1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Программирование
  4. № 5, 2023

Программирование, 2023, № 5, стр. 47-58

О РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМАХ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ

А. Баддур a, М. М. Гамбарян a, Л. Гонсалес a, М. Д. Малых a, b, *

a Российский университет дружбы народов
117198 Москва, улица Миклухо-Маклая, 6, Россия

b Объединенный институт ядерных исследований
141980 Дубна, Московской области, Россия

* E-mail: malykh_md@pfur.ru

Поступила в редакцию 21.06.2022
После доработки 28.07.2022
Принята к публикации 30.10.2022

Аннотация

В статье представлен оригинальный пакет для исследования численных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, встраиваемый в систему компьютерной алгебры Sage. Этот проект направлен на более тесную интеграцию численных и символьных методов и прежде всего преследует цель создания удобного инструмента для работы с численными решениями в Sage. В этом пакете определено два новых класса – начальные задачи и приближенные решения. Внутри первого класса определены инструменты для символьных вычислений, связанных с начальными задачами, внутри второго – инструменты для интерполяции значений символьных выражений на приближенном решении и оценивания ошибки по методу Ричардсона. Затем кратко описана реализация метода Рунге–Кутты, главная особенность которой – возможность работы с произвольными таблицы Бутчера и произвольными числовыми полями.

Список литературы

  1. Runge C., König H. Vorlesungen über numerisches Rechnen. Springer-Verlag, 2013.

  2. SciPy documentation, 2022. Access mode: https://docs.scipy.org.

  3. Ketcheson D.I., bin Waheed U. A comparison of high order explicit Runge-Kutta, extrapolation, and deferred correction methods in serial and parallel // CAMCoS. 2014. V. 9. № 2. P. 175–200.

  4. Геворкян М.Н. Конкретные реализации симплектических численных методов // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. 2013. № 3. P. 77–89.

  5. Castillo J.E., Miranda G.F. Mimetic discretization methods. Chapman and Hall/CRC, 2013.

  6. Da Veiga L.B., Lipnikov K., Manzini G. The mimetic finite difference method for elliptic problems. Springer, 2014. V. 11.

  7. Hairer E., Wanner G., Lubich Ch. Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Berlin Heidelberg New York : Springer, 2000.

  8. On the Quadratization of the Integrals for the Many-Body Problem / Yu Ying, Ali Baddour, Vladimir P. Gerdt et al. // Mathematics. 2021. V. 9. № 24.

  9. Baddour A., Malykh M. On Difference Schemes for the Many-Body Problem Preserving All Algebraic Integrals // Phys. Part. Nuclei Lett. 2022. V. 19. P. 77–80.

  10. Baddour A., Malykh M., Sevastianov L. On Periodic Approximate Solutions of Dynamical Systems with Quadratic Right-Hand Side // J. Math. Sci. 2022. V. 261. P. 698–708.

  11. Stein W.A. Sage Mathematics Software (Version 6.7). The Sage Development Team, 2015. Access mode: http:// www.sagemath.org.

  12. Малых М.Д., Юй Ин Методика отыскания алгебраических интегралов дифференциальных уравнений первого порядка // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2018. Т. 26. № 3. С. 285–291.

  13. Вычисления на квазиравномерных сетках / Н.Н. Калиткин, А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Б.В. Рогов. Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005. ISBN: 5-9221-0565-5.

  14. Belov A.A., Kalitkin N.N., Poshivaylo I.P. Geometrically adaptive grids for stiff Cauchy problems // Doklady Mathematics. 2016. V. 93. № 1. P. 112–116.

  15. Belov A.A., Kalitkin N.N. Nonlinearity Problem in the Numerical Solution of Superstiff Cauchy Problems // Mathematical Models and Computer Simulations. 2016. V. 8. № 6. P. 638–650.

  16. Explicit methods for integrating stiff Cauchy problems / A.A. Belov, N.N. Kalitkin, P.E. Bulatov, E.K. Zholkov-skii // Doklady Mathematics. 2019. V. 99. № 2. P. 230–234.

  17. Баддур Али, Малых М.Д. Richardson–Kalitkin method in abstract description // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. 2021. V. 29. № 3. P. 271–284.

  18. Numerical determination of the singularity orderof a system of differential equations / Али Баддур, М.Д. Малых, А.А. Панин, Л.А. Севастьянов // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. 2020. V. 28. № 1. P. 17–34.

  19. Hairer E., Wanner G., Norsett S.P. Solving Ordinary Differential Equations I. 3 edition. Springer, 2008.

  20. Yu Ying. The symbolic problems associated with Runge-Kutta methods and their solving in Sage // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. 2019. V. 27. № 1. P. 33–41.

  21. Хашин С.И. Численное решение уравнений Бутчера // Вестник ИвГУ. 2000. № 3. P. 155–164.

  22. Хаммуд Г.М., Хашин С.И. Шестимерное семейство 6-шаговых методов Рунге–Кутта порядка 5 // Науч. тр. ИвГУ. Математика. 2001. № 4. P. 114–122.

  23. Хашин С.И. Альтернативная форма уравнений Бутчера // Вестник ИвГУ. 2007. № 3. P. 94–103.

  24. Xaшин C.И. A Symbolic-Numeric Approach to the Solution of the Butcher Equations // Canadian Applied Mathematics Quarterly. 2009. V. 17. № 3. P. 555–569.

  25. Хашин С.И. Три упрощающих предположения для методов Рунге–Кутта // Вестник ИвГУ. 2012. № 2. С. 142–150.

  26. Stone P. Maple worksheets on the derivation of Runge-Kutta schemes, 2021. Access mode: http://www.peterstone.name/Maplepgs/ RKcoeff.html.

  27. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций с приложениями к механике. М.-Л. : ОНТИ, 1936.

  28. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа. М.-Л.: ГТТИ, 1934.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Программирование

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал