Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 7, стр. 1258-1263

Стационарная задача радиационного теплообмена с граничными условиями типа Коши

А. Г. Колобов¹, Т. В. Пак¹, А. Ю. Чеботарев^1, 2, *

¹ Дальневосточный федеральный ун-т
690950 Владивосток, ул. Суханова, 8, Россия

² ИПМ ДВО РАН
690041 Владивосток, ул. Радио, 7, Россия

^* E-mail: cheb@iam.dvo.ru

Поступила в редакцию 04.02.2019
После доработки 04.02.2019
Принята к публикации 11.03.2019

DOI: 10.1134/S004446691907010X

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе исследована стационарная задача радиационно-кондуктивного теплообмена в трехмерной области в рамках ${{P}_{1}}$-приближения уравнения переноса излучения. Рассмотрена постановка, где не заданы краевые условия для интенсивности излучения, но имеется дополнительное краевое условие для температурного поля. Установлена нелокальная разрешимость задачи и показано, что множество решений гомеоморфно конечномерному компакту. Представлено условие единственности решения. Библ. 27.

Ключевые слова: уравнения радиационного теплообмена, диффузионное приближение, нелокальная разрешимость.

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Стационарная нормализованная диффузионная модель, описывающая радиационный и кондуктивный теплообмен в ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$, имеет следующий вид [1]:

(1)

$ - a\Delta \theta + b{{\kappa }_{a}}(\left| \theta \right|{{\theta }^{3}} - \varphi ) = 0,\quad - {\kern 1pt} \alpha \Delta \varphi + {{\kappa }_{a}}(\varphi - \left| \theta \right|{{\theta }^{3}}) = 0,\quad x \in \Omega {\kern 1pt} .$

Здесь $\theta $ – нормализованная температура, $\varphi $ – нормализованная интенсивность излучения, усредненная по всем направлениям. Положительные физические параметры $a$, $b$, ${{\kappa }_{a}}$ и $\alpha $, описывающие свойства среды, определяются стандартным образом [2].

Предполагается, что функция $\theta $ удовлетворяют следующему условию на границе $\Gamma = \partial \Omega $:

(2)

$\theta = {{\theta }_{b}}.$

Для задания стандартного краевого условия для интенсивности излучения

(3)

$\alpha {{\partial }_{n}}\varphi + \gamma (\varphi - \theta _{b}^{4}) = 0$

требуется знать функцию $\gamma = \gamma (x)$, $x \in \Gamma $, описывающую отражающие свойства границы. Здесь через ${{\partial }_{n}}$ обозначаем производную в направлении внешней нормали ${\mathbf{n}}$.

В случае, если функция $\gamma $ неизвестна, естественно вместо краевого условия для интенсивности излучения задавать тепловые потоки на границе

(4)

${{\partial }_{n}}\theta = {{q}_{b}}.$

В данной работе изучается краевая задача (1), (2), (4), на которую будем ссылаться как на задачу $P$. Зная решение указанной задачи, можно вычислить неизвестную функцию $\gamma $, используя уравнение (3).

Теоретический анализ краевых задач, связанных с моделями радиационного теплообмена, позволяет оценить адекватность соответствующих моделей. Отметим работы [3]–[19], посвященные краевым и обратным задачам, а также задачам управления для уравнений радиационного теплообмена в рамках ${{P}_{1}}$-приближения для уравнения переноса излучения. Анализ различных краевых задач, связанных с радиационным теплообменом, представлен в [20]–[25], где также имеется хорошая библиография по сложному теплообмену. Нелокальная однозначная разрешимость нестационарной задачи для уравнений сложного теплообмена без краевых условий на интенсивность излучения и с условиями (2), (4) для температуры доказана в [26].

Вопрос о корректности сформулированной стационарной краевой задачи является полностью открытым. Основные результаты работы состоят в получении априорных оценок решения задачи $P$, на основе которых доказана нелокальная разрешимость. Кроме того, показано, что множество решений гомеоморфно компакту в конечномерном пространстве и представлено достаточное условие единственности решения.

2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

В дальнейшем считаем, что $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ – ограниченная строго липшицева область, граница $\Gamma $ которой состоит из конечного числа гладких кусков. Более точно, будем предполагать, что для области $\Omega $ справедливы свойства 1,2 из [27, гл. 3, параграф 8]. Через ${{L}^{p}}$, $1 \leqslant p \leqslant \infty $ обозначаем пространство Лебега, а через ${{H}^{s}}$ – пространство Соболева $W_{2}^{s}$, $H_{0}^{s}(\Omega )$ – замыкание $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ по норме пространства ${{H}^{s}}(\Omega )$. Далее через $( \cdot , \cdot )$, $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ обозначаем скалярное произведение и норму в ${{L}^{2}}(\Omega )$,

$(f,g) = \int\limits_\Omega \,f(x)g(x)dx,\quad {{\left\| f \right\|}^{2}} = (f,f).$

Пусть $V = \{ \text{v} \in {{H}^{2}}(\Omega ) \cap H_{0}^{1}(\Omega ):{{\left. {{{\partial }_{n}}\text{v}} \right|}_{\Gamma }} = 0\} $. Условия на область $\Omega $ позволяют выбрать скалярное произведение в $V$ в виде $\left[ {u,\text{v}} \right] = \left( {\Delta u,\Delta \text{v}} \right)$, ${{\left\| f \right\|}_{V}} = \left\| {\Delta f} \right\|$.

В дальнейшем будем использовать следующие неравенства, означающие непрерывность вложений соответствующих функциональных пространств:

${{\left\| u \right\|}_{{C(\bar {\Omega })}}} \leqslant {{K}_{0}}{{\left\| u \right\|}_{V}}\quad \forall u \in V;\quad {{\left\| \text{v} \right\|}^{2}} \leqslant {{K}_{1}}\left( {{{{\left\| {\nabla \text{v}} \right\|}}^{2}} + \int\limits_\Gamma {{{\text{v}}^{2}}d\Gamma } } \right)\quad \forall \text{v} \in {{H}^{1}}(\Omega ).$

Будем предполагать, что исходные данные удовлетворяют следующим условиям:

(i) ${{\theta }_{b}} = {{\left. {\hat {\theta }} \right|}_{\Gamma }}$, ${{q}_{b}} = {{\partial }_{n}}{{\left. {\hat {\theta }} \right|}_{\Gamma }}$, где $\hat {\theta } \in {{H}^{2}}(\Omega )$.

Для получения слабой формулировки задачи $P$ заметим, что из уравнений (1) следует равенство

$\Delta (a\theta + \alpha b\varphi ) = 0.$

Первое уравнение в (1) запишем в виде

$ - a\Delta \theta + b{{\kappa }_{a}}\left| \theta \right|{{\theta }^{3}} + \frac{{a{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }\theta = \frac{{{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }(a\theta + \alpha b\varphi ).$

Умножим это уравнение на функцию $\Delta \text{v}$, где $\text{v} \in H_{0}^{2}(\Omega )$, и проинтегрируем по области $\Omega .$ Тогда получим

$\left( { - a\Delta \theta + b{{\kappa }_{a}}\left| \theta \right|{{\theta }^{3}} + \frac{{a{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }\theta ,\;\Delta \text{v}} \right) = \frac{{{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }(a\theta + \alpha b\varphi ,\;\Delta \text{v}) = 0.$

Определение. Пара $\theta \in {{H}^{2}}(\Omega )$, $\varphi \in {{L}^{2}}(\Omega )$ называется слабым решением задачи $P$, если

(5)

$\begin{gathered} \left( { - a\Delta \theta + g(\theta ),\;\Delta \text{v}} \right) = 0\quad \forall \text{v} \in H_{0}^{2}(\Omega );\quad {{\left. \theta \right|}_{\Gamma }} = {{\theta }_{b}},\quad {{\partial }_{n}}{{\left. \theta \right|}_{\Gamma }} = {{q}_{b}}; \\ b{{\kappa }_{a}}\varphi = - a\Delta \theta + b{{\kappa }_{a}}\left| \theta \right|{{\theta }^{3}}\quad {\text{п }}.{\text{в }}.\;{\text{в }}\quad \Omega . \\ \end{gathered} $

Здесь $g(\theta ) = b{{\kappa }_{a}}\left| \theta \right|{{\theta }^{3}} + a{{\kappa }_{a}}{{\alpha }^{{ - 1}}}\theta $.

3. РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ

Теорема 1. Пусть выполняются условия (i). Тогда существует слабое решение задачи $P$.

Доказательство. Пусть $\theta $, $\varphi $ – слабое решение задачи $P$. Тогда $\theta = \hat {\theta } + \zeta $, где $\zeta \in V$ и $\zeta $ является решением задачи

(6)

$a(\Delta \zeta ,\Delta \text{v}) = (g(\hat {\theta } + \zeta ) - a\Delta \hat {\theta },\;\Delta \text{v})\quad \forall \text{v} \in V.$

Установим разрешимость задачи (6). Тогда пара $\theta = \hat {\theta } + \zeta $, $\varphi = - a{{(b{{\kappa }_{a}})}^{{ - 1}}}\Delta \theta + \left| \theta \right|{{\theta }^{3}}$ будет решением задачи $P.$

Определим нелинейный оператор $A:V \to V$,

$\left[ {Au,\text{v}} \right] = [{{a}^{{ - 1}}}g(\hat {\theta } + u) - \Delta \hat {\theta },\Delta \text{v}]\quad \forall \text{v} \in V.$

Тогда задача (6) равносильна отысканию неподвижной точки оператора $A$, $\zeta = A\zeta .$ Покажем сначала, что $A$ вполне непрерывен. Пусть ${{\left\| {{{u}_{{1,2}}}} \right\|}_{V}} \leqslant \rho $. Заметим, что

$\left| {g({{\theta }_{1}}) - g({{\theta }_{2}})} \right| \leqslant \left( {2b{{\kappa }_{a}}\left( {\left| {\theta _{1}^{3}} \right| + \left| {\theta _{2}^{3}} \right|} \right) + a{{\kappa }_{a}}{{\alpha }^{{ - 1}}}} \right)\left| {{{\theta }_{1}} - {{\theta }_{2}}} \right|.$

Тогда имеем

$a\left[ {A{{u}_{1}} - A{{u}_{2}},\text{v}} \right] = (g(\hat {\theta } + {{u}_{1}}) - g(\hat {\theta } + {{u}_{2}}),\;\Delta \text{v}) \leqslant {{\kappa }_{a}}\left( {4b{{{\left( {{{{\left\| {\hat {\theta }} \right\|}}_{{C(\bar {\Omega })}}} + {{K}_{0}}\rho } \right)}}^{3}} + a{{\alpha }^{{ - 1}}}} \right)\left\| {{{u}_{1}} - {{u}_{2}}} \right\|{{\left\| \text{v} \right\|}_{V}}.$

Полагая здесь $\text{v} = {{a}^{{ - 1}}}(A{{u}_{1}} - A{{u}_{2}})$, получаем

${{\left\| {A{{u}_{1}} - A{{u}_{2}}} \right\|}_{V}} \leqslant {{\kappa }_{a}}\left( {4{{a}^{{ - 1}}}b{{{\left( {{{{\left\| {\hat {\theta }} \right\|}}_{{C(\bar {\Omega })}}} + {{K}_{0}}\rho } \right)}}^{3}} + {{\alpha }^{{ - 1}}}} \right)\left\| {{{u}_{1}} - {{u}_{2}}} \right\|.$

Из последнего неравенства в силу компактности вложения $V \subset {{L}^{2}}(\Omega )$ следует, что оператор $A$ вполне непрерывен. Таким образом, для доказательства разрешимости задачи $P$ достаточно на основании принципа Лере–Шаудера доказать равномерную по $\lambda \in \left( {0,1} \right]$ ограниченность в $V$ множества решений операторного уравнения $\zeta = \lambda A\zeta $. Указанное уравнение запишем в виде

$\left( {\Delta \zeta ,\Delta \text{v}} \right) = \lambda ({{a}^{{ - 1}}}g(\theta ) - \Delta \hat {\theta },\;\Delta \text{v})\quad \forall \text{v} \in V,$

где $\theta = \hat {\theta } + \zeta $. Положим здесь $\text{v} = \zeta \in V$:

(7)

${{\left\| {\Delta \zeta } \right\|}^{2}} = - \lambda {{a}^{{ - 1}}}(g{\text{'}}(\theta )\nabla \theta ,\;\nabla \zeta ) - \lambda (\Delta \hat {\theta },\Delta \zeta ).$

Здесь $g{\text{'}}(\theta ) = 4b{{\kappa }_{a}}{{\left| \theta \right|}^{3}} + a{{\kappa }_{a}}{{\alpha }^{{ - 1}}} > 0$. Как следствие получаем

${{\left\| {\Delta \zeta } \right\|}^{2}} + \lambda {{a}^{{ - 1}}}\left( {g{\text{'}}(\theta )\nabla \theta ,\;\nabla \theta } \right) = \lambda {{a}^{{ - 1}}}(g{\text{'}}(\theta )\nabla \theta ,\;\nabla \hat {\theta }) - \lambda (\Delta \hat {\theta },\Delta \zeta ) \leqslant $

$ \leqslant \;\frac{\lambda }{2}{{a}^{{ - 1}}}\left( {g{\text{'}}(\theta )\nabla \theta ,\;\nabla \theta } \right) + \frac{\lambda }{2}{{a}^{{ - 1}}}(g{\text{'}}(\theta )\nabla \hat {\theta },\;\nabla \hat {\theta }) + \frac{1}{2}{{\left\| {\Delta \zeta } \right\|}^{2}} + \frac{1}{2}{{\left\| {\Delta \hat {\theta }} \right\|}^{2}}.$

Следовательно, имеем

(8)

$\left\| \zeta \right\|_{V}^{2} + \lambda {{a}^{{ - 1}}}\left( {g{\text{'}}(\theta )\nabla \theta ,\;\nabla \theta } \right) \leqslant \lambda {{a}^{{ - 1}}}(g{\text{'}}(\theta )\nabla \hat {\theta },\;\nabla \hat {\theta }) + {{\left\| {\Delta \hat {\theta }} \right\|}^{2}}.$

Оценим сверху величину (${{\left| \theta \right|}^{3}}\nabla \hat {\theta },\;\nabla \hat {\theta }$). Пусть $\psi = {{\left| \theta \right|}^{{5/2}}}\operatorname{sign} \theta $. Поскольку $\theta \in {{H}^{2}}(\Omega )$, то $\psi \in {{H}^{1}}(\Omega )$. Поэтому для $\varepsilon > 0$ получаем

$({{\left| \theta \right|}^{3}}\nabla \hat {\theta },\;\nabla \hat {\theta }) = ({{\left| \psi \right|}^{{6/5}}}\nabla \hat {\theta },\;\nabla \hat {\theta }) \leqslant {{\left\| \psi \right\|}^{{6/5}}}\left\| {\nabla \hat {\theta }} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{2} \leqslant \frac{3}{5}{{\varepsilon }^{{5/3}}}{{\left\| \psi \right\|}^{2}} + \frac{2}{5}{{\varepsilon }^{{ - 5/2}}}\left\| {\nabla \hat {\theta }} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5}.$

Заметим, что ${{\left\| \psi \right\|}^{2}} \leqslant {{K}_{1}}\left( {{{{\left\| {\nabla \psi } \right\|}}^{2}} + \int_\Gamma ^{} {{{\psi }^{2}}} d\Gamma } \right)$ и при этом имеем

${{\left\| {\nabla \psi } \right\|}^{2}} = \frac{{25}}{4}({{\left| \theta \right|}^{3}}\nabla \theta ,\;\nabla \theta ),\quad {{\left. {{{\psi }^{2}}} \right|}_{\Gamma }} = {{\left| {\hat {\theta }} \right|}^{5}}.$

Пусть $3{{K}_{1}}{{\varepsilon }^{{5/3}}}{\text{/}}5 = 4{\text{/}}25$. Тогда из (8) выводим оценку

(9)

$\left\| \zeta \right\|_{V}^{2} \leqslant {{\left\| {\Delta \hat {\theta }} \right\|}^{2}} + {{\kappa }_{a}}{{\alpha }^{{ - 1}}}{{\left\| {\nabla \hat {\theta }} \right\|}^{2}} + \frac{4}{5}b{{\kappa }_{a}}{{a}^{{ - 1}}}\left( {3{{K}_{1}}{{\varepsilon }^{{5/3}}}\left\| {\hat {\theta }} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Gamma )}}^{5} + 2{{\varepsilon }^{{ - 5/2}}}\left\| {\nabla \hat {\theta }} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5}} \right).$

Таким образом, для решений операторного уравнения $\zeta = \lambda A\zeta $ получена оценка ${{\left\| \zeta \right\|}_{V}} \leqslant {{C}_{0}}$, не зависящая от $\lambda ,$ а значит, уравнение $\zeta = A\zeta $ и задача $P$ разрешимы. Отметим, что ${{C}_{0}} \to 0$, если ${{\left\| {\hat {\theta }} \right\|}_{{{{H}^{2}}(\Omega )}}} \to 0$.

4. АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ И УСЛОВИЕ ЕДИНСТВЕННОСТИ

Из доказательства теоремы 1 следует, что при выполнении условий (i) множество решений задачи $P$ ограничено в пространстве ${{H}^{2}}(\Omega ) \times {{L}^{2}}(\Omega )$. Соответственно множество $\mathcal{R}$ решений задачи (6) ограничено в $V$ и в пространстве $C(\bar {\Omega }).$ Оценим разность двух функций из множества $\mathcal{R}$.

Пусть ${{\zeta }_{{1,2}}} \in \mathcal{R}$, ${{\theta }_{{1,2}}} = {{\zeta }_{{1,2}}} + \hat {\theta }$, $\zeta = {{\zeta }_{1}} - {{\zeta }_{2}} \in V$, $\chi = (\left| {{{\theta }_{1}}} \right|\theta _{1}^{3} - \left| {{{\theta }_{2}}} \right|\theta _{2}^{3}){\text{/}}({{\theta }_{1}} - {{\theta }_{2}})$. Заметим, что в силу неравенства

$0 \leqslant \chi \leqslant 2({{\left| {{{\theta }_{1}}} \right|}^{3}} + {{\left| {{{\theta }_{2}}} \right|}^{3}}),$

функция $\chi \in C(\bar {\Omega })$ и $M = sup\{ {{\left\| \chi \right\|}_{{C(\bar {\Omega })}}},\;{{\zeta }_{{1,2}}} \in \mathcal{R}\} < + \infty $. Заметим, что

(10)

$M \leqslant 4sup\left\{ {\left\| {\hat {\theta } + \zeta } \right\|_{{C(\bar {\Omega })}}^{3},\;\zeta \in \mathcal{R}} \right\} \leqslant 4\mathop {\left( {{{{\left\| {\hat {\theta }} \right\|}}_{{C(\bar {\Omega })}}} + {{K}_{0}}{{C}_{0}}} \right)}\nolimits^3 $

и поэтому, в силу оценки (9) величина $M \to 0$, если ${{\left\| {\hat {\theta }} \right\|}_{{{{H}^{2}}(\Omega )}}} \to 0$.

Вычтем равенства (6), записанные для ${{\zeta }_{1}}$ и для ${{\zeta }_{2}}$, а затем положим $\text{v} = \zeta $. В результате получаем

(11)

$a{{\left\| {\Delta \zeta } \right\|}^{2}} = {{\kappa }_{a}}b(\chi \zeta ,\Delta \zeta ) - {{\kappa }_{a}}a{{\alpha }^{{ - 1}}}{{\left\| {\nabla \zeta } \right\|}^{2}} \leqslant b{{\kappa }_{a}}M\left\| \zeta \right\|\left\| {\Delta \zeta } \right\|.$

Поэтому из (11) следует неравенство

(12)

$a\left\| {\Delta \zeta } \right\| \leqslant b{{\kappa }_{a}}M\left\| \zeta \right\|.$

Собственные функции $\left\{ {{{w}_{j}}} \right\} \subset V$ спектральной задачи

$(\Delta {{w}_{j}},\Delta \text{v}) = {{\lambda }_{j}}({{w}_{j}},\text{v})\quad \forall \text{v} \in V,\quad j = 1,2,\; \ldots ,\;({{w}_{i}},{{w}_{j}}) = {{\delta }_{{ij}}},\quad 0 < {{\lambda }_{1}} \leqslant {{\lambda }_{2}} \leqslant \; \ldots $

образуют базис пространств ${{L}^{2}}(\Omega )$ и $V$, причем ${{\lambda }_{j}} \to + \infty $ при $j \to + \infty $. Это следует, аналогично [27, гл. 3, параграф 17], из теоремы Гильберта–Шмидта для соответствующего компактного оператора в комплексном пространстве $V$. Поскольку ${{\lambda }_{1}}{{\left\| \zeta \right\|}^{2}} \leqslant {{\left\| {\Delta \zeta } \right\|}^{2}}$, то из оценки (12) следует единственность решения задачи (6) и соответственно задачи $P$, если выполняется условие

$a\sqrt {{{\lambda }_{1}}} > b{{\kappa }_{a}}M.$

В общем случае из оценки (12), в силу компактности вложения пространства $V$ в ${{L}^{2}}(\Omega )$, следует компактность множества $\mathcal{R}$. Более того, компактность вложения $V$ в ${{L}^{2}}(\Omega )$ определяет конечномерную структуру множества $\mathcal{R}$. Действительно, обозначим через $L = {\text{span}}\left\{ {{{w}_{1}},\; \ldots ,\;{{w}_{{k - 1}}}} \right\}$ подпространство, натянутое на первые $(k - 1)$ базисных функций, а через $\mathcal{P}$ – оператор проектирования на $L$. Отметим, что если $\mathcal{P}u = 0$, то ${{\lambda }_{k}}{{\left\| u \right\|}^{2}} \leqslant {{\left\| {\Delta u} \right\|}^{2}}$. Поэтому отображение $\mathcal{P}:\mathcal{R} \to L$ обратимо, если $k$ достаточно большое для выполнения условия

(14)

$a\sqrt {{{\lambda }_{k}}} > b{{\kappa }_{a}}M.$

Действительно, в этом случае, если $\mathcal{P}{{\zeta }_{1}} = \mathcal{P}{{\zeta }_{2}}$, где ${{\zeta }_{1}} \in \mathcal{R}$, ${{\zeta }_{2}} \in \mathcal{R}$, то $\mathcal{P}({{\zeta }_{1}} - {{\zeta }_{2}}) = 0$ и в силу оценки (12) получаем ${{\zeta }_{1}} = {{\zeta }_{2}}.$ Таким образом, оператор $\mathcal{P}$ осуществляет взаимно однозначное соответствие между $\mathcal{R}$ и некоторым компактом в конечномерном пространстве $L$, причем непрерывность обратного отображения вытекает из компактности множества $\mathcal{R}$. В результате верна

Теорема 2. Пусть выполняются условия (i). Тогда множество решений задачи $P$ непусто и гомеоморфно компакту, лежащему в конечномерном пространстве, а если выполняется условие (13), то решение единственно.

Замечание. Из оценок (10), (13) следует существование такого $\mu > 0$, зависящего от области и коэффициентов уравнений, что при выполнении условия ${{\left\| {\hat {\theta }} \right\|}_{{{{H}^{2}}(\Omega )}}} \leqslant \mu $ решение единственно.

Список литературы

Modest M.F. Radiative Heat Transfer. Academic Press, 2003. 822 p.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D. Unique solvability of a steady-state complex heat transfer model // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2015. V. 20. № 3. P. 776–784.
Pinnau R. Analysis of optimal boundary control for radiative heat transfer modelled by the SP₁-system // Comm. Math. Sci. 2007. V. 5. № 4. P. 951–969.
Tse O., Pinnau R., Siedow N. Identification of temperature dependent parameters in laser–interstitial thermo therapy // Math. Models Methods Appl. Sci. 2012. V. 22. № 9. P. 1–29.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu. An iterative method for solving a complex heat transfer problem // Appl. Math. Comput. 2013. V. 219. P. 9356–9362.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. The unique solvability of a complex 3D heat transfer problem // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 409. № 2. P. 808–815.
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 4. С. 711–719.
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Дифференц. ур-ния. 2014. Т. 50. № 12. С. 1590–1597.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Theoretical analysis of an optimal control problem of conductive-convective-radiative heat transfer // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 412. № 1. P. 520–528.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Нестационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 11. С. 1806–1816.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Неоднородная нестационарная задача сложного теплообмена // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. Т. 12. С. 562–576.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Нестационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 2. С. 275–282.
Grenkin G.V., Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Boundary optimal control problem of complex heat transfer model // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 433. № 2. P. 1243–1260.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Optimal boundary control of a steady-state heat transfer model accounting for radiative effects // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 439. № 2. P. 678–689.
Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Grenkin G.V., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Nondegeneracy of optimality conditions in control problems for a radiative-conductive heat transfer model // Appl. Math. Comput. 2016. V. 289. P. 371–380.
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Нелокальная однозначная разрешимость стационарной задачи сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 5. С. 816–823.
Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E. Inhomogeneous steady-state problem of complex heat transfer // ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 2017. V. 51. № 6. P. 2511–2519.
Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Inverse problem with finite overdetermination for steady-state equations of radiative heat exchange // J. Math. Anal. Appl. 2018. V. 460. № 2. P. 737–744.
Chebotarev A.Yu., Pinnau R. An inverse problem for a quasi-static approximate model of radiative heat transfer // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 472. № 1. P. 737–744.
Амосов А.А. Глобальная разрешимость одной нелинейной нестационарной задачи с нелокальным краевым условием типа теплообмена излучением // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. № 1. С. 93–104.
Amosov A.A. Stationary nonlinear nonlocal problem of radiative-conductive heat transfer in a system of opaque bodies with properties depending on the radiation frequency // J. Math. Sc. 2010. V. 164. № 3. P. 309–344.
Amosov A. Unique solvability of a nonstationary problem of radiative-conductive heat exchange in a system of semitransparent bodies // Russ. J. Math. Phys. 2016. V. 23. № 3. P. 309–334.
Амосов А.А. Стационарная задача сложного теплообмена в системе полупрозрачных тел с краевыми условиями диффузного отражения и преломления излучения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. № 3. С. 510–535.
Amosov A.A. Unique solvability of stationary radiative-conductive heat transfer problem in a system of semitransparent bodies // J. Math. Sc. (United States). 2017. V. 224. № 5. P. 618–646.
Amosov A.A. Nonstationary problem of complex heat transfer in a system of semitransparent bodies with boundary-value conditions of diffuse reflection and refraction of radiation // J. Math. Sc. (United States). 2018. V. 233. № 6. P. 777–806.
Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D. Problem of radiation heat exchange with boundary conditions of the Cauchy type // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2019.
Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал