Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 10, стр. 1731-1751

2.1. Вид асимптотики

Формальную асимптотику погранслойного типа в задаче (1), (2) построим в виде

где $\bar {u}$, $\bar {v}$ – регулярные части асимптотики; $\Pi u$, $\Pi v$ и $Pu$, $Pv$ – погранслойные части, служащие для описания погранслойного поведения решения в окрестности граничной точки $x = 0$; $\xi = x{\text{/}}\varepsilon $ и $\zeta = x{\text{/}}{{\varepsilon }^{2}}$ – погранслойные переменные; $Qu$, $Qv$ – погранслойные части асимптотики, описывающие поведение решения в окрестности точки $x = 1$; $\tilde {\xi } = (x - 1){\text{/}}\varepsilon $ – погранслойная переменная. Каждое слагаемое в правых частях (7) и (8) будет построено в виде ряда по целым степеням $\sqrt \varepsilon $. Отметим, что в случае, рассмотренном в [1], когда второе уравнение (3) имеет простой (однократный) корень относительно $v$, асимптотика решения задачи (1), (2) была построена также в виде (7), (8), но каждое слагаемое было рядом по целым степеням $\varepsilon $.

2.2. Регулярные части асимптотики

Построим их в виде

Стандартным способом, т.е. подставив ряды (9) в систему (1) вместо $u$ и $v$, разложив правые части уравнений в ряды по степеням $\sqrt \varepsilon $ и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\sqrt \varepsilon $ в левой и правой частях каждого равенства, получим последовательно для $i = 0,1,2, \ldots $ системы уравнений относительно ${{\bar {u}}_{i}}(x)$, ${{\bar {v}}_{i}}(x)$.

Для ${{\bar {u}}_{0}}$, ${{\bar {v}}_{0}}$ имеем вырожденную систему

откуда, используя условие А2, получаем

Для ${{\bar {u}}_{1}}$, ${{\bar {v}}_{1}}$ получается система уравнений

где Чтобы система (11) имела решение, необходимо, чтобы функция $\mathop {\overline f }\nolimits_1 (x)$ была неотрицательной. Введем более жесткое условие.

A3. Пусть ${{\bar {f}}_{1}}(x) > 0$, $x \in [0;1]$.

Случай, когда ${{\bar {f}}_{1}}(x)$ обращается в нуль в каких-то точках, требует отдельного рассмотрения.

При условии А3 из второго уравнения (11) следует, что ${{\bar {v}}_{1}} - {{\bar {\varphi }}_{u}}(x){{\bar {u}}_{1}}$ равно либо $a(x)$, либо $ - a(x)$, где

Оказывается, что для построения и обоснования асимптотики погранслойного решения нужно взять $a(x)$ со знаком плюс:

Решая теперь линейную систему уравнений, состоящую из первого уравнения в (11) и уравнения (15), и, учитывая, что (см. (5) и (6)), получаем Коэффициенты ${{\bar {u}}_{i}}(x)$, ${{\bar {v}}_{i}}(x)$ рядов (9) при $i \geqslant 2$ однозначно определяются из линейной системы уравнений где ${{\bar {F}}_{i}}(x)$ и ${{\bar {f}}_{i}}(x)$ выражаются рекуррентно через ${{\bar {u}}_{j}}(x)$, ${{\bar {v}}_{j}}(x)$ с номерами $j < i$.

Итак, ряды (9) построены.

2.3. Погранслойные части асимптотики $\Pi u$, $\Pi v$ и $Pu$, $Pv$

Построим их в виде

Стандартным способом (см. [2]) для $\Pi u$, $\Pi v$ получаем систему уравнений где

Из этой системы также стандартным способом будем извлекать далее уравнения для функций ${{\Pi }_{i}}u$, ${{\Pi }_{i}}v$, $i = 0,1,2, \ldots $

В отличие от рядов $\Pi u$ и $\Pi v$ ряды $Pu$ и $Pv$ будут построены не стандартным способом, а с помощью алгоритма, разработанного для сингулярно возмущенных задач с кратным корнем вырожденного уравнения [3]–[5], в которых стандартный алгоритм не применим. С этой целью введем еще одну погранслойную переменную $\eta = x{\text{/}}{{\varepsilon }^{{3/2}}}$ и, используя равенства $x = {{\varepsilon }^{{3/2}}}\eta $, $\xi = \sqrt \varepsilon \eta $, запишем систему уравнений для $Pu$, $Pv$ в виде

где

Из системы (19) будем извлекать уравнения для ${{P}_{i}}u$, ${{P}_{i}}v$, $i = 0,1,2,\; \ldots ,$ описанным ниже нестандартным способом.

Из (18) для ${{\Pi }_{0}}u$, ${{\Pi }_{0}}v$ получается система уравнений

Из второго уравнения с учетом (10) следует равенство в силу которого первое уравнение, используя вид (5) функции $g(u,x)$, можно записать в виде

К этому уравнению нужно добавить граничные условия. Чтобы получить граничное условие при $\xi = 0$, подставим выражение (7) для $u(x,\varepsilon )$ в первое краевое условие из (2), используя представления $\bar {u}$, $\Pi u$ и $Pu$ в виде рядов и учитывая тот факт, что все члены ряда $Qu$ будут равны нулю при $x = 0$ (см. замечание в конце п. 2.4). Получим равенство

Отсюда имеем ${{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(0) = {{u}^{0}}$, и, следовательно, граничное условие для ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$ при $\xi = 0$ имеет вид В качестве второго граничного условия для ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$ и также остальных функций ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$, $i = 1,2,\; \ldots $, возьмем стандартное для пограничных функций условие на бесконечности Итак, функция ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$ определяется как решение задачи (21), (23), (24). Чтобы эта задача имела решение, потребуем выполнения следующего условия.

A4. Пусть $\tfrac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,0) > 0$ при $u \in [{{\bar {u}}_{0}}(0),{{u}^{0}}]$.

Заметим, что если ${{u}^{0}}$ достаточно близко к ${{\bar {u}}_{0}}(0)$, то условие А4 выполнено в силу условия А2 (см. неравенство (6)).

При условии А4 задача для ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$ сводится стандартным способом к уравнению первого порядка

с начальным условием (23), причем в правой части (25) берется знак плюс, если ${{u}^{0}} < {{\bar {u}}_{0}}(0)$, и знак минус, если ${{u}^{0}} > {{\bar {u}}_{0}}(0)$. Если же ${{u}^{0}} = {{\bar {u}}_{0}}(0)$, то ${{\Pi }_{0}}u(\xi ) = 0$ при $\xi \geqslant 0$, это более простой случай. Будем считать, что ${{u}^{0}} \ne {{\bar {u}}_{0}}(0)$.

Уравнение (25) интегрируется в квадратурах, его решение с начальным условием (23) является строго монотонной функцией при $\xi \geqslant 0$ и имеет экспоненциальную оценку

буквами $c$ и $\kappa $ (иногда через ${{c}_{1}},{{\kappa }_{1}}, \ldots $) здесь и далее обозначаются подходящие положительные числа, не зависящие от $\varepsilon $ и, вообще говоря, различные в разных оценках. Оценки вида (26) имеют также производная $\tfrac{{d{{\Pi }_{0}}u}}{{d\xi }}(\xi )$ и функция ${{\Pi }_{0}}v(\xi )$, которая определяется теперь по формуле (20).

Для ${{\Pi }_{1}}u(\xi )$, ${{\Pi }_{1}}v(\xi )$ из (18) получается система уравнений

где ${{F}_{v}}(\xi )$ имеет аналогичное выражение, Используя равенство (20), запишем $b(\xi )$ в виде Из (25) следует, что где Поэтому выражение для $b(\xi )$ можно записать в виде: Вид второго уравнения в (27) говорит о том, что для разрешимости системы (27) необходимо выполнение неравенства Учитывая вид (31) функции $b(\xi )$, и тот факт, что $({{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi )) \in ({{\bar {u}}_{0}}(0),{{u}^{0}}]$ при $\xi \geqslant 0$, введем требование, обеспечивающее выполнение неравенства (32).

A5. Пусть ${{f}_{1}}(u,\varphi (u,0),0,0) - \tfrac{{\partial \varphi }}{{\partial u}}(u,0)G(u) > 0$ при $u \in [{{\bar {u}}_{0}}(0),{{u}^{0}}]$.

При условии А5 из второго уравнения в (27) получаем

где берем положительный корень из $b(\xi )$, что будет важно при определении функций ${{P}_{i}}u(\zeta )$, ${{P}_{i}}v(\zeta )$.

Из (33) следует

где ${{h}_{1}}(\xi ) = k(\xi ) - \left( {{{{\bar {v}}}_{1}}(0) - {{\varphi }_{u}}(\xi ){{{\bar {u}}}_{1}}(0)} \right)$ – известная функция, выражающаяся через уже найденные ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$, ${{\Pi }_{0}}v(\xi )$.

Из формулы (30) для $b(\xi )$, учитывая экспоненциальные оценки функций ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$, $\tfrac{{d{{\Pi }_{0}}u}}{{d\xi }}(\xi )$, ${{\Pi }_{0}}v(\xi )$ и выражение (14) для $a(x)$, получаем

а так как ${{\bar {v}}_{1}}(0) - {{\varphi }_{u}}(\infty ){{\bar {u}}_{1}}(0) = {{\bar {v}}_{1}}(0) - {{\bar {\varphi }}_{u}}(0){{\bar {u}}_{1}}(0) = a(0)$ (см. (15)), то ${{h}_{1}}(\infty ) = 0$, и, более того, для ${{h}_{1}}(\xi )$ справедлива экспоненциальная оценка Подставляя выражение (35) для ${{\Pi }_{1}}v$ в первое уравнение системы (27), приходим к уравнению для ${{\Pi }_{1}}u(\xi )$где ${{\pi }_{1}}(\xi ) = {{F}_{v}}(\xi ){{h}_{1}}(\xi )$, ${{\pi }_{1}}(\xi )$ имеет оценку вида (37).

Граничные условия для ${{\Pi }_{1}}u(\xi )$ получаются из (22) и (24):

Решение задачи (38), (40) запишем в виде

где $\Phi (\xi ) = \tfrac{{d{{\Pi }_{0}}u}}{{d\xi }}(\xi )$. Из этой формулы непосредственно следует экспоненциальная оценка и такую же оценку имеют производная $\tfrac{{d{{\Pi }_{1}}u}}{{d\xi }}(\xi )$ и функция ${{\Pi }_{1}}v(\xi )$, которая находится теперь по формуле (35).

При $i \geqslant 2$ для ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$, ${{\Pi }_{i}}v(\xi )$ из (18) стандартным способом получается система уравнений

где ${{\chi }_{i}}(\xi )$ и ${{h}_{i}}(\xi )$ выражаются рекуррентно через ${{\Pi }_{j}}u(\xi )$, ${{\Pi }_{j}}v(\xi )$ с номерами $j < i$ и имеют экспоненциальные оценки вида (37), если такие же оценки имеют ${{\Pi }_{j}}u(\xi )$, $\tfrac{{d{{\Pi }_{j}}u}}{{d\xi }}(\xi )$, ${{\Pi }_{j}}v(\xi )$ при $j < i$.

Выразив ${{\Pi }_{i}}v$ из уравнения (44) через ${{\Pi }_{i}}u$ и подставив это выражение в уравнение (43), получим для ${{\Pi }_{i}}u$ уравнение вида (38):

Граничные условия для ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$ следуют из (22) и (24): Очевидно, что задача (45), (46) решается в точности так же, как была решена задача (38), (40), но предварительно нужно найти ${{P}_{{i - 2}}}u(0)$, входящее в граничное условие (46).

Обратимся поэтому к построению рядов $Pu$, $Pv$, для которых имеем систему уравнений (19). Разложив правые части уравнений в ряды по степеням $\sqrt \varepsilon $, будем извлекать из системы (19) уравнения для ${{P}_{i}}u$, ${{P}_{i}}v$, как уже говорилось, нестандартным способом.

Уравнения для ${{P}_{0}}u$, ${{P}_{0}}v$ возьмем в виде (для упрощения записи используем равенства ${{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(0) = {{u}^{0}}$, ${{\bar {v}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v(0) = \varphi ({{u}^{0}},0)$):

где $k: = k(0)$ определено в (34), $k > 0$.

Зададим для ${{P}_{0}}u(\zeta )$ граничное условие на бесконечности

а для ${{P}_{0}}v(\zeta )$ зададим начальное условие при $\zeta = 0$. Чтобы его получить, подставим выражение (8) для $v(x,\varepsilon )$ во второе условие из (2), учитывая, что все члены ряда $Qv$ будут равны нулю при $x = 0$ (см. замечание в конце п. 2.4). Получим равенство откуда следует равенство ${{\bar {v}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v(0) + {{P}_{0}}v(0) = {{v}^{0}}$, и, значит, где Таким образом, функция ${{P}_{0}}v(\zeta )$ определяется как решение уравнения (48) с начальным условием (51). Чтобы ${{P}_{0}}v(\zeta )$ была функцией пограничного слоя, т.е. удовлетворяла условию ${{P}_{0}}v(\infty ) = 0$, необходимо потребовать, чтобы ее начальное значение ${{P}^{0}}$ было неотрицательным. Это непосредственно следует из вида правой части в (48). Если ${{P}^{0}} = 0$, то ${{P}_{0}}v(\zeta ) = 0$ при $\zeta \geqslant 0$, и этот частный случай требует отдельного рассмотрения (см. ниже замечание 2 в разд. 4). Потребуем, чтобы ${{P}^{0}}$ было положительным.

A6. Пусть ${{P}^{0}}: = {{v}^{0}} - \varphi ({{u}^{0}},0) > 0$.

Решение задачи (48), (51) находится в явном виде:

Заметим, что ${{P}_{0}}v$ зависит не только от $\zeta $, но и от $\varepsilon $, и то же самое будет иметь место для других пограничных функций, но для упрощения записи будем писать ${{P}_{i}}u(\zeta )$, ${{P}_{i}}v(\zeta )$ вместо ${{P}_{i}}u(\zeta ,\varepsilon )$, ${{P}_{i}}v(\zeta ,\varepsilon )$.

Несложный анализ выражения (52) показывает, что ${{P}_{0}}v(\zeta )$ – монотонно убывающая положительная функция при $\zeta \geqslant 0$, причем ее убывание носит различный характер на трех промежутках (в трех зонах) полупрямой $\zeta \geqslant 0$.

Первая зона – отрезок $0 \leqslant \zeta \leqslant {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}$, где в качестве $\gamma $ можно взять любое число из интервала (0; 1/2), сколь угодно близкое к 1/2. В этой зоне ${{P}_{0}}v(\zeta )$ убывает с ростом $\zeta $ степенным образом:

Вторая (переходная) зона – отрезок ${{\varepsilon }^{{ - \gamma }}} \leqslant \zeta \leqslant {{\varepsilon }^{{ - 1/2}}}$. Здесь происходит постепенное изменение масштаба погранслойной переменной и характера убывания функции ${{P}_{0}}v$ от степенного убывания по отношению к $\zeta $ до экспоненциального по отношению к новой погранслойной переменной $\eta = x{\text{/}}{{\varepsilon }^{{3/2}}}$.

Третья зона – полупрямая $\zeta \geqslant {{\varepsilon }^{{ - 1/2}}}$. Здесь функция ${{P}_{0}}v$ убывает экспоненциально по отношению к погранслойной переменной $\eta $:

Введем функцию где $\kappa $ – число интервала $(0,2k)$, $k = k(0)$, определено в (34). Эта функция будет эталонной (оценочной) функцией для всех функций ${{P}_{i}}u(\zeta )$, ${{P}_{i}}v(\zeta )$, $i = 0,1,2,\; \ldots $, т.е. каждая из этих функций будет иметь оценку вида с различными, вообще говоря, числами $c$ и $\kappa $ для различных $i$. Для ${{P}_{0}}v(\zeta )$ эта оценка очевидно следует из (52) для любого $\kappa \in (0,2k)$.

Отметим, что если формировать уравнение для ${{P}_{0}}v(\zeta )$ стандартным способом, то в правой части уравнения (48) не будет слагаемого $ - 2\sqrt \varepsilon k{{P}_{0}}v$, и тогда на всей полупрямой $\zeta \geqslant 0$ функция ${{P}_{0}}v(\zeta )$ будет иметь оценку ${{P}_{0}}{v}(\zeta ) = O(1{\text{/}}(1 + \zeta ))$, что не соответствует истинному поведению решения задачи (1), (2) в пограничном слое. Отмеченное трехзонное поведение функции ${{P}_{0}}v(\zeta )$ и такое же поведение остальных $P$ – функций свидетельствует о том, что пограничный слой в окрестности точки $x = 0$ является многозонным.

Так как функция ${{P}_{0}}v(\zeta )$ найдена, то правая часть в уравнении (47) теперь известная функция (обозначим ее $\varepsilon {{\chi }_{0}}(\zeta )$), имеющая оценку

Решение задачи (47), (49) имеет вид

откуда в силу (55) следует оценка вида (54) для ${{P}_{0}}u(\zeta )$. Отметим, что нестандартность формирования уравнения (47) для ${{P}_{0}}u(\zeta )$, состоящая в том, что правая часть в (47) содержит сомножитель $\varepsilon $, нацелена именно на то, чтобы получить для ${{P}_{0}}u(\zeta )$ оценку вида (54).

Так как функция ${{P}_{0}}u(\zeta )$ найдена, то известно число ${{P}_{0}}u(0)$, входящее в граничное условие для функции ${{\Pi }_{2}}u(\xi )$ (см. (46) при $i = 2$). Функция ${{\Pi }_{2}}u(\xi )$ определяется теперь аналогично тому, как была определена функция ${{\Pi }_{1}}u(\xi )$ (см. (41)). И далее для любого $i > 2$ на $i$-м шаге построения рядов (16) и (17) функция ${{P}_{{i - 2}}}u(\xi )$ будет уже известной, и тем самым будет известно число ${{P}_{{i - 2}}}u(0)$, входящее в граничное условие для функции ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$ (см. (46)), что дает возможность найти эту функцию как решение задачи (45), (46), а затем по формуле (44) найти ${{\Pi }_{i}}v(\xi )$. Отметим, что для каждого $i = 0,1,2, \ldots $ функции ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$, $\tfrac{{d{{\Pi }_{i}}u}}{{d\xi }}(\xi )$ и ${{\Pi }_{i}}v(\xi )$ имеют экспоненциальные оценки вида (42).

Таким образом, на любом $i$-м шаге сначала определяется функция ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$, а затем ${{\Pi }_{i}}v(\xi )$, что делает известным число ${{\Pi }_{i}}v(0)$. Оно понадобится, как мы увидим далее, при определении функции ${{P}_{i}}v(\zeta )$, которая, в свою очередь, войдет в правую часть уравнения для ${{P}_{i}}u(\zeta )$.

Уравнения для ${{P}_{i}}u(\zeta )$, ${{P}_{i}}v(\zeta )$ при $i \geqslant 1$ извлекаются из системы (19) также нестандартным способом и имеют вид

где ${{\hat {F}}_{v}}(\zeta ) = \tfrac{{\partial F}}{{\partial v}}({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + {{P}_{0}}v(\zeta ),0,0)$, а ${{\chi }_{i}}(\zeta ,\varepsilon )$ и ${{p}_{i}}(\zeta ,\varepsilon )$ выражаются рекуррентно через ${{P}_{j}}u(\zeta )$, ${{P}_{j}}v(\zeta )$ с номерами $j < i$ и формируются так, чтобы они имели оценки При этом в процессе формирования этих функций используется переменная $\eta $ (см. (19)), а в уравнениях (56) и (57) она заменяется на $\sqrt \varepsilon \zeta $.

Граничное условие для ${{P}_{i}}u(\zeta )$ такое же, как (49):

а для ${{P}_{i}}v(\zeta )$ из (50) получаем Решение задачи (57), (59) имеет вид где и так как функция ${{P}_{i}}v(\zeta )$ найдена, то правая часть в (56) становится известной функцией. Решение задачи (56), (58) выражается формулой Из (60) и (61) следуют оценки вида (54) для ${{P}_{i}}v(\zeta )$ и ${{P}_{i}}u(\zeta )$.

Итак, ряды $Pu$ и $Pv$ построены и их коэффициенты ${{P}_{i}}u$ и ${{P}_{i}}v$ имеют оценки вида (54).

2.4. Погранслойные части асимптотики $Qu$, $Qv$

Ряды

строятся аналогично рядам $\Pi u$, $\Pi v$.

Для ${{Q}_{0}}u(\tilde {\xi })$ получается уравнение, аналогичное (21),

с граничными условиями Введем требование, аналогичное А4.

A7. Пусть $\tfrac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,1) > 0$ при $u \in [{{\bar {u}}_{0}}(1),{{u}^{1}}]$.

Отметим, что если ${{u}^{1}}$ достаточно близко к ${{\bar {u}}_{0}}(1)$, то условие А4 выполнено в силу условия А2 (см. неравенство (6)).

При условии А7 задача для ${{Q}_{0}}u(\tilde {\xi })$ сводится к уравнению первого порядка, аналогичному (25):

с начальным условием причем в правой части (62) берется знак плюс, если ${{u}^{1}} > {{\bar {u}}_{0}}(1)$, и знак минус, если ${{u}^{1}} < {{\bar {u}}_{0}}(1)$. Если же ${{u}^{1}} = {{\bar {u}}_{0}}(1)$, то ${{Q}_{0}}u(\tilde {\xi }) = 0$ при $\tilde {\xi } \leqslant 0$. Будем считать, что ${{u}^{1}} \ne {{\bar {u}}_{0}}(1)$.

Уравнение (62) интегрируется в квадратурах, его решение с начальным условием (63) является строго монотонной функцией при $\tilde {\xi } \leqslant 0$ и имеет экспоненциальную оценку

Такие же оценки имеют производная $\tfrac{{d{{Q}_{0}}u}}{{q\tilde {\xi }}}(\tilde {\xi })$ и функция ${{Q}_{o}}v(\tilde {\xi })$, которая определяется по формуле, аналогичной (20): При $i \geqslant 1$ функции ${{Q}_{i}}u(\tilde {\xi })$, ${{Q}_{i}}v(\tilde {\xi })$ определяются аналогично функциям ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$, ${{\Pi }_{i}}v(\xi )$. При этом вводится требование, аналогичное А5.

A8. Пусть

где Для каждого $i$ функции ${{Q}_{i}}u(\tilde {\xi })$, $\tfrac{{d{{Q}_{i}}u}}{{d\tilde {\xi }}}(\tilde {\xi })$ и ${{Q}_{i}}v(\tilde {\xi })$ имеют оценки вида (64).

Итак, все ряды, входящие в правые части равенств (7) и (8), построены.

Замечание. При построении рядов $\Pi u$, $\Pi v$ и $Pu$, $Pv$ говорилось о том, что все члены рядов $Qu$ и $Qv$ будут равны нулю в точке $x = 0$. Это является результатом стандартной процедуры умножения пограничных функций на бесконечно дифференцируемые срезающие функции. При этом функции ${{Q}_{i}}u$, ${{Q}_{i}}v$ не изменяются при $1 - \delta \leqslant x \leqslant 1$ и становятся равными нулю при $0 \leqslant x \leqslant 1 - 2\delta $, где в качестве $\delta $ возьмем какое-нибудь не зависящее от $\varepsilon $ число из интервала $0 < \delta < 1{\text{/}}4$. Указанная процедура не влияет на построенные разложения, так как в силу оценок вида (64) при $0 \leqslant x \leqslant 1 - \delta $ (т.е. при $\xi \leqslant - \delta {\text{/}}\varepsilon $) для любого $N$ имеем равенства

Аналогичное умножение на срезающие функции произведем для ${{\Pi }_{i}}u$, ${{\Pi }_{i}}v$, ${{P}_{i}}u$, ${{P}_{i}}v$.

В результате этой процедуры ${{\Pi }_{i}}u = {{\Pi }_{i}}v = {{P}_{i}}u = {{P}_{i}}v = 0$ при $x \in [1{\text{/}}2,1]$, ${{Q}_{i}}u = {{Q}_{i}}v = 0$ при $x \in [0;1{\text{/}}2]$.

3.1. Дополнительные условия и формулировка теоремы

Для обоснования построенной асимптотики понадобятся еще два условия, связанные с производными $\partial F{\text{/}}\partial v$ и $\partial \varphi {\text{/}}\partial u$.

A9. Пусть

А10. Пусть

Назначение этих условий будет объяснено ниже.

Обозначим через ${{U}_{n}}(x,\varepsilon )$ и ${{V}_{n}}(x,\varepsilon )$, $n = 0,1,2,\; \ldots $, частичные суммы построенных рядов (7) и (8):

Из самого способа построения этих сумм следует, что они удовлетворяют соотношениям два последних равенства в (68) получены с учетом замечания.

Теорема. Если выполнены условия А1–А10, то для любого $n$ при достаточно малых $\varepsilon $ задача (1), (2) имеет решение $u(x,\varepsilon )$, $v(x,\varepsilon )$, для которого справедливы асимптотические равенства

3.2. О методе доказательства теоремы

Доказательство проведем с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, суть которого состоит в том, что для построения нижнего и верхнего решений задачи используется построенная (пока формальная) асимптотика; такой подход был предложен в [6]. В связи с этим напомним понятия нижнего и верхнего решений применительно к задаче (1), (2).

Определение 1. Две пары функций $\underline U (x,\varepsilon )$, $\underline V (x,\varepsilon )$ и $\overline U (x,\varepsilon )$, $\overline V (x,\varepsilon )$, непрерывных на отрезке $0 \leqslant x \leqslant 1$ и таких, что $\underline U $ и $\overline U $ непрерывно дифференцируемы по $x$ дважды, а $\underline V $ и $\overline V $ – один раз на интервале $0 < x < 1$, называются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (1), (2), если они удовлетворяют следующим условиям:

1⁰. $\underline U (x,\varepsilon ) \leqslant \overline U (x,\varepsilon ),$ $\underline V (x,\varepsilon ) \leqslant \overline V (x,\varepsilon ),$ $x \in [0;1]$ (условие упорядоченности).

2⁰. ${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,v): = {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{{{d}^{2}}\underline U }}{{d{{x}^{2}}}} - w(x)\frac{{d\underline U }}{{dx}}} \right) - F(\underline U ,v,x,\varepsilon ) \geqslant 0 \geqslant {{L}_{\varepsilon }}(\overline U ,v)$

при $\underline V (x,\varepsilon ) \leqslant v \leqslant \overline V (x,\varepsilon )$, $0 < x < 1$;

при $\underline U (x,\varepsilon ) \leqslant u \leqslant \overline U (x,\varepsilon )$, $0 < x < 1$.

3⁰. $\underline U (0,\varepsilon ) \leqslant {{u}^{0}} \leqslant \overline U (0,\varepsilon ),$ $\overline V (0,\varepsilon ) \leqslant {{v}^{0}} \leqslant \overline V (0,\varepsilon ),$ $\underline U (1,\varepsilon ) \leqslant {{u}^{1}} \leqslant \overline U (1,\varepsilon ).$

Если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения задачи (1), (2), то эта задача имеет решение $u(x,\varepsilon )$, $v(x,\varepsilon )$, удовлетворяющее неравенствам

Нетрудно усмотреть, что если функция $F(u,v,x,\varepsilon )$ является невозрастающей функцией аргумента $v$, а функция $f(u,v,x,\varepsilon )$ – неубывающей функцией аргумента $u$ в области

(в таком случае говорят, что функции $F$ и $f$ удовлетворяют условию квазимонотонности в области ${{G}_{0}}$), то для выполнения условия ${{2}^{0}}$ из определения 1 достаточно, чтобы были выполнены неравенства Ниже будет показано, что для достаточно малых $\varepsilon $ условие А9 обеспечивает квазимонотонность функции $F$, а А10 совместно с другими условиями – квазимонотонность функции $f$.

3.3. Оценка производных функций $F$, $f$ и $\varphi $

Для доказательства теоремы нам понадобятся некоторые представления и оценки производных функций $F$, $f$ и $\varphi $. Введем обозначение

и такой же смысл придадим обозначениям ${{F}_{{v}}}(x,\varepsilon )$, ${{f}_{u}}(x,\varepsilon )$, ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$. Выбор $n$ будем уточнять по ходу изложения. Используя выражения (65) и (66) для ${{U}_{n}}$ и ${{V}_{n}}$ и оценку вида (54) для ${{P}_{0}}v(\zeta )$, представим ${{F}_{u}}(x,\varepsilon )$ в виде (для любого $n = 0,1,2,\; \ldots $)

Рассмотрим это выражение раздельно на отрезках $0 \leqslant x \leqslant 1{\text{/}}2$ и $1{\text{/}}2 \leqslant x \leqslant 1$.

На отрезке $[0;1{\text{/}}2]$ ${{Q}_{i}}u(\tilde {\xi }) = 0$, ${{Q}_{i}}v(\tilde {\xi }) = 0$ (см. замечание), поэтому

а так как то где В свою очередь для ${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi )$ нетрудно получить представление где ${{F}_{u}}(\xi )$ и ${{\bar {F}}_{u}}(x)$ определены в (28) и (12).

Таким образом,

Для производной имеют место представления, аналогичные (73) и (75): где

Нетрудно усмотреть, что в силу условия А9 производная ${{F}_{v}}(x,\varepsilon )$ для достаточно малых $\varepsilon $ удовлетворяет неравенству

где число $c > 0$ не зависит от $\varepsilon $, а в силу второго и третьего неравенств из условия А9 справедливо неравенство Буквой $c$ здесь и далее обозначаются подходящие положительные числа, не зависящие от $\varepsilon $ и, вообще говоря, разные в разных оценках.

Для производной

имеют место представления где ${{\varphi }_{u}}(\xi )$ и ${{\bar {\varphi }}_{u}}(x)$ определены в (29) и (13).

Из условия А10 следует, что для достаточно малых $\varepsilon $ выполняется неравенство

и, значит, в силу (79)

Аналогично из условий (6) и А4 для достаточно малых $\varepsilon $ следует неравенство

а так как то в силу (78), (80) и (82) из (83) получаем оценку для ${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi )$:

На отрезке $[1{\text{/}}2;1]$ ${{\Pi }_{i}}u(\xi ) = 0$, ${{\Pi }_{i}}v(\xi ) = 0$, ${{P}_{i}}u(\zeta ) = 0$, ${{P}_{i}}v(\zeta ) = 0$, поэтому аналогично (73)–(76) и (79) получаются представления

где ${{\tilde {F}}_{v}}(x,\tilde {\xi })$ и ${{\tilde {F}}_{v}}(\tilde {\xi })$ имеют аналогичные выражения,

Используя третье и четвертое неравенства из условия А9, получаем для достаточно малых $\varepsilon $ оценку для ${{\tilde {F}}_{v}}(x,\tilde {\xi })$:

а из условия А10 – оценку для ${{\tilde {\varphi }}_{u}}(x,\tilde {\xi })$: С помощью этих оценок, а также оценки (она следует из условий (6) и А7), получается оценка для ${{\tilde {F}}_{u}}(x,\tilde {\xi })$, аналогичная (84): Перейдем к представлениям и оценкам для производных ${{f}_{u}}(x,\varepsilon )$ и ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$. Для ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$ получаем (см. (4)): Пусть $x \in [0;1{\text{/}}2]$ и $n \geqslant 1$. Тогда

Несложные преобразования выражения в квадратных скобках с использованием формул (15) и (33) приводят к равенству

Так как ${{P}_{0}}v(\zeta ) > 0$, $k(\xi ) \geqslant c > 0$ (см. (34)), $a(x) \geqslant c > 0$ (это следует из (14)) и $k(\infty ) = a(0)$ (см. (36)), то для достаточно малых $\varepsilon $ из (93) следует оценка

где число ${{c}_{0}} > 0$ не зависит от $\varepsilon $.

Для ${{f}_{u}}(x,\varepsilon )$ из (4) получаем

где

Сопоставляя выражение для ${{f}_{u}}(x,\varepsilon )$ с выражением (92) для ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$, приходим к равенству

откуда, используя (94) и (80), получаем для достаточно малых $\varepsilon $ оценку для ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$ (отметим еще раз, что оценка (94) получена при $n \geqslant 1$) где ${{c}_{1}} = {{c}_{0}}c$, ${{c}_{0}}$ и $c$ – числа из неравенств (94) и (80).

Если $x \in [1{\text{/}}2;1]$ и $n \geqslant 1$, то для ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$ и ${{f}_{u}}(x,\varepsilon )$ аналогичным образом получаются оценки вида (94) и (96):

3.4. Нижнее и верхнее решения задачи (1), (2)

Определим функции $\alpha (x,\xi ,\tilde {\xi })$ и $\beta (x,\xi ,\tilde {\xi })$ при $x \in [0;1]$ как решение системы линейных уравнений

где ${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi )$ и ${{\tilde {F}}_{u}}(x,\tilde {\xi })$ определены в (74) и (86), обозначения ${{F}_{v}}(x,\xi ,\tilde {\xi })$ и ${{\varphi }_{u}}(x,\xi ,\tilde {\xi })$ имеют аналогичный смысл, $A > 0$ – число, выбор которого уточним ниже.

Так как все пограничные функции были умножены на срезающие функции, то коэффициенты системы (98) являются бесконечно дифференцируемыми функциями на отрезке $0 \leqslant x \leqslant 1$, включая точку $x = 1{\text{/}}2$, и такими же будут функции $\alpha $ и $\beta $.

Построение нижнего и верхнего решений задачи (1), (2) проведем раздельно на отрезках $[0;1{\text{/}}2]$ и $[1{\text{/}}2;1]$.

На отрезке $[0;1{\text{/}}2]$ определитель системы (98) равен

(см. (82) и (83)), поэтому система (98) имеет единственное решение: неравенства следуют из оценок (78), (81), (82), (84), а буквой $c$, как и ранее, обозначаются подходящие положительные числа, не зависящие от $A$ и $\varepsilon $ и, вообще говоря, разные в разных оценках. Нижнее и верхнее решения $\underline U $, $\underline V $ и $\overline U $, $\overline V $ на отрезке $[0;1{\text{/}}2]$ построим в виде где $n \geqslant 2$, $\hat {\alpha }$ и $\hat {\beta }$ определены в (99), ${{\varphi }_{u}}(\xi )$ определена в (29), а функции $\gamma (\xi )$ и $\sigma (\zeta )$ будут выбраны так, что здесь ${{P}_{\kappa }}(\zeta )$ – функция, определенная в (53).

Покажем, как выбрать функции $\gamma (\xi )$, $\sigma (\zeta )$ и число $A$ так, чтобы при достаточно малых $\varepsilon $ функции $\underline U $, $\underline V $ и $\overline U $, $\overline V $ удовлетворяли на отрезке $[0;1{\text{/}}2]$ требованиям к нижнему и верхнему решениям из определения 1.

Условие ${{1}^{0}}$, т.е. условие упорядоченности, очевидно, выполнено для достаточно малых $\varepsilon $ при любом выборе числа $A > 0$ и функций $\gamma (\xi )$ и $\sigma (\zeta )$, удовлетворяющих неравенствам (102) и (103).

Перейдем к условию ${{2}^{0}}$. Заметим, что в силу неравенств (78) и (97) в области

при достаточно малом ${{\varepsilon }_{0}}$ функции $F$ и $f$ удовлетворяют условию квазимонотонности. Отметим, что для функции $f$ важную роль играет здесь тот факт, что $n \geqslant 2$ в формулах (100) и (101), в силу чего добавки к ${{U}_{n}}$ и ${{V}_{n}}$ в формулах (100), (101) являются величинами порядка $o(\sqrt \varepsilon )$, поэтому они не повлияют на знак $\tfrac{{\partial f}}{{\partial u}}$ в области ${{G}_{0}}$ для достаточно малого ${{\varepsilon }_{0}}$.

Следовательно, условие ${{2}^{0}}$ из определения 1 будет выполнено на промежутке $(0;1{\text{/}}2]$, если на этом промежутке справедливы неравенства (71), (72).

Рассмотрим выражение для ${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V )$:

Функцию ${{\varepsilon }^{2}}\tfrac{{{{d}^{2}}\hat {\alpha }}}{{d{{x}^{2}}}}$ представим в виде где $q(\xi )$ – известная функция, имеющая оценку а выражение в квадратных скобках в правой части равенства (104) преобразуем, используя для производных ${{F}_{u}}$ и ${{F}_{v}}$ формулы (73)–(76): Последнее равенство получено с учетом того, что (см. (102), оценки (102) и (103) будут получены ниже).

Определим теперь функцию $\gamma (\xi )$ как решение задачи

где $r(\xi ) = q(\xi ) + \psi (\xi )$, $q(\xi )$ – функция из (105), а в качестве $\psi (\xi )$ возьмем любую функцию, удовлетворяющую неравенствам Тогда получим где $\Phi (\xi ) = \tfrac{{d{{\Pi }_{0}}u}}{{d\xi }}(\xi )$. Отсюда следует оценка (102) для $\gamma (\xi )$.

Второе слагаемое в правой части (106) имеет оценку

Определим функцию $\sigma (\zeta )$ как решение задачи Тогда имеем откуда следует оценка (103) для $\sigma (\zeta )$, а также оценка производной (числа $c$ в разных оценках, вообще говоря, разные).

При сделанном выборе функций $\gamma (\xi )$ и $\sigma (\zeta )$ из (104) получаем

где ${{L}_{\varepsilon }}({{U}_{n}},{{V}_{n}}) = O({{\varepsilon }^{{(n + 1)/2}}})$ (см. (66)), а третье слагаемое в правой части равенства неотрицательное в силу (107). Поэтому для достаточно малых $\varepsilon $ слагаемое $A{{\varepsilon }^{{n/2}}}$ обеспечивает выполнение неравенства Рассмотрим теперь выражение для ${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U )$ на промежутке $(0;1{\text{/}}2]$: Первое слагаемое в правой части равенства (108) является величиной порядка $O({{\varepsilon }^{{(n + 1)/2}}})$, не зависящей от $A$ (см. (68)), два следующих слагаемых – величины порядка $O(A){{\varepsilon }^{{n/2 + 1}}}$, а выражение в квадратных скобках преобразуем, используя равенства (79) и (95): Последнее равенство получено с учетом того, что Таким образом, Отсюда, используя оценку (94) для ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$, получаем неравенство Так как первое слагаемое в правой части неравенства не зависит от $A$ и $n > (n + 1){\text{/}}2$ (поскольку $n \geqslant 2$), то для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ третье слагаемое будет доминирующим и обеспечит выполнение неравенства

Таким же образом доказывается, что при достаточно большом $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ функции $\bar {U}(x,\varepsilon )$, $\bar {V}(x,\varepsilon )$, определенные в (101), удовлетворяют неравенствам

Итак, неравенства (71) и (72) выполнены на промежутке $(0;1{\text{/}}2]$.

Проверим выполнение условия ${{3}^{0}}$ из определения 1, относящегося к точке $x = 0$. Используя выражение для $\bar {U}(x,\varepsilon )$ (см. (100)), а также первое равенство в (68), и учитывая, что $\gamma (0) = 0$, получаем

Так как $\hat {\alpha }(0,0) \geqslant cA$ (см. (99)), то для достаточно малых $\varepsilon $ имеет место неравенство $\underline U (0,\varepsilon ) < {{u}^{0}}$.

Таким же образом проверяется выполнение остальных неравенств из условия ${{3}^{0}}$, относящихся к точке $x = 0$.

Перейдем к отрезку $[1{\text{/}}2;1]$. На этом отрезке решение системы (98) имеет вид (неравенства следуют из оценок (88)–(91)):

Нижнее и верхнее решения на отрезке $[1{\text{/}}2;1]$ возьмем в виде

где $n \geqslant 2$, ${{\tilde {\varphi }}_{u}}(\tilde {\xi })$ определена в (87), а функция $\tilde {\gamma }(\tilde {\xi })$ определяется таким же образом, как $\gamma (\xi )$, и имеет оценку Так же, как это было сделано на отрезке $[0;1{\text{/}}2]$, доказывается, что для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ функции $\underline U $, $\underline V $ и $\bar {U}$, $\bar {V}$, определенные в (109) и (110), удовлетворяют на отрезке $[1{\text{/}}2;1]$ всем требованиям, предъявляемым к нижнему и верхнему решениям. При этом для производных ${{F}_{u}}(x,\varepsilon )$, ${{F}_{v}}(x,\varepsilon )$ и ${{\varphi }_{u}}(x,\varepsilon )$ используются представления вида (85) и (86), а для производных ${{f}_{u}}(x,\varepsilon )$, ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$ – соотношение (95) и оценки (97).

Умножим функции $\gamma (\xi )$, $\sigma (\zeta )$ и $\tilde {\gamma }(\tilde {\xi })$ на срезающие функции. Тогда пары функций $\underline U $, $\underline V $ и $\bar {U}$, $\bar {V}$, определенные на отрезке $[0;1{\text{/}}2]$ формулами (100) и (101), а на отрезке $[1{\text{/}}2;1]$ формулами (109) и (110), будут сколь угодно гладкими на всем отрезке $[0;1]$ и, следовательно, будут упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (1), (2).

3.5. Завершение доказательства теоремы

Из существования упорядоченных нижнего и верхнего решений задачи (1), (2) следует, что эта задача имеет для достаточно малых $\varepsilon $ решение $u(x,\varepsilon )$, $v(x,\varepsilon )$ (возможно, не единственное), удовлетворяющее неравенствам (70). Из этих неравенств, учитывая вид (100), (109) и (101), (110) нижнего и верхнего решений, получаем асимптотические равенства

Эти равенства доказаны для $n \geqslant 2$, и, следовательно, для $n \geqslant 1$ имеем равенства Так как то из (111) для $n \geqslant 1$ получаем равенства т.е. равенства (69) доказаны для $n \geqslant 1$.

При $n = 1$ из (112) получаем

а поскольку то из (113) следуют равенства т.е. равенства (69) имеют место также и для $n = 0$. Теорема доказана.