1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Прикладная математика и механика
  4. T. 87, № 5, 2023

Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 5, стр. 801-819

Изгибные колебания упругого стержня, управляемого пьезоэлектрическими силами

А. А. Гавриков 1, *, Г. В. Костин 1, **

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: gavrikov@ipmnet.ru
** E-mail: kostin@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 14.06.2023
После доработки 14.08.2023
Принята к публикации 15.08.2023

Аннотация

Исследуются изгибные колебания тонкого упругого стержня прямоугольного сечения, к двум противолежащим боковым сторонам которого симметрично без промежутков прикреплен ряд пьезоэлектрических актюаторов (элементов). Каждый элемент склеен с соседними, образуя со стержнем единое упругое тело в форме прямоугольного параллелепипеда. Тело шарнирно закреплено на обоих торцах относительно оси поперечного сечения, параллельной пьезоэлектрическим слоям. В противолежащих пьезоэлементах антисимметрично задаются однородные поля нормальных напряжений как функции времени. Эти напряжения параллельны оси стержня и вынуждают упругую систему совершать изгибные движения. В рамках линейной теории упругости для рассмотренной системы даны обобщенные формулировки начально-краевой задачи и соответствующей задачи на собственные значения, определенные через неизвестные перемещения и интегралы механических напряжений по времени. Предложена полиномиальная по поперечным координатам аппроксимация полей перемещений и напряжений, которая точно выполняет однородные граничные условия в напряжениях на боковых сторонах и учитывает свойства симметрии изгибных движений. Для выбранной аппроксимации точно решена граничная задача на собственные значения. Обнаружены две ветви колебаний, а найденные частоты и формы используются для сведения начально-краевой задачи к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно комплексных переменных. Показана декомпозиция динамической системы на независимые бесконечномерные подсистемы со скалярным управляющим воздействием. Одна из колебательных подсистем не управляема, а для остальных, число которых равно числу пар пьезоэлементов, предложен закон гашения колебаний фиксированного числа низших мод нижней ветви.

Ключевые слова: упругая балка, пьезоэлектрические силы, пьезоактюаторы, управляемые колебания

Список литературы

  1. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 567 с.

  2. Стрэтт Дж.В. (Лорд Релей) Теория звука. Т. 1. М.; Л.: Гостехиздат, 1940. 500 с.

  3. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т. 1. М.: Физматгиз, 1960. 379 с.

  4. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. 1945. V. 12. P. A69–A77.

  5. Levinson M. On Bickford’s consistent higher order beam theory // Mech. Res. Commun. 1985. V. 12. P. 1–9.

  6. Костин Г.В., Саурин В.В. Интегродифференциальный подход к решению задач линейной теории упругости // Докл. РАН. 2005. Т. 404. № 5. С. 628–631.

  7. Костин Г.В., Саурин В.В. Моделирование и анализ собственных колебаний упругой призматической балки на основе проекционного подхода // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 6. С. 995–1010.

  8. Kostin G.V., Saurin V.V. Dynamics of Solid Structures. Methods Using Integrodifferential Relations. Berlin: De Gruyter, 2018.

  9. Kostin G. Projection approach to spectral analysis of thin axially symmetric elastic solids // in: Recent Trends in Wave Mechanics and Vibrations. Ed. by Dimitrovová Z. et al. WMVC 2022. Mechanisms and Machine Science. V. 125. Springer, 2023. P. 285–295.

  10. Akulenko L.D., Nesterov S.V. High-Precision Methods in Eigenvalue Problems and Their Applications. Boca Raton: Charman and Hall/CRC, 2005. 260 p.

  11. Гавриков А.А., Костин Г.В. Оптимизация продольных движений упругого стержня с помощью периодически распределенных пьезоэлектрических сил // Изв. РАН. ТиСУ. 2023. № 5.

  12. Bruant I., Coffignal G., Lene F., Verge M. A methodology for determination of piezoelectric actuator and sensor location on beam structures // J. Sound&Vibr. 2001. V. 243. № 5. P. 861–882.

  13. Gupta V., Sharma M., Thakur N. Optimization criteria for optimal placement of piezoelectric sensors and actuators on a smart structure: A technical review // J. Intell. Mater. Syst.&Struct. 2010. V. 21. № 12. P. 1227–1243.

  14. Kostin G., Gavrikov A. Controllability and optimal control design for an elastic rod actuated by piezoelements // IFAC-PapersOnLine. 2022. V. 55. № 16. P. 350–355.

  15. Gavrikov A., Kostin G. Optimal LQR control for longitudinal vibrations of an elastic rod actuated by distributed and boundary inputs // in: Recent Trends in Wave Mechanics and Vibrations. Ed. by Dimitrovová Z. et al. WMVC 2022. Mechanisms and Machine Science, V. 125. Springer, 2023. P. 285–295.

  16. Kucuk I., Sadek I., Yilmaz Y. Optimal control of a distributed parameter system with applications to beam vibrations using piezoelectric actuators // J. Franklin Inst. 2014. V. 351. P. 656–666.

  17. Mead D.J., Markus S. The forced vibration of a three-layer, damped sandwich beam with arbitrary boundary conditions // J. Sound&Vibr. 1969. V. 10. № 2. P. 163–175.

  18. Sayyad A.S., Ghugal Y.M. Bending, buckling and free vibration of laminated composite and sandwich beams: A critical review of literature // Compos. Struct. 2017. V. 171. P. 486–504.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал