Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 6, стр. 972-983

3.1. Первый способ

В первом способе применения вариационных принципов для решения задачи (2.1), (2.2) дополнительно предположим, что функции $A(t)$, $B(t)$ и $f(t)$ непрерывно дифференцируемы и $\operatorname{rank} {{a}_{1}} = {{k}_{1}}$, $\operatorname{rank} {{a}_{2}} = {{k}_{2}}$. При этом предположении мы имеем ${{k}_{1}} + {{k}_{2}}$ линейно независимых граничных условий (2.2), причем ${{k}_{1}} \leqslant n$, ${{k}_{2}} \leqslant n$.

Пусть задача (2.1), (2.2) является переопределенной и не имеет решения. Цель метода – формулировка краевой задачи для замкнутой дифференциальной системы уравнений с достаточными граничными условиями, решение которой (предполагается, что оно существует) будет приниматься в качестве псевдорешения исходной задачи.

Введем скалярное произведение $(u,v)$ векторных функций $u$ и $v$ как интеграл

Используя метод наименьших квадратов, заменим задачу (2.1), (2.2) задачей минимизации функционала от скалярного квадрата невязки уравнений (2.1)

на функциях, удовлетворяющих граничным условиям (2.2). Задачу минимизации этого функционала будем решать классическим вариационным методом (см. [4]). В этом отличие предлагаемого метода от методов типа Ритца, Галеркина (см. [5]) и различных их модификаций (см., например, [6] и приведенную там библиографию), основа которых состоит в том, что функционал минимизируется непосредственно как функция некоторых параметров, определяющих зависимость искомого приближения к функции $y$.

Через $F(t,{{y}_{1}},\;...,\;{{y}_{n}},y_{1}^{'},\;...,\;y_{n}^{'})$ обозначим подынтегральную функцию в (3.1). Функции ${{y}_{i}},\;i = 1,\;...,\;n,$ – компоненты вектора $y(t),$ минимизирующего функционал (3.1), удовлетворяют уравнениям Эйлера

Система уравнений (3.2) определяет 2n-параметрическое семейство экстремалей вариационной задачи (3.1).

Учитывая вид функции F, можно получить матричную запись системы (3.2), которая будет иметь вид

или

Эта система дифференциальных уравнений состоит из $n$ линейных уравнений второго порядка с коэффициентом при $y{\kern 1pt} ''$, равным $A{\kern 1pt} {\text{*}}A$. Матрица $A{\kern 1pt} {\text{*}}A$ обратима, так что систему (3.4) можно разрешить относительно второй производной вектора $y$_.

Введем оператор $D$ как оператор дифференцирования, определенный на функциях, удовлетворяющих граничным условиям (2.2), если положить в них ${{c}_{1}} = 0$ и ${{c}_{2}} = 0$. Пусть $D{\text{*}}$ – сопряженный ему оператор. Используя определение сопряженного оператора

нетрудно видеть (используя интегрирование по частям), что оператор $D{\kern 1pt} {\text{*}}$ – это оператор дифференцирования, взятый со знаком минус, при некоторых граничных условиях. Эти граничные условия для дальнейшего нужно сформулировать.

С помощью операторов $D$ и $D{\kern 1pt} {\text{*}}$ систему (3.3) можно записать в эквивалентном виде, который получается, если оператор, сопряженный оператору $(AD - B)$, применить к вектор-функции $Ay{\kern 1pt} {\text{'}} - By - f$ и приравнять нулю. Действительно, мы имеем

Отсюда, учитывая, что $D{\kern 1pt} {\text{*}}z = - z{\kern 1pt} {\text{'}}$ (z – вектор из области определения $D{\kern 1pt} {\text{*}}$), получается (3.4).

Это свойство будет использовано при получении дополнительных граничных условий для трансформированной задачи.

Проводя параллель, систему уравнений (3.5) можно трактовать как аналог первой трансформации Гаусса дифференциальной системы (2.1) с помощью дифференциального оператора $(AD - B){\text{*}}$. Здесь также от исходной переопределенной дифференциальной системы мы переходим к замкнутой дифференциальной системе, решения которой минимизируют функционал от квадрата невязок исходной системы на функциях, удовлетворяющих граничным условиям (2.2).

Поскольку мы имеем дело с дифференциальными операторами, то рассмотрим подробнее граничные условия соответствующих краевых задач. Отметим, что граничные условия оператора $(AD - B){\text{*}}$ – это граничные условия оператора $D{\kern 1pt} {\text{*}}$ на функциях $A{\kern 1pt} {\text{*}}z$.

Если число заданных линейно независимых граничных условий удовлетворяет условию ${{k}_{1}} = {{k}_{2}} = n$, то получившаяся задача (3.5), (2.2) вполне определенна; ее решение (будем считать, что оно существует) принимается за решение (псевдорешение) исходной задачи (2.1), (2.2) по методу наименьших квадратов.

Если число заданных граничных условий удовлетворяет соотношению ${{k}_{1}} + {{k}_{2}} < 2n$, то возникает необходимость формулировки недостающих граничных условий для трансформированной системы (3.5). Для этого предлагается сделать следующее.

Запишем (3.5) в виде

Далее будем дополнительно предполагать, что векторная функция $A{\kern 1pt} {\text{*}}(Ay{\kern 1pt} {\text{'}} - By - f)$ принадлежит области определения оператора $D{\kern 1pt} {\text{*}}$. Тогда можно вывести соответствующие соотношения, которые дадут необходимые добавочные граничные условия.

Для вывода этих условий найдем граничные условия, которым удовлетворяет оператор $D{\kern 1pt} {\text{*}}$. Для этого вновь используем определение сопряженного оператора $(Du,v) = (u,D{\kern 1pt} {\text{*}}v)$ и интегрирование этого равенства по частям. Поскольку $Du = u{\kern 1pt} {\text{'}}$, $D{\kern 1pt} {\text{*}}v = - v{\kern 1pt} {\text{'}}$, то

Отсюда следует условие которое должно выполняться на всех функциях $u$, $v$ из области определения операторов $D$, $D{\kern 1pt} {\text{*}}$ соответственно. Если $v(1) = 0$ или $u(1) = 0$, то будет иметь место соотношение

Наша задача – получить отсюда граничное условие для функции $v$ при $t = 0$.

Допустимое значение $u(0)$ выделяется первым условием (2.2) при ${{c}_{1}} = 0$, т.е. условием ${{a}_{1}}u(0) = 0.$ Из этого условия и условия (3.6) следует соотношение $v{\kern 1pt} {\text{*}}(0) = \gamma {{a}_{1}}$, где $\gamma $ – некоторая ${{k}_{1}}$-строка. Требуется выделить совокупность значений $v(0)$, удовлетворяющих этому соотношению, с помощью условия вида

где ${{p}_{1}}$ – матрица размера $(n - {{k}_{1}}) \times n$, подлежащая определению. Это даст $(n - {{k}_{1}})$ дополнительных условий и позволит получить на левом конце в сумме $n$ граничных условий.

Условие (3.7) эквивалентно условию $v{\text{*}}(0)p_{1}^{*} = 0,$ т.е. условию $\gamma {{a}_{1}}p_{1}^{*} = 0$. Из этого соотношения, в силу произвольности $\gamma $, для искомой матрицы ${{p}_{1}}$ следует, что совокупность строк этой матрицы ортогональна совокупности строк матрицы ${{a}_{1}}$ в смысле скалярного произведения, определяемого для строк формулой $(w,z) = wz{\text{*}}$. Поэтому в качестве строк искомой матрицы ${{p}_{1}}$ берем базис в $(n - {{k}_{1}})$-мерном ортогональном дополнении к ${{k}_{1}}$-мерному пространству строк матрицы ${{a}_{1}}$.

Используя условие (3.7), сформулируем дополнительные граничные условия на левом конце для системы (3.5). С учетом предположения, что функция $A{\kern 1pt} {\text{*}}(Ay{\kern 1pt} {\text{'}} - By - f)$ принадлежит области определения оператора $D{\kern 1pt} {\text{*}}$ и, следовательно, удовлетворяет граничным условиям этого оператора, т.е условию (3.7), получим искомые граничные условия в виде

(всего $n - {{k}_{1}}$ условий).

В частности, если на левом конце не задано никаких граничных условий, т.е. ${{k}_{1}} = 0$, то ${{p}_{1}}$ – квадратная невырожденная $(n \times n)$-матрица и дополнительные граничные условия будем задавать уравнением

(всего $n$ условий).

Аналогично для оператора $D{\kern 1pt} {\text{*}}$ находятся граничные условия при $t = 1$ вида

где ${{p}_{2}}$ – матрица размера $(n - {{k}_{2}}) \times n$. Из (3.10), как показано выше, следует, что в качестве строк матрицы ${{p}_{2}}$ можно взять базис в $(n - {{k}_{2}})$-мерном ортогональном дополнении к ${{k}_{2}}$-мерному пространству строк матрицы ${{a}_{2}}$. В результате для трансформированной задачи (3.5) получаются дополнительные граничные условия при $t = 1$ вида (всего $n - {{k}_{2}}$ условий).

При ${{k}_{2}} = 0$ граничные условия задаются уравнением

что дает $n$ условий.

Отметим, что выполнение условий (3.9), (3.12) означает требование, чтобы в точках $t = 0$, $t = 1$ решение системы (3.5) удовлетворяло уравнению

Таким образом, мы получили систему $n$ линейно независимых уравнений второго порядка (3.5) и $2n$ линейно независимых граничных условий для нее: при $t = 0$ – это условия (3.8) и первое из условий (2.2), что в сумме дает $n$ условий, или $n$ условий (3.9); аналогично, при $t = 1$ – это условия (3.11) и второе условие (2.2), или $n$ условий (3.12). Такая задача является полностью определеной. Ее решение, как и в случае заданных достаточных граничных условий для (3.5), дает решение (псевдорешение) исходной задачи (2.1), (2.2) по методу наименьших квадратов.

На способах решения системы (3.5) мы не останавливаемся. Отметим только, что если известна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы, то решение неоднородной системы может быть выражено в квадратурах. Решение уравнения (3.5), полученного для одного уравнения вида (2.1), всегда выражается в квадратурах (см. Замечание ниже). При численном решении полученной краевой задачи для системы (3.5) применяется, в частности, метод ортогональной прогонки (см. [7]).

Проиллюстрируем применение изложенного метода на некоторых простых примерах. В качестве таких примеров мы будем рассматривать следующий класс задач. Пусть переопределенная задача имеет решение (притом единственное), но если в исходные данные задачи (уравнения или граничные условия) вносится погрешность, то такая возмущенная краевая задача становится неразрешимой. Очевидно, в этом случае псевдорешение, полученное описанным способом, для достаточно малых погрешностей будет близко к решению невозмущенной задачи.

Пример 1. Пусть $n = 1$ и задача (2.1), (2.2) имеет вид

Эта задача переопределенная (с избыточными согласованными граничными условиями) и имеет единственное решение $y = {{t}^{2}}.$

Если внести погрешность в коэффициенты уравнения, например, вида

то граничные условия становятся несогласованными и такая задача решения не имеет. Будем искать ее псевдорешение описанным методом.

В этом случае оператор $D{\kern 1pt} {\text{*}}$ – это минус оператор дифференцирования без каких-либо граничных условий, и задача, полученная после трансформации (3.5), имеет вид

Эта задача определенная (граничные условия у нее достаточные) и имеет единственное решение $y(t) = {{t}^{2}},$ которое в данном случае совпадает с точным решением невозмущенной задачи.

Если внести погрешность в граничные условия задачи (3.13), например, следующим образом:

то такие граничные условия несогласованы и задача не имеет решения; ее псевдорешение будет иметь вид $y(t) = {{(t + {\varepsilon \mathord{\left/ {\vphantom {\varepsilon 2}} \right. \kern-0em} 2})}^{2}} - {{{{\varepsilon }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }^{2}}} 4}} \right. \kern-0em} 4}$. (У возмущенного решения вершина параболы сдвинута на величину $O(\varepsilon )$.)

Пример 2. Рассмотрим задачу (2.1), (2.2) для $n = 1$, $m = 2$ вида

В этом случае система уравнений переопределенная, а граничное условие одно. (Здесь мы рассматриваем пример возмущения коэффициентов уравнений.) Такая задача решения не имеет.

Здесь

$A{\kern 1pt} {\text{*}}A = 2$ и задача для трансформированного уравнения (3.5) имеет вид

Граничных условий у нее недостаточно, поэтому, согласно (3.12), берем дополнительное условие при $t = 1$ в виде $2y{\kern 1pt} {\text{'}}(1) = 2 + \varepsilon $. Решение трансформированной задачи с такими краевыми условиями – это функция $y = (1 + {\varepsilon \mathord{\left/ {\vphantom {\varepsilon 2}} \right. \kern-0em} 2})t$. Точное решение невозмущенной задачи (3.14), функция $y = \;t,$ отличается от псевдорешения на величину $O(\varepsilon )$.

Рассмотрим более общий пример одного уравнения. Вначале сделаем

Замечание. Пусть система (2.1) состоит из одного уравнения вида $y{\kern 1pt} {\text{'}} - b(t)y = f(t),$ которое разрешимо в квадратурах. Уравнение Эйлера (3.5) для этого случая имеет вид

Очевидно, что каждое решение исходного уравнения является решением уравнения Эйлера. Поэтому, зная решение однородного уравнения, можно понизить порядок уравнения Эйлера и получить его решение также в квадратурах. Таким образом, для одного уравнения описанный метод всегда позволяет получить искомое псевдорешение в аналитическом виде.

Пример 3. Рассмотрим задачу

Общее решение этого уравнения имеет вид $y = (C + t){{e}^{{{{t}^{2}}}}}$. Если ${{g}_{0}}$ и ${{g}_{1}}$ связаны соотношением $\frac{{{{g}_{1}}}}{e} - 1 = {{g}_{0}}$, то задача имеет единственное решение $y = ({{g}_{0}} + t){{e}^{{{{t}^{2}}}}}$. Если эта связь между ${{g}_{0}}$ и ${{g}_{1}}$ нарушена, то задача решения не имеет.

Уравнение Эйлера для этого примера имеет вид

Решение соответствующего однородного уравнения – это функция ${{y}_{1}} = {{e}^{{{{t}^{2}}}}}$. Для понижения порядка уравнения сделаем замену $y = {{y}_{1}}z,\;z{\kern 1pt} ' = u$, где функция $u(t)$ удовлетворяет уравнению $u{\kern 1pt} {\text{'}} + 4tu = 4t$. Решение этого уравнения – $u = 1 + {{C}_{2}}{{e}^{{ - 2{{t}^{2}}}}}$. Отсюда имеем Из граничных условий (3.15) следует Если указанное соотношение между ${{g}_{0}}$ и ${{g}_{1}}$ выполняется, то ${{C}_{2}} = 0$ и $y = (g{}_{0} + t){{e}^{{{{t}^{2}}}}}$, что совпадает с точным решением.

3.2. Второй способ

Рассмотрим другой вариант применения метода наименьших квадратов к задаче (2.1), (2.2). В этом способе, в отличие от первого варианта, никаких дополнительных предположений не делается. В частности, здесь допускается, что $\operatorname{rank} {{a}_{1}} < {{k}_{1}}$, $\operatorname{rank} {{a}_{2}} < {{k}_{2}}$, то есть возможны избыточные граничные условия, не являющиеся линейно независимыми.

Как и прежде, наша цель – получить замкнутую согласованную краевую задачу, используя вариационный подход. В этом случае рассмотренный первый способ неприменим. Поступим следующим образом.

Возьмем какую-либо точку $t = {{t}_{0}}$, $0\,\, \leqslant \,\,{{t}_{0}} \leqslant \,\,1,$ и перенесем в нее граничные условия, заданные в точках $t = 0$ и $t = 1$. Для этого будем применять какой-нибудь метод переноса граничных условий (см., например, [7], [8]), используя при этом исходное уравнение (2.1), если система замкнута, т.е. $m = n$, или трансформированное уравнение вида

в противном случае. В результате перенесения всех заданных граничных условий в выбранную точку получится совокупность ${{k}_{1}} + {{k}_{2}}$ линейных алгебраических уравнений относительно величины ${{y}_{0}} = y({{t}_{0}})$. Применим к этой системе уравнений метод наименьших квадратов в виде (1.2). Тогда мы получим значение $y({{t}_{0}})$ (может быть неединственное), которое будет использовано как начальное условие в точке $t = {{t}_{0}}$ для исходного уравнения (при $m = n$) или для уравнения (3.16) (при $m \ne n$) соответственно.

Отметим, что в этом способе отдельно минимизируются сумма квадратов невязок уравнений и сумма квадратов невязок граничных условий.

Продемонстрируем результаты применения этого метода для сравнения на примерах, рассмотренных выше.

Пример 1. Вначале рассмотрим задачу (3.13) с возмущенной правой частью. Выберем какую-либо точку ${{t}_{0}}$, $0\,\, \leqslant \,\,{{t}_{0}} \leqslant \,\,1$. Тогда перенос левого граничного условия в точку ${{t}_{0}}$ решением задачи Коши: $y{\kern 1pt} ' = 2t + \varepsilon ,\;y(0) = 0,$ дает значение $y({{t}_{0}}) = t_{0}^{2} + \varepsilon \,{{t}_{0}},$ а правого – решением задачи Коши: $y{\kern 1pt} ' = 2t + \varepsilon ,\;y(1) = 1,$ – значение $y({{t}_{0}}) = t_{0}^{2} + \varepsilon \,{{t}_{0}} - \varepsilon .$

Получившаяся система уравнений относительно ${{y}_{0}} = y({{t}_{0}})$ имеет вид

где

Преобразованная по методу наименьших квадратов система имеет вид $A{\kern 1pt} {\text{*}}A{{y}_{0}} = A{\kern 1pt} {\text{*}}b$, а именно, $2{{y}_{0}} = 2t_{0}^{2} + 2\varepsilon \,{{t}_{0}} - \varepsilon $. Решение уравнения $y{\kern 1pt} ' = 2t + \varepsilon $ с таким начальным условием в точке $t = {{t}_{0}}$ – это псевдорешение возмущенной задачи, полученное рассматриваемым способом применения метода наименьших квадратов; оно задается функцией

здесь решение не зависит от выбора точки ${{t}_{0}}$.

Рассмотрим также задачу (3.13) с возмущенным граничным условием. Перенос левого граничного условия в точку ${{t}_{0}}$ решением задачи Коши: $y{\kern 1pt} ' = 2t,\;y(0) = 0,$ дает значение $y({{t}_{0}}) = t_{0}^{2},$ а правого – решением задачи Коши: $y{\kern 1pt} ' = 2t,\;y(1) = 1 + \varepsilon ,$ – значение $y({{t}_{0}}) = t_{0}^{2} + \varepsilon .$

В системе уравнений $A{{y}_{0}} = b$ имеем

Из преобразованной по методу наименьших квадратов системы следует начальное условие ${{y}_{0}} = t_{0}^{2} + \frac{\varepsilon }{2}$ в точке $t = {{t}_{0}}$ для уравнения $y{\kern 1pt} ' = 2t$, откуда получаем псевдорешение возмущенной задачи в виде $y = {{t}^{2}} + \frac{\varepsilon }{2};$ это решение также не зависит от выбора начальной точки.

Пример 2. В этом случае псевдорешение задачи (3.14), полученное вторым способом, – это функция $y = (1 + {\varepsilon \mathord{\left/ {\vphantom {\varepsilon 2}} \right. \kern-0em} 2})t;$ оно совпадает с решением, полученным первым способом. Это совпадение, очевидно, обусловлено отсутствием в этой задаче избыточных граничных условий.

Пример 3. Перенос левого граничного условия в точку ${{t}_{0}}$ с помощью уравнения (3.15) дает значение ${{y}_{0}} = y({{t}_{0}}) = ({{t}_{0}} + {{g}_{0}}){{e}^{{{{t}_{0}}^{2}}}}.$ Аналогичный перенос правого граничного условия в точку ${{t}_{0}}$ дает значение ${{y}_{0}} = y({{t}_{0}}) = \left( {{{t}_{0}} + \frac{{{{g}_{1}}}}{e} - 1} \right){{e}^{{{{t}_{0}}^{2}}}}.$

Для нахождения ${{y}_{0}}$ получаем алгебраическую линейную систему уравнений $A{{y}_{0}} = f,$ где

Решение этой системы методом наименьших квадратов дает значение Решение заданного уравнения с таким начальным условием имеет вид и не зависит от выбора точки ${{t}_{0}}.$ Если выполняется указанное в этом примере соотношение $\frac{{{{g}_{1}}}}{e} - 1 = {{g}_{0}}$, то получается точное решение исходной задачи $y = ({{g}_{0}} + t){{e}^{{{{t}^{2}}}}}$.

Для иллюстрации на фиг. 1 приведены графики полученных решений этой задачи, в которой значение ${{g}_{0}}$ фиксировалось нулем, а значение ${{g}_{1}}$ варьировалось, т.е. задачи

с точным решением $y = t{{e}^{{{{t}^{2}}}}}$, удовлетворяющим условию $g = e$.

На этом рисунке сплошной линией изображено точное решение, а пунктирными линиями – псевдорешения, полученные для различных значений $g$.

Пример 4. Рассмотрим также пример задачи, которая допускает решение только вторым способом, поскольку она имеет избыточные линейно зависимые несогласованные граничные условия:

Эта задача, очевидно, решения не имеет. Применяя второй способ, в результате переноса всех граничных условий в точку $t = {{t}_{0}}$ с помощью заданного уравнения получим алгебраическую систему где ${{y}_{0}} = y({{t}_{0}})$. Задача, полученная после первой трансформации Гаусса для этой системы, имеет вид $4{{y}_{0}} = 4{{t}_{0}} + 1$, откуда ${{y}_{0}} = {{t}_{0}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}$. Решение заданного уравнения $y{\kern 1pt} ' = 1$ при таком граничном условии – это функция $y = t + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}$ (псевдорешение исходной задачи).

Рассмотренные двумя описанными способами примеры задач показывают, что эти способы, как правило, дают различные результаты, поскольку в них метод наименьших квадратов используется в разных линейных пространствах. Кроме того, даже на этих простых примерах видно, что трудно сделать вывод, когда какой метод предпочтительнее, если, конечно, они оба применимы. Логично в рассмотренных простых случаях следовать выбору метода в зависимости от того, в результате каких возмущений исходная задача становится неразрешимой.

Поскольку в первом методе полученное псевдорешение точно удовлетворяет заданным граничным условиям, то его лучше применять, если известно, что возмущения внесены только в коэффициенты уравнений.

Если возмущены граничные условия, а система уравнений – нет, то, видимо, следует применять второй метод, так как он точно учитывает уравнения, а граничные условия усредняет по методу наименьших квадратов.

В общем случае выбор метода зависит от заданной конкретной задачи.