1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 12, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 12, стр. 2175-2184

Метод дискретных источников для исследования влияния нелокальности на характеристики резонаторов плазмонного нанолазера

Ю. А. Еремин 1, *, А. Г. Свешников 1

1 МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет ВМК
119991 Москва, Ленинские горы, Россия

* E-mail: eremin@cs.msu.ru

Поступила в редакцию 06.05.2019
После доработки 06.05.2019
Принята к публикации 05.08.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Метод дискретных источников обобщается на случай исследования влияния эффекта нелокальности в слоистых частицах, расположенных на подложке. Подробно изложена схема построения приближенного решения и вычислительный алгоритм. Развитый подход применяется к исследованию оптических характеристик 3D резонаторов плазмонного нанолазера. Установлено, что учет эффекта нелокальности приводит к существенному снижению амплитуды плазмонного резонанса и коэффициента усиления интенсивности ближнего поля. Показано, что за счет изменения материала и толщины оболочки резонатора, а также изменения направления внешнего излучения возможно обеспечить увеличение коэффициента усиления более чем в 2 раза. Библ. 30. Фиг. 4.

Ключевые слова: метод дискретных источников, наноплазмоника, квантовый эффект нелокальности, плазмонный нанолазер (SPASER).

1. ВВЕДЕНИЕ

Плазмоны позволяют концентрировать электромагнитные поля в субнанометровом объеме, размеры которого далеко превосходят дифракционный предел оптической дифракции. Поверхностные плазмоны, которые являются следствием гибридизации между поверхностными зарядами и электромагнитными полями, инициировали появление предмета плазмоники как независимой части нанофотоники [1], [2]. Благодаря плазмонным эффектам стало возможным получать сверхвысокое усиление поля и его концентрацию в объемах, существенно превышающих релеевский предел разрешающей способности оптического оборудования [3]. В результате появился широкий спектр практических приложений, таких как наноразмерные фотонные схемы, оптические усилители, спектроскопия комбинационного рассеяния света и биосенсоринг [4], [5]. Позже, когда размер элементов плазмонных структур еще больше уменьшился, классические описания поведения электромагнитного поля стали недостаточными, и проявились квантово-механические эффекты, такие как эффект нелокальности и туннельный эффект [6]. Сегодня квантовая плазмоника создает много новых возможностей в расширении границ фундаментальной науки и прикладной квантовой технологии [7].

Фундаментальной научной проблемой в рамках квантовой плазмоники является проблема разработки и реализации наноразмерных источников когерентного излучения. Идея состоит в том, чтобы использовать плазмонные поля вместо фотонных, используемых в обычных лазерах. Дело в том, что плазмонные поля позволяют преодолеть дифракционное ограничение размера лазера. Плазмонный нанолазер называется: SPASER (Surface Plasmon Amplification by Simulated Emission of Radiation) [8]–[10]. Концепция спасера была впервые предложена Стокманом и Бергманом в 2003 г. (см. [11]). Одна из возможных реализаций спасера состоит из наночастиц благородного металла, выступающих в роли нанорезонаторов, заключенных в усиливающую среду [12]. В первой экспериментальной реализации спасера использовалась наноструктура ядро-оболочка, состоящая из золотой наносферы диаметром D = 14 нм со сферической оболочкой из SiO2 с внешним диаметром 44 нм [13]. До настоящего времени ведутся многочисленные исследования, посвященные разработке различных перспективных схем плазмонных нанолазеров (см. [7], [10]).

Ключевым элементом плазмонного нанолазера является резонатор, который представляет собой совокупность металлических и диэлектрических наноструктур, усиливающих внешнее возбуждение. 3D резонатор спасера функционирует на основе локализованных поверхностных плазмонов, а в качестве его окружения используется усиливающий материал. Существуют две наиболее используемые конфигурации 3D резонатора. Конфигурация двухслойной частицы из благородного металла с усиливающей средой, непосредственно внедренной в оболочку, и плазмонной наночастицы с диэлектрической оболочкой, помещенной в усиливающую среду [9], [13]. Особенностью подобного нанорезонатора является усиление поля непосредственно у его внешней оболочки относительно внешнего возбуждающего поля. Следует отметить, что слоистые сферические наночастицы, так называемые “наноматрешки”, в настоящее время широко используются в многочисленных практических приложениях [14]–[16].

Дальнейший прогресс в области плазмоники ведет к тому, что размер элементов плазмонных структур переходит на наноразмерный уровень. В этом случае классическое описание полей в рамках теории Максвелла становится недостаточным, и начинают проявляться квантово-механические эффекты, такие как нелокальное экранирование и туннельные эффекты [7]. Рассмотрение этих квантовых эффектов обеспечивает критическое понимание фундаментальных границ локализации и усиления поля в наноплазмонике, а также установление правильного функционирования плазмонных нанорезонаторов. При этом используются как квазиклассические модели описания эффекта нелокальности [17]–[19], так и чисто квантовые, например функциональная теория плотности во временной области (TDDFT) [20]. Вместе с тем TDDFT, которая описывает коллективное движение электронов, моделируя поведение каждого электрона, хорошо подходит для объяснения экспериментальных результатов для размеров частиц, всего в несколько нанометров. В настоящее время квазиклассические модели для описания квантовых эффектов в наноплазмонике являются наиболее востребованными, так как позволяют правильно описывать поведение оптических характеристик частиц диаметрами менее 10–20 нм [21].

В настоящей работе метод дискретных источников (МДИ) [22] обобщается для исследования влияния эффекта нелокальности, в рамках модели обобщенного нелокального отклика (Generalized Non-local Optical Response – GNOR) [18] на характеристики 3D резонаторов спасера. Рассматривается полностью адекватная модель, использованная Ногиновым и соавторами в первой экспериментальной реализации спасера [13], а именно слоистый резонатор, состоящий из золотой частицы, покрытой слоем прозрачного диэлектрика, расположенной на прозрачной подложке и помещенной в активную среду [13], [23]. Анализируется влияние учета обобщенного эффекта нелокальности (ЭН) как на характеристики рассеяния, так и ближние поля. Отметим, что ранее модель ЭН уже использовалась авторами при рассмотрении однородных частиц, в том числе и в присутствии подложки [24], [25].

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Пусть все пространство ${{\mathbb{R}}^{3}}$ разделено на два полупространства: верхнее – ${{D}_{0}}:{\text{ }}(z > 0)$, вмещающее активную среду и область подложки – ${{D}_{1}}:{\text{ }}(z < 0)$. Обозначим через $\Sigma :{\text{ }}(z = 0)$ плоскую границу раздела. Пусть слоистая осесимметричная частица, ось симметрии которой совпадает с осью 0z, целиком расположена в ${{D}_{0}}$. Плазмонное ядро будем обозначать как ${{D}_{i}}$, с гладкой границей $\partial {{D}_{i}} \subset {{C}^{{(2,{v})}}}$, a внешнюю оболочку – ${{D}_{s}}$ с внешней поверхностью $\partial {{D}_{s}} \subset {{C}^{{(2,{v})}}}$. Пусть $\{ {{{\mathbf{E}}}^{0}},{{{\mathbf{H}}}^{0}}\} $ − поле плоской электромагнитной волны линейной поляризации, распространяющейся под углом $\pi - {{\theta }_{0}}$ относительно нормали к подложке ${{D}_{1}}$, совпадающей с осью 0z. В этом случае рассматриваемая геометрическая структура: слоистая частица-подложка обладает осевой симметрией. Математическая постановка подобной задачи рассеяния с учетом ЭН может быть записана в следующем виде:

$\operatorname{rot} {{{\mathbf{H}}}_{\zeta }} = jk{{\varepsilon }_{\zeta }}{{{\mathbf{E}}}_{\zeta }},\quad \operatorname{rot} {{{\mathbf{E}}}_{\zeta }} = - jk{{\mu }_{\zeta }}{{{\mathbf{H}}}_{\zeta }}\quad {\text{в}}\quad {{D}_{\zeta }},\quad \zeta = 0,1,i,s,$
$\operatorname{rot} {{{\mathbf{H}}}_{i}} = jk({{\varepsilon }_{i}} + {{\eta }^{2}}\nabla {\text{div}}){{{\mathbf{E}}}_{i}}(M),\quad \operatorname{rot} {{{\mathbf{E}}}_{i}} = - jk{{\mu }_{i}}{{{\mathbf{H}}}_{i}}\quad {\text{в}}\quad {{D}_{i}},$
(1)
$\begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{n}}}_{i}} \times \left( {{{{\mathbf{E}}}_{i}}(P) - {{{\mathbf{E}}}_{s}}(P)} \right) = 0,} \\ {{{{\mathbf{n}}}_{i}} \times \left( {{{{\mathbf{H}}}_{i}}(P) - {{{\mathbf{H}}}_{s}}(P)} \right) = 0,\quad P \in {\text{ }}\partial {{D}_{i}}{\text{;}}} \\ {{{\varepsilon }_{L}}{{{\mathbf{n}}}_{i}} \cdot {{{\mathbf{E}}}_{i}}(P) = {{\varepsilon }_{s}}{{{\mathbf{n}}}_{i}} \cdot {{{\mathbf{E}}}_{s}}(P),} \end{array}\quad \begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{n}}}_{s}} \times \left( {{{{\mathbf{E}}}_{s}}(Q) - {{{\mathbf{E}}}_{0}}(Q)} \right) = {{{\mathbf{n}}}_{s}} \times {{{\mathbf{E}}}^{0}}(Q),} \\ {{{{\mathbf{n}}}_{s}} \times \left( {{{{\mathbf{H}}}_{s}}(Q) - {{{\mathbf{H}}}_{0}}(Q)} \right) = {{{\mathbf{n}}}_{s}} \times {{{\mathbf{H}}}^{0}}(Q),\quad Q \in {\text{ }}\partial {{D}_{s}},} \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {{{{\mathbf{e}}}_{z}} \times ({\mathbf{E}}_{0}^{t}(M) - {\mathbf{E}}_{1}^{t}(M)) = 0,} \\ {{{{\mathbf{e}}}_{z}} \times ({\mathbf{H}}_{0}^{t}(M) - {\mathbf{H}}_{1}^{t}(M)) = 0,\quad M \in \Sigma ,} \end{array} \\ \end{gathered} $
$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } {\text{ }}r \cdot \left( {{{{\mathbf{H}}}_{\xi }} \times \frac{{\mathbf{r}}}{r} - {{{\mathbf{E}}}_{\xi }}} \right) = 0,\quad r = \left| M \right| \to \infty ,\quad \xi = 0,1,\quad z \ne 0,$
$\max \left( {\left| {{{{\mathbf{H}}}_{\xi }}} \right|,\left| {{{{\mathbf{E}}}_{\xi }}} \right|} \right) = O({{\rho }^{{ - 1/2}}}),\quad \rho = \sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}}} ,\quad \rho \to \infty ,\quad z = \pm 0.$
Здесь $\{ {{{\mathbf{E}}}_{{0,1}}},{{{\mathbf{H}}}_{{0,1}}}\} $ – рассеянное, а $\{ {\mathbf{E}}_{{0,1}}^{t},{\mathbf{H}}_{{0,1}}^{t}\} $ – полное поле в ${{D}_{{0,1}}}$ соответственно, $\{ {{{\mathbf{E}}}_{i}},{{{\mathbf{H}}}_{i}}\} $ – поле внутри частицы, включающее поперечное (T) и продольное (L) поля ${{{\mathbf{E}}}_{i}} = {{{\mathbf{E}}}_{T}} + {{{\mathbf{E}}}_{L}}$, $\operatorname{div} {{{\mathbf{E}}}_{T}} = 0$, $\operatorname{rot} {{{\mathbf{E}}}_{L}} = 0$, $\{ {{{\mathbf{E}}}_{s}},{{{\mathbf{H}}}_{s}}\} $ – поле внутри оболочки, ${{{\mathbf{n}}}_{{i,s}}}$ – единичные нормали к поверхностям $\partial {{D}_{{i,s}}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{z}}$ – нормаль в поверхности подложки, $k = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c}$, а характеристики среды выбраны таким образом, что $\operatorname{Im} \left\{ {{{\varepsilon }_{{0,1,s}}};{{\mu }_{{0,1,s}}}} \right\} = 0$, $\operatorname{Im} {{\varepsilon }_{i}},{{\mu }_{i}} \leqslant 0$, $\operatorname{Im} {{\varepsilon }_{L}} \leqslant 0$. Предполагается, что временная зависимость выбрана в виде $\exp \left\{ {j\omega {\text{ }}t} \right\}$. Параметры $\eta $ и ${{\varepsilon }_{L}}$ описывают компоненты внутреннего продольного поля ${{{\mathbf{E}}}_{L}}$. Следует отметить, что из формулировки задачи (1) непосредственно вытекает, что продольная компонента поля, во-первых, локализована строго внутри частицы, и, во-вторых, не вносит вклад в магнитное поле ${{{\mathbf{H}}}_{i}}$, так как $\operatorname{rot} (\nabla \Psi ) = 0$. Условия излучения сформулированы таким образом, чтобы обеспечить обращение в нуль потока энергии на бесконечности для однородной задачи (1) [26]. В соответствии с законом сохранения энергии будем полагать, что поставленная граничная задача (1) имеет единственное классическое решение [27].

Будем строить приближенное решение задачи (1), руководствуясь базовой схемой МДИ [22]. Сначала решим задачу отражения и преломления поля плоской волны $\{ {{{\mathbf{E}}}^{0}},{{{\mathbf{H}}}^{0}}\} $ на границе раздела полупространств $\Sigma $. Поскольку частица располагается целиком в верхнем полупространстве – ${{D}_{0}}$, то суммарное поле падающей и отраженной волны обозначим через $\{ {\mathbf{E}}_{0}^{0},{\mathbf{H}}_{0}^{0}\} $. Введем следующие обозначения:

$\psi _{0}^{ \pm } = \exp \left\{ { - j{{k}_{0}}\left( {x\sin {{\theta }_{0}} \pm z\cos {{\theta }_{0}}} \right)} \right\},\quad {\mathbf{e}}_{0}^{ \pm } = \left( { \mp {{{\mathbf{e}}}_{x}}\cos {{\theta }_{0}} + {{{\mathbf{e}}}_{z}}\sin {{\theta }_{0}}} \right);$
здесь ${{{\mathbf{e}}}_{x}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{y}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{z}}$ – единичные векторы базиса декартовой системы координат. Тогда для случая P/S-поляризации плоской волны получим
(2)
${\mathbf{E}}_{0}^{{0(P,S)}} = {\mathbf{E}}_{0}^{{P,S( - )}} + {{R}_{{P,S}}} \cdot {\mathbf{E}}_{0}^{{P,S( + )}};\quad {\mathbf{H}}_{0}^{{0(P,S)}} = {\mathbf{H}}_{0}^{{P,S( - )}} + {{R}_{{P,S}}} \cdot {\mathbf{H}}_{0}^{{P,S( + )}},$
где
${\mathbf{E}}_{0}^{{P( \pm )}} = {\mathbf{e}}_{0}^{ \pm }\psi _{0}^{ \pm };\quad {\mathbf{H}}_{0}^{{P( \pm )}} = - {{{\mathbf{e}}}_{y}}{{n}_{0}}\psi _{0}^{ \pm },\quad {\mathbf{E}}_{0}^{{S( \pm )}} = {{{\mathbf{e}}}_{y}}\psi _{0}^{ \pm };\quad {\mathbf{H}}_{0}^{{S( \pm )}} = {\mathbf{e}}_{0}^{ \pm }{{n}_{0}}\psi _{0}^{ \pm },\quad {{n}_{0}} = \sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}} ,$
а ${{R}_{{P,S}}}$ – коэффициенты отражения Френеля [28]. Таким образом, внешнее возбуждение, удовлетворяющее условиям сопряжения на $\Sigma $ (2), построено.

Будем строить приближенное решение задачи (1) для рассеянного поля в ${{D}_{0}}$, учитывая осевую симметрию и поляризацию [22]. Представим рассеянное поле вне слоистой частицы, в ${{D}_{{0,1}}}$, в виде конечной линейной комбинации полей распределенных диполей и мультиполей, поля которых аналитически удовлетворяют системе уравнений Максвелла в областях ${{D}_{{0,1}}}$, условиям излучения на бесконечности, а также условиям сопряжения для тангенциальных компонент рассеянного поля на поверхности подложки $\Sigma $. В основу конструкции положим фурье-компоненты тензора Грина полупространства, которые могут быть записаны в виде интегральных представлений Вейля-Зоммерфельда [25]:

(3)
$G_{m}^{{e,h}}(\xi ,{{z}_{0}}) = \int {{{J}_{m}}(\lambda \rho ){v}_{{11}}^{{e,h}}(\lambda ,z,{{z}_{0}}){{\lambda }^{{1 + m}}}d\lambda } ,\quad g_{m}^{{e,h}}(\xi ,{{z}_{0}}) = \int {{{J}_{m}}(\lambda \rho ){v}_{{31}}^{{e,h}}(\lambda ,z,{{z}_{0}}){{\lambda }^{{1 + m}}}d\lambda } ;$
здесь ${{J}_{m}}(.)$ − цилиндрическая функция Бесселя, точка $\xi = (\rho ,z)$ располагается в полуплоскости φ = const, а координаты мультиполей расположены вдоль оси симметрии ${{z}_{0}} \in Oz$ строго внутри ${{D}_{i}} \cup {{D}_{s}}$ или могут содержать дополнительный комплексный параметр [22]. Спектральные функции электрического и магнитного типов ${v}_{{11}}^{{e,h}}$, ${v}_{{31}}^{{e,h}}$, обеспечивающие выполнение условий сопряжения на плоскости z = 0, имеют следующий вид [25]:
(4)
$\begin{gathered} {v}_{{11}}^{{e,h}}(\lambda ,z,{{z}_{0}}) = \frac{{\exp \left\{ { - {{\eta }_{0}}\left| {z - {{z}_{0}}} \right|} \right\}}}{{{{\eta }_{0}}}} + A_{{11}}^{{e,h}}(\lambda )\exp \left\{ { - {{\eta }_{0}}(z + {{z}_{0}})} \right\}{\text{,}}\quad {{z}_{0}} > 0,\quad z \geqslant 0; \\ {v}_{{31}}^{{e,h}}(\lambda ,z,{{z}_{0}}) = A_{{31}}^{{e,h}}(\lambda )\exp \left\{ { - {{\eta }_{0}}(z + {{z}_{0}})} \right\}{\text{,}}\quad {{z}_{0}} > 0,\quad z \geqslant 0. \\ \end{gathered} $
Спектральные коэффициенты $A$, $B$ определяются из условий при z = 0 в виде
$A_{{11}}^{{e,h}}(\lambda ,{{z}_{0}}) = \frac{{\chi _{0}^{{e,h}} - \chi _{1}^{{e,h}}}}{{\chi _{0}^{{e,h}} + \chi _{1}^{{e,h}}}}\frac{1}{{{{\eta }_{0}}}};\quad A_{{31}}^{{e,h}}(\lambda ,{{z}_{0}}) = \frac{{2\delta }}{{(\chi _{0}^{e} + \chi _{1}^{e})(\chi _{0}^{h} + \chi _{1}^{h})}},$
здесь введены обозначения:

${{\eta }_{\zeta }} = \sqrt {{{\lambda }^{2}} - k_{\zeta }^{2}} ,\quad \chi _{\zeta }^{e} = \frac{{{{\eta }_{\zeta }}}}{{{{\mu }_{\zeta }}}},\quad \chi _{\zeta }^{h} = \frac{{{{\eta }_{\zeta }}}}{{{{\varepsilon }_{\zeta }}}},\quad \delta = \frac{1}{{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}} - \frac{1}{{{{\varepsilon }_{1}}{{\mu }_{1}}}},\quad \zeta = 0,1.$

Перейдем к построению приближенного решения, учитывающего как осевую симметрию, так и поляризацию внешнего возбуждения [22]. Для построения рассеянного поля в ${{D}_{{0,1}}}$ вне слоистой частицы (область е) введем в рассмотрение следующие векторные потенциалы [25], которые в цилиндрической системе координат $\left( {\rho ,\varphi ,z} \right)$ принимают вид

(5)
$\begin{gathered} {\mathbf{A}}_{{mn}}^{{(e)e}} = \{ G_{m}^{e}(\xi ,z_{n}^{e})\cos (m + 1)\varphi ;\; - {\kern 1pt} G_{m}^{e}(\xi ,z_{n}^{e})\sin (m + 1)\varphi ;\; - {\kern 1pt} g_{m}^{e}(\xi ,z_{n}^{e})\cos (m + 1)\varphi \} , \\ {\mathbf{A}}_{{mn}}^{{(h)e}} = \{ G_{m}^{h}(\xi ,z_{n}^{e})\sin (m + 1)\varphi ;\;{\text{G}}_{m}^{h}(\xi ,z_{n}^{e}\cos (m + 1)\varphi ;\; - {\kern 1pt} g_{{m + 1}}^{h}(\xi ,z_{n}^{e})\sin (m + 1)\varphi \} ,\quad {\mathbf{A}}_{{0n}}^{{(e)e}} = {\text{G}}_{0}^{h}(\xi ,z_{n}^{e}{\text{)}}{{{\mathbf{e}}}_{z}}. \\ \end{gathered} $
Для построения поля внутри слоистой частицы будем использовать следующие потенциалы:
(6)
$\begin{gathered} {\mathbf{A}}_{{mn}}^{{(e)\nu }} = Y_{m}^{\nu }(\xi ,z_{n}^{\nu })\cos \left[ {(m + 1)\varphi } \right]{{{\mathbf{e}}}_{\rho }}\, - {\kern 1pt} Y_{m}^{\nu }(\xi ,z_{n}^{\nu })\sin \left[ {(m + 1)\varphi } \right]{{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}{\text{,}}\quad \nu = i,s \pm , \\ {\mathbf{A}}_{{mn}}^{{(h)\nu }} = Y_{m}^{\nu }(\xi ,z_{n}^{\nu })\sin \left[ {(m + 1)\varphi } \right]{{{\mathbf{e}}}_{\rho }} + Y_{m}^{\nu }(\xi ,z_{n}^{\nu })\left[ {\cos (m + 1)\varphi } \right]{{{\mathbf{e}}}_{\rho }},\quad {\mathbf{A}}_{n}^{{(e)\nu }} = Y_{0}^{\nu }(\xi ,z_{n}^{\nu }){{{\mathbf{e}}}_{z}}, \\ \end{gathered} $
где
$Y_{m}^{i}(\xi ,z_{n}^{i}) = {{j}_{m}}({\text{ }}{{k}_{i}}{{R}_{{\xi {\text{ z}}_{n}^{i}}}}){{(\rho {\text{/}}{{R}_{{\xi {\text{ z}}_{n}^{i}}}})}^{m}},$
${{j}_{m}}(.)$ – сферическая функция Бесселя,
$R_{{\xi {{{\text{z}}}_{n}}}}^{2} = {{\rho }^{2}} + {{(z - {{z}_{n}})}^{2}},\quad Y_{m}^{{s \pm }}(\xi ,z_{n}^{s}) = h_{m}^{{(2,1)}}({\text{ }}{{k}_{s}}{{R}_{{\xi {\text{z}}_{n}^{s}}}}){\text{ (}}\rho {\text{/}}{{R}_{{\xi {\text{z}}_{n}^{s}}}}{{{\text{)}}}^{m}},$
$h_{m}^{{(2,1)}}(.)$ – сферические функции Ханкеля, соответствующие “уходящим” и “приходящим” волнам, ${{k}_{\alpha }} = k\sqrt {{{\varepsilon }_{\alpha }}{{\mu }_{\alpha }}} $, $\alpha = i,s$, ${{z}_{n}}$ – координаты дискретных источников (ДИ).

Для учета ЭН и формирования приближенного решения для продольного поля ${{{\mathbf{E}}}_{L}}$ внутри частицы необходимо определить величины ${{\varepsilon }_{L}}$ и $\eta $, входящие в формулировку задачи (1). В соответствии с [21] ${{\varepsilon }_{L}} = {{\varepsilon }_{i}} - \omega _{p}^{2}{\text{/}}(j\gamma \omega - {{\omega }^{2}})$, где ${{\omega }_{p}}$ – плазменная частота для данного металла, $\gamma $ – коэффициент затухания в металле. Скалярный потенциал, определяющий продольное поле, удовлетворяет уравнению Гельмгольца $(\Delta + k_{L}^{2})\Psi (M) = 0$, а величина продольного волнового числа определяется как $k_{L}^{2} = {{\varepsilon }_{i}}(\omega ){\text{/}}{{\eta }^{2}}$, где ${{\eta }^{2}} = {{\varepsilon }_{L}}({{\beta }^{2}} + D(\gamma + j\omega )){\text{/}}({{\omega }^{2}} - j\gamma \omega )$ в рамках GNOR [18]. Коэффициент β – гидродинамическая скорость в плазме, связан со скоростью Ферма ${{{v}}_{F}}$ соотношением ${{\beta }^{2}} = 3{\text{/}}5{v}_{F}^{2}$, D – коэффициент диффузии электронов [18].

Перейдем теперь к построению приближенного решения для Р-поляризации. В этом случае продольное поле строится на основе следующих скалярных потенциалов:

(7)
$\Psi _{{mn}}^{P}(M) = {{j}_{{m + 1}}}({{k}_{L}}{{R}_{{\xi z_{n}^{i}}}})\cos (m + 1)\varphi ,\quad m = 0,1, \ldots ,M,\quad n = 1,2, \ldots ,{{N}_{L}},\quad {{\Psi }_{n}}(M) = {{j}_{0}}({{k}_{L}}{{R}_{{\xi z_{n}^{i}}}}).$
Тогда выражения для полей принимают вид
(8)
$\begin{gathered} {\mathbf{E}}_{\beta }^{N} = \sum\limits_{m = 0}^M {{\text{ }}\sum\limits_{n = 1}^{N_{\beta }^{m}} {\left\{ {p_{{mn}}^{\beta }\frac{j}{{k{{\varepsilon }_{\beta }}{{\mu }_{\beta }}}}\nabla \times \nabla \times {\mathbf{A}}_{{mn}}^{{(e)\beta }} + q_{{mn}}^{\beta }\frac{1}{{{{\varepsilon }_{\beta }}}}\nabla \times {\mathbf{A}}_{{mn}}^{{(h)\beta }}} \right\}} } + \sum\limits_{n = 1}^{N_{\beta }^{0}} {r_{n}^{\beta }\frac{j}{{k{{\varepsilon }_{\beta }}{{\mu }_{\beta }}}}\nabla \times \nabla \times {\mathbf{A}}_{n}^{{(e)\beta }},} \\ {\mathbf{E}}_{L}^{N} = \sum\limits_{m = 0}^M {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{L}}} {p_{{mn}}^{L}\nabla \Psi _{{mn}}^{P}(M) + } } \sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{L}}} {r_{n}^{L}\nabla {{\Psi }_{n}}(M)} ;\quad {\mathbf{H}}_{\beta }^{N}{\text{ }} = \frac{j}{{k{{\mu }_{\beta }}}}\nabla \times {\mathbf{E}}_{\beta }^{N},\quad \beta = e,T,s{\kern 1pt} \mp {\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $
Отметим, что внутри частицы ${\mathbf{E}}_{i}^{N} = {\mathbf{E}}_{T}^{N} + {\mathbf{E}}_{L}^{N}$, а внутри оболочки ${\mathbf{E}}_{s}^{N} = {\mathbf{E}}_{{s + }}^{N} + {\mathbf{E}}_{{s - }}^{N}$. При этом рассеянное поле в ${{D}_{e}}$ строится на основе потенциалов (5), а полное поле внутри слоистой частицы на основе (6), (7).

Рассмотрим теперь случай S-поляризации. В этом случае для продольного поля будем использовать потенциалы вида

(9)
$\Psi _{{mn}}^{S}(M) = {{j}_{{m + 1}}}({{k}_{L}}{{R}_{{\xi z_{n}^{i}}}})\sin (m + 1)\varphi ,\quad m = 0,1, \ldots ,M,\quad n = 1,2, \ldots ,{{N}_{L}}.$
Представления для полей в этом случае записываются как
(10)
$\begin{gathered} {\mathbf{E}}_{\beta }^{N} = \sum\limits_{m = 0}^M {{\text{ }}\sum\limits_{n = 1}^{N_{\beta }^{m}} {\left\{ {p_{{mn}}^{\beta }\frac{j}{{k{{\varepsilon }_{\beta }}{{\mu }_{\beta }}}}\nabla \times \nabla \times {\mathbf{A}}_{{mn}}^{{(h)\beta }} + q_{{mn}}^{\beta }\frac{1}{{{{\varepsilon }_{\beta }}}}\nabla \times {\mathbf{A}}_{{mn}}^{{(e)\beta }}} \right\}} } + \sum\limits_{n = 1}^{N_{\beta }^{0}} {r_{n}^{\beta }\frac{j}{{k{{\varepsilon }_{\beta }}{{\mu }_{\beta }}}}\nabla \times {\mathbf{A}}_{n}^{{(e)\beta }}} , \\ {\mathbf{E}}_{L}^{N} = \sum\limits_{m = 0}^M {\sum\limits_{n = 1}^{{{N}_{L}}} {p_{{mn}}^{L}\nabla \Psi _{{mn}}^{S}(M);} } \quad {\mathbf{H}}_{\beta }^{N}{\text{ }} = \frac{j}{{k{{\mu }_{\beta }}}}\nabla \times {\mathbf{E}}_{\beta }^{N},\quad \beta = e,T,s{\kern 1pt} \mp {\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $
Сравнивая представления (8) и (10), замечаем отсутствие вклада продольного поля ${\mathbf{E}}_{L}^{N}$ в независящую от φ гармонику (10). Это является следствием того, что в случае S-поляризации отсутствует нормальная компонента электрического поля в не зависящей от φ гармоники.

3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ МДИ

Прежде всего следует отметить, что представления для приближенного решения (8), (10) удовлетворяют всем условиям граничной задачи (1) за исключением условий сопряжения на поверхностях $\partial {{D}_{{i,s}}}$. Остановимся кратко на схеме вычислительного алгоритма определения вектора амплитуд ДИ ${{p}_{m}} = \{ p_{{mn}}^{T},p_{{mn}}^{L},q_{{mn}}^{T},p_{{mn}}^{{s \pm }},q_{{mn}}^{{s \pm }},p_{{mn}}^{e},q_{{mn}}^{e}\} $, $m = 0,1, \ldots ,M$. Отметим, что для любой фурье-гармоники размерность вектора амплитуд составляет $\left( {2{{N}_{T}} + {{N}_{L}} + 2{{N}_{{s + }}} + 2{{N}_{{s - }}} + 2{{N}_{e}}} \right)$, для его определения у нас имеется девять граничных условий: пять на $\partial {{D}_{i}}$ и четыре на $\partial {{D}_{s}}$. Эти условия используются для определения неизвестных амплитуд дискретных источников (ДИ). Для независящей от φ гармоники размерность вектора неизвестных равна $\left( {{{N}_{T}} + {{N}_{L}} + {{N}_{{s + }}} + {{N}_{{s - }}} + {{N}_{e}}} \right)$, для его определения имеется три условия на $\partial {{D}_{i}}$ и два на $\partial {{D}_{s}}$. Условия для определения ${{p}_{m}}$, $m = 0,1, \ldots ,M$, могут быть записаны в виде

${{{\mathbf{n}}}_{i}} \times \int\limits_0^{2\pi } {[{\mathbf{E}}_{T}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi ) + {\mathbf{E}}_{L}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi ) - {\mathbf{E}}_{{s + }}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi ) - {\mathbf{E}}_{{s - }}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi )]} {\kern 1pt} {{e}^{{ - jm\varphi }}}d\varphi = 0,$
${{{\mathbf{n}}}_{i}} \times \int\limits_0^{2\pi } {[{\mathbf{H}}_{i}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi ) - {\mathbf{H}}_{{s + }}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi ) - {\mathbf{H}}_{{s - }}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi )]{\kern 1pt} } {{e}^{{ - jm\varphi }}}d\varphi = 0,\quad \left\{ {{{\xi }_{k}}} \right\}_{{k = 1}}^{{{{K}_{i}}}},$
(11)
${{{\mathbf{n}}}_{i}} \times \int\limits_0^{2\pi } {[{{\varepsilon }_{L}}({\mathbf{E}}_{T}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi ) + {\mathbf{E}}_{L}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi )) - {{\varepsilon }_{s}}({\mathbf{E}}_{{s + }}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi ) + {\mathbf{E}}_{{s - }}^{N}({{\xi }_{k}},\varphi ))]{\kern 1pt} } {{e}^{{ - jm\varphi }}}d\varphi = 0,$
${{{\mathbf{n}}}_{s}} \times \int\limits_0^{2\pi } {[{\mathbf{E}}_{{s + }}^{N}({{\zeta }_{k}},\varphi ) + {\mathbf{E}}_{{s - }}^{N}({{\zeta }_{k}},\varphi ) - {\mathbf{E}}_{e}^{N}({{\zeta }_{k}},\varphi )]{\kern 1pt} } {{e}^{{ - jm\varphi }}}d\varphi = {{{\mathbf{n}}}_{s}} \times \int\limits_0^{2\pi } {{\mathbf{E}}_{0}^{0}({{\zeta }_{k}},\varphi ){{e}^{{ - jm\varphi }}}d\varphi } ,$
${{{\mathbf{n}}}_{s}} \times \int\limits_0^{2\pi } {[{\mathbf{H}}_{{s + }}^{N}({{\zeta }_{k}},\varphi ) + {\mathbf{H}}_{{s - }}^{N}({{\zeta }_{k}},\varphi ) - {\mathbf{H}}_{e}^{N}({{\zeta }_{k}},\varphi )]{\kern 1pt} } {{e}^{{ - jm\varphi }}}d\varphi = {{{\mathbf{n}}}_{s}} \times \int\limits_0^{2\pi } {{\mathbf{H}}_{0}^{0}({{\zeta }_{k}},\varphi ){{e}^{{ - jm\varphi }}}d\varphi } ,\quad \left\{ {{{\zeta }_{k}}} \right\}_{{k = 1}}^{{{{K}_{s}}}},$
где $\left\{ {{{\xi }_{k}}} \right\}_{{k = 1}}^{{{{K}_{i}}}}$, $\left\{ {{{\zeta }_{k}}} \right\}_{{k = 1}}^{{{{K}_{s}}}}$ – точки коллокаций, распределенные по образующим поверхностей $\partial {{D}_{{i,s}}}$. Далее алгоритм дословно повторяет описание численной схемы МДИ, изложенной в [24]. Аналогично строится численная схема определения амплитуд ДИ не зависящей от φ гармоники.

Определив амплитуды ДИ, легко вычислить как ближние поля (8), (10), так и характеристики рассеяния в дальней зоне. Нам понадобится диаграмма направленности рассеянного поля ${\mathbf{F}}(\theta ,\varphi )$ [29], ($\theta ,\varphi $) – компоненты которой на единичной верхней полусфере для Р-поляризации принимают вид

(12)
$\begin{gathered} F_{\theta }^{P}(\theta ,\varphi ) = j{{k}_{0}}\sum\limits_{m = 0}^M {\cos \left( {(m + 1)\varphi } \right){{{(j{{k}_{0}}\sin \theta )}}^{m}}} \times \\ \times \;\sum\limits_{n = 1}^{N_{0}^{m}} {\{ p_{{nm}}^{0}[\bar {G}_{n}^{e}\cos \theta + j{{k}_{0}}\bar {g}_{n}^{e}{{{\sin }}^{2}}\theta ] + q_{{nm}}^{0}\bar {G}_{n}^{h}\} } - {\text{ }}j\frac{{{{k}_{0}}}}{{{{\varepsilon }_{0}}}}\sin \theta \sum\limits_{n = 1}^{N_{0}^{0}} {r_{n}^{0}\bar {G}_{n}^{h}} , \\ F_{\varphi }^{P}(\theta ,\varphi ) = - j{{k}_{0}}\sum\limits_{m = 0}^M {\sin \left( {(m + 1)\varphi } \right){{{(j{{k}_{0}}\sin \theta )}}^{m}}} \sum\limits_{n = 1}^{N_{0}^{m}} {\{ p_{{nm}}^{0}\bar {G}_{n}^{e} + q_{{nm}}^{0}[\bar {G}_{n}^{h}\cos \theta + j{{k}_{0}}\bar {g}_{n}^{h}{{{\sin }}^{2}}\theta ]\} } , \\ \end{gathered} $
а для S-поляризации могут быть записаны в виде
(13)
$\begin{gathered} F_{\theta }^{S}(\theta ,\varphi ) = j{{k}_{0}}\sum\limits_{m = 0}^M {\sin \left( {(m + 1)\varphi } \right){{{(j{{k}_{0}}\sin \theta )}}^{m}}} \sum\limits_{n = 1}^{N_{0}^{m}} {\{ p_{{nm}}^{0}[\bar {G}_{n}^{e}\cos \theta {\text{ + j}}{{k}_{0}}\bar {g}_{n}^{e}{{{\sin }}^{2}}\theta ]{\text{ }} - q_{{nm}}^{0}\bar {G}_{n}^{h}\} } , \\ F_{\varphi }^{S}(\theta ,\varphi ) = j{{k}_{0}}\sum\limits_{m = 0}^M {\cos \left( {(m + 1)\varphi } \right){{{(j{{k}_{0}}\sin \theta )}}^{m}}} \times \\ \times \;\sum\limits_{n = 1}^{N_{0}^{m}} {\{ p_{{nm}}^{0}\overline G _{n}^{e} - q_{{nm}}^{0}[\bar {G}_{n}^{h}\cos \theta + j{{k}_{0}}\overline g _{n}^{h}{{{\sin }}^{2}}\theta ]\} } + {\text{ }}j\frac{{{{k}_{0}}}}{{{{\mu }_{0}}}}\sin \theta \sum\limits_{n = 1}^{N_{0}^{0}} {r_{n}^{0}\bar {G}_{n}^{e}} , \\ \end{gathered} $
где соответствующие спектральные функции $\bar {G}_{n}^{{e,h}}$, $\bar {g}_{n}^{h}$ имеют представления
(14)
$\begin{gathered} \bar {G}_{n}^{{e,h}}(\theta ) = \exp \{ j{{k}_{0}}z_{n}^{e}\cos \theta \} + A_{{11}}^{{e,h}}({{k}_{0}}\sin \theta ) \times \exp \{ - j{{k}_{0}}z_{n}^{e}\cos \theta \} ,\quad z_{n}^{e} > 0, \\ \bar {g}_{n}^{{e,h}}(\theta ) = j{{k}_{0}}\cos \theta {v}_{{31}}^{{e,h}}({{k}_{0}}\sin \theta ,\;z = 0,\;z_{n}^{e}). \\ \end{gathered} $
Таким образом, определив амплитуды ДИ для рассеянного поля, можно легко вычислить компоненты диаграммы направленности (12), (13) на единичной полусфере ${{\Omega }^{ + }} = \left\{ {0 \leqslant \theta \leqslant \pi {\text{/}}2;\;0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi } \right\}$. Напомним, что угол $\theta $ отсчитывается от нормали к подложке.

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Определим интенсивность рассеянного поля (DSC) на единичной полусфере в виде

${\text{DS}}{{{\text{C}}}^{{P,S}}}({{\theta }_{0}},\theta ,\varphi ) = {{\left| {F_{\theta }^{{P,S}}({{\theta }_{0}},\theta ,\varphi )} \right|}^{2}} + {{\left| {F_{\varphi }^{{P,S}}({{\theta }_{0}},\theta ,\varphi )} \right|}^{2}}.$
Тогда сечение рассеяния (SCS), которое представляет собой суммарную интенсивность рассеянного поля в верхнее полупространство, будет иметь вид
(15)
$\sigma _{{}}^{{P,S}}({{\theta }_{0}}) = \int\limits_{{{\Omega }^{ + }}} {{\text{DSC}}_{{}}^{{P,S}}{\text{ (}}{{\theta }_{0}},\theta ,\varphi {\text{)}}} d\omega .$
Размерность сечения рассеяния σ дается в мкм2.

Будем рассматривать модель, использованную в первой экспериментальной реализации спасера, а именно золотую наносферу диаметром D = 14 нм со сферической оболочкой из SiO2 (толщиной d = 10 нм) с внешним диаметром 44 нм [13]. Квантовые параметры, необходимые для определения ${{\varepsilon }_{L}}$ и продольного волнового числа ${{k}_{L}}$, выбраны в соответствии с [18] в виде

$\hbar {{\omega }_{p}} = 9.02\;{\text{eV}},\quad \hbar \gamma = 0.071\;{\text{eV}},\quad {{{v}}_{F}} = 1.39\;{\text{мкм/с}},\quad D = 8.62 \times {{10}^{8}}\;{\text{мк}}{{{\text{м}}}^{2}}{\text{/с}}{\text{.}}$
Отметим, что локальное значение диэлектрической проницаемости для Au – ${{\varepsilon }_{i}}(\omega )$ определялось с учетом частотной дисперсии золота [30]. В качестве материала подложки выбрано стекло BK7 (${{n}_{1}} = 1.52$), а в качестве активной среды – вещество CTAB (${{n}_{0}} = 1.336$) [12]. Предполагается, что плоская волна распространяется перпендикулярно подложке ${{\theta }_{0}} = {{0}^{ \circ }}$.

Сначала рассмотрим поведение SCS: (15) в диапазоне частот. Как видно из фиг. 1, учет ЭН (GNOR) приводит к снижению амплитуды ПР более чем на 40%. На фиг. 2 показан расчет коэффициента усиления интенсивности поля

$F = \int\limits_{\partial {{D}_{s}}} {{{{{{\left| {{{{\mathbf{E}}}_{e}} + {\mathbf{E}}_{0}^{0}} \right|}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left| {{{{\mathbf{E}}}_{e}} + {\mathbf{E}}_{0}^{0}} \right|}}^{2}}} {{{{\left| {{\mathbf{E}}_{0}^{0}} \right|}}^{2}}d\sigma }}} \right. \kern-0em} {{{{\left| {{\mathbf{E}}_{0}^{0}} \right|}}^{2}}d\sigma }}} $
вблизи поверхности оболочки $\partial {{D}_{s}}$. Как и раньше, наблюдается заметное снижение усиления при учете ЭН. Вместе с тем следует отметить, что сам коэффициент усиления $F$ не превышает 6%.

Фиг. 1.

Сечение рассеяния SCS: (15) с учетом ЭН (GNOR) и без учета (LRA) для золотой (Au) сферы $D = 14$ нм, покрытой оболочкой SiO2 толщиной $d = 10$ нм.

Фиг. 2.

Коэффициент усиления $F(\lambda )$ с учетом и без учета ЭН для той же частицы, что и в предыдущем случае.

Зададимся вопросом: как увеличить коэффициент усиления? Это можно сделать за счет вариации параметров модели. Исследования показали, что наибольшее влияние оказывают материал оболочки и ее толщина. На фиг. 3 можно видеть зависимость $F(\lambda )$ для оболочки из PSL (n = 1.59) толщиной d = 5 нм. В этом случае коэффициент усиления увеличивается на 50%. Зафиксируем теперь длину волны в районе ПР (фиг. 3 – $\lambda = 542$ нм) и рассмотрим поведение $F({{\theta }_{0}})$ от угла падения плоской волны для P-поляризации. Фиг. 4 показывает, что коэффициент усиления монотонно возрастает по мере увеличения наклона падения плоской волны. Эта ситуация не является неожиданной, так как еще в ранних работах авторов было отмечено, что интенсивность рассеянного поля для P-поляризации возрастает при увеличении угла наклона [22]. Данное явление связано с появлением вертикальной компоненты поля, которая превалирует над остальными. Однако следует заметить, что увеличение $F({{\theta }_{0}})$ связано собственно с усилением интенсивности поля только до значения ${{\theta }_{0}} \simeq {{45}^{ \circ }}$. Так как далее рост $F({{\theta }_{0}})$ обусловлен уменьшением знаменателя, т.е. ${{\left| {{\mathbf{E}}_{0}^{0}} \right|}^{2}}$.

Фиг. 3.

$F(\lambda )$для Au сферы $D = 14$ нм с оболочкой PSL толщиной $d = 5$ нм с учетом и без учета ЭН.

Фиг. 4.

Коэффициент усиления в зависимости от угла падения волны $F({{\theta }_{0}})$, при $\lambda = 542$ нм для той же частицы, что и в предыдущем случае.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод ДИ был обобщен на случай анализа характеристик моделей 3D резонаторов плазмонного нанолазера, расположенных на подложке, с учетом эффекта нелокальности. В результате моделирования было установлено, что учет ЭН в рамках модели GNOR приводит как к существенному снижению амплитуды ПР, так и коэффициента усиления интенсивности ближнего поля. Показано, что за счет изменения материала и толщины оболочки резонатора, а также изменения направления внешнего излучения возможно увеличить коэффициент усиления более чем в 2 раза.

Список литературы

  1. Pelton M., Bryant G. Introduction to Metal-Nanoparticle Plasmonics. John Wiley & Sons, 2013.

  2. Polman A., Atwater H.A. Plasmonics: optics at the nanoscale // Mater. Today. 2005. V. 8. № 1. P. 56.

  3. Gramotnev D.K., Bozhevolnyi S.I. Plasmonics beyond the diffraction limit // Nat. Photonics. 2010. V. 4. P. 83–91.

  4. Stockman M.I. Nanoplasmonic sensing and detection // Science. 2015. V. 348. P. 287–288.

  5. Anker J.N., Hall W.P., Lyandres O. et al. Biosensing with plasmonic nanosensors // Nat. Mater. 2008. V. 7. P. 442–453.

  6. Xu D., Xiong X., Wu L. et al. Quantum plasmonics: new opportunity in fundamental and applied photonics. Review // Advances in Optics and Photonics. 2018. V. 10. № 4. P. 703–756.

  7. Stockman M.I., Kneipp K., Bozhevolnyi S.I. et al. Roadmap on plasmonics // J. Opt. 2018. V. 20. N043001.

  8. Oulton R.F. Surface plasmon lasers: sources of nanoscopic light. Review // Materials Today. 2012. V. 15. № 1–2. P. 26–34.

  9. Premaratne M., Stockman M. Theory and technology of SPASERs. Review // Advances in Optics and Photonics. 2017. V. 9. № 1. P. 79–128.

  10. Балыкин В.И. Плазмонный нанолазер: современное состояние и перспективы // Успехи физ. наук. 2018. Т. 188. № 9. С. 935–963.

  11. Bergman D.J., Stockman M.I. Surface plasmon amplification by stimulated emission of radiation: quantum generation of coherent surface plasmons in nanosystems // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. N027402.

  12. Solowan H.-P., Kryschi C. Facile Design of a Plasmonic Nanolaser // Condens. Matter. 2017. V. 2. № 8. P. 1–7.

  13. Noginov M.A., Zhu G., Belgrave A.M. et al. Demonstration of a Spaser-Based Nanolaser // Nature. 2009. V. 460. P. 1110–1113.

  14. Phan A.D., Nga D.T., Viet N.A. Theoretical model for plasmonic photothermal response of gold nanostructures solutions // Optics Communications. 2018. V. 410. P. 108–111.

  15. Jeong Y., Kook Y.-M., Lee K., Koh W.-G. Metal enhanced fluorescence (MEF) for biosensors: General approaches and a review of recent developments // Biosensors and Bioelectronics. 2018. V. 111. P. 102–116.

  16. Dong T., Shi Y., Liu H., Chen F. et al. Investigation on plasmonic responses in multilayered nanospheres including asymmetry and spatial nonlocal effects // J. Phys. D: Appl. Phys. 2017. V. 50. N495302.

  17. Fernandez-Dominguez A.I., Wiener A., García-Vidal F.J. et al. Transformation-optics description of nonlocal effects in plasmonic nanostructures // Phys. Rev. Lett. 2012. V. 108. N106802.

  18. Mortensen N.A., Raza S., Wubs M. et al. A generalized non-local optical response theory for plasmonic nanostructures // Nat. Commun. 2014. V. 5. N3809.

  19. Toscano G., Straubel J., Kwiatkowski A. et al. Resonance shifts and spill-out effects in self-consistent hydrodynamic nanoplasmonics // Nat. Commun. 2015. V. 6. N7132.

  20. Barbry M., Koval P., Marchesin F. et al. Atomistic near-field nanoplasmonics: reaching atomic-scale resolution in nanooptics // Nano Lett. 2015. V. 15. N3410.

  21. Wubs M., Mortensen A. Nonlocal Response in Plasmonic Nanostructures/Quantum Plasmonics / S.I. Bozhevolnyi et al., Eds. Switzerland: Springer, 2017. P. 279–302.

  22. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Математические модели задач нанооптики и биофотоники на основе метода Дискретных источников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 2. С. 266–284.

  23. Ringe E., Sharma B., Henry R.-I. et al. Single nanoparticle plasmonics // Phys. Chem. Chem. Phys. 2013. V. 15. N4110.

  24. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Математическая модель учета эффекта нелокальности плазмонных структур на основе метода дискретных источников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 4. С. 586–594.

  25. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод анализа рассеивающих свойств плазмонных частиц на подложке с учетом эффекта нелокальности // Докл. АН. 2017. V. 477. № 2. P. 153–158.

  26. Jerez-Hanckes C., Nedelec J.-C. Asymptotics for Helmholtz and Maxwell solutions in 3-D open waveguides // Research report № 2010-07. February 2010. ETH, Swiss Federal Institute of Technology Zurich. 25 p.

  27. Schmitt N., Scheid C., Lanteri S., Moreau A., Viquerat J. A DGTD method for the numerical modeling of the interaction of light with nanometer scale metallic structures taking into account non-local dispersion effects // J. Computat. Phys. 2016. V. 316. P. 396–415.

  28. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 713 с.

  29. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 312 с.

  30. http://www.refractiveindex.info.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал