Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 8, стр. 1401-1409
Течение разреженного газа между двумя коаксиальными цилиндрами под действием градиента температуры в рамках зеркально-диффузной модели отражения
О. В. Гермидер 1, *, В. Н. Попов 1, **
1 САФУ им. М.В. Ломоносова
163002 Архангельск, Набережная Северной Двины, 17, Россия
* E-mail: o.germider@narfu.ru
** E-mail: v.popov@narfu.ru
Поступила в редакцию 25.02.2019
После доработки 01.04.2019
Принята к публикации 10.04.2019
Аннотация
Проведено исследование медленного продольного течения разреженного газа между коаксиальными цилиндрами бесконечной длины под действием заданного градиента температуры. Задача формулируется для линеаризованной кинетической модели при использовании зеркально-диффузных граничных условий. Получены зависимости приведенных потоков тепла и массы газа через канал в виде функции от коэффициента аккомодации тангенциального импульса и числа Кнудсена для различных значений отношения радиусов внутреннего и внешнего цилиндров. Найдены значения этих потоков с использованием полиномов Чебышёва. Проведен анализ полученных выражений при переходе к свободномолекулярному и гидродинамическому режимам. Библ. 17. Фиг. 3. Табл. 2.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование течения разреженного газа в пространстве между коаксиальными цилиндрами представляет интерес как с прикладной, так и с теоретической точек зрения [1]. С одной стороны, такие конфигурации сечения канала имеют место в приложениях [2], а выбор зеркально-диффузной модели отражения обусловливается размерами поперечного сечения наноканала. С другой стороны, построение решения модельного кинетического уравнения в рамках указанной модели отражения является важным с точки зрения вычислений. Рассматриваемое граничное условие вносит существенные коррективы в вычислительный алгоритм. В отличие от диффузной модели отражения, при использовании которой решение модельного кинетического уравнения Вильямса сводится к квазилинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка с однородным граничным условием [3] и [4], в рассматриваемом случае граничное условие не является однородным. Ранее, в [5] авторами построено решение неоднородной краевой задачи для цилиндрического канала. В [6]–[9] проведены исследования течения разреженного газа в цилиндрическом канале в рамках диффузной модели отражения. Наличие внутреннего цилиндра порождает кусочное задание функции распределения в зависимости от значений угла между компонентами вектора молекулярной скорости и радиус-вектора молекул газа, которые принадлежат плоскости, перпендикулярной оси канала. В [1] изучено влияние внутреннего цилиндра на распределение скорости массового потока по радиусу при полной аккомодации молекул газа стенками канала под действием заданного градиента давления на основе модельного кинетического уравнения БГК. В отличие от [1] в представленной работе получен явный вид линеаризованной функции распределения при различных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и числа Кнудсена, а также выполнено построение профилей массовой скорости газа в канале и получены значения приведенных потоков массы через его поперечное сечение с использованием полиномов Чебышёва при действии постоянного градиента температуры. Предлагаемый подход основан на аппроксимации подынтегральной функции частичной суммой ряда Чебышёва и вычислении коэффициентов этого разложения с использованием в качестве интерполяционных узлов этой функции нулей полиномов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим задачу о медленном стационарном течении разреженного газа в канале, образованном двумя коаксиальными цилиндрами радиусами ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}}$ (${{R}_{1}} < {{R}_{2}}$). Считаем, что на поверхностях цилиндров коэффициенты аккомодации тангенциального импульса молекул газа совпадают и равны $\alpha $, а течение газа обусловлено постоянным продольным градиентом температуры. В качестве основного уравнения, описывающего кинетику процессов переноса, будем использовать модельное уравнение Вильямса, которое в цилиндрической системе координат записывается в виде [4]
(1.1)
${{v}_{\rho }}\frac{{\partial f}}{{\partial \rho {\kern 1pt} '}} + \frac{{{{v}_{\varphi }}}}{{\rho {\kern 1pt} '}}\frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }} + \frac{{v_{\varphi }^{2}}}{{\rho {\kern 1pt} '}}\frac{{\partial f}}{{\partial {{v}_{\rho }}}} - \frac{{{{v}_{\rho }}{{v}_{\varphi }}}}{{\rho {\kern 1pt} '}}\frac{{\partial f}}{{\partial {{v}_{\varphi }}}} + {{v}_{z}}\frac{{\partial f}}{{\partial z{\kern 1pt} '}} = \frac{\omega }{{\gamma {{l}_{g}}}}({{f}_{ * }} - f),$(1.2)
${{f}_{ * }} = {{n}_{ * }}\mathop {\left( {\frac{m}{{2\pi {{k}_{B}}{{T}_{ * }}}}} \right)}\nolimits^{3/2} exp\left( { - \frac{m}{{2{{k}_{B}}{{T}_{ * }}}}{{{({\mathbf{v}} - {{{\mathbf{u}}}_{ * }})}}^{2}}} \right).$В качестве граничного условия на стенках канала используем модель зеркально-диффузного отражения Максвелла [10]:
(1.3)
${{f}^{ + }}({\mathbf{r}}_{s}^{'},{\mathbf{v}}) = (1 - \alpha ){{f}^{ - }}({\mathbf{r}}_{s}^{'},{\mathbf{v}} - 2{\mathbf{n}}({\mathbf{nv}})) + \alpha {{f}_{s}}({\mathbf{r}}_{s}^{'},{\mathbf{v}}),\quad {\mathbf{v}}{{{\mathbf{n}}}_{i}} > 0,$(1.4)
${{f}_{s}}({\mathbf{r}}_{s}^{'},{\mathbf{v}}) = {{n}_{s}}(z{\kern 1pt} ')\mathop {\left( {\frac{m}{{2\pi {{k}_{B}}{{T}_{s}}(z{\kern 1pt} ')}}} \right)}\nolimits^{3/2} exp\left( { - \frac{m}{{2{{k}_{B}}{{T}_{s}}(z{\kern 1pt} ')}}{{{\mathbf{v}}}^{2}}} \right),\quad i = 1,2,$Предполагаем, что изменение температуры является малым:
(1.5)
${{G}_{T}} = \frac{1}{{{{T}_{0}}}}\frac{{dT}}{{dz}},\quad {\text{|}}{{G}_{T}}{\text{|}} \ll 1,$В пространстве скоростей перейдем к сферической системе координат: ${{C}_{\rho }} = Ccos\psi sin\theta $, ${{C}_{\varphi }} = Csin\psi sin\theta $, ${{C}_{z}} = Ccos\theta $, где ${\mathbf{C}} = {{\beta }^{{1/2}}}{\mathbf{v}}$. Функцию $f({\mathbf{r}},{\mathbf{C}})$ линеаризуем относительно локально равновесной функции распределения (1.4). Учитывая, что $f({{{\mathbf{r}}}_{s}},{\mathbf{C}}) = {{f}_{0}}(C)(1 + {{G}_{T}}({{C}^{2}} - 5{\text{/}}2)z)$ [4], получаем
(1.6)
$f({\mathbf{r}},{\mathbf{C}}) = {{f}_{0}}(C)\left( {1 + {{G}_{T}}\left( {{{C}^{2}} - \frac{5}{2}} \right)z + h(\rho ,{\mathbf{C}})} \right),$(1.7)
$h(\rho ,{\mathbf{C}}) = \gamma {\text{Kn}}{{G}_{T}}\left( {C - \frac{5}{{2C}}} \right)Z(\rho ,\psi ,\theta ).$Подставляя (1.6) в (1.1) и (1.3), приходим к уравнению относительно $Z(\rho ,\psi ,\theta )$ [4]
(1.8)
$\left( {\frac{{\partial Z}}{{\partial \rho }}cos\psi - \frac{{\partial Z}}{{\partial \psi }}\frac{{sin\psi }}{\rho }} \right)\gamma {\text{Kn}}sin\theta + Z(\rho ,\psi ,\theta ) + 1 = 0,$(1.9)
$Z({{R}_{i}},{{\psi }_{i}},\theta ) = (1 - \alpha )Z({{R}_{i}},\operatorname{sign} ({{\psi }_{i}})\pi - {{\psi }_{i}},\theta ),\quad {{( - 1)}^{i}}cos{{\psi }_{i}} < 0,\quad i = 1,2.$Система уравнений характеристик для (1.8) и два ее первых интеграла имеют вид [4]
(1.10)
$\begin{gathered} \frac{{d\rho }}{{\gamma {\text{Kn}}cos\psi sin\theta }} = - \frac{{\rho d\psi }}{{\gamma {\text{Kn}}sin\psi sin\theta }} = - \frac{{dZ}}{{Z(\rho ,\psi ,\theta ) + 1}} = dt, \\ \rho {\text{|}}sin\psi {\text{|}} = {{C}_{1}},\quad (Z(\rho ,\psi ,\theta ) + 1)exp\left( {\frac{{\rho cos\psi }}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right) = {{C}_{2}}. \\ \end{gathered} $Для определения ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ в (1.10) рассмотрим три промежутка изменения угла $\psi $:
1) $ - {{\psi }_{0}} \leqslant \psi \leqslant {{\psi }_{0}}$ – для молекул, которые летят к внешней поверхности, отразившись от внутренней, где угол ${{\psi }_{0}}$ определяется выражением ${{\psi }_{0}} = arcsin\left( {{{R}_{1}}{\text{/}}\rho } \right)$;
2) $\pi - {{\psi }_{0}} \leqslant \psi \leqslant \pi $ или $ - \pi \leqslant \psi \leqslant - \pi + {{\psi }_{0}}$ – для молекул, которые отразились от внешней поверхности и летят к внутренней;
3) ${{\psi }_{0}} < \psi < \pi - {{\psi }_{0}}$ или $ - \pi + {{\psi }_{0}} < \psi < - {{\psi }_{0}}$ – для молекул, которые отразились от внешней поверхности и летят к ней.
Выражаем функцию $Z(\rho ,\psi ,\theta )$ из второго интеграла (1.10) и подставляем ее в граничное условие (1.9). В результате для молекул с углом $\psi $ из промежутка $i$ ($i = 1,2$) получаем
(1.11)
$C_{2}^{{(i)}}exp\left( { - \frac{{{{R}_{i}}cos{{\psi }_{i}}}}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right) - 1 = (1 - \alpha )\left( {C_{2}^{{(k)}}exp\left( {\frac{{{{R}_{i}}cos{{\psi }_{i}}}}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right) - 1} \right),$(1.12)
$\begin{gathered} C_{2}^{{(i)}} = \alpha \left( {(1 - \alpha )exp\left( {\frac{{{{R}_{i}}cos{{\psi }_{i}}}}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right) + exp\left( {\frac{{ - {{R}_{k}}cos{{\psi }_{k}}}}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right)} \right)\left( {exp\left( { - \frac{{{{R}_{1}}cos{{\psi }_{1}} + {{R}_{2}}cos{{\psi }_{2}}}}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right) - } \right. \\ \mathop {\left. { - \;{{{(1 - \alpha )}}^{2}}exp\left( {\frac{{{{R}_{1}}cos{{\psi }_{1}} + {{R}_{2}}cos{{\psi }_{2}}}}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right)} \right)}\nolimits^{ - 1} ,\quad k = i + {{( - 1)}^{{i + 1}}},\quad i = 1,2. \\ \end{gathered} $Для определения $cos{{\psi }_{i}}$ в (1.12) воспользуемся первым независимым интегралом (1.10), учитывая при этом, что ${{( - 1)}^{i}}cos{{\psi }_{i}} < 0$, $i = 1,2$. Подставив полученное таким образом выражение для $cos{{\psi }_{i}} = {{( - 1)}^{{i + 1}}}\sqrt {R_{i}^{2} - {{\rho }^{2}}si{{n}^{2}}\psi } {\text{/}}{{R}_{i}}$ в (1.12), для промежутка $i = 1,2$ имеем
(1.14)
$\begin{gathered} {{w}_{i}}(\rho ,\psi ,\theta ) = \alpha exp\left( { - \frac{{\rho cos\psi }}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right)((1 - \alpha ){{g}_{i}}(\rho ,\psi ,\theta ) + g_{k}^{{ - 1}}(\rho ,\psi ,\theta )) \times \\ \times \;\mathop {(g_{1}^{{ - 1}}(\rho ,\psi ,\theta )g_{2}^{{ - 1}}(\rho ,\psi ,\theta ) - {{{(1 - \alpha )}}^{2}}{{g}_{1}}(\rho ,\psi ,\theta ){{g}_{2}}(\rho ,\psi ,\theta ))}\nolimits^{ - 1} ,\quad k = i + {{( - 1)}^{{i + 1}}}, \\ \end{gathered} $(1.15)
${{g}_{i}}(\rho ,\psi ,\theta ) = exp\left( {\frac{{{{{( - 1)}}^{{i + 1}}}\sqrt {R_{i}^{2} - {{\rho }^{2}}si{{n}^{2}}\psi } }}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right),\quad i = 1,2.$Для молекул с углом $\psi $ из промежутка $3$ при подстановке выражения для $Z(\rho ,\psi ,\theta )$ из (1.10) в граничное условие (1.10) при $i = 2$ получаем
(1.16)
${{w}_{3}}(\rho ,\psi ,\theta ) = - \alpha exp\left( { - \frac{{\rho cos\psi }}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right)\mathop {((1 - \alpha ){{g}_{2}}(\rho ,\psi ,\theta ) - g_{2}^{{ - 1}}(\rho ,\psi ,\theta ))}\nolimits^{ - 1} .$Используя выражения (1.13)–(1.16), согласно (1.7) получаем явный вид функции распределения (1.6) для промежутка $i$ $(i = \overline {1,3} )$.
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТОКОВ ТЕПЛА И МАССЫ В КАНАЛЕ
Отличные от нуля компоненты безразмерных векторов потока тепла ${{q}_{{T,z}}}(\rho )$ и массовой скорости ${{U}_{{T,z}}}(\rho )$ газа в канале определяются интегралами [4]
(2.1)
${{q}_{{T,z}}}(\rho ) = {{\pi }^{{ - 3/2}}}\int {exp( - {{C}^{2}})C_{z}^{2}\left( {{{C}^{2}} - \frac{5}{2}} \right)h(\rho ,{\mathbf{C}}){{d}^{3}}{\mathbf{C}}} ,$(2.2)
${{U}_{{T,z}}}(\rho ) = {{\pi }^{{ - 3/2}}}\int {exp( - {{C}^{2}})C_{z}^{2}h(\rho ,{\mathbf{C}}){{d}^{3}}{\mathbf{C}}} .$Приведенные потоки тепла и массы газа в канале в этом случае имеют вид
(2.3)
${{J}_{{T,M}}} = \frac{4}{{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}}}\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}} \,{{U}_{{T,z}}}(\rho )\rho d\rho = - \frac{2}{9}{{J}_{{T,Q}}}.$Подставляя (1.7) в (2.1) и (2.2), с учетом (1.13) получаем
(2.4)
${{U}_{{T,z}}}(\rho ) = \frac{{\gamma {\text{Kn}}{{G}_{T}}}}{{3\sqrt \pi }}\left( {1 - \frac{3}{{2\pi }}\sum\limits_{i = 1}^3 \,\int\limits_0^\pi co{{s}^{2}}\theta sin\theta \int\limits_{{{\psi }_{{i,1}}}}^{{{\psi }_{{i,2}}}} \,{{w}_{i}}(\rho ,\psi ,\theta )d\psi d\theta } \right) = - \frac{2}{9}{{q}_{{T,z}}}(\rho ),$(2.5)
${{\psi }_{{1,1}}} = 0,\quad {{\psi }_{{1,2}}} = {{\psi }_{{3,1}}} = {{\psi }_{0}},\quad {{\psi }_{{2,1}}} = {{\psi }_{{3,2}}} = \pi - {{\psi }_{0}},\quad {{\psi }_{{2,2}}} = \pi ,\quad {{\psi }_{0}}(\rho ) = arcsin\left( {\frac{{{{R}_{1}}}}{\rho }} \right),$Вычислим значения ${{J}_{{T,M}}}$ в зависимости от $\alpha $, ${{R}_{1}}$ и ${\text{Kn}}$ с использованием полиномов Чебышева, где в качестве интерполяционных узлов подынтегральной функции выберем нули этих полиномов. Следует заметить, что в принятых безразмерных переменных ${{R}_{2}} = 1$. Обозначение ${{R}_{2}}$ сохранено для симметрии записи соответствующих выражений. Вследствие того, что ортогональные многочлены Чебышёва I рода $\{ {{T}_{i}}(x)\} $, $i = 0,1,2,\; \ldots $, определены на отрезке $[ - 1,1]$ [11]
то область интегрирования в (2.3) приводим к кубу ${{[ - 1,1]}^{3}}$ по формуле (см. [12])(2.6)
$\zeta (x,{{a}_{1}},{{a}_{2}}) = \frac{{x({{a}_{2}} - {{a}_{1}}) + ({{a}_{1}} + {{a}_{2}})}}{2},\quad x \in [ - 1,1].$Подставляя (2.4) в (2.3) и применяя (2.6) к каждой переменной интегрирования, получаем
(2.7)
${{J}_{{T,M}}} = \frac{{2\gamma {\text{Kn}}{{G}_{T}}}}{{{{\pi }^{{3/2}}}}}\Lambda ,\quad \Lambda = \frac{\pi }{{8({{R}_{2}} + {{R}_{1}})}}\int\limits_{ - 1}^1 \,\int\limits_{ - 1}^1 \,\int\limits_{ - 1}^1 \,\sum\limits_{i = 1}^3 \,{{f}_{i}}\left( {\zeta (\rho ,{{R}_{1}},{{R}_{2}}),\psi ,\frac{\pi }{2}(\theta + 1)} \right)d\rho d\psi d\theta ,$(2.8)
${{f}_{i}}(\rho ,\psi ,\theta ) = ({{\psi }_{{i,2}}}(\rho ) - {{\psi }_{{i,1}}}(\rho ))f_{i}^{'}(\rho ,\zeta (\rho ,{{\psi }_{{i,1}}}(\rho ),{{\psi }_{{i,2}}}(\rho )),\theta ),$(2.9)
$f_{i}^{'}(\rho ,\psi ,\theta ) = {{w}_{i}}(\rho ,\psi ,\theta )\rho co{{s}^{2}}\theta sin\theta .$Для нахождения $\Lambda $ в (2.7) при различных значениях $\alpha $, ${{R}_{1}}$ и ${\text{Kn}}$, рассмотрим интеграл вида
(2.10)
$I = \int\limits_{{{{[ - 1,1]}}^{3}}} \,f({\mathbf{x}})d{\mathbf{x}},\quad {\mathbf{x}} = ({{x}^{{(1)}}},{{x}^{{(2)}}},{{x}^{{(3)}}}).$Функцию $f({\mathbf{x}})$ разложим в ряд по ортогональным многочленам Чебышёва I рода (см. [13])
(2.11)
$f({\mathbf{x}}) = \sum\limits_{{{i}_{1}} = 0}^\infty {\kern 1pt} {\text{'}}\, \ldots \sum\limits_{{{i}_{3}} = 0}^\infty {\kern 1pt} {\text{'}}\,{{A}_{{\mathbf{i}}}}{{T}_{{{{i}_{1}}}}}({{x}^{{(1)}}}) \ldots \cdot {{T}_{{{{i}_{3}}}}}({{x}^{{(3)}}}),$Для определения ${{T}_{i}}(x)$ в разложении (2.11) воспользуемся рекуррентной формулой [11], [12]
(2.12)
${{T}_{0}}(x) = 1,\quad {{T}_{1}}(x) = x,\quad {{T}_{i}}(x) = 2x{{T}_{{i - 1}}}(x) - {{T}_{{i - 2}}}(x),\quad i \geqslant 2.$Ограничиваясь в (2.11) членами с номерами ${{i}_{j}} \leqslant {{n}_{j}}$, $j = \overline {1,3} $, имеем
(2.13)
${{f}_{{\mathbf{n}}}}({\mathbf{x}}) = \sum\limits_{{{i}_{1}} = 0}^{{{n}_{1}}} {\kern 1pt} {\text{'}} \ldots \sum\limits_{{{i}_{3}} = 0}^{{{n}_{3}}} {\kern 1pt} {\text{'}}\,{{a}_{{\mathbf{i}}}}{{T}_{{{{i}_{1}}}}}({{x}^{{(1)}}}) \ldots \cdot {{T}_{{{{i}_{3}}}}}({{x}^{{(3)}}}).$Полагая в (2.13), что ${{n}_{j}}$ – четное число ($j = \overline {1,3} $), и учитывая, что [12]
(2.14)
${{I}_{{\mathbf{n}}}} = {{2}^{3}}\,\sum\limits_{{{i}_{1}} = 0}^{{{n}_{1}}/2} {\kern 1pt} {\text{'}} \cdots \sum\limits_{{{i}_{3}} = 0}^{{{n}_{3}}/2} {\kern 1pt} {\text{'}}\frac{{{{a}_{{2{\mathbf{i}}}}}}}{{(1 - 4i_{1}^{2}) \ldots \cdot (1 - 4i_{3}^{2})}}.$Учитывая, что в нулях многочлена ${{T}_{{{{n}_{j}} + 1}}}(x)$:
(2.15)
$x_{{{{k}_{j}}}}^{{(j)}} = cos\left( {\frac{{\pi (2({{n}_{j}} - {{k}_{j}}) + 3)}}{{2({{n}_{j}} + 1)}}} \right),\quad {{k}_{j}} = \overline {1,{{n}_{j}} + 1} ,$(2.16)
${{a}_{{2{\mathbf{i}}}}} = \frac{{{{2}^{3}}}}{{{{{({{n}_{1}} + 1)}}^{3}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}} = 1}^{{{n}_{1}} + 1} \ldots \sum\limits_{{{k}_{3}} = 1}^{{{n}_{3}} + 1} \,{{f}_{{\mathbf{n}}}}(x_{{{{k}_{1}}}}^{{(1)}} \ldots ,x_{{{{k}_{3}}}}^{{(3)}}){{T}_{{2{{i}_{1}}}}}(x_{{{{k}_{1}}}}^{{(1)}}) \ldots \cdot {{T}_{{2{{i}_{3}}}}}(x_{{{{k}_{3}}}}^{{(3)}}),\quad 0 \leqslant 2{{i}_{j}} \leqslant {{n}_{j}},\quad j = \overline {1,3} .$Подставляя (2.16) в (2.14), получаем
(2.17)
${{I}_{{\mathbf{n}}}} = \frac{{{{4}^{3}}}}{{{{{({{n}_{1}} + 1)}}^{3}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}} = 1}^{{{n}_{1}} + 1} {\kern 1pt} {\text{'}}\,\tau (x_{{{{k}_{1}}}}^{{(1)}},{{n}_{1}}) \ldots \sum\limits_{{{k}_{3}} = 1}^{{{n}_{3}} + 1} {\kern 1pt} {\text{'}}\,\tau (x_{{{{k}_{3}}}}^{{(3)}},{{n}_{3}}){{f}_{{\mathbf{n}}}}(x_{{{{k}_{1}}}}^{{(1)}} \ldots ,x_{{{{k}_{3}}}}^{{(3)}}),\quad \tau (x,n) = \sum\limits_{i = 0}^{n/2} {\kern 1pt} {\text{'}}\frac{{{{T}_{i}}(x)}}{{1 - 4{{i}^{2}}}}.$Для того чтобы оценить погрешность при численном интегрировании с использованием (2.17), воспользуемся формулой [14] и получим
(2.18)
$E_{{\mathbf{n}}}^{ * } = {\text{|}}{{I}_{{\mathbf{n}}}} - {{I}_{{{\mathbf{n}}/2}}}{\text{|}}.$В табл. 1 и 2 приведены значения $J_{{T,M}}^{{({\mathbf{n}})}}{\text{/}}{{G}_{T}}$, полученные по формуле (2.7) с использованием (2.17) и (2.15). Для всех указанных в табл. 1 и 2 значений $\alpha $, ${{R}_{1}}$ и ${\text{Kn}}$ оценка погрешности для ${{\Lambda }_{{\mathbf{n}}}}$, вычисленные согласно (2.18) как $E_{{\mathbf{n}}}^{ * } = {\text{|}}{{\Lambda }_{{\mathbf{n}}}} - {{\Lambda }_{{{\mathbf{n}}/2}}}{\text{|}}$, не превышала ${{10}^{{ - 4}}}$, а $\left| {(J_{{T,M}}^{{(C)}} - J_{{T,M}}^{{({\mathbf{n}})}}){\text{/}}{{G}_{T}}} \right| < {{10}^{{ - 5}}}$, где $J_{{T,M}}^{{(C)}}{\text{/}}{{G}_{T}}$ – величина приведенного потока массы (2.3), полученная методом CubaCuhre [15] с точностью не менее ${{10}^{{ - 5}}}$. Как следует из результатов, представленных в табл. 1 и 2, приведенный поток массы возрастает по абсолютной величине с увеличением значений ${\text{Kn}}$ при фиксированном значении коэффициента аккомодации $\alpha $. Аналогичное поведение $J_{{T,M}}^{{({\mathbf{n}})}}{\text{/}}{{G}_{T}}$ наблюдаем с уменьшением $\alpha $ при фиксированных значениях ${{R}_{1}}$ и ${\text{Kn}}$, что подтверждается выводами, приведенными в [16] для цилиндрического канала.
Таблица 1.
Значения $J_{{T,M}}^{{({\mathbf{n}})}}{\text{/}}{{G}_{T}}$ при $\alpha = 1$ в зависимости от ${{R}_{1}}$ и ${\text{Kn}}$
| Kn | ${{R}_{1}} = R_{1}^{'}{\text{/}}R_{2}^{'}$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.9 | |
| 0.001 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 |
| 0.010 | 0.0083 | 0.0083 | 0.0083 | 0.0082 | 0.0076 |
| 0.100 | 0.0764 | 0.0764 | 0.0757 | 0.0698 | 0.0414 |
| 0.500 | 0.2705 | 0.2695 | 0.2601 | 0.2014 | 0.0761 |
| 1.000 | 0.3881 | 0.3862 | 0.3684 | 0.2660 | 0.0878 |
| 2.000 | 0.4977 | 0.4948 | 0.4677 | 0.3208 | 0.0963 |
| 5.000 | 0.6080 | 0.6040 | 0.5666 | 0.3724 | 0.1034 |
| 10.00 | 0.6632 | 0.6586 | 0.6158 | 0.3970 | 0.1065 |
| 100.0 | 0.7376 | 0.7321 | 0.6816 | 0.4290 | 0.1103 |
| 1000 | 0.7502 | 0.7446 | 0.6927 | 0.4342 | 0.1108 |
Таблица 2.
Значения $J_{{T,M}}^{{({\mathbf{n}})}}{\text{/}}{{G}_{T}}$ при $\alpha = 0.8$, $0.9$ в зависимости от ${{R}_{1}}$ и ${\text{Kn}}$
| Kn | $\alpha = 0.9,\;{{R}_{1}} = R_{1}^{'}{\text{/}}R_{2}^{'}$ | $\alpha = 0.8,\;{{R}_{1}} = R_{1}^{'}{\text{/}}R_{2}^{'}$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.9 | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.9 | |
| 0.001 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 |
| 0.010 | 0.0083 | 0.0083 | 0.0082 | 0.0077 | 0.0083 | 0.0083 | 0.0082 | 0.0078 |
| 0.100 | 0.0771 | 0.0765 | 0.0712 | 0.0442 | 0.0830 | 0.0800 | 0.0678 | 0.0574 |
| 0.500 | 0.2824 | 0.2735 | 0.2163 | 0.0862 | 0.2956 | 0.2872 | 0.2321 | 0.0977 |
| 1.000 | 0.4177 | 0.3997 | 0.2946 | 0.1017 | 0.4510 | 0.4332 | 0.3261 | 0.1179 |
| 2.000 | 0.5531 | 0.5243 | 0.3658 | 0.1135 | 0.6177 | 0.5873 | 0.4169 | 0.1341 |
| 5.000 | 0.7000 | 0.6579 | 0.4371 | 0.1239 | 0.8114 | 0.7642 | 0.5137 | 0.1488 |
| 10.00 | 0.7780 | 0.7284 | 0.4731 | 0.1286 | 0.9204 | 0.8628 | 0.5648 | 0.1558 |
| 100.0 | 0.8892 | 0.8281 | 0.5220 | 0.1344 | 1.0838 | 1.0096 | 0.6374 | 0.1647 |
| 1000 | 0.9091 | 0.8458 | 0.5303 | 0.1353 | 1.1146 | 1.0370 | 0.6503 | 0.1660 |
Профили распределения массовой скорости (2.4) газа в канале при $\alpha = 0.9$ для значений ${\text{Kn}} = 0.1$, $1$, $10$ и ${{R}_{1}} = R_{1}^{'}{\text{/}}R_{2}^{'} = 0.1$, $0.9$ приведены на фиг. 1–3. Уменьшение значений ${\text{Kn}}$ понижает профиль ${{U}_{{T,z}}}{\text{/}}{{G}_{T}}$ в целом, причем на внешнем цилиндре значение этой величины остается больше, чем на внутреннем.
Фиг. 1.
Профиль массовой скорости газа ${{U}_{{T,z}}}{\text{/}}{{G}_{T}}$ в канале при $\alpha = 0.9$ для ${\text{Kn}} = 0.1$ и ${{R}_{1}} = 0.1$ и ${{R}_{1}} = 0.9$.
3. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
В свободномолекулярном режиме течения функции ${{w}_{i}} = {{w}_{i}}(\rho ,\psi ,\theta )$ в выражении для массовой скорости газа (2.4) представляем в виде ряда по малому параметру $1{\text{/Kn}}$ и ограничиваемся линейными членами этого ряда ($i = \overline {1,3} $). В результате имеем
(3.1)
$\begin{gathered} {{U}_{{T,z}}}(\rho ) = \frac{{{{G}_{T}}}}{{4\alpha \sqrt \pi }}\left( {\int\limits_0^{{{\psi }_{0}}} \left( {(1 - \alpha )\sqrt {R_{2}^{2} - {{\rho }^{2}}si{{n}^{2}}\psi } - \sqrt {R_{1}^{2} - {{\rho }^{2}}si{{n}^{2}}\psi } } \right)d\psi } \right. + \\ + \;\int\limits_{\pi - {{\psi }_{0}}}^\pi \left( {\sqrt {R_{2}^{2} - {{\rho }^{2}}si{{n}^{2}}\psi } - (1 - \alpha )\sqrt {R_{1}^{2} - {{\rho }^{2}}si{{n}^{2}}\psi } } \right)d\psi + \left. {(2 - \alpha )\int\limits_{{{\psi }_{0}}}^{\pi - {{\psi }_{0}}} \sqrt {R_{1}^{2} - {{\rho }^{2}}si{{n}^{2}}\psi } d\psi } \right). \\ \end{gathered} $Выражения (3.1) в этом случае совпадают с результатами, полученными из кинетического уравнения Больцмана в отсутствие межмолекулярных столкновений. При ${\text{Kn}} = 100$ значения $J_{{T,M}}^{{({\mathbf{n}})}}$ из табл. 1 и 2 не более, чем на 3% меньше своего свободномолекулярного предела.
В случае полной аккомодации молекул газа стенками канала ($\alpha = 1$) выражение (2.4) принимает вид
(3.2)
$\begin{gathered} {{U}_{{T,z}}}(\rho ) = \frac{{{{G}_{T}}\gamma {\text{Kn}}}}{{3\sqrt \pi }}\left( {1 - \frac{3}{{2\pi }}\sum\limits_{i = 1}^2 \,\int\limits_0^\pi co{{s}^{2}}\theta sin\theta d\theta \int\limits_{\mathop {\psi '}\nolimits_i }^{\mathop {\psi '}\nolimits_{i + 1} } exp\left( { - \frac{{\rho cos\psi }}{{\gamma {\text{Kn}}sin\theta }}} \right){{g}_{i}}(\rho ,\psi ,\theta )d\psi } \right) = \\ = - \frac{2}{9}{{q}_{{T,z}}}(\rho ),\quad \psi _{1}^{'} = 0,\quad \psi _{1}^{'} = {{\psi }_{0}},\quad \psi _{3}^{'} = \pi , \\ \end{gathered} $Для режимов течения, близких к гидродинамическому (${\text{Kn}} \ll 1$), анализ выражений (2.3) и (2.4) приводит к следующим результатам:
(3.3)
${{J}_{{T,M}}} = \frac{{5{{G}_{T}}{\text{Kn}}}}{6},\quad {{J}_{{T,Q}}} = - \frac{{15{{G}_{T}}{\text{Kn}}}}{4}.$Таким образом, для значений ${\text{Kn}} \ll 1$ приведенные потоки тепла и массы не зависят от отношения $\alpha $ и ${{R}_{1}}$. Последнее утверждение подтверждается результатами, представленными в табл. 1 и 2 для ${\text{Kn}} < 0.01$. Согласно [17] в гидродинамическом режиме (${\text{Kn}} = 0$) поток массы в отсутствие действия градиента давления равен нулю, что также следует из (3.3) и анализа значений $J_{{T,M}}^{{({\mathbf{n}})}}$, приведенных в табл. 1 и 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В рамках кинетического подхода построено решение модельного кинетического уравнения для осесимметричной линеаризованной задачи о медленном продольном течении разреженного газа между коаксиальными цилиндрами бесконечной длины под действием градиента температуры. При различных значениях отношения радиусов цилиндров построен профиль распределения массовой скорости разреженного газа в зависимости от коэффициента аккомодации тангенциального импульса. Показано, что приведенные потоки тепла и массы существенно зависят от коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа.
Список литературы
Шахов Е.М. Течение разреженного газа между коаксиальными цилиндрами под действием градиента давления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 7. С. 1107–1116.
Pantazis S., Valougeorgis D. Heat transfer through rarefied gases between coaxial cylindrical surfaces with arbitrary temperature difference // European Journal of Mechanics – B/Fluids. 2010. V. 29. № 6. P. 494–509.
Гермидер О.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о переносе тепла в разре- женном газе между двумя коаксиальными цилиндрами // Прикл. механ. и техн. физ. 2017. Т. 58. № 2 (342). С. 115–121.
Гермидер О.В., Попов В.Н. Решение линеаризованной задачи о переносе тепла и массы газа в канале между двумя цилиндрическими поверхностями при наличии продольного градиента температуры // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 10. С. 1668–1676.
Гермидер О.В., Попов В.Н. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в цилиндрическом канале в зависимости от коэффициента аккомодации тангенциального импульса // Ж. техн. физ. 2017. Т. 87. № 11. С. 1603–1608.
Kamphorst C.H., Rodrigues P., Barichello L.B. A closed-form solution of a kinetic integral equation for rarefied gas flow in a cylindrical duct // Appl. Math. 2014. V. 5. P. 1516–1527.
Siewert C.E., Valougeorgis D. An analytical discrete-ordinates solution of the S-model kinetic equations for flow in a cylindrical tube // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transf. 2002. V. 72. P. 531–550.
Шахов Е.М. Течение разреженного газа в трубе конечной длины // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 4. С. 647–655.
Germider O.V., Popov V.N., Yushkanov A.A. Computation of the heat flux in a cylindrical duct within the framework of the kinetic approach // J. Eng. Phys. Thermophy. 2016. V. 89. № 5. P. 1338–1343.
Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. М.: Наука, 1967.
Handscomb D.C., Mason J.C. Modern developments in gas dynamics. Florida: CRC Press, 2003.
Clenshaw C.W., Curtis A.R. A method for numerical integration on an automatic computer // Num. Math. 1960. V. 2. P. 197–205.
Lloyd N. Trefethen Multivariate polynomial approximation in the hypercube // American Math. Society. 2017. V. 145. № 11. P. 4837–4844.
Genz A., Kass R.E. Subregion adaptive integration of functions having a dominant peak // Carnegie Mellon University, Dept. of Statistics. technical rept. 1993. P. 1–19.
Hahn T. Cuba – a library for multidimensional numerical integration // Comput. Phys. Communicat. 2007. V. 176. № 11–12. P. 712–713.
Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа. М.: Машиностр., 1977.
Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург: УрО РАН, 2008.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики
Пн.-пт.: 10.00-19.00