1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 1, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 1, стр. 128-134

Гладкость по вязкости решений операторных уравнений типа Навье–Стокса
В. И. Качалов

В. И. Качалов

НИУ “МЭИ”
111250 Москва, ул. Красноказарменная, 14, Россия

Поступила в редакцию 23.03.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе рассматривается эволюционное уравнение типа Навье–Стокса. Благодаря наличию в нем билинейного операторного члена, удается ввести малый параметр и вести по нему разложение решения. Основной целью работы является нахождение условий обычной (не асимптотической) сходимости получающихся при этом рядов. Библ. 9.

Ключевые слова: уравнение Навье–Стокса, уравнение Бюргерса, преобразование Хопфа–Коула, псевдоаналитическое решение, метод регуляризации С.А. Ломова, уравнение теплопроводности.

1. ВВЕДЕНИЕ

В 2003 г. вышла статья О.А. Ладыженской [1], посвященная уравнениям Навье–Стокса. Ч. Фефферман из Принстонского университета [2] сформулировал шестую проблему тысячелетия в терминах гладкости решения задачи Коши для этих уравнений по пространственным переменным. О.А. Ладыженская, как это следует из списка ее научных трудов, занималась этой проблемой почти полвека, и один из главных вопросов относительно этих уравнений ставила следующим образом: дают ли уравнения Навье–Стокса вместе с начальным и краевым условиями детерминистическое описание динамики несжимаемой жидкости или не дают? В статье [1] представлены результаты, относящиеся к существованию, единственности и регулярности решений этих уравнений.

Целью настоящей работы является доказательство обычной (не асимптотической) сходимости рядов по степеням вязкости, представляющих решения операторных уравнений типа Навье–Стокса – так можно назвать уравнения Навье–Стокса, записанные как эволюционные в банаховом пространстве [3]. Такой подход к изучаемой проблеме характерен для метода регуляризации С.А. Ломова (см. [4]), разработанного для решения сингулярно возмущенных задач. Одним из основных методов решения таких задач, как известно, является метод погранфункций Васильевой–Бутузова–Нефёдова (см. [5], [6]), позволяющий строить решения в виде асимптотически сходящихся рядов. В рамках метода регуляризации был создан аппарат построения так называемых псевдоаналитических (псевдоголоморфных) решений сингулярно возмущенных уравнений (см. [4]), т.е. решений, представимых рядами по степеням малого параметра, сходящимися в обычном смысле (см. [7]).

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В банаховом пространстве $E$ будем изучать нелинейную начальную задачу

(1)
${{u}_{t}} - Au = B(u,u),\quad t \in [0,T],\quad u(0) = {{u}_{0}},$
где $A$ – линейный неограниченный замкнутый оператор с областью определения $D$, всюду плотной в $E$; $B(u,\text{v})$ – билинейный оператор, ограниченный по первой переменной и замкнутый по второй переменной, с областью определения $D \times D$ (см. [3]).

Пусть ${{u}_{0}} = \nu \Phi (\nu )$, причем вектор $\Phi (\nu )$ аналитичен в точке $\nu = 0$. Сделаем замену $u = \nu w$, тогда получим задачу Коши

(2)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{w}_{t}} - Aw = \nu B(w,w),} \\ {w(0) = \Phi (\nu ),} \end{array}$
решение которой будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, коэффициенты которого также зависят от $\nu $, причем не всегда регулярным образом:
(3)
$w(t,\nu ) = {{w}_{0}}(t,\nu ) + \nu {{w}_{1}}(t,\nu ) + \ldots + {{\nu }^{n}}{{w}_{n}}(t,\nu ) + \ldots .$
Такие решения в теории сингулярных возмущений, в случае сходимости ряда (3) в некоторой окрестности значения $\nu = 0$, называются псевдоголоморфными (псевдоаналитическими), а само понятие псевдоаналитичности было введено С.А. Ломовым при построении общей теории сингулярных возмущений на основе метода регуляризации (см. [4], [7]).

В соответствии с методом неопределенных коэффициентов, получим серию начальных задач

(4)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{w}_{{0,t}}} - A{{w}_{0}} = 0,\quad {{w}_{0}}(0,\nu ) = \Phi (\nu ),} \\ {{{w}_{{1,t}}} - A{{w}_{1}} = B({{w}_{0}},{{w}_{0}}),\quad {{w}_{1}}(0,\nu ) = 0,} \\ {{{w}_{{2,t}}} - A{{w}_{2}} = B({{w}_{0}},{{w}_{1}}) + B({{w}_{1}},{{w}_{0}}),\quad {{w}_{2}}(0,\nu ) = 0,} \\ {......................................................} \\ {{{w}_{{n,t}}} - A{{w}_{n}} = B({{w}_{0}},{{w}_{{n - 1}}}) + \ldots + B({{w}_{{n - 1}}},{{w}_{0}}),\quad {{w}_{n}}(0,\nu ) = 0,} \\ {......................................................} \end{array}$

Условие 1. Предположим, что $A$ – инфинитезимальный оператор сильно непрерывной полугруппы $U(t)$. В этих условиях все задачи серии (4) корректно разрешимы, при этом

$\begin{gathered} {{w}_{0}}(t,\nu ) = U(t)\Phi (\nu ), \\ {{w}_{1}}(t,\nu ) = \int\limits_0^t \,U(t - \tau )B({{w}_{0}}(\tau ,\nu ),{{w}_{0}}(\tau ,\nu ))d\tau , \\ {{w}_{2}}(t,\nu ) = \int\limits_0^t \,U(t - \tau )\left[ {B({{w}_{0}}(\tau ,\nu ),{{w}_{1}}(\tau ,\nu )) + B({{w}_{1}}(\tau ,\nu ),{{w}_{0}}(\tau ,\nu ))} \right]d\tau , \\ ...................................................... \\ {{w}_{n}}(t,\nu ) = \int\limits_0^t U(t - \tau )[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} B({{w}_{k}}(\tau ,\nu ),{{w}_{{n - k - 1}}}(\tau ,\nu ))]d\tau , \\ ...................................................... \\ \end{gathered} $

Далее, пусть ${{D}_{0}}$ – такое линейное многообразие, содержащееся в $D$, что выполнено следующее

Условие 2. 1. На ${{D}_{0}}$ можно ввести счетную монотонную систему норм ${{\left\| {\; \cdot \;} \right\|}_{k}}$ так, что $\forall \text{v} \in D$, ${{\left\| \text{v} \right\|}_{1}} \leqslant {{\left\| \text{v} \right\|}_{2}} \leqslant \ldots $, и из сходимости по каждой из них вытекает сходимость по норме $\left\| {\; \cdot \;} \right\|$ пространства $E$.

2. Имеет место следующее представление:

${{D}_{0}} = \bigcup\limits_{C > 0} \,{{Y}^{C}},$
где ${{Y}^{C}}$ – множество векторов экспоненциального типа $ \leqslant {\kern 1pt} C$, т.е. $\forall \text{v} \in {{Y}^{C}}$, $\forall k \in \mathbb{N}$, ${{\left\| \text{v} \right\|}_{k}} \leqslant {{e}^{{kC}}}$. Ясно, что ${{Y}^{{{{C}_{1}}}}} \subset {{Y}^{{{{C}_{2}}}}}$, когда ${{C}_{1}} < {{C}_{2}}$.

3. Если $u \in {{Y}^{{{{C}_{1}}}}}$, $\text{v} \in {{Y}^{{{{C}_{2}}}}}$, то ${{\left\| {B(u,\text{v})} \right\|}_{k}} \leqslant {{C}_{2}}{{e}^{{k({{C}_{1}} + {{C}_{2}})}}}$.

4. Оператор $U(t)$ равномерно по $t \in [0,T]$ ограничен в счетно-нормированном пространстве ${{D}_{0}}$, т.е. $\exists q > 0:$ $\forall \text{v} \in {{D}_{0}}$, $\forall k \in \mathbb{N}$, ${{\left\| {U(t)\text{v}} \right\|}_{k}} \leqslant q \leqslant {{\left\| \text{v} \right\|}_{k}}$.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда если $\Phi (\nu ) \in {{D}_{0}}$ при $0 \leqslant \nu \leqslant {{\nu }_{0}}$, то задача Коши (2) имеет псевдоголоморфное в точке $\nu = 0$ решение.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что $q = 1$. Заметим также, что неравенство в условии 3, в терминах экспонент, можно переписать в виде

${{\left. {{{{\left\| {B(u,\text{v})} \right\|}}_{k}} \leqslant {{e}^{{{{C}_{1}}k}}}\frac{d}{{dx}}\left( {{{e}^{{{{C}_{2}}x}}}} \right)} \right|}_{{x = k}}}.$
Учитывая все это, приходим к выводу, что нормы ${{\left\| {{{w}_{n}}} \right\|}_{k}}$ в равенствах (5) следующим образом мажорируются функциями ${{P}_{n}}(k,t)$:

${{P}_{0}}(k,t) = {{\left. {{{e}^{{Cx}}}} \right|}_{{x = k}}},$
${{P}_{1}}(k,t) = tC{{\left. {{{e}^{{2Cx}}}} \right|}_{{x = k}}},$
${{P}_{2}}(k,t) = \int\limits_0^t {{\left. {\left( {{{P}_{0}}P_{{1,x}}^{{}} + {{P}_{1}}{{P}_{{0,x}}}} \right)d\tau } \right|}_{{x = k}}} = \frac{3}{2}{{\left. {{{C}^{2}}{{t}^{2}}{{e}^{{3Cx}}}} \right|}_{{x = k}}},$
${{P}_{3}}(k,t) = \int\limits_0^t {{\left. {\left( {{{P}_{0}}P_{{2,x}}^{{}} + {{P}_{1}}{{P}_{{1,x}}} + {{P}_{2}}{{P}_{{0,x}}}} \right)d\tau } \right|}_{{x = k}}} = \frac{8}{3}{{\left. {{{C}^{3}}{{t}^{3}}{{e}^{{4Cx}}}} \right|}_{{x = k}}},$
${{P}_{4}}(k,t) = \int\limits_0^t {{\left. {\left( {{{P}_{0}}{{P}_{{3,x}}} + {{P}_{1}}{{P}_{{2,x}}} + {{P}_{2}}{{P}_{{1,x}}} + {{P}_{3}}{{P}_{{0,x}}}} \right)d\tau } \right|}_{{x = k}}}\frac{{125}}{{24}}{{\left. {{{C}^{4}}{{t}^{4}}{{e}^{{5Cx}}}} \right|}_{{x = k}}},$
${{P}_{5}}(k,t) = \int\limits_0^t {{\left. {\left( {{{P}_{0}}{{P}_{{4,x}}} + {{P}_{1}}{{P}_{{3,x}}} + {{P}_{2}}{{P}_{{2,x}}} + {{P}_{3}}{{P}_{{1,x}}} + {{P}_{4}}{{P}_{{0,x}}}} \right)d\tau } \right|}_{{x = k}}} = \frac{{1236}}{{120}}{{\left. {{{C}^{5}}{{t}^{5}}{{e}^{{6Cx}}}} \right|}_{{x = k}}},$
$......................................................$

Методом математической индукции можно доказать, что

(6)
${{P}_{n}}(k,t) = \frac{{{{{(n + 1)}}^{{n - 1}}}}}{{n!}}{{C}^{n}}{{t}^{n}}{{e}^{{(n + 1)Ck}}},$
откуда и следует сходимость ряда (3) в некоторой окрестности значения $\nu = 0$. Для этого докажем, что
$1\frac{{{{{(n + 1)}}^{n}}}}{{n!}} + 1\frac{{{{n}^{{n - 1}}}}}{{(n - 1)!}} + \frac{{{{3}^{1}}}}{{2!}}\frac{{{{{(n - 1)}}^{{n - 2}}}}}{{(n - 2)!}} + \frac{{{{4}^{2}}}}{{3!}}\frac{{{{{(n - 2)}}^{{n - 3}}}}}{{(n - 3)!}} + \frac{{{{5}^{3}}}}{{4!}}\frac{{{{{(n - 3)}}^{{n - 4}}}}}{{(n - 4)!}} + \ldots + \frac{{{{{(n + 1)}}^{{n - 1}}}}}{{n!}}1 = \frac{{{{{(n + 2)}}^{n}}}}{{n!}}$
или

$\sum\limits_{k = 0}^n \,C_{n}^{k}{{(n + 1 - k)}^{{n - k}}}{{(k + 1)}^{{k - 1}}} = {{(n + 2)}^{n}}.$

Левая часть этого равенства в точности представляет собой формулу Лейбница

$\left[ {f(w)g(w)} \right]_{{w = 0}}^{{(n)}} = \sum\limits_{k = 0}^n \,C_{n}^{k}{{f}^{{n - k}}}(0){{g}^{{(k)}}}(0),$
где
$f(w) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \frac{{{{{(m + 1)}}^{m}}}}{{m!}}{{w}^{m}},\quad g(w) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \frac{{{{{(m + 1)}}^{{m - 1}}}}}{{m!}}{{w}^{m}}$
суть аналитические в некоторой окрестности точки $w = 0$ функции.

Введем в рассмотрение функцию

$h(w) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \frac{{{{{(m + 1)}}^{m}}}}{{(m + 1)!}}{{w}^{{m + 1}}},$
которая (см. [8]) является обратной к целой функции $w = z{{e}^{{ - z}}}$, а значит, удовлетворяет равенству $h(w) = w{{e}^{{h(w)}}}$ в некоторой окрестности точки $w = 0$. Далее заметим, что $f(w) = h{\text{'}}(w)$ и $g(w) = {{e}^{{h(w)}}}$, так как $wg(w) = h(w)$. Итак, имеем
$\left[ {f(w)g(w)} \right]_{{w = 0}}^{{(n)}} = \left[ {h{\text{'}}(w){{e}^{{h(w)}}}} \right]_{{w = 0}}^{{(n)}} = \left[ {\left( {{{e}^{{h(w)}}}} \right){\text{'}}} \right]_{{w = 0}}^{{(n)}} = \left[ {{{e}^{{h(w)}}}} \right]_{{w = 0}}^{{(n + 1)}} = {{g}^{{(n + 1)}}}(0) = {{(n + 2)}^{n}},$
и, тем самым, утверждение доказано.

Теорема 1 доказана.

3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ

Для построения примера нам понадобится утверждение, касающееся гладкости по малому коэффициенту диффузии решения задачи Коши в ${{\mathbb{R}}^{n}}$:

(7)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = \nu \vartriangle u + f(t,x), \\ u(0,x) = \varphi (x). \\ \end{gathered} $
Здесь $x = ({{x}_{1}},\; \ldots ,\;{{x}_{n}})$ и лапласиан $\Delta = \partial _{{{{x}_{1}}}}^{2} + \ldots + \partial _{{{{x}_{n}}}}^{2}$. Из формулы Пуассона, дающей решение этой задачи, непосредственно не следует его аналитичность по $\nu $. Ответ на этот вопрос дает

Теорема 2. Пусть функции $f(t,x)$ и $\varphi (x)$ допускают аналитические продолжения на ${{\mathbb{C}}^{n}}$, которые являются целыми функциями порядка $0 < \rho \leqslant 2$, т.е. $\left| {f(t,z)} \right| < {{M}_{0}}{{e}^{{|z{{|}^{\rho }}}}}$, $\left| {\varphi (z)} \right| < {{M}_{1}}{{e}^{{|z{{|}^{\rho }}}}}$ $\forall z \in {{\mathbb{C}}^{n}}$ и некоторых положительных констант ${{M}_{0}}$ и ${{M}_{1}}$, причем ${{M}_{1}}$ зависит от $t$. Тогда для любого $T > 0$ в полосе $[0,T] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$ существует единственное аналитическое в точке $\nu = 0$ решение задачи (7).

Доказательство. Будем искать решение поставленной задачи в виде ряда по степеням $\nu $:

(8)
$u(t,x,\nu ) = {{u}_{0}}(t,x) + \nu {{u}_{1}}(t,x) + \ldots + {{\nu }^{m}}{{u}_{m}}(t,x) + \ldots .$
Коэффициенты этого ряда определим, подставив его в уравнение (7) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\nu $. Тогда
$\begin{gathered} {{u}_{{0,t}}} = f(t,x),\quad {{u}_{0}}(0,x) = \varphi (x), \\ {{u}_{{m,t}}} = \Delta {{u}_{{m - 1}}},\quad {{u}_{m}}(0,x) = 0,\quad m = 1,2,\; \ldots . \\ \end{gathered} $
Отсюда
${{u}_{0}}(t,x) = \int\limits_0^t f({{t}_{1}},x)d{{t}_{1}} + \varphi (x),$
${{u}_{m}}(t,x) = \int\limits_0^t d{{t}_{1}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} d{{t}_{2}} \ldots \int\limits_0^{{{t}_{m}}} {{\Delta }^{m}}f\left( {{{t}_{{m + 1}}},x} \right)d{{t}_{{m + 1}}} + \frac{{{{t}^{m}}}}{{m!}}{{\Delta }^{m}}\varphi (x),\quad m = 1,2, \ldots .$
Поскольку ${{\Delta }^{m}}f$ на конечном отрезке $t$ и ${{\Delta }^{m}}\varphi $ оцениваются одинаковым образом, то оценим ${{\Delta }^{m}}g$ для $g(x)$ такой, что $\left| {g(z)} \right| < M{{e}^{{|z{{|}^{\rho }}}}}$ $\forall z \in {{\mathbb{C}}^{n}}$; $M > 0$ – некоторая константа.

Имеем

${{\left| {{{\Delta }^{m}}g(z)} \right|}_{{z = x}}} = {{\left| {{{{\left( {\partial _{{{{z}_{1}}}}^{2} + \ldots + \partial _{{{{z}_{n}}}}^{2}} \right)}}^{m}}g(z)} \right|}_{{z = x}}} = {{\left| {\sum\limits_{|\alpha | = m} \,C_{m}^{\alpha }\left( {\partial _{{{{z}_{1}}}}^{{2{{\alpha }_{1}}}} \ldots \partial _{{{{z}_{n}}}}^{{2{{\alpha }_{n}}}}} \right)g(z)} \right|}_{{z = x}}} = $
$ = \;\left\{ {\left| \alpha \right| = {{\alpha }_{1}} + \ldots + {{\alpha }_{n}},\;C_{m}^{\alpha }\; - {\text{б и н о м и н а л ь н ы е }}\;{\text{к о э ф ф и ц и е н т ы }}} \right\} = $
$ = \left| {\sum\limits_{|\alpha | = m} {\frac{{C_{m}^{\varepsilon }}}{{{{{(2\pi )}}^{m}}(2{{\alpha }_{1}})!}}\oint\limits_{\left| {{{z}_{1}} - {{x}_{1}} = {{r}_{1}}} \right|} {\frac{{d{{z}_{1}}}}{{{{{({{z}_{1}} - {{x}_{1}})}}^{{2{{\alpha }_{1}} + 1}}}}}\oint\limits_{{{z}_{2}} - {{x}_{2}} = {{r}_{2}}} {\frac{{d{{z}_{2}}}}{{{{{({{z}_{2}} - {{x}_{2}})}}^{{2{{\alpha }_{2}} + 1}}}}} \times } } } } \right.$
$ \times \; \ldots \left. {\oint\limits_{\left| {{{z}_{n}} - {{x}_{n}}} \right| = {{r}_{n}}} {\frac{{g(z)d{{z}_{n}}}}{{{{{\left( {{{z}_{n}} - {{x}_{n}}} \right)}}^{{2{{\alpha }_{n}} + 1}}}}}} } \right| \leqslant \left\{ {{\text{в о с п о л ь з у е м с я }}\;{\text{т е м ,}}\;{\text{ч т о }}\;\left| {g(z)} \right| < M{{e}^{{|z{{|}^{\rho }}}}}} \right. < $
$ < \left. {M{{e}^{{2|z - x{{|}^{\rho }} + 2|x{{|}^{\rho }}}}}} \right\} \leqslant M{{e}^{{2|x{{|}^{\rho }}}}}\sum\limits_{|\alpha | = m} C_{m}^{\alpha }(2{{\alpha }_{1}})! \ldots (2{{\alpha }_{n}})!\frac{{{{e}^{{2{{{(r_{1}^{2} + \ldots + r_{n}^{2})}}^{{\rho /2}}}}}}}}{{r_{1}^{{2{{\alpha }_{1}}}} \ldots r_{n}^{{2{{\alpha }_{n}}}}}} \leqslant $
$ \leqslant M{{e}^{{2|x{{|}^{\rho }}}}}\sum\limits_{|\alpha | = m} C_{m}^{\alpha }(2{{\alpha }_{1}})! \ldots (2{{\alpha }_{n}})!\frac{{{{e}^{{2n\left( {r_{1}^{2} + \ldots + r_{n}^{2}} \right)}}}}}{{r_{1}^{{2{{\alpha }_{1}}}} \ldots r_{n}^{{2{{\alpha }_{n}}}}}}\left\{ {{\text{п у с т ь }}\;{{r}_{i}} = \mathop {\left( {\frac{{{{\alpha }_{i}}}}{{n\rho }}} \right)}\nolimits^{1/\rho } ,\quad i = \overline {1,n} } \right\} = $
$ = \;M{{e}^{{2|x{{|}^{\rho }}}}}\sum\limits_{|\alpha | = m} \,C_{m}^{\alpha }(2{{\alpha }_{1}})! \ldots (2{{\alpha }_{n}})!\frac{{{{e}^{{2n\tfrac{{{{\alpha }_{1}}}}{{n\rho }}}}} \ldots {{e}^{{2n\tfrac{{{{\alpha }_{n}}}}{{n\rho }}}}}}}{{{{{\left( {\tfrac{{{{\alpha }_{1}}}}{{n\rho }}} \right)}}^{{2{{\alpha }_{1}}/\rho }}} \ldots {{{\left( {\tfrac{{{{\alpha }_{n}}}}{{n\rho }}} \right)}}^{{2{{\alpha }_{1}}/\rho }}}}} \leqslant $
$ \leqslant M{{e}^{{2|x{{|}^{\rho }}}}}{{(n\rho e)}^{{2m/\rho }}}\sum\limits_{|\alpha | = m} C_{m}^{\alpha }\frac{{(2{{\alpha }_{1}})! \ldots (2{{\alpha }_{n}})!}}{{\alpha _{1}^{{{{\alpha }_{1}}}} \ldots \alpha _{n}^{{{{\alpha }_{n}}}}}} \leqslant $
$ \leqslant \left\{ {{\text{о ч е в и д н о }},\;{\text{ч т о }}\;\frac{{(2{{\alpha }_{1}})! \ldots (2{{\alpha }_{n}})!}}{{\alpha _{1}^{{{{\alpha }_{1}}}} \ldots \alpha _{n}^{{{{\alpha }_{n}}}}}} \leqslant {{2}^{m}}{{\alpha }_{1}}! \ldots {{\alpha }_{n}}! \leqslant {{2}^{m}}\alpha _{1}^{{{{\alpha }_{1}}}} \ldots \alpha _{n}^{{{{\alpha }_{n}}}} \leqslant {{2}^{m}}{{m}^{m}}} \right\} \leqslant $
$ \leqslant \;M{{(n\rho e)}^{{2m/\rho }}}{{2}^{m}}{{m}^{m}}{{e}^{{2|x{{|}^{\rho }}}}}\sum\limits_{|\alpha | = m} \;C_{m}^{\alpha } = M{{(n\rho e)}^{{2m/\rho }}}{{(2n)}^{m}}{{m}^{m}}{{e}^{{2|x{{|}^{\rho }}}}},$
${\text{т а к }}\;{\text{к а к }}\;\sum\limits_{|\alpha | = m} C_{m}^{\alpha } = {{n}^{m}}.$

Значит, в полосе $0 \leqslant t \leqslant T$, $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ выполняется неравенство

(9)
$\left| {{{u}_{m}}(t,x)} \right| \leqslant 2M{{e}^{{2|x{{|}^{\rho }}}}}{{(n\rho e)}^{{2m\rho }}}{{(2nT)}^{m}}\frac{{{{m}^{m}}}}{{m!}},$
если в качестве $M$ взять $max\left\{ {{{M}_{0}},{{M}_{1}}} \right\}$. В соответствии с признаком Даламбера ряд (8) сходится в указанной полосе в некоторой окрестности значения $\nu = 0$. Заметим, что сумма ряда $u(t,x,\nu )$ принадлежит тихоновскому классу корректности задачи Коши для параболических уравнений (см. [9]).

Замечание 1. Ряды указанного вида используются в математической физике уже давно (см. [9]). Однако в большинстве случаев их обычная сходимость только предполагается.

Пример. Рассмотрим в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ задачу Коши

(10)
$\begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {{{U}_{t}} - \nu ({{U}_{{xx}}} + {{U}_{{yy}}}) = - U{{U}_{x}} - V{{U}_{y}},} \\ {{{V}_{t}} - \nu ({{V}_{{xx}}} + {{V}_{{yy}}}) = - U{{V}_{x}} - V{{V}_{y}},} \end{array} \\ U(0,x,y) = \nu \varphi (x,y,\nu ),\quad V(0,x,y) = \nu \psi (x,y,\nu ), \\ \end{gathered} $
или в векторной форме
${{W}_{t}} + (W,\nabla )W = \nu \Delta W,\quad {{\left. W \right|}_{{t = 0}}} = F,$
где $W = {{\left\{ {U,V} \right\}}^{{\text{т }}}}$, $F = {{\left\{ {\nu \varphi ,\nu \psi } \right\}}^{{\text{т }}}}$, $\nabla = \bar {i}{{\partial }_{x}} + \bar {j}{{\partial }_{y}}$, $\Delta = {{\nabla }^{2}} = \partial _{x}^{2} + \partial _{y}^{2}$.

Сделаем замену $W = \nu w$, причем пусть $w = {{\left\{ {u,\text{v}} \right\}}^{{\text{т }}}}$, $f = \left\{ {\varphi ,\psi } \right\}$. Тогда имеем

${{w}_{t}} + (w,\nabla )w = \nu \Delta w,\quad {{\left. w \right|}_{{t = 0}}} = f$
или
(11)
$\begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{t}} - \nu ({{u}_{{xx}}} + {{u}_{{yy}}}) = - \nu (u{{u}_{x}} + \text{v}{{u}_{y}}),} \\ {{{\text{v}}_{t}} - \nu ({{\text{v}}_{{xx}}} + {{\text{v}}_{{yy}}}) = - \nu (u{{\text{v}}_{x}} + \text{v}{{\text{v}}_{y}}),} \end{array} \\ u(0,x,y) = \varphi (x,y,\nu ),\quad \text{v}(0,x,y) = \psi (x,y,\nu ). \\ \end{gathered} $
Решение этой системы будет в виде регулярных рядов по степеням вязкости:

(12)
$u = {{u}_{0}} + \nu {{u}_{1}} + \ldots ,\quad \text{v} = {{\text{v}}_{0}} + \text{v}{{v}_{1}} + \ldots \;.$

Предположим, что $\varphi $ и $\psi $ аналитичны в точке $\nu = 0$ и являются функциями экспоненциального типа, т.е.

$\exists C > 0{\text{:}}\;\left| {\varphi ({{z}_{1}},{{z}_{2}},\nu )} \right| \leqslant {{e}^{{C(|{{z}_{1}}| + |{{z}_{2}}|)}}},\quad \left| {\psi ({{z}_{1}},{{z}_{2}},\nu )} \right| \leqslant {{e}^{{C(|{{z}_{1}}| + |{{z}_{2}}|)}}}\quad \forall ({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}.$

Члены ${{u}_{0}}$ и ${{v}_{0}}$ найдем без использования формулы Пуассона. Для этого к уравнениям

$\begin{gathered} {{u}_{{0,t}}} = \Delta {{u}_{0}},\quad {{u}_{0}}(0,x,y) = \varphi (x,y,\nu ), \\ {{\text{v}}_{{0,t}}} = \Delta {{\text{v}}_{0}},\quad {{\text{v}}_{0}}(0,x,y) = \psi (x,y,\nu ) \\ \end{gathered} $
применим результат теоремы 2: функции ${{u}_{0}}(t,x,y,\nu )$ и ${{\text{v}}_{0}}(t,x,y,\nu )$ будут аналитическими в точке $\nu = 0$ в каждой полосе $[0,T] \times {{\mathbb{R}}^{2}}$ и принадлежать тому же экспоненциальному типу, что и начальные данные.

Далее предположим, что $E = C({{\mathbb{R}}^{2}})$ с нормой $\left\| g \right\| = \mathop {sup}\limits_{x,y \in {{\mathbb{R}}^{n}}} \left| {g(x,y)} \right|$. Определим систему норм следующим образом:

${{\left\| g \right\|}_{k}} = \mathop {max}\limits_{ - k \leqslant x,y \leqslant k} \left| {g(x,y)} \right|,$
и, наконец, введем в рассмотрение билинейный оператор $B({{w}_{1}},{{w}_{2}}) = ({{w}_{1}},\nabla ){{w}_{2}}$.

Для определения ${{u}_{1}}$ и ${{\text{v}}_{1}}$ имеем систему

(13)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{1}} = \nu \Delta {{u}_{1}} - {{u}_{0}}{{u}_{{0,x}}} - {{v}_{0}}{{u}_{{0,y}}},\quad {{{\left. {{{u}_{1}}} \right|}}_{{t = 0}}} = 0,} \\ {{{\text{v}}_{1}} = \nu \Delta {{\text{v}}_{1}} - {{u}_{0}}{{\text{v}}_{{0,x}}} - {{\text{v}}_{0}}{{\text{v}}_{{0,y}}},\quad {{{\left. {{{\text{v}}_{1}}} \right|}}_{{t = 0}}} = 0,} \end{array}$
которую решим с помощью формулы Пуассона, произведя замену переменной (в скобках аргументы):
${{u}_{1}}(t,x,y) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^t d\tau \int\limits_{}^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty } {\left[ { - {{u}_{0}}{{u}_{{0,x}}} - {{\text{v}}_{0}}{{u}_{{0,y}}}} \right]\left( {\tau ,x + 2\nu \sqrt {t - \tau } \xi ,y + 2\nu \sqrt {t - \tau } \eta } \right)} {\kern 1pt} {{e}^{{ - {{\xi }^{2}} - {{\eta }^{2}}}}}d\xi d\eta ,} $
${{\text{v}}_{1}}(t,x,y) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^t d\tau \int\limits_{}^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty } {\left[ { - {{u}_{0}}{{\text{v}}_{{0,x}}} - {{\text{v}}_{0}}{{\text{v}}_{{0,y}}}} \right]\left( {\tau ,x + 2\nu \sqrt {t - \tau } \xi ,y + 2\nu \sqrt {t - \tau } \eta } \right){{e}^{{ - {{\xi }^{2}} - {{\eta }^{2}}}}}d\xi d\eta } } $
и так далее.

Замечание 2. В отличие от большинства разложений решений сингулярно возмущенных уравнений в нашем случае главный член разложения зависит от малого параметра регулярным образом.

Замечание 3. В одномерном случае теорему 2 можно применить сразу после специальной подстановки. А именно, рассмотрим задачу Коши для уравнения Бюргерса

(14)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} + u{{u}_{x}} = \nu {{u}_{{xx}}}, \\ u(0,x) = \nu \varphi (x,\nu ) \\ \end{gathered} $
в предположении аналитичности функции $\varphi (x,\nu )$ в точке $\nu = 0$ равномерно на компакте $X \subset \mathbb{R}$. Дополнительно потребуем, чтобы функция $\psi (x,\nu ) = exp\left\{ { - \frac{1}{2}\int_0^x {\varphi (\xi )d\xi } } \right\}$ имела целое продолжение порядка $0 < \rho \leqslant 2$ при каждом $\nu $ из некоторой окрестности значения $\nu = 0$. С помощью преобразования Хопфа–Коула $u = - 2\nu {{w}_{x}}{\text{/}}w$ сведем задачу (14) к начальной задаче для уравнения теплопроводности
(15)
${{w}_{t}} = \nu {{w}_{{xx}}},\quad w(0,x) = \psi (x,\nu ).$
Решение этой задачи Коши имеет следующий вид:

(16)
$w(t,x,\nu ) = \psi (x,\nu ) + \nu t\psi {\text{''}}(x,v) + \ldots + {{\nu }^{n}}\frac{{{{t}^{n}}}}{{n!}}{{\psi }^{{(2n)}}}(x,\nu ) + \ldots .$

Как следует из доказательства теоремы 2, ряд (16) (и его производная по $x$) сходится равномерно на $[0,T] \times X$ в некоторой окрестности значения $\nu = 0$ при некотором $T > 0$, поэтому уравнение Бюргерса (14) имеет аналитическое по $\nu $ решение

$u(t,x,\nu ) = - 2\nu \frac{{\psi {\kern 1pt} {\text{'}}(x,\nu ) + \nu t\psi {\kern 1pt} {\text{'''}}(x,\nu ) + \ldots + \tfrac{{{{t}^{n}}}}{{n!}}{{\psi }^{{(2n + 1)}}}(x,\nu ) + \ldots }}{{\psi (x,\nu ) + \nu t\psi {\kern 1pt} ''(x,\nu ) + \ldots + \tfrac{{{{t}^{n}}}}{{n!}}{{\psi }^{{(2n)}}}(x,\nu ) + \ldots }}.$

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дальнейшем изложенный в работе подход будет распространяться на другие задачи нелинейной математической физики. Это, на наш взгляд, является весьма важным не только для приложений, но и для развития качественной теории уравнений в частных производных. Дело в том, что теория регулярных возмущений изначально была аналитической и этот ее аспект был представлен теоремами Пуанкаре о разложении. Что же касается теории сингулярных возмущений, то здесь потребуются принципиально новые подходы, основанные на идеях алгебры и функционального анализа.

Список литературы

  1. Ладыженская О.А. Шестая проблема тысячелетия: уравнение Навье–Стокса, существование и гладкость // Успехи матем. наук. 2003. Т. 58. № 2(350). С. 45–78.

  2. Fefferman Ch. Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation // http:claymath.arg/Millenium-Prise-Problems/Navier-Stokes-Equations. Cambridge, MA: Clay Mathematical Institute, 2000. P. 1–5.

  3. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т. II. М.: Мир, 1984.

  4. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во МГУ, 2011.

  5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных задач. М.: Наука, 1973.

  6. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефёдов Н.Н. Асимптотическая теория контрастных структур // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4–32.

  7. Качалов В.И. О голоморфной регуляризации сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. № 4. С. 64–71.

  8. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексной переменной. М.: Наука, 1989.

  9. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал