Теоретические основы химической технологии, 2022, T. 56, № 3, стр. 379-396

ВВЕДЕНИЕ

Управление технологическими процессами (ТП) с целью повышения качества конечных продуктов является одной из главных задач в промышленности. Постоянный контроль качества выпускаемой продукции играет определяющую роль в управлении, минимизации издержек производства и повышении безопасности. Учитывая тенденцию к использованию систем усовершенствованного управления на основе статистических моделей для оценки показателей качества (виртуальных анализаторов) в реальном времени, совершенствование и разработка новых подходов для их построения в условиях малых обучающих выборок представляют собой актуальную тему исследования [1–5]. Под виртуальными анализаторами (ВА) понимаются различные статистические математические модели (регрессионные, нейронные сети, нейро-нечеткие модели и т.п.), которые используются для оценки определенных физических величин или качества продукции в производственных процессах на основе доступных измерений [6, 7]. Для построения ВА используются выборки исторических данных, содержащие значения целевого показателя качества, так и измеряемых технологических переменных процесса, коррелирующих с ним [8, 9]. ВА создают информационную базу для формирования оптимального управления как отдельными химико-технологическими процессами, так и всем циклом технологического производства.

Используемые для построения ВА методы были существенно улучшены, однако, в большинстве случаев они сосредоточены на подходах, основанных на глубоком обучении [10–12] и регрессии [13]. Следует отметить, что при разработке и внедрении ВА в системы усовершенствованного управления технологическими процессами для оперативного контроля качества конечных продуктов, одной из важнейших проблем, с которой сталкиваются, – это репрезентативность обучающей выборки исторических данных [14–17]. От размера обучающей выборки и ее характеристик будет зависеть точность модели оценки показателей качества конечных продуктов и эффективность применения алгоритмов и методов для ее разработки [18, 19].

Высокая стоимость лабораторных исследований, нелинейность технологического процесса, наличие случайного шума, отсутствие данных технологического режима на всем диапазоне изменения качества продукта приводит к неэффективности применяемых методов при разработке модели (ВА) и снижение ее работоспособности на другом диапазоне функционирования установки. В связи с этим задача построения адекватной модели для оценки качества конечных продуктов в условиях малой выборки данных остается актуальной [18–20].

При построении ВА (или моделей) для оценки показателей качества конечных продуктов в условиях малых выборок широкое распространение получили бутстрэп метод [21] и метод складного ножа [22]. Данные методы позволяют оценить параметры ВА путем формирования новых выборок из исходного набора данных. Используемые методы отличаются друг от друга подходом к формированию выборок. В первом случае формируются бутстрэп выборки путем извлечения элементов из исходного набора данных случайным образом несколько раз. При использовании концепции складного ножа формируются подвыборки складного ножа путем удаления i-ой строки из исходного набора данных.

В [23, 24] рассмотрен подход к работе с малым исходным набором данных на основе генерации виртуальной выборки методом оптимизации роя частиц. Этот метод заполняет “пропуски” между значениями данных выборки за счет добавления новых сгенерированных виртуальных наблюдений. Применение вышеуказанных методов эффективно, если обучающая выборка содержит в себе данные технологического процесса на всем диапазоне изменения качества конечного продукта.

В настоящей работе предлагается алгоритм построения модели (виртуального анализатора) для оценки качества конечного продукта (МТБЭ), отличающийся от известных подходов к построению моделей в условиях малых выборок тем, что основан на расширении обучающей выборки или повышению ее репрезентативности путем добавления данных, полученных с использованием физически обоснованной математической модели технологического процесса.

ОПИСАНИЕ ПРОМЫШЛЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается массообменный технологический процесс получения высокооктановой добавки бензинов – метил-трет-бутилового эфира (МТБЭ). Схема процесса производства МТБЭ представлена на рис. 1.

При производстве МТБЭ особое внимание уделяется выбору соотношения изобутилен-метанол. Количество подаваемого метанола определяется в зависимости от расхода бутан-бутиленовой фракции (ББФ) и содержания изобутилена в ней. Определение и поддержание соотношения компонентов осуществляется на основании опыта технолога. При неправильном задании расхода метанола относительно расхода ББФ количество непрореагировавшего метанола на выходе реактора может быть либо больше, либо меньше требуемого значения. В обоих случаях это приводит к перерасходу исходного сырья, недополучению готовой продукции и снижению ее качества. По окончании процесса массовая доля метил-трет-бутилового эфира марки А должна быть не менее 98% в конечном продукте, а массовая доля метанола (МеОН) не должна превышать 1.5%.

Основная химическая реакция (образование МТБЭ) в реакционной зоне протекает в результате взаимодействия изобутилена (IB), содержащегося в ББФ, с метанолом на сульфокатионитном катализаторе:

В условиях недостаточного количества метанола изобутилен димеризуется с образованием побочного продукта диизобутена (DIB), который состоит из изомеров 2,4,4-триметилпентена-1 (2,4,4-TMП-1) и 2,4,4-триметилпентена-2 (2,4,4-ТМП-2) [25, 26].

При построении моделей для оценки качества МТБЭ в обучающей выборке в реальных условиях часто наблюдается полное отсутствие данных технологического режима в области верхней границы диапазона качества продуктов (приближения параметров объекта управления к границам, обозначенным технологическим регламентом) либо частичное отсутствие данных в области всего диапазона технологического режима (рис. 2).

Отсутствие информации по качеству конечных продуктов, соответствующей текущему режиму технологического процесса, вынуждает операторов поддерживать режимы, обеспечивающие большой запас по качеству продуктов. Тем самым повышается расход энергии и увеличивается стоимость конечного продукта. В связи с этим рассматривается задача построения модели для оценки содержания метанола в конечном (нижнем) продукте производства МТБЭ в условиях малой обучающей выборки с отсутствием данных технологического режима во всем диапазоне изменения качества продуктов.

Пусть N обозначает количество наблюдений, а n_U и n_Y обозначают количество входных и выходных переменных, $U \in {{R}^{{N \times {{n}_{U}}}}}$ и $Y \in {{R}^{{N \times {{n}_{Y}}}}}.$ Для обучающего набора данных $U \in {{R}^{{N \times {{n}_{U}}}}},$ $Y \in {{R}^{{N \times 1}}}$ задача состоит в том, чтобы построить некоторую функцию f, связывающую вход и выход. Таким образом модель для оценки показателя качества конечного продукта ($\hat {Y}$) в общем виде имеет вид:

В качестве входных переменных выбираются наиболее коррелируемые с выходом (концентрация метанола в МТБЭ) следующие переменные: u₍₁₎ – расход метанола в реактор, м³/ч (FIC4); u₍₂₎ – реакционная масса в нижнюю ректификационную колонну, м³/ч (FIC1); u₍₃₎ – давление вверху нижней ректификационной колонны, кгс/см² (PI2); u₍₄₎ – температура ректификационной смеси, поступающая в нижнюю ректификационную колонну, °C (TI4); u₍₅₎ – температура куба нижней ректификационной колонны, °C (TI1); u₍₆₎ – температура углеводородной смеси, отходящей сверху нижней ректификационной колонны, °C (TI2); u₍₇₎ – температура на 5-ой тарелке нижней ректификационной колонны, °C (TIC1); u₍₈₎ – расход метанола в смеситель, м³/ч (FIC5); u₍₉₎ – расход бутан-бутиленовой фракции в смеситель, м³/ч (FIC6); $\hat {\beta }$ – вектор параметров модели.

Общий размер исходной обучающей выборки составляет ${{N}_{{{\text{tr}}{\text{.s}}}}} = 42.$ Для оценки эффективности предлагаемого алгоритма использовалась тестовая (контрольная) выборка размером ${{N}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}} = 18.$

Эффективность построенных моделей оценивается с помощью коэффициента детерминации R² и абсолютной средней ошибки:

где ${{Y}_{n}}$ – измеряемое значение выходной переменной, мас. %; ${{\hat {Y}}_{n}}$ – ее значение, полученное на основе модели для оценки показателя качества конечного продукта, мас. %; $\bar {Y}$ – среднее значение наблюдаемой выходной переменной, мас. %.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА КОНЕЧНЫХ ПРОДУКТОВ

Применение того или иного метода при построении ВА в условиях малой выборки ограничено такими факторами как зашумленностью исходных данных, проблемой выбора структуры модели, наличием сильной корреляции между входами, нелинейностью технологических процессов, переобучением модели и т.д. Оценить оптимальность применения того или иного метода можно по критериям точности полученных моделей [см. (5) и (6)]. Широкое распространение в промышленности получили проекционные методы. Они позволяют выделить латентные (скрытые) переменные, определить эффективную размерность данных, удалить их шумовую составляющую и, как следствие, снизить риск переобучения моделей и тем самым улучшить их качество [27]. В связи с этим для построения моделей оценки целевого показателя качества используется метод проекций на латентные структуры [28–31].

АЛГОРИТМ РАСШИРЕНИЯ ВЫБОРКИ ИСТОРИЧЕСКИХ ДАННЫХ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ ЦЕЛЕВОГО ПОКАЗАТЕЛЯ КАЧЕСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПТИМИЗАЦИИ РОЯ ЧАСТИЦ

Метод оптимизации роя частиц (Particle swarm optimization algorithm – PSO) представляет собой алгоритм глобальной оптимизации, использующий имитацию социального поведения роя – группы некоторых объектов, применение которого не требует знания точного градиента оптимизируемой функции [35–37]. В алгоритме рой представляет собой множество частиц, которые на каждой итерации имеют две переменные состояния: ее текущее положение $u_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}^{{\text{t}}}$ и текущую скорость ${\text{v}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}^{{\text{t}}},$ где t – счетчик итераций, их позиции на каждой итерации обновляются для достижения решения. На каждой итерации для каждой частицы вычисляется оптимальное значение целевой функции, новое положение частицы ${\text{pbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}},$ которое соответствует лучшему ее значению на итерации в этот момент, и ${\text{gbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}$ – лучшие значения, которые получили все частицы на итерации в предыдущий момент. Частицы в рое устремляются к ${\text{gbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}},$ т.е. к лучшим значениям, обнаруженным в рое, с положением ${\text{pbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}.$ Скорость и положение частицы можно рассчитать следующим образом [22, 23]:

где ${{n}_{U}}$ – количество переменных, n_p – размер частиц в рое, r₁ и r₂ – два случайных числа в диапазоне [0, 1], ${{{\text{w}}}^{{\text{t}}}}$ – инерционный вес на итерации t, предназначенный для контроля влияния предыдущей скорости на текущую ${{{\text{w}}}^{{\text{t}}}} = {{{\text{w}}}_{{{\text{start}}}}}$ – $ - \,\,{\text{t}}\left( {{{{{{\text{w}}}_{{{\text{start}}}}} - {{{\text{w}}}_{{{\text{end}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\text{w}}}_{{{\text{start}}}}} - {{{\text{w}}}_{{{\text{end}}}}}} {{{{\text{t}}}_{{{\text{max}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\text{t}}}_{{{\text{max}}}}}}}} \right),$ где ${{{\text{t}}}_{{{\text{max}}}}}$ – максимальное количество итераций, ${{{\text{w}}}_{{{\text{start}}}}}$ и ${{{\text{w}}}_{{{\text{end}}}}}$ – начальное и конечное значения инерционного веса, равные 0.9 и 0.4.

Новые значения частиц вычисляются после обновления скорости и положения, при необходимости также обновляются ${\text{pbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}$ и ${\text{gbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}.$ Процедура выполняется до достижения заданного количества итераций и количества частиц в рое.

Шаги работы алгоритма для расширения обучающей выборки с использованием метода PSO представлены следующим образом:

Шаг 1: строится модель методом проекций на латентные структуры на основе заданной обучающей выборки и тестируется с помощью набора данных тестирования.

Шаг 2: формируется виртуальная выборка следующим образом:

(а) инициализация параметров PSO алгоритма: максимальное количество итераций ${{{\text{t}}}_{{{\text{max}}}}}$ и размер частиц в рое n_p;

(б) случайным образом генерируются начальные скорости каждой из частиц ${\text{v}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}^{{\text{1}}}$ и устанавливаются соответствующие векторы каждой частицы $u_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}^{{\text{1}}}$;

(в) вычисление минимальной среднеквадратичной ошибки качестве функции для нахождения наилучших значений – ${\text{gbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}$;

(г) обновление скорости роя частиц ${\text{v}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}^{{{\text{t + 1}}}}$ [см. (16)] и определение нового положения частицы $u_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}^{{{\text{t + 1}}}}$ [см. (17)];

(д) при достижении максимального количества итераций ${{{\text{t}}}_{{{\text{max}}}}}$ вывести оптимальные значения параметров ${\text{pbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}$ и ${\text{gbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}$.

Шаг 3: после достижения заданного на шаге 1 количества итераций ${{{\text{t}}}_{{{\text{max}}}}}$ исходный обучающий набор и полученный на шаге 2 (д) набор виртуальных данных ${\text{gbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}$ объединяются в новый обучающий набор данных.

Шаг 4: расчет параметров модели для оценки показателя качества конечного продукта с использованием нового (расширенного) набора обучающих данных (совокупность данных обучающей выборки и данных ${\text{gbes}}{{{\text{t}}}_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}}$) и проверка модели на тестовой выборке.

Одной из проблем применения PSO является выбор значений параметров r₁, r₂, t_max, n_p. При их некорректных значениях могут наблюдаться значительные колебания $u_{{{\text{vi}}{{{\text{r}}}_{i}},d}}^{{}}$, что снижает эффективность применения метода оптимизации роя частиц.

ПРЕДЛАГАЕМЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ В УСЛОВИЯХ МАЛОЙ ВЫБОРКИ ИСТОРИЧЕСКИХ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИЗИЧЕСКИ ОБОСНОВАННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Для решения проблемы малой обучающей выборки предлагается алгоритм ее расширения данными физически обоснованной математической модели массообменного технологического процесса, которая содержит уравнения фазового равновесия, материального и энергетического баланса. На основе такой модели можно получить данные технологического режима во всем диапазоне изменения качества продуктов.

В общем виде структуру физически обоснованной математической модели можно представить в виде системы уравнений на каждой j-ой ступени разделения для каждого i-го компонента:

где ${{L}_{{j + 1}}}$ – поток жидкости, поступающий на j + + 1-ую тарелку, кмоль/ч; ${{x}_{{i,j + 1}}}$ – концентрация i-го компонента, поступающего на  j + 1-ую тарелку в жидкой фазе, кмоль; ${{V}_{{j - 1}}}$ – паровой поток, покидающий j – 1-ую тарелку, кмоль/ч; ${{y}_{{i,j - 1}}}$ – концентрация i-го компонента, покидающего j – 1-ую тарелку в паровой фазе, кмоль/кмоль; ${{F}_{j}}$ – расход сырья, поступающего на j-ую тарелку, кмоль/ч; ${{x}_{{F,i,j}}}$ – концентрация i-го компонента в сырье, поступающего на j-ую тарелку, кмоль/кмоль; ${{L}_{j}}$ – поток жидкости на j-ой тарелке, кмоль/ч; ${{x}_{{i,j}}}$ – концентрация i-го компонента на j-ой тарелке в жидкой фазе, кмоль/кмоль; ${{V}_{j}}$ – паровой поток на j-ой тарелке, кмоль/ч; ${{y}_{{i,j}}}$ – концентрация i-го компонента на j-ой тарелке в паровой фазе, кмоль/кмоль; ${{\gamma }_{{L,i,j}}}$ – коэффициент активности i-го компонента в жидкой фазе на j-ой тарелке; $p_{i}^{0}$ – парциальное давление i-го компонента, кПа; $P$ – общее давление в системе, кПа; $E_{j}^{{}}$ – эффективность массопереноса по Мерфри на j-ой тарелке; $y_{{i,j}}^{*}$ – равновесная концентрация i-го компонента на j-ой тарелке в паровой фазе, кмоль/кмоль; ${{h}_{{j + 1}}}$ – энтальпия жидкости, поступающей на j + 1-ую тарелку, кДж/кмоль; ${{H}_{{j - 1}}}$ – энтальпия пара, покидающего j – 1-ую тарелку, кДж/кмоль; ${{H}_{{F,j}}}$ – энтальпия питания на j-ой тарелке, кДж/кмоль; ${{h}_{j}}$ – энтальпия жидкости на j-ой тарелке, кДж/кмоль; ${{H}_{j}}$ – энтальпия пара на j-ой тарелке, кДж/кмоль; $nc$ – общее количество компонентов в системе; $nt$ – общее количество тарелок в ректификационной колонне; m – номер реакции; r – количество реакций; i – номер компонента; j – номер тарелки; ${{\nu }_{{i,m}}}$ – стехиометрический коэффициент i-го компонента в реакции m; ${{R}_{{m,j}}}$ – скорость реакции m, произошедшей на j‑ой тарелке, кмоль/см² · ч; ${{\varepsilon }_{j}}$ – объем реакционной смеси на j-ой тарелке, м³; $T_{j}^{L}$ – температура потока жидкости на   j-ой тарелке, K; $T_{j}^{V}$ – температура потока пара на j-ой тарелке, K; $P_{j}^{L}$ – давление потока жидкости на j-ой тарелке, кПа; $P_{j}^{V}$ – давление потока пара на j-ой тарелке, кПа.

Скорость химической реакции m, протекающей в реакционной зоне реакционно-ректификационной колонны, на j-ой тарелке определяется как:

где $\Delta n$ – изменение количества одного из веществ в реакции, кмоль; s – поверхность соприкосновения фаз, см²; $\Delta t$ – промежуток времени реакции, ч.

Исходными данными для проведения расчетов на основе физически обоснованной математической модели являются состав перерабатываемого сырья и технологические параметры процесса, такие как температура, давление и расход подаваемого сырья, а также давление в колонне и расход нижнего продукта.

Зависимость коэффициентов активности компонентов в жидкости ${{\gamma }_{{L,i,j}}}$ от температуры и концентрации, согласно модели UNIQUAC [38, 39], может быть представлена в виде уравнений:

где ${{\Lambda }_{{hi}}} = \left( {{{a}_{{hi}}} - {{a}_{{ii}}}} \right)$ – параметры бинарного взаимодействия пар h–i и i–i, кДж/моль; ${{\tilde {r}}_{{i,j}}},$ ${{\tilde {q}}_{{i,j}}}$ – параметры объема и площади чистого i-го компонента на j-ой тарелке; ${{\tau }_{{hi}}}$ – приведенные параметры; $\hat {R}$ – газовая постоянная (8.314 Дж/(моль · K)); T – температура, K; z – координационное число, т.е. число тесно взаимодействующих молекул вокруг центральной молекулы, устанавливается равным 10.

Параметры бинарного взаимодействия взяты из [40] и сведены в табл. 1. Следует отметить, что параметры бинарного взаимодействия димеров изобутилена – 2,4,4-триметилпентена-1 и 2,4,4-триметилпентена-2, практически отсутствуют в литературных источниках. В данной системе н-бутен (NB) выступает в качестве инерта.

Используемая физически обоснованная математическая модель технологического процесса содержит допущения и с термодинамической точки зрения является приближенной к реальному процессу. В связи с этим необходимо определить условия целесообразности (адекватности) применения такой модели в условиях неопределенности в алгоритме. Для оценки целесообразности применения физически обоснованной математической модели в алгоритме рассчитываются R², MAE. А также предлагается рассчитывать площадь области пересечения распределений выходной переменной между ее значениями в расширенной обучающей и тестовой выборках: S – критерий эффективности расширения обучающей выборки.

Для расчета площади (S) области пересечения выходной переменной расширенной обучающей (ОВ) и тестовой выборок (ТВ) необходимо определить их функции распределения. Принадлежность данных выборок к каждому распределению проверяется по критерию согласия Колмогорова $K\left( y \right)$ [41], ${{D}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}$ = $\mathop {\sup }\limits_y \left| {F_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}^{*}\left( y \right) - {{F}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)} \right|,$ ${{D}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}$ = = $\mathop {\sup }\limits_y \left| {F_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}^{*}\left( y \right) - {{F}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)} \right|,$ где $F_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}^{*}\left( y \right),$ $F_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}^{*}\left( y \right)$ – эмпирические функции распределения выходной переменной в расширенной ОВ и ТВ; ${{F}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}\left( y \right),$ ${{F}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ – их гипотетические функции распределения. В соответствии с этим критерием, функция распределения случайных величин $\sqrt {{{n}_{1}}} {{D}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}},$ $\sqrt {{{n}_{2}}} {{D}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}$ близка к $K\left( y \right).$ Поэтому вероятность того, что любая из случайных величин ${{D}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}$ окажется больше, чем 1.36/5.5, а ${{D}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}$ больше, чем 1.36/3.87, равна 1 – 0.95 = 0.05.

После определения вида плотностей распределения ${{f}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ и ${{f}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ рассчитывается площадь области их пересечения. Для случая, когда ${{f}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ пересекается с ${{f}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ в точке с (при условии, что ${{f}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ и ${{f}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ имеют функции распределения логнормального распределения), S будет рассчитываться как [см. (21)]:

где c – точка пересечения ${{f}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ и ${{f}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}\left( y \right),$ $a \leqslant y \leqslant b.$

После преобразования имеем [см. (22)]:

где ${{\mu }_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}},$ ${{\mu }_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}$ – средние значения ${{Y}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}$ и ${{Y}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}};$ ${{\sigma }_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}},$ ${{\sigma }_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}$ – их стандартные отклонения.

Для случая, когда ${{f}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ содержится в ${{f}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ (при условии, что ${{f}_{{{\text{ext}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ и ${{f}_{{{\text{te}}{\text{.s}}}}}\left( y \right)$ имеют функции распределения логнормального распределения), S будет рассчитываться как [см. (23)]:

или [см. (24)]:

Если выражение для S не может быть найдено аналитически, то применяется численное интегрирование.

Предлагаемый алгоритм для построения ВА для оценки показателя качества конечного продукта с использованием физически обоснованной математической модели можно представить в виде описанных ниже шагов.

Шаг 1: для данного процесса с независимыми переменными $U \in {{R}^{{N \times {{n}_{U}}}}}$ и зависимой переменной $Y \in {{R}^{{N \times 1}}}$ определить верхнюю и нижнюю границы для зависимых переменных в обучающей и тестовой выборках.

Шаг 2: на основе исходных данных $U \in {{R}^{{N \times {{n}_{U}}}}}$ и $y \in {{R}^{{{{n}_{y}}}}}$ рассчитываются параметры модели $\hat {\beta }$ различными методами, например, методом проекций на латентные структуры.

Шаг 3: на основе физически обоснованной математической модели формируется расширенный набор данных при условии, если $\Delta {{\hat {E}}_{1}} \leqslant \Delta _{{{{{\hat {E}}}_{1}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}},$ $\Delta {{\hat {E}}_{2}} \leqslant \Delta _{{{{{\hat {E}}}_{2}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}}$ и $\Delta {{\hat {\Lambda }}_{{hi}}} \leqslant \Delta _{{{{{\hat {\Lambda }}}_{{hi}}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}}$ (где $\Delta {{\hat {E}}_{1}},$ $\Delta {{\hat {E}}_{2}}$ – отклонения эффективности массопереноса по Мерфри объекта и модели на 6–28 тарелках и на 1–5 тарелках нижней ректификационной колонны: $\Delta {{\hat {E}}_{1}} = \left| {{{E}_{1}} - {{{\hat {E}}}_{1}}} \right|,$ $\Delta {{\hat {E}}_{2}}$ = $\left| {{{E}_{2}} - {{{\hat {E}}}_{2}}} \right|;$ $\Delta {{\hat {\Lambda }}_{{hi}}}$ – отклонения параметров бинарного взаимодействия компонентов объекта и модели: $\Delta {{\hat {\Lambda }}_{{hi}}}$ = $\left| {{{\Lambda }_{{hi}}} - {{{\hat {\Lambda }}}_{{hi}}}} \right|;$ $\Delta _{{{{{\hat {E}}}_{1}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}},$ $\Delta _{{{{{\hat {E}}}_{2}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}}$ и $\Delta _{{{{{\hat {\Lambda }}}_{{hi}}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}}$ – пороговые значения отклонений, превышение которых при формировании расширенной обучающей выборки приводит к снижению точности построенной статистической модели).

Шаг 4: в исходные данные добавляются новые данные, полученные на Шаге 3, таким образом, получается расширенная обучающая выборка – выборка, содержащая в себе промышленные данные и данные физически обоснованной математической модели технологического процесса.

Шаг 5: нахождение новых параметров модели $\hat {\beta }.$

Шаг 6: адекватность полученного ВА проверяется на основе критериев точности модели [см. (5), (6)].

Шаг 8: конец.

Иллюстрация предложенного подхода изображено на рис. 3.

Преимущество предлагаемого алгоритма по сравнению с известными подходами заключается в возможности учета априорных знаний об исследуемом объекте. Построенные таким образом модели близки, в сущности, к моделям на основе “серого” ящика.

Следует отметить, что использование напрямую в реальном времени (on-line) физически обоснованной математической модели для оценки показателей качества конечного продукта часто на практике оказывается невозможным, так как эффективность массопереноса по Мерфри и параметры бинарного взаимодействия некоторых компонентов в смеси известны лишь приближенно, а состав сырья на каждом периоде управления не измеряется из-за отсутствия поточных анализаторов.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен алгоритм расширения обучающей выборки на основе физически обоснованной математической модели ректификационной колонны массообменного технологического процесса, позволяющий повысить точность ВА для оценки показателя качества конечного продукта и эффективность традиционных методов при построении модели (определении параметров ВА). Предлагаемый алгоритм протестирован на промышленном массообменном химико-технологическом процессе производства МТБЭ.

Определены условия применения физически обоснованной математической модели в условиях параметрической неопределенности параметров бинарного взаимодействия компонентов системы. Некоторые из них должны быть известны практически точно, т.е. $\Delta _{{{{{\hat {\Lambda }}}_{{hi}}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}} = 0$ для параметров бинарного взаимодействия: $\Delta {{\hat {\Lambda }}_{{{\text{DIB,MeOH}}}}},$ $\Delta {{\hat {\Lambda }}_{{{\text{MeOH,IB}}}}},$ $\Delta {{\hat {\Lambda }}_{{{\text{MeOH,MTBE}}}}};$ для $\Delta {{\hat {\Lambda }}_{{{\text{MTBE}},{\text{DIB}}}}}$ и ${{\hat {\Lambda }}_{{{\text{MTBE,IB}}}}}$ пороговые значения равны $\Delta _{{{{{\hat {\Lambda }}}_{{hi}}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}} = 0.1$ и $\Delta _{{{{{\hat {\Lambda }}}_{{hi}}}}}^{{{\text{eff}}{\text{.th}}}} = 0.3,$ соответственно.

Применение физически обоснованной математической модели при построении ВА позволяет заполнить пропуски в данных на всем диапазоне изменения качества конечного продукта (значение критерия расширения обучающей выборки S повышается до 43%).

Точность ВА для оценки концентрации метанола в конечном продукте, полученного предложенным подходом, на 55% выше точности ВА, полученным на основе расширения выборки методом оптимизации роя частиц. Использование предлагаемого алгоритма позволяет повысить эффективность существующих методов построения статистических моделей. При разработке ВА методом проекций на латентные структуры совместно с бутстрэп методом точность модели увеличилась на 21 и 23% по критериям R² и MAE после расширения обучающей выборки данными вспомогательной выборки размером 40. Учет априорных знаний о процессе дает существенное преимущество алгоритма перед другими методами расширения обучающей выборки.

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке РФФИ и Государственного фонда естественных наук Китая в рамках научного проекта № 21-57-53005

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ИНДЕКСЫ