Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 11, стр. 1915-1947

1. ВВЕДЕНИЕ

В данной работе рассматривается модельное уравнение типа Бенджамена–Бона–Махони–Бюргерса, описывающего нелинейные квазистационарные процессы в полупроводниках:

где функция $u = u(x,t)$ – потенциал электрического поля. Отметим, что нелинейность в уравнении (1.1) является некоэрцитивной и основная сложность в аналитическом исследовании соответствующих задач для этого уравнения связана с тем, что старший порядок производной по времени, соответствующей линейной части, совпадает с порядком производной по времени от нелинейности. Поэтому нелинейность не является “малой” нелинейной поправкой к линейной теории.

В этой работе рассматривается вопрос о локальной разрешимости в классическом смысле задачи Коши для уравнения (1.1). Для этого будем пользоваться интегральным представлением для фундаментального решения соответствующего линейного оператора в уравнении (1.1), с помощью которого будет построен аналог третьей формулы Грина и получено явное представление решения в виде суммы потенциалов. Также в работе будет получена глобальная во времени априорная оценка для классических решений задачи Коши.

Уравнение (1.1) относятся к классу нелинейных уравнений типа С.Л. Соболева. Отметим, что исследованию линейных и нелинейных уравнений соболевского типа посвящено много работ. Так, в работах Г.А. Свиридюка, С.А. Загребиной, А.А. Замышляевой [1]–[3] были рассмотрены в общем виде и в виде примеров начально-краевые задачи для большого многообразия классов линейных и нелинейных уравнений соболевского типа.

Отметим, что впервые теория потенциала для неклассических уравнений типа С.Л. Соболева была рассмотрена в работе Б.В. Капитонова [4]. В дальнейшем теория потенциала изучалась в работах С.А. Габова и А.Г. Свешникова [5], [6], а также в работах их учеников (см., например, работу Ю.Д. Плетнера [7]).

Уравнение (1.1) мы назвали родственным уравнению типа ББМБ, поскольку многомерное уравнение Бенджамена–Бона–Махони–Бюргерса имеет вид

т.е. отличие уравнений (1.1) и (1.2) в нелинейностях Это серьезное отличие, поскольку нелинейность $\partial {{u}^{2}}{\text{/}}\partial {{x}_{1}}$ является “малой” нелинейной поправкой к линейной части уравнения (1.2), а вот нелинейность $\partial {{u}^{2}}{\text{/}}\partial t$ “малой” поправкой к линейной части уравнения (1.1) не является.

Отметим, что одномерные и многомерные уравнения ББМБ исследовались в работах [8]–[17], в которых исследовались вопросы физической постановки, локальной и глобальной во времени разрешимости, и асимптотики при больших временах. Отметим также работы [18]–[20], в которых исследовался вопрос о возникновении blow-up для решений начально-краевых задач для одномерного и многомерного уравнения ББМБ.

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

В работе используются следующие пространства $\mathbb{B}$-значных функций:

где $\mathbb{B}$ – это банахово пространство относительно нормы ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{\mathbb{B}}}.$ Функция $f(t) \in \mathbb{C}([0,T];\mathbb{B}),$ если для каждого $t \in [0,T]$ функция $f(t) \in \mathbb{B}$ и, кроме того, при $\left| {{{t}_{2}} - {{t}_{1}}} \right| \to + 0$ для любых ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \in [0,T]$. В частности, отсюда следует, что ${{\left\| {f(t)} \right\|}_{\mathbb{B}}} \in \mathbb{C}[0,T]$ и, следовательно, Функция $f(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{B}),$ если $f(t) \in C([0,T];B)$ и существует сильная производная где сильная производная понимается в следующем смысле: для всех $t,t + \Delta t \in [0,T]$. В качестве банахова пространства $\mathbb{B}$ у нас будут выступать стандартно определяемые банаховы пространства ${{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$, $\mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и $\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ относительно соответствующих норм Нетрудно убедиться, что сильная производная по времени от функции $f(x,t)$ в смысле банахова пространства $\mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ совпадает с частной производной $\partial f(x,t){\text{/}}\partial t$. В частности, это означает, что сильная производная по времени в смысле банаховых пространств $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ и $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ тоже совпадает с частной производной $\partial f(x,t){\text{/}}\partial t$. А из определения сильной производной по времени $t \in [0,T]$ в банаховом пространстве $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ получаем, что С учетом этого результата и определения сильной производной по времени $t \in [0,T]$ в смысле $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ получаем равенства Кроме того, мы будем в работе использовать пространства типа Гёльдера ${{\mathbb{C}}^{\beta }}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\beta \in (0,1]$. Функция $f(x) \in {{\mathbb{C}}^{\beta }}({{\mathbb{R}}^{3}})$, если справедливо следующее свойство: Кроме того, будем говорить, что функция $\rho (x,t) \in \mathbb{C}_{x}^{\beta }({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\beta \in (0,1]$ равномерно по $t \in [0,T],$ если справедливо следующее свойство: Мы также пользуемся обозначением ${{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\alpha \in (0,1]$ для широко известного банахова пространства Гёльдера относительно нормы

3. ВТОРАЯ ФОРМУЛА ГРИНА

Введем следующие операторы:

Пусть $u(y,\tau ),{v}(y,\tau ) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,t];{{\mathbb{C}}^{{(2)}}}(\bar {\Omega }))$, где $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ – ограниченная область с гладкой границей $\partial \Omega $. Справедливы следующие формулы: Итак, из (3.1) и (3.2) вытекает следующая формула: Проинтегрируем обе части равенства (3.3) по $(y,\tau ) \in \Omega \times [0,t]$ при $t \in (0,T]$ и получим следующую формулу где и ${{n}_{y}}$ – внешняя нормаль в точке $y \in \partial \Omega $ по отношению к ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$.

4. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

Рассмотрим уравнение в смысле (см. [21]) пространства $\mathcal{D}{\text{'}}({{\mathbb{R}}^{3}}) \otimes \mathcal{D}_{ + }^{'}$:

Применим к обеим частям уравнения (4.1) преобразование Лапласа и получим после элементарных преобразований равенство Частное решение этого уравнения имеет вид (см., например, [21]) Под функцией понимается главная ветвь. Заметим, что С учетом этого равенства из (4.2) вытекают следующие равенства: Воспользуемся теперь обратным преобразованием Лапласа. С учетом формул 21.4 и 22.91 из [22] получим выражение для фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ уравнения (4.1)где $\theta (t)$ – функция Хевисайда.

Подынтегральную функцию в (4.3) можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость за исключение точек $z = \pm i$:

Рассмотрим следующий контур на комплексной плоскости по переменной $z$: где причем $0 < \varepsilon < 1 < R$. Тогда функция $f(z)$ будет являться аналитической в области, ограниченной контуром $\Gamma $ с учетом направления обхода. Поэтому по теореме Коши получаем Поскольку по лемме Жордана имеем для любых фиксированных $x$ и $\tau \geqslant 0$, то справедливо следующее равенство: Из интегрального представления (4.4) вытекает, что для любых $m,n \in \mathbb{N}$ и $0 < T < \infty $. С помощью замены переменной $z = i + \varepsilon {{e}^{{i\varphi }}}$ получим С одной стороны, из (4.4) и (4.5) получаем следующие оценки для фундаментального решения при $0 < \left| x \right| \leqslant {{\mu }_{0}}$ при достаточно малом фиксированном ${{\mu }_{0}} \in (0,1)$: при $k = 0,1,2,$ $i,j = 1,2,3$ равномерно по $t \in [0,T]$, $\varepsilon \in (0,1)$. С другой стороны, при $\left| x \right| \geqslant {{R}_{0}}$ при достаточно большом фиксированном ${{R}_{0}} > 1$ из интегрального представления (4.4) и (4.5) получим следующие оценки: при $k = 0,1,2,$ $i,j = 1,2,3$ равномерно по $t \in [0,T]$, $\varepsilon \in (0,1)$. Отметим также, что из формулы (4.3) вытекает равенство

5. ТРЕТЬЯ ФОРМУЛА ГРИНА

Приступим теперь к выводу третьей формулы Грина. Пусть точка $x \in \Omega $ фиксирована, $t > 0$. Рассмотрим функцию $u(y,\tau ) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,t];{{\mathbb{C}}^{{(2)}}}(\bar {\Omega }))$ и функцию ${v}(y,\tau ) = \mathcal{E}(x - y,t - \tau )$, которая представляет собой построенное ранее фундаментальное решение.

Применим вторую формулу Грина (3.4) в области $\Omega {\backslash }O(x,\delta ) \times [0,t]$, где $O(x,\delta )$ – шар с центром в точке $x$ достаточно малого радиуса $\delta \in (0,{{\mu }_{0}})$ (см. оценки (4.6)–(4.8)) такого, что $O(x,\delta ) \subset \Omega $. Тогда получим равенство

где нормаль ${{n}_{y}}$ к точке $y \in \partial O(x,\delta )$ является внутренней по отношению к шару $O(x,\delta )$. Обратим внимание на то, что функция ${{\mathcal{E}}_{G}}(x)$, определенная формулой (4.12), является фундаментальным решением оператора Кирхгофа: Этот факт нам потребуется ниже. Рассмотрим сначала интеграл ${{I}_{1}}$: Оценим интеграл ${{I}_{{11}}}$: где $y{\kern 1pt} * \in \partial O(x,\delta )$ (была использована теорема о среднем). Используя оценку (4.6) для фундаментального решения, оценим интеграл ${{I}_{{12}}}$: где так же $y{\kern 1pt} * \in \partial O(x,\delta )$. Таким образом, из (35) и (36) получаем, что ${{I}_{1}} \to 0$ при $\delta \to 0$. Рассмотрим теперь интеграл ${{I}_{2}}$: Оценим интеграл ${{I}_{{21}}}$, воспользовавшись оценкой (4.6) для фундаментального решения: где $y{\kern 1pt} * \in \partial O(x,\delta )$, $\tau {\kern 1pt} * \in [0,t]$. Рассмотрим интеграл ${{I}_{{22}}}$: В (5.5) перейдем к пределу при $\varepsilon \to 0$. Тогда получим равенство где

Действительно, справедливы следующие равенства для функции ${v}(y,\tau ) = \mathcal{E}(x - y,t - \tau )$ при $t \geqslant 0$ и $x \ne y:$

где ${{n}_{y}}$ – внешняя нормаль в точке $y \in \partial O(x,\delta )$ по отношению к шару $O(x,\delta ).$ Вычислим следующие производные по нормали ${{n}_{y}}:$Справедливы равенства С другой стороны, равенство (5.9) можно при $x \ne y$ переписать в виде Из равенств (5.10), (5.11) вытекает следующее предельное свойство при $y{\kern 1pt} * \in \partial O(x,\delta )$: Аналогичным образом можно доказать следующее предельное свойство: Таким образом, из (5.12), (5.13) получаем предельное равенство (5.6).

Рассмотрим отдельно интеграл

Вычислим этот интеграл при помощи преобразования Лапласа Последний интеграл вычислим при помощи вычетов: где Итак, имеем Следовательно, из (5.14) с учетом (5.15) получим равенство Следовательно, Рассмотрим равенство (5.7), которое можно переписать в виде Применим преобразование Лапласа и получим равенство Итак, $g(t) = 0$ для всех $t \geqslant 0.$ Следовательно, ${{I}_{0}}(t) = 0$, откуда в силу (5.4) получаем, что ${{I}_{2}} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$.

Теперь заметим, что

Поэтому Тогда с учетом (5.2)–(5.4), (5.18) из (5.1) при $\varepsilon \to 0$ приходим к равенству Заметим, что для функции $u(y,\tau ) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,t];{{\mathbb{C}}^{{(2)}}}(\bar {\Omega }))$ и фундаментального решения оператора Кирхгофа ${{\mathcal{E}}_{G}}(x)$ справедлива классическая третья формула Грина: для каждого $t > 0$, где функция Таким образом, из равенств (5.19), (5.20) вытекает следующая третья формула Грина:

6. ЗАДАЧА КОШИ

Сформулируем условия на бесконечности относительно функции $u(x,t)$. Для этого введем определенный класс функций.

Определение 1. Будем говорить, что функция $u(x,t) \in {{M}^{\varepsilon }}(T)$, если найдется такое $\varepsilon \in (0,1{\text{/}}2)$, что при $\left| x \right| > 1$ выполнены неравенства

для всех $t \in [0,T]$, где ${{u}_{0}}(x) = u(x,0)$ и ${{a}_{j}}(T)$ – это некоторые подложительные постоянные, $j = 1,2,3,4$, $k = 0,1.$

Определение 2. Классическим решением задачи Коши называется функция $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$, удовлетворяющая уравнению

и начальному условию

Теорема 1. Всякое классическое решение задачи Коши $u(x,t)$ в классе ${{M}^{\varepsilon }}(T)$ удовлетворяет следующему интегральному уравнению:

при $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \times [0,T]$.

Доказательство. Воспользуемся третьей формулой Грина (5.21) в области $O(x,R)$ при настолько большом $R > 0,$ чтобы было выполнено условие $x \in O(0,R)$. Тогда получим формулу

При $y \in \partial O(x,R)$ справедлива следующая цепочка неравенств: поскольку по предположению $x \in O(0,R)$. Тогда в силу определения класса ${{M}^{\varepsilon }}(T)$ и оценок фундаментального решения (4.9) для поверхностных интегралов в равенстве (6.4) справедливы следующие предельные свойства при $R \geqslant {{R}_{0}} > 1$ и $\varepsilon \in (0,1{\text{/}}2)$: где $\varepsilon \in (0,1{\text{/}}2)$. Наконец, справедливы следующие оценки: Покажем, что правые части оценок (6.6) и (6.7) стремятся к нулю при $R \to + \infty $. Рассмотрим интеграл: где $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$. Сделаем замену $w = y - x$, тогда интеграл (6.8) примет вид Поскольку $x \in O(0,R),$ т.е. $\left| x \right| < R$, имеем поэтому в силу неравенства треугольника имеем Тогда справедливы неравенства Таким образом, с учетом определения 2 и предельных формул (6.5)–(6.7) в пределе при $R \to + \infty $ из равенства (6.4) получаем равенство (6.3).

Теорема доказана.

7. СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНОГО И ОБЪЕМНОГО ТЕПЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Займемся теперь изучением свойств потенциалов, связанных с задачей Коши. А именно рассмотрим потенциалы $V(x,t)$ и $W(x,t)$, которые имеют следующий вид:

Лемма 1. Пусть $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и ${{u}_{0}}(x) \in \mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}})$. Тогда $V(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ и справедливы следующие формулы:

Доказательство.

Шаг 1. Пусть $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \times [0,T]$ – это произвольная точка. Тогда найдется $r > 0$ такой, что $O({{x}_{0}},r) \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ и ${{t}_{0}} \in [0,T]$. Представим потенциал $V(x,t)$ в виде следующей суммы:

Рассмотрим сначала выражение для ${{V}_{1}}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$. Для этой величины с учетом оценки (4.6) фундаментального решения справедлива следующая цепочка выражений при $0 < r \leqslant {{\mu }_{0}}$ и достаточно малом ${{\mu }_{0}} \in (0,1)$: для любого $\varepsilon > 0$ при достаточно малом $r > 0$. Предположим, что $x \in O({{x}_{0}},r{\text{/}}2)$, тогда справедлива следующая цепочка неравенств: для всех $y \in O({{x}_{0}},r)$. Поэтому для всех $x \in O({{x}_{0}},r{\text{/}}2)$ имеет место вложение $O({{x}_{0}},r) \subset O(x,3r{\text{/}}2)$ и справедлива следующая оценка: для любого $\varepsilon > 0$ при достаточно малом $r > 0$. Пусть $y \in {{\mathbb{R}}^{3}}{\backslash }O({{x}_{0}},r)$ и $x \in O({{x}_{0}},r{\text{/}}2)$, тогда справедливы следующие оценки снизу: Следовательно, у подынтегральной функции в выражениях ${{V}_{2}}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ и ${{V}_{2}}(x,t)$ нет особенности, тогда из явного вида этой подынтегральной функции вытекает, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое достаточно малое $\delta (r,\varepsilon ) > 0$, что получим: для всех $(x,t)$ таких, что $\left| {x - {{x}_{0}}} \right| < \delta $ и ${\text{\{ }}\left| {t - {{t}_{0}}} \right| < \delta {\text{\} }} \cap [0,T]$. Итак, из выражений (7.4)–(7.7) следует, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое малое $r > 0$ и такое малое $\delta (r,\varepsilon ) > 0$, что имеет место цепочка неравенств: для всех $(x,t)$ таких, что $\left| {x - {{x}_{0}}} \right| < \delta $ и ${\text{\{ }}\left| {t - {{t}_{0}}} \right| < \delta {\text{\} }} \cap [0,T]$. Отсюда и получаем непрерывность потенциала $V(x,t)$. Именно, доказано, что $V(x,t) \in \mathbb{C}({{\mathbb{R}}^{3}} \times [0,T])$. Докажем, что на самом деле потенциал $V(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Действительно, потенциал $V(x,t)$ можно разбить на три слагаемых следующим образом: где числа ${{R}_{0}} > 1$ и ${{\mu }_{0}} \in (0,1{\text{/}}2)$ используются в оценках (4.6)–(4.11) фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$. Оценим функции ${{K}_{j}}(x,t)$ при $j = 1,2,3.$ Для функций ${{K}_{1}}(x,t)$ и ${{K}_{3}}(x,t)$ справедливы следующие оценки: Наконец, нетрудно доказать оценки Из оценок (7.8), (7.9) и доказанного свойства $V(x,t) \in C({{\mathbb{R}}^{3}} \times [0,T])$ приходим к выводу о том, что

Шаг 2. Поскольку из явного вида (4.3) фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ следует

то отсюда сразу получаем формулу (7.1). Заметим, что потенциал ${{V}_{0}}(x)$ является классическим объемным потенциалом для оператора Кирхгофа. Поэтому для него справедлива классическая формула (7.2) (см., например, [21]).

Шаг 3. Воспользуемся классической третьей формулой Грина для оператора Кирхгофа в шаре $O(x,R)$ радиуса $R > 0$:

Рассмотрим отдельно поверхностный интеграл $I$ в (7.10): Таким образом, из (7.10) с учетом (7.11) в пределе при $R \to + \infty $ получаем формулу (7.3).

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$. Тогда потенциал $V(x,t)$ принадлежит банаховому пространству ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{R}^{3}}))$ и справедливо следующее равенство:

Доказательство.

Шаг 1. Докажем сначала, что $V(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{R}^{3}}))$. Отметим, что в лемме 1 было доказано, что $V(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. В силу того, что фундаментальное решение $\mathcal{E}(x,t) \in \mathbb{C}_{{x,t}}^{{m,n}}({{\mathbb{R}}^{3}}{\backslash \{ }0{\text{\} }} \times [0,T])$ и для производных по времени $t \in [0,T]$ справедливы оценки (4.6) и (4.9), то для каждого $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ потенциал $V(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}[0,T]$ и справедливо следующее равенство:

Точно также как при доказательстве леммы 1 при помощи оценки (4.6) можно сначала доказать, что а затем доказать, что В частности, из (7.12) вытекает, что поскольку $t{\kern 1pt} * \in [t,t + \Delta t]$. Это означает, что сильная производная функции $V(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ по переменной $t \in [0,T]$ совпадает с частной производной $\partial V(x,t){\text{/}}\partial t$. Это соображение будет нами использовано и в более сложных случаях. Следовательно, $V(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{1}}))$.

Шаг 2. Докажем, что $V(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Преобразуем для $R > 0$ выражение для потенциала $V(x,t)$:

В подынтегральном выражении функции ${{V}_{1}}(x,t)$ нет особенностей и $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$. Поэтому в силу свойств фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ для всякого $t \in [0,T]$ производные функции ${{V}_{1}}(x,t) \in {{C}^{{(1)}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ по переменной ${{x}_{j}}$ можно заносить под знак интеграла. Следовательно, для всех $t \in [0,T]$ имеет место равенство Для исследования гладкости функции ${{V}_{2}}(x,t)$ нужно полностью повторить доказательство леммы 4.1 работы [23] (см. стр. 59), поскольку оценки (4.6) для фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ при $\left| x \right| \to 0$ аналогичны оценкам для функции которая и фигурирует в лемме 4.1 работы [23]. Поэтому для всех $t \in [0,T]$ по переменной $x$ функция ${{V}_{2}}(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и справедливо равенство Таким образом, из выражений (7.14) и (7.15) вытекает, что для всех $t \in [0,T]$ функция $V(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{1}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и справедливо поточечное равенство: Точно также как при доказательстве леммы 1 с учетом оценок (4.7) и (4.10) можно доказать, что из поточечного равенства (7.16) следует Для дальнейшего нам нужно переписать равенство (7.16) в виде где где числа ${{\mu }_{0}} \in (0,1)$ и ${{R}_{0}} > 1$ используются в оценках (4.6)–(4.11) фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$. Справедливы оценки где мы воспользовались следующим равенством: и этот интеграл от $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ не зависит. Далее имеем при $\left| {{{t}_{2}} - {{t}_{1}}} \right| \to + 0$ для любых ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \in [0,T]$. Рассмотрим теперь ${{I}_{1}}(x,t).$ Справедлива следующая цепочка выражений: Наконец, рассмотрим ${{I}_{3}}(x,t).$ Справедливы следующие цепочки неравенств: Следовательно, из (7.17)–(7.19) вытекает, что С учетом доказанного свойства, что $V(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{1}}))$, мы приходим к выводу о том, что

Шаг 3. Для дальнейшего нам нужно получить результат о поточечном равенстве

Действительно, справедлива следующая цепочка выражений: где мы воспользовались тем, что при $x \ne y$ и $t \geqslant 0$ справедливо равенство а также воспользовались оценкой (4.7).

Шаг 4. Докажем теперь, что

Действительно, в силу (7.12) имеем и, кроме того, справедливо равенство Далее точно также, как при доказательстве свойства (7.20), используя оценки (4.6)–(4.11), можно доказать, что для каждого $t \in [0,T]$ функция причем и точно также, как при доказательстве шага 2, можно доказать, что Заметим, что справедлива следующая цепочка выражений: поскольку $t{\kern 1pt} * \in [t,t + \Delta t].$ Таким образом, сильная производная по времени $t \in [0,T]$ функции $V(x,t)$ в смысле банахова пространства $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ в силу (7.13) и (7.23) совпадает с частной производной $\partial V(x,t){\text{/}}\partial t$.

Итак, в силу результата шага 1 имеем

Отсюда и из (7.22) вытекает, что В сочетании с (7.21) мы приходим к выводу о том, что $V(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{R}^{3}}))$.

Лемма доказана.

Справедлива

Лемма 3. Пусть $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}^{\beta }}({{\mathbb{R}}^{3}}) \cap {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\beta \in (0,1]$. Тогда потенциал $V(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ и для любого $R > 0$ справедливо следующее равенство:

где $i,j = 1,2,3,$ $k = 0,1.$

Доказательство.

Шаг 1. Действуем аналогично доказательству леммы 2. А именно, преобразуем выражение для потенциала $V(x,t)$ для $0 < {{\mu }_{1}} \leqslant {{\mu }_{0}}$:

В подынтегральном выражении функции ${{V}_{1}}(x,t)$ нет особенностей и $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$. Поэтому в силу свойств фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ функция ${{V}_{1}}(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ для каждого $t \in [0,T]$ и производные по переменной $x$ можно заносить под знак интеграла: Заметим, что $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}^{\beta }}({{\mathbb{R}}^{3}})$. Поэтому для исследования гладкости функции ${{V}_{2}}(x,t)$ нужно так же, используя идентичный вид оценки (4.8) при $\left| x \right| \to 0$ нашего фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ и функции $\Gamma (x)$, введенной при доказательстве леммы (2), полностью повторить доказательство леммы 4.2 работы [23]. Таким образом, для каждого $t \in [0,T]$ функция ${{V}_{2}}(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и справедлива следующая формула: где $cos({{n}_{y}},{{e}_{j}})$ – косинус угла между вектором внешней нормали к $\partial O(x,{{R}_{0}})$ в точке $y$ и ортом ${{e}_{j}}$ декартовой системы координат.

Шаг 2. Итак, из выражений (7.25), (7.26) приходим к выводу о том, что справедлива следующая цепочка равенств:

Пусть $\delta > 0$ – произвольное фиксированное. Рассмотрим сначала функцию ${{L}_{1}}(x,t)$, для которой справедливо следующее выражение в результате замены переменной интегрирования $w = y - x$: Тогда справедливы неравенства при достаточно большом ${{R}_{1}} \geqslant {{R}_{0}} > 1,$ $\varepsilon \in (0,1{\text{/}}2).$ Рассмотрим функцию ${{L}_{2}}(x,t)$. Сделаем замену переменной $w = y - x$ и получим выражение Подынтегральная функция является равномерно по $w \in \overline {O(0,{{R}_{1}}){\backslash }O(0,{{\mu }_{1}})} $ непрерывной функцией по $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \times [0,T]$. Поэтому для выбранного ранее $\delta > 0$ найдется такое $\gamma = \gamma (\delta ) > 0,$ что будут выполнены неравенства при $x,{{x}_{0}} \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ и $t,{{t}_{0}} \in [0,T]:$Совершенно точно также можно доказать, что при достаточно малом $\gamma = \gamma (\delta ) > 0$ будет выполнено неравенство Для функции ${{L}_{3}}(x,t)$ справедливы следующие оценки: при достаточно малом ${{\mu }_{1}} \in (0,{{\mu }_{0}}]$, где Таким образом, из неравенств (7.27), (7.28), (7.29)–(7.30) вытекает, что для любого $\delta > 0$ найдется такое малое $\gamma = \gamma (\delta ) > 0,$ что Кроме того, точно также, как и для функции ${{I}_{3}}(x,t),$ определенной равенством (7.18), используя оценку (4.11) для фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t),$ можно доказать, что Для функции ${{L}_{2}}(x,t)$ также, как и для функции ${{I}_{2}}(x,t),$ определенной равенством (7.18), используя оценку (4.11) для фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t),$ можно доказать, что Аналогичным образом доказывается, что и Рассмотрим теперь функцию ${{L}_{3}}(x,t)$. Поскольку $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}^{\beta }}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\beta \in (0,1],$ то справедливы следующие оценки: Итак, из доказанного свойства (7.31) и из неравенств (7.32), (7.33) вытекает, что

Шаг 3. Отметим, что в силу явного вида (4.3) фундаментального решения и с учетом оценок (4.6)–(4.11) можно, как и выше, доказать справедливость следующего поточечного равенства:

В силу результата леммы 2 справедливо равенство Отсюда вытекает равенство Докажем следующее равенство: где Справедлива цепочка неравенств:

Шаг 4. Далее, рассуждая в точности также, как и на шаге 2, используя оценки (4.6)–(4.11) фундаментального решения, сначала можно доказать, что

а затем получить оценки вида из которых вытекает, что Кроме того, справедлива следующая цепочка соотношений: при $\left| {\Delta t} \right| \to + 0$, $t{\kern 1pt} * \in [t,t + \Delta t]$. В совокупности с результатом леммы 2 сильная производная функции $V(x,t)$ по $t \in [0,T]$ в смысле банахова пространства $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ совпадает с частной производной $\partial V(x,t){\text{/}}\partial t$.

Вместе со свойством (7.34) мы приходим к выводу о том, что

Осталось воспользоваться результатом леммы 2 и получить, что что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}^{\beta }}({{\mathbb{R}}^{3}}) \cap {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\beta \in (0,1]$. Тогда потенциал $V(x,t)$ удовлетворяет следующему поточечному равенству:

Доказательство. С учетом равенства (7.24) можно доказать справедливость следующей формулы:

Заметим, что и поэтому из равенства (7.35) вытекает следующее: Рассмотрим сначала функцию ${{H}_{1}}(x,t)$. С учетом предельных свойств (5.12) и (5.13) приходим к выводу о справедливости предельного свойства где функция $f(t)$ определена равенством (5.8) и эта функция в силу (5.16), (5.17) удовлетворяет равенству Итак, из (7.37) вытекает поточечное предельное свойство Рассмотрим функцию ${{H}_{2}}(x,t)$. С учетом оценки (4.8) для фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ справедлива цепочка неравенств Наконец, рассмотрим функцию ${{H}_{3}}(x,t)$. С учетом оценки (4.6) для фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ справедлива следующая цепочка неравенств: Итак, в пределе при ${{\mu }_{1}} \to + 0$ с учетом (7.38), (7.39) из (7.36) получим, что

Лемма доказана.

Перейдем к изучению свойств объемного теплового потенциала

Объемный тепловой потенциал можно переписать в виде

Справедлива

Лемма 5. Для любой $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ и $\rho (x,t) \in \mathbb{C}_{x}^{\beta }({{\mathbb{R}}^{3}})$ равномерно по $t \in [0,T]$ при $\beta \in (0,1]$ объемный потенциал $W(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Доказательство. Утверждение этой леммы является следствием лемм 1–3 и следующих равенств:

для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ и $t \in [0,T].$ Доказательства лемм 1–3 остаются справедливыми и в случае, когда плотность $\mu (y,\tau )$ зависит от параметра $\tau \in [0,t]$ при условиях, сформулированных в условии леммы.

Лемма доказана.

Результат леммы 5 может быть усилен:

Лемма 6. Для любой $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ и $\rho (x,t) \in \mathbb{C}_{x}^{\beta }({{\mathbb{R}}^{3}})$ равномерно по $t \in [0,T]$ при $\beta \in (0,1]$ объемный потенциал $W(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Доказательство. Справедливо следующее поточечное равенство:

при $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ и $t \in [0,T]$. Далее нужно воспользоваться равенствами Теперь нужно фактически воспользоваться доказательствами, аналогичными доказательствам лемм 1–3 для доказательства принадлежности потенциала ${{W}_{1}}(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. При этом большую сложность, как это не удивительно, вызывает доказательство того, что потенциал Докажем это. Легко доказать, что Поскольку $\rho (x,t) \in \mathbb{C}_{x}^{\beta }({{\mathbb{R}}^{3}})$ равномерно по $t \in [0,T],$ то как и ранее при доказательстве леммы 3, можно доказать, что ${{W}_{0}}(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ для каждого $t \in [0,T]$ и при этом справедливо следующее равенство (см. лемму 4.2 работы [23]): для любых ${{\mu }_{1}} \in (0,1)$ и ${{R}_{1}} > 1.$ Докажем, что Сначала докажем, что Пусть $\delta > 0$ – произвольное фиксированное и $({{x}_{1}},{{t}_{1}}),({{x}_{2}},{{t}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \times [0,T]$ – произвольные две фиксированные точки. Рассмотрим сначала функцию ${{S}_{4}}(x,t)$. Для этой функции справедлива следующая оценка: при достаточно малом ${{\mu }_{1}} > 0.$ Фиксируем такое малое ${{\mu }_{1}} \in (0,1)$ и произвольное ${{R}_{1}} > 1$. Теперь рассмотрим функцию ${{S}_{3}}(x,t)$. Для этой функции справедливо равенство Поэтому найдется такое малое $\gamma = \gamma (\delta ,{{\mu }_{1}}) > 0$ такое, что Для функции ${{S}_{2}}(x,t)$ справедливо следующее равенство: Поэтому найдется такое малое $\gamma = \gamma (\delta ,{{\mu }_{1}},{{R}_{1}}) > 0$, что Для функции ${{S}_{1}}(x,t)$ справедливо равенство Поэтому найдется такое малое $\gamma = \gamma (\delta ,{{R}_{1}}) > 0$, что Итак, из (7.42) с учетом неравенств (7.43), (7.45), (7.47) и (7.49) вытекает, что для любого $\delta > 0$ найдется такое малое ${{\mu }_{1}} > 0$ и такое малое $\gamma = \gamma (\delta ,{{\mu }_{1}}) > 0,$ что т.е. Из равенств (7.44), (7.46) и (7.48) сразу же получаем, что где ${{g}_{k}} > 0$ – некоторые постоянные, не зависящие от $T > 0.$ Пусть теперь ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \in [0,T]$, тогда справедливы неравенства С учетом неравенства (7.43) приходим к выводу о том, что для любого $\delta > 0$ найдется такое малое ${{\mu }_{1}} > 0$ и такое малое $\gamma = \gamma (\delta ,{{\mu }_{1}}) > 0,$ что справедливы следующие неравенства: поскольку $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Итак,

Лемма доказана.

Наконец, справедлива

Лемма 7. Пусть $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ и $\rho (x,t) \in \mathbb{C}_{x}^{\beta }({{\mathbb{R}}^{3}})$ равномерно по $t \in [0,T]$ при $\beta \in (0,1]$. Тогда для потенциала $W(x,t)$ справедливы следующие равенства:

для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ и $t \in [0,T]$.

Доказательство. Воспользуемся равенствами (7.40), (7.41):

В силу свойства (7.2) леммы 1 имеет место поточечное равенство: С одной стороны, имеет место следующее равенство: С другой стороны, имеем Сложим равенства (7.51) и (7.52) и получим равенство Далее проводим рассуждения, аналогичные рассуждениям при доказательстве леммы 4 и получим, что правая часть равенства (7.53) стремится к нулю при ${{\mu }_{1}} \to + 0.$ Следовательно, Поскольку где мы воспользовались равенствами (7.50) и (7.54).

Лемма доказана.

Наконец, можем сформулировать основной результат, который вытекает из лемм 1–7.

Теорема 2. Пусть $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ и ${{u}_{0}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\alpha \in (0,1]$. Тогда функция

принадлежит классу ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$, удовлетворяет уравнениюи начальному условию

Доказательство. Нужно только проверить, что функция

Действительно, справедлива следующая цепочка неравенств: Итак,

Теорема доказана.

Из теорем 1 и 2 вытекает

Теорема 3. В классе $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ всякое классическое решение задачи Коши (6.1), (6.2) является решением интегрального уравнения (6.3), и наоборот, всякое решение интегрального уравнения (6.3) является классическим решением задачи Коши (6.1), (6.2).

8. РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

Докажем сначала локальную во времени разрешимость интегрального уравнения (6.3) в банаховом пространстве ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ относительно следующей нормы:

Лемма 8. Для любого $T > 0$ найдется такое достаточно малое ${{R}_{1}} > 0$, что при условиях

решение уравнения (6.3) в классе ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})) \cap {{D}_{{{{R}_{2}},T}}}$ при достаточно малом ${{R}_{2}} > 0$ существует и единственно, где

Доказательство. Перепишем интегральное уравнение (6.3) в виде

где В силу результатов леммы 2 функция $f(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Кроме того, из доказательства леммы 6 (см. также лемму 2) следует, что объемный потенциал $W[\rho ](x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ при $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Поэтому Пусть $T > 0$ – произвольное фиксированное. Рассмотрим замкнутый шар где достаточно малое $R > 0$ будет выбрано ниже. Справедлива следующая цепочка неравенств: где число ${{R}_{1}} > 0$ определено в условии леммы. В силу определения числа ${{R}_{3}} > 0$ оно явно линейно зависит от ${{R}_{1}} > 0$. Пусть $R > 0$ достаточно мало, тогда выберем ${{R}_{1}} > 0$ настолько малым, чтобы были выполнены неравенства Для функции $W(x,t): = W[\rho ](x,t)$ справедлива следующая оценка, аналогичная оценке (8.1): при условии, что $R > 0$ настолько мало, что Таким образом, из оценок (8.2) и (8.3) вытекает, что при достаточно малом ${{R}_{1}} > 0$ и $R > 0$Докажем, что оператор $A$ является сжимающим на ${{D}_{{R,T}}}$. Пусть Справедлива следующая цепочка неравенств: Поэтому справедливо следующее неравенство: Отметим, что для объемного потенциала $W(x,t)$ в силу (7.40) справедливо равенство Справедливы следующие цепочки неравенств: Из неравенств (8.5) и (8.6) вытекает оценка Наконец, из оценок (8.4) и (8.7) вытекает искомое неравенство при условии, что $R > 0$ настолько мало, что Тем самым, для любого $T > 0$ при достаточно малом ${{R}_{1}} > 0$ найдется такое малое ${{R}_{2}} > 0,$ что существует единственное решение интегрального уравнения (6.3) в шаре ${{D}_{{{{R}_{2}},T}}}$.

Лемма доказана.

Таким образом, справедлива следующая основная теорема данной работы:

Теорема 4. Для любого ${{u}_{0}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\alpha \in (0,1],$ для любого $T > 0$ и достаточно малого ${{R}_{1}} > 0$ такого, что ${{\left\| {{{u}_{0}}} \right\|}_{{\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}})}}} \leqslant {{R}_{1}}$, найдется такое малое ${{R}_{2}} > 0,$ что существует единственное классическое решение задачи Коши (6.1), (6.2) в классе ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}})) \cap {{D}_{{{{R}_{2}},T}}},$ где

Доказательство. Это утверждение является следствием лемм 8, 3, 6, а также теорем 2 и 3.

Теорема доказана.

9. ГЛОБАЛЬНАЯ АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ

Пусть $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ – классическое решение задачи Коши (6.1), (6.2). Перепишем исходное уравнение в эквивалентном виде:

Возьмем пробную функцию вида где функция ${{\varphi }_{0}}(s) \in {{\mathbb{C}}^{2}}[0, + \infty )$ и монотонно невозрастающая. Рассмотрим следующую формулу интегрирования по частям для шара $O(0,l)$ с центром в точке $x = 0$ радиуса $l > 2R$: Учтем, что при $x \in \partial O(0,l)$, справедливы следующие равенства: Тогда из (9.2) в силу (9.3) приходим к равенству Также справедлива еще одна формула интегрирования по частям: Из равенств (9.4) и (9.5) вытекают следующие равенства: Теперь умножим обе части уравнения (9.1) на пробную функцию $\phi (x,t)$ и проинтегрируем по частям с учетом полученных равенств (9.6), (9.7). В рузультате получим Справедливы следующие оценки: Из равенства (9.8) в силу неравенств (9.9), (9.10) получаем Заметим, что существует такая функция ${{\varphi }_{0}}(s)$, что справедливы следующие равенства (см. [24]): Предположим, что ${{u}_{0}}(x) + 1{\text{/}}2 \in {{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{3}})$, тогда получаем Также имеет место следующее предельное свойство при $R \to + \infty $: Положим теперь $R = N \in \mathbb{N}$. Используя теорему Беппо Леви из неравенства (9.11) с учетом оценок и предельных свойств (9.12)–(9.14), получим следующую априорную оценку: которая справедлива для любых $\lambda \in \left( {0,2{\text{/}}5} \right)$. Поэтому в пределе при $\lambda \to + 0$ из неравенства (9.15) приходим к искомой глобальной во времени априорной оценке для классических решений задачи Коши: