1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Прикладная математика и механика
  4. T. 87, № 4, 2023

Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 4, стр. 519-556

Кватернионные и бикватернионные методы и регулярные модели аналитической механики (обзор)

Ю. Н. Челноков 1, *

1 Институт проблем точной механики и управления РАН
Саратов, Россия

* E-mail: ChelnokovYuN@gmail.com

Поступила в редакцию 22.05.2023
После доработки 15.06.2023
Принята к публикации 20.06.2023

Аннотация

Работа носит обзорный аналитический характер. Излагаются кватернионные и бикватернионные методы описания движения, модели теории конечных перемещений и регулярной кинематики твердого тела, основанные на использовании четырехмерных вещественных и дуальных параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона). Эти модели, в отличие от классических моделей кинематики в углах Эйлера–Крылова и в их дуальных аналогах, не имеют особенностей типа деления на ноль и не содержат тригонометрических функций, что повышает эффективность аналитического исследования и численного решения задач механики, инерциальной навигации и управления движением. Обсуждается проблема регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, лежащих в основе небесной механики и механики космического полета (астродинамики), с помощью использования параметров Эйлера, четырехмерных переменных Кустаанхеймо–Штифеля и их модификаций, кватернионов Гамильтона: проблема устранения особенностей типа сингулярностей (деления на ноль), которые порождаются действующими на небесное или космическое тело ньютоновскими гравитационными силами и которые осложняют аналитическое и численное исследование движения тела вблизи гравитирующих тел или его движения по сильно вытянутым орбитам. Излагается история проблемы регуляризации и регулярные уравнения Кустаанхеймо–Штифеля, нашедшие широкое применение в небесной механике и астродинамике. Излагаются кватернионные методы регуляризации, имеющие ряд преимуществ перед матричной регуляризацией Кустаанхеймо–Штифеля, и различные регулярные кватернионные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел (как для абсолютного, так и для относительного движения), которые целесообразно использовать для прогноза и коррекции орбитального движения небесных и космических тел.

Ключевые слова: аналитическая механика, геометрия движения, регулярная кинематика, механика космического полета (астродинамика), возмущенная пространственная задача двух тел, регуляризация особенностей, порождаемых гравитационными силами, уравнения орбитального движения, параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), переменные Кустаанхеймо–Штифеля, кватернионы, бикватернионы

Список литературы

  1. Euler L. Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile // Novi Comm. Acad. Sci. Imper. Petrop. 1770. V. 15. P. 75–106.

  2. Rodrigues O. Des lois geometriques qui regissent les deplacements d’un systems olide dans l’espase, et de la variation des coordonnee sprovenant de ses deplacement sconsideeres independamment des causes qui peuvent les produire // J. Math. Pureset Appl. 1840. V. 5. P. 380–440.

  3. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ НКТИ СССР, 1937. 500 с.

  4. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматлит, 1961. 824 с.

  5. Челноков Ю.Н. Об интегрировании кинематических уравнений винтового движения твердого тела // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 1. С. 32–39.

  6. Челноков Ю.Н. Об одном винтовом методе описания движения твердого тела // в: Сб. науч.-метод. статей по теор. механике. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С. 129–138.

  7. Челноков Ю.Н. Об одной форме уравнений инерциальной навигации // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 20–28.

  8. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin: Hodges&Smith, 1853. 382 p.

  9. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

  10. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: Физматлит, 2006. 511 с.

  11. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2008. 304 с.

  12. Clifford W. Preliminary sketch of biquaternions // Proc. London Math. Soc. 1873. № 4. P. 381–395.

  13. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань: 1895. 215 с.

  14. Котельников А.П. Винты и комплексные числа // Изв. физ.-матем. об-ва при Казанском ун-те. 1896. Сер. 2. № 6. С. 23–33.

  15. Котельников А.П. Теория векторов и комплексные числа // в сб.: Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике. М.: Гостехиздат, 1950. С. 7–47.

  16. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. M.: Наука, 1992. 280 с.

  17. Gibbs J.W. Scientific Papers. New York: Dover, 1961.

  18. Gibbs J.W. Vector Analysis. New York: Scribners, 1901.

  19. Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and Regular Celestial Mechanics. Berlin: Springer, 1971. 350 p.

  20. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 351 с.

  21. Ickes B.F. A new method for performing digital control system attitude computations using quaternions // AIAA J. 1970. № 8. P. 13–17.

  22. Плотников П.К., Челноков Ю.Н. Применение кватернионных матриц в теории конечного поворота твердого тела // в: Сб. науч.-метод. статей по теор. механике. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С. 122–129.

  23. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения. M.: Наука, 1978. 328 с.

  24. Челноков Ю.Н. Об устойчивости решений бикватернионного кинематического уравнения винтового движения твердого тела // в: Сб. науч.-метод. статей по теор. механике. М.: Высшая школа, 1983. Вып. 13. С. 103–109.

  25. Челноков Ю.Н. Исследование некоторых алгоритмических задач определения ориентации объекта бесплатформенными инерциальными навигационными системами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук, Ленинградский электротехнический институт им. В.И. Ульянова (Ленина), Ленинград: 1974, 20 с.

  26. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные методы в задачах механики твердого тела и материальных систем. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матем. наук, Институт проблем механики АН СССР, Москва: 1987. 36 с.

  27. Челноков Ю.Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением. М.: Физматлит, 2011. 560 с.

  28. Velte W. Concerning the regularizing KS-transformation // Celest. Mech. 1978. V. 17. P. 395–403.

  29. Vivarelli M.D. The KS-transformation in hypercomplex form // Celest. Mech. 1983. V. 29. P. 45–50.

  30. Vivarelli M.D. Geometrical and physical outlook on the cross product of two quaternions // Celest. Mech. 1988. V. 41. P. 359–370.

  31. Vivarelli M.D. On the connection among three classical mechanical problems via the hypercomplex KS-transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 1991. V. 50. P. 109–124.

  32. Шагов О.Б. О двух видах уравнений движения искусственного спутника Земли в осцилляторной форме // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 3–8.

  33. Deprit A., Elipe A., Ferrer S. Linearization: Laplace vs. Stiefel // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 1994. V. 58. P. 151–201.

  34. Vrbik J. Celestial mechanics via quaternions // Canad. J. Phys. 1994. V. 72. P. 141–146.

  35. Vrbik J. Perturbed Kepler problem in quaternionic form // J. Phys. A: Math.&General. 1995. V. 28. P. 193–198.

  36. Waldvogel J. Quaternions and the perturbed Kepler problem // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2006. V. 95. P. 201–212.

  37. Waldvogel J. Quaternions for regularizing Celestial Mechanics: the right way // Mech.&Dyn. Astron. 2008. V. 102. № 1. P. 149–162.

  38. Saha P. Interpreting the Kustaanheimo-Stiefel transform in gravitational dynamics // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2009. V. 400. P. 228–231. https://doi.org/10.1111/j.1365-2966.2009.15437.x. arXiv:0803.4441

  39. Zhao L. Kustaanheimo-Stiefel regularization and the quadrupolar conjugacy // R&C Dyn. 2015. V. 20. № 1. P. 19–36. https://doi.org/10.1134/S1560354715010025

  40. Roa J., Urrutxua H., Pelaez J. Stability and chaos in Kustaanheimo-Stiefel space induced by the Hopf fibration // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2016. V. 459. № 3. P. 2444–2454. https://doi.org/10.1093/mnras/stw780.arXiv:1604.06673

  41. Roa J., Pelaez J. The theory of asynchronous relative motion II: universal and regular solutions // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2017. V. 127. P. 343–368.

  42. Breiter S., Langner K. Kustaanheimo-Stiefel transformation with an arbitrary defining vector // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2017. V. 128. P. 323–342.

  43. Breiter S., Langner K. The extended Lissajous–Levi-Civita transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2018. V. 130. Art. No. 68. https://doi.org/10.1007/s10569-018-9862-4

  44. Breiter S., Langner K. The Lissajous–Kustaanheimo–Stiefel transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art. No. 9. https://doi.org/10.1007/s10569-019-9887-3

  45. Ferrer S., Crespo F. Alternative angle-based approach to the KS-map. An interpretation through symmetry // J. Geom. Mech. 2018. V. 10. № 3. P. 359–372.

  46. Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 6. С. 12–21.

  47. Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 151–158.

  48. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 1: Общая теория. Приложения к задаче регуляризации и к задаче о движении ИСЗ. М.: Деп. в ВИНИТИ 13.12.85. № 218628-В, 1985. 36 с.

  49. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 2: Пространственная задача невозмущенного центрального движения. Задача с начальными условиями. М.: Деп. в ВИНИТИ 13.22.85. № 8629-В, 1985. 18 с.

  50. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I // Космич. исслед. 1992. Т. 30. Вып. 6. С. 759–770.

  51. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. II // Космич. исслед. 1993. Т. 31. Вып. 3. С. 3–15.

  52. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 1 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 20–30.

  53. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 2 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 2. С. 3–11.

  54. Челноков Ю.Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 5. С. 18–44.

  55. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. I // Космич. исслед. 2013. Т. 51. № 5. С. 389–401. https://doi.org/10.7868/S0023420613050026

  56. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. II // Космич. исслед. 2014. Т. 52. № 4. С. 322–336. https://doi.org/10.7868/S0023420614030029

  57. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. III // Космич. исслед. 2015. Т. 53. № 5. С. 430–446. https://doi.org/10.7868/S0023420615050040

  58. Челноков Ю.Н. Возмущенная пространственная задача двух тел: регулярные кватернионные уравнения относительного движения // ПММ. 2018. Т. 82. № 6. С. 721–733. https://doi.org/10.31857/S003282350002736-9

  59. Челноков Ю.Н. Кватернионные уравнения возмущенного движения искусственного спутника Земли // Космич. исслед. 2019. Т. 57. № 2. С. 117–131. https://doi.org/10.1134/S002342061902002X

  60. Chelnokov Yu.N. Quaternion methods and models of regular celestial mechanics and astrodynamics // Appl. Math.&Mech. 2022. V. 43. № 1. P. 21–80. https://doi.org/10.1007/s10483-021-2797-9

  61. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

  62. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 178 с.

  63. Fukushima T. Efficient orbit integration by linear transformation for Kustaanheimo–Stiefel regularization // Astron. J. 2005. V. 129. № 5. Art. No. 2496. https://doi.org/10.1086/429546

  64. Fukushima T. Numerical comparison of two-body regularizations // Astron. J. 2007. V. 133. № 6. Art. No. 2815.

  65. Pelaez J., Hedo J.M., Rodriguez P.A. A special perturbation method in orbital dynamics // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2007. V. 97. P. 131–150. https://doi.org/10.1007/s10569-006-9056-3

  66. Baù G., Bombardelli C., Pelaez J., Lorenzini E. Non-singular orbital elements for special perturbations in the two-body problem // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2015. V. 454. P. 2890–2908.

  67. Amato D., Bombardelli C., Baù G., Morand V., Rosengren A.J. Non-averaged regularized formulations as an alternative to semi-analytical orbit propagation methods // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art. No. 21. https://doi.org/10.1007/s10569-019-9897-1

  68. Baù G., Roa J. Uniform formulation for orbit computation: the intermediate elements // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2020. V. 132. Art. No. 10. https://doi.org/10.1007/s10569-020-9952-y

  69. Челноков Ю.Н., Логинов М.Ю. Новые кватернионные модели регулярной механики космического полета и их приложения в задачах прогноза движения космических тел и инерциальной навигации в космосе // Сб. матер.: XXVIII С.-Петербургская межд. конф. по интегрированным навигационным системам. С.-Петербург, 2021. С. 292–295.

  70. Челноков Ю.Н., Сапунков Я.Г., Логинов М.Ю., Щекутьев А.Ф. Прогноз и коррекция орбитального движения космического аппарата с использованием регулярных кватернионных уравнений и их решений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля и изохронных производных // ПММ. 2023. Т. 87. Вып. 2. С. 124–156.

  71. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. I // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 6. С. 24–54.

  72. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium // Nov. Comm. Petrop. 1765. V. 11. P. 144–151.

  73. Levi-Civita T. Traettorie singolari ed urbi nel problema ristretto dei tre corpi // Ann. Mat. Pura Appl. 1904. V. 9. P. 1–32.

  74. Levi-Civita T. Sur la regularization du probleme des trois corps // Acta Math. 1920. V. 42. P. 99–144. https://doi.org/10.1007/BF02418577

  75. Levi-Civita T. Sur la resolution qualitative du probleme restreint des trois corps // Opere Math. 1956. № 2. P. 411–417.

  76. Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion // Ann. Univ. Turku. 1964. V. 73. P. 3–7. https://doi.org/10.1086/518165

  77. Kustaanheimo P., Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization // J. Reine Anqew. Math. 1965. V. 218. P. 204–219.

  78. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 208 с.

  79. Musen P. On Stromgren’s method of special perturbations // J. Astron. Sci. 1961. V. 8. P. 48–51.

  80. Musen P. // NASA TN D-2301. 1964. P. 24.

  81. Hopf H. Uber die Abbildung der dreidimensionalen Sphare auf die Kugelflache // Math. Ann. 1931. V. 104. P. 637–665.

  82. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois crops // Acta Math. 1912. V. 36. P. 105–179.

  83. Bohlin K. Note sur le probleme des deux corps et sur une integration nouvelle dans le problem des trois corps // Bull. Astron. 1911. V. 28. P. 113–119.

  84. Burdet C.A. Theory of Kepler motion: The general perturbed two body problem // Zeitschrift fur angewandte Math. und Phys. 1968. V. 19. P. 345–368.

  85. Burdet C.A. Le mouvement Keplerien et les oscillateurs harmoniques // J. fur die reine und angewandte Math. 1969. V. 238. P. 71–84.

  86. Study E. Von der Bewegungen und Umlegungen // Math. Annal. 1891. V. 39. P. 441–566.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал