1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 9, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 9, стр. 1532-1536

Влияние тепла на деформации материала с дефектом

Е. В. Астахова 1, ***, А. В. Глушко 1, *, Е. А. Логинова 1, **

1 ФГБОУ Воронежский гос. ун-т
394018 Воронеж, Университетская пл., 1, Россия

*** E-mail: astahova.ekaterina.94@mail.ru
* E-mail: kuchp2@math.vsu.ru
** E-mail: loginova@vsu.ru

Поступила в редакцию 21.08.2018
После доработки 28.02.2019
Принята к публикации 15.05.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается система уравнений термоупругости. Граничные условия сопряжения задают разности температур, тепловых потоков, разность деформаций и их первых производных на границе. Изучается стационарный случай, граница (трещина) представляет собой отрезок $[ - 1;1]$ оси $O{{x}_{1}}$. Проведено исследование задачи, обобщены результаты предыдущих работ, получено решение задачи и доказана корректность постановки. Наибольший интерес представляют результаты, посвященные асимптотическому поведению при ${{x}_{1}} \to \pm 1,\;{{x}_{2}} \to 0$ функций $u({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$ $v({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, отвечающих за смещение точки $({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ при деформации материала и зависящих в том числе от $T({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – температуры материала в точке $({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, а также асимптотическое поведение производных функций $u({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$ $v({{x}_{1}},{{x}_{2}})$. Библ. 17.

Ключевые слова: задачи сопряжения, асимптотики по гладкости, система уравнений термоупругости, теплопроводность, деформация, граничные условия.

Задача изучения свойств композитных материалов не теряет актуальности до сих пор (см. [1]–[3]). В частности, решению задач теплопроводности, упругости, термоупругости для композитных материалов, в том числе с трещинами, посвящены работы [4]–[10]. Однако многие задачи были исследованы только с использованием численных методов. Целью данной работы является построение аналитического решения задачи термоупругости в плоском материале с трещиной в виде разреза и изучение асимптотических свойств его компонент и их производных вблизи границы.

Рассмотрим задачу термоупругости [10], описываемую в области

$x = ({{x}_{1}};{{x}_{2}}) \in {{\operatorname{R} }^{2}}{\backslash }l,\quad {\text{где}}\quad l = \{ x = ({{x}_{1}};{{x}_{2}})\,|\,{{x}_{2}} = 0;\;{{x}_{1}} \in ( - 1;1)\} ,$
системой уравнений
(1)
$\Delta T + \delta \frac{{\partial T}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 0,$
(2)
$(\kappa + 1)\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{1}^{2}}} + (\kappa - 1)\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{2}^{2}}} + 2\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial x_{1}^{{}}\partial {{x}_{2}}}} + \beta (\kappa - 1)\frac{{\partial u}}{{\partial x_{2}^{{}}}} + \beta (\kappa - 1)\frac{{\partial v}}{{\partial x_{1}^{{}}}} = 4{{\alpha }_{0}}{{e}^{{\gamma {{x}_{2}}}}}\frac{{\partial T}}{{\partial {{x}_{1}}}},$
(3)
$(\kappa - 1)\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial x_{1}^{2}}} + (\kappa + 1)\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial x_{2}^{2}}} + 2\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{1}^{{}}\partial {{x}_{2}}}} + \beta (3 - \kappa )\frac{{\partial u}}{{\partial x_{1}^{{}}}} + \beta (\kappa + 1)\frac{{\partial v}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 4{{\alpha }_{0}}{{e}^{{\gamma {{x}_{2}}}}}\left( {(\beta + \gamma )T + \frac{{\partial T}}{{\partial {{x}_{2}}}}} \right),$
и условиями типа сопряжения на границе трещины $l = \{ x = ({{x}_{1}};{{x}_{2}})\,|\,{{x}_{2}} = 0;\;{{x}_{1}} \in ( - 1;1)\} $
(4)
$T({{x}_{1}}, + 0) - T({{x}_{1}}, - 0) = {{T}_{0}}({{x}_{1}}),$
(5)
$\frac{{\partial T({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} + \frac{\delta }{2}T({{x}_{1}}, + 0) - \frac{{\partial T({{x}_{1}}, - 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} - \frac{\delta }{2}T({{x}_{1}}, - 0) = {{T}_{1}}({{x}_{1}}),$
(6)
$u({{x}_{1}}; + 0) - u({{x}_{1}}; - 0) = 0,$
(7)
$v({{x}_{1}}; + 0) - v({{x}_{1}}; - 0) = 0,$
(8)
$\frac{{\partial u({{x}_{1}}; + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} - \frac{{\partial u({{x}_{1}}; - 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} = {{q}_{1}}({{x}_{1}}),$
(9)
$\frac{{\partial v({{x}_{1}}; + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} - \frac{{\partial v({{x}_{1}}; - 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} = {{q}_{2}}({{x}_{1}}).$
Здесь использованы следующие обозначения: $T({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – температура в точке $({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ материала, $u({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, $v({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – смещения точки $({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ при деформации, $\delta $ входит в представление коэффициента внутренней теплопроводности $k({{x}_{2}}) = {{k}_{0}}{{e}^{{\delta {{x}_{2}}}}}$, $\beta $ входит в представление модуля сдвига $\mu = {{\mu }_{0}}{{e}^{{\beta {{x}_{2}}}}}$, $\gamma $ входит в представление коэффициента теплового расширения $\alpha = {{\alpha }_{0}}{{e}^{{\gamma {{x}_{2}}}}}$, величина $\kappa = 3 - 4\nu $ для плоской деформации, $\kappa = (3 - \nu ){{(1 + \nu )}^{{ - 1}}}$ для обобщенного плоского напряженного состояния [11], $\nu $ – коэффициент Пуассона, $\frac{5}{3} < \kappa < 3$.

Задача рассматривается при условии $0 < \,\gamma < \delta $ и $ - {{\gamma }^{2}} + \gamma \delta > 0$. Изучим задачу (1)–(9) в предположении, что функции ${{q}_{i}}({{x}_{1}}) \equiv 0,$ где $i = 1,2$. Сделав замену $T({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{e}^{{ - \gamma {{x}_{2}}}}}p({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$ перейдем к задаче

(10)
$\Delta p({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + (\delta - 2\gamma )\frac{{\partial p({{x}_{1}},{{x}_{2}})}}{{\partial {{x}_{2}}}} + ({{\gamma }^{2}} - \gamma \delta )p({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = 0,$
(11)
$(\kappa + 1)\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{1}^{2}}} + (\kappa - 1)\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{2}^{2}}} + 2\frac{{{{\partial }^{2}}{v}}}{{\partial x_{1}^{{}}\partial {{x}_{2}}}} + \beta (\kappa - 1)\frac{{\partial u}}{{\partial x_{2}^{{}}}} + \beta (\kappa - 1)\frac{{\partial {v}}}{{\partial x_{1}^{{}}}} = 4{{\alpha }_{0}}\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{1}}}},$
$(\kappa - 1)\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial x_{1}^{2}}} + (\kappa + 1)\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial x_{2}^{2}}} + 2\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{1}^{{}}\partial {{x}_{2}}}} + \beta (3 - \kappa )\frac{{\partial u}}{{\partial x_{1}^{{}}}} + \beta (\kappa + 1)\frac{{\partial v}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 4{{\alpha }_{0}}\left( {\beta p + \frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{2}}}}} \right),$
$p({{x}_{1}}, + 0) - p({{x}_{1}}, - 0) = {{T}_{0}}({{x}_{1}}),\quad - {\kern 1pt} 1 < {{x}_{1}} < 1,$
(14)
$\frac{{\partial p({{x}_{1}}, + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} - \frac{{\partial p({{x}_{1}}, - 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} = {{T}_{1}}({{x}_{1}}) - \left( {\frac{\delta }{2} - \gamma } \right){{T}_{0}}({{x}_{1}}),$
(15)
$\frac{{\partial u({{x}_{1}}; + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} - \frac{{\partial u({{x}_{1}}; - 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 0,\quad \frac{{\partial v({{x}_{1}}; + 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} - \frac{{\partial v({{x}_{1}}; - 0)}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 0,$
(16)
$u({{x}_{1}}; + 0) - u({{x}_{1}}; - 0) = 0,\quad v({{x}_{1}}; + 0) - v({{x}_{1}}; - 0) = 0,$
которая (см. [11]–[13]) в $S'({{{\text{R}}}^{2}})$ сводится к обобщенной задаче, состоящей из уравнения
(17)
$\begin{gathered} \Delta p({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + \left( {\delta - 2\gamma } \right)\frac{{\partial p({{x}_{1}},{{x}_{2}})}}{{\partial {{x}_{2}}}} + ({{\gamma }^{2}} - \gamma \delta )p({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}\left( {{{T}_{0}}({{x}_{1}}){{\delta }_{{[ - 1;1]}}}} \right) + \\ + \;{{\delta }_{{[ - 1;1]}}}\left( {{{T}_{1}}({{x}_{1}}) + \left( {\frac{\delta }{2} - \gamma } \right){{T}_{0}}({{x}_{1}})} \right) \\ \end{gathered} $
и уравнений (11), (12). Для построения решения задачи (11), (12), (17) используем преобразование Фурье, а также методы и оценки, аналогичные тем, что были применены в [14], [15]. В результате получим представления
$u({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{{4{{\alpha }_{0}}\left( {1 - \kappa } \right)}}{{{{{(2\pi )}}^{2}}}}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {\frac{{{{e}^{{ - ixs}}}i{{s}_{1}}\left( {{{{\left| s \right|}}^{2}} + {{\beta }^{2}}} \right)\left( {(i{{s}_{2}} - 0.5\delta + \gamma ){{R}_{0}}({{s}_{1}}) - {{R}_{1}}({{s}_{1}})} \right)}}{{\det B\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)\left( {{{{\left| s \right|}}^{2}} + i{{s}_{2}}(\delta - 2\gamma ) - ({{\gamma }^{2}} - \gamma \delta )} \right)}}} ds,$
$v({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{{4{{\alpha }_{0}}\left( {1 - \kappa } \right)}}{{{{{(2\pi )}}^{2}}}}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} {\frac{{{{e}^{{ - ixs}}}\left( {i{{s}_{2}}\left( {{{{\left| s \right|}}^{2}} - {{\beta }^{2}}} \right) - 2\beta {{{\left| s \right|}}^{2}}} \right)}}{{\det B\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}}} \right)}}} \frac{{(i{{s}_{2}} - 0.5\delta + \gamma ){{R}_{0}}({{s}_{1}}) - {{R}_{1}}({{s}_{1}})}}{{{{{\left| s \right|}}^{2}} + i{{s}_{2}}(\delta - 2\gamma ) - ({{\gamma }^{2}} - \gamma \delta )}}ds,$
где

${{R}_{r}}({{s}_{1}}) = \int\limits_{ - 1}^1 {{{e}^{{i{{x}_{1}}{{s}_{1}}}}}{{T}_{r}}({{x}_{1}})d{{x}_{1}}} ,\quad r = 0,1.$

Далее рассмотрим интегралы

${{I}_{{pqr}}} = F_{{s \to x}}^{{ - 1}}\left[ {\frac{{{{{( - i{{s}_{1}})}}^{p}}{{{( - i{{s}_{2}})}}^{q}}}}{{\det B\left( {{\text{|}}s{{{\text{|}}}^{2}} + i{{s}_{2}}(\delta - 2\gamma ) - ({{\gamma }^{2}} - \gamma \delta )} \right)}}{{R}_{r}}({{s}_{1}})} \right],\quad p,q \geqslant 0.$

Заметим, что компоненты решения $u,v$ и их первые производные состоят из линейных комбинаций интегралов ${{I}_{{pqr}}}$. Проводя оценку интегралов ${{I}_{{pqr}}}$ при различных значениях $p + q$ аналогично [14], [15] и используя свойства специальных функций [16], [17], получаем доказательство следующих утверждений.

Теорема 1. Пусть функции ${{Т}_{0}}({{x}_{1}}),\;{{Т}_{1}}({{x}_{1}})$ принадлежат пространству ${{C}^{1}}([ - 1;\,\,\,1])$. Пусть также ${{T}_{0}}( \pm 1) = 0$. Пусть $u({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\;v({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – решение задачи (1)–(9), где функции ${{q}_{i}}({{x}_{1}}) \equiv 0,$ $i = 1,2$. Тогда условия (6), (7) выполнены по непрерывности. Условия (8), (9) выполнены в смысле главного значения.

Теорема 2. Пусть функции ${{Т}_{0}}({{x}_{1}}),\;{{Т}_{1}}({{x}_{1}})$ принадлежат пространству ${{C}^{1}}([ - 1;1])$, функции ${{q}_{i}}({{x}_{1}}) \equiv 0,$ где $i = 1,2$. Тогда справедливы следующие асимптотические по гладкости вблизи границы представления компонент решения задачи (1)–(9) $u({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\;v({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ и их производных

$u({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{P}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\quad v({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{P}_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$
$\frac{{\partial u}}{{\partial {{x}_{1}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {\kappa + 1} \right)}}\left( {\frac{{{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - \frac{{{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) + {{P}_{3}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$
$\begin{gathered} \frac{{\partial u}}{{\partial {{x}_{2}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {\kappa + 1} \right)}}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) + \frac{{x_{2}^{2}}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) - \\ - \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {\kappa + 1} \right)}}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) + \frac{{x_{2}^{2}}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) + {{P}_{4}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{\partial v}}{{\partial {{x}_{1}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {\kappa + 1} \right)}}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) + \frac{{x_{2}^{2}}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) - \\ - \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {\kappa + 1} \right)}}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) + \frac{{x_{2}^{2}}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) + {{P}_{5}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{\partial v}}{{\partial {{x}_{2}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {\kappa + 1} \right)}}\left( {\frac{{{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - 2\operatorname{arctg} \left( {\frac{{{{x}_{1}} + 1}}{{{{x}_{2}}}}} \right)} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) - \hfill \\ - \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {\kappa + 1} \right)}}\left( {\frac{{{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - 2\operatorname{arctg} \left( {\frac{{{{x}_{1}} - 1}}{{{{x}_{2}}}}} \right)} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) + {{P}_{6}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \hfill \\ \end{gathered} $
где ${{P}_{j}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\;j = \left\{ {1,\;...,\;6} \right\}$ – непрерывные и ограниченные на ${{\operatorname{R} }^{2}}$ функции.

На основании результатов работ [14], [15] и теоремы 2, получим теорему 3.

Теорема 3. Пусть ${{q}_{r}}({{x}_{1}}),\;{{Т}_{0}}({{x}_{1}}),\;{{Т}_{1}}({{x}_{1}}) \in {{C}^{1}}([ - 1;1]);\;r \in \{ 1;2\} $. Тогда справедливы асимптотические при ${{x}_{2}} \to 0;\;{{x}_{1}} \to \pm 1$ представления компонент решения задачи (1)–(9) и производных компонент решения указанной задачи

$u({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{W}_{{10}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}});\quad v({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{W}_{{20}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$
$\begin{gathered} \frac{{\partial u({{x}_{1}},{{x}_{2}})}}{{\partial {{x}_{1}}}} = \left( {\frac{{{{q}_{1}}({{x}_{1}})(2{{k}^{2}} - 2k + 1)}}{{4\pi ({{k}^{2}} - 1)}}\left( {\ln \left( {{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) - \ln \left( {{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right)} \right)} \right) + \\ + \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{{{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}{{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) - \frac{{{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}{{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right)} \right) + {{W}_{{11}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{\partial u({{x}_{1}},{{x}_{2}})}}{{\partial {{x}_{2}}}} = \frac{{{{q}_{1}}({{x}_{1}})}}{{2\pi }}\left( {\frac{{({{x}_{1}} - 1){{x}_{2}}}}{{{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - \frac{{({{x}_{1}} + 1){{x}_{2}}}}{{{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - 2\operatorname{arctg} \frac{{{{x}_{1}} - 1}}{{{{x}_{2}}}} + 2\operatorname{arctg} \frac{{{{x}_{1}} + 1}}{{{{x}_{2}}}}} \right) - \\ - \frac{{{{q}_{2}}({{x}_{1}})}}{{2\pi (k - 1)}}\left( {\ln \left( {{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) - \ln \left( {{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right)} \right) + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} + \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) + \frac{{x_{2}^{2}}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) - \\ - \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) + \frac{{x_{2}^{2}}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) + {{W}_{{12}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{\partial v({{x}_{1}},{{x}_{2}})}}{{\partial {{x}_{1}}}} = \frac{{{{q}_{2}}({{x}_{1}})(2{{k}^{2}} + 2k)}}{{4\pi ({{k}^{2}} - 1)}}\left( {\ln \left( {{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) - \ln \left( {{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right)} \right) + \\ + \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) + \frac{{x_{2}^{2}}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) - \\ - \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) + \frac{{x_{2}^{2}}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}}} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) + {{W}_{{21}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{\partial v({{x}_{1}},{{x}_{2}})}}{{\partial {{x}_{2}}}} = - \frac{{{{q}_{1}}({{x}_{1}})}}{{\pi (k + 1)}}\left( {\ln \left( {{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} \right) - \ln \left( {{{x}_{1}} - 1{{)}^{2}} + x_{2}^{2}} \right)} \right) + \\ + \frac{1}{{2\pi }}\left( {\frac{{({{x}_{1}} - 1){{x}_{2}}}}{{{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - \frac{{({{x}_{1}} + 1){{x}_{2}}}}{{{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - 2\operatorname{arctg} \frac{{{{x}_{1}} - 1}}{{{{x}_{2}}}} + 2\operatorname{arctg} \frac{{{{x}_{1}} + 1}}{{{{x}_{2}}}}} \right){{q}_{2}}({{x}_{1}}) + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} + \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{{{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} + 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - 2\operatorname{arctg} \left( {\frac{{{{x}_{1}} + 1}}{{{{x}_{2}}}}} \right)} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) - \\ - \;\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{3\pi \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{{{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}{{{{{\left( {{{x}_{1}} - 1} \right)}}^{2}} + x_{2}^{2}}} - 2\operatorname{arctg} \left( {\frac{{{{x}_{1}} - 1}}{{{{x}_{2}}}}} \right)} \right){{T}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right) + {{W}_{{22}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}). \\ \end{gathered} $
Здесь функции ${{W}_{{pq}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\;1 \leqslant p \leqslant 2,\;0 \leqslant q \leqslant 2$, – непрерывные ограниченные на любом компакте $K \in {{\operatorname{R} }^{2}}$ функции своих аргументов.

Заметим, что асимптотики третьей компоненты решения данной задачи выписаны в [12].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аналитически решена задача термоупругости для материала с конечным разрезом (трещиной). Задача была задана системой трех уравнений: уравнением теплопроводности и двумя уравнениями упругости. Рассматриваемые уравнения были дополнены условиями типа сопряжения, т.е. условиями на разность неизвестных функций и их производных на границе разреза. Исследуемая задача была сведена к обобщенной, построено ее решение, доказано выполнение граничных условий. Основным результатом работы является построение сингулярных составляющих асимптотических представлений решения и его первых производных по расстоянию до границы – трещины.

Список литературы

  1. Koeller R.C. Applications of fractional calculus to the theory of Viscoelasticity // J. of Appl. Mech. 1984. V. 51. P. 299–307.

  2. Torvik P.J., Bagley R.L. On the appearance of the fractional derivative in the behavior of real materials // J. of Appl. Mech. 1984. V. 51. P. 294–298.

  3. Suresh S., Mortensen A. Fundamentals of functionally graded materials // Compreh. Structural Integrity. 2003. V. 2. P. 607–644.

  4. Mishuris G.S., Kuhn G. Asymptotic behaviour of the elastic solution near the tip of a crack situated at a nonideal interface // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2001. V. 81. P. 811–826.

  5. Sladek V., Sladek J., Zhang C. Transient heat conduction in anisotropic and functionally graded media by local integral equations // Eng. Analys. with Boundary Elements. 2005. V. 29. № 11. P. 1047–1065.

  6. Krahulec S., Sladek J., Sladek V., Hon Y.-Ch. Meshless analyses for time-fractional heat diffusion in functionally graded materials // Engng. Analys. with Boundary Elements. 2016. V. 62. P. 57–64.

  7. Vitucci G., Mishuris G. Analysis of residual stresses in thermoelastic multilayer cylinders // J. of the European Ceramic Soc. 2016. V. 36. P. 2411–2417.

  8. Lei W.-S. Non oscillatory and non-singular asymptotic solutions to stress fields at interface cracks // Willey Publish. Ltd. Fatigue Fract Engng Mater Struct. 2017. P. 1–18.

  9. Рябенко А.С., Черникова А.С. О единственности решения задачи, моделирующей распределение тепла в плоскости с трещиной на стыке двух материалов // Вестн. Воронежского Гос. Ун-та. Сер. Физ., Матем. 2017. № 4. С. 124–133.

  10. El-Borgi S., Erdogan F., Hidri L. A partially insulated embedded crack in an infinite functionally graded medium under thermo-mechanical loading // Internat. Journal of Engng Sci. 2004. № 42. C. 371–393.

  11. Глушко А.В., Логинова Е.А. Асимптотические свойства решения задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной // Вестн. ВГУ Серия: Физ. Матем. 2010. № 2. С. 47–50.

  12. Логинова Е.А. Построение решения задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной // Вестн. СПбГУ серия 1. Матем. Механ. Астрономия. 2012. Вып. 1. С. 40–47.

  13. Глушко А.В., Логинова Е.А., Петрова В.Е., Рябенко А.С. Изучение стационарного распределения тепла в плоскости с трещиной при переменном коэффициенте внутренней теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 4. С. 695–703.

  14. Глушко А.В., Логинова Е.А., Пронина С.В. Решение задачи деформаций неоднородного материала с трещиной под воздействием нагрузок // Сб. научн. трудов по итогам международной научно-практической конференции “Актуальные вопросы естественных и математических наук в современных условиях развития страны”. С.-Пб: ИЦРОН. 2017. Вып. IV. С. 11–15.

  15. Глушко А.В., Логинова Е.А., Пронина С.В. Асимптотическое поведение производных решения задачи упругих деформаций неоднородного материала под воздействием механических нагрузок // Вестн. ВГУ серия Физ. Матем. 2017. № 4. С. 70–87.

  16. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. С. 456.

  17. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1949. Ч. 1. С. 787.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал