Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 10, стр. 1482-1486

ВВЕДЕНИЕ

В работе изучается линейный отклик ядерной материи на изовекторное внешнее поле. Сначала, следуя работам [1, 2], рассматриваются ветви нульзвуковых решений. Затем мы изучаем вклад в запаздывающий поляризационный оператор (функцию отклика) и в структурные функции нульзвуковых возбуждений, связанных с этими решениями.

Имеется много публикаций, описывающие разные типы откликов ядерной материи, связанных с возбуждением коллективных состояний. В работе [3] изучается изоспиновая функция отклика в асимметричной ядерной материи в широком диапазоне изменения параметра асимметрии. Показано, что длина свободного пробега нейтрино существенно зависит от асимметрии и присутствия коллективных мод. В [4] исследуется влияние различных вкладов нуклон-нуклонного взаимодействия на функции отклика ядерной материи в изовекторном внешнем поле. В работе [5] исследуются продольный и поперечный спиновый отклик в чисто нейтронной материи в широком диапазоне плотностей.

Параметр асимметрии и импульсы Ферми протонов и нейтронов определяются следующим образом:

В этой работе мы следуем методу, развитому в статье [6], где в рамках теории конечных ферми-систем исследовано возбуждение гигантских дипольных резонансов в ядрах. В нашей работе рассматривается отклик на внешнее изовекторное монопольное поле ${{V}_{0}}({{\omega }},k) = {{\lambda }}{{{{\tau }}}_{3}}{{e}^{{i\vec {q}\vec {r} - i({{\omega }} + i{{\eta }})t}}}$. Форма функции отклика ${{\Pi }^{R}}({{\omega }},k)$ определяется нульзвуковыми возбуждениями. Структурная функция связана с ${{\Pi }^{R}}({{\omega }},k)$ соотношением [7, 8]

В работе используется эффективное взаимодействие Ландау–Мигдала между квазичастицами:

где ${{\vec {\sigma }}},{{\vec {\tau }}}$ – матрицы Паули в спиновом и изоспиновом пространстве. Нормировочный множитель: ${{C}_{0}} = {{N}^{{ - 1}}} = {{{{{{\pi }}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\pi }}}^{2}}} {{{p}_{0}}{{m}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}{{m}_{0}}}},$ N – плотность состояний на поверхности Ферми. В предлагаемых ниже вычислениях ${{p}_{0}}$ − импульс Ферми: ${{p}_{0}} = 0.268 \,\,{\text{ГэВ}}$, ${{m}_{0}} = 0.94\,{\text{ ГэВ}}{\text{.}}$ Функция отклика на изовекторное внешнее поле в асимметричной ядерной материи (АЯМ) определяется выражением [4]:

В [6] построена матрица для эффективных полей, возбужденных в АЯМ внешним изовекторным дипольным полем. Переписывая эту матрицу для запаздывающих поляризационных операторов ${{\Pi }^{{{{\tau \tau '}}}}}({{\omega }},k)$ во внешнем изовекторном монопольном поле [9], мы получим для ${{\Pi }^{{pp}}}$ и ${{\Pi }^{{np}}}$ следующую систему уравнений

где вершины взаимодействия частично-дырочных (ph) пар определяются силовыми константами (3):

Функции ${{A}^{{{\tau }}}}({{\omega }},k)$ являются функциями Мигдала и имеют вид

где ${{\tau = }}p,n;{\text{ }}$$a = {{\omega }} - \frac{{{{k}^{2}}}}{{2m}},$ ${{b}_{\tau }} = \frac{{k{{p}_{{F{{\tau }}}}}}}{m}.$ Для дальнейшего важно то, что ${{A}^{{{\tau }}}}({{\omega }},k)$ содержат логарифмические функции с разрезами [1].

Вводя матрицу M, мы переписываем систему (5) для ${{\Pi }^{{pp}}}$ и ${{\Pi }^{{np}}}$ в матричном виде.

Решая систему уравнений (8), получим для ${{\Pi }^{{{{\tau \tau '}}}}}({{\omega }},k)$ следующие аналитические выражения:

Заменяя в (9) $p \leftrightarrow n$, получаем выражения для ${{\Pi }^{{nn}}}$ и ${{\Pi }^{{pn}}}$. Знаменатель одинаков во всех ${{\Pi }^{{{{\tau \tau '}}}}}({{\omega }},k)$. Дальше мы построим ${{\Pi }^{{{{\tau \tau '}}}}}({{\omega }},k)$ как сингулярные функции с полюсами в нулях знаменателя. Запишем выражение для полного изовекторного поляризационного оператора (см. (4)) в виде

где ${{D}^{{iv}}} = {{D}^{{pp}}} + {{D}^{{nn}}} - {{D}^{{pn}}} - {{D}^{{np}}}$ и $E({{\omega }},k) = \det (M)$. Приравнивая знаменатель нулю: $E({{\omega }},k) = 0$, мы получим дисперсионное уравнение, которое определяет частоты нульзвуковых возбуждений и максимумы в структурных функциях, Раскрывая $\det (M)$ в выражении (8), получаем дисперсионное уравнение $E({{\omega }},k) = \det (M)$ = 0 в следующем виде:

Это выражение можно переписать через константы эффективного квазичастичного взаимодействия (4), (6) как

Для этого уравнения в АЯМ получены три ветви решений ${{{{\omega }}}_{{s{{\tau }}}}}(k),\,\,{{\tau = }}p,n,np$. В симметричной ядерной материи (СЯМ) выражение (10) сводится к

Здесь $A = {{A}^{p}} + {{A}^{n}}$. Факторизация $E({{\omega }},k)$ означает, что в симметричной материи есть два независимых уравнения. Одно описывает изоскалярные возбуждения, возникающие за счет ph взаимодействия F, а другое – изовекторные возбуждения, возникающие за счет взаимодействия F' (3). Факторизация (12) говорит о том, что изоскалярные и изовекторные возбуждения не взаимодействуют в симметричной материи. В дальнейших вычислениях мы полагаем F = 0.

Мы получили в СЯМ две ветви решений ${{{{\omega }}}_{s}}(k)$ и ${{{{\omega }}}_{{s1}}}(k)$ [1].

В нейтронной материи протонный импульс Ферми равен нулю ${{p}_{{Fp}}} = 0$ и функция ${{A}^{p}}$ обращается в нуль. Тогда (10) сводится к

В нейтронной материи получена одна ветвь решений ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k)$. Здесь нейтронная материя рассматривается не как ${{\beta }}$-стабильная ядерная материя, а как материя, состоящая только из нейтронов.

РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ

Решения (10) представлены в [1, 2]. Здесь мы изучаем вклад этих решений в функцию отклика и в структурную функцию. В ядрах мнимые части полученных решений отвечают ширинам полупрямого распада возбужденных состояний. В ядерной материи мнимые части полученных решений обусловлены выходом из коллективизации возбужденного состояния части ph пар за счет смешивания с невзаимодействующими ph парами. Для получения решений мы рассматриваем дисперсионные уравнения (10)–(13) на комплексной плотности частот. Функции ${{A}^{{{\tau }}}}({{\omega }},k)$ (7) содержат логарифмические функции. Логарифмические разрезы определяются энергиями невзаимодействующих ph пар (ph-мода). При малых k дисперсионные уравнения имеют вещественные коллективные нульзвуковые решения. С ростом k происходит перекрытие коллективного решения и разреза. В дальнейшем решения уходят под логарифмический разрез на нефизический лист и приобретают мнимую часть. В (10) входят функции ${{A}^{p}}({{\omega }},k)$, ${{A}^{p}}( - {{\omega }},k)$ и ${{A}^{n}}({{\omega }},k)$, ${{A}^{n}}( - {{\omega }},k)$ имеющие разрезы, отвечающие протонным и нейтронным свободным ph парам. Мы полагаем, что решение, уходящее под разрез функции ${{A}^{p}}({{\omega }},k)$ приобретает мнимую часть из-за смешивания со свободными протонными ph парами. Если остальные ${{A}^{{{\tau }}}}({{\omega }},k)$ вычисляются на физическом листе, то мы считаем, что при ${{\omega }} > 0$ протонный канал открыт, а нейтронный закрыт. В ядре затухание этих решений соответствует испусканию протонов. Эти решения обозначены ${{{{\omega }}}_{{sp}}}(k).$ Рассуждая аналогично, когда открыт нейтронный канал (т.е. мы строим решение на нефизическом листе функции ${{A}^{n}}({{\omega }},k)$), мы получаем решения ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k)$, затухающее за счет испускания нейтронов. В случае, когда открыты как протонный, так и нейтронный каналы, мы получаем ветвь решений ${{{{\omega }}}_{{snp}}}(k)$. Мнимая часть этого решения соответствует (в ядре) испусканию нуклона, изоспин которого не определяется в нашей модели.

Заметим, что при тех k, при которых имеются комплексные решения на нефизических листах, не удается найти решения уравнения (10) в том случае, если все ${{A}^{{{\tau }}}}({{\omega }},k)$ расположены на физическом листе.

ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СТРУКТУРНЫХ ФУНКЦИЙ

Представим структурную функцию как сумму по трем процессам, отвечающим полученным решениям:

l = n, p, np. Выразим ${{\Pi }^{R}}({{\omega }},k)$ (4), (9) в виде суммы по полюсам, которые являются нулями дисперсионного уравнения (10) $E({{\omega }},k) = 0$:

Здесь – гладкая функция в районе полюсов. Вычеты ${{R}_{l}}({{{{\omega }}}_{{sl}}},k)$ в полюсах вычисляются на тех же нефизических листах, где расположены полюса. Мы обозначили: E'(ω_sl(k)) = = $\left. {{{dE({{\omega ,}}k)} \mathord{\left/ {\vphantom {{dE({{\omega ,}}k)} {d{{\omega }}}}} \right. \kern-0em} {d{{\omega }}}}} \right|{{\omega }} = {{{{\omega }}}_{{sl}}}$.

Поляризационный оператор (функция отклика в [7, 8]) имеет вид

Структурная функция может быть представлена как сумма полюсного и регулярного вкладов: $S({{\omega }},k) = {{S}^{e}}({{\omega }},k) + {{S}^{{reg}}}({{\omega }},k)$. Функция ${{S}^{e}}({{\omega }},k)$ обозначает сумму полюсных членов

Функция ${{S}^{{reg}}}({{\omega }},k)$ не содержит полюсные члены, но в нее входят, например, вклады, которые в ядрах отвечают вкладам от прямых реакций, т.е. внешнее поле выбивает нуклоны без образования коллективной моды. Здесь мы рассматриваем только полюсные вклады.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Расчеты выполнены при равновесной плотности ${{{{\rho }}}_{0}} = $ 0.17 фм^–3, при величине F ' = 1.0 и массе квазичастиц $m = 0.8{{m}_{0}}$.

На рис. 1 показаны результаты для симметричной материи. Приведены ветви решений и структурные функции, отвечающие этим решениям при ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ = 0.2, 0.6. На рис. 1а представлены ветви решений: ${{{{\omega }}}_{s}}(k)$ и ${{{{\omega }}}_{{s1}}}(k)$. Нульзвуковые ветви решений ${{{{\omega }}}_{s}}(k)$ вещественны при малых $k$ и обозначают обычный нульзвук. С ростом $k$, при $k = {{k}_{t}}$, возникает перекрытие стабильных решений с ph-модой, $ {{k}_{t}}({{\beta }} = 0) = 0.34{{p}_{0}}$. При больших $k$ ветвь ${{{{\omega }}}_{s}}(k)$ уходит на нефизический листы как функции ${{A}^{p}}({{\omega }},k)$, так и функции ${{A}^{n}}({{\omega }},k)$ и становится комплексной [1, 2]. Второе решение ${{{{\omega }}}_{{s1}}}(k)$ находится на нефизическом листе или ${{A}^{p}}({{\omega }},k)$, или ${{A}^{n}}({{\omega }},k)$. Оно начинается при $k = {{k}_{c}}, \,\,{{k}_{c}} = 0.52{{p}_{0}}$.

На рис. 1б имеется один бесконечный пик при ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ = 0.2, отвечающий вещественному решению ${{{{\omega }}}_{s}}(k = {{0.2} \mathord{\left/ {\vphantom {{0.2} {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}})$, решение ${{{{\omega }}}_{{s1}}}(k)$ отсутствует. А при ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ = 0.6 представлены уже два решения и им соответствуют два максимума на рис. 1б. Ширины максимумов ${{S}^{e}}({{\omega }},k)$ возникли благодаря мнимым частям ${{{{\omega }}}_{s}}(k)$ и ${{{{\omega }}}_{{s1}}}(k)$.

На рис. 2а приведены ветви решений в АЯМ с параметром асимметрии ${{\beta = }}\,\,{\text{0}}{\text{.2}}$: ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k)$, ${{{{\omega }}}_{{sp}}}(k)$ и ${{{{\omega }}}_{{snp}}}(k)$. Видно, что решения появляются при разных значениях $k$. При ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ = 0.2 получено два решения ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k)$, ${{{{\omega }}}_{{sp}}}(k)$. На рис. 2б линия со звездочками имеет два максимума в ${{S}^{e}}({{\omega }},k = 0.2{{p}_{0}})$, отвечающие этим решениям. Левый соответствует решению ${{{{\omega }}}_{{sp}}}(k = 0.2{{p}_{0}})$ (его ширина (в ядрах) определяется испусканием протонов), а правый $ - $ ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k = 0.2{{p}_{0}})$, ширина определяется испусканием нейтронов.

При ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ = 0.6 на рис. 2а видим три решения, а на рис. 2б – три максимума, соответствующие этим решениям. Цифрой 1 обозначен максимум, отвечающий решению ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k = 0.6{{p}_{0}})$, затухающий за счет испускания нейтронов (ширина определяется мнимой частью ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k = 0.6{{p}_{0}})$). Цифрой 2 обозначен максимум, отвечающий ${{{{\omega }}}_{{sp}}}(k = 0.6{{p}_{0}})$. Цифрой 3 обозначен максимум, соответствующий ${{{{\omega }}}_{{snp}}}(k = 0.6{{p}_{0}})$.

В нейтронной материи имеет одно решение ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k)$ и структурная функция содержит один максимум, $ {{k}_{t}}({{\beta }} = 1) = 0.09{{p}_{0}}$. Результат приведен на рис. 3. При ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ = 0.2 ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k)$ имеет малую ширину (рис. 3а), что соответствует высокому пику на рис. 3б, а при ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ = 0.6 мнимая часть ${{{{\omega }}}_{{sn}}}(k)$ увеличилась, и пик изменил форму.

В дальнейшем планируется этот метод применить к конкретным ядрам, однако при этом возникает множество дополнительных вопросов, например, о проницаемости кулоновского барьера и влиянии формы ядра.