Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 6, стр. 984-989

Локализации собственных функций оператора Лапласа в областях различной геометрической формы посвящен ряд работ, различных по своему характеру [1]–[6]. К ним относятся как работы [1]–[3], в которых приводятся главным образом постановка задачи и вычислительные эксперименты, демонстрирующие поведение собственных функций и собственных значений в конкретных областях, так и работы математического характера. Среди последних необходимо отметить работы [4]–[6], в которых получен ряд законченных результатов для областей с “отростками” и “тонкими перемычками” достаточной произвольной формы.

В настоящем сообщении рассматривается вопрос о локализации собственных функций оператора Лапласа в прямоугольной области, разделенной на две подобласти бесконечно тонким перфорированным барьером, параллельным одной из сторон прямоугольника (см. фиг. 1).

Основной результат заключается в том, что несмотря на то, что суммарная длина отрезков, составляющих барьер, может быть сколь угодно малой, при достаточно малых отверстиях в барьере имеет место локализация собственных функций в одной из подобластей, на которые барьер разбивает область.

Рассмотрим задачу на собственные значения

где область $\Omega {\backslash }T$, в которой рассматривается дифференциальное уравнение, представляет собой прямоугольник $\Omega $ с выброшенным барьером $T$. Прямоугольник $\Omega $ определяется условиями $\Omega = \left\{ {(x,y): - b < x < a,\;0 < y < 1} \right\}$. Прямоугольник $\Omega $ разбивается барьером $T$ на две подобласти $\Omega = {{\Omega }_{1}} \cup {{\Omega }_{2}}$, где ${{\Omega }_{1}} = \left\{ {(x,y):0 < x < a} \right\}$ и ${{\Omega }_{2}} = \left\{ {(x,y): - b < x < 0,\;0 < y < 1} \right\}$.

Барьер $T$ является объединением непересекающихся отрезков ${{T}_{i}} = \left\{ {(x,y):x = 0,\;{{c}_{i}} \leqslant y \leqslant {{d}_{i}}} \right\}$, где ${{d}_{0}} = 0 \leqslant {{c}_{1}} < {{d}_{1}} < \ldots < {{c}_{i}} < {{d}_{i}} < \ldots < {{c}_{N}} \leqslant 1$, т.е. на границе барьера $T = \bigcup\nolimits_i^{} {{{T}_{i}}} $ собственные функции удовлетворяют однородному условию Дирихле.

Докажем следующие утверждения, которые составляют основное содержание сообщения.

Лемма 1. Если диаметр максимального отверстия в барьере $h = \mathop {max}\limits_i ({{c}_{{i + 1}}} - {{d}_{i}}) \to 0$, то существует собственное значение задачи (1), (2), стремящееся к наименьшему собственному значению $\tfrac{{{{\pi }^{2}}}}{{{{a}^{2}}}} + {{\pi }^{2}}$ оператора Лапласа с условиями Дирихле в области ${{\Omega }_{1}}$.

Пусть $I(x) = \int_0^1 {{{u}^{2}}(x,y)dy} $. Будем рассматривать отношение $\tfrac{{I({{x}_{1}})}}{{I({{x}_{2}})}}$, где $0 < {{x}_{1}} < a$, $ - b < {{x}_{2}} < 0$, в качестве характеристики локализации собственной функции.

Лемма 2. $\tfrac{{I({{x}_{1}})}}{{I({{x}_{2}})}} \to \infty $ при $h \to 0$ для любых ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, принадлежащих указанным областям.

Справедливость леммы 2 означает локализацию собственной функции в подобласти ${{\Omega }_{1}}$. Утверждения, аналогичные лемме 1 и лемме 2, справедливы и для области ${{\Omega }_{2}}$.

Прежде, чем дать доказательство леммы 1, приведем некоторые поясняющие выкладки, которым не будем придавать характер математически строгих утверждений, и которые не будут использоваться в дальнейших доказательствах.

Задача (1), (2) имеет бесконечное число собственных функций. Собственные функции задачи (1), (2) являются элементами пространства ${{H}^{1}}(\Omega {\backslash }T)$. Пусть $\Gamma = [0,1]{\backslash }T$. Собственные функции имеют след из пространства ${{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$. Считаем, что собственное значение удовлетворяет условиям ${{\pi }^{2}} < \lambda < 4{{\pi }^{2}}$. Разложим собственную функцию в ряд Фурье слева и справа от сечения $x = 0$ по функциям $sin\pi ny$.

Учитывая, что $u$ удовлетворяет уравнению (1) и краевому условию (2), представим $u$ в виде ряда Производные $\tfrac{{\partial u}}{{\partial x}}$ имеют вид Коэффициенты ${{c}_{i}}$, ${{d}_{i}}$, $i = 1,\; \ldots ,\;\infty $, выражаются через значения функции $u$ на объединении отверстий $\Gamma $ в барьере при $x = 0$ Для интегралов по объединению отверстий в барьере мы используем обозначение Приравнивая предельные значения производной $\tfrac{{\partial u}}{{\partial x}}$ на отверстиях в барьере при $x \to + 0$ и $x \to - 0$, получаем

Уравнение (3) будет основным предметом нашего исследования. Доказав существование решения уравнения (3), при значении параметра $\lambda $, близкого к $\tfrac{{{{\pi }^{2}}}}{{{{a}^{2}}}} + {{\pi }^{2}}$, мы докажем существование решения исходной задачи. Перейдем к строгим математическим рассуждениям.

Будем понимать уравнение (3) в следующем смысле. Умножая равнство (3) на достаточно гладкую функцию $v$, обращающуюся в нуль на отрезках барьера $[{{c}_{i}},{{d}_{i}}]$, и интегрируя по частям, придем к равенству

Мы можем не использовать больше предыдущие наводящие соображения. Обратимся к строгому рассмотрению непосредственно уравнения (4). Уравнение (4) будем рассматривать в пространстве ${{H}^{{1/2}}}(\Gamma ) = \left\{ {u \in {{L}_{2}}(\Gamma ):\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {n(u,sin\pi ny)_{{{{L}_{2}}(\Gamma )}}^{2}} < \infty } \right\}$, понимая его в следующем смысле. Требуется найти ненулевое $u \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$, удовлетворяющее уравнению (4) при любом $\text{v} \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$. Билинейная форма $a(u,\text{v}) = \sum\nolimits_{n = 2}^\infty {{{\gamma }_{n}}(coth{{\gamma }_{n}}a + coth{{\gamma }_{n}}b)} {{(u,sin\pi ny)}_{{{{L}_{2}}(\Gamma )}}}{{(\text{v},sin\pi ny)}_{{{{L}_{2}}(\Gamma )}}}$ определена для элементов пространства ${{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$, поскольку ${{\gamma }_{n}} \leqslant \pi n$, $n \geqslant 2$. Для доказательства достаточно применить неравенство Коши–Буняковского к форме $a(u,\text{v})$, где $u$ и $\text{v}$ являются элементами ${{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$.

Утверждение 1. Если уравнение (4) имеет решение $u \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ при некотором вещественном $\lambda $, то оно определяет слабое решение задачи (1), (2) в области $\Omega {\backslash }T$.

Под слабым решением задачи (1), (2) мы понимаем $u \in {{\dot {H}}^{1}}(\Omega {\backslash }T)$, являющееся решением задачи на собственные значения

В самом деле, если $u(0,y) \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ является при некотором $\lambda $ ненулевым решением уравнения (4), то его продолжение $u(x,y)$ в области $x < 0,\;x > 0$, определяемое как удовлетворяет уравнению (5). Слабое решение задачи (1)–(2) из пространства ${{\dot {H}}^{1}}(\Omega {\backslash }\Gamma )$ является классическим.

Докажем теперь существование решения уравнения (4). Для доказательства будем использовать метод, основанный на введении дополнительного спектрального параметра. Подобный метод широко применяется при доказательстве существования собственных значений [7].

Рассмотрим задачу на собственные значения относительно нового спектрального параметра $\mu $, зависящего параметрически от $\lambda $. Будем искать ненулевое $u \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ и вещественное $\lambda $, удовлетворяющие уравнению

Если при некотором $\lambda $ существует нулевое собственное значение $\mu (\lambda )$, то это $\lambda $ является собственным значением задачи (4), а соответствующее $u$ собственной функцией.

Поскольку пространство ${{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ вложено в ${{L}_{2}}$ компактно, то наименьшее собственное значение задачи (8) может быть определено посредством равенства

Пусть параметры барьера фиксированы. Поскольку $cot{{\gamma }_{1}}a \to - \infty $ при ${{\gamma }_{1}}a \to \pi - 0$, то ${{\mu }_{1}}(\lambda ) < 0$ при $\lambda $, близком к $\tfrac{{{{\pi }^{2}}}}{{{{a}^{2}}}} + {{\pi }^{2}}$, что эквивалентно ${{\gamma }_{1}}a$, близкому к $\pi $. Покажем, что, уменьшая с другой стороны максимальный из диаметров отверстий барьера, мы получим положительное значение ${{\mu }_{1}}(\lambda )$. Рассмотрим где ${{\Gamma }_{i}} = [{{d}_{i}},{{c}_{{i + 1}}}]$. Поскольку элемент $u$ можно считать равным нулю на отрезках барьера, то можно заменить $u \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ набором ${{u}_{1}},\; \ldots ,\;{{u}_{N}}$ элементов пространств ${{H}^{{1/2}}}({{\Gamma }_{i}})$, и записать (10) в виде Элементы ${{u}_{i}}$ рассматриваем как независимые. Увеличим отрезки ${{\Gamma }_{i}}$, если это необходимо, таким образом, чтобы из системы функций $sin\pi nx$ можно было выбрать полную ортогональную подсистему. Например, если в систему отверстий входит отверстие $\left[ {\tfrac{m}{N},\tfrac{{m + 1}}{N}} \right]$, то выбираем подсистему $sinNk\pi x$. Поскольку $inf$ только уменьшится при увеличении отверстий, которые могут перекрываться, то получим, что Отсюда вытекает справедливость доказываемого утверждения.

Таким образом, при любом фиксированном $\lambda $ при достаточно малом диаметре максимального отверстия, ${{\mu }_{1}}(\lambda )$ положительно. Учитывая, что ${{\mu }_{1}}(\lambda )$, очевидно, непрерывно зависит от $\lambda $, существует значение $\lambda $, при котором ${{\mu }_{1}}(\lambda ) = 0$. Доказательство непрерывной зависимости собственного значения ${{\mu }_{1}}$ от $\lambda $ полностью аналогично приведенному в [8].

Лемма 1 доказана.

Из леммы 1 о поведении собственного значения при стремлении диаметра максимального отверстия в барьере к нулю к собственному значению оператора Лапласа в подобласти вытекает локализация собственной функции в одной из подобластей.

Доказательство леммы 2.

Рассмотрим

Оценивая $I({{x}_{1}})$ снизу, имеем Оценим $I({{x}_{2}})$ сверху: Оценим учитывая, что Имеем Воспользуемся далее равенством 3 из которого получим оценку В результате получаем оценку где $C$ – константа, не зависящая от $\lambda $.

Учитывая, что $sin{{\gamma }_{1}}a \to $, получаeм, что $\tfrac{{I({{x}_{1}})}}{{I({{x}_{2}})}} \to \infty $ при $h \to 0$. Лемма 2 доказана.