Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 10, стр. 1706-1717

1. ВВЕДЕНИЕ

Ряды играют важнейшую роль в теории и применении дифференциальных уравнений. В частности, коэффициенты линейного обыкновенного дифференциального уравнения часто представляются рядами и при этом задача может состоять в том, чтобы найти решения этого уравнения, являющиеся рядами какого-то вида.

Ниже в роли коэффициентов уравнения будут выступать формальные степенные ряды, а в роли коэффициентов самих этих рядов – элементы заданного поля $K$ характеристики $0$. Интересующие нас решения будут принадлежать полю формальных лорановых рядов над $K$. Такие решения мы будем называть лорановыми. Вопросами сходимости рядов мы интересоваться не будем.

Алгоритмический аспект задач такого рода предполагает рассмотрение вопроса представления бесконечных рядов, в частности, – рядов, играющих роль коэффициентов уравнения. В [1]–[3] рассматривалось алгоритмическое представление: ряд $\sum {{{a}_{n}}{{x}^{n}}} $ задавался алгоритмом, определяющим ${{a}_{n}}$ по заданному $n$. Было обнаружено, что некоторые задачи, связанные с решениями заданных таким способом уравнений, оказываются алгоритмически неразрешимыми, и в то же время другая часть успешно разрешается. В частности, разрешимой оказывается задача нахождения лорановых решений. (В упомянутых работах обсуждались не только отдельные скалярные уравнения, но и системы уравнений.) В [3], [5] рассматривались задачи построения решений в предположении, что ряды, играющие роль коэффициентов заданного уравнения или системы, представлены в “приближенном”, а именно – в усеченном виде. Например, в [5] выяснено, какое усечение коэффициентов системы будет достаточным для вычисления заданного количества начальных членов рядов, входящих в экспоненциально-логарифмические решения системы. В [3] эта задача рассмотрена для построения усеченных лорановых решений. В настоящей статье нас интересуют сведения о лорановых решениях, инвариантных относительно возможных продолжений усеченных рядов, представляющих коэффициенты уравнения. Предлагаемый нами алгоритм вычисляет максимально возможное число членов лорановых решений, правильность которых гарантирована в этом смысле.

Подробности постановки задачи см. в разд. 2. Предлагаемый алгоритм представлен в разд. 6. Его реализация в среде Maple (см. [6]) описана в разд. 9.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сначала введем несколько понятий и зафиксируем некоторые обозначения. Пусть $K$ – поле характеристики $0$. Следующие обозначения являются стандартными:

$K[x]$ – кольцо полиномов с коэффициентами из $K$;

$K[[x]]$ – кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из $K$;

$K((x))$ – поле частных кольца $K[[x]]$;

В K[x], K[[x]], K((x)) определено дифференцирование D = $\frac{d}{{dx}}$.

Определение 1. Элементы поля $K((x))$ – формальные лорановы ряды. Для ненулевого элемента $a(x) = \sum {{{a}_{i}}{{x}^{i}}} \in K((x))$ его валюация ${\text{val}}a(x)$ определяется как $\min \{ i\,{\kern 1pt} \left| {\,{{a}_{i}} \ne 0\} ,} \right.$ при этом ${\text{val}}0 = \infty $. Пусть $l \in \mathbb{Z} \cup \{ - \infty \} $, $l$-усечение ${{a}^{{\left\langle l \right\rangle }}}(x)$ получается отбрасыванием всех членов $a(x)$ степени большей, чем $l$; если $l = - \infty $, то ${{a}^{{\left\langle l \right\rangle }}}(x) = 0$.

Мы будем рассматривать операторы и дифференциальные уравнения, записанные с использованием обозначения $\theta = xD$. В исходном операторе

коэффициенты имеют вид где ${{t}_{i}}$ – неотрицательное целое, большее или равное $deg{{a}_{i}}(x)$, $i = 0,1, \ldots ,r$ (если ${{t}_{i}} > {{d}_{i}} = deg{{a}_{i}}(x)$, то ${{a}_{{ij}}} = 0$ для $j = {{d}_{i}} + 1,{{d}_{i}} + 2, \ldots ,{{t}_{i}}$). Предполагается при этом, что свободный член по крайней мере одного из полиномов ${{a}_{0}}(x), \ldots ,{{a}_{r}}(x)$ отличен от нуля.

Определение 2. Пусть $L$ имеет вид (1), полином ${{a}_{r}}(x)$ (старший коэффициент дифференциального оператора $L$) предполагается ненулевым. Продолжением оператора $L$ будем называть любой оператор $\tilde {L} = \sum\nolimits_{i = 0}^r \,{{b}_{i}}(x){{\theta }^{i}} \in K[[x]][\theta ]$, для которого

(т.е. $\operatorname{val} ({{b}_{i}}(x) - {{a}_{i}}(x)) > {{t}_{i}}$), $i = 0,1, \ldots ,r$.

Если $L$ – некоторый дифференциальный оператор, то под решениями оператора $L$ мы понимаем решения уравнения $L(y) = 0$.

Будет предложен алгоритм, входом которого являются оператор $L \in K[x][\theta ]$ и неотрицательные целые ${{t}_{0}},{{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{r}}$, имеющие здесь тот же смысл, что и в (2). В результате применения алгоритма становятся, в частности, известными конечные множества целых чисел $W = \{ {{v}_{1}}, \ldots ,{{v}_{k}}\} ,$ $M = \{ {{m}_{1}}, \ldots ,{{m}_{k}}\} ,$ обладающие свойствами (под решениями понимаются решения, принадлежащие $K((x))$):

• для каждого ${{v}_{i}} \in W$ существует решение $y(x)$ оператора $L$, для которого $\operatorname{val} y(x) = {{v}_{i}}$;

• если $y(x)$ является таким решением оператора $L$, что $\operatorname{val} y(x) = {{v}_{i}}$, $1 \leqslant i \leqslant k$, то тогда для любого продолжения $\tilde {L}$ оператора $L$ найдется его решение $\tilde {y}(x)$, для которого выполняется

• если $\tilde {y}(x)$ – решение некоторого продолжения $\tilde {L}$ оператора $L$ и $\operatorname{val} \tilde {y}(x) = {{v}_{i}}$, $1 \leqslant i \leqslant k$, то найдется решение $y(x)$ оператора $L$, для которого

и, как следствие, выполняется (4);

• значения ${{m}_{i}}$, $i = 1, \ldots ,k$, являются наибольшими из возможных значений, указанным образом связанных с $L$ и $W$.

При этом в множества $W,\;M$ включаются все значения, обладающие этими свойствами.

Если нам известно пространство лорановых решений оператора $L$ (этот оператор имеет полиномиальные коэффициенты; алгоритм построения его лорановых решений является несложной модификацией алгоритма из [4, Sect. 6]), а также известны множества $W,\;M$, то мы имеем, тем самым, полный список валюаций решений и формулы вида (4), инвариантные относительно продолжений оператора $L$.

Замечание 1. При рассмотрении лорановых решений $\tilde {y}(x)$ продолжения $\tilde {L}$ оператора $L$ для проверки соотношения (5) существенно, что $\operatorname{val} \tilde {y}(x) = {{v}_{i}}$, т.е. что и у оператора $L$ имеются лорановы решения с такой валюацией ${{v}_{i}}$. При этом у $\tilde {L}$ могут быть лорановы решения с валюациями, которые не входят в $W$.

Замечание 2. Последнее напрямую связано с вопросами представления бесконечных рядов, затронутыми во введении: дифференциальное уравнение задано в виде

${{t}_{i}} \geqslant deg{{a}_{i}}(x)$, $i = 0,1, \ldots ,r$. Мы сопоставляем ему оператор (1), а также набор чисел ${{t}_{0}},{{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{r}}$, и решаем задачу нахождения $W = \{ {{v}_{1}}, \ldots ,{{v}_{k}}\} $, $M = \{ {{m}_{1}}, \ldots ,{{m}_{k}}\} $ и формул (4).

Продолжение оператора (1) мы будем в этом случае называть также продолжением уравнения (6).

Форма представления результатов работы алгоритма устанавливается в разд. 9.

3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛОРАНОВЫХ РЕШЕНИЙ

Пусть $\sigma $ обозначает оператор сдвига: $\sigma {{c}_{n}} = {{c}_{{n + 1}}}$ для любой последовательности $({{c}_{n}})$. Преобразование

переводит исходное дифференциальное уравнение где ${{a}_{i}}(x) \in K[[x]]$, в индуцированное рекуррентное уравнение (соотношение)

Перепишем это уравнение в виде

Уравнение (8) имеет лораново решение $y(x) = {{c}_{v}}{{x}^{v}} + {{c}_{{v + 1}}}{{x}^{{v + 1}}} + \ldots $ если и только если двусторонняя последовательность

удовлетворяет уравнению (9), т.е. (доказательство см. в [4]).

Здесь ${{({{c}_{n}})}_{{ - \infty < n < \infty }}}$ – последовательность такая, что ${{c}_{n}} = 0$ для всех отрицательных целых $n$ при достаточно большом $\left| n \right|$; каждый из полиномов ${{u}_{0}}(n),{{u}_{{ - 1}}}(n), \ldots \in K[n]$ имеет степень, меньшую или равную $r$; ${{u}_{0}}(n)$ – ведущий коэффициент соотношения (9).

Напомним, что по нашему предположению свободный член по крайней мере одного из полиномов ${{a}_{0}}(x), \ldots ,{{a}_{r}}(x)$ не равен нулю. Отсюда следует, что

есть ненулевой полином. Он не зависит от продолжений исходного оператора $L$.

Мы видим, что если коэффициенты уравнения (8) – бесконечные ряды, то сумма (9) содержит бесконечное число слагаемых. Но так как существует такое $v \in \mathbb{Z}$, что ${{c}_{n}} = 0$ для всех $n < v$, то при каждом конкретном $n \geqslant v$ сумма (9) конечна. Ведущий коэффициент ${{u}_{0}}(n)$ может быть рассмотрен как некоторый вариант определяющего полинома исходного уравнения. Конечное множество целых корней этого полинома содержит все возможные валюации $v$ лорановых решений уравнения (8).

4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЯДА

Если для некоторого целого $n$ выполнено ${{u}_{0}}(n) \ne 0$, то (9) позволит найти ${{c}_{n}}$ по ${{c}_{{n - 1}}},{{c}_{{n - 2}}}, \ldots $ . Если же ${{u}_{0}}(n) = 0$, то в такой момент мы объявляем (возможно, что временно) ${{c}_{n}}$ неопределенным коэффициентом, входящим в выстраиваемое решение. При этом выясняется, что предшествующие значения ${{c}_{{n - 1}}},{{c}_{{n - 2}}}, \ldots $ должны удовлетворять соотношению

Такого рода соотношения имеют конечное число слагаемых в левой части и позволят, возможно, избавиться от некоторых введенных ранее неопределенных коэффициентов. Только после того, как при пошаговом увеличении значение $n$ начнет превосходить наибольший целый корень уравнения ${{u}_{0}}(n) = 0$, появится гарантия, что как новые неопределенные коэффициенты, так и соотношения вида (11), уже возникать не будут.

5. ОСНОВА АЛГОРИТМА

Если полином ${{u}_{0}}(n)$ не имеет целых корней, то ни одно из продолжений уравнения $L(y) = 0$ не имеет решений в $K((x))$. Алгоритм сообщает об этом и прекращает работу.

Если имеются целые корни ${{\alpha }_{1}} < \ldots < {{\alpha }_{s}}$, то как при рассмотрении оператора $L$, так и его продолжений, только для ${{\alpha }_{s}}$ гарантировано существование лоранова решения с такой валюацией. С ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{{s - 1}}}$ надо разбираться. Для каждого из этих корней существуют три возможности:

(a) лорановы решения существуют при всех продолжениях;

(b) лорановы решения существуют при некоторых, но не при всех продолжениях;

(c) лорановы решения не существуют ни при каких продолжениях.

Прежде всего надо определить, какая из трех возможностей имеет место. В подобных ситуациях мы привлекаем символьные незаданные коэффициенты: добавляем к каждому входящему в оператор $L$ полиному ${{a}_{i}}(x)$ вида (2) некоторое число старших по степени слагаемых ${{a}_{{i,{{t}_{i}} + 1}}}{{x}^{{{{t}_{i}} + 1}}} + {{a}_{{i,{{t}_{i}} + 2}}}{{x}^{{{{t}_{i}} + 2}}} + \ldots $, где ${{a}_{{i,{{t}_{i}} + 1}}},{{a}_{{i,{{t}_{i}} + 2}}}, \ldots $ – символы (“буквенные обозначения”). Проделав вычисления, мы можем увидеть, зависят ли значения тех выражений, исходя из которых мы делаем заключение, например, о возможностях (a), (b), (c), от значений ${{a}_{{i,{{t}_{i}} + 1}}},{{a}_{{i,{{t}_{i}} + 2}}}, \ldots $ .

Итак, добавляя символьные коэффициенты, можно установить для рассматриваемого ${{\alpha }_{i}}$, какая из названных трех возможностей имеет место. Если это (a), то находим $m$. Если же это (b) или (c), то исключаем ${{\alpha }_{i}}$ из рассмотрения.

В результате оказывается определенным множество валюаций $W = \{ {{v}_{1}}, \ldots ,{{v}_{k}}\} $. Для каждой из этих валюаций ${{v}_{i}}$ будет определено свое число ${{m}_{i}}$. Т.е. мы имеем множество $M = \{ {{m}_{1}}, \ldots ,{{m}_{k}}\} $ целых чисел, для них выполнены соответствующие соотношения вида (4).

Если мы рассматриваем решения, имеющие валюацию ${{\alpha }_{l}}$, $l < s$, то, используя индуцированное рекуррентное соотношение (9), надо продвинуться в построении решения по крайней мере до ${{x}^{{{{\alpha }_{s}}}}}$, даже если уже до этого момента в коэффициенты выстраиваемого ряда попали символьные незаданные коэффициенты продолжения. Использование индуцированного рекуррентного уравнения при $n$, равном какому-то из целых корней его старшего коэффициента, дает линейное соотношение (11) для уже полученных коэффициентов ряда, – символьных или принадлежащих $K$ (см. разд. 4). Если дошли до наибольшего корня и при этом выяснили, что эти соотношения как-то ограничивают выбор продолжения (препятствует произвольному выбору), то исключаем из рассмотрения решения с валюацией ${{\alpha }_{l}}$. Если же соотношения не ограничивают выбор продолжения (например, все соотношения всего лишь выражают имеющиеся неопределенные коэффициенты через добавляемые незаданные коэффициенты), то выбираем из построенного отрезка его начальные члены в соответствии с формулой (4) при ${{v}_{i}} = {{\alpha }_{l}}$.

После этого можно построить базис пространства усеченных лорановых решений валюации большей или равной ${{v}_{1}}$ в виде конечного множества отрезков рядов, которое представляется объединением $k$ подмножеств; $i$-е подмножество, $1 \leqslant i \leqslant k$, состоит из усеченных решений, имеющих валюацию ${{v}_{i}}$, причем усеченные ряды, входящие в какое-то фиксированное подмножество, являются линейно-независимыми над полем констант.

6. ШАГИ АЛГОРИТМА

Шаг. 1. Входные данные: дифференциальный оператор (1) с полиномиальными коэффициентами, целые неотрицательные числа ${{t}_{0}},{{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{r}}$.

Шаг. 2. Положить $W = M = \emptyset $.

Шаг. 3. Построить коэффициент ${{u}_{0}}(n) = \sum\nolimits_{i = 0}^r \,{{a}_{{i,0}}}{{n}^{i}}$ индуцированного рекуррентного уравнения (9). Вычислить множество ${{\alpha }_{1}} < \ldots < {{\alpha }_{s}}$ целых корней ${{u}_{0}}(n)$. Если это множество пусто, то лорановых решений нет.

Шаг. 4. Определить $d$ как разность максимального и минимального целых корней полинома ${{u}_{0}}(n)$. Вычислить коэффициенты ${{u}_{{ - k}}}(n) = \sum\nolimits_{i = 0}^r \,{{a}_{{i,k}}}{{(n - k)}^{i}}$, $k = 1 \ldots d$, индуцированного рекуррентного уравнения (9). Заметим, что при $k > {{t}_{i}}$ найденное ${{u}_{{ - k}}}(n)$ будет содержать символьные незаданные коэффициенты ${{a}_{{i,k}}}$.

Шаг. 5. Для каждого ${{\alpha }_{i}}$ вычислить начальные коэффициенты ${{c}_{n}}$ лоранова решения с возможной валюацией ${{\alpha }_{i}}$, полагая ${{c}_{n}} = 0$ для всех $n < {{\alpha }_{i}}$ и последовательно увеличивая $n$, начиная с $n = {{\alpha }_{i}}$.

5.1. Выполнить вычисления до $n$, равного ${{\alpha }_{s}}$, и определить, какой из случаев (a), (b), (c) из разд. 5 имеет место для данного ${{\alpha }_{i}}$.

5.2. Если имеет место случай (b) или (с) перейти к следующему корню, либо завершить вычисления в цикле, если уже достигнут последний корень.

5.3. Если имеет место случай (a), то добавить ${{\alpha }_{i}}$ к $W$ и продолжить вычисления для последующих $n$, при необходимости вычисляя и дополнительные ${{u}_{{ - k}}}(n)$, $k > d$. Если максимальный целый корень пройден, то для каждого следующего $n$ будет определено выражение для ${{c}_{n}}$. Остановить вычисление, когда в выражении для ${{c}_{n}}$ появляются символьные незаданные коэффициенты. Положить ${{m}_{i}} = n - 1$.

5.4. Добавить ${{m}_{i}}$ к $M$, собрать из вычисленных коэффициентов ${{c}_{{{{\alpha }_{i}}}}} \ldots {{c}_{{{{m}_{i}}}}}$ лораново решение уравнения $L(y) = 0$ с валюацией ${{\alpha }_{i}}$, имеющее вид (4), включающее произвольные постоянные. После этого перейти к следующему корню, либо завершить вычисления, если уже достигнут последний корень.

Шаг. 6. Результат: найденные лорановы решения, вместе с множествами $W$ и $M$.

Пример 1. Проследим шаги предложенного алгоритма на примере оператора

На шаге 3 получаем определяющий полином ${{u}_{0}}(n) = - {{n}^{2}} - 2n$ и множество его целых корней: ${{\alpha }_{1}} = - 2$, ${{\alpha }_{2}} = 0$. На шаге 4 строим ${{u}_{{ - 1}}}(n)$, ${{u}_{{ - 2}}}(n)$, которые содержат символьные незаданные коэффициенты, присутствующие в продолжении оператора $L$.

На шаге 5 для возможной валюации ${{\alpha }_{1}} = - 2$ последовательно вычисляем ${{c}_{{ - 2}}}$, ${{c}_{{ - 1}}}$, ${{c}_{0}}$:

• $n = - 2$: ${{u}_{0}}( - 2){{c}_{{ - 2}}} = 0 \cdot {{c}_{{ - 2}}} = 0$, коэффициент ${{c}_{{ - 2}}}$ остается неопределенным.

• $n = - 1$: ${{u}_{0}}( - 1){{c}_{{ - 1}}} + {{u}_{{ - 1}}}( - 1){{c}_{{ - 2}}} = {{c}_{{ - 1}}} + {{u}_{{ - 1}}}( - 2){{c}_{{ - 2}}} = 0$. Имеем ${{c}_{{ - 1}}} = - {{u}_{{ - 1}}}( - 1){{c}_{{ - 2}}}$.

• $n = 0$: ${{u}_{0}}(0){{c}_{0}} + {{u}_{{ - 1}}}(0){{c}_{{ - 1}}} + {{u}_{{ - 2}}}(0){{c}_{{ - 2}}}$ = $0 \cdot {{c}_{0}} + {{u}_{{ - 1}}}(0){{c}_{{ - 1}}} + {{u}_{{ - 2}}}(0){{c}_{{ - 2}}}$ = $ - {{u}_{{ - 1}}}(0){{u}_{{ - 1}}}( - 1){{c}_{{ - 2}}}$ + + ${{u}_{{ - 2}}}(0){{c}_{{ - 2}}} = ( - {{u}_{{ - 1}}}(0){{u}_{{ - 1}}}( - 1)$ + ${{u}_{{ - 2}}}(0)){{c}_{{ - 2}}} = 0$. Коэффициент ${{c}_{0}}$ остается неопределенным, при этом выясняется, что ${{c}_{{ - 2}}} = 0$, если $ - {{u}_{{ - 1}}}(0){{u}_{{ - 1}}}( - 1) + {{u}_{{ - 2}}}(0) \ne 0$. Так как ${{u}_{{ - 1}}}(n)$ и ${{u}_{{ - 2}}}(n)$ зависят от незаданных коэффициентов, то здесь имеем случай (b), т.е. лорановы решения с валюацией ${{\alpha }_{1}} = - 2$ существуют только если $ - {{u}_{{ - 1}}}(0){{u}_{{ - 1}}}( - 1) + {{u}_{{ - 2}}}(0) = 0$. Эта валюация отсеивается.

Шаг 5 для ${{\alpha }_{2}} = 0$:

• $n = 0$: ${{u}_{0}}(0){{c}_{0}} = 0 \cdot {{c}_{0}} = 0$, коэффициент ${{c}_{0}}$ остается неопределенным.

• $n = 1$: ${{u}_{0}}(1){{c}_{1}} + {{u}_{{ - 1}}}(1){{c}_{0}} = - 3{{c}_{1}} + {{u}_{{ - 1}}}(1){{c}_{0}} = 0$. Имеем ${{c}_{1}} = \tfrac{{{{u}_{{ - 1}}}(1){{c}_{0}}}}{3}$. При этом ${{u}_{{ - 1}}}(1)$, а значит и ${{c}_{1}}$, зависит от незаданных коэффициентов. Поскольку корень $n = 0$, соответствующий максимально возможной валюации, уже пройден, то дальнейшие вычисления не требуются.

Следовательно, для уравнения $L(y) = 0$ имеем $W = \{ 0\} $, ${{m}_{1}} = 0$. При любом продолжении коэффициентов есть лораново решение:

где $C$ – произвольная постоянная. При $C = 0$ это решение равно нулю, так как у лоранова решения оператора (12) валюация не может быть положительной. Решение (13) можно записать в виде $C(1 + O(x))$.

Пример 2. Добавим к коэффициентам оператора (12) несколько слагаемых:

Шаг 3 для $\tilde {L}$ дает те же результаты, что и для (12). На шаге 4 получаем

Шаг 5 для для возможной валюации ${{\alpha }_{1}} = - 2$ выполняется аналогично (12). Но для $n = 0$ имеем $ - {{u}_{{ - 1}}}(0){{u}_{{ - 1}}}( - 1) + {{u}_{{ - 2}}}(0) = - ({{(0 - 1)}^{2}} + 1)({{( - 1 - 1)}^{2}} + 1) + ({{(0 - 2)}^{2}} + 6) = 0$, что означает, что соотношение (11) является тождеством $0 = 0$ и, значит, коэффициент ${{c}_{{ - 2}}}$ остается неопределенным. Соответственно, для валюации ${{v}_{1}} = - 2$ лорановы решения существуют при любом продолжении $\tilde {L}$. Здесь имеем случай (a). Получаем ${{c}_{{ - 1}}} = - {{u}_{{ - 1}}}( - 1){{c}_{{ - 2}}} = - ({{( - 1 - 1)}^{2}} + 1){{c}_{{ - 2}}} = - 5{{c}_{{ - 2}}}$. Дальнейшие вычисления не требуются, так как корень $n = 0$, соответствующий максимально возможной валюации, пройден, а выражения для всех последующих коэффициентов решения будут содержать незаданные коэффициенты. Соответственно, для уравнения $\tilde {L}(y) = 0$ при любом продолжении коэффициентов есть лораново решение с валюацией ${{v}_{1}} = - 2$:

где ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ – произвольные постоянные.

Шаг 5 для ${{\alpha }_{2}} = 0$:

• $n = 0$: ${{u}_{0}}(0){{c}_{0}} = 0 \cdot {{c}_{0}} = 0$, коэффициент ${{c}_{0}}$ остается неопределенным.

• $n = 1$: ${{u}_{0}}(1){{c}_{1}} + {{u}_{{ - 1}}}(1){{c}_{0}} = - 3{{c}_{1}} + 1{{c}_{0}} = 0$. Имеем ${{c}_{1}} = \tfrac{1}{3}{{c}_{0}}$.

• $n = 2$: ${{u}_{0}}(2){{c}_{2}} + {{u}_{{ - 1}}}(2){{c}_{1}} + {{u}_{{ - 2}}}(2){{c}_{0}}$ = $ - 8{{c}_{2}} + 2{{c}_{1}} + 6{{c}_{0}} = 0$. Имеем ${{c}_{2}} = \tfrac{5}{6}{{c}_{0}}$.

• $n = 3$: Вычисляем ${{u}_{{ - 3}}}(n) = a{{(n - 3)}^{2}} + b(n - 3)$, где $a$ и $b$ – символьные незаданные коэффициенты. Тогда ${{u}_{0}}(3){{c}_{3}} + {{u}_{{ - 1}}}(3){{c}_{2}}$ + ${{u}_{{ - 2}}}(3){{c}_{1}} + {{u}_{{ - 3}}}(3){{c}_{0}}$ = $ - 15{{c}_{3}} + 5{{c}_{2}} + 7{{c}_{1}} + 0 \cdot {{c}_{0}} = 0$. Имеем ${{c}_{3}} = \tfrac{{13}}{{30}}{{c}_{0}}$. Отметим, что в данном случае ${{c}_{3}}$ удалось вычислить, несмотря на то, что ${{u}_{{ - 3}}}(n)$ содержит незаданные коэффициенты, поскольку ${{u}_{{ - 3}}}(3) = 0$ при любых значениях этих незаданных коэффициентов.

Дальнейшие вычисления не требуются, так как корень $n = 0$, соответствующий максимально возможной валюации, пройден, а выражения для всех последующих коэффициентов решения будут содержать незаданные коэффициенты. Соответственно, для уравнения $\tilde {L}(y) = 0$ при любом продолжении коэффициентов есть лораново решение с валюацией ${{v}_{2}} = 0$:

Итак, для уравнения $\tilde {L}(y) = 0$ мы нашли $W = \{ - 2,0\} $, ${{m}_{1}} = 0$, ${{m}_{2}} = 3$.

Пример 3. Если же добавить новые слагаемые к коэффициентам исходного оператора (12) иначе:

то аналогичные вычисления показывают, что $W = \{ 0\} $, ${{m}_{1}} = 3$ для уравнения $\tilde {\tilde {L}}(y) = 0$. При любом продолжении коэффициентов имеется лораново решение: $C + O({{x}^{4}})$. Здесь имеем случай (c), который привел к отсеиванию возможной валюации, равной $ - 2$.

Резюмируем рассмотрение примеров 1, 2 и 3. Мы имеем уравнения $L(y) = 0$, $\tilde {L}(y) = 0$, $\tilde {\tilde {L}}(y) = 0$, причем последние два уравнения являются в смысле определения 2 продолжениями первого уравнения. Как показано в примере 1, не существует, кроме $0$, никакого целого значения, для которого любое продолжение уравнения $L(y) = 0$ имело бы лораново решение с валюацией, равной этому значению. И, хотя уравнение $\tilde {L}(y) = 0$ обладает лорановым решением с валюацией $ - 2$, но при этом уравнение $\tilde {\tilde {L}}(y) = 0$ не имеет решений с такой валюацией. Это подтверждает правильность полученного в примере 1 ответа.

Предложение 1. Пусть значения ${{v}_{1}}, \ldots ,{{v}_{k}}$, ${{m}_{1}}, \ldots ,{{m}_{k}}$ найдены предложенным алгоритмом для уравнения $L(y) = 0$, где $L$ имеет вид (1) и ${{t}_{i}} \geqslant \deg {{a}_{i}}(x),$ $i = 0,1, \ldots ,r$. Пусть $m$ – такое положительное целое, что $m > {{m}_{i}}$ для некоторого $1 \leqslant i \leqslant k$. Тогда для уравнения $L(y) = 0$ существует такое продолжение $\tilde {L}(y) = 0$, что для некоторого его решения $\tilde {y}(x) \in K((x))$, $\operatorname{val} \tilde {y}(x) = {{v}_{i}}$, равенство $\tilde {y}(x) = {{y}^{{\left\langle m \right\rangle }}}(x) + O({{x}^{m}}^{{ + 1}})$ не выполняется ни для какого решения $y(x) \in K((x))$, $\operatorname{val} y(x) = {{v}_{i}}$, уравнения $L(y) = 0$.

Доказательство. Предложенный алгоритм находит каждое из значений ${{m}_{i}}$, используя, в частности, то, что добавленные в ${{a}_{j}}(x)$ члены с символьными коэффициентами появляются в выражениях для коэффициентов решений. И для разных продолжений оператора $L$ мы можем получать разные коэффициенты решения $\tilde {y}$ при ${{x}^{j}}$, когда $j > {{m}_{i}}$.

Замечание 3. В предложении 1 существенно, что и $\operatorname{val} \tilde {y}(x) = {{v}_{i}}$, и $\operatorname{val} y(x) = {{v}_{i}}$, т.е. что и у $L$ имеются лорановы решения с такой валюацией ${{v}_{i}}$. При этом у $\tilde {L}$ могут быть лорановы решения с валюациями, которые не входят в ${{v}_{1}}, \ldots ,{{v}_{k}}$. Это иллюстрируют примеры 1 и 2.

Замечание 4. Мы предполагаем, что в операторе $L$ вида (1) свободный член хотя бы одного полиномиального коэффициента отличен от нуля. Это предположение гарантирует, что полином ${{u}_{0}}(n)$ в (9) будет ненулевым. Дополнительно отметим, что если наименьшая валюация ненулевых коэффициентов уравнения положительна и равна $\beta $, и если при этом ${{t}_{i}} \geqslant \beta $ для каждого коэффициента ${{a}_{i}}(x)$, включая нулевые коэффициенты, то можно поделить обе части уравнения на ${{x}^{\beta }}$ и заменить каждое ${{t}_{i}}$ на ${{t}_{i}} - \beta $, а затем применить наш алгоритм.

7. СВЯЗЬ С ЗАДАЧЕЙ УСЕЧЕНИЯ

Легко доказывается, что уравнение вида $L(y) = 0$, $L \in K((x))[\theta ]$, имеет решение в $K((x))$, если и только если определяющий полином оператора $L$ имеет целые корни (при наличии таких корней существует, например, лораново решение с валюацией, равной наибольшему из них). Этот факт обсуждается, в частности, в [3], где, помимо этого, рассмотрена так называемая задача усечения: какое количество начальных членов коэффициентов оператора $L$ влияет на заданное число первых членов лоранова решения уравнения $L(y) = 0$?

Предложение 2 (см. [3, Prop. 1(ii)]). Пусть l – неотрицательное целое, $L \in K[[x]][\theta ]$, $f(x) \in K((x))$, $v = \operatorname{val} f(x)$. Пусть определяющий полином оператора L обладает целыми корнями, и пусть ${{e}^{*}},\;{{e}_{*}}$ – наибольший и наименьший из них. Пусть ${{s}_{l}} = \max \{ {{e}^{*}} - {{e}_{*}},l - 1\} $ и $s \geqslant {{s}_{l}}.$ Тогда уравнение $L(y) = 0$ обладает решением вида $f(x) + O({{x}^{{v + l}}})$, если и только если усеченное уравнение ${{L}^{{\left\langle s \right\rangle }}}(y) = 0$ обладает такого же вида решением.

Замечание 5. В [3] и в настоящей статье понятие усечения ряда определено по-разному. В приведенной выше формулировке предложения 2 это понятие интерпретируется в соответствии с определением 1.

Предложение 2 позволяет сформулировать еще один подход к решению рассматриваемой в настоящей статье задачи. Пусть $L$ – оператор вида (1) c коэффициентами (2). Положим $t = min_{{i = 0}}^{r}{{t}_{i}}$ и найдем наибольшее целое $l$, для которого ${{s}_{l}} \leqslant t$. Тогда набор валюаций лорановых решений уравнения ${{L}^{{\left\langle {{{s}_{l}}} \right\rangle }}}(y) = 0$ и первые члены этих решений в количестве $l$ дают требуемое (при этом подходе ${{m}_{i}} = {{v}_{i}} + l - 1$).

Такой подход не требует добавления символьных коэффициентов. Но, например, когда ${{s}_{1}} > t$ (значения ${{t}_{i}}$ оказываются слишком малыми), мы не можем выбрать $l$, т.е. подход оказывается неприменимым. Однако алгоритм, представленный в разд. 6, справляется с этой ситуацией. Вернемся к примеру 1, где ${{t}_{0}} = {{t}_{1}} = {{t}_{2}} = 0$ и, следовательно, $t = 0$. Вместе с этим ${{s}_{l}} = \max \{ 2,l - 1\} \geqslant 2$. Подход, основанный на предложении 2, не дает решения задачи, а представленный в разд. 6 алгоритм позволил в примере 1 получить решение.

Несложно также показать, что алгоритм из разд. 6 может находить больше членов лорановых решений, чем основанный на предложении 2. Для (14) основанный на предложении 2 алгоритм вместо (15) получит на один член меньше: $C + \tfrac{1}{3}Cx + \tfrac{5}{6}C{{x}^{2}} + O({{x}^{3}})$.

8. ОПЕРАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ: $\theta $ И $D$

Если исходное дифференциальное уравнение записано с привлечением $D$ вместо $\theta $, то заменой $D = {{x}^{{ - 1}}}\theta $ это уравнение можно преобразовать в эквивалентное уравнение, записанное с помощью $\theta $, т.е. здесь будет полезно равенство для композиции операторов $\theta $ и ${{x}^{{ - 1}}}$: $\theta {{x}^{{ - 1}}} = {{x}^{{ - 1}}}(\theta - 1)$. Понятно, что если исходное уравнение задано в виде

то в результате описанного преобразования мы придем к уравнению (6), но ${{t}_{0}},{{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{r}}$ могут отличаться от ${{\tau }_{0}},{{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{r}}$. Коэффициенты для нового уравнения могут быть найдены с привлечением символьных незаданных коэффициентов, которые не должны влиять на (18).

Переход от $D$ к $\theta $ можно выполнить и не прибегая к символьным незаданным коэффициентам: на оператор (17) смотрим как на оператор с полиномиальными коэффициентами ${{w}_{0}}(x), \ldots ,{{w}_{r}}(x)$, но степень каждого ${{w}_{i}}(x)$ считаем равной ${{t}_{i}}$, полагая при необходимости коэффициенты при некоторых из старших степеней равными нулю, – вспомним, что ${{w}_{0}}(x), \ldots ,{{w}_{r}}(x)$ являются усеченными рядами и каждое ${{t}_{i}}$ задает соответствующее усечение. Не исключается, что при выполнении перехода от $D$ к $\theta $ коэффициент при некотором ${{\theta }^{i}}$ возникнет как сумма полиномов разных степеней (при этом степени понимаются в указанном смысле). В таком случае степени этих полиномов-усечений должны быть выровнены по младшей из них. Это полностью согласуется с основанным на привлечении символьных незаданных коэффициентов подходом.

Пример 4. При переходе от $D$ к $\theta $ в операторе

результирующий коэффициент при $\theta $ представляется суммой $1 - x - {{x}^{2}}$ с ${{t}_{1}} = 2$ и $ - 3 + x$ с ${{t}_{1}} = 1$. При суммировании необходимо перейти к меньшему из усечений. В нашем случае сумма равна $ - 2$ с ${{t}_{1}} = 1$.

Применение алгоритма к получившемуся оператору

показывает, что при любом продолжении коэффициентов оператора $L$ имеется лораново решение:

При переходе от уравнения, заданного в виде (17), к эквивалентному уравнению, заданному в виде (6), возможна ситуация, когда для некоторого $i$ ($0 \leqslant i \leqslant r$) окажется, что ${{t}_{i}} < 0$, даже если все ${{\tau }_{0}},{{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{r}}$ – неотрицательные целые. Это будет означать, что заданное уравнение с усеченными коэффициентами содержит недостаточно информации для получения определяющего полинома как полинома от $n$ с коэффициентами из $K$. Так, уравнению

эквивалентно и определяющий полином есть где коэффициент при $\theta y(x)$ уравнения (20) предполагается равным ${{a}_{{1,0}}} + O(x)$; при этом ${{a}_{{1,0}}}$, т.е. свободный член этого коэффициента выступает как еще одна переменная полинома ${{u}_{0}}$. Здесь мы не можем применять алгоритм из разд. 6.

9. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

Алгоритм реализован в среде Maple (см. [6]) в виде процедуры LaurentSolution. Первым аргументом процедуры является дифференциальное уравнение вида (6). Применение ${{\theta }^{k}}$ к неизвестной функции $y(x)$ записывается как theta(y(x),x,k). Также возможно использование обычного дифференцирования (оператора $D$, см. разд. 8); в этом случае применение оператора ${{D}^{k}}$ к неизвестной функции $y(x)$ задается в стандартном для Maple виде diff(y(x),x$k). Усеченные коэффициенты уравнения задаются в виде ${{a}_{i}}(x) + O({{x}^{{{{t}_{i}} + 1}}})$, где ${{a}_{i}}(x)$ – полином степени не выше ${{t}_{i}}$ над полем рациональных чисел. В качестве второго аргумента процедуры задается неизвестная функция.

Результат работы процедуры – список усеченных лорановых решений, соответствующих валюациям ${{v}_{i}} \in W$. Каждый элемент списка представляется в виде

где ${{v}_{i}} \in W$ – валюация, для которой гарантировано существование лоранова решения при любом продолжении заданного уравнения; ${{m}_{i}}$ имеет прежний смысл, ${{c}_{i}}$ – вычисленные коэффициенты лоранова решения, которые могут являться линейными комбинациями произвольных постоянных вида $\_{{c}_{j}}$.

Далее следуют восемь примеров, которые мы объединяем в один, содержащий пп. 1–8.

Пример 5.

1. Каждое из уравнений

можно представить в виде Применим реализованную процедуру к (25).

> eq1:=(x+O(x^2))*(theta(y(x),x,1))+(–x+O(x^2))*y(x);

> LaurentSolution(eq1,y(x));

Полученный ответ означает, что здесь $W = \left\{ 1 \right\}$, ${{m}_{1}} = 1$.

2. Добавим к коэффициентам уравнения (25) некоторые члены, соответствующие коэффициентам (23). Получим усечение решения до степени ${{x}^{2}}$, которое соответствует разложению в степенной ряд функции $sin(x)$, являющейся решением (23):

> eq2:=(x+O(x^3))*(theta(y(x),x,1))+(–x+x^3/2+O(x^4))*y(x);

> LaurentSolution(eq2,y(x));

Полученный ответ также означает, что здесь $W = \left\{ 1 \right\}$, ${{m}_{1}} = 2$.

3. Теперь добавим к коэффициентам уравнения (25) некоторые члены, соответствующие коэффициентам (24). Получим усечение решения до степени ${{x}^{2}}$, которое соответствует разложению в степенной ряд функции $exp(x) - 1$, являющейся решением (24).

> eq3:=(x+x^2/2+O(x^3))*theta(y(x),x,1)+(–x–x^2–x^3/2+O(x^4))*y(x);

> LaurentSolution(eq3, y(x));

Полученный ответ также означает, что $W = \left\{ 1 \right\}$, ${{m}_{1}} = 2$.

4. Для каждого из уравнений из пп. 1–3 существует только одно значение валюации, для которого лорановы решения существуют при любом продолжении уравнения. Рассмотрим применение процедуры к уравнению, заданному оператором (14):

> eq4:=(–1+x+x^2+O(x^3))*theta(y(x),x,2)+(–2+O(x^3))*theta(y(x),x,1)+          (x+6*x^2+O(x^4))*y(x);

> LaurentSolution(eq4,y(x));

Полученный ответ означает, что здесь $W = \{ - 2,0\} $, ${{m}_{1}} = 0$, ${{m}_{2}} = 3$.

5. Имеет ли смысл рассматривать, например, случай попарно различных ${{t}_{0}},{{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{r}}$, входящих в (6), или же достаточно ограничиться случаем равенства этих чисел? Иными словами, может ли замена в (6) каждого ${{t}_{i}}$ на $t = min_{{i = 0}}^{r}{{t}_{i}}$ привести к снижению точности результата работы алгоритма? Следующий пример показывает, что такое снижение возможно. Тем самым, связанные с отказом от априорного предположения о равенстве всех ${{t}_{i}}$ затраты времени могут быть не напрасными.

Для следующего уравнения получаем пять членов решения:

> eq5:=(1+O(x))*(theta(y(x),x,1))+(x^4+O(x^5))*y(x);

> LaurentSolution(eq5,y(x));

Если взять $t = 0$, то получим только один член решения:

> eq6:=(1+O(x))*(theta(y(x),x,1))+O(x)*y(x);

> LaurentSolution(eq6,y(x));

6. Пример уравнения, которое не имеет лорановых решений ни при каких продолжениях:

> eq7:=(2+O(x))*(theta(y(x),x,1))+(1+O(x))*y(x);

> LaurentSolution(eq7,y(x));

Ответ – пустой список – означает отсутствие решений.

7. Если определяющий полином зависит от незаданных коэффициентов уравнения (см. разд. 8), то ответом будет $FAIL$:

> eq8:=(x^2+O(x^3))*diff(y(x),x,x)+O(x)*diff(y(x),x)+(1+O(x))*y(x);

> LaurentSolution(eq8,y(x));

В данном случае в результате перехода в уравнении к операции $\theta $ оказывается незаданным свободный член коэффициента при $\theta $ в первой степени.

8. Применим процедуру к оператору (19) с $D = \tfrac{d}{{dx}}$:

> eq9:=(–x+x^2+x^3+O(x^4))*(diff(y(x),x,x))+(–3+x+O(x^2))*          (diff(y(x),x))+O(x^3)*y(x);

> LaurentSolution(eq9,y(x));

Полученный ответ также означает, что $W = \left\{ 0 \right\}$, ${{m}_{1}} = 3$.

Авторы благодарят компанию Maplesoft (Ватерлоо, Канада) за консультации и дискуссии.