Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 2, стр. 327-336

1. Введение. Уравнения продольных, крутильных и поперечных колебаний стержней с переменным сечением приведены в различных учебниках и монографиях, в частности, в [1]. Задача определения собственных частот и форм продольных и крутильных колебаний стержней с переменным сечением исследовалась многими авторами [2–6]. Обзор работ по определению собственных частот и форм изгибных колебаний можно найти в [7], решение конкретных задач дано в [8–12]. Основные приложения связаны с определением поправок к резонансным частотам и формам колебаний, обусловленных дефектами поверхности – при продольных колебаниях [2–4], при крутильных колебаниях [5, 6], при изгибных колебаниях [10, 11], при наличии внутренних дефектов (трещин) [12].

Стержни переменного сечения используются при проведении экспериментальных исследований усталостной прочности металлических сплавов при высокочастотном циклическом нагружении образцов на растяжение-сжатие, кручение или трехточечный изгиб [13]. Пьезоэлектрические установки для проведения высокочастотных СВМУ испытаний осуществляют циклическое нагружение: растяжением–сжатием и кручением [13]. Эти испытательные установки обладают общим принципом резонансного нагружения с частотой порядка 20 кГц. Испытания на растяжение-сжатие и кручение контролируются и программируются с использованием одного и того же программного комплекса. Различие между машинами состоит лишь в типе пьезоэлектрического конвертера и геометрии волновода. Для реализации осевых нагружений используется конвертер, обеспечивающий продольные смещения малой амплитуды (10–30 мкм). Для крутильного нагружения используется конвертер, обеспечивающий непосредственно вращательные колебания с амплитудой 0.10–0.25 миллирадиан. Для случая кручения резонансные длины оказываются меньше, чем для осевых испытаний [13]. Базовая корсетная форма осесимметричного стержня имеет вид “песочных часов” для создания квазиоднородного напряженного состояния с повышенным уровнем напряжений в центральной, узкой части образца.

В данной работе основной интерес представляет исследование влияния геометрии стержня на первую резонансную частоту и антисимметричную форму продольных или крутильных колебаний при исследовании сверхмногоциклового усталостного разрушения (СВМУ) с числом циклов N > 10⁸.

Пьезоэлектрические установки с несущей частотой порядка 20 кГц имеют достаточно узкий частотный диапазон отклонений при эксплуатации, составляющий ±500 Гц. Поэтому оценка и определение чувствительности и влияния геометрических параметров образца (общей длины, длины участка переменного сечения и характеристик его изменчивости) на резонансную частоту является необходимой при проектировании экспериментальных установок и образцов из различных металлических сплавов.

Для определения поправок к резонансной частоте и форме собственных продольных и крутильных колебаний для стержня переменного сечения используется теория возмущений [14]. Теория возмущений использовалась в [4] при решении обратной задачи восстановления распределения плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня переменного сечения по частотам собственных колебаний. В данной работе рассматривается прямая задача нулевого и первого приближений для упрощенного, но достаточно общего представления формы стержня, для которой удалось получить явные решения в удобной аналитической форме.

2. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение колебаний общего вида:

Пусть параметры колебательной системы зависят от продольной координаты x. Для продольных колебаний $I(x)$ = $E(x)S(x)$, $A(x)$ = $S(x)$_,E – модуль Юнга стержня, S – переменная площадь сечения. Для крутильных колебаний $I(x)$ = $\mu (x)J(x)$, $A(x)$ = = $J(x)$, где $\mu $ – модуль сдвига стержня, $J$ – полярный момент инерции. Поскольку уравнения продольных и крутильных колебаний отличаются только обозначениями, далее будем вести изложение для случая продольных колебаний стержня.

Рассматривая гармонические колебания $w(x,t)$ = $u(x){{e}^{{i\omega t}}}$, приходим к уравнению для амплитуды

с граничными условиями

2.1. Построение общего решения методом разложения по малому параметру. Рассмотрим случай малого изменения параметров стержня по длине

Тогда, решение для функций смещений и собственной частоты также будем искать в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра $\varepsilon $:

Подставим разложения в уравнение (2.1) и в граничные условия (2.2) и, приравнивая члены при одинаковых степенях малого параметра $\varepsilon $, получаем задачи нулевого а) и первого б) порядков для определения собственных частот и форм колебаний. Введя обозначение k² = $\rho {{S}_{0}}\omega _{0}^{2}{\text{/}}{{I}_{0}}$ и безразмерные геометрические и упругие параметры стержня, получим

где ${{\bar {I}}_{1}} = {{I}_{1}}{\text{/}}{{I}_{0}}$, ${{\bar {S}}_{1}} = {{S}_{1}}{\text{/}}{{S}_{0}}$, ${{\bar {\omega }}_{1}} = {{\omega }_{1}}{\text{/}}{{\omega }_{0}}$.

Тогда, учитывая, что

получим

2.2. Решение для поправок к собственным частотам и формам колебаний. Будем рассматривать антисимметричное решение задачи а) нулевого приближения, которое имеет простой вид:

Отсюда получаем значения параметра $k$ (нулевого приближения собственных частот):

Отметим, что наименьшее значение ${{k}_{n}}$ равно ${{k}_{0}} = \pi {\text{/}}(2l)$.

С учетом решения для нулевого приближения задача б) для первого приближения запишется в виде неоднородного дифференциального уравнения с граничными условиями:

Будем решать эту задачу методом вариации постоянных:

Коэффициентные функции ${{A}_{{i,n}}}$ находятся из системы уравнений:

решение которой имеет вид:

Учитывая граничные условия при x = ±l

имеем:

Тогда, из граничных условий при находим:

Таким образом, поправка к частоте равна:

Если фиксировать полную амплитуду колебаний величиной U_n, то константу В_2n можно положить равной нулю. Тогда поправка к собственной форме колебаний примет вид:

или, с учетом выражения для ${{f}_{n}}(\xi )$:

Если переменные по длине стержня площадь сечения и модуль Юнга являются четными функциями пространственной координаты, то функция ${{f}_{n}}(\xi )$ = $\bar {I}_{1}^{'}\cos {{k}_{n}}\xi $ – ${{k}_{n}}{{\bar {E}}_{1}}\sin {{k}_{n}}\xi $ является нечетной. Тогда поправка к собственной частоте колебаний будет равна:

Подставляя выражение для ${{f}_{n}}(\xi )$, получим окончательно:

2.3. Случай однородного стержня переменного сечения. Для однородного по модулю упругости стержня E₁= 0, ${{\bar {I}}_{1}} = {{\bar {S}}_{1}}$. Для этого случая первые поправки

Проводя интегрирование по частям, в этом случае получим

Для первой моды ${{k}_{0}} = \pi {\text{/}}(2l)$:

поправка к собственной частоте равна

поправка к собственной форме равна

3. Примеры аналитических расчетов собственной частоты и формы колебаний.

3.1. Тригонометрическое представление формы стержня. Рассмотрим конкретную форму осесимметричного стержня радиуса $r\left( x \right)$ = ${{r}_{0}} + \varepsilon {{r}_{1}}\left( x \right)$, $S\left( x \right)$ = ${{S}_{0}} + \varepsilon {{S}_{1}}\left( x \right)$, ${{S}_{0}} = \pi r_{0}^{2}$, ${{S}_{1}}\left( x \right)$ = $2\pi {{r}_{0}}{{r}_{1}}\left( x \right)$, ${{\bar {S}}_{1}}$ = $2{{r}_{1}}\left( x \right){\text{/}}{{r}_{0}}$.

Пусть радиус стержня может быть представлен в следующем виде:

Определим первую собственную частоту и антисимметричную моду колебаний при ${{k}_{0}} = \pi {\text{/}}(2l)$ по формуле (2.3).

Поправка к частоте равна:

Собственная частота определится формулой:

Вычисляя интегралы (2.4), находим поправку к собственной форме:

Первая антисимметричная собственная форма колебаний имеет вид:

Для наглядной иллюстрации поведения решений задачи для конкретных функций переменного радиуса поперечного сечения на рис. 1,а представлены безразмерные формы стержня $\bar {r} = r(\bar {x}){\text{/}}{{r}_{0}}$, а на рис. 1,б безразмерные собственные формы колебаний $\bar {u} = u(\bar {x}){\text{/}}U$ при различных значениях малого параметра $\varepsilon $ = 0.1, 0.3, 0.5 в зависимости от безразмерной продольной координаты $\bar {x} = x{\text{/}}l$.

3.2. Экспериментальные корсетные образцы в форме “песочных часов”. Выберем следующее, часто используемое для образцов в высокочастотных усталостных испытаниях, представление переменного радиуса осесимметричного стержня [8]:

где значение параметра $\alpha $ определяется равенством ${{R}_{2}} = {{R}_{1}}\operatorname{ch} \left( {\alpha {{l}_{2}}} \right)$.

Выберем срединный радиус стержня равным ${{R}_{0}} = \left( {{{R}_{1}} + {{R}_{2}}} \right){\text{/}}2$, что соответствует горизонтальной координате ${{l}_{0}}$ (${{R}_{0}} = {{R}_{1}}\operatorname{ch} \left( {\alpha {{l}_{0}}} \right)$). Далее считаем, что отклонение наружного и внутреннего радиусов стержня от среднего радиуса невелико R₂ = R₀(1 + ε), R₁ = R₀(1 – ε).

Характерная форма такого стержня со значительным изменением поперечного сечения показана на рис. 2,а для ε = 0.3 и на рис. 2,б для ε = 0.5, введены безразмерные переменные $\bar {R} = r(\bar {X}){\text{/}}{{R}_{0}}$ для формы стержня и $\bar {X} = x{\text{/}}{{l}_{2}}$ для продольной координаты.

Определим унифицированные представления этой формы стержня с учетом малости параметра $\varepsilon $

С учетом этих оценок определим поправки к собственной частоте для первой антисимметричной моды:

Введя обозначение δ = πl₂/l, получим компактную формулу для поправки к собственной частоте:

Частота первого резонанса будет вычисляться по следующей формуле:

Для данной формы стержня существует точная формула для первой частоты собственных колебаний [8], которая позволяет оценить точность полученной приближенной асимптотической формулы в зависимости от отношения R₂/R₁.

Точная формула связи геометрии стержня с первой резонансной частотой $\omega $ в безразмерных переменных имеет вид:

где $\gamma = \operatorname{arcch} ({{R}_{2}}{\text{/}}{{R}_{1}})$, p = kl₂, α = γ/l₂, β = $k\sqrt {{{\gamma }^{2}}{\text{/}}{{p}^{2}} - 1} $.

В этих же обозначениях асимптотическая формула для безразмерной частоты p

Для оценки точности асимптотических формул построим графики зависимостей l/l₂(р) для точной и приближенной формул при различных значениях R₂/R₁ и $\varepsilon $. Эти графики попарно представлены на рис. 3–5, где прерывной линией изображены кривые, соответствующие точному решению, а сплошной линей – решению по асимптотическим формулам.

Из рис. 3–4 видно, что при значениях малого параметра $\varepsilon $ = 0.2 решения на графике неотличимы, даже при не малых значениях $\varepsilon $ = 0.35–0.43 ошибка не превышает 2.5%.

Только при более высоких значениях $\varepsilon $ > 0.5, когда параметр $\varepsilon $ ни в коем случае не может считаться малым, графики серьезно расходятся в диапазоне 0 < p < 0.4 (рис. 5).

Однако можно отметить такой любопытный факт. Для типичных образцов из титанового сплава, применяемых в пьезоэлектрической испытательной установке с эксплуатационной частотой 20 кГц, E = 115 ГПа, ρ = 4500 кг/м³, с = 5055 м/c и геометрическим параметром l₂ = 1.5 см, величина р = 0.373. Как видно из рис. 3–5, в окрестности этой точки графики точного и приближенного решения пересекаются, и точность асимптотического решения резко возрастает до величин <1%. Поэтому использование полученных асимптотических формул при типичных значениях параметров установки и экспериментальных образцов обеспечивает высокую точность в доли процента для определения их геометрических характеристик.

Заключение. Решена задача определения частоты и формы собственных продольных или крутильных колебаний для стержня переменного сечения на основе теории возмущений. В предположении, что упругие свойства и площадь поперечного сечения прямого стержня меняются достаточно медленно и слабо отклоняются от некоторых средних значений по продольной координате, получены аналитические формулы для поправок к собственным частотам и формам стационарных гармонических колебаний стержня. Работоспособность формул проверена сравнением с точными решениями для некоторых зависимостей площади поперечного сечения от продольной координаты. Показано, что приближенные формулы для первой антисимметричной моды хорошо работают даже для стержней, у которых отношение максимального и минимального радиуса сечения достигает 2.5–3.

Проведены численные расчеты геометрических и упругих свойств образцов для проведения экспериментальных исследований усталостной прочности металлических сплавов при высокочастотном циклическом нагружении на растяжение-сжатие.

Исследование выполнено в рамках госзадания ИАП РАН.