих координат

и входа вырабатываются в реальном времени) и устойчивости (приближения

сколь угодно точны при достаточной точности наблюдения).

Рассматриваются динамические системы, функционирующие на конечном

интервале времени T = [t₀, ϑ], ϑ < +∞, заданные системой обыкновенных

дифференциальных уравнений вида

(

)

(

)

(4.13)

x(t) = f

t,x(t)

u(t) + F (t), y(t) = Cx(t),

где t ∈ T , x(t)∈ Rⁿ, x(t₀) = x₀, u(t)∈ R^N , F (·) ∈ L₂(T ; Rⁿ) заданная функ-

ция, суммируемая с квадратом нормы, y(t(∈ Rr

вы)ход системы, C

матрица размера r × n. Траектория x(t) = x

t;t₀,x₀,u(·)

∈ Rⁿ, t ∈ T, систе-

мы (4.13) зависит от начального состояния x₀ и изменяющегося во времени

неизвестного входного воздействия u(·) ∈ P (·) ⊂ L₂(T ; Rⁿ), где P некоторое

заданное “множество допустимых управлений”.

Измерения y(t) происходят в некоторые дискретные моменты времени

τ_i = δi, τ_m = ϑ, δ

интервал дискретности, полученный равномерным раз-

биением промежутка T на m подынтервалов, i = 0, 1, . . . , m. Выход измеря-

ется некоторой ошибкой, так что результатом являются неточные измерения

ξ_i ∈ R^r, удовлетворяющие неравенствам ∥ξ_i - y(τ_i)∥ ≤ h, где 0 < h < 1 уро-

вень ошибки измерений. Требуется построить алгоритм, позволяющий син-

хронно с развитием процесса по результатам неточных измерений y(·) восста-

навливать как весь фазовый вектор x(·), так и управление u(·), порождаю-

щее выход y(·). При C = I_n задача трансформируется к оценке входа u(t) по

неточным измерениям состояния x(τ_i).

Метод решения задачи базируется на одном из известных принципов по-

зиционного управления принципе вспомогательных моделей, восходящем к

работам Н.Н. Красовского [141, 142]. Согласно этому принципу после разбие-

ния отрезка T на полуинтервалы [τ_i, τ_i+1) выбирается система M (называеая

моделью), движение которой w(t), t ∈ T , описывается некоторым дифферен-

циальным уравнением

(

)

(4.14)

w(t) = ϕ

t,w(t),ξ_i, û(t), v(t)

t ∈ [τ_i,τ_i+1

где i = 0, 1, . . . , m - 1, w(t₀) = w₀, û(t), v(t)

два входных сигнала (управ-

ления). (азмерность в)ктора w(t) априори не оговаривается. Обозначение

w(t) = w

t;w₀, û(·), v(·)

используется для решения системы (4.14).

После того как задано уравнение (4.14), алгоритм решения задачи отож-

дествляется с законом формирования управлений в модели по принци-

пу обратной связи. При этом процедуре управления моделью предшеству-

ет выбор ее начального состояния w₀. Законы формирования управлений

{û(·), v(·)} в модели, называемые по терминологии, принятой в теории га-

рантированного управления [141, 142], стратегиями, отождествляются с па-

рами S = (Δ, U), где Δ = {τ_i}^mi=0, U

функция, ставящая в соответствие

(

)

позиции q⁽ⁱ⁾(·) вектор U

q⁽ⁱ⁾(·)

= {û_i, v_i}. Позицией, например, может яв-

{

}

ляться тройка q⁽ⁱ⁾(·) =

τ_i,ξ_i, ŵ(τ_i)

или вектор, содержащий предысторию,

{

}

как q⁽ⁱ⁾(·) =

τ_i,ξ_i,ξ_i-1 ŵ(τ_i)

, и т.д.

4.2. Наблюдатели входных и выходных возмущений

В отличие от вышеприведенных результатов, в настоящем разделе будет

рассмотрена задача оценки и компенсации возмущений при наличии помех

измерения (выходного возмущения). Рассмотрим объект управления

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Df(t),

(4.15)

z(t) = x(t) + ξ(t).

Здесь все обозначения несут тот же смысл, что и раньше, x ∈ Rⁿ, f(t)

ограниченное возмущение, ξ(t) - ограниченная помеха измерения (выходное

возмущение).

В [143] на базе метода вспомогательного контура [116] предложен метод

компенсации входных и выходных возмущений, когда хотя бы одно урав-

нение (4.15) содержит нулевую компоненту вектора выходного возмущения.

В [119] предложено обобщение результата [143] на случай, когда вектор ξ(t)

может не содержать нулевых компонент. Синтез алгоритма осуществляется

по следующей схеме: 1) выделяется произвольная j-я строка во втором урав-

нении (4.15) и синтезируется алгоритм оценки помехи измерения без j-й ком-

поненты; 2) выделяется информация о возмущении f из первого уравнения

(4.15) с учетом восстановленной информации о помехе измерения. Такая схе-

ма позволяет свести к нулю ошибку регулирования в установившемся режи-

ме, зависящей от максимального значения f и j-й компоненты ξ.

Алгоритм [119] представлен следующими уравнениями:

алгоритм оценки вектора выходных возмущения без i-й компоненты

ξ = [ξ₁,... ,ξ_i-1,ξ_i+1,... ,ξ_n]^T)

∫t

(

)

(4.16)

ξ=

ξ(s)

A₁z(s)

ds + z,

гд

вектор оценки сигнал

ξ,

Iz,

I^T,

A₁

матри-

ца размера (n - 1) × n, полученная из единичной матрицы порядка n путем

вычеркивания i-й строки;

алгоритм оценки вектора состояния

(4.17)

x=z

I^Tξˆ

;

алгоритм компенсации входных возмущений





∫

(

)

(4.18)

u=-

E^TiB

⁻¹ xi - E^TiA

x(s)ds .

Как отмечалось ранее, качество работы алгоритма (4.16)-(4.18) зависит

от величины ξ_i и f. Если ξ_i = 0, то уменьшением значения µ можно сколь

угодно уменьшить величину lim_t→∞ sup |x(t)|, которая будет зависеть только

от sup |f(t)|.

4.3. Робастное обращение систем

Во многих работах, см., например, [26, 115, 127-139, 144-152], задача оце-

нивания неизвестного внешнего воздействия (в том числе возмущения) по

результатам измерения выхода трактуется как задача обращения (инверсии)

динамической системы, в качестве которой выступает объект управления.

Налагается естественное для задач управления требование получения оцен-

ки в реальном времени, т.е. в темпе с управляемым процессом. В качестве

дополнительных условий также выступают обеспечение наименьшего поряд-

ка уравнений динамики инвертора, робастности системы оценивания по от-

ношению к параметрам модели объекта и снижение влияния погрешностей

измерения выхода [146-149, 153].

Ранние работы, см., например, [144], приводят к алгоритмам инверсии,

которые непригодны для решения задач реального времени, а подход [115]

связан с построением нереализуемой инверсной системы (с порядком числи-

теля ПФ большим порядка знаменателя). В последующих работах эти недо-

статки устранены, а метод инверсии был развит и распространен на дис-

кретные, нелинейные и нестационарные системы, системы с запаздыванием

и пространственно-распределенные системы [24, 33, 35, 127, 131, 134, 135].

Для иллюстрации, следуя [150, гл. 1], рассмотрим применение этого под-

хода для обращения линейных стационарных скалярных (SISO) систем.

Рассматривается линейная динамическая система вида⁴

(4.19)

x(t) = Ax(t) + Bd(t), y(t) = Cx(t),

где x(t)∈ Rⁿ вектор состояния, y(t)∈ R¹ измеряемый выход, d(t)∈ R¹

неизвестное неизмеряемое входное воздействие (возмущение), A, B, C мат-

рицы соответствующих размеров с постоянными вещественными коэффи-

циентами. Пара (A, B) считается полностью управляемой, а пара (A, C)

полностью наблюдаемой. Необходимо по известному выходу y(t) построить

(в темпе с процессом) оценку неизвестного входного сигнала d(t). Известные

⁴ Использованы обозначения, принятые в данном обзоре.

внешние воздействия (например, управляющее) в модель (4.19) не входят, так

как их оценивать не требуется, и в силу свойства суперпозиции линейных си-

стем реакции на эти воздействия и d(t) можно рассматривать независимо.

В силу управляемости системы (4.19) можно считать, что матрицы A, B,

C записаны в следующей канонической форме управляемости [84, 85]:

























]









(4.20)



,



, C =

[c1 c2

... c_n









0



0



−a₁

-a₂

-a_n

Передаточная функция системы (4.19) от входа d к выходу y имеет вид

B(s)

(4.21)

W (s) = C(sI - A)^-1 =

s ∈ C,

A(s)

с многочленами A(s), B(s) вида

(4.22)

A(s) = sⁿ + a_ns^n-1 + · · · + a₁, B(s) = c_ns^n-1 + · · · + c₁.

Рассмотрим сначала строго-минимально-фазовую систему (4.19), т.е. та-

кую, у которой многочлен B(s) - гурвицев (устойчивый) многочлен с поло-

жительными коэффициентами. (При c_n = 0 говорят, что система (4.19) имеет

относительный порядок r = deg A(s) - deg B(s) = 1.)

Для решения поставленной задачи оценивания возмущения d(t) вводится

(согласно терминологии работ [146, 148, 153]) следующая управляемая мо-

дель:

(4.23)

x(t) = Ax(t) + Bv(t),

y(t) = C x(t),

где x(t)∈ Rn

вектор состояния модели, v(t)∈ R¹

подлежащее выбо-

ру управляющее воздействие. Введя отклонение e(t) = x(t) - x(t) и вычитая

(4.19) из (4.23), получим уравнение в отклонениях

(

)

(4.24)

e(t) = Ae(t) + B

v(t) - d(t)

ε(t) = y(t) - y(t) ≡ Ce(t).

Для нахождения сигнала v(t), стабилизирующего систему (4.24), использу-

ются стандартные методы теории управления. Рассмотрим это подробнее.

Выполним в (4.24) невырожденное преобразование координат

e = Pe,

det P = 0, чтобы получить новый вектор состояния e = col {e^′, ε}, где компо-

ненты вектора e^′ ∈ R^n-1 совпадают с соответствующими компонентами исход-

ного вектора e, e^′i = e_i, i = 1, . . . , n - 1. Учитывая уравнение выхода ε = Ce,

получим, что матрица преобразования P должна иметь вид

















(4.25)

P =



.





0



c₁

c₂

... c_n-1

c_n

Так как CB = 0, то нормировкой можно привести уравнения системы к

виду, в котором CB = 1. В результате система (4.24) приводится к форме

{˙e′(t) = A1e′(t) + B₁ε(t),

(4.26)

(

)

ε(t) = A₂e^′(t) + B₂ε(t) +

v(t) - d(t)

с соответствующими матрицами A₁ ∈ R^(n-1)×(n-1), A₂ ∈ R^1×(n-1), B^(n-1)×1 и

скаляром B₂ (подробные выражения приведены в [150]).

Далее в [150] рассматриваются два способа стабилизации системы (4.26):

линейное управление с “глубокой обратной связью” с большим коэффициен-

том v ≡ v_µ = -µε; и с наблюдателем состояния и разрывной обратной связью

v = -A₂e^′ - (B₂ + α)ε + Fsignε с некоторыми выбираемыми разработчиком

константами α, F > 0. В случае разрывного управления, начиная с некоторо-

го момента времени t^∗, в системе возникает скользящий режим на плоскости

ε = Ce = 0.

При использовании линейного управления в качестве оценк

d(t) процесса

d(t) берется сигнал управления v_µ(t) в предположении, что µ достаточно ве-

лико

d(t) = v_∞(t) ≡ lim_µ→∞ u_µ(t). При разрывном управлении аналогичная

оценка выполняется на основе метода эквивалентного управления [154, 155]

фильтрацией разрывного процесса v(t) по методу скользящего среднего, т.е.

∫t

d(t) = 1/T

v(τ) dτ .

t-T

Заметим, что преобразование координат для приведения уравнений со-

стояния к виду (4.26) и последующий синтез наблюдателя со скользящим

режимом аналогичны приведенным в [155, гл. 13], см также [64].

Обратимся теперь к инвертированию систем с максимальным относитель-

ным порядком, полагая r = n в (4.21) [150]. Тогда многочлен B(s) в (4.22)

будет константой, B(s) = c_n. Для решения задачи обращения используется

следующая вспомогательная система

(4.27)

x(t) = Ax(t) + Lv(t),

y(t) = C x(t),

где L∈ Rⁿ подлежащий выбору вектор параметров. Уравнение относитель-

но отклонения e(t) = x(t) - x(t) имеет вид

(4.28)

ė(t) = Ae(t) + Lv(t) - Bd(t), ε(t) = Ce(t).

Выбором v(t) = -ε(t) получаем замкнутую систему

(4.29)

ė(t) = A_L

e(t) - Bd(t), ε(t) = Ce(t),

где A_L = A - LC. В силу наблюдаемости пары (A, C) подходящим выбором L

можно получить любой заданный спектр матрицы A_L. В [150] предлагается

следующая процедура: вводятся вещественные значенияλi, i = 1, . . . , n, та-

кие чтоλ1 = -1,λi+1 < λ_i. Затем находятся желаемые собственные числа λ_i

матрицы A_L как λ_i = µλi, где µ > 0 выбираемый при синтезе параметр (по

смыслу он должен быть взят достаточно большим). Стандартными процеду-

рами синтеза наблюдателя находится вектор L, обеспечивающий требуемый

спектр {λ₁, . . . , λ_n} матрицы A_L.

Искомая оценка входного процесса получается по формуле

ε(t)

(4.30)

d(t) =

CA^-1LB

Далее в [148] рассматривается инвертирование системы с произвольным

относительным порядком 1 ≤ r ≤ n. Для такой системы выполнены усло-

вия c_m+2 = c_m+3 = · · · = c_n = 0, c_m+1 = CA^r-1B = 0. По-прежнему считает-

ся, что система (4.24) минимально-фазовая (числитель B(s) ее ПФ (4.21)

гурвицев многочлен). Как и выше, здесь используется невырожденная заме-

на переменных состояния уравнения ошибки (4.24), при которой первые m

переменных состояния в новом базисе (считается что исходная система (4.24)

уже приведена к канонической форме управляемости) совпадают с исход-

ными, а остальные n - m переменные пересчитываются с коэффициентами

c₁,... ,c_m. Уравнения полученной в результате преобразования первой подси-

стемы копируются в алгоритм оценивания, а для второй подсистемы строит-

ся наблюдатель состояния порядка n - m. Затем по сигналу обратной связи

наблюдателя пересчитывается оценка входного сигнал

d(t) (подробное изло-

жение можно найти в [148]).

Для неминимально-фазовых систем, у которых многочлен B(s) не гур-

вицев, данный метод непосредственно неприменим в силу неустойчивости

нуль-динамики уравнения ошибки оценивания. Эта задача также исследу-

ется в [148]. Выполняется сепарация системы на подсистемы с устойчивой и

неустойчивой нуль-динамикой. Для первой из них задача обращения реша-

ется описанным выше методом. Для оценки неизвестного сигнала d(t) вы-

полняется вычисление интеграла свертки на некотором временном интерва-

ле Δ > 0, соответствующим выбором которого при заданном µ и заданной

скорости изменения d(t) можно обеспечить требуемую точность оценивания.

Как отмечено авторами [148], “Главным недостатком предложенной схемы

обращения является тот факт, что для восстановления сигнала d в момент

времени t необходимо знать значение y(t) (а значит, и y(t)) на промежутке

[t, t + Δ], причем для увеличения точности оценки необходимо увеличивать

промежуток наблюдения Δ, т.е. оценивание происходит с запаздыванием по

времени на величину Δ.”

В [148] описывается также ситуация, когда имеется дополнительная ин-

формация о процессе d(t) например, если известна (по терминологии ав-

торов) его волновая модель, для которой d(t) описывается однородным диф-

ференциальным уравнением с известными параметрами и неизвестными на-

чальными условиями. Это предположение позволяет свести задачу обраще-

ния системы к задаче восстановления вектора состояния расширенной систе-

мы, что, в частности, дает возможность избежать неустойчивости процесса

оценивания для неминимально-фазовых объектов. Такой подход достаточно

стандартен для публикаций по оцениванию возмущений и достаточно подроб-

но представлен в разделе 2 настоящего обзора.

Проиллюстрируем подход работы [148] для приведенного в разделе 2 при-

. На его

мера из [103]. Объект задан передаточной функцией P (s)

Ts+1)s

вход поступает неизвестное возмущение d(t), а измерения выхода y(t) содер-

жат аддитивную погрешность (шум) ζ(t). Матрицы (4.20) уравнений состоя-

ния системы в канонической форме (см. (2.8)) имеют вид

]

[0]

[

]

(4.31)

C =

k₀T^-1

-T^-1

]_T

Введем вектор-столбец L =

[l1 l2

с подлежащими выбору при синтезе

элементами l₁, l₂. Характеристический многочлен D(s) матрицы A_L = A - LC

имеет вид

D(s) = det(sI - A) = s² + (1 + k₀l₁)T^-1s + (k₀l₁ + T k₀l₂)T^-2.

Согласно методике [148] зададим значенияλ1 = -1,λ2 = -2 и запишем же-

лаемые собственные числа матрицы A_L в виде λ_i = µλi, i = 1, 2, где µ > 0

выбранное (большое) значение. Получим желаемый характеристический мно-

гочлен D(s) в виде

D(s) = (s - λ₁)(s - λ₂) = s² + 3µs + 2µ².

Приравнивая выражения для коэффициентов желаемого и располагаемого

многочленов, получим

l₁ = (3Tµ - 1)k^-10, l₂ = (2T²µ² - 3Tµ + 1) · (Tk₀)^-1.

Для исследования точности оценивания выпишем уравнение для ошибки

e(t) = x(t) - x(t), принимая также во внимание действие погрешностей изме-

рения ζ(t). Для этого будем считать, что на вход системы оценивания посту-

пает сигнал y(t) = Cx(t) + ζ(t). Уравнение (4.29) в отклонениях относительно

e(t) тогда принимает вид

(4.32)

ė(t) = A_L

e(t) - Bd(t) + Lζ(t), ε(t) = Ce(t) - ζ(t).

Формула (4.30) с учетом погрешности измерений ζ(t) приводит к следую-

щему выражению

ε(t)

(

)

(4.33)

d(t) =

= -2Tµ²k^-10ε(t) = -2Tµ²k^-10

Ce(t) - ζ(t)

CA^-1LB

Исходя из выражений (4.32), (4.33) получаются следующие формулы для

передаточных функций к ошибке оценивания Δd(t) = d(t)

d(t) от входных

сигналов d(t) и ζ(t):

}

{Δd

s(s + 3µ)

(4.34)

W_d(s) =

s² + 3µs + 2µ²

}

{Δd

2µ²s(T s + 1)

(4.35)

W_ζ(s) =

k₀(s² + 3µs + 2µ²)

Как видно из (4.34), (4.35), частотные характеристики системы по ошибке от

возмущения и шума измерений имеют сходную асимптотику: нулевой коэф-

фициент передачи для постоянного сигнала и пропускание сигналов верхних

частот.

Обратимся теперь к использованию описанного в разделе 2 подхода, осно-

ванного на представлении процесса d(t) как неизвестного постоянного сигна-

ла и включении его модел

d(t) = 0 в уравнения состояния системы, с после-

дующим использованием наблюдающего устройства для оценивания. Следуя

этому подходу, введем расширенную систему вида (2.6) и сформируем мат-

рицы (2.7) ее уравнений состояния как









[

]





B=1

(4.36)

0 -T-1

1,

,

C =

k₀T^-1

]_T

Введем вектор конструктивных параметров наблюдателя L =

[l1 l2

l₃

которые вычислим, исходя из заданного расположения корней харак-

теристического многочлена

D(s) = det(sI

A_L),

A_L

A-

C. Получим

D(s) = s³ + (1 + k₀l₁)T^-1s² + k₀(l₁ + T l₂)T^-2s + k₀l₃T^-1. Для удобства срав-

нения, как и выше, зададимся вещественными корнями характеристического

многочлена в формеλ1 = -1,λ2 = -2,λ3 = -3 и запишем желаемые корни

многочлена

D(s) в виде λ_i = µλi, i = 1, 2, 3, для выбранного µ > 0. Отсюда

получаем следующий вектор L:





6T µ - 1



(4.37)

L = k^-10(11T²µ² - 6Tµ + 1)T^-1.

6T µ³

Передаточные функции по ошибке оценивания от входного сигнала и по-

грешностей измерения получаются для этой системы в виде:

}

(

{Δd

s² + 6µs + 11µ²)

(4.38)

W_d(s) =

s³ + 6µs² + 11µ²s + 6µ³

{

}

(

)

Δd

6µ³s

Ts+1

(4.39)

W_ζ(s) =

s³ + 6µs² + 11µ²s + 6µ³

Из сравнения ПФ (4.35) и (4.39) видно, что за счет повышения порядка

наблюдатель для расширенной системы позволяет отфильтровать высокоча-

стотные погрешности измерений.

5. Метод внутренней модели. Наблюдатели гармонических возмущений

В [17, 41-44] систематически излагается принцип внутренней модели

(англ. Internal Model Principle) в теории автоматического управления. Со-

гласно этому принципу для устранения ошибок, вызванных внешними воз-

действиями (задающими, возмущающими), в систему должна быть введена

“внутренняя модель” автономная система, которая порождает эти сигналы.

Например, с этой точки зрения, интегрирование сигнала рассогласования в

регуляторе, обеспечивающее астатизм системы, есть воплощение такой моде-

ли, поскольку постоянное воздействие можно представить выходом интегри-

рующего звена (при нулевом входе) [44, §8.2]. Введение внутренней модели

дает возможность представить замкнутую систему однородными уравнения-

ми, и тогда решение задачи асимптотической стабилизации такой автономной

системы влечет стремление к нулю ошибок регулирования по задающему и

возмущающему воздействиям. Более того, это свойство робастно по отно-

шению к параметрическим возмущениям в силу непрерывной зависимости

корней многочлена от параметров, см. также [6].

В [41-43] рассматриваются подверженные возмущениям объекты, для

управления которыми вводится компенсатор, обрабатывающий результаты

измерений, задающее (опорное) воздействие r(t), и, возможно, некоторые воз-

мущения. Компенсатор служит для обеспечения устойчивости замкнутого

контура, а также управления переменной z(t), которая представляет собой

функцию от выхода ОУ y(t) и r(t). Обычно в качестве z(t) выступает ошиб-

ка слежения e(t) = e(t) - y(t). Замкнутая система с этими двумя свойствами

(“синтез” по [43]) называется структурно устойчивой, если эти два свойства

сохраняются при некоторых возмущениях параметров системы.

Рассматриваются ИПВ системы, заданные следующими обобщенными

уравнениями

(5.1)

x₁(t) = A₁x₁(t) + A₃x₂(t) + B₁

u(t),

(5.2)

x₂(t) = A₂x₂

(t),

(5.3)

z(t) = D₁x₁(t) + D₂x₂

(t),

(5.4)

y₁(t) = C₁x₁(t) + C₂x₂

(t),

(5.5)

x_c(t) = A_cx_c(t) + B_c

y(t),

(5.6)

u(t) = F_cx_c

(t) + F y(t).

Здесь введены

векторы состояния: x₁ объекта, x₂ модели источника возмущений и

задающего воздействия (тем самым характер этих сигналов задан, и они под-

чиняются однородному линейному дифференциальному уравнению (5.2), см.

также (2.5)), x_c вектор состояния динамического компенсатора (5.5), (5.6);

переменные: z выходная переменная, относительно которой формули-

руется цель управления (далее

“управляемая переменная”), y выходная

переменная, измеряемая датчиками, u управление, вырабатываемое ком-

пенсатором (5.5), (5.6). Считается, что переменные x, y, z принадлежат ко-

нечномерным вещественным линейным пространствам X , Y , Z (в порядке

перечисления).

Вводится совокупный вектор состояния x_L = col (x₁, x_c), относительно ко-

торого из (5.1)-(5.6) следуют уравнения замкнутой системы

(5.7)

x_L(t) = A_Lx_L(t) + B_Lx₂(t), z_l(t) = D_Lx_L(t) + D₂x₂

(t),

где

]

[A₁ + B₁FC₁ B₁F_c

[A₃ + B₁FC₂]

]

A_L =

D_L =

[D₁

B_cC₁

A_c

B_cC₂

Назначение компенсатора, таким образом, заключается в обеспечении гур-

вицевости матрицы A_L, а регулирование выхода в выполнении требования

lim_t→∞ z(t) = 0. Для определения регулятора, обеспечивающего указанную

структурную устойчивость, вводятся понятия читабельности (англ. read-

ability) и внутренней модели.

Определение 1

[43]. Считается, что z читабельно (readable) из y,

если имеется отображение Q : Y → Z такое, что z = Qy. Это значит,

что D₁ = QC₁, D₂ = QC₂.

Определение 2

[43]. Считается, что отображение A : X → X

включает в себя внутреннюю модель A₂, если минимальный многочлен

матрицы A₂ есть делитель не менее d(Z) инвариантных сомножителей

матрицы A.

Таким образом, внутренняя модель представляет собой l-кратную реду-

пликацию в A максимальной циклической компоненты A₂, где l ≥ d(Z) =

числу независимых выходов, которые подлежат управлению.

В [41, 43] сформулирована следующая теорема о необходимости читабель-

ности для структурной устойчивости.

Теорема 1

[41, 43, теорема 1]. Необходимым условием структурной

устойчивости синтеза при (A₃, B_c|Z ) является читабельность z по y.

Для получения основного результата о необходимости внутренней модели

в [41, 43] делается следующее предположение.

Предположение 1. Имеет место соотношение

(5.8)

ImB_cw ⊂ 〈A_c|B_cwE₁Ker D₁

〉.

Предположение 1 говорит о том, что информация, отправленная от w и

обработанная компенсатором, относится только к объекту управления и недо-

ступна из z. В [41] показана необходимось выполнения (5.8) для структурной

устойчивости. На основе этого сформулирована следующая теорема.

Теорема 2

[41, 43, теорема 2]. Пусть z читабельно из y и выполне-

но (5.8). Тогда синтез структурно устойчив в A₃, только если компенсатор

включает внутреннюю модель A₂, которая управляема по z и наблюдаема

по u.

В заключение авторы [43] справедливо отмечают: “Задача регулирования,

которую мы рассмотрели, несколько идеализирована: например, мы потре-

бовали точного асимптотического подавления возмущений. На практике эта

задача ставится в нечетких терминах; таким образом, может потребовать-

ся ослабление возмущений только в определенной степени”. Далее авторы

указывают, что использованная в работе идеализация позволила дать точ-

ную постановку задачи, в результате чего получен рациональный базис и

качественное понимание для практического синтеза многосвязных регулято-

ров. Заметим, что реальные задачи проектирования отличаются не столько

ослабленными и нечеткими требованиями к характеристикам разработанной

системы, сколько наличием ряда спецификаций, которые естественнее пред-

ставить в виде системы ограничений, а не одного критерия.

Компенсация внешних возмущений в дискретных по времени системах

на базе метода внутренней модели и принципа поглощения рассмотрена в

[46, 50]. Рассматриваются объекты, в которых частотные характеристики из-

вестны не полностью, а внешнее возмущение описывается линейным разност-

ным уравнением. Предложена структура управления в форме обратной свя-

зи, гарантирующего робастную устойчивость и устраняющего влияние внеш-

них возмущений за минимальное число шагов. Результат [46, 50] обобщен

в [156] для непрерывных по времени объектов. Предложены полиномиаль-

ные соотношения многочленов объекта и алгоритма управления, выполнение

которых обеспечивает робастную устойчивость замкнутой системы.

В [96] предложены наблюдатели возмущений для стабилизации линейных

ОУ в окрестности точки равновесия. Модель ОУ задана уравнениями

(5.9)

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Df(t), x(t) ∈ Rⁿ

с известными матрицами A, B и D. По сравнению с (5.68), здесь динамика

возмущений описывается внутренней моделью вида

(5.10)

w(t) = Rw(t) + lf(t), f(t) = Nw(t),

где w ∈ R^q. Показано [96], что модель возмущения f(t) может быть перепи-

сана в виде

f (t) = N^T

ζ(t) + ε_f (t),

(5.11)

ζ(t) = η(t) + T x(t),

η(t) = Rη(t) + (RT - T A)x(t) - T Bu(t).

Здесь ε_f (t) экспоненциально затухающая функция, матрица T удовлетво-

ряет равенству T D = l. Если же параметры ОУ неизвестны, то наблюдатель

возмущений описывается следующими уравнениями [56]:

η₀(t) = η₀ + (RT - TA₀)x(t),

(5.12)

η_i(t) = Rη_i(t) + Ta₀x_i(t),

1 ≤ i ≤ n,

η_u(t) = Rη_u(t) - Tb₀u(t).

Здесь матрицы A₀, a₀ и b₀ полагаются известными и находятся из условий

структурных согласований: A = A₀ + a₀τ^T и b = βb₀, τ и β неизвестные

вектор и число.

В отличие от [96] в статье [48] решена задача слежения за эталонным сиг-

налом линейным ОУ с неизвестными постоянными параметрами при измере-

нии только его выхода. Модель неизвестного эталонного сигнала описывается

внутренней моделью с неизвестными параметрами. Разработан адаптивный

наблюдатель для оценок производных по времени эталонного сигнала и по-

лучена адаптивная система управления с неявной эталонной моделью.

В работах [48, 96] рассмотрено управление линейными и нелинейными объ-

ектами. В отличие от [48, 96] в [49] предложена компенсация возмущений

в нелинейных SISO системах с неизвестными постоянными параметрами и

неизвестным входным возмущением. Доступны измерению только скалярные

входные и выходные сигналы ОУ. Модель ОУ задана в следующей форме

metric-strict-feedback

x_j = x_j+1 + θ^Tϕ(x₁,... ,x_j),

1 ≤ j ≤ n - 1,

x_n = β(x) + θ^Tϕ_n(x) + γ(x)(u + f),

y=x₁.

Закон управления u задается в виде u = u_y + u_f , где сигнал u_y необхо-

дим для управления объектом с целью слежения за эталонным сигналом y_m,

сигнал u_f необходим для компенсации возмущений. Возмущение f описы-

вается внутренней моделью вида (5.68). Вначале строится наблюдатель воз-

мущений, подобный наблюдателю (5.11). Затем с использованием процедуры

бэкстеппинга синтезируется первая компонента закона управления u_y. Из-за

громоздкости структуры алгоритма для u_y он в обзоре не приводится. Ре-

зультаты [48, 49, 96] более подробно описаны в монографии [157].

В результате основное достоинство описанных выше алгоритмов состоит

в улучшении качества регулирования, по крайней мере в установившемся ре-

жиме, за счет предположения о том, что возмущение описывается суммой

синусоидальных сигналов. Однако данные алгоритмы зачастую сложны в

расчете и реализации при увеличении числа синусоид. Поэтому в описанных

выше источниках численные примеры работы алгоритмов в основном тести-

руются на сумме двух или трех синусоид. Кроме того, качество регулирова-

ния таких алгоритмов существенно зависит от величины несинусоидальной

составляющей. Если данная составляющая принимает большие значения, то

рекомендуется использовать алгоритмы подавления или компенсации огра-

ниченных возмущений, которые будут приведены далее.

5.1. Нелинейные наблюдатели гармонических возмущений

В [70] рассматривается задача стабилизации подверженной гармоническим

возмущениям нелинейной системы на основе наблюдателя возмущений.

Модель ОУ со скалярными входом и выходом описывается нелинейными

аффинными по управлению и возмущению уравнениями

(5.13)

x(t) = f(x) + g₁(x)u + g₂

(x)d(t), y = h(x),

где x = x(t)∈ Rⁿ вектор состояния ОУ; y(t), u(t), g(t) выход, управле-

ние и неизмеряемое возмущение (соответственно) скалярные переменные.

Внешние гармонические возмущения d(t) с известной частотой ω₀ моделиру-

ются гармоническим осциллятором

(5.14)

(t) = Aξ(t), d(t) = Cξ(t)

с состоянием ξ(t)∈ R², неопределенными начальными условиями x_s(0) и мат-

рицами

[

]

ω₀

]

(5.15)

C =

−ω₀

Предложен следующий нелинейный наблюдатель возмущения d(t)



(

)

Ż=

A - L(x)g₂(x)C

z + Ap(x) - L(x)f(x)-





−L(x)g₁(x)u - L(x)g₂(x)Cp(x),

(5.16)



ξ = z + p(x),



d=Cξ,

где ξ вектор состояния наблюдателя возмущений

d оценка возмущений;

p(x)∈ R², L(x)∈ R^2×n подлежащие определению при синтезе вспомогатель-

ная функция и матричный коэффициент усиления наблюдателя, связанные

соотношением

∂p(x)

(5.17)

L(x) =

∂x

Для асимптотического затухания ошибки оценивания e(t) = ξ(t)

ξ(t) тре-

буется существование L(x), обеспечивающей асимп(отическую усто)йчивость

с желаемой скоростью затухания ошибки ė(t) =

A - L(x)g₂(x)C

e(t) для

всех x, принадлежащих рабочей области. Если g₂ не зависит от x, то за-

дача решается выбором L(x) = Lx. В общем случае можно задаться одной из

функций p(x) или L(x) и найти другую из (5.17).

В [70] разработана следующая регулярная процедура синтеза, использую-

щая предположение, что относительный порядок ρ [47, 158] объекта (5.13)

вполне определен во всей рабочей области. Для синтеза устойчивого наблю-

дателя используется концепция пассивности [64, 159, 160]. Коэффициент уси-

ления ищется в виде

]

∂L^ρ-1fh(x)

(5.18)

L(x) =

k₂

∂x

где k₁, k₂

постоянные, подлежащие определению при синтезе. Тогда из

(5.17) следует, что

]

(5.19)

p(x) =

L^ρ-1f

h(x).

k₂

Вводится в рассмотрение функция

ρ-1

∂L

h(x)

(5.20)

n(x) =

g₂

(x),

∂x

[k₁]

так что L(x)g₂(x) =

n(x). В предположении, что n(x) > 0 во всей рабочей

k₂

области, вводится величина n₀ > 0, такая что 0 < n₀ < n(x). Доказано, что

если имеются постоянные k₁ и k₂, такие что передаточная функция

k₁s + k₂ω₀

(5.21)

H(s) =

s² + k₁n₀s + ω₀(ω₀ + k₂n₀)

асимптотически устойчива и положительно вещественна (см. [64, 159, 160]),

то при сделанном предположении об относительном порядке выхо

d(t) нели-

нейного наблюдателя (5.16) асимптотически отслеживает гармоническое воз-

мущение d(t), действующее на ОУ (5.13).

В [70] обсуждается вопрос использования наблюдателя (5.16) совместно с

регулятором, который стабилизирует нелинейную систему без возмущений,

для стабилизации подверженного гармоническим возмущениям ОУ. На пер-

вом этапе синтеза разрабатывается закон управления для объекта, не подвер-

женного влиянию возмущений, после чего в замкнутую систему добавляется

наблюдатель возмущений (5.16). Исследована задача управления нелинейны-

ми системами в условиях гармонических помех неизвестной частоты. Основ-

ной результат работы сформулирован в следующей теореме.

Теорема 3

[70, теорема 3]. Рассмотрим нелинейную систему (5.13),

подверженную влиянию гармонических возмущений (5.14). Замкнутая си-

стема, включающая традиционный (линейный или нелинейный) регулятор,

нелинейный наблюдатель (5.16) и ОУ (5.13), является L₂-устойчивой если:

нелинейный коэффициент усиления L(x) и дополнительная переменная

p(x) выбраны согласно (5.18), (5.19), и выполнены условия [70, теорема 2]:

√

коэффициенты k₁, k₂ удовлетворяют неравенствам k₂ > 0, k₁ >

k₂ω₀ ._n

В [161] рассматривается класс систем, модели которых имеют “номиналь-

ную” линейную часть и неопределенную, нелинейную и, возможно, изменяю-

щуюся во времени часть в виде аддитивного воздействия, зависящего от со-

стояния и времени, а именно:

(5.22)

x(t) = Ax(t) + Bf(t, x), y(t) = C(t)x(t),

где x(t)∈ Rⁿ вектор состояния, y(t)∈ R^q измеряемый в каждый момент

времени t вектор выхода, A, B, C известные матрицы соответствующих

размеров. Неизвестная непрерывная функция f(t, x)∈ R^m моделирует имею-

щиеся в системе неопределенность и нестационарность. Рассматривается за-

дача построения наблюдателя состояния x и неизмеряемого “входного воз-

действия” f.

Сделаны следующие предположения.

Предположение 2.

1) rank CB = rank B;

2) для любого λ ∈ C, такого что Reλ ≥ 0, выполнено

[A - λI B]

(5.23)

rank

= n + rankB.

Как отмечено в [161], нарушение предположения 2.2 для некоторого λ

может повлечь неотличимость по измерениям выхода процессов x(t) ≡ 0 и

f (t, x) ≡ 0, с одной стороны, от процессов x(t) = e^λtx₀, f(t, x) = e^λtv при неко-

торых x₀ = 0 и v = 0 с другой, поэтому оно является естественным с точки

зрения принципиальной возможности решения поставленной задачи оценива-

ния. При выполнении предположений о том, что rank B = m, rank C = p, сде-

ланных в [162] для аналогичной задачи, выполняются и предположения 1, 2.

В [161, лемма 3] устанавливается следующее условие, эквивалентное вы-

полнению предположений 1, 2:

Условие 1. Имеются (n×p)-матрица L, (m×p)-матрица G и

(n × n)-матрица P , P = P^T > 0, такие что:

(5.24)

P (A + LC) + (A + LC)^T

P < 0,

(5.25)

B^T

P = GC.

Замечание 5. Указанное условие встречается в работах по адаптивно-

му управлению под названием гиперминимально-фазовости по отношению к

выходу σ = Gy [163-166].

Для нахождения матриц P , L, G, в [161] предлагается процедура, осно-

ванная на решении ЛМН [167-169]. Отмечено, что выполнение условия 1 эк-

вивалентно тому, что следующая задача минимизации

Задача.

(5.26)

P >I,

(5.27)

PA + KC + (PA + KC)^T

< 0,

[δI B^TP - GC]

(5.28)

≥0

∗

δI

имеет минимум при δ = 0. Матричный коэффициент наблюдателя L нахо-

дится при этом из соотношения

(5.29)

L=P^-1

Далее, после некоторых дополнительных предположений, таких как

rank B = m, существование известной (“номинальной”) функции f₀ и извест-

ных неотрицательных констант β₁ и κ₁ таких, что для всех t∈ R, x, x∈ Rⁿ вы-

полнено ∥f(t, x) - f₀(t, x)∥ ≤ β₁ + κ∥x - x∥, а также ограниченности по нор-

ме производных функций f, f₀ (см. подробнее в [161]), несмотря на то что

асимптотически точное оценивание в рамках данной схемы не может быть

обеспечено, наблюдатель

(

)

(5.30)

x(t) = Ax(t) +

f (t, x) + L

C x(t) - y(t)

x(t₀) = x₀,

(

(5.31)

f (t) = f₀(t, x) - γG

Cx(t) - y(t))

при достаточно большом коэффициенте усиления γ > 0 вырабатывает, асимп-

тотически, оценки переменных x, f в виде x,

f (соответственно) с любой

заданной точностью, см. [161, теорема 1].

Основываясь на подходе [161], в [170] рассматриваются линейные системы

вида

(5.32)

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Gd(t), y(t) = C(t)x(t),

подверженные действию измеряемого u(t)∈ R^m и неизмеряемого d(t)∈ R^q

входов. Переменная d(t) может моделировать как внешние возмущения, так и

присущие системе нелинейность, неопределенность описания и нестационар-

ность параметров. G известная (n × q)-матрица. Остальные обозначения

совпадают с принятыми в (5.22). Предполагается, что матрицы C, G имеют

полный ранг.

В [170] предлагается использовать близкую к (5.30), (5.31) структуру на-

блюдателя, но, основываясь на [54], с интегрированием оценки

d возмуще-

ния d:

(

)

(5.33)

x(t) = Ax(t) + Bu(t) +

d(t) + L

y(t) - C x(t)

(

(5.34)

d(t) = ρK

y(t) - C x(t)),

где ρ > 0

коэффициент усиления (названный в [170] “скоростью обуче-

ния”)⁵. В работе утверждается, что если условия [161, теорема 1] выполнены,

т.е. если существуют матрицы P = P^T > 0, Q = Q^T > 0 такие, что

(5.35)

P (A - LC) + (A - LC)^TP = -Q, G^T

P =KC,

то точное асимптотическое оценивание может быть достигнуто как для со-

стояния, так и для входа, но при этом наблюдатель (5.33), (5.34) “может опе-

рировать только с медленно меняющимися входами” [170].

В [170] ставится задача перехода от наблюдателей полного порядка (5.30),

(5.31) и (5.33), (5.34) к наблюдателям пониженного порядка. Первый из пред-

ложенных наблюдателей описывается уравнениями

(5.36)

Ż(t) = F z(t) + Ly(t) + T Bu(t) + T

d(t), z(t₀) = z₀,

(

)

(5.37)

d(t) = γ

Wy(t) - Nz(t)

где z(t)

d(t) оценки T x(t) и d(t) соответственно, γ > 0 коэффициент уси-

ления, F , T , L, N, W - матрицы, подлежащие выбору при синтезе. В [170,

теорема 2]) найдены достаточные условия предельной ограниченности норм

ошибок оценивания ∥z(t) - T x(t)∥,

d(t) - d(t)∥ произвольными положитель-

ными константами ε₁, ε₂. В условия теоремы входят как матричные соотно-

шения, так и ограничения на ∥d(t)∥ и

d(t)∥.

Второй, “адаптивный”, наблюдатель пониженного порядка имеет вид

(5.38)

Ż(t) = F z(t) + Ly(t) + T Bu(t) + T

d(t), z(t₀) = z₀,

(

)

(5.39)

d(t) = ρ

Wy(t) - Nz(t)

⁵ Неясно, почему в [170] наблюдатель (5.33), (5.34) называется “адаптивным”

это

обычная линейная система с интегралом от ошибки оценивания по выходу.

ρ > 0. Для постоянного возмущения, d = const, в [170, теорема 3] получено,

что при выполнении условий [170, теорема 2] на матрицы наблюдателя (5.38),

(5.39) имеет место асимптотическое стремление к нулю ошибок z(t) - T x(t)

d(t) - d.

Далее, в [170] излагаются алгоритмы синтеза (выбора матриц F , T , L, N,

W) наблюдателей. В частности, показано [170, теорема 4], что для существо-

вания матриц, удовлетворяющих [170, теорема 2], необходимо и достаточно,

чтобы: 1) rank (CG) = rank G и 2) все неустойчивые полюса системы (A, G, C)

соответствовали ненаблюдаемым модам пары (A, C). Тем самым оказыва-

ется, что возможна оценка входа и для некоторых неминимально-фазовых

объектов, а для состояния x(t) ненаблюдаемых объектов возможна оценка

значений линейной функции T x(t).

По мнению авторов, наблюдатель (5.38), (5.39) не отличается от наблю-

дателя Луенбергера [82-85], построенного для расширенной системы (2.6) с

матрицей A_s = 0_q.

Для класса нелинейных систем вида x(t) = F (x) + D(x)u(t) + Dd(t) в [51]

синтезируется наблюдатель возмущений, благодаря использованию которого

задача компенсации возмущений переводится в задачу адаптивного управле-

ния. В [51] используется метод внутренней модели, в рамках которого воз-

мущения рассматриваются как выход d(t) линейной системы x_s(t) = A_sx_s(t),

d(t) = C_sx_s(t), x_s(t)∈ Rns . Для решения задачи адаптивного управления ис-

пользуется метод бэкстеппинга (“обратного шага”) [64, 158, 171-174]. По-

рядок n_s модели возмущений известен, пара (A_s, C_s) считается полностью

наблюдаемой, но матрицы A_s, C_s

неизвестны. На основе результатов

[96, лемма 1], [48, 49] возмущение d(t) представляется как выход системы

Ż(t) = Gz(t) + l d(t), d(t) = θ^Tz(t), где z ∈ Rns , θ^T = C_s M^-1, G гурвицева

матрица порядка n с попарно различными собственными значениями, l

матрица размера (n_s × n) и пара (G, l) полностью управляема. Матрица M

порядка n_s удовлетворяет уравнению Сильвестра MS - GM = l C. Нетруд-

но заметить, что z = Mx_s. Используя результаты [96], неопределенность па-

раметров модели возмущений (матрицы A_s) трансформируется в неопреде-

ленность коэффициентов матрицы θ. Для устранения этой неопределенности

в [51] используется метод бэкстеппинга [158, 172]. В качестве иллюстрации

рассматривается задача управления беспилотным гидросамолетом при раз-

личных волнениях.

В [73] рассматривается задача граничной стабилизации гиперболических

дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных с

помощью обратной связи. Для синтеза регулятора используется метод бэкс-

теппинга [158, 172]. В работе показано, что предложенный метод может быть

использован и для граничного управления распределенными системами тре-

тьего порядка типа Кортевега-де Фриза. Для систем с временным запазды-

ванием исполнительного устройства авторами [73] предложен наблюдатель

состояния. Рассматривается следующая система с постоянным запаздывани-

ем τ > 0:

(5.40)

(t) = AX(t),

(5.41)

Y (t) = CX(t - τ),

пара (A, C) считается полностью наблюдаемой. Уравнение выхода (5.41) пре-

образуется к следующему гиперболическому уравнению первого порядка в

частных производных:

(5.42)

u_t(x,t) = u_x

(x, t),

(5.43)

u(x, τ) = CX(t),

(5.44)

Y (t) = u(0, t),

где обозначено: u_t = ∂u(x, t)/∂t, u_x = ∂u(x, t)/∂x. Для системы (5.40), (5.42)-

(5.44) строится наблюдатель [73, теорема 5]

(

)

(5.45)

X(t) = AX

(t)e^Aτ L

Y (t) - û(0, t)

(

)

(5.46)

û_t(x,t) = û_x(x,t) + Ce^AxL

Y (t) - û(0, t)

(5.47)

û(x, τ) = CX

(t),

где û_t(x, t), û_x(x, t)

оценки переменных u_t(x, t), u_x(x, t) (соответственно).

Матрица L выбирается так, чтобы обеспечить гурвицевость матрицы A-LC.

Результаты получили развитие в [175].

Адаптивное подавление несогласованных (англ. unmatched) неизмеряе-

мых гармонических возмущений с неизвестными параметрами, действующих

на линейную инвариантную по времени систему (система, имеющая постоян-

ные параметры, англ. LTI ) методом бэкстеппинга на основе обратной связи

по производной от состояния объекта, рассматривается в [61]. Исследование

мотивируется задачей стабилизации судна при морском волнении, см. [176],

для которой характерна возможность измерения ускорений, и вычисления

скоростей движения, но не координат. Синтез состоит из следующих шагов:

1) параметризация синусоидальных возмущений в виде выхода известной с

неизвестным выходом, который зависит от неизвестных параметров возмуще-

ний; 2) синтез адаптивного наблюдателя возмущений как для самого возму-

щения, так и его производной; 3) синтез адаптивного регулятора с виртуаль-

ным управлением; 4) окончательный синтез регулятора введением уравнения

ошибки на основе процедуры бэкстеппинга [158, 172].

В [61] рассматривается следующая инвариантная по времени линейная си-

стема со скалярным управлением и многочастотным гармоническим возму-

щением:

(

)

(5.48)

x(t) = Ax(t) + B

p(t) + v(t)

(5.49)

p(t) = a^Tx(t) + b_pp(t) + b_u

u(t),

где x(t)∈ Rⁿ, p(t)∈ R, u(t)∈ R, v(t)∈ R синусоидальное возмущение вида

∑

(5.50)

v(t) =

g_i sin(ω_it + ϕ_i

i=1

где ω_i, g_i, ϕ_i

неизвестные вещественные параметры, причем частоты ω_i

попарно различны (ω_i = ω_j при i = j), а сам процесс возмущений v(t) не из-

меряется датчиками. Возмущение v(t) представляется как выход линейной

экзосистемы (см. также (2.5)-(2.7) и (5.68))

(5.51)

w(t) = Sw(t), v(t) = h^T

w(t),

где (2q × 2q)-матрица S и вектор-столбец h∈ R^2q выбраны соответствующим

образом (см., например, (5.15)).

Делаются следующие предположения.

Предположение 3.

3.1. Матрица A обратима.

3.2. Пара (A, B) управляема.

3.3. b_u = 0.

3.4. Переменные x(t) и v(t) неизмеряемые, а x(t) и p(t) измеряемые.

3.5. Пара (S, h^T) наблюдаема.

3.6. Собственные числа матрицы S мнимые, различные и рациональные.

3.7. натуральное число q известно.

3.8. S и h неизвестны.

3.9. g_i = 0 для всех i ∈ {1, . . . , q}.

В рамках указанных предположений для системы (5.48)-(5.51) в [61] стро-

ится следующий адаптивный регулятор с наблюдателем возмущений:

)

(( ˙θT_l-(1+KB)(b

p -a^TA^-1B)

(1 + KB)b_u

)

(ˆ

θ^TN + (θTN + K)A + (1 + KB)a^TA^-1 - (A^-1B)^TP

+ (1 + KB)(a^TA^-1B)θTξ - (KB +θTl

β^Tξ -˙θ^Tη - θ^T η -

)

(

)

(5.52)

(KB +θTl)² + c

e ,

где c >¹² и

(5.53)

e = p + K ˙x + θTξ.

Алгоритмы настройки параметров регулятораθ(t)

β(t) имеют вид

(

)

(5.54)

θ = -γ_tξ A^-1B^TP ˙x + (1 + KB)(a^TA^-1B)e ,

(

)

(5.55)

β=γ_bξ KB+θ

^Tl ,

где γ_t, γ_b > 0 выбранные разработчиком коэффициенты усиления алгорит-

ма, а матрица P = P^T удовлетворяет матричному уравнению

(

(5.56)

A^-1 + A^-1BK

)^T P + P(A^-1 + A^-1BK)

= -2I.

Используется следующий наблюдатель возмущений

(

)

(5.57)

η=G

η + N(x - Bp)

− NA˙x,

(5.58)

= η + N(˙x - Bp),

где G

(2q × 2q)-гурвицева матрица с попарно различными собственными

числами, образующая управляемую пару с выбранным вектором l ∈ R^2q, а

N матрица размера 2q × n, которая отвечает уравнению NB = l, одним из

решений которого является

(5.59)

N =

lB^T.

B^TB

В [61] приводится иллюстративный пример для системы с матрицами

]

[0]

[

]

a^T =

b_u = b_p = 1,

v(t) = 1,2 sin(0,8t + π/4) - 0,5 sin(t + π/2), c = 0,8, γ_t = γ_b = 2.

Результаты моделирования показывают асимптотическую стабилизацию си-

стемы и сходимость оценки возмущенияθTξ к самому процессу v(t).

Адаптивный регулятор, построенный методом бэкстеппинга предлагается

в [62] для подавления синусоидальных возмущений, действующих на линей-

ную инвариантную во времени скалярную систему с одним входом и неиз-

вестными параметрами, имеющую каноническое управляемое представление

[84, 85, 177], на входе которой имеется линейная подсистема, параметры кото-

рой тоже неизвестны. Рассматриваемая система, таким образом, описывается

уравнениями

(5.60)

x=A₀x+B(γ^T1x+v+bp

p),

(5.61)

p=γ^T2x+b1p+b2

где

]

I_n-1

[0_n-1]

(5.62)

A₀ =^n-1

0^Tn-1

(5.63)

γ₁ = [a₁₁,a₁₂,... ,a_1n]^T,

γ₂ = [a₂₁,a₂₂,... ,a_2n]^T,

0_n-1 = [0,... ,0]^T ∈ R^n-1, x(t)∈ Rⁿ

вектор состояния системы, p(t)∈ R

“ виртуальный вход” системы (5.60), u(t)∈ R управление,b1,b2,bp, γ₁, γ₂

неизвестные постоянные, v(t)∈ R синусоидальное возмущение вида (5.50).

Как обычно, возмущение v(t) представляется в форме решения однородного

уравнения (5.51). По (5.60)-(5.62) видно, что возмущение v не согласовано с

управлением u. Принято, что сигнал управления должен вырабатываться с

использованием только измерений производных по времени от переменных

состояния основной системы и состояния входной подсистемы (прикладной

смысл такого представления поясняется в [61], см. выше). Регулятор пред-

назначен для подавления синусоидальных возмущений, действующих на си-

стему. Синтез регулятора состоит из следующих этапов: 1) параметризация

возмущения в форме выхода известной системы с обратной связью с неизвест-

ным выходом, зависящим от неизвестных параметров возмущения; 2) синтез

адаптивного наблюдателя возмущения для оценки самого возмущения и его

производной по времени; 3) синтез адаптивного регулятора для виртуально-

го управления; 4) синтез окончательного адаптивного регулятора на основе

процедуры бэкстеппинга [158, 172].

В [62] для параметризации возмущений используются результаты [56, 96].

С этой целью выполняется преобразование координат модели возмущений

(5.51), при котором возмущения представляются скалярным произведением

неизвестного постоянного вектора и производной от вектора состояния преоб-

разованной модели. Для оценки этой производной вводится наблюдатель спе-

циального вида, включающий набор фильтров и использующий избыточную

параметризацию. В [62] доказано, что состояние равновесия замкнутой адап-

тивной системы устойчиво и обеспечивается точная асимптотическая оценка

возмущения. Эффективность предложенного регулятора иллюстрируется ре-

зультатами моделирования системы третьего порядка.

В последующей статье [63] этих авторов рассмотрена задача подавления

гармонических возмущений одновременно с компенсацией задержек входного

сигнала. В статье отмечено, что задача синтеза регулятора для подавления

неизвестных синусоидальных возмущений с запаздыванием по управлению

рассмотрена в [57, 59, 74, 75], но в этих работах алгоритмы подавления воз-

мущений получены для систем, параметры которых известны. Целью рабо-

ты [63] является разработка метода, для которого не требуется знания фак-

тических значений параметров системы, что имеет важное прикладное зна-

чение. В [63] адаптивный регулятор предназначен для оценки и подавления

неизвестных синусоидальных возмущений, действующих на линейную инва-

риантную во времени систему в управляемой канонической форме с неиз-

вестными параметрами и запаздыванием по входу через обратную связь по

состоянию объекта. Возмущение представляется в параметризованной форме

на основе методики работы [56]. Суть подхода для компенсации запаздыва-

ния заключается в использовании обратной связи предиктора, предложенной

в [73] в качестве вида граничного управления на основе бэкстеппинга для си-

стем в частных производных [178]. Результаты работ [56, 73] и позволяют

переформулировать рассматриваемую задачу как задачу адаптивного управ-

ления для неопределенной системы, описываемой уравнениями в частных

производных и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Анало-

гично подходу работы [179], законы уточнения оценок неизвестных парамет-

ров основаны на методе Ляпунова.

Синтез регулятора состоит из трех этапов: 1) параметризация синусои-

дального возмущения; 2) представление запаздывания в качестве транспорт-

ного уравнения с распределенными параметрами; 3) разработка адаптивного

управления граничными условиями системы с распределенными параметра-

ми на основе метода бэкстеппинга для распределенных систем. В [63] дока-

зано, что состояние равновесия замкнутой адаптивной системы устойчиво и

обеспечивается точная асимптотическая оценка возмущения. Эффективность

предложенного регулятора иллюстрируется результатами моделирования си-

стемы второго порядка.

В [180] приведена улучшенная версия так называемого “расширенного

наблюдателя”. Улучшение достигается распространением леммы Даяванса

(Dayawansa) [181] на случай систем, нормальная форма которых включает

изменяющиеся во времени (и измеряемые) коэффициенты передачи в систе-

ме, моделируемой цепочкой интеграторов между входом и выходом. Именно:

рассматриваются линейные системы с изменяющимися параметрами

(5.64)

x = A(t)x + Bu, y = C(t)x,

где x(t)∈ Rⁿ, матрицы A(t), B, C(t) имеют вид









-a_n-1g₁(t) g₂(t)









−a_n-2g₁(t)

g₃(t) ...





















(5.65)

A(t) =



,



,









 -a₁g₁(t)

g_n(t)

0

−a₀g₁(t)

[

]

C =

a₀g₁(t)

с зависящими от времени непрерывными функциями g_i(t) такими, что для

некоторых фиксированных g_min, g_max для всех t ≥ 0 и i = 1, 2, . . . , n выпол-

нено 0 < g_min ≤ g_i(t) ≤ g_max. Доказано [180, лемма 2], что для любого γ > 1

имеется набор параметров a₀, . . . , a_n-1 и некоторое λ > 0, таких что вдоль

траекторий системы (5.64) может быть обеспечено выполнение неравенства

диссипации вида

(5.66)

D^+(5.64)

V + ≤ -λV (x) + γ|u| - |y|,

(

)

где D^+(5.64)V

x(t)

производная Дини (Dini) [182] в силу системы (5.64):

(

)

D^+(5.64)V

x(t)

= lim sup

V (x(h + t)) - V (x(t))

h→0⁺ h

где x(t) подчиняется (5.64). В качестве примера в [183] рассматривается за-

дача удержания положения квадротора без измерения углов тангажа и крена

(см. [81]).

5.2. Наблюдатели синусоидальных возмущений

Огромный пласт работ посвящен синтезу наблюдателей синусоидальных

возмущений, где сами возмущения представлены выражением

∑

(5.67)

f (t) = A₀ +

A_i sin(ω_it + ϕ_i

i=1

Здесь A₀ определяет смещение синусоидального сигнала, A_i, ω_i и ϕ_i задают

амплитуду, частоту и фазу i-й составляющей синусоидального сигнала. В за-

висимости от решаемой задачи сигнал f(t) либо измеряется, либо оценивает-

ся. Однако в обоих случаях необходимо восстановить оценку сигнала f(t), для

чего восстанавливается информация о величинах A₀, A_i, ω_i и ϕ_i, i = 1, . . . , n.

Предполагается, что частоты ω_i различны.

Представление возмущений в виде суммы синусоидальных сигналов обу-

словлено несколькими факторами:

1) существует ряд периодических процессов, которые могут описываться

синусоидальными функциями: вращение пропеллера в вентиляционных си-

стемах, гашение колебаний в некоторых типах вибрационных систем и т.п.;

2) возможность представления возмущений в виде синусоидальных сиг-

налов позволяет синтезировать алгоритмы управления, которые могут улуч-

шить качество регулирования по сравнению с алгоритмами, разработанными

в предположении только ограниченности возмущений;

3) возможность представления синусоидальных возмущений в виде си-

стемы дифференциальных уравнений порядка 2n, что позволяет применять

большинство алгоритмов управления и идентификации, разработанных в тео-

рии автоматического управления динамическими объектами.

Перепишем сигнал (5.67) в виде следующего дифференциального уравне-

ния

(5.68)

w(t) = Rw(t), f(t) = Nw(t),

где w(t) ∈ R²ⁿ, матрицы R и N получены при переходе от (5.67) к (5.68).

В литературе представление возмущений в виде некоторого генератора воз-

мущений, в частности в виде (5.68), называется внутренней моделью [44, 47].

С использованием градиентного алгоритма в [55] при A₀ = 0 получен сле-

дующий простой адаптивный идентификатор возмущения

(5.69)

Θ(t) = α(f

- f)W(t),

где α > 0 коэффициент, от значения которого зависит скорость идентифи-

∑_n

кации частоты

f =

λ_2ih_2i +

ϕi-1h2i-1, h = [h1, . . . , h2n], λi коэф-

i=1

фициенты гурвицевого полинома γ(s) = s²ⁿ + λ_2ns^2n-1 + · · · + λ₂s + λ₁, s

комплексная переменная,













h=Λh+bf,b=[0,...,0,1]T_,Λ=



,









−λ₁

-λ₂

-λ₃

-λ_2n

ϕi = λ2i+1 -θn-i, Θ = [θ1, . . . ,θn]^T, W (t) = col {h1(t), h3(t), . . . , h2n-1(t)}.

Сигналы

θ₁,... ,θn являются репараметризованными оценками исходных

неизвестных частот ω₁, . . . , ω_n.

Алгоритмы, подобные [55], рассматривались в [184, 185]. В [186] решена за-

дача идентификации сигнала (5.67) с неизвестным значением n. Достоинства

данных алгоритмов состоят в простоте их вывода и реализации. Моделирова-

ние показывает, что не всегда можно получить удовлетворительное качество

переходных процессов в смысле малого значения перерегулирования и вре-

мени переходного процесса. При этом сложность и динамический порядок

алгоритмов существенно возрастает при увеличении числа синусоидальных

сигналов. Кроме того, качество идентификации значительно зависит от на-

личия несинусоидальных составляющих.

В [187] приведен алгоритм оценки возмущения (5.67) (при n = 1) с наличи-

ем несинусоидальной аддитивной ограниченной составляющей Δf(t). В дан-

ном случае идентификатор возмущения описывается уравнениями

{

√

}

ω(t) = max ω,

|θ1(t)| ,

σ(t) = ω(t)^-2 θ₂(t),

θ(t) = χ(t) +

k˙ξ(t)ϕ(t),

(5.70)

χ(t) = -kϕ(t)ϕ(t)^T θ(t) -

k˙ξ(t)ϕ˙(t),

ζ₁(t) = ζ₂(t),

˙ζ₂(t) = -2λζ₂(t) - λ²ζ₁(t) + λ²f(t),

где ϕ(t) = [-ζ₁(t) 1]^T,θ(t) = [θ1(t)θ2(t)]^T, λ > 0 и k > 0. Однако для реа-

лизации алгоритма (5.70) нижние оценки ω ≤ ω, A₀ ≤ A₀ и A₁ ≤ A₁ должны

быть известны.

В отечественной литературе также предложено много оригинальных работ

по построению наблюдателей и идентификаторов синусоидальных сигналов

с дальнейшей компенсацией возмущений. Подавляющая часть работ в дан-

ном направлении опубликована сотрудниками Университета ИТМО с целью

уменьшения времени идентификации и уменьшения величины перерегулиро-

вания. В отличие от [55, 184-186] далее будут представлены работы по оценке

и компенсации возмущений, которые действуют на объект управления и не

подлежат прямому измерению. В работе [188] рассматривается компенсация

синусоидальных возмущений для минимально-фазовых SISO ОУ с измеряе-

мым выходным сигналом, представленных в виде

(5.71)

a(p)y(t) = b(p)u(t) + c(p)f(t),

где возмущение f определено выражением (5.67) при n = 1, p = d/dt опе-

ратор дифференцирования, a(p), b(p) и c(p) линейные дифференциальные

операторы с постоянными неизвестными коэффициентами, y и u скалярные

сигналы. Центральным моментом в [188] является представление гармониче-

ского сигнала со смещением как линейного выхода линейной канонической

системы с неизвестным параметром θ

x₁ = x₂,

x₂ = x₃,

x₃ = -θx₂,

f =k₁x₁ +k₂x₂ +k₃x₃,

где k₁ = α³, k₂ = 3α², k₃ = 3α, α > 0, параметр θ подлежит оценке. Для ре-

шения задачи закон управления представляется в виде суммы

(5.72)

u(t) = u₁(t) + u₂

(t),

где сигнал u₁ необходим для стабилизации ОУ, а сигнал u₂ - для компенсации

возмущений. Для оценки синусоидального возмущения и его компенсации

строится следующий наблюдатель и закон управления u₂:

˙ξ(t) = A₀ x(t) - dθx₂(t) + dµy(t),

(5.73)

x(t) = ξ(t) + dµy(t),

u₂(t) = -k₁x₁(t) - k₂x₂(t) - k₃x₃(t).





Здесь A₀ =0

1,d=[001]T,x=[x1, x2, x3]T, µ можно выбирать как

∫t

положительное число или настраивать согласно алгоритму µ(t) =

r(g)dg,

где r(t) = r₀ > 0 при |y(t)| > ε или r(t) = 0 при |y(t)| ≤ ε, ε > 0 точность

регулирования в установившемся режиме. Стабилизирующая составляющая

задается в виде u₁ = -γy с алгоритмом настройки γ = γ₀y². Алгоритм (5.73)

по сравнению с [55, 184-186] позволяет оценить и скомпенсировать синусои-

дальные возмущения по косвенным измерениям, т.е. по измерениям только

выходного сигнала ОУ. При этом условия согласования для ОУ могут быть

не выполнены, что не позволит реализовать непосредственную компенсацию

возмущений.

В работе [189] рассматривается компенсация синусоидальных возмущений

для SISO ОУ вида

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Bf(t),

(5.74)

y(t) = Cx(t),

где f = A sin(ωt + ϕ). Модель ОУ преобразуем к виду

a(p)y(t) = b(p)(u(t) + f(t)),

где полином a(s) гурвицев и коэффициенты полиномов a(s) и b(s) извест-

ны. Поскольку ОУ устойчивый с известными постоянными параметрами, то

ресурс управления тратится только на компенсацию возмущения. Для ком-

пенсации синусоидального возмущения используется следующий алгоритм

u(t) = -

w(t + R

T ),

ζ(t) + ζ(t) +

θ(t)ζ(t),

α²



ϕ

R=



,

2π

T =

при

ω = 0,



b(jω)



,

 a(j ω)

b(j ω)

ϕ = arg

a(j ω)

√

ŵ(t) =

|θ(t)|,

θ(t) = kα²ζ(t)(y(t) - u(t) - ω(t)),

(p + α)²ζ(t) = α²(y(t) - u(t)),

a(p)u(t) = b(p)u(t),

где j =

√-1

мнимая единица. По сравнению с [190] в [189] алгоритм управ-

ления позволяет сократить время оценивания параметров возмущения. Одна-

ко данный факт можно проиллюстрировать только на численных примерах

моделирования.

В [58] рассматривается компенсация возмущения (5.67) при A₀ = 0 и

n = 1, которое аддитивно действует только на выходе ОУ (5.74) в виде

y(t) = Cx(t) + f(t). Строится следующий наблюдатель

δ(t) = σ sin(ωt),

pγ(p)σ(t) = βa(p)sin(ωt)(w(t) - ŵ(t)),

√

θ(t) = kς(t)(z(t) - z(t)),

ω(t) =

|θ(t)|,

z(t) = w(t) - 2ς˙(t) - ς(t),

(5.75)

˙ς₁(t) = ς₂(t),

˙ς₂(t) = -2ς₂(t) - ς₁(t) + w(t),

ς(t) = ς₁(t),

γ(p)w(t) = γ(p)y(t) - a₁(p)y(t) - b(p)u(t).

Здесь β > 0, γ(s)

произвольный гурвицев полином степени n, a₁(p) =

= γ(p) - a₁(p).

В работах [189, 190] результаты из [57, 59, 60] используются для решения

задачи адаптивной компенсации возмущений в линейных и нелинейных ОУ

с известным запаздыванием в канале управления. Модель нелинейного ОУ

представлена в виде дифференциального уравнения

x(t) = Ax(t) + Bu(t - τ) + Gϕ(y(t)) + Ef(t),

y(t) = Cx(t),

где x ∈ Rⁿ вектор состояния, u скалярное управление, y скалярный

выходной сигнал, ϕ неизвестная нелинейность. Матрицы ОУ и запаздыва-

ние известны. Предполагается, что модель x(t) = Ax(t) + Gϕ(y(t)) экспо-

ненциально устойчивая. Возмущение описывается функцией вида (5.67). Для

компенсации возмущений используется сигнал управления

(

)

∑

ϕi

u(t) = -

σ-

f_i t + τ -

L₀

L_i

ω_i

i=1



(0)



(j ω_i)



где L₀ =

^b

, L_i =

^b

,

ϕi = argb(jωi)a(jˆω

оценка фазы возмущения ϕ_i,

a(0)

a(j ω_i)

ω_i

оценка частоты возмущения ω_i, которая получена с помощью алгорит-

ма, аналогичного (5.75). Теоретические результаты работ [189, 190] экспери-

ментально исследованы на маятнике на тележке в [60].

В [79] результаты [57, 59, 60] обобщены на решение задачи управления объ-

ектом при наличии неизвестного запаздывания в канале управления. В дан-

ном случае с учетом того что возмущение периодическое, оно оценивалось

вместе с неизвестным запаздыванием и строился прогноз возмущения на вре-

мя запаздывания.

6. Заключение

Наблюдатели возмущений находят все более широкое применение в тео-

рии и практике построения систем управления, и им посвящена обширная

литература. Так, по состоянию на сентябрь 2019 г. в системе Scopus по клю-

чевым словам “disturbance”&“observer” имеется более 16 тысяч цитирований.

В частности, статья [18] в течение 10 лет после опубликования получила 2122

цитирования, статья [107]

750 цитирований, обзор [80] за три года получил

525 цитирований. Это говорит о высокой востребованности данного направ-

ления для современной теории и практики построения автоматических си-

стем. В настоящем обзоре авторами сделана попытка представить основные

теоретические результаты и направления исследований по синтезу и приме-

нению наблюдателей возмущений. Практическим приложениям будет посвя-

щена следующая часть обзора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sariyildiz E., Oboe R., Ohnishi K. Disturbance Observer-Based Robust Control and

Its Applications: 35th Anniversary Overview // IEEE Trans. Ind. Electron. 2020.

V. 67. No. 3. P. 2042-2053.

2. Athans M. On the LQG Problem // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. Dec.

V. 16. No. 6. P. 528-528.

3. Rosenbrock H., McMorran P. Good, Bad, or Optimal? // IEEE Trans. Automat.

Control. 1971. Dec. V. 16. No. 6. P. 552-554.

4. Doyle J. Guaranteed Margins for LQG Regulators // IEEE Trans. Automat. Con-

trol. 1971. Aug. V. 23. No. 4. P. 756-757.

5. Pearson J., Staats P. Robust Controllers for Linear Regulators // IEEE Trans.

Automat. Control. 1974. Jun. V. 19. No. 3. P. 231-234.

6. Davison E.J., Goldenberg A. Robust Control of a General Servomechanism Problem:

The Servo Compensator // Automatica. 1975. V. 11. No. 5. P. 461-471.

Davison E. the Robust Control of a Servomechanism Problem for Linear Time-

Invariant Multivariable Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1976. Feb.

V. 21. No. 1. P. 25-34.

Schweppe F. Recursive State Estimation: Unknown But Bounded Errors and System

Inputs // IEEE Trans. Automat. Control. 1968. V. 13. No. 1. P. 22-28.

Bhattacharyya S. the Structure of Robust Observers // IEEE Trans. Automat.

Control. 1976. August. V. 21. No. 4. P. 581-588.

10.

Bhattacharyya S. Observer Design for Linear Systems with Unknown Inputs //

IEEE Trans. Automat. Control. 1978. V. 23. No. 3. P. 483-484.

11.

Meditch J., Hostetter G. Observers for Systems with Unknown And Inaccessible

Inputs // Int. J. Control. 1974. V. 19. No. 3. P. 473-480.

12.

Johnson C.D. Optimal Control of the Linear Regulator with Constant Distur-

bances // IEEE Trans. Automat. Control. 1968. V. 13. No. 4. P. 416-421.

13.

Johnson C.D. Further Study of the Linear Regulator with Disturbances the Case

of Vector Disturbances Satisfying a Linear Differential Equation // IEEE Trans.

Automat. Control. 1970. V. AC-15. No. 2. P. 222-228.

14.

Johnson C. Accommodation of External Disturbances in Linear Regulator and Ser-

vomechanism Problems // IEEE Trans. Automatic Control. 1971. V. 16. No. 6.

P. 635-644.

15.

Johnson C. Accommodation of Disturbances in Optimal Control Problems // Int.

J. Control. 1972. V. 15. No. 2. P. 209-231.

16.

Doyle J.C. Structured Uncertainty in Control System Design // Proc. Conf. Deci-

sion and Control (CDC’85), Fort Lauderdale, USA. Piscataway, NJ, USA: IEEE,

1985. P. 260-265.

17.

Francis B.A., Wonham W.M. The Internal Model Principle of Linear Control The-

ory // IFAC Proc. Volumes. 1975. V. 8. No. 1, Part 1. P. 331-336. (6th IFAC

World Congress (IFAC 1975) - Part 1: Theory, Boston/Cambridge, MA, USA,

August

24-30,

1975). URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/

S1474667017677565.

18.

Han J. From PID to Active Disturbance Rejection Control // IEEE Trans. Ind.

Electron. 2009. V. 56. No. 3. P. 900-906.

19.

Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования.

Изд. 4-е, перераб. и дополн. СПб: “Профессия”, 2003.

20.

Клейман Е.Г., Мочалов И.А. Идентификация нестационарных объектов //

АиТ. 1994. № 2. C. 3-22.

Kleˇıman E.G., Mochalov I.A. Identification of Time-Dependent Plants // Autom.

Remote Control. 1994. V. 55. No. 2. P. 149-163.

21.

Клейман Е.Г. Идентификация входных сигналов в динамических системах //

АиТ. 1999. № 12. C. 3-15.

Kleˇıman E.G. Identification of Input Signals in Dynamical Systems // Autom.

Remote Control. 1999. V. 60. No. 12. P. 1675-1685.

22.

Sunahara Y. Identification of Distributed-Parameter Systems // Distrib. param.

control syst. Theory and appl. 1982. P. 57-86.

23.

Ohnaka K., Uosaki K. Identification of the External Input of Distributed-Parameter

Systems by the Boundary-Element Approach // Int. J. Control. 1986. V. 43. No. 4.

P. 1125-1133.

24.

Ohnaka K., Uosaki K. Simultaneous Identification of the External Input and Pa-

rameters of Diffusion Type Distributed Parameter Systems // Int. J. Control. 1989.

V. 46. No. 3. P. 889-895.

25.

Ohnaka K., Uosaki K. Boundary Element Approach for Identification of Point

Forces of Distributed Parameter Systems // Int. J. Control. 1989. V. 49. No. 1.

P. 119-127.

26.

Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамиче-

ской системе // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1983. № 2. C. 29-41.

27.

Ким А.В., Короткий A.M. Динамическое моделирование возмущения в пара-

болических системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1989. № 6. C. 78-84.

28.

Короткий А.И., Осипов Ю.С. Динамическое моделирование параметров в ги-

перболических системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. № 2.

C. 154-164.

29.

Богуславский И.А., Пятенко Т.В. Идентификация возмущений динамической

системы // Докл. АН СССР. 1990. T. 310. № 3. C. 549-553.

30.

Kurek J. Observation of the State Vector of Linear Multivariable Systems with

Unknown Inputs // Int. J. Control. 1982. V. 36. No. 3. P. 511-515.

31.

Любчик Л.М., Толстопятова С.В. Оптимальное оценивание входных сигна-

лов дискретных стохастических систем // Вестн. Харьков. ун-та. 1988. № 252.

C. 5-7.

32.

Херманис Э.Х. Сведение задачи восстановления сигнала к задаче идентифи-

кации системы // Аналого-дискретное преобразование сигналов. 1981. № 5.

C. 103-111.

33.

Борухов В.Г., Колесников П.М. Идентификация входных воздействий систем

с распределенными параметрами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983.

№ 3. C. 168-174.

34.

Корноушенко Е.К. Восстановление скалярного сигнала на входе дискретной

линейной нестационарной системы // АиТ. 1991. № 6. C. 84-94.

Kornoushenko E.K. Reconstruction of Scalar Input Signals for Discrete Linear Non-

stationary Systems // Autom. Remote Control. 1991. V. 52. No. 6. P. 815-824.

35.

Корноушенко Е.К. Восстановление входных сигналов в дискретных линей-

ных нестационарных системах по накопленным данным // АиТ. 1992. № 12.

C. 40-51.

Kornoushenko E.K. Reconstruction of Input Signals in Discrete Linear Time-

Dependent Systems on the Basis of Accumulated Data // Autom. Remote Control.

1992. V. 53. No. 12. P. 1852-1862.

36.

Fhirin M. ARMАХ Lattice Algorithm for Identification and Prediction of Dynamic

Systems // Int. J. Syst. Sci. 1990. V. 21. No. 4. P. 771-781.

37.

Murio D., Hinestroza D. Numerical Identification of Forcing Terms by Discrete

Mollification // Computers & Mathematics with Applications 1988. V. 17. No. 11.

P. 1441-1447.

38.

Kobayashi T. Discrete-Time Observers and Parameter Determination for Dis-

tributed Parameter Systems with Discrete-Time Input-Output Data // SIAM J.

Contr. Optim. 1983. V. 21. No. 3. P. 331-351.

39.

Ahlén A. Identifiability of the Deconvolution Problem // Automatica. 1990. V. 26.

No. 1. P. 177-181.

40.

Davison E.J. the Output Control of Linear Time-Invariant Multivariable Systems

with Unmeasurable Arbitrary Disturbances // IEEE Trans. Automat. Control.

1972. Oct. V. 17. No. 5. P. 621-630.

41.

Francis B.A., Wonham W.M. The Internal Model Principle for Linear Multivariable

Regulators // Appl. Math. Opt. 1975. V. 2. No. 2. P. 170-194.

42.

Francis B.A., Wonham W.M. The Role of Transmission Zeros in Linear Multivari-

able Regulators // Int. J. Control. 1975. V. 22. No. 5. P. 657-681.

43.

Francis B.A., Wonham W.M. The Internal Model Principle of Control Theory //

Automatica. 1976. V. 12. No. 5. P. 457-465.

44.

Wonham W.M. Linear Multivariable Control: a Geometric Approach (3rd Ed.) /

Ed. A.V. Balakrishnan, I. Karatzas, M. Yor. N.Y.: Springer-Verlag, 1985. V. 10 of

Applications of Mathematics.

45.

Gorez R., Galardini D., Zhu K.Y. Internal Model Control and Disturbance Ob-

servers // Proc. 30th IEEE Conf. Decision and Control (CDC’91), Brighton, UK.

V. 1. Piscataway, NJ, USA: IEEE, 1991. P. 229-234.

46.

Цыпкин Я.З. Адаптивно-инвариантные дискретные модели управления //

АиТ. 1991. № 5. C. 96-121.

Tsypkin Ya.Z. Adaptively Invariant Discrete Control System // Autom. Remote

Control. 1991. V. 52. No. 5. P. 673-696.

47.

Isidori A. Nonlinear Control Systems (3rd edn). N.Y.: Springer, 1995.

48.

Nikiforov V.O. Adaptive Servomechanism Controller with an Implicit Reference

Model // Int. J. Control. 1997. V. 68. No. 2. P. 277-286.

49.

Nikiforov V.O. Adaptive Non-Linear Tracking with Complete Compensation of Un-

known Disturbances // Europ. J. Control. 1998. V. 4. No. 2. P. 132-139.

50.

Цыпкин Я.З. Робастно оптимальные дискретные системы управления // АиТ.

1999. № 3. C. 25-37.

Tsypkin Ya.Z. Robustly Optimal Discrete Control Systems // Autom. Remote Con-

trol. 1991. V. 60. No. 3. P. 315-324.

51.

Du H., Fan G., Yi J., et al. Disturbance Compensated Adaptive Backstepping

Control for an Unmanned Seaplane // Proc. 2014 IEEE Int. Conf. on Robotics and

Biomimetics (ROBIO 2014), Bali, Indonesia. Piscataway, NJ, USA: IEEE, 2014.

Dec. 5-10. P. 1725-1730.

52.

Sariyildiz E., Ohnishi K. A Guide to Design Disturbance Observer // J. Dyn. Sys.

Meas. Control. 2014. V. 136. No. 2.

53.

Johnson C. Adaptive Controller Design Using Disturbance-Accommodation Tech-

niques // Int. J. Control. 1985. V. 42. No. 1. P. 193-210.

54.

Wang H., Daley S. Actuator Fault Diagnosis: an Adaptive Observer-Based Tech-

nique // IEEE Trans. Automat. Control. 1996. V. 41. P. 1073-1078.

55.

Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Trans.

Automat. Control. 2002. V. 47. No. 7. P. 1188-1193.

56.

Никифоров В.О. Наблюдатели внешних детерминированных возмущений II.

Объекты с неизвестными параметрами // АиТ. 2004. № 11. C. 40-48. URL:

http://mi.mathnet.ru/at1658.

Nikiforov V.O. Observers of External Deterministic Disturbances. II. Objects With

Unknown Parameters // Autom. Remote Control. 2004. V. 65. No. 11. P. 1724-

1732.

57.

Бобцов А.А., Пыркин А.А. Компенсация гармонического возмущения в услови-

ях запаздывания по управлению // Изв. РАН. Теория и системы управления.

2008. № 4. C. 19-23.

58.

Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Адаптивный наблюдатель неиз-

вестного синусоидального выходного возмущения для линейного объекта //

АиТ. 2009. № 11. C. 108-116. URL: http://mi.mathnet.ru/at558.

Aranovskii S.V., Bobtsov A.A., Pyrkin A.A. Adaptive Observer of an Unknown

Sinusoidal Output Disturbance for Linear Plants // Autom. Remote Control. 2009.

V. 70. No. 11. P. 1862-1870.

59.

Pyrkin A.A., Smyshlyaev A., Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Rejection of Sinusoidal

Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // Proc.

American Control Conf. (ACC 2010), Baltimore, USA. IEEE, 2010. 30 June-2 July.

P. 5688-5693.

60.

Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Kapitanyuk Y.A., et al. Adaptive Cancellation of Un-

known Multiharmonic Disturbance for Nonlinear Plant with Input Delay // Proc.

19th Mediterranean Conf. Control Automation (MED 2011), Corfu, Greece. Pis-

cataway, NJ, USA: IEEE, 2011. 20-23 June.

61.

Bastürk H.

I., Krstic M. Adaptive Backstepping Cancelation of Unmatched Un-

known Sinusoidal Disturbances for Unknown LTI Systems by State Derivative Feed-

back // Proc. ASME 5th Annual Dynamic Systems and Control Conf. joint with

the JSME 11th Motion and Vibration Conf. (DSCC2012-MOVIC2012). Fort Laud-

erdale, Florida, USA: 2012. Oct. 17-19. P. 6054-6059.

62.

Basturk H.I., Krstic M. State Derivative Feedback for Adaptive Cancellation of

Unmatched Disturbances in Unknown Strict-Feedback LTI Systems // Automatica.

2014. V. 50. P. 2539-2545.

63.

Basturk H.I., Krstic M. Adaptive Sinusoidal Disturbance Cancellation for Unknown

LTI Systems Despite Input Delay // Automatica. 2015. V. 58. P. 131-138.

64.

Андриевский Б.Р., Бобцов А.А., Фрадков А.Л. Методы анализа и синтеза нели-

нейных систем управления. М.-Ижевск: ИКИ, 2018.

65.

Utkin V., Guldner J., Shi J. Sliding Mode Control In Electromechanical Systems.

Boka Raton, London, N.Y.: Taylor & Francis, 1999.

66.

Krasnova S.A., Utkin V.A. Prelimit Implementation of States and Disturbances

Observer on Sliding Modes // Proc. 2015 Int. Workshop on Recent Advances in

Sliding Modes, RASM 2015. Piscataway, NJ, USA: IEEE, 2015. 9-11 Apr.

67.

Brown M., Shtessel Y.B. Disturbance Rejection Techniques for Finite Reaching

Time Continuous Sliding Mode Control // Proc. American Control Conference

(ACC 2001), Arlington, Virginia, USA. V. 6. Piscataway, NJ: IEEE Publications,

2001. June, 24. P. 4998-5003.

68.

Massey T., Shtessel Y. Continuous Traditional and High-Order Sliding Modes for

Satellite Formation Control // J. Guid., Contr. Dynam. 2005. July-Aug. V. 28.

No. 4. P. 826-831.

69.

Besnard L., Shtessel Y.B., Landrum B. Quadrotor Vehicle Control Via Sliding Mode

Controller Driven by Sliding Mode Disturbance Observer // J. Franklin I. 2012.

V. 349. No. 2. P. 658-684.

70.

Chen W.-H. Nonlinear Disturbance Observer Based Control for Nonlinear Systems

with Harmonic Disturbances // IFAC Proc. Volumes. 2001. V. 34. No. 6. P. 329-

334. (Proc. 5th IFAC Sympos. on Nonlinear Control Systems 2001, St. Petersburg,

Russia, 4-6 July 2001.)

71.

Краснова С.А., Кузнецов С.И. Оценивание на скользящих режимах неконтро-

лируемых возмущений в нелинейных динамических системах // АиТ. 2005.

№ 10. C. 54-69. URL: http://mi.mathnet.ru/at1443.

Krasnova S.A., Kyznetsov S.I. Uncontrollable Perturbations of Nonlinear Dynamic

Systems: Estimation on Moving Modes // Autom. Remote Control. 2005. V. 66.

No. 10. P. 1580-1593.

72.

Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления линейными динамическими

объектами по выходу // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 8.

C. 7-12.

73.

Krstic M., Smyshlyaev A. Backstepping Boundary Control for First-Order Hyper-

bolic PDEs and Application to Systems with Actuator and Sensor Delays // Syst.

Control Lett. 2008. V. 57. No. 9. P. 750-758.

74.

Бобцов А.А., Колюбин С.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного муль-

тигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по

управлению // АиТ. 2010. № 11. C. 136-148.

Bobtsov A.A, Kolyubin S.A., Pyrkin A.A. Compensation of Unknown Multi-

Harmonic Disturbances in Nonlinear Plants with Delayed Control // Autom. Re-

mote Control. 2010. V. 71. No. 11. P. 2383-2394.

75.

Pyrkin A., Smyshlyaev A., Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Output Control Algo-

rithm for Unstable Plant with Input Delay and Cancellation of Unknown Biased

Harmonic Disturbance // IFAC Proc. Volumes. 2010. V. 43. No. 2. P. 39-44.

76.

Зайцева М.В., Паршева Е.А. Компенсация возмущений и помех при управ-

лении линейным объектом // АиТ. 2011. № 10. C. 28-38. URL: http://

mi.mathnet.ru/ at2287.

Zaitseva M.V., Parsheva E.A. Compensating for Noise And Perturbances in Linear

Object Control // Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 10. P. 2031-2040.

77.

Фуртат И.Б. Робастная синхронизация динамической сети с компенсацией

возмущений // АиТ. 2011. № 12. C. 104-114.

Furtat I.B. Robust Synchronization of Dynamical Networks With Compensation of

Disturbances // Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 12. P. 2516-2526.

78.

Фуртат И.Б. Робастное управление определенным классом неминимально-

фазовых динамических сетей // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2014.

№ 1. C. 35-48.

79.

Borisov O.I., Gromov V.S., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A. Stabilization of Linear

Plants with Unknown Delay and Sinusoidal Disturbance Compensation // Proc.

24th Mediterranean Conf. Control and Automation (MED 2016). Piscataway, NJ,

USA: IEEE, 2016. June 21-24. P. 426-430.

80.

Chen W.-H., Yang J., Guo L., Li S. Disturbance-Observer-Based Control and Re-

lated Methods

an Overview // IEEE Trans. Ind. Electron. 2016. Feb. V. 63.

No. 2. P. 1083-1095.

81.

Андриевский Б.Р., Фуртат И.Б. Наблюдатели возмущений. Методы и прило-

жения. Часть 2. Приложения // АиТ. 2020.

82.

Luenberger D.G. Observing the State of a Linear System // IEEE Trans. Mil.

Electron. 1964. April. V. 8. No. 2. P. 74-80.

83.

Luenberger D.G. an Introduction To Observers // IEEE Trans. Automat. Control.

1971. Dec. V. 16. P. 596-602.

84.

Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука,

1976.

85.

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического

управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.

86.

Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.:

Мир, 1986.

87.

Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Уч. пос. М.:

Наука, 1986.

88.

Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красов-

ского. М.: Физматлит, 1987.

89.

Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Маши-

ностроение, 1976.

90.

Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с

неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

91.

Chen Y.H. Adaptive Robust Observers for Non-Linear Uncertain Systems // Int.

J. Syst. Sci. 1990. V. 21. No. 5. P. 803-814.

92.

Wang Z., Huang B., Unbehauen H. Robust H_∞ Observer Design of Linear Time-

Delay Systems with Parametric Uncertainty // Syst. Control Lett. 2001. V. 42.

No. 4. P. 303-312.

93.

Lin H., Zhai G., Antsaklis P.J. Set-Valued Observer Design for A Class of Uncer-

tain Linear Systems with Persistent Disturbance and Measurement Noise // Int. J.

Control. 2003. V. 76. No. 16. P. 1644-1653.

94.

Lüders G., Narendra K. an Adaptive Observer and Identifier for A Linear System //

IEEE Trans. Automat. Control. 1973. October. V. 18. No. 5. P. 496-499.

95.

Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. Учебное пособие. М.:

Высш. шк., 1989.

96.

Никифоров В.О. Наблюдатели внешних детерминированных возмущений I.

Объекты с известными параметрами // АиТ. 2004. № 10. C. 13-24. URL: http://

mi.mathnet.ru/at1642.

Nikiforov V.O. Observers of External Deterministic Disturbances. I. Objects With

Known Parameters // Autom. Remote Control. 2004. V. 65. No. 10. P. 1531-1541.

97.

Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамиче-

скими объектами. М.: Наука, 1981.

98.

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,

1974.

99.

Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравне-

ния. 2-е изд. М.: Наука, 1998.

100.

Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое ре-

гулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980.

101.

Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернети-

ки. М.: Госэнергоиздат, 1982.

102.

Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управ-

ления: Учебное пособие для втузов. Второе издание, пероработанное и до-

полненное. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,

1989.

103.

Sun J., Wang C., Xin R. Anti-Disturbance Study of Position Servo System Based

on Disturbance Observer // IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. No. 4. P. 202-207.

104.

Davison E.J., Smith H.W. Pole Assignment in Linear Time-Invariant Multivariable

Systems with Constant Disturbances // Automatica. 1971. V. 7. No. 4. P. 489-498.

105.

Simon J.D., Mitter S.K. a Theory of Modal Control // Inform. Control. 1968. V. 13.

No. 4. P. 316-353.

106.

Galeani S., Menini L., Potini A. Robust Trajectory Tracking for A Class of Hybrid

Systems: an Internal Model Principle Approach // IEEE Trans. Automat. Control.

2012. V. 57. No. 2. P. 344-359.

107.

Davison E.J. the Robust Control of a Servomechanism Problem for Linear Time-

Invariant Multivariable Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1976. Feb.

V. 21. No. 1. P. 25-34.

108.

Schrijver E., van Dijk J. Disturbance Observers for Rigid Mechanical Systems:

Equivalence, Stability, and Design // J. Dyn. Sys. Meas. Control. 2002. Dec. V. 124.

No. 4. P. 539-548.

109.

Lee H.S., Tomizuka M. Robust Motion Controller Design for High-Accuracy Posi-

tioning Systems // IEEE Trans. Ind. Electron. 1996. V. 43. No. 1. P. 48-55.

110.

Mita T., Hirata M., Murata K., Zhang H. H-infinity Control Versus Disturbance-

Observer-Based Control // IEEE Trans. Ind. Electron. 1998. Jun. V. 45. No. 3.

P. 488-495.

111.

Bickel R., Tomizuka M. Passivity-Based Versus Disturbance Observer Based Robot

Control: Equivalence and Stability // J. Dyn. Sys. Meas. Control. 1999. V. 121.

No. 1. P. 41-47.

112.

Umeno T., Kaneko T., Hori Y. Robust Servosystem Design with Two Degrees of

Freedom and Its Application To Novel Motion Control of Robot Manipulators //

IEEE Trans. Ind. Electron. 1993. Oct. V. 40. No. 5. P. 473-485.

113.

Umeno T., Hori Y. Robust Speed Control of DC Servomotors Using Modern Two

Degrees-of-Freedom Controller Design // IEEE Trans. Ind. Electron. 1991. Oct.

V. 38. No. 5. P. 363-368.

114.

Ohishi K., Ohnishi K., Miyachi K. Torque-Speed Regulation of DC Motor Based

On Load Torque Estimation Method // Proc. Int. Power Electronics Conf. (IPEC-

Tokyo ’83) Tokyo, Japan / Ed. D. Gakkai. Inst. Electrical Engineers of Japan, 1983.

March 27-31. V. 2. P. 1209-1218.

115.

Ohnishi K. New Development of Servo Technology in Mechatronics // IEEE Trans.

Ind. Applicat. 1987. V. 107. No. 1. P. 83-86.

116.

Цыкунов А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограничен-

ных возмущений // АиТ. 2007. № 7. C. 103-115.

Tsykunov A.M. Robust Control Algorithms With Compensation of Bounded Per-

turbations // Autom. Remote Control. 2007. V. 68. No. 7. P. 1213-1224.

117.

Atassi A.N., Khalil H.K. a Separation Principle for The Stabilization of a Class

of Nonlinear Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Sep. V. 44. No. 9.

P. 1672-1687.

118.

Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Робастное управление нестационарными нели-

нейными структурно неопределенными объектами // Пробл. управления. 2008.

№ 5. C. 2-7.

119.

Furtat I., Fridman E., Fradkov A.L. Disturbance Compensation With Finite Spec-

trum Assignment for Plants with Input Delay // IEEE Trans. Automat. Control.

2018. V. 63. No. 1. P. 298-305.

120.

Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite Spectrum Assignment Problem for Systems with

Delays // IEEE Trans. Automat. Control. 1979. V. AC-24. No. 4. P. 541-553.

121.

Фуртат И.Б., Гущин П.А. Алгоритм управления объектами с запаздывающим

входным сигналом на базе субпредикторов регулируемой величины и возмуще-

ния // АиТ. 2019. № 2. C. 3-21.

Furtat I.B., Gushchin P.A. A Control Algorithm for an Object with Delayed In-

put Signal Based on Subpredictors of the Controlled Variable and Disturbance //

Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 2. P. 201-216.

122.

Фуртат И.Б. Алгоритм робастного управления линейными объектами с век-

торными входами-выходами в условии насыщения сигнала управления // Ме-

хатроника, автоматизация, управление. 2016. № 9. C. 579-587.

123.

Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу мат-

ричных систем. Калуга: Изд-во научной литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006.

124.

Проскурников А.В., Якубович В.А. Универсальные регуляторы в задачах оп-

тимального управления с эталонной моделью при неизвестных внешних сигна-

лах // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2012. № 2. C. 49-62.

125.

Краснова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния дина-

мических систем. М.: Наука, 2006.

126.

Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. M.: Сов. радио, 1979.

127.

Близорукова М.С., Максимов В.И., Пандолфи Л. Динамическая реконструкция

входа в нелинейной системе с запаздыванием // АиТ. 2002. № 2. C. 3-13.

Blizorukova M.S., Maksimov V.I., Pandolfi L. Dynamic Input Reconstruction for a

Nonlinear Time-Delay System // Autom. Remote Control. V. 63. No. 2. P. 171-180.

128.

Osipov Y., Kryazhimskii A. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations:

Dynamical Solutions. London: Gordon and Breach, 1995. ISBN: 2-88124-944-2.

129.

Maksimov V.I. On the Reconstruction of a Control Through Results of Observa-

tions // Proc. 3rd Europ. Control Conf. (ECC’95). Rome, Italy. 1995. P. 3766-3771.

130.

Кряжимский А.В., Максимов В.И., Осипов Ю.С. О позиционном моделирова-

нии в динамических системах // Прикл. математика и механика. 1983. T. 47.

№ 6. C. 815-825.

131.

Максимов В.И. О реконструкции граничных возмущений: случай краевых

условий Неймана // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. T. 11. № 1. C. 160-176.

132.

Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической рекон-

струкции входных воздействий при измерении части координат // Журн. вы-

числ. матем. и матем. физ. 2011. T. 51. № 6. C. 1007-1017.

133.

Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамического восста-

новления входного воздействия // Дифференц. уравнения. 2013. T. 49. № 1.

C. 88-100.

134.

Максимов В.И. О применении конечномерных управляемых моделей к задаче

реконструкции входа в линейной системе с запаздыванием // Тр. ИММ УрО

РАН. 2013. T. 19. № 1. C. 196-204.

135.

Максимов В.И. К проблеме реконструкции входа нелинейной системы с посто-

янным запаздыванием // Тр. ИММ УрО РАН. 2018. T. 24. № 1. C. 121-130.

136.

Максимов В.И. О динамической реконструкции возмущений системы по неточ-

ным дискретным измерениям фазовых координат // Изв. РАН. Теория и си-

стемы управления. 2018. № 3. C. 15-32.

137.

Максимов В.И. Реконструкция входного воздействия динамической системы

при измерении части координат фазового вектора // Журн. вычисл. матем. и

матем. физ. 2019. T. 59. № 5. C. 752-761.

138.

Максимов В.И. Реконструкция возмущения нелинейной системы при измере-

нии части координат фазового вектора // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.

2019. T. 59. № 11. C. 1836-1845.

139.

Kryazhimskii A., Maksimov V. On Identification of Nonobservable Contamination

Inputs // Environ. Modell. Software. 2005. V. 20. P. 1057-1061.

140.

Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Некоторые алгоритмы ди-

намического восстановления входов // Тр. ИММ УрО РАН. 2011. T. 17. № 1.

C. 129-161.

141.

Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.:

Наука, 1974.

142.

Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

143.

Цыкунов А.М. Компенсация возмущений при управлении линейным объектом

по косвенным измерениям // АиТ. 2010. № 4. C. 120-129.

Tsykunov A.M. Indirect Measurements-Based Compensation of Disturbances At

Control of A Linear Plant // Autom. Remote Control. 2010. V. 71. No. 4. P. 654-

662.

144.

Silverman L.D.M. Inversion of Multivariable Linear Systems // IEEE Trans. Au-

tomat. Control. 1969. V. 14. No. 3. P. 270-276.

145.

Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных

управляемых систем // Диффеpенц. уравнения. 1997. T. 34. № 6. C. 744-750.

146.

Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Метод управляемой модели в зада-

чах обращения динамических систем // Докл. РАН. Теория управления. 1997.

T. 354. № 2. C. 171-173.

147.

Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Робастное обращение векторных си-

стем // Дифференц. уравнения. 1998. T. 34. № 11. C. 1478-1486.

148.

Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с

неопределенностью. М.: Физматлит, 2007.

149.

Ильин А.В., Емельянов С.В., Фомичев В.В. Синтез робастных инверторов ми-

нимального порядка // Дифференц. уравнения. 2009. T. 45. № 4. C. 575-585.

150.

Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Методы робастного обращения ди-

намических систем. М.: Физматлит, 2009.

151.

Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Обращение линейных динамических

систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2012. T. 48. № 3. C. 405-413.

152.

Атамась Е.И., Ильин А.В., Фомичев В.В. Обращение векторных систем с за-

паздыванием // Дифференц. уравнения. 2013. T. 49. № 11. C. 1363-1369.

153.

Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных

скалярных динамических систем: метод управляемой модели // Диффеpенц.

уравнения. 1997. T. 33. № 3. C. 329-339.

154.

Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной

структурой. М.: Наука, 1974.

155.

Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.:

Наука, 1981.

156.

Цыкунов А.М. Робастное управление с компенсацией возмущений. М.: Физмат-

лит, 2012.

157.

Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмуще-

ний. СПб.: Наука, 2003.

158.

Халил Х.К. Нелинейные системы / Под ред. А.Л. Фрадкова. М.; Ижевск:

Регулярная и хаотическая динамика: Ин-т компьютерных исследований, 2009.

159.

Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью. Вход-выходные соотно-

шения / Под ред. Ю.С. Попкова. М.: Наука, 1983.

160.

Полушин И.Г., Фрадков А.Л., Хилл Д.Д. Пассивность и пассификация нели-

нейных систем // АиТ. 2000. T. 3. C. 3-37.

Polushin I.G., Fradkov A.L., Hill D.D. Passivity And Passification of Nonlinear

Systems // Autom. Remote Control. 2000. V. 61. No. 3. P. 355-388.

161.

Corless M., Tu J. State and Input Estimation for a Class of Uncertain Systems //

Automatica. 1998. June. V. 34. No. 6. P. 757-764.

162.

Kudva P., Viswanadham N., Ramakrishna A. Observers for Linear Systems with

Unknown Inputs // IEEE Trans. Automat. Control. 1980. V. AC-25. P. 113-115.

163.

Fradkov A.L. Passification of Non-square Linear Systems and Feedback

Yakubovich-Kalman-Popov Lemma // Eur. J. Control. 2003. No. 6. P. 573-582.

164.

Efimov D.V., Fradkov A.L. Adaptive Tuning To Bifurcation for Time-Varying Non-

linear Systems // Automatica. 2006. V. 42. P. 417-425.

165.

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Метод пассификации в задачах адаптивного

управления, оценивания и синхронизации // АиТ. 2006. № 11. C. 3-37.

166.

Андриевский Б.Р., Селиванов А.А. Новые результаты по применению метода

пассификации. Обзор // АиТ. 2018. № 6. C. 3-48.

Andrievskii B.R., Selivanov A.A. New Results on the Application of the Passifica-

tion Method. A Survey // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 6. P. 957-995.

167.

Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in

System and Control Theory. SIAM, 1994.

168.

Чурилов А.Н., Гессен А.В. Исследование линейных матричных неравенств. Пу-

теводитель по программным пакетам. СПб.: Изд.-во СПбГУ, 2004.

169.

Баландин Д.В., Коган М.М. Использование LMI toolbox пакета Matlab в синте-

зе законов управления. Нижний Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобаческого, 2006.

170.

Xiong Y., Saif M. Unknown Disturbance Inputs Estimation Based On A State

Functional Observer Design // Automatica. 2003. V. 39. P. 1389-1398.

171.

Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V., Morse A.S. Systematic design of adaptive con-

trollers for feedback linearizable systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1991.

Nov. V. 36. No. 11. P. 1241-1253.

172.

Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. Nonlinear and Adaptive Control De-

sign. Wiley, 1995.

173.

Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное

управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

174.

Фуртат И.Б., Нехороших А.Н. Метод бэкстеппинга для структурно неопре-

деленных объектов // Научно-технический вестник информационных техноло-

гий, механики и оптики. 2016. T. 16. № 1. C. 61-67.

175.

Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Compensation of Transport Actuator Dynamics with

Input-Dependent Moving Controlled Boundary // IEEE Trans. Automat. Control.

2018. Nov. V. 63. No. 11. P. 3889-3896.

176.

Sorensen A.J., Egeland O. Design of Ride Control System for Surface Effect Ships

Using Dissipative Control // Automatica. 1995. Feb. V. 31. No. 2. P. 183-199.

177.

Luenberger D.G. Canonical Forms for Linear Multivariable Systems // IEEE Trans.

Automat. Control. 1967. June. V. 12. No. 3. P. 290-293.

178.

Krstic M., Smyshlyaev A. Boundary Control of PDEs: A Course On Backstepping

Designs. SIAM, 2008.

179.

Bresch-Pietri D., Krstic M. Adaptive Trajectory Tracking Despite Unknown Input

Delay and Plant Parameters // Automatica. 2009. Sep. V. 45. No. 9. P. 2074-2081.

180.

Isidori A., Pyrkin A., Borisov O. an Extension of a Lemma of Dayawansa and

Its Application in the Design of Extended Observers for Nonlinear Systems //

Automatica. 2019. Aug. V. 106. P. 178-183.

181.

Gauthier J.-P., Kupka I. Solutions to Part I Exercises // Deterministic Observa-

tion Theory and Applications. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2001.

P. 195-216.

182.

Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифферен-

циальное исчисление. М.: Наука, 1990.

183.

Borisov O.I., Pyrkin A.A., Isidori A. Application of Enhanced Extended Observer

in Station-Keeping of a Quadrotor with Unmeasurable Pitch and Roll Angles //

Proc. Joint 8th IFAC Symp. Mechatronic Systems and 11th IFAC Symp. Nonlinear

Control Systems (MECHATRONICS & NOLCOS 2019), Vienna, Austria. IFAC,

2019. Sept. 4-6.

184.

Bodson M., Douglas S.C. Adaptive Algorithms for the Rejection of Sinusoidal Dis-

turbances with Unknown Frequency // IFAC Proc. Volumes. 1996. June-July. V. 29.

No. 1. P. 5168-5173.

185.

Bodson M., Douglas S.C. Adaptive Algorithms for the Rejection of Sinusoidal Dis-

turbances with Unknown Frequency // Automatica. 1997. Dec. V. 33. No. 12.

P. 2213-2221.

186.

Marino R., Tomei P. Global Estimation of n Unknown Frequencies // IEEE Trans.

Automat. Control. 2002. Aug. V. 47. No. 8. P. 1324-1328.

187.

Bobtsov A.A., Efimov D., Pyrkin A.A., Zolghadri A. Switched Algorithm for Fre-

quency Estimation with Noise Rejection // IEEE Trans. Automat. Control. 2012.

Sept. V. 57. No. 9. P. 2400-2404.

188.

Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармоническо-

го возмущения со смещением // АиТ. 2008. № 8. C. 25-32. URL: http://

mi.mathnet.ru/at701.

Bobtsov A.A. Output Control Algorithm With The Compensation of Biased Har-

monic Disturbances // Autom. Remote Control. 2008. V. 69. No. 8. 1289-1296.

189.

Бобцов А.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного синусоидального возму-

щения для линейного объекта любой относительной степени // АиТ. 2009. № 3.

C. 114-122. URL: http://mi.mathnet.ru/at436.

Bobtsov A.A., Pyrkin A.A. Compensation of Unknown Sinusoidal Disturbances in

Linear Plants of Arbitrary Relative Degree // Autom. Remote Control. 2009. V. 70.

No. 3. P. 449-456.

190.

Бобцов А.А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопре-

деленными коэффициентами // АиТ. 2002. № 11. C. 108-117. URL: http://

mi.mathnet.ru/at2180.

Bobtsov A.A. Robust Output-Control for a Linear System with Uncertain Coeffi-

cients // Autom. Remote Control. 2002. V. 63. No. 11. P. 1794-1802.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Хлебниковым.

Поступила в редакцию 20.09.2019

После доработки 10.05.2020

Принята к публикации 25.05.2020