Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 6, стр. 1007-1023

1. ВВЕДЕНИЕ

В течение последних нескольких десятилетий довольно актуальным является изучение математических моделей, описывающих характеристики материалов с трещинами [1]–[5]. Одним из направлений в изучении подобных задач является исследование тепловых процессов в материалах с трещинами [6]–[8]. Количество таких моделей велико и во многом определяется свойствами материалов, геометрией областей, заполненных материалами, количеством трещин и их расположением.

Одними из первых исследований по этой теме были работа [9], посвященная анализу трещины на границе неоднородного слоя, связанного с однородной основой, и работы [10], [11], освещающие влияние механической и тепловой нагрузки на коллинеарные трещины многослойной полуплоскости со ступенчатой границей. Среди работ, посвященных данной теме, отметим [12], [13]. Главным методом исследования большого количества моделей в работах этого типа являются численные расчеты.

Математическим аспектам моделирования материалов с трещинами посвящены работы [14]–[19]. В последнее время также появляются статьи, в которых изучается температурное поле и распределение тепловых потоков в окрестности трещины асимптотическими методами [20]–[30]. К работам такого типа можно отнести работы [20]–[24] о стационарном распределении тепла в функционально-градиентных материалах, заполняющих всю плоскость, с одной конечной трещиной и работу [25] о нестационарном распределении тепла для аналогичной геометрии. К работам, развивающим методы, представленные в статьях [20]–[24], можно отнести статьи [26]–[30], в которых изучается стационарное распределение тепла в функционально-градиентном биматериале с конечной трещиной.

Данная работа является первой из цикла статей, посвященных изучению задачи, моделирующей процесс теплопроводности в плоскости, состоящей из двух полуплоскостей, заполненных различными материалами, что приводит к системе уравнений с классическими условиями трансмиссии. Граничные условия заданы таким образом, что на стыке полуплоскостей моделируется конечная трещина.

В настоящей статье определены условия на граничные функции, при которых задача имеет классическое решение, построено его явное представление и доказана единственность. Показано, что отказ от дополнительных условий приводит к отсутствию классического решения задачи и появлению сингулярных членов в асимптотических представлениях первых производных обобщенного решения рассматриваемой задачи вблизи концов трещины.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Замечание 1. Через $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ и $\mathbb{R}_{ - }^{2}$ будем обозначать множества точек $\mathbb{R}_{ + }^{2}\, = \,\left\{ {\left. {x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}})} \right|{{x}_{1}} \in \mathbb{R};\;{{x}_{2}} > 0} \right\}$, $\mathbb{R}_{ - }^{2} = \left\{ {\left. {x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}})} \right|{{x}_{1}} \in \mathbb{R};\;{{x}_{2}} < 0} \right\}$, а через $\Delta $ – оператор Лапласа: $\Delta = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}.$

Предполагается, что в полуплоскостях $\mathbb{R}_{ \pm }^{2}$ коэффициенты внутренней теплопроводности материалов имеют вид $k(x) = {{c}_{{1.5 \mp 0.5}}}{{e}^{{{{k}_{{1.5 \mp 0.5}}}{{x}_{2}}}}}$, где ${{c}_{{1.5 \mp 0.5}}}$ – произвольные, отличные от нуля константы, а ${{k}_{{1.5 \mp 0.5}}}$ – произвольные положительные константы. При указанных коэффициентах уравнение стационарной теплопроводности для материала без тепловых источников ${\text{div}}{\kern 1pt} (k(x)\,{\text{grad}}\,u(x)) = 0$ может быть записано для каждой из полуплоскостей в виде:

Граничные условия задаются следующим образом:

Замечание 2. Условия (2), (3) понимаются в смысле главного значения

Сначала будем предполагать, что функции ${{q}_{0}}({{x}_{1}})$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}})$ принадлежат пространству ${{C}^{3}}\left( {[ - 1;1]} \right)$, а носители функций ${{q}_{0}}({{x}_{1}})$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}})$ (см. [31]) содержатся в отрезке $[ - 1;1]$, то есть $\operatorname{supp} {{q}_{0}}({{x}_{1}}) \subseteq [ - 1;1]$, $\operatorname{supp} {{q}_{1}}({{x}_{1}}) \subseteq [ - 1;1]$.

Задача (1)–(3) моделирует стационарное распределение тепла в двух связных полуплоскостях $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ и $\mathbb{R}_{ - }^{2}$ с трещиной $l = [ - 1;1] \times \left\{ 0 \right\}$, находящейся на границе этих полуплоскостей, при условии, что в $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ и $\mathbb{R}_{ - }^{2}$ отсутствуют тепловые источники. Условия (2), (3) задают скачки температуры и тепловых потоков на трещине $l$. Предполагается, что на границе полуплоскостей $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ и $\mathbb{R}_{ - }^{2}$ – прямой $\Gamma = \mathbb{R} \times \left\{ 0 \right\}$, вне трещины $l$ температурные поля и тепловые потоки совпадают.

Определение 1. Классическим решением задачи (1)–(3) назовем пару функций ${{u}_{1}}(x)$ и ${{u}_{2}}(x)$, заданных соответственно на $\overline {\mathbb{R}_{ + }^{2}} $ и $\overline {\mathbb{R}_{ - }^{2}} $, таких что

(i) ${{u}_{1}}(x) \in {{C}^{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2}) \cap {{C}^{1}}(\overline {\mathbb{R}_{ + }^{2}} )$, ${{u}_{2}}(x) \in {{C}^{2}}(\mathbb{R}_{ - }^{2}) \cap {{C}^{1}}(\overline {\mathbb{R}_{ - }^{2}} )$ в обычном смысле удовлетворяют уравнениям (1), а также условиям (2) и (3), и такие, что

(ii) функции ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{1}}(x)$, ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}\frac{{\partial {{u}_{1}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}\frac{{\partial {{u}_{1}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ ограничены на $\mathbb{R}_{ + }^{2}$, а функции ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{2}}(x)$, ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}\frac{{\partial {{u}_{2}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}\frac{{\partial {{u}_{2}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ ограничены на $\mathbb{R}_{ - }^{2}$;

(iii) функции ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{1}}(x)}}{{\partial x_{1}^{2}}}$, ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{1}}(x)}}{{\partial x_{2}^{2}}}$ ограничены при ${{x}_{2}} \geqslant \delta > 0$, а функции ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}(x)}}{{\partial x_{1}^{2}}}$, ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}(x)}}{{\partial x_{2}^{2}}}$ ограничены при ${{x}_{2}} \leqslant - \delta < 0$;

(iv) функция ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{1}}(x)$ принадлежит пространству ${{L}_{1}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$, а функция ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{2}}(x)$ принадлежит пространству ${{L}_{1}}(\mathbb{R}_{ - }^{2})$;

(v) функции ${{u}_{1}}({{x}_{1}}, + \,0)$, ${{u}_{2}}({{x}_{1}}, - \,0)$, $\frac{{\partial {{u}_{1}}({{x}_{1}}, + \,0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, $\frac{{\partial {{u}_{2}}({{x}_{1}}, - \,0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ существуют и принадлежат пространству ${{L}_{1}}(\mathbb{R})$.

Замечание 3. В указанном определении $\delta $ – произвольная константа.

С помощью замен

задача (1)–(3) сводится к задаче

Из определения 1 получаем следующее определение решения задачи (5)–(8).

Определение 2. Классическим решением задачи (5)–(8) будет пара функций ${{\text{v}}_{1}}(x)$ и $z(x)$, заданных на $\overline {\mathbb{R}_{ + }^{2}} $, таких что

(i) ${{\text{v}}_{1}}(x)$, $z(x) \in {{C}^{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2}) \cap {{C}^{1}}(\overline {\mathbb{R}_{ + }^{2}} )$ в обычном смысле удовлетворяют уравнениям (5), (6), а также условиям (7), (8), и такие, что

(ii) функции ${{\text{v}}_{1}}(x)$, $z(x)$, $\frac{{\partial {{\text{v}}_{1}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial z(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial {{\text{v}}_{1}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, $\frac{{\partial z(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ ограничены на $\mathbb{R}_{ + }^{2}$;

(iii) функции $\frac{{{{\partial }^{2}}{{\text{v}}_{1}}(x)}}{{\partial x_{1}^{2}}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}{{\text{v}}_{1}}(x)}}{{\partial x_{2}^{2}}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}z(x)}}{{\partial x_{1}^{2}}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}z(x)}}{{\partial x_{2}^{2}}}$ ограничены при ${{x}_{2}} \geqslant \delta > 0$;

(iv) функции ${{\text{v}}_{1}}(x)$, $z(x)$ принадлежат пространству ${{L}_{1}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$;

(v) функции ${{\text{v}}_{1}}({{x}_{1}}, + 0)$, $z({{x}_{1}}, + 0)$, $\frac{{\partial {{\text{v}}_{1}}({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, $\frac{{\partial z({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ существуют  и принадлежат пространству ${{L}_{1}}(\mathbb{R})$.

Одним из основных результатов работы является следующая

Теорема 1. Если  при $p = 0;\;1$  выполнены  равенства ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = q_{p}^{'}( - 1) = q_{p}^{'}(1) = 0$, то задача (5)–(8) имеет единственное классическое решение, причем для функций ${{\text{v}}_{1}}(x)$ и $z(x)$ справедливы следующие представления:

где ${{K}_{1}}(z)$ – функция Макдональда (см. [33], [34]), ${{P}_{p}}({{s}_{1}}) = {{F}_{{{{x}_{1}} \to {{s}_{1}}}}}[{{q}_{p}}({{x}_{1}})]$ при $p = 0;\;1$, а $w_{p}^{0}({{s}_{1}}) = $ $ = - \frac{{{{P}_{1}}({{s}_{1}}) + {{{( - 1)}}^{p}}\left( {\sqrt {s_{1}^{2} + 0.25k_{{3 - p}}^{2}} + {{{( - 1)}}^{p}}0.5{{k}_{{3 - p}}}} \right){{P}_{0}}({{s}_{1}})}}{{\sqrt {s_{1}^{2} + 0.25k_{1}^{2}} + 0.5{{k}_{1}} + \sqrt {s_{1}^{2} + 0.25k_{2}^{2}} - 0.5{{k}_{2}}}}$ при $p = 1;\;2$.

Нетрудно видеть, что для построения решения задачи (1)–(3) достаточно воспользоваться формулами (4) и результатами теоремы 1.

Непосредственное доказательство сформулированной теоремы содержится в разд. 3 и состоит из следующих этапов: проводится сведение задачи (5)–(8) к двум независимым дифференциальным уравнениям в пространстве $S{\text{'}}({{\mathbb{R}}^{2}})$ и построение решений этих дифференциальных уравнений; проводится доказательство того, что при сформулированных условиях на функции ${{q}_{0}}({{x}_{1}})$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}})$ решения обобщенных уравнений задают решение задачи (5)–(8), а также доказательство единственности классического решения задачи (5)–(8).

В разд. 4 повышаются требования гладкости для граничных функций (${{q}_{0}}({{x}_{1}}),{{q}_{1}}({{x}_{1}})\, \in \,{{C}^{4}}([ - 1;1])$), но отсутствует предположение обнуления ${{q}_{0}}({{x}_{1}})$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}})$ и их первых производных в точках $ \pm 1$, что приводит к необходимости рассматривать обобщенное решение задачи (1)–(3) и влечет за собой появление сингулярных составляющих в асимптотических представлениях первых производных компонент решения указанной задачи вблизи концов трещины.

В работе [28] доказано, что граничные функции ${{q}_{0}}({{x}_{1}})$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}})$ можно представить в виде

где ${{q}_{{p,2}}}({{x}_{1}})$ при $p = 0;1$ принадлежат классу $\Im = \{ \left. {f(x)} \right|f(x) \in {{C}^{3}}(\mathbb{R});$ $f(x) = 0,$ $x < - 1;$ ${{f}^{{(k)}}}( - 1) = 0,$ $k = \overline {0;3} ;$ $\left| {{{f}^{{(k)}}}(x)} \right| \leqslant C{{e}^{{ - x}}},$ $x \geqslant - 1,\;k = \overline {0;3} \} $ и где $\theta (z)$ – функция Хэвисайда (см. [31]), $C_{m}^{l} = m{\kern 1pt} !{{\left( {l{\kern 1pt} !(m - l){\kern 1pt} !} \right)}^{{ - 1}}}$.

Согласно представлениям (9), компоненты решения $\left( {{{u}_{1}}(x),{{u}_{2}}(x)} \right)$ задачи (1)–(3) будем искать в виде

где $\left( {{{u}_{{1,j}}}(x),{{u}_{{2,j}}}(x)} \right)$ – решение задачи при $j = 1;\;2$.

С физической точки зрения задача (12)–(14) при $j = 2$ описывает стационарное распределение тепла в биматериале с полуограниченной межфазной трещиной. В работе [26] проводилось ее изучение, и был получен следующий результат.

Теорема 2. Решение задачи (12)–(14) при $j = 2$ и его первые производные являются непрерывными, ограниченными функциями.

Для задачи (12)–(14) при $j = 1$ рассматривается обобщенное решение.

Определение 3. Обобщенным решением задачи (12)–(14) при $j = 1$ назовем решение обобщенной задачи

где

Под обобщенным решением задачи (1)–(3) будем понимать пару функций ${{u}_{1}}(x)$ и ${{u}_{2}}(x)$, заданных с помощью равенств (11), где $\left( {{{u}_{{1,2}}}(x),{{u}_{{2,2}}}(x)} \right)$ – классическое решение задачи (12)–(14) при $j = 2$, а $\left( {{{u}_{{1,1}}}(x),\,{{u}_{{2,1}}}(x)} \right)$ – обобщенное решение задачи (12)–(14) при $j = 1$.

В силу специального вида граничных функций задачи (12)–(14) при $j = 1$ удалось выписать ее решение в явном виде и выделить сингулярные компоненты его асимптотических представлений вблизи точек $( \pm 1;0)$. С учетом представлений (11) и теоремы 2 это привело к справедливости следующих теорем.

Теорема 3. Для компонент вектор-функции $\left( {{{u}_{1}}(x),{{u}_{2}}(x)} \right)$, которая является обобщенным решением задачи (1)–(3), справедливы следующие свойства:

1. функция ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{1}}(x)$ принадлежит пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$, а функция ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{2}}(x)$ пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ - }^{2})$;

2. выполнены равенства

Теорема 4. Для компонент вектор-функции $\left( {{{u}_{1}}(x),{{u}_{2}}(x)} \right)$, которая является обобщенным решением задачи (1)–(3), и их первых производных справедливы следующие асимптотические разложения вблизи точек $( \pm 1;0)$:

где $p = 1;2$, ${{r}_{{ - 1}}}(x) = \sqrt {{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} $ и ${{r}_{{ + 1}}}(x) = \sqrt {{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} $, а функции ${{R}_{j}}(x)$ равномерно ограничены на любых компактах ${{K}_{j}} \subset \overline {\mathbb{R}_{{\operatorname{sgn} \{ {{{( - 1)}}^{{j + 1}}}\} }}^{2}} $ при $j = \overline {1;6} $.

3. КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (5)–(8)

Обозначим через ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$ четное продолжение решения задачи (5)–(8) – функций ${{\text{v}}_{1}}(x)$ и $z(x)$ на нижнюю полуплоскость, то есть

тогда Из определения классического решения задачи (5)–(8) следует, что функции ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$ являются функциями медленного роста (см. [31]). Таким образом, их можно рассматривать как регулярные обобщенные функции в $S{\text{'}}({{\mathbb{R}}^{2}})$ (см. [31]).

Вычислив обобщенные производные от функций ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$ (см. [31]), и, учитывая (15), (16), получим, что в $S{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} ({{\mathbb{R}}^{2}})$ они являются решениями уравнений

Замечание 4. Пусть $f({{x}_{1}})$ и $\tilde {f}(x)$ – обычные функции, такие что $f({{x}_{1}}) \in {{L}_{1}}\left( \mathbb{R} \right)$, а $\tilde {f}(x) \in {{L}_{1}}({{\mathbb{R}}^{2}})$. Будем использовать следующие обозначения:

${{F}_{{{{x}_{1}} \to {{s}_{1}}}}}[f({{x}_{1}})] = \int_\mathbb{R} {{{e}^{{i{{x}_{1}}{{s}_{1}}}}}f({{x}_{1}})d{{x}_{1}}} $ – преобразование Фурье функции $f({{x}_{1}})$ по переменной ${{x}_{1}}$; $F_{{{{s}_{1}} \to {{x}_{1}}}}^{{ - 1}}[f({{s}_{1}})] = {{(2\pi )}^{{ - 1}}}\int_\mathbb{R} {{{e}^{{ - i{{x}_{1}}{{s}_{1}}}}}f({{s}_{1}})d{{s}_{1}}} $ – обратное преобразование Фурье функции $f({{s}_{1}})$ по переменной ${{s}_{1}}$; ${{F}_{{{{x}_{1}},{{x}_{2}} \to {{s}_{1}},{{s}_{2}}}}}[\tilde {f}(x)] = \int_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {{{e}^{{i({{x}_{1}}{{s}_{1}} + {{x}_{2}}{{s}_{2}})}}}\tilde {f}(x)d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}} $ – преобразование Фурье функции $\tilde {f}(x)$ по переменным ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$; $F_{{{{s}_{1}},{{s}_{2}} \to {{x}_{1}},{{x}_{2}}}}^{{ - \,1}}[\tilde {f}(s)] = {{(2\pi )}^{{ - 2}}}\int_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {{{e}^{{ - i({{x}_{1}}{{s}_{1}} + {{x}_{2}}{{s}_{2}})}}}\tilde {f}(s)d{{s}_{1}}d{{s}_{2}}} $ – обратное преобразование Фурье функции $\tilde {f}(s)$ по переменным ${{s}_{1}}$, ${{s}_{2}}$.

В дальнейшем, если не оговорено противного, под прямым и обратным преобразованием Фурье будем понимать обычное прямое и обратное преобразование Фурье, то есть преобразование Фурье в смысле замечания 4.

Из (15), (16) и определения классического решения задачи (5)–(8) получаем, что функции ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$ принадлежат пространству ${{L}_{1}}({{\mathbb{R}}^{2}})$, а функции ${{V}_{1}}({{x}_{1}}, + 0)$, ${{V}_{2}}({{x}_{1}}, + 0)$, $\frac{{\partial {{V}_{1}}({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, $\frac{{\partial {{V}_{2}}({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ существуют и принадлежат пространству ${{L}_{1}}(\mathbb{R})$. Следовательно, от функций ${{V}_{p}}(x),$ ${{V}_{p}}({{x}_{1}}, + 0)$, $\frac{{\partial {{V}_{p}}({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, где $p = 1;2$, существует преобразование Фурье в смысле замечания 4, причем ${{F}_{{{{x}_{1}},{{x}_{2}} \to {{s}_{1}},{{s}_{2}}}}}[{{V}_{p}}(x)]$, где $p = 1;\,2$, можно вычислять при помощи сведения к повторному интегралу.

Применив к (17) обобщенное преобразование Фурье по переменным ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ и воспользовавшись свойствами обобщенного преобразования Фурье (см. [31]), получим следующие уравнения, эквивалентные уравнениям (17) в $S{\text{'}}({{\mathbb{R}}^{2}})$:

В [31] доказано, что если функция $V(x)$ принадлежит пространству ${{L}_{1}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, то преобразование Фурье от регулярной обобщенной функции, порожденной функцией $V(x)$, также будет регулярной обобщенной функцией, которая порождается преобразованием Фурье функции $V(x)$, в смысле замечания 4. Таким образом, равенство (18) можно рассматривать как равенство для функций.

Введем следующие обозначения:

Отметим, что из определения решения задачи (5)–(8) и условий на функции ${{q}_{0}}({{x}_{1}})$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}})$ следует, что функции $w_{p}^{0}({{s}_{1}})$, $w_{p}^{1}({{s}_{1}})$ и ${{P}_{p}}({{s}_{1}})$ существуют.

В лемме 1 работы [27] была доказана справедливость следующих равенств

Применим к равенствам (7), (8) преобразование Фурье по переменной ${{x}_{1}}$, тогда, с учетом (15), (16), (19) и равенств (20), получим, что функции $w_{p}^{0}({{s}_{1}})$ и $w_{p}^{1}({{s}_{1}})$, где $p = 1;2$, будут решениями системы

Решив систему (21)–(23), находим, что при $p = 1;\;2$

Из (18), (19), (20) и (24) следует, что при $p = 1;\;2$

Применив к последним равенствам обратное преобразование Фурье, получаем, что решениями уравнений (17) будут функции

где функции $w_{p}^{0}({{s}_{1}})$ задаются равенствами (24).

В равенствах (26) символ $F_{{{{s}_{1}},{{s}_{2}} \to {{x}_{1}},{{x}_{2}}}}^{{ - 1}}$ обозначает обратное преобразование Фурье в смысле теории обобщенных функций (см. [31]).

Отметим, что если у функций, стоящих под знаком обратного преобразования Фурье, будет существовать обычное обратное преобразование Фурье (в смысле определения из замечания 4), то решения уравнений (17) будут регулярными обобщенными функциями, заданными этими обратными преобразованиями Фурье.

При помощи интегрирования по частям можно показать, что для функций ${{P}_{p}}({{s}_{1}})$, где $p = 0;\;1$, заданных  в  (19),  найдется  такая положительная константа $\,c$, что будут справедливы оценки $\left| {{{P}_{p}}({{s}_{1}})} \right| + \left| {P_{p}^{'}({{s}_{1}})} \right| + \left| {P_{p}^{{''}}({{s}_{1}})} \right| \leqslant c{{\left( {1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|} \right)}^{{ - 1}}}$; если при $p = 0;\;1$ выполнены равенства ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = 0$, то $\left| {{{P}_{p}}({{s}_{1}})} \right| + \left| {P_{p}^{'}({{s}_{1}})} \right| + \left| {P_{p}^{{''}}({{s}_{1}})} \right|\;\, \leqslant $  $ \leqslant c{{\left( {1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|} \right)}^{{ - 2}}}$; если при $p = 0;\;1$ выполнены равенства ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = q_{p}^{'}( - 1) = q_{p}^{'}(1) = 0$, то $\left| {{{P}_{p}}({{s}_{1}})} \right| + \left| {P_{p}^{'}({{s}_{1}})} \right|\,\; + $ $ + \;\left| {P_{p}^{{''}}({{s}_{1}})} \right| \leqslant c{{\left( {1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|} \right)}^{{ - 3}}}$.

Пользуясь оценками на функции ${{P}_{p}}({{s}_{1}})$, где $p = 0;1$, можно показать, что для функций $w_{1}^{0}({{s}_{1}})$ и $w_{2}^{0}({{s}_{1}})$, заданных равенствами (24), найдется такая положительная константа $с $, что при ${{s}_{1}} \in \mathbb{R}$ будут выполнены оценки

если при $p = 0;1$ выполнены равенства ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = 0$, то если при $p = 0;1$ выполнены равенства ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = q_{p}^{'}( - 1) = q_{p}^{'}(1) = 0$, то

Из (27) следует, что если при $p = 0;1$ выполнены условия ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = 0$, то функции ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$, заданные равенствами (26), являются непрерывными и ограниченными в ${{\mathbb{R}}^{2}}$ функциями, принадлежат пространству ${{L}_{1}}({{\mathbb{R}}^{2}})$ и могут быть вычислены при помощи сведения к повторному интегралу, а функции ${{V}_{1}}({{x}_{1}}, + 0)$ и ${{V}_{2}}({{x}_{1}}, + 0)$ существуют и принадлежат пространству ${{L}_{1}}(\mathbb{R})$ (см. [27]).

Следовательно, при $\,{{x}_{2}} > 0$ и выполнении условий ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = 0$, где $p = 0;1$, для функций ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$, заданных равенствами (26), будут справедливы представления

В [32] доказано, что при $\,{{x}_{2}} > 0$ и произвольной константе $k > 0$

Таким образом, при $\,{{x}_{2}} > 0$ из последних трех равенств получаем, что

Заметим, что при $\,{{x}_{2}} > 0$ и произвольной константе $k > 0$ выполнена оценка

Тогда из (30) следует, что при выполнении условий ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = 0$, где $p = 0;1$, функции ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$, заданные равенствами (26), бесконечно дифференцируемы в $\mathbb{R}_{ + }^{2}$, а также функции $\frac{{{{\partial }^{2}}{{V}_{p}}(x)}}{{\partial x_{1}^{2}}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}{{V}_{p}}(x)}}{{\partial x_{2}^{2}}}$, где $p = 1;2$, при ${{x}_{2}} \geqslant \delta > 0$ являются ограниченными. Из гладкости функций ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$, их способа построения и леммы дю Буа-Реймона (см. [31]) следует, что они соответственно являются решениями уравнений (5), (6).

Воспользовавшись (30), получаем, что при выполнении условий ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = 0$, где $p = 0;1$, функции $\frac{{\partial {{V}_{1}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$ и $\frac{{\partial {{V}_{2}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$ в $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ имеют вид

Из (28) следует, что при выполнении условий ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = q_{p}^{'}( - 1) = q_{p}^{'}(1) = 0$, где $p = 0;\;1$, равномерно по ${{x}_{1}} \in \mathbb{R}$ и ${{x}_{2}} \geqslant 0$ подынтегральные функции в (31) и (32) мажорируются функцией $c{{\left( {1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|} \right)}^{{ - 2}}}$, где $c$ – некоторая положительная константа. Таким образом, при выполнении условий ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = q_{p}^{'}( - 1) = q_{p}^{'}(1) = 0$, где $p = 0;\;1$, функции $\frac{{\partial {{V}_{1}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial {{V}_{2}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial {{V}_{1}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ и $\frac{{\partial {{V}_{2}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ непрерывны и ограничены при ${{x}_{1}} \in \mathbb{R}$ и ${{x}_{2}} \geqslant 0$, причем

Воспользовавшись представлениями (33) и оценками (28), можно доказать, что если при $p = 0;\;1$ выполнены условия ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = q_{p}^{'}( - 1) = q_{p}^{'}(1) = 0$, то функции $\frac{{\partial {{V}_{1}}({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, $\frac{{\partial {{V}_{2}}({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ принадлежат пространству ${{L}_{1}}(\mathbb{R})$.

В работе [27] показано, что если $k$ – положительная константа, тогда при $x$, принадлежащих $\mathbb{R}_{ + }^{2}$, справедливы следующие равенства:

где ${{K}_{1}}\left( z \right)$ – функция Макдональда (см. [33], [34]).

Если воспользоваться свойствами преобразования Фурье, то из (30) и (34) получаем, что если при $p = 0;\;1$ выполнены условия ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = 0$, то при ${{x}_{2}} > 0$ и при $p = 1;\;2$ выполнены равенства.

В [27] доказано, что для функции $f(x)$ непрерывной на $\mathbb{R}$ за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв I рода, для любого $\delta > 0$ и $k > 0$

где $f({{x}_{1}} - 0)$ и $f({{x}_{1}} + 0)$ соответственно пределы слева и справа функции $f(x)$ в точке ${{x}_{1}}$.

Из (35) и (36), (22) и (19) получаем, что при выполнении условий ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = 0$, где $p = 0;\;1$

то есть выполнено условие (7).

Выполнение условия (8) доказывается аналогичным образом (см. [27]).

Если предположить, что решение задачи (5)–(8) не единственно, то есть существуют две различные вектор-функции $(\text{v}_{1}^{1}(x),{{z}^{1}}(x))$ и $(\text{v}_{1}^{2}(x),{{z}^{2}}(x))$, удовлетворяющие равенствам (5)–(8), и ввести обозначения

то, действуя также, как при выводе (25), получаем, что

Из последних равенств следует единственность решения задачи (5)–(8). Подробное доказательство единственности приведено в работе [30].

4. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (1)–(3)

Ранее было отмечено, что решение задачи (1)–(3) представимо в виде (11), где $\left( {{{u}_{{1,j}}}(x),{{u}_{{2,j}}}(x)} \right)$ – решения вспомогательных задач (12)–(14) при $j = 1;\;2$. Перейдем к изучению первой из них. Рассмотрим функции

указанные в определении обобщенного решения задачи (12)–(14) при $j = 1$.

Аналогично тому, как сделано в разд. 3, можно получить, что компоненты решения задачи

имеют вид где

Согласно представлениям (38) и (40), функции ${{\text{v}}_{{1,1}}}(x)$ и ${{z}_{1}}(x)$ при ${{x}_{2}} > 0$ представимы следующим образом:

где функции $w_{{p,1}}^{0}({{s}_{1}})$ при $p = 1;2$ заданы равенствами (41).

Сформулируем и докажем лемму о принадлежности вышеуказанных функций ${{\text{v}}_{{1,1}}}(x)$ и ${{z}_{1}}(x)$ пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$.

Лемма 1. Функции ${{\text{v}}_{{1,1}}}(x)$ и ${{z}_{1}}(x)$, заданные равенствами (43) и (44), принадлежат пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$ и могут быть вычислены при помощи сведения к повторному интегралу.

Доказательство проведем на примере функции ${{\text{v}}_{{1,1}}}(x)$, для функции ${{z}_{1}}(x)$ оно проводится аналогично.

Обозначим $\zeta ({{s}_{1}},{{s}_{2}}) = 2{{(s_{1}^{2} + 0.25k_{1}^{2})}^{{0.5}}}{{({{\left| s \right|}^{2}} + 0.25k_{1}^{2})}^{{ - 1}}}w_{{1,1}}^{0}({{s}_{1}})$, согласно представлению (43), ${{\text{v}}_{{1,1}}}(x) = F_{{{{s}_{1}},{{s}_{2}} \to {{x}_{1}},{{x}_{2}}}}^{{ - 1}}\left[ {\zeta ({{s}_{1}},{{s}_{2}})} \right]$ при ${{x}_{2}} > 0$. Заметим, что функция $\zeta ({{s}_{1}},{{s}_{2}})$ принадлежит пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$, поэтому ее преобразование Фурье также принадлежит пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$ (см. [35]). Рассмотрим последовательность функций ${{\zeta }_{k}}({{s}_{1}},{{s}_{2}}) = \zeta ({{s}_{1}},{{s}_{2}}){{\eta }_{k}}({{s}_{1}},{{s}_{2}})$, принадлежащих пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2}) \cap {{L}_{1}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$ (см. [36]), где

Очевидно, что ${{\left\| {\zeta - {{\zeta }_{k}}} \right\|}_{2}} \to 0$ при $k \to 0$.

Преобразование Фурье функции $\zeta ({{s}_{1}},{{s}_{2}})$ определяется следующим образом $F_{{{{s}_{1}},{{s}_{2}} \to {{x}_{1}},{{x}_{2}}}}^{{ - 1}}[\zeta ({{s}_{1}},{{s}_{2}})]$ = = $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } F_{{{{s}_{1}},{{s}_{2}} \to {{x}_{1}},{{x}_{2}}}}^{{ - 1}}[{{\zeta }_{k}}({{s}_{1}},{{s}_{2}})]$, то есть

Нетрудно видеть, что

Таким образом, справедливы равенства

Используя равенство (29) и представление (45), получаем, что

Аналогично можно доказать, что для ${{z}_{1}}(x)$ справедливо представление ${{z}_{1}}(x) = $ $ = F_{{{{s}_{1}} \to {{x}_{1}}}}^{{ - 1}}\left[ {{{e}^{{ - {{x}_{2}}\sqrt {s_{1}^{2} + 0.25k_{2}^{2}} }}}w_{{2,1}}^{0}({{s}_{1}})} \right]$. Лемма доказана.

Замечание 5. Аналогично тому, как показано в лемме 1, можно доказать, что функции ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{{1,2}}}(x)$ и ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{{2,2}}}(x)$ принадлежат ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$ и ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ - }^{2})$ соответственно, где $\left( {{{u}_{{1,2}}}(x),{{u}_{{2,2}}}(x)} \right)$ – решение задачи (12)–(14) при $j = 2$. Следовательно, вернувшись обратно к исходной задаче (1)–(3) с помощью замен (37) и (11), получаем, что функция ${{e}^{{0.5{{k}_{1}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{1}}(x)$ принадлежит пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$, а функция ${{e}^{{0.5{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}}{{u}_{2}}(x)$ – пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ - }^{2})$, где $\left( {{{u}_{1}}(x),{{u}_{2}}(x)} \right)$ – решение задачи (1)–(3).

Отказ от условий ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = q_{p}^{'}( - 1) = q_{p}^{'}(1) = 0$ при $p = 0;\;1$ не позволяет доказать выполнение условий (2) и (3) по непрерывности аналогично тому, как это было сделано в разд. 3 и работах [26], [27], однако, можно доказать, что они выполнены в ${{L}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$.

Пусть $I$ – конечный или бесконечный интервал, а функция $g(x)$ определена на $I$. В дальнейшем через $O(g(x))$ при $x \in I$ будем обозначать всякую функцию $f(x)$, для которой существует положительная константа $c$ такая, что при $x \in I$ выполнена оценка $\left| {f(x)} \right| \leqslant c\left| {g(x)} \right|$. Легко заметить, что $O({{(1 - i{{s}_{1}})}^{{ - 1}}}) = O({{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}^{{ - 1}}})$ при ${{s}_{1}} \in \mathbb{R}$.

Докажем вспомогательную лемму.

Лемма 2. Для функций ${{\text{v}}_{{1,1}}}(x)$ и ${{z}_{1}}(x)$, заданных равенствами (43) и (44), справедливы следующие равенства:

Доказательство. Согласно равенству Парсеваля (см. [37]) и представлениям (42)–(44), левая часть равенства (47) примет вид

Применив равенство Парсеваля также к равенству (48), получаем, что доказательство равенств (47) и (48) равносильно доказательству равенств

где ${{J}_{1}}({{s}_{1}},\varepsilon )$ и ${{J}_{2}}({{s}_{1}},\varepsilon )$ имеют вид

Заметим, что при $p = 1;\;2$

Из (50) следует, что ${{e}^{{ - \varepsilon \sqrt {s_{1}^{2} + 0.25k_{p}^{2}} }}}$, $p = 1;\;2$ можно представить в виде

Согласно формуле Тейлора легко видеть, что

где $p = 1;\;2$. Тогда из представлений (51) и последних равенств получаем, что

С учетом представлений (41) и (52), ${{J}_{1}}({{s}_{1}},\varepsilon )$ и ${{J}_{2}}({{s}_{1}},\varepsilon )$ примут вид

то есть ${{J}_{{p + 1}}}({{s}_{1}},\varepsilon ) = ({{e}^{{ - \varepsilon \left| {{{s}_{1}}} \right|}}} - 1 + {{e}^{{ - \varepsilon \left| {{{s}_{1}}} \right|}}}O(\varepsilon {{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}^{{ - 1}}})){{P}_{{p,1}}}({{s}_{1}})$, где $p = 0;1$.

Перейдем к оценкам $\left| {{{J}_{{p + 1}}}({{s}_{1}},\varepsilon )} \right|$, $p = 0;1$. Согласно последним представлениям, справедливы следующие цепочки неравенств:

Оценим $\left| {{{e}^{{ - \varepsilon \left| {{{s}_{1}}} \right|}}} - 1} \right|$ при $\varepsilon \to + 0$. Заметим, что справедливо равенство тогда ${{\left| {{{e}^{{ - \,\varepsilon \left| {{{s}_{1}}} \right|}}} - 1} \right|}^{\delta }} \leqslant {{\varepsilon }^{\delta }}{{\left| {{{s}_{1}}} \right|}^{\delta }}$ при некотором положительном $\delta $.

Следовательно, справедлива следующая оценка:

С учетом оценки (54), неравенства (53) можно продолжить следующим образом: $\left| {{{J}_{{p + 1}}}({{s}_{1}},\varepsilon )} \right| \leqslant $ $ \leqslant \left( {{{2}^{{1 - \delta }}}{{\varepsilon }^{\delta }}{{{\left| {{{s}_{1}}} \right|}}^{\delta }} + \left| {O(\varepsilon {{{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}}^{{ - 1}}})} \right|} \right)\left| {{{P}_{{p,1}}}({{s}_{1}})} \right|$, где $p = 0;\;1$. Легко заметить, что ${{2}^{{1 - \delta }}}{{\varepsilon }^{\delta }}{{\left| {{{s}_{1}}} \right|}^{\delta }} + \left| {O(\varepsilon {{{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}}^{{ - 1}}})} \right| = $ $ = \left| {O({{\varepsilon }^{\delta }}{{{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}}^{\delta }})} \right|$, следовательно, для $\left| {{{J}_{{p + 1}}}({{s}_{1}},\varepsilon )} \right|$, где $p = 0;\;1$, справедливы неравенства

Из (10) и (42), имеем

следовательно, что ${{P}_{{p,1}}}({{s}_{1}}) = O({{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}^{{ - 1}}})$, $p = 0;\;1$. Из (55), а также из последних представлений получаем, что справедливы оценки

Таким образом, воспользовавшись оценками (57) и определением $O({{\varepsilon }^{\delta }}{{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}^{{\delta - 1}}})$, имеем

где $c$ – некоторая положительная константа. В последних оценках будем считать $\delta < 0.5$. Из неравенств (58), получаем, что

Заметим, что степень ${{s}_{1}}$ последнего подынтегрального выражения меньше –1, тогда $\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} {{\varepsilon }^{{2\delta }}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{\left( {1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|} \right)}}^{{2\delta - 2}}}d{{s}_{1}}} = 0$, согласно теореме Лебега о мажорируемой сходимости (см. [31]), а из этого следует справедливость равенств (49). Лемма доказана.

Замечание 6. Для компонентов решения задачи (12)–(14) при $j = 2$ функций ${{u}_{{1,2}}}(x)$ и ${{u}_{{2,2}}}(x)$ справедливы равенства

Таким образом, с учетом леммы 2 и равенств (37) и (11), получаем, что компоненты вектор-функции $\left( {{{u}_{1}}(x),{{u}_{2}}(x)} \right)$, являющейся решением задачи (1)–(3), удовлетворяют следующим равенствам:

Результаты, указанные в замечаниях 5 и 6, доказывают справедливость теоремы 3.

Перейдем к изучению асимптотических свойств компонент решения задачи (12)–(14) при $j = 1$ (а следовательно, с учетом теоремы 2, компонент решения исходной задачи (1)–(3)).

Воспользовавшись результатами леммы 1 (представлением функции ${{\text{v}}_{{1,1}}}(x)$ в виде (46), и аналогичным для функции ${{z}_{1}}(x)$) и равенствами (41), (56) и (38), выражения ${{V}_{{p,1}}}(x)$, $\frac{{\partial {{V}_{{p,1}}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$ и $\frac{{\partial {{V}_{{p,1}}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, где $p = 1;\;2$, при ${{x}_{2}} > 0$ примут вид

где $p,j = 1;\;2$, а ${{M}_{{\gamma ,p,n,m}}}({{s}_{1}},{{x}_{2}})$ при $\gamma ,p,n = 1;\;2$, $m = \overline {0;3} $ заданы равенствами

Замечание 7. Выражения

равномерно по ${{s}_{1}} \in \mathbb{R}$ и ${{x}_{2}} > 0$ мажорируются функцией $c{{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}^{{ - 2}}}$, где $c$ – некоторая положительная константа, следовательно, является непрерывными и равномерно ограниченными любом компакте $K \subset \overline {\mathbb{R}_{ + }^{2}} $ функциями.

Приведем вспомогательную лемму, доказательство которой аналогично доказательству леммы 3 работы [28].

Лемма 3. Пусть ${{x}_{2}} > 0$ и

где $n,p,\tau = 1;\;2$, тогда справедливы асимптотические разложения интеграла $J_{\tau }^{*}(x)$ в окрестности точек $( \pm 1;0)$где функции $\Lambda _{p}^{n}(x)$ и $Jh_{\tau }^{*}(x)$ непрерывны и равномерно ограничены на любом компакте $K \subset \overline {\mathbb{R}_{ + }^{2}} $ при $n,p,\tau = 1;2$.

Следующая лемма позволяет выписать асимптотики каждого из слагаемых представлений (59), (60), то есть асимптотические разложения в окрестности точек $( \pm 1;0)$ функций ${{V}_{{1,1}}}(x)$ и ${{V}_{{2,1}}}(x)$ и их первых производных.

Лемма 4. Пусть ${{x}_{2}} > 0$ и

где $n,p,\tau = 1;\;2$, тогда справедливы следующие асимптотические разложения: в окрестности точек $( \pm 1;0)$, где $n,p,\tau = 1;2$, функции $Dh_{p}^{{n,1}}(x)$, $\Psi h_{p}^{{n,1}}(x)$, $\Phi h_{p}^{{n,\tau }}(x)$, ${\rm T}h_{p}^{{n,\tau }}(x)$, $Nh_{p}^{{n,1}}(x)$ непрерывны и равномерно ограничены на любом компакте $K \subset \overline {\mathbb{R}_{ + }^{2}} $ при $n,p,\tau = 1;2$.

Доказательство всех указанных в лемме асимптотических разложений основывается на применении леммы 3, использовании асимптотических разложений при $\left| {{{s}_{1}}} \right| \to + \infty $

где $p = 1;\;2$, и выявлении непрерывности и равномерной ограниченности функций при ${{x}_{1}} \in \mathbb{R}$ и ${{x}_{2}} \geqslant 0$.

Согласно обозначениям леммы 4, имеем при $p,n = 1;2$ и $m = 0;1$

Воспользовавшись замечанием 7, равенствами (61)–(63), леммой 4, представлениями (59), (60), (38) и (37) получаем следующие асимптотические разложения функций ${{u}_{{p,1}}}(x)$, $\frac{{\partial {{u}_{{p,1}}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial {{u}_{{p,1}}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ вблизи точек $( \pm 1;0)$, где $p = 1;2$

где ${{r}_{{ - 1}}}(x) = \sqrt {{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} $ и ${{r}_{{ + 1}}}(x) = \sqrt {{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} $, а функции ${{R}_{j}}(x)$ являются равномерно ограниченными на любых компактах ${{K}_{{j,1}}} \subset \overline {\mathbb{R}_{{\operatorname{sgn} \{ {{{( - 1)}}^{{j + 1}}}\} }}^{2}} $ при $j = \overline {1;6} $.

Из теоремы 2, представлений (64)–(66) следует справедливость теоремы 4.