1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Расплавы
  4. № 4, 2022

Расплавы, 2022, № 4, стр. 408-417

Локальная структура расплава фторида лития. I. Расчет трехчастичных и радиальных функций распределения методами ab initio и классической молекулярной динамики

Д. О. Закирьянов a, М. А. Кобелев a, *, Н. К. Ткачев a

a Институт высокотемпературной электрохимии УрО РАН
Екатеринбург, Россия

* E-mail: m.kobelev@ihte.uran.ru

Поступила в редакцию 21.03.2022
После доработки 08.04.2022
Принята к публикации 16.04.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Проведен теоретический анализ ближнего и промежуточного порядка в расплаве фторида лития вблизи температуры плавления методами квантовой и классической молекулярной динамики. Квантовое моделирование в рамках теории функционала плотности учитывает многочастичные взаимодействия и не требует для этого сложной подгонки множества эмпирических параметров. В сравнительных целях осуществлены расчеты методом классической молекулярной динамика с потенциалами Букингема. Рассчитаны функции радиального распределения, а также угловые распределения вероятности для трехчастичных корреляций Li–F–Li в первой и второй координационных сферах аниона фтора. Найдены небольшие отклонения и дисперсия таких распределений вблизи кубических и гексагональных координаций от классической парной модели.

Ключевые слова: функции распределения, расплав фторида лития, молекулярная динамика, теория функционала плотности

ВВЕДЕНИЕ

Фторид лития занимает особое место как для практики использования расплавленных солей, особенно в качестве одного из компонентов растворителя в ЖСР, так и для расширения фундаментальных представлений о строении и физико-химических свойствах этой солевой системы. В теории расплавленных солей не утихают дискуссии о строении расплавленных галогенидов [1, 2]. В работах школы М.В. Смирнова, например, много лет обсуждалась автокомплексная модель, в которой предполагалось образование комплексных заряженных анионов типа $MX_{n}^{{m + }}$ даже в галогенидах щелочных металлов (ГЩМ) [3]. Статистико-термодинамическая модель химического равновесия по отношению к образованию таких комплексов была предложена Акдениз-Тоси [4]. Основной ее недостаток был устранен недавно в наших работах [5], а именно, был произведен учет сильных изменений объема в результате смещения химического равновесия. Было показано, что комплексы становятся абсолютно неустойчивыми, начиная с определенной температуры [6].

Иную линию исследований предлагает английская школа П. Маддена. Был поставлен вопрос, почему многие галогенидные соединения металлов (и их смеси), которые должны быть чисто “ионными”, проявляют явные “ковалентные” эффекты в своей локальной структуре конденсированной фазы и динамических свойствах [2, 7]. Как показано в расчетных работах Уилсона–Маддена, Маддена–Саланна, поляризационные вклады в межчастичное взаимодействие можно в известной степени трактовать как отклонения от чистой ионности и вести речь о многочастичных эффектах в структуре расплавленных солей таких как BeF2, ZnCl2, AlF3 и других, содержащих многозарядные ионы. Вариации в изменении структуры ионной жидкости могут быть значительными. Например, AlCl3 становится молекулярным, BeCl2 – “полимером” с удлиненными цепями. Во многих системах, рассмотренных Мадденом и соавторами, сообщается об особом промежуточном порядке (IRO – intermediate range order) и трехмерных сетчатых структурах для стеклообразующих систем ZnCl2, BeF2 и SiO2 [8, 9].

Из-за таких эффектов взаимодействие одного иона с другим не может быть в общем случае выражено посредством парных потенциалов, например, типа Борна-Майера. В результате, Мадден и соавторы приходят к т.н. модели поляризуемого иона (Polarizable Ion Model – PIM) [10].

В принципе, эти межчастичные эффекты хорошо известны в теории электролитов [11, 12], однако очень сложны для учета в теории расплавленных солей вследствие своей многочастичной, или кооперативной природы (так как сами взаимодействия зависят от плотности расплава и других макроскопических параметров). В эпоху стремительного развития компьютерной техники стало возможным проводить моделирование строения и свойств расплавленных солей с учетом таких многочастичных эффектов во взаимодействии. Эта линия исследований и разрабатывается в работах Маддена и соавторов. Более того, были обнаружены свидетельства их проявлений даже и для галогенидов щелочных металлов, но вблизи заряженной поверхности [13].

Например, результаты квантового моделирования показали [14], что локальная структура ZnCl2 состоит из тетраэдрического расположения ионов Cl вокруг каждого Zn. Это может быть описано и без включения эффектов поляризации, но эффекты поляризуемости аниона влияют на то, как эти тетраэдрические единицы связаны между собой. Простой парный потенциал типа Борна–Майера (БМ) предсказывает линейные мостики Zn–Cl–Zn, чтобы минимизировать кулоновское отталкивание катионов. Специфика проявления поляризационных взаимодействий заключается в стремлении изогнуть цепочку так, чтобы “угол связи” отличался от 180° и стал близок к 110° в этом случае. Другими словами, расстояние Zn–Zn сокращается, и это приводит к эффекту подобия с наблюдаемыми для ГЩМ парциальными радиальными функциями распределения (ПРФР) для поляризуемой модели и лучшему соответствию дифракционным экспериментам. Для более крупных катионов наиболее устойчивыми являются простые ионные структуры с анионом между катионами под 180°. При промежуточном размере сочленение становится изогнутым, в результате чего образуются угловые многогранники. Для очень маленьких катионов и поляризуемых анионов изгиб таков, что дает связанные по ребру многогранники, в которых индуцированные диполи на двух анионах экранируют катион-катионное отталкивание. Цена, заплаченная за изгибы угла M–X–M за счет энергии поляризации, – это проигрыш в кулоновской энергии. Конкретные последствия поляризационных эффектов зависят от тонкого баланса между кулоновским взаимодействием и эффектами исключенного объема, определяемыми соотношением размеров ионов и стехиометрией. Эффекты поляризации становятся более важными для более поляризуемых ионов, и когда радиус катиона значительно меньше, чем анионный.

Было найдено посредством квантово-химического расчета, что распределение электронной плотности вблизи фторид-аниона отличается значительной асферичностью [2]. Поэтому, в наиболее актуальных исследованиях группы Маддена реализуется довольно сложная схема расчета, на первом этапе которой проводится квантовый расчет силовых полей для ансамблей с различной конфигурацией ионов, в том числе и с кристаллическими, и с растянутыми – неравновесными. На втором этапе осуществляется подгонка параметров эффективного парного потенциала типа Борна–Майера–Хаггинса (БМХ) с поправками Танга–Тонье. В результате, для галогенида щелочного металла требуется подогнать в общем случае 24 параметра, описывающие парные взаимодействия катион-катион, анион-анион, катион-анион. Чаще всего задачу сводят далее к 12 параметрам, обнуляя поляризационные вклады для всех типов пар, кроме анион-анионной [15]. На третьем этапе проводится классическое молекулярное моделирование с исправленными параметрами потенциала парного взаимодействия. В наиболее актуальных работах Саланна и др. рассматривается еще более сложная схема посредством т.н. Aspherical Ion Model (AIM), в рамках которой и сама поляризуемость того или иного иона должна вычисляться всякий раз заново при изменении плотности, концентрации, давления и температуры [16].

В настоящем исследовании сделана попытка, во-первых, прямой оценки и описания трехчастичных функций распределения Li–F–Li посредством первопринципной молекулярной динамики (МД), минуя описанный этап расчета эффективных парных взаимодействий. При этом было целесообразно сосредоточиться именно на тройках типа катион-анион-катион, поскольку значение соответствующего угла должно зависеть от наличия и величины многочастичных взаимодействий. Во-вторых, проведено сопоставление радиальных функций распределения квантово-химических расчетов с результатами классической МД при использовании модельного парного потенциала типа БМХ. Такое сопоставление имеет важное методическое значение для задачи о выявлении роли многочастичных взаимодействий при формировании локальной структуры солевых расплавов.

Целесообразно было разделить изложение особенностей расчетных методик и результатов для функций распределения в прямом пространстве и обсуждение дифракционного аспекта о структуре расплавов, который тесно связан с парциальными структурными факторами (ПСФ). Эта линия исследований берет свое начало в работах 70-х гг. прошлого столетия [17]. Определенный прогресс в понимании дифрактограмм упругого рассеяния рентгеновских лучей и нейтронов был достигнут в работах Абрамо и др. с позиций модели заряженных твердых сфер [18]. Из-за обилия иллюстративного материала и необходимости сопоставить полученные результаты для ПСФ еще и с этой аналитической моделью такое обсуждение будет представлено в нашей второй работе.

ДЕТАЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Ab initio молекулярная динамика

Размер ансамбля для квантовых расчетов составлял 216 ионов, что продиктовано быстрым ростом времени таких расчетов при увеличении числа ионов в ячейке. Для получения начального пространственного распределения ионов в ячейке использовали классическую молекулярную динамику с потенциалом Букингема; подробности классического подхода излагаются ниже. Для моделирования временной эволюции системы использовали теорию функционала электронной плотности (ТФП) с функционалом PBE [19]. Применялась дисперсионная поправка Гримме [20]. Моделирование проводили при постоянном объеме, соответствующем экспериментальной плотности [21], в течение 14 000 итераций молекулярной динамики с временны́м шагом 4 фс (всего 56 пс). При анализе структурных данных не учитывали стартовый интервал моделирования в 6 пс, в течение которых наблюдалось понижение потенциальной энергии системы ввиду оптимизации структуры расплава. Все расчеты выполняли в программе cp2k [22]. Электронная структура описывалась через валентно-расщепленные поляризационные базисные наборы DZVP (double-zeta valence plus polarization), встроенные в программу cp2k, в сочетании с псевдопотенциалами Годекера–Тетера–Хаттера [23]. Гибкость электронных оболочек за счет присутствия поляризационных орбиталей дает возможность учесть возможные поляризационные эффекты.

Потенциал Букингема

Модель парного взаимодействия, за которой закрепилось название потенциала Букингема, выбрана, во-первых, потому что это модель БМ типа, а во-вторых, потому, что для наиболее легких катиона и аниона, возбуждениями d-состояний электронов, которые приводят к характерным квадрупольным членам порядка R–8, как показывают оценки, можно пренебречь. Моделирование фторида лития в рамках классической молекулярной динамики проводилось с использованием следующего парного потенциала:

(1)
${{U}_{{ij}}}\left( r \right) = \frac{{{{Z}_{i}}{{Z}_{j}}{{e}^{2}}}}{{\varepsilon r}} + A{\text{exp}}\left[ { - \frac{r}{\rho }} \right] - \frac{C}{{{{r}^{6}}}}$
здесь ${{Z}_{i}}$ валентность i-го иона, находящегося на расстоянии $r$ от второй частицы, $\varepsilon $ – диэлектрическая проницаемость среды (равная 1 при дальнейших вычислениях), $e$ – величина элементарного заряда. Параметры отталкивательной части парного потенциала (1) $A$ и $\rho $ для всех пар, а также коэффициенты Ван-дер-Ваальса ${{C}_{{ij}}}$ были рассчитаны в приближении теории возмущений Меллера–Плессе второго порядка [24, 25]. Все квантово-химические вычисления потенциальной энергии между ионами проводились в пакете ORCA [26]. Рассчитанные параметры парного потенциала (1) представлены в табл. 1.

Таблица 1.  

Параметры парного потенциала (1)

Ионные пары $A$, эВ $\rho $, Å С, эВ · Å
Li–Li 2244.5 0.14151 0.88682
Li–F 1340.9 0.22379 0.74233
F–F 1470.5 0.26356 4.57168

Так как выбор параметров парного потенциала является ключевым этапом молекулярно-динамического моделирования, отметим, что используемые в данной работе значения параметров наилучшим образом воспроизводят характеристики плавления, по сравнению с имеющимися в литературе другими наборами параметров. А именно, представленный в работе [27] расчет температуры плавления фторида лития оказался на 300° ниже экспериментально наблюдаемой величины. Как ранее нами было показано [28], использование параметров парного потенциала, рассчитанных неэмпирическим методом, позволяет с достаточной точностью рассчитать температуру плавления фторида лития: $T_{{{\text{пл}}}}^{{{\text{МД}}}} = 1108$ К, тогда как $T_{{{\text{пл}}}}^{{{\text{эксп}}}} = 1121$ К.

Расплав фторида лития был получен следующим способом. Моделируемая ячейка в форме куба, содержащая 2744 иона, расположенных в узлах кристаллической решетки, нагревалась до 2000 К. Полученный расплав выдерживался при этой температуре в течении 200 пс и затем охлаждался до Т = 1200 К. Описанный цикл реализован в рамках моделирования NPT – ансамбля, что позволяет определить плотность расплава. Рассчитанное значение плотности при Т = 1200 К оказалось равным 1.915 г/см3, что на 8% выше экспериментально измеряемой величины [21]. С целью корректного сопоставления результатов, полученных классическим и первопринципным методом, дальнейшее моделирование расплава LiF осуществлялось с использованием NVT – ансамбля при заданной экспериментальной плотности, равной 1.77 г/см3. Общее время моделирования составило 1 нс, временной шаг моделирования выбран равным ∆t = 0.001 пс. Молекулярно-динамическая ячейка имела периодические граничные условия. Кулоновское взаимодействие рассчитывалось по методу Эвальда. Параметр обрезания межионного взаимодействия равен половине длины ребра МД-ячейки $L = 32.2~\,{\text{{\AA}}}{\text{.}}$ Контроль температуры и давления задается с помощью термостата и баростата Нозе–Гувера. Параметр релаксации температуры равен 0.1 пс, аналогичный параметр для давления – 0.5 пс. Все расчеты проведены в пакете LAMMPS с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютера “Уран” СКЦ ИММ УрО РАН.

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Функции радиального распределения, полученные с использованием ТФП и парного потенциала Букингема, приведены на рис. 1.

Рис. 1.

Функции радиального распределения.

Взаимные положения максимумов и минимумов отвечают, очевидно, строгому кулоновскому упорядочению ионов.

На основе радиальных функций рассчитаны координационные числа n и ближайшие катион-анионные расстояния rmin. Результаты расчетов приведены в табл. 2.

Таблица 2.  

Параметры локальной структуры

   ТФП Букингем
n rmin, Å n rmin, Å
LiF   4.6 1.9   4.2 1.8
LiLi 13.8 3.0 12.5 2.9
FF 13.8 3.0 11.8 2.9

Видно, что теория функционала плотности предсказывает незначительно (на 3–6%) большие числа окружения и радиусы координационных сфер. С учетом принципиальных отличий используемых подходов получено хорошее согласие результатов по радиальным вероятностям.

Согласно литературным данным, локальное окружение лития в расплаве LiF составляют 4 иона фтора [29, 30], расположенные на расстоянии 1.83 Å [31].

УГЛОВЫЕ И ТРЕХЧАСТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Был проведен расчет угловых распределений для тройки ионов Li–F–Li. Эта цепочка ионов выбрана не случайно. Наибольший интерес здесь представляет рассмотреть отклонение от угла 180°, которое провоцируется деформируемостью или поляризуемостью аниона фтора в данном случае. Об этом было уже сказано во введении. Анализ был проведен раздельно для первой и второй координационной сферы вокруг иона фтора. Границы первой и второй координационных сфер определялись исходя из положений минимумов радиальной функции gLi–F(r). Для ансамбля, моделировавшегося в рамках теории функционала плотности, границы первой и второй координационных сфер составили 2.9 и 5.7 Å; для ансамбля, описываемого модельным потенциалом Букингема, соответствующие значения были вычислены равными 2.7 и 5.4 Å. Угловые распределения были нормированы таким образом, что значения полученных функций (рис. 2) показывают процент троек ионов Li–F–Li, который приходятся на один градус в этой области углов.

Рис. 2.

Распределения вероятности для углов, образованных тройкой ионов Li–F–Li, где ионы лития лежат (a) в первой координационной сфере и (б) во второй координационной сфере вокруг фтора.

Можно также построить функцию разницы между угловыми распределениями для квантовых и классических ансамблей Δ:

(2)
$\Delta = {{P}_{{{\text{ТФП}}}}} - {{P}_{{{\text{Букингем}}}}},$
где P – нормированные распределения вероятности, показанные на рис. 2. Из рис. 3 видно, что в первой координационной сфере получающееся в квантовых расчетах распределение электронной плотности стремится расположить тройки Li–F–Li под несколько большими углами (в области 60°–70°). Аналогичное поведение наблюдается для второй координационной сферы: описываемые классическим парным потенциалом ионы образуют меньшие, по сравнению с ТФП, углы в заданной тройке. Интересно также, что “классическая” система показывает чуть большую упорядоченность второй координационной сферы: угловое распределение (рис. 2б, красная линия) имеет дополнительный локальный минимум при 90°, в то время как распределение для квантовой системы (рис. 2б, синяя линия) этой особенности лишено.

Рис. 3.

Разница угловых распределений, предсказанных в рамках теории функционала плотности и парного потенциала Букингема.

Интересно проанализировать трехчастичные функции распределения g(r1, r2, α). Тепловая карта, представленная на рис. 4, показывает распределение вероятности обнаружить вокруг иона фтора два иона лития, расстояние до первого из которых rF–Li1, до второго – ${{r}_{{{\text{F}} - {\text{Li}}2}}},$ а угол, образованный тройкой Li1–F–Li2, составляет α ± 5°. В качестве характерных углов α выбраны углы 70°, 90° и 120°. Показаны тепловые карты для ансамблей, моделируемых в рамках теории функционала плотности (рис. 4a) и модельного потенциала (рис. 4б).

Рис. 4.

Трехчастичные функции распределения для (a) ТФП и (б) потенциала Букингема. Проекции трехмерной функции g(r1, r2, α) при углах αLi–F–Li = 70° ± 5°, 90° ± 5° и 120° ± 5°.

Видно, что более острые углы образованы в основном теми ионами лития, которые находятся на большем расстоянии до центрального иона фтора. Можно рассматривать эти тройки как промежуточные между первой и второй координационными сферами относительно кристалла. Приоритетными для первой координационной сферы являются углы от примерно 80° и больше.

ВЫВОДЫ

Проведенный теоретический анализ локальной структуры расплава фторида лития вблизи температуры плавления с помощью двух вариантов молекулярной динамики (ab initio и классическая с парным потенциалом Букингема) показал в целом близкие результаты. Использование неэмпирического или ab initio подхода, позволяющего моделировать все многочастичные взаимодействия, особенно важно при расчете угловых распределений вероятности для трехчастичных корреляций Li–F–Li в первой и второй координационных сферах аниона фтора. В отсутствие какой-либо статистической теории такого рода многочастичных эффектов это является самым прямым и последовательным описанием трехчастичных функций распределения на данный момент. Результаты классической МД с потенциалами Букингема, согласуются и с первопринципным подходом, и с предыдущими исследованиями, и демонстрируют хорошую физическую основу для описания расплава фторида лития. Найдены небольшие отклонения и дисперсия трехчастичных распределений вблизи кубических и гексагональных координаций от классической парной модели. Например, средний угол между тройкой Li–F–Li в первой координационной сфере составляет величину около 80°. Рассчитанные проекции трехмерной функции g(r1, r2, α) при углах ${{\alpha }_{{{\text{Li}} - {\text{F}} - {\text{Li}}}}} = 70^\circ ,\,\,\,90^\circ ,\,\,~\,120^\circ $ показали повышенную диффузность распределений найденных с помощью функционала электронной плотности.

Список литературы

  1. Rollet A.-L., Salanne M. // Annu. Rep. Prog. Chem. Sect. C. 2011. 107. P. 88–123. https://doi.org/10.1039/C1PC90003J

  2. Sallane M., Madden P.A. // Mol. Phys. 2011. 109. № 19. P. 2299–315. https://doi.org/10.1080/00268976.2011.617523

  3. Минченко В.И., Степанов В.П. Ионные расплавы: упругие и калорические свойства, Екатеринбург: УрО РАН, 2008.

  4. Akdeniz Z., Tosi M.P. // Phys. Chem. Liq. 1987. 17. P. 91–104. https://doi.org/10.1080/00319108708078544

  5. Peshkina K., Tkachev N. // Phys. Chem. Liq. 2019. 57. № 6. P. 768–778. https://doi.org/10.1080/00319104.2018.1520852

  6. Ткачев Н.К., Пешкина К.Г. // Электрохимия. 2018. 54. № 5. С. 497–506. https://doi.org/10.7868/S0424857018050043

  7. Wilson M., Madden P.A. // J. Phys.: Cond. Matter. 1993. 5. № 37. P. 6833–6844. https://doi.org/10.1088/0953-8984/5/37/004

  8. Wilson M., Madden P.A. // Phys. Rev. Lett. 1998. 80. № 3. P. 532–535. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.532

  9. Horbach J., Kob W. // Phys. Rev. B 1999. 60. № 5. P. 3169–3181.https://doi.org/10.1103/PhysRevB.60.3169

  10. Wilson M., Madden P.A. // J. Phys.: Cond. Matter. 1993. 5. № 17. P. 2687–2706. https://doi.org/10.1088/0953-8984/5/17/004

  11. Kirkwood J.G. // Chem. Rev. 1936. 19. № 3. P. 275–307. https://doi.org/10.1021/cr60064a007

  12. Stillinger F.H. Equilibrium theory of pure fused salts, in: M. Blander (Ed.), Molten Salt Chemistry, Interscience Publishers. N.Y., 1964. P. 1–108.

  13. Pounds M., Tazi S., Salanne M., Madden P.A. Ion adsorption at a metallic electrode: an ab initio based simulation study // J. Phys.: Cond. Matter. 2009. 21. № 42. P. 424109. https://doi.org/10.1088/0953-8984/21/42/424109

  14. Pan G., Chen P., Yan H., Lu Y. // Comp. Mat. Sci. 2020. 185. P. 109955. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2020.109955

  15. Salanne M., Rotenberg B., Jahn S., Vuilleumier R., Simon C., Madden P.A. Including many-body effects in models for ionic liquids // Theor. Chem. Acc. 2012. 131. P. 1143–1162.

  16. Ishii Y., Salanne M., Charpentier T., Shiraki K., Kasahara K., Ohtori N. // J. Phys. Chem. C. 2016. 120. № 42. P. 24370–24381. https://doi.org/10.1021/acs.jpcc.6b08052

  17. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем, М.: Мир, 1982.

  18. Abramo M.C., Caccamo C., Pizzimenti G., Parrinello M., Tosi M.P. Ionic radii and diffraction patterns of molten alkali halides // J. Chem. Phys. 1978. 68. № 6. P. 2889–2895.

  19. Perdew J.P., Burke K., Ernzerhof M. // Phys. Rev. Lett. 1996. 77. P. 3865–3868. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.3865

  20. Grimme S., Antony J., Ehrlich S., Krieg H. // J. Chem. Phys. 2010. 132. № 15. P. 154104. https://doi.org/10.1063/1.3382344

  21. Janz G.J. Thermodynamic and transport properties for molten salts: correlation equations for critically evaluated density, surface tension, electrical conductance, and viscosity data // J. Phys. Chem. Ref. Data. Suppl. 1988. 17. № 2. P. 65.

  22. Hutter J., Iannuzzi M., Schiffmann F., VandeVondele J. CP2K: atomistic simulations of condensed matter systems // WIREs Comp. Mol. Sci. 2014. 4. № 1. P. 15–25.

  23. Goedecker S., Teter M., Hutter J. // Phys. Rev. B. 1996. 54. P. 1703–1710. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.54.1703

  24. Møller C., Plesset M.S. // Phys. Rev. 1934. 46. № 7. P. 618–622. https://doi.org/10.1103/PhysRev.46.618

  25. Pople J.A., Seeger R., Krishnan R. // Int. J. Quant. Chem. 1977. 12(S11). P. 149–163. https://doi.org/10.1002/qua.560120820

  26. Neese F. The ORCA program system // WIREs Comp. Mol. Sci. 2012. 2. № 1. P. 73–78.

  27. Luo H., Xiao S., Wang S., Huai P., Deng H., Hu W. Molecular dynamics simulation of diffusion and viscosity of liquid lithium fluoride // Comp. Mater. Sci. 2016. 111. P. 203–208.

  28. Zakiryanov D, Kobelev M, Tkachev N. // Fluid Phase Equil. 2020. 506. P. 112369. https://doi.org/10.1016/j.fluid.2019.112369

  29. Baranyai A., Ruff I., McGreevy R.L. Monte Carlo simulation of the complete set of molten alkali halides // J. Phys. C: Solid State Phys. 1986. 19. № 4. P. 453–465.

  30. Ribeiro M.C.C. // J. Phys. Chem. B. 2003. 107. P. 4392–4402. https://doi.org/10.1021/jp027261a

  31. Sarou-Kanian V., Rollet A.-L., Salanne M., Simon C., Bessada C., Madden P.A. // Phys. Chem. Chem. Phys. 2009. 11. P. 11 501–11 506. https://doi.org/10.1039/B912532A

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Расплавы

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал