1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 10, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 10, стр. 1695-1705

Задача программного управления объектом, описываемым системой с негладкой правой частью

А. В. Фоминых *

Санкт-Петербургский государственный университет
199034 С.-Пб, Университетская наб., 7-9, Россия

* E-mail: alexfomster@mail.ru

Поступила в редакцию 29.04.2019
После доработки 29.04.2019
Принята к публикации 10.06.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача программного управления объектом, движение которого описывается системой дифференциальных уравнений в нормальной форме. Правая часть системы содержит негладкие слагаемые. Исходная задача сводится к задаче безусловной минимизации некоторого негладкого функционала. Для него найдены необходимые и достаточные условия минимума в терминах субдифференциала. На основании данных условий к рассматриваемой задаче применяется метод субдифференциального спуска. Используемая методика иллюстрируется на численных примерах. Библ. 24. Табл. 2.

Ключевые слова: программное управление, недифференцируемый функционал, негладкая правая часть, вариационная задача, метод субдифференциального спуска.

1. ВВЕДЕНИЕ

В последнее время наблюдается рост числа как теоретических, так и прикладных исследований по негладкой оптимизации, включая негладкие задачи управления. Динамические системы с недифференцируемыми правыми частями возникают во многих приложениях, например, в экономике [1], в аквакультуре [2], и особенно в механике [3]–[6].

В работах [7]–[10] были получены многочисленные необходимые условия минимума (некоторые из них в форме принципа максимума) для негладких задач управления, включая случай смешанных ограничений. Интегральное ограничение на управление (такое как в данной статье) было ранее рассмотрено в некоторых работах, например, в статье [11]. Работа [12] использует подход к решению задач оптимального управления, подобный рассматриваемому в данной статье.

Некоторые статьи посвящены построению численных методов для негладких задач управления. Например, работы [13], [14] используют технику “сглаживания”; статьи [15], [16] используют подход штрафных функций.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим краевую задачу

(1)
$\dot {x} = {{A}_{1}}(t)\left| x \right| + {{A}_{2}}(t)x + B(t)u + c(t),\quad t \in [0,T],$
(2)
$x(0) = {{x}_{0}},$
(3)
$x(T) = {{x}_{T}},$
где
${{A}_{1}}(t)\left| x \right| = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{{11}}^{1}(t)\left| {{{x}_{1}}} \right| + a_{{12}}^{1}(t)\left| {{{x}_{2}}} \right| + \ldots + a_{{1n}}^{1}(t)\left| {{{x}_{n}}} \right|} \\ {a_{{21}}^{1}(t)\left| {{{x}_{1}}} \right| + a_{{22}}^{1}(t)\left| {{{x}_{2}}} \right| + \ldots + a_{{2n}}^{1}(t)\left| {{{x}_{n}}} \right|} \\ \ldots \\ {a_{{n1}}^{1}(t)\left| {{{x}_{1}}} \right| + a_{{n2}}^{1}(t)\left| {{{x}_{2}}} \right| + \ldots + a_{{nn}}^{1}(t)\left| {{{x}_{n}}} \right|} \end{array}} \right).$
В системе (1) конечная величина $T > 0$ – заданный момент времени, $x(t)$ есть $n$-мерная вектор-функция фазовых координат, которую будем считать непрерывной с кусочно-непрерывной (с конечным числом точек разрыва) и ограниченной на $[0,T]$ производной ($\dot {x} \in {{P}_{n}}[0,T]$), $u(t)$ есть $m$-мерная вектор-функция управлений, которую будем считать кусочно непрерывной (с конечным числом точек разрыва) и ограниченной на $[0,T]$ ($u \in {{P}_{m}}[0,T]$). ${{A}_{1}}(t)$, ${{A}_{2}}(t)$, $B(t)$ – вещественные непрерывные на $[0,T]$ матрицы порядков $n \times n$, $n \times n$ и $n \times m$ соответственно, $c(t)$ – вещественная непрерывная на $[0,T]$ $n$-мерная вектор-функция. Предполагаем, что система (1) является управляемой [17] из начального положения (2) в конечное состояние (3). В выражениях (2), (3) ${{x}_{0}}$, ${{x}_{T}} \in {{R}^{n}}$ – заданные векторы.

Пусть управление $u$ принадлежит следующему множеству допустимых управлений:

(4)
$U = \left\{ {u \in {{P}_{m}}[0,T]|{{{\left\| u \right\|}}^{2}} = \int\limits_0^T {\left( {u(t),u(t)} \right)} dt \leqslant C} \right\},$
где $C$ – заданное конечное число, $\int_0^T {({{{v}}_{1}}(t),{{{v}}_{2}}(t))dt} $ – скалярное произведение вектор-функций ${{{v}}_{1}}(t)$, ${{{v}}_{2}}(t)$.

Если ${{t}_{0}} \in \left[ {0,T} \right)$ – точка разрыва вектор-функции $u(t)$, то для определенности полагаем

$u({{t}_{0}}) = \mathop {lim}\limits_{t \downarrow {{t}_{0}}} u(t).$
В точке $T$ считаем, что
$u(T) = \mathop {lim}\limits_{t \uparrow T} u(t).$
При этом $\dot {x}({{t}_{0}})$ – правосторонняя производная вектор-функции $x$ в точке ${{t}_{0}}$, $\dot {x}(T)$ – левосторонняя производная вектор-функции $x$ в точке $T$.

Требуется подобрать такое управление, которое принадлежит множеству допустимых управлений (4) и переводит систему (1) из начального положения (2) в конечное состояние (3) за время $T$.

3. СВЕДЕНИЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ

Пусть $z(t) = \dot {x}(t)$, $z \in {{P}_{n}}[0,T]$. Тогда с учетом (2) имеем $x(t) = {{x}_{0}} + \int_0^t z (\tau )d\tau $.

Введем в рассмотрение функционал

(5)
$I(z,u) = \frac{1}{2}\int\limits_0^T {(\varphi (z,u,t),\varphi (z,u,t))dt} + max\left\{ {0,\int\limits_0^T {(u(t),u(t))dt - C} } \right\} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{\psi }_{i}}} (z),$
где
$\varphi (z,u,t) = z - \left( {{{A}_{1}}(t)\left| x \right| + {{A}_{2}}(t)x + B(t)u + c(t)} \right),$
${{\psi }_{i}}(z) = \left| {{{{\bar {\psi }}}_{i}}(z)} \right|,\quad {{\bar {\psi }}_{i}}(z) = {{x}_{{0i}}} + \int\limits_0^T {{{z}_{i}}(t)} dt - {{x}_{{Ti}}},\quad i = \overline {1,n} ,$
а ${{x}_{{0i}}}$ есть $i$-я компонента вектора ${{x}_{0}}$, ${{x}_{{Ti}}}$ есть $i$-я компонента вектора ${{x}_{T}}$, $i = \overline {1,n} $.

Нетрудно видеть, что функционал (5) неотрицателен для всех $z \in {{P}_{n}}[0,T]$ и для всех $u \in {{P}_{m}}[0,T]$ и обращается в ноль в точке $\left[ {z*,u{\kern 1pt} *} \right] \in {{P}_{n}}[0,T] \times {{P}_{m}}[0,T]$ тогда и только тогда, когда $x{\kern 1pt} {\text{*}}(t) = {{x}_{0}} + \int_0^t {z{\kern 1pt} {\text{*}}(\tau )} d\tau $ – программное движение, соответствующее искомому программному управлению $u{\kern 1pt} {\text{*}}(t)$.

4. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА

Введем множество

$\Omega = \left\{ {z \in {{P}_{n}}[0,T]|{{x}_{0}} + \int\limits_0^T {z(t)} dt = {{x}_{T}}} \right\}.$

Ниже нам также потребуются индексные множества

${{I}_{0}} = \left\{ {i = \overline {1,n} |{{{\bar {\psi }}}_{i}}(z) = 0} \right\},$
${{I}_{ - }} = \left\{ {i = \overline {1,n} |{{{\bar {\psi }}}_{i}}(z) < 0} \right\},$
${{I}_{ + }} = \left\{ {i = \overline {1,n} |{{{\bar {\psi }}}_{i}}(z) > 0} \right\}$
и следующие множества управлений

${{U}_{0}} = \left\{ {u \in {{P}_{m}}[0,T]|\int\limits_0^T {(u(t),u(t))} dt - C = 0} \right\},$
${{U}_{ - }} = \left\{ {u \in {{P}_{m}}[0,T]|\int\limits_0^T {(u(t),u(t))} dt - C < 0} \right\},$
${{U}_{ + }} = \left\{ {u \in {{P}_{m}}[0,T]|\int\limits_0^T {(u(t),u(t))} dt - C > 0} \right\}.$

Для произвольной скалярной функции ${v} \in P[0,T]$ введем множества

${{T}_{0}}({v}) = \left\{ {t \in [0,T]|{v}(t) = 0} \right\},$
${{T}_{ - }}({v}) = \left\{ {t \in [0,T]|{v}(t) < 0} \right\},$
${{T}_{ + }}({v}) = \left\{ {t \in [0,T]|{v}(t) > 0} \right\}.$

Пусть “${\text{'}}$”  означает  транспонирование, а ${{e}_{i}}$, $i = \overline {1,n} $, – канонический базис  в ${{R}^{n}}$. Пусть также ${\text{mes}}M$ – мера Жордана множества $M \subset R$. Пусть ${\text{co\{ D\} }}$ – выпуклая оболочка множества $D$ [18].

Введем обозначения

$f(t) = {{A}_{1}}(t)\left| x \right| + {{A}_{2}}(t)x + B(t)u + c(t),$
$g(t) = B(t)u + c(t).$

Напомним определение субдифференциала.

Определение 1. Пусть $\Sigma \subset E$ является некоторым непустым подмножеством вещественного нормированного пространства $E$. Функция $\xi :\Sigma \to R$ называется субдифференцируемой на множестве $\Sigma $, если для каждого $\varsigma \in \Sigma $ существует  такое выпуклое компактное множество, субдифференциал $\partial \xi (\varsigma ) \subset E{\kern 1pt} {\text{*}}$, что для каждого допустимого приращения $\Delta \varsigma \in E$ (т.е. co$\left\{ {\varsigma ,\varsigma + \Delta \varsigma } \right\} \in \Sigma $) соответствующее приращение функции $\xi $ представимо формулой

$\xi (\varsigma + \Delta \varsigma ) = \xi (\varsigma ) + \mathop {max}\limits_{\sigma \in \partial \xi (\varsigma )} (\sigma (\Delta \varsigma )) + o(\Delta \varsigma ,\varsigma ),$
${\text{где}}\quad o(\alpha \Delta \varsigma ,\varsigma ){\text{/}}\alpha \to 0,\quad {\text{если}}\quad \alpha \to 0.$

Отображение $\varsigma \to \partial \xi (\varsigma )$ называется субдифференциальным отображением.

Используя ту же технику, что и в [19], [20], нетрудно убедиться в справедливости следующей леммы.

Лемма 1. Зафиксируем точку $[z,u]$ и предположим, что выполняется ${\text{mes}}\left( {\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}({{x}_{i}})} } \right) = 0$. Функционал $I(z,u)$ субдифференцируем п.в. на $[0,T]$ (а именно, на множестве $[0,T]{\backslash }\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}({{x}_{i}})} $ и его субдифференциал в точке $[z,u]$ для $t \in [0,T]{\backslash }\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}({{x}_{i}})} $ выражается по формуле

$\partial I(z,u) = \left. {\left\{ {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{{P}_{{ij}}}(t)} } {{e}_{i}} + \sum\limits_{i \in {{I}_{0}}} {{{\omega }_{i}}} {{e}_{i}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{{\mu }_{j}}} {{e}_{j}}, - B{\text{'}}(t)(z(t) - f(t)) + 2\nu u(t)} \right]{\kern 1pt} } \right.} \right|$
${{\omega }_{i}} \in [ - 1,1],\quad i \in {{I}_{0}},\quad {{\mu }_{j}} = 0,\quad j \in {{I}_{0}},\quad {{\mu }_{j}} = 1,\quad j \in {{I}_{ + }},\quad {{\mu }_{j}} = - 1,\quad j \in {{I}_{ - }},$
$\left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\nu \in [0,1],\quad u \in {{U}_{0}},\quad \nu = 1,\quad u \in {{U}_{ + }},\quad \nu = 0,\quad u \in {{U}_{ - }}} \right\},$
где
${{P}_{{ij}}}(t) = {{z}_{j}}(t) - {{f}_{j}}(t) - \int\limits_t^T {(a_{{ji}}^{1}(\tau ) + a_{{ji}}^{2}(\tau ))} ({{z}_{j}}(\tau ) - {{f}_{j}}(\tau ))d\tau ,\quad t \in {{T}_{ + }}({{x}_{j}}),$
${{P}_{{ij}}}(t) = {{z}_{j}}(t) - {{f}_{j}}(t) + \int\limits_t^T {(a_{{ji}}^{1}(\tau ) - a_{{ji}}^{2}(\tau ))} ({{z}_{j}}(\tau ) - {{f}_{j}}(\tau ))d\tau ,\quad t \in {{T}_{ - }}({{x}_{j}}),$
здесь $i$, $j$ $ = \overline {1,n} $.

Следствие 1. Зафиксируем точку $[z,u]$ и предположим, что ${\text{mes}}\left( {\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}({{x}_{i}})} } \right) = 0$. Если $z \in \Omega $, $u \in U$, то функционал $I(z,u)$ субдифференцируем п.в. на $[0,T]$ и его субдифференциал в точке $[z,u]$ для $t \in [0,T]{\backslash }\int_{i = 1}^n {{{T}_{0}}({{x}_{i}})} $ выражается по формуле

$\partial I(z,u) = \left. {\left\{ {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{{P}_{{ij}}}} } (t){{e}_{i}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{\omega }_{i}}} {{e}_{i}}, - B{\text{'}}(t)(z(t) - f(t)) + 2\nu u(t)} \right]} \right.{\kern 1pt} } \right|$
(6)
$\left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{\omega }_{i}} \in [ - 1,1],\quad i = \overline {1,n} ,\quad \nu \in [0,1],\quad u \in {{U}_{0}},\quad \nu = 0,\quad u \in {{U}_{ - }}} \right\}.$

Известно, что необходимым условием минимума функционала (5) в точке $[z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *]$ в терминах субдифференциала является условие [21]

${{0}_{{n + m}}} \in \partial I(z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *),$
где ${{0}_{{n + m}}}$ – нулевой элемент пространства ${{P}_{n}}[0,T] \times {{P}_{m}}[0,T]$ (в данном случае можно считать, что субдифференциал принадлежит пространству ${{P}_{n}}[0,T] \times {{P}_{m}}[0,T]$, что видно из формулы (6)).

Отсюда заключаем, что справедлива

Теорема 1. Пусть ${\text{mes}}\left( {\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}(x_{i}^{ * })} } \right) = 0$. Для того, чтобы управление $u{\kern 1pt} * \in U$ переводило систему (1) из начального положения (2) в конечное состояние (3) за время $T$, необходимо, чтобы

(7)
${{0}_{{n + m}}} \in \partial I(z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *),$
где выражение для субдифференциала $\partial I(z,u)$ выписано в (6).

Если оказалось $I(z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *) = 0$, то условие (7) является и достаточным (это условие является, очевидно, и необходимым).

Замечание 1. Из Теоремы 1 и Следствия 1 заключаем, что точка $[z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *]$ (предполагается, что ${\text{mes}}\left( {\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}(x_{i}^{ * })} } \right) = 0$) будет стационарной точкой функционала $I(z,u)$ п. в. на интервале $[0,T]$ (а именно для $t \in [0,T]{\backslash }\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}(x_{i}^{ * })} $). Поэтому в разд. 4 и 5 ниже мы будем использовать термин “стационарная точка”, называя этим термином такую точку, которая является стационарной п.в. на интервале $[0,T]$.

5. МЕТОД СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СПУСКА

Зафиксируем точку $[z,u]$ и предположим, что ${\text{mes}}\left( {\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}({{x}_{i}})} } \right) = 0$. Найдем минимальный по норме субградиент $h = h(t,z,u) \in \partial I(z,u)$ функционала $I$ в точке $[z,u]$, т.е. решим задачу

(8)
$\mathop {min}\limits_{h \in \partial I(z,u)} {{\left\| h \right\|}^{2}} = \mathop {min}\limits_{{{\omega }_{i}},i \in {{I}_{0}},\nu } \left\{ {{{{\int\limits_0^T {\left( {{{s}_{1}}(t) + \sum\limits_{i \in {{I}_{0}}} {{{\omega }_{i}}} {{e}_{i}}} \right)} }}^{2}}dt + \int\limits_0^T {{{{\left( {{{s}_{2}}(t) + 2\nu u(t)} \right)}}^{2}}} dt} \right\},$
где
${{s}_{1}}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{{P}_{{ij}}}} } (t){{e}_{i}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{{\mu }_{j}}} {{e}_{j}},$
${{s}_{2}}(t) = - B{\text{'}}(t)(z(t) - f(t)),$
а величины ${{\omega }_{i}}$, $i \in {{I}_{0}}$, ${{\mu }_{j}}$, $j = \overline {1,n} $, $\nu $ и функции ${{P}_{{ij}}}(t)$, $i = \overline {1,n} $, $j = \overline {1,n} $, определены в лемме 1.

Задача (8) представляет собой задачу квадратичного программирования при наличии линейных ограничений и может быть решена одним из известных методов [22]. Обозначим через $\omega _{i}^{ * }$, $i \in {{I}_{0}}$, $\nu {\kern 1pt} {\text{*}}$ ее решение. Тогда вектор-функция

$G(t,z,u): = h{\kern 1pt} * = \left[ {{{s}_{1}}(t) + \sum\limits_{i \in {{I}_{0}}} {\omega _{i}^{ * }} {{e}_{i}},{{s}_{2}}(t) + 2\nu {\kern 1pt} {\text{*}}u(t)} \right]$
является наименьшим по норме субградиентом функционала $I$ в точке $[z,u]$. Если $\left\| {G(z,u)} \right\| > 0$, то вектор-функция $ - \tfrac{{G(t,z,u)}}{{\left\| {G(z,u)} \right\|}}$ является направлением субградиентного спуска функционала $I$ в точке $[z,u]$.

Опишем следующий метод субдифференциального спуска [23] для поиска стационарных точек функционала $I(z,u)$. Фиксируем произвольную точку $[{{z}^{1}},{{u}^{1}}] \in {{P}_{n}}[0,T] \times {{P}_{m}}[0,T]$. Пусть уже построена точка $[{{z}^{k}},{{u}^{k}}] \in {{P}_{n}}[0,T] \times {{P}_{m}}[0,T]$. Как и ранее, предполагаем, что ${\text{mes}}\left( {\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}(x_{i}^{k})} } \right) = 0$ при всех $k$, где ${{x}^{k}}(t) = {{x}_{0}} + \int_0^t {{{z}^{k}}} (\tau )d\tau $, а $x_{i}^{k}(t)$ есть $i$-я компонента вектор-функции ${{x}^{k}}(t)$. Если выполнено условие минимума (7), то точка $[{{z}^{k}},{{u}^{k}}]$ является стационарной точкой функционала $I(z,u)$, и процесс прекращается. В противном случае положим

$[{{z}^{{k + 1}}},{{u}^{{k + 1}}}] = [{{z}^{k}},{{u}^{k}}] - {{\alpha }_{k}}{{G}^{k}},$
где вектор-функция ${{G}^{k}}: = G(t,{{z}^{k}},{{u}^{k}})$ представляет собой наименьший по норме субградиент функционала $I$ в точке $[{{z}_{k}},{{u}_{k}}]$, а величина ${{\alpha }_{k}}$ является решением следующей задачи одномерной минимизации:

$\mathop {min}\limits_{\alpha \geqslant 0} I([{{z}^{k}},{{u}^{k}}] - \alpha {{G}_{k}}) = I([{{z}^{k}},{{u}^{k}}] - {{\alpha }_{k}}{{G}^{k}}).$

Тогда имеем $I({{z}^{{k + 1}}},{{u}^{{k + 1}}}) \leqslant I({{z}^{k}},{{u}^{k}})$. Если последовательность $\{ [{{z}^{k}},{{u}^{k}}]\} $ конечна, то последняя ее точка является стационарной точкой функционала $I(z,u)$ по построению. Если же последовательность $\{ [{{z}^{k}},{{u}^{k}}]\} $ бесконечна, то описанный процесс может и не привести к стационарной точке функционала $I(z,u)$, поскольку субдифференциальное отображение $\partial I(z,u)$ не является непрерывным в метрике Хаусдорфа [21] (см. замечание 2 в конце статьи).

Отметим, что если в результате работы метода получена некоторая стационарная точка $[\bar {z},\bar {u}] \in {{P}_{n}}[0,T] \times {{P}_{m}}[0,T]$, однако, $I(\bar {z},\bar {u}) \ne 0$, то следует взять другое начальное приближение и повторить итерационный процесс, поскольку точка $[\bar {z},\bar {u}]$ в данном случае не является глобальным минимумом функционала $I(z,u)$ (см. теорему 1).

6. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

Рассмотрим следующую систему:

$\begin{gathered} \mathop {\dot {x}}\nolimits_1 = - \left| {{{x}_{1}}} \right| + {{x}_{2}} + u + t, \hfill \\ \mathop {\dot {x}}\nolimits_2 = {{x}_{1}} - \left| {{{x}_{2}}} \right| - {{t}^{2}}, \hfill \\ \end{gathered} $
с краевыми условиями

${{x}_{1}}(0) = 2,\quad {{x}_{2}}(0) = 1,$
${{x}_{1}}(T) = - 1,\quad {{x}_{2}}(T) = - 2.$

При этом на управление накладывается ограничение $\left\| u \right\| \leqslant C$.

Положим $T = 2$, $C = 3$. В табл. 1 приведены результаты работы метода субдифференциального спуска. В качестве начального приближения взята точка $u(t) = 0.5$, $z(t) = [0.5,0.5]$, а тогда будет $x(t) = [2 + 0.5t,\;1 + 0.5t]$. Из табл. 1 видно, что на $12$-й итерации погрешность не превышает величины $4 \times {{10}^{{ - 3}}}$.

Таблица 1
k $I({{z}_{k}},{{u}_{k}})$ $\left\| {G({{z}_{k}},{{u}_{k}})} \right\|$
1 10.45 5.06168
2 6.70688 3.05079
6 2.12119 1.53663
10 0.27609 0.81284
11 0.05727 0.1428
12 0.00383 0.01235

Рассмотрим еще один пример. Пусть задана система

$\begin{gathered} \mathop {\dot {x}}\nolimits_1 = - {{x}_{2}} + \left| {{{x}_{3}}} \right| + {{u}_{1}}, \hfill \\ \mathop {\dot {x}}\nolimits_2 = 3{{x}_{1}} + {{x}_{2}} + sin(t), \hfill \\ \mathop {\dot {x}}\nolimits_3 = 2\left| {{{x}_{1}}} \right| - {{x}_{3}} + {{u}_{2}} - t, \hfill \\ \end{gathered} $
с краевыми условиями

${{x}_{1}}(0) = 1,\quad {{x}_{2}}(0) = 2,\quad {{x}_{3}}(0) = 2,$
${{x}_{1}}(T) = - 1,\quad {{x}_{2}}(T) = 1,\quad {{x}_{3}}(T) = 1.$

При этом на управление накладывается ограничение $\left\| u \right\| \leqslant C$.

Положим $T = 2$, $C = 7$. В табл. 2 приведены результаты работы метода субдифференциального спуска. В качестве начального приближения взята точка $u(t) = [0.5,\;0.5]$, $z(t) = [0.5,\;0.5,\;0.5]$, а тогда будет $x(t) = [1 + 0.5t,\;2 + 0.5t,\;2 + 0.5t]$. Из табл. 2 видно, что на $23$-й итерации погрешность не превышает величины $4 \times {{10}^{{ - 3}}}$.

Таблица 2
k $I({{z}_{k}},{{u}_{k}})$ $\left\| {G({{z}_{k}},{{u}_{k}})} \right\|$
1 61.36711 31.78318
2 14.14267 7.73953
8 2.74841 2.72275
14 1.11712 1.63781
17 0.1653 1.06956
20 0.023 0.1523
23 0.00362 0.01188

7. СЛУЧАЙ НАРУШЕНИЯ ОГРАНИЧЕНИЯ ${\text{mes}}\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}({{x}_{i}})} } \right) = 0$

Заметим, что этот раздел не претендует на полное решение задачи в случае, рассматриваемом в этом разделе, а лишь описывает некоторые возможные подходы к решению указанной задачи.

Ранее при исследовании функционала $I$ в точке $[z,u]$ накладывалось ограничение ${\text{mes}}\left( {\bigcup\nolimits_{i = 1}^n {{{T}_{0}}({{x}_{i}})} } \right) = 0$. По-видимому, данное ограничение не является обременительным, если решение $x{\text{*}}$ исходной задачи не содержит компонент $x_{i}^{ * }$, тождественно равных нулю на каком-либо принадлежащем $[0,T]$ интервале ненулевой меры, и если начальное приближение ${{z}^{1}}$ выбрано так, чтобы это ограничение выполнялось для точки ${{x}^{1}}$. Исследуем теперь общий случай, когда данное ограничение все же не накладывается.

Нам потребуется следующая

Лемма 2. Пусть скалярные функции ${{{v}}_{1}}$, ${{{v}}_{2}}$ принадлежат пространству $P[0,T]$. Тогда справедливы равенства

$\int\limits_0^T {{{{v}}_{1}}} (t)\left| {\int\limits_0^t {{{{v}}_{2}}} (\tau )d\tau } \right|dt = \mathop {max}\limits_{{{q}_{1}} \in {{Q}_{1}}} \int\limits_0^T {({{q}_{1}}(t),{{{v}}_{2}}(t))} dt,\quad t \in {{T}_{0}}({{{v}}_{1}}) \cup {{T}_{ + }}({{{v}}_{1}}),$
$\int\limits_0^T {{{{v}}_{1}}} (t)\left| {\int\limits_0^t {{{{v}}_{2}}} (\tau )d\tau } \right|dt = \mathop {min}\limits_{{{q}_{2}} \in {{Q}_{2}}} \int\limits_0^T {({{q}_{2}}(t),{{{v}}_{2}}(t))} dt,\quad t \in {{T}_{ - }}({{{v}}_{1}}),$
где
${{Q}_{1}} = \left\{ {{{q}_{1}} \in P[0,T]|{{q}_{1}}(t) = \int\limits_t^T {{{w}^{1}}} (\tau ){{{v}}_{1}}(\tau )d\tau } \right\},$
${{Q}_{2}} = \left\{ {{{q}_{2}} \in P[0,T]|{{q}_{2}}(t) = - \int\limits_t^T {{{w}^{2}}} (\tau ){{{v}}_{1}}(\tau )d\tau } \right\},$
и ${{w}^{1}}$, ${{w}^{2}}$ $ \in W$, где $W$ – это множество функций $w \in P[0,T]:[0,T] \to [ - 1,1]$.

Доказательство. Пусть $t \in {{T}_{0}}({{{v}}_{1}}) \cup {{T}_{ + }}({{{v}}_{1}})$, тогда имеем

$\begin{gathered} \int\limits_0^T {{{{v}}_{1}}} (t)\left| {\int\limits_0^t {{{{v}}_{2}}} (\tau )d\tau } \right|dt = \int\limits_0^T {\left| {{{{v}}_{1}}(t)\int\limits_0^t {{{{v}}_{2}}} (\tau )d\tau } \right|} dt = \mathop {max}\limits_{{{w}^{1}} \in W} \int\limits_0^T {{{w}^{1}}} (t){{{v}}_{1}}(t)\int\limits_0^t {{{{v}}_{2}}} (\tau )d\tau dt = \\ = \;\mathop {max}\limits_{{{w}^{1}} \in W} \int\limits_0^T {\int\limits_t^T {{{w}^{1}}} } (\tau ){{{v}}_{1}}(\tau )d\tau {{{v}}_{2}}(t)dt = \mathop {max}\limits_{{{q}_{1}} \in {{Q}_{1}}} \int\limits_0^T {({{q}_{1}}(t),{{{v}}_{2}}(t))} dt. \\ \end{gathered} $

Пусть $t \in {{T}_{ - }}({{{v}}_{1}})$, тогда получим

$\begin{gathered} \int\limits_0^T {{{{v}}_{1}}} (t)\left| {\int\limits_0^t {{{{v}}_{2}}} (\tau )d\tau } \right|dt = - \int\limits_0^T {\left| {{{{v}}_{1}}(t)\int\limits_0^t {{{{v}}_{2}}} (\tau )d\tau } \right|} dt = - \mathop {max}\limits_{{{w}^{2}} \in W} \int\limits_9^T {{{w}^{2}}} (t){{{v}}_{1}}(t)\int\limits_0^t {{{{v}}_{2}}} (\tau )d\tau dt = \\ = \; - {\kern 1pt} \mathop {max}\limits_{{{w}^{2}} \in W} \int\limits_9^T {\int\limits_t^T {{{w}^{2}}} } (\tau ){{{v}}_{1}}(\tau )d\tau {{{v}}_{2}}(t)dt = \mathop {min}\limits_{{{w}^{2}} \in W} \int\limits_0^T {\int\limits_t^T { - {{w}^{2}}} (} \tau ){{{v}}_{1}}(\tau )d\tau {{{v}}_{2}}(t)dt = \mathop {min}\limits_{{{q}_{2}} \in {{Q}_{2}}} \int\limits_0^T {({{q}_{2}}(t),{{{v}}_{2}}(t))} dt. \\ \end{gathered} $

Напомним определение супердифференциала.

Определение 2. Пусть $\Sigma \subset E$ является некоторым непустым подмножеством вещественного нормированного пространства $E$. Функция $\xi :\Sigma \to R$ называется супердифференцируемой на множестве $\Sigma $, если для каждого $\varsigma \in \Sigma $ существует выпуклый компакт (супердифференциал) $\bar {\partial }\xi (\varsigma ) \subset E{\text{*}}$, что для каждого допустимого приращения аргумента $\Delta \varsigma \in E$ (т.е. co$\left\{ {\varsigma ,\varsigma + \Delta \varsigma } \right\} \in \Sigma $) соответствующее приращение функции $\xi $ представимо в виде

$\xi (\varsigma + \Delta \varsigma ) = \xi (\varsigma ) + \mathop {min}\limits_{\sigma \in \bar {\partial }\xi (\varsigma )} (\sigma (\Delta \varsigma )) + o(\Delta \varsigma ,\varsigma ),$
${\text{где}}\quad o(\alpha \Delta \varsigma ,\varsigma ){\text{/}}\alpha \to 0,\quad {\text{если}}\quad \alpha \to 0.$

Отображение $\varsigma \to \bar {\partial }\xi (\varsigma )$ называется супердифференциальным отображением.

Определение квазидифференциала объединяет понятия субдифференциала и супердифференциала.

Определение 3. Пусть $\Sigma \subset E$ является некоторым непустым подмножеством вещественного нормированного пространства $E$. Функция $\xi :\Sigma \to R$ называется квазидифференцируемой на множестве $\Sigma $, если для каждого $\varsigma \in \Sigma $ существуют такие выпуклые компактные множества, субдифференциал $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\partial } \xi (\varsigma ) \subset E{\kern 1pt} {\text{*}}$ и супердифференциал $\bar {\partial }\xi (\varsigma ) \subset E{\kern 1pt} {\text{*}}$, что для каждого допустимого приращения $\Delta \varsigma \in E$ (т.е. co${\text{\{ }}\varsigma ,\varsigma + \Delta \varsigma {\text{\} }} \in \Sigma $) соответствующее приращение функции $\xi $ представимо по формуле

$\xi (\varsigma + \Delta \varsigma ) = \xi (\varsigma ) + \mathop {max}\limits_{{{\sigma }_{1}} \in \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\partial } \xi (\varsigma )} ({{\sigma }_{1}}(\Delta \varsigma )) + \mathop {min}\limits_{{{\sigma }_{2}} \in \bar {\partial }\xi (\varsigma )} ({{\sigma }_{2}}(\Delta \varsigma )) + o(\Delta \varsigma ,\varsigma ),$
${\text{где}}\quad o(\alpha \Delta \varsigma ,\varsigma ){\text{/}}\alpha \to 0,\quad {\text{если}}\quad \alpha \to 0.$

Пара $D\xi (\varsigma ) = \left[ {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\partial } \xi (\varsigma ),\bar {\partial }\xi (\varsigma )} \right]$ называется квазидифференциалом функции $\xi $ в точке $\varsigma $. Отображение $\varsigma \to \left[ {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\partial } \xi (\varsigma ),\bar {\partial }\xi (\varsigma )} \right]$ называется квазидифференциальным отображением.

Используя лемму 1 и лемму 2, нетрудно получить следующий результат.

Лемма 3. Функционал $I(z,u)$ квазидифференцируем [24], и его квазидифференциал в точке $[z,u]$ выражается по формуле

$\begin{gathered} DI(z,u) = [\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\partial } I(z,u),\tilde {\partial }I(z,u)] = \\ = \left[ {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\mathop {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{P} }\nolimits_{ij} } } (t){{e}_{i}}} \right. + \sum\limits_{i \in {{I}_{0}}} {{{\omega }_{i}}} {{e}_{i}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{{\mu }_{j}}} {{e}_{j}},\; - {\kern 1pt} B{\text{'}}(t)(z(t) - f(t)) + 2\nu u(t)} \right],\left. {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{{{\bar {P}}}_{{ij}}}} (t} ){{e}_{i}},{{0}_{m}}} \right]} \right], \\ \end{gathered} $
где
${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{P} }_{{ij}}}(t) = {{z}_{j}}(t) - {{f}_{j}}(t) - \int\limits_t^T {(a_{{ji}}^{1}(\tau ) + a_{{ji}}^{2}(\tau ))} ({{z}_{j}}(\tau ) - {{f}_{j}}(\tau ))d\tau ,\quad t \in {{T}_{ + }}({{x}_{j}}),$
${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{P} }_{{ij}}}(t) = {{z}_{j}}(t) - {{g}_{j}}(t) - \int\limits_t^T {a_{{ji}}^{2}} (\tau )({{z}_{j}}(\tau ) - {{g}_{j}}(\tau ))d\tau + \mathop {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{p} }\nolimits_{ij} (t),$
$t \in {{T}_{0}}({{x}_{j}}) \cap {{T}_{ - }}(a_{{ji}}^{1}({{z}_{j}} - {{g}_{j}})),$
$\mathop {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{P} }\nolimits_{ij} (t) = {{z}_{j}}(t) - {{f}_{j}}(t) + \int\limits_t^T {(a_{{ji}}^{1}(\tau ) - a_{{ji}}^{2}(\tau ))} ({{z}_{j}}(\tau ) - {{f}_{j}}(\tau ))d\tau ,\quad t \in {{T}_{ - }}({{x}_{j}}),$
${{\bar {P}}_{{ij}}}(t) = {{z}_{j}}(t) - {{g}_{j}}(t) - \int\limits_t^T {a_{{ji}}^{2}} (\tau )({{z}_{j}}(\tau ) - {{g}_{j}}(\tau ))d\tau + {{\bar {p}}_{{ij}}}(t),$
$t \in {{T}_{0}}({{x}_{j}}) \cap {{T}_{0}}(a_{{ji}}^{1}({{z}_{j}} - {{g}_{j}})) \cup {{T}_{ + }}(a_{{ji}}^{1}({{z}_{j}} - {{g}_{j}})),$
${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{p} }_{{ij}}}(t) = \int\limits_t^T {w_{{ij}}^{1}} (\tau )a_{{ji}}^{1}(\tau )({{z}_{j}}(\tau ) - {{g}_{j}}(\tau ))d\tau ,$
${{\bar {p}}_{{ij}}}(t) = - \int\limits_t^T {w_{{ij}}^{2}} (\tau )a_{{ji}}^{1}(\tau )({{z}_{j}}(\tau ) - {{g}_{j}}(\tau ))d\tau ,$
здесь $i$, $j$ $ = \overline {1,n} $, $w_{{ij}}^{1}$, $w_{{ij}}^{2} \in W$, а величины ${{\omega }_{i}}$, $i \in {{I}_{0}}$, ${{\mu }_{j}}$, $j = \overline {1,n} $, $\nu $ определены как в лемме 1.

Следствие 2. Если $z \in \Omega $, $u \in U$, тогда функционал $I(z,u)$ квазидифференцируем, и его квазидифференциал в точке $[z,u]$ выражается по формуле

(9)
$\begin{gathered} DI(z,u) = [\underline \partial I(z,u),\overline \partial I(z,u)] = \\ = \left[ {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{P} }}_{{ij}}}} (} t){{e}_{i}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{\omega }_{i}}} {{e}_{i}},\; - {\kern 1pt} B{\text{'}}(t)\left( {z(t) - f(t)} \right) + 2\nu u(t)} \right]} \right.,\left. {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{{{\bar {P}}}_{{ij}}}} } (t){{e}_{i}},{{0}_{m}}} \right]} \right], \\ \end{gathered} $
где величины ${{\omega }_{i}}$, $i = \overline {1,n} $, $\nu $ и функции ${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{P} }_{{ij}}}(t)$, ${{\bar {P}}_{{ij}}}(t)$ определены как в следствии 1.

Выпишем известное условие минимума квазидифференцируемого функционала (5) в точке $[z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *]$ [24]

$ - \bar {\partial }I(z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *) \subset \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\partial } I(z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *).$

Используя этот факт, получаем следующий результат.

Теорема 2. Для того чтобы управление $u{\kern 1pt} * \in U$ переводило систему (1) из начального состояния (2) в конечное положение (3) за время $T$, необходимо, чтобы

(10)
$ - \bar {\partial }I(z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *) \subset \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\partial } I(z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *),$
где выражение для субдифференциала $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\partial } I(z,u)$ и супердифференциала $\bar {\partial }I(z,u)$ выписаны в формуле (9).

Если оказалось $I(z{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *) = 0$, то условие (10) является также достаточным (это условие, очевидно, является и необходимым).

Рассмотрим следующую задачу:

(11)

Это более сложная (и пока не решенная) задача, чем задача (8), поскольку помимо величин ${{\omega }_{i}}$, $i \in {{I}_{0}}$, $\nu $, требуется также определить вектор-функции $w_{{ij}}^{1}(t)$, $w_{{ij}}^{2}(t)$, $i$, $j$ $ = \overline {1,n} $.

Одним из подходов к решению этой задачи является поиск данных функций в виде полиномов заданной степени $r \in N \cup {\text{\{ }}0{\text{\} }}$, т.е.

$w_{{ij}}^{k}(t) = \bar {w}_{{i{{j}_{r}}}}^{k}{{t}^{r}} + \bar {w}_{{i{{j}_{{r - 1}}}}}^{k}{{t}^{{r - 1}}} + \ldots + \bar {w}_{{i{{j}_{0}}}}^{k},\quad k = \overline {1,2} ,\quad i,j = \overline {1,n} ,$
где ${{\bar {w}}_{{i{{j}_{l}}}}} \in R$, $l = \overline {0,r} $. Обозначим через $\omega _{i}^{ * }$, $i \in {{I}_{0}}$, $\nu {\kern 1pt} {\text{*}}$, $w_{{ij}}^{{ * 1}}(t)$, $w_{{ij}}^{{ * 2}}(t)$, $i$, $j$ $ = \overline {1,n} $, решение задачи (11). Положим
$\begin{gathered} \bar {G}(t,z,u): = \bar {h}{\kern 1pt} {\text{*}}(t,z,u) + \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{h} {\kern 1pt} {\text{*}}(t,z,u) = \\ = \;\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{P} _{{ij}}^{*}} } (t){{e}_{i}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{{\mu }_{j}}{{e}_{j}}} + \sum\limits_{i \in {{I}_{0}}} {\omega _{i}^{ * }} {{e}_{i}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\bar {P}_{{ij}}^{*}} } (t){{e}_{i}},\; - {\kern 1pt} B{\text{'}}(t)\left( {z(t) - f(t)} \right) + 2\nu {\kern 1pt} {\text{*}}u(t)g} \right], \\ \end{gathered} $
где функции $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{P} _{{ij}}^{*}(t)$, $\bar {P}_{{ij}}^{*}(t)$ вычислены на функциях $w_{{ij}}^{{ * k}}(t)$, $k = \overline {1,2} $, $i$, $j$ $ = \overline {1,n} $. Если $\left\| {\bar {G}(z,u)} \right\| > 0$, тогда вектор-функция $ - \tfrac{{\bar {G}(t,z,u)}}{{\left\| {\bar {G}(z,u)} \right\|}}$ является направлением квазидифференциального спуска функционала $I$ в точке $[z,u]$.

Используя полученное направление, можно построить метод квазидифференциального спуска [24], который аналогичен описанному методу субдифференциального спуска.

Замечание 2. Для того, чтобы строить аналогичные рассмотренным методы, сходимость которых можно гарантировать, от субдифференциального и квазидифференциального следует перейти к гиподифференциальному и кодифференциальному отображениям соответственно, которые уже являются непрерывными в метрике Хаусдорфа [24].

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной статье задача построения программного управления и соответствующего ему программного движения в системе, содержащей негладкую функцию фазовых координат, сводится к вариационной задаче минимизации некоторого функционала на всем пространстве. Для этого функционала выписан субдифференциал, найдены необходимые и достаточные условия минимума. На основании этих условий описывается метод субдифференциального спуска для решения задачи. Приведены примеры применения теоретических результатов.

Список литературы

  1. Ruiz Del Portal X. Non-smooth monotonicity constraints in optimal control problems: Some economic applications // Optim. Control Appl. and Meth. 2011. V. 32. № 4. P. 396–413.

  2. Blanchard E.A., Loxton R., Rehbock V. A computational algorithm for a class of non-smooth optimal control problems arising in aquaculture operations // Appl. Math. and Comput. 2013. V. 219. P. 8738–8746.

  3. Potini A., Tornambe A., Menini L., Abdallah C.T., Dorato P. Finite-time control of linear mechanical systems subject to non-smooth impacts // 14-th Mediterranean Conf. on Control and Automat. (MED’06). № 1700707. Ancona, Italy, 2006.

  4. Han S.-I., Lee J.-M. Backstepping sliding mode control with FWNN for strict output feedback non-smooth nonlinear dynamic system // Int. J. Control, Autom. and Syst. 2013. V. 11. № 2. P. 398–409.

  5. Ansari A.R., Murphey T.D. Sequential Action Control: Closed-Form Optimal Control for Nonlinear and Nonsmooth Systems // IEEE Trans. on Robot. 2016. V. 32. № 5. P. 1196–1214.

  6. Jiffri S., Mottershead J.E. Nonlinear control of an aeroelastic system with a non-smooth structural nonlinearity // Mech. and Machine Sci. 10th International Conference on Vibration Engineering and Technology of Machinery (VETOMAC 2014). V. 23. P. 317–328. Manchester, UK, 2014.

  7. Haider Md., Biswas A., do Rosario de Pinho M. A nonsmooth maximum principle for optimal control problems with state and mixed constraints – convex case // Discrete and Cont. Dynam. Syst. 2011. V. 2011. P. 174–183.

  8. Vinter R.B., Pappas G. A maximum principle for nonsmooth optimalcontrol problems with state constraints // J. of Math. Analysis and Appl. 1982. V. 89. № 1. P. 212–232.

  9. Li A., Ye J.J. Necessary optimality conditions for optimal control Problems with Nonsmooth Mixed State and Control Constraints // Set-Val. and Variat. Analysis. 2016. V. 24. № 3. P. 449–470.

  10. De Oliveira V.A., Silva G.N. New optimality conditions for nonsmooth control problems // J. Glob. Optim. 2013. V. 57. № 4. P. 1465–1484.

  11. Антипин А.С., Хорошилова Е.В. Оптимальное управление со связанными начальными и терминальными условиями // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 2. С. 13–28.

  12. Shablinskaya I.R. Necessary conditions for optimality in nonsmooth problems of control theory // Soviet J. Computer and Systems Sci. 1985. V. 23. № 5. P. 153–159.

  13. Noori Skandari M.H., Kamyad A.V., Effati S. Smoothing approach for a class of nonsmooth optimal control problems // Appl. Math. Model. 2016. V. 40. № 2. P. 886–903.

  14. Wu C.Z., Teo K.L., Zhao Y. Numerical method for a class of optimal control problems subject to nonsmooth functional constraints // J. Comput. and Appl. Math. 2008. V. 217. № 2. P. 311–325.

  15. Fominyh A.V., Karelin V.V., Polyakova L.N. Application of the hypodifferential descent method to the problem of constructing an optimal control // Optim. Lett. 2018. V. 12. № 8. P. 1825–1839.

  16. Gorelik V.A., Tarakanov A.F. Penalty method for nonsmooth minimax control problems with interdependent variables // Cybernetics. 2989. V. 25. № 4. P. 483–488.

  17. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

  18. Rockafellar R. Convex analysis. Princeton: Princeton University Press, 1970.

  19. Карелин В.В. Точные штрафы в задаче наблюдения // Вестн. СПбГУ. Сер. 10. 2008. № 4. С. 3–7.

  20. Тамасян Г.Ш. Градиентные методы решения задачи Коши // Вестн. СПбГУ. Сер. 10. 2009. № 4. С. 224–230.

  21. Васильев Л.В., Демьянов В.Ф. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

  22. Wolfe P. The simplex method for quadratic programming // Econom. 1959. V. 27. P. 382–398.

  23. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высш. школа, 2005.

  24. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал