Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 9, стр. 1581-1590

ВВЕДЕНИЕ

В работе продолжается исследование нелинейных сингулярно возмущенных задач с угловыми точками границы (см. [1]–[3]). В [1] рассмотрена начально-краевая задача вида

Через $\Omega $ обозначен прямоугольник $\left\{ {(x,t)\,|\,0 < x < 1,\;0 < t < T} \right\}$. В предположении, что в угловых точках прямоугольника $(0,0)$ и $(1,0)$ функция $F$ является квадратичной и монотонной относительно переменной $u$ на промежутке от корня вырожденного уравнения до граничного значения, построено полное асимптотическое приближение решения задачи (0.1)–(0.3) при $\epsilon \to 0$ и обоснована равномерность этого приближения в замкнутом прямоугольнике с точностью любого порядка.

В [2] класс нелинейных функций был существенно расширен. От функции $F$ в угловых точках прямоугольника требовалась только монотонность на промежутке от корня вырожденного уравнения до граничного значения. Как и в [1], было построено полное асимптотическое приближение решения задачи (0.1)–(0.3) при $\epsilon \to 0$ и обоснована его равномерность в замкнутом прямоугольнике с точностью любого порядка.

В [3] асимптотическое приближение решения строилось в предположении, что нелинейная задача, определяющая главный член угловой части асимптотики, разрешима. Последующие члены угловой части асимптотики определялись из линейных параболических уравнений с коэффициентами, зависящими от главного члена угловой части асимптотики. Для этих коэффициентов, в отличие от [1] и [2], приходилось допускать, что они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это приводило к значительным трудностям. Однако область, в которой рассматривались уравнения, удалось разбить на подобласти в соответствии со знаком производной. В каждой из этих подобластей были построены верхние и нижние решения задачи. Затем куски барьерных функций были гладко состыкованы друг с другом при сохранении неравенств, необходимых для верхних и нижних решений. Таким образом, верхние и нижние решения задачи были построены во всей области, что определило полное асимптотическое приближение решения при $\epsilon \to 0$. Была обоснована равномерность этого приближения в замкнутом прямоугольнике с точностью любого порядка.

В данной статье для нелинейного уравнения обсуждается возможность построения главного члена угловой части асимптотики решения задачи (0.1)–(0.3) в случае, когда функция $F$ в угловых точках прямоугольника не является монотонной относительно переменной $u$ на промежутке от корня вырожденного уравнения до граничного значения. Для определенности считается, что в угловых точках прямоугольника функция $F$ является квадратичной. Как и в [3], область, в которой рассматривается уравнение, разбивается на подобласти, но в данной работе разбиение определяется структурой предлагаемых барьерных функций. В каждой из подобластей строятся верхние и нижние решения задачи. Затем эти куски гладко стыкуются друг с другом при сохранении неравенств, необходимых для верхних и нижних решений. Последующие члены угловой части асимптотики определяются методами работы [3]. В результате обосновывается возможность построения полного асимптотического приближения решения задачи при $\epsilon \to 0$.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Будем предполагать, что следующие условия выполнены.

Условие 1. Функции $F(u,x,t,\epsilon )$, $\phi (x)$, ${{\psi }_{1}}(t)$ и ${{\psi }_{2}}(t)$ являются достаточно гладкими и в угловых точках прямоугольника $\Omega $ выполняются условия согласованности начально-краевых условий: $\phi (0) = {{\psi }_{1}}(0)$, $\phi (1) = {{\psi }_{2}}(0)$.

Условие 2. Вырожденное уравнение $F(u,x,t,0) = 0$ в замкнутом прямоугольнике $\bar {\Omega }$ имеет решение $u = {{\bar {u}}_{0}}(x,t)$.

Условие 3. Производная $F_{u}^{'}({{\bar {u}}_{0}}(x,t),x,t,0) > 0$ в замкнутом прямоугольнике $\bar {\Omega }$.

Условие 4. Начальная задача

где параметр $x \in [0,1]$, имеет решение ${{\Pi }_{0}}(x,\tau )$ при $\tau \geqslant 0$ и удовлетворяет условию ${{\Pi }_{0}}(x,\infty ) = 0$.

Условие 5. Для систем

где $k = 0$ или $1$, а $t$ играет роль параметра, прямые ${{z}_{1}} = {{\psi }_{{1 + k}}}(t) - {{\bar {u}}_{0}}(k,t)$ пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя $({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = (0,0)$ при $y \to \infty $.

Решение задачи (0.1)–(0.3) ищется методом угловых пограничных функций (см. [4]) в виде асимптотического ряда по параметру $\epsilon \to 0$, состоящего из шести частей:

Здесь через $\bar {u}$ обозначена функция, называемая регулярной частью асимптотики. При построении этой функции не учитываются граничные условия задачи. Функции $\Pi $, $Q$ и $Q{\text{*}}$, называемые пограничными, призваны осуществить гладкий переход от регулярной части к граничным условиям на сторонах прямоугольника $\Omega $: $t = 0$, $x = 0$ и $x = 1$ соответственно. Функции $P$ и $P{\kern 1pt} {\text{*}}$, называемые угловыми пограничными, призваны сгладить невязки, возникающие вблизи вершин прямоугольника $\Omega $: $(0,0)$ и $(1,0)$ соответственно.

В [1] функция $\bar {u}$ построена в виде асимптотического ряда по степеням $\epsilon $:

где коэффициент ${{\bar {u}}_{0}}(x,t)$ выбирается в соответствии с условиями 2 и 3.

Для построения пограничных функций вводятся растянутые переменные

Погранслойные функции определяются стандартным образом в виде рядов

Функция ${{\Pi }_{0}} = {{\Pi }_{0}}(x,\tau )$ является решением начальной задачи

В силу условий 3 и 4 эта задача имеет решение, для которого справедлива экспоненциальная оценка убывания вида

где $C$ и $\kappa $ – некоторые положительные числа.

Функции ${{\Pi }_{k}} = {{\Pi }_{k}}(x,\tau )$, $k \geqslant 1$, определяются из начальных линейных задач

в которых функции ${{\pi }_{k}} = {{\pi }_{k}}(x,\tau )$ выражаются рекуррентно через функции ${{\Pi }_{j}}$, $j < k$, и их производные с коэффициентами, являющимися многочленами от $\tau $. Поэтому выполнение экспоненциальных оценок убывания для функций ${{\Pi }_{j}}$, $j < k$, гарантирует справедливость подобных оценок для функций ${{\pi }_{k}}$ и, следовательно, для решений ${{\Pi }_{k}}(x,\tau )$ задач (1.4).

Функция ${{Q}_{0}} = {{Q}_{0}}(\xi ,t)$ является решением краевой задачи

Эта задача эквивалентна задаче (1.2) при $k = 0$, и по условию 5 ее решение ${{Q}_{0}}(\xi ,t)$ удовлетворяет экспоненциальной оценке убывания вида

где $C$ и $\kappa $ – некоторые положительные числа.

Функции ${{Q}_{k}} = {{Q}_{k}}(\xi ,t)$, $k \geqslant 1$, определяются из линейных задач

в которых функции ${{q}_{k}} = {{q}_{k}}(\xi ,t)$ выражаются рекуррентно через функции ${{Q}_{j}}$, $j < k$, и их производные с коэффициентами, являющимися многочленами от $\xi $. Если функции ${{Q}_{j}}$, $j < k$, удовлетворяют экспоненциальным оценкам убывания, то оценки того же вида справедливы для функций ${{q}_{k}}$ и, следовательно, для решений ${{Q}_{k}}$ задач (1.5).

Функции $Q_{k}^{ * }({{\xi }_{ * }},t)$ определяются аналогично функциям ${{Q}_{k}}(\xi ,t)$, $k \geqslant 0$.

Вблизи угловых точек $(0,0)$ и $(1,0)$ прямоугольника $\Omega $ вводятся угловые пограничные функции $P(\xi ,\tau ,\varepsilon )$ и $P{\kern 1pt} {\text{*}}({{\xi }_{ * }},\tau ,\varepsilon )$. Эти функции строятся в виде асимптотических рядов

Главный член угловой части асимптотики ${{P}_{0}} = {{P}_{0}}(\xi ,\tau )$ определяется из задачи

Здесь через $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ обозначена первая четверть плоскости растянутых переменных $(\xi ,\tau )$. Функции ${{P}_{k}} = {{P}_{k}}(\xi ,\tau )$, $k \geqslant 1$, определяются из линейных задач где неоднородности ${{h}_{k}} = {{h}_{k}}(\xi ,\tau )$ удовлетворяют экспоненциальным оценкам убывания вида если подобным оценкам удовлетворяют функции ${{P}_{0}},\; \ldots ,\;{{P}_{{k - 1}}}$. Здесь $C$ и $\kappa $ – некоторые положительные числа.

Задачи для угловых пограничных функций $P_{k}^{ * }({{\xi }_{ * }},\tau )$, $k \geqslant 0$, ставятся аналогично.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ЧЛЕНА УГЛОВОЙ ЧАСТИ АСИМПТОТИКИ

Будем предполагать, что в угловой точке $(0,0)$ прямоугольника $\Omega $ функция $F$ удовлетворяет следующему условию.

Условие (A). Функция $F(u) = F(u,0,0,0)$ имеет вид

где $A$ – положительное число, а граничное значение $\phi (0)$ и число $\beta $ удовлетворяют неравенствам

Для краткости примем следующие обозначения:

Теорема 1. Если выполнены условия 1–5 и (A), то задача (1.6)–(1.8) имеет решение ${{P}_{0}}(\xi ,\tau )$, удовлетворяющее экспоненциальной оценке убывания вида (1.12).

Доказательство. Определим оператор $L$:

В силу условия (A) имеем

Задачу (1.6)–(1.8) можно переписать в операторной форме:

Функция ${{\Pi }_{0}} = {{\Pi }_{0}}(0,\tau )$ является решением задачи

и может быть представлена в явной форме: где число

В качестве функции ${{Q}_{0}} = {{Q}_{0}}(\xi ,0)$ берем монотонное решение задачи

Это решение можно представить в виде

где

Для доказательства теоремы используется метод верхних и нижних решений (см. [5]), который заключается в том, что краевая задача

имеет решение $Z$ в промежутке ${{Z}_{ - }} \leqslant Z \leqslant {{Z}_{ + }}$, если в области $D$ выполняются неравенства а на границе области $D$ выполняются неравенства

Сначала будем строить верхнее решение задачи (2.1)–(2.3), т.е. функцию ${{P}_{ + }}(\xi ,\tau )$, удовлетворяющую условиям

Функцию ${{P}_{ + }}(\xi ,\tau )$ будем собирать из трех гладких кусков. С этой целью область $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ разобьем на подобласти

где ${{\rho }_{0}}$ – некоторое положительное число, определяемое ниже.

Лемма 1. Если выполняются условия 1–5 и (A), то задача (2.11)–(2.13) в области ${{\Omega }_{0}}$ имеет решение вида

где $r$ и $\kappa $ – некоторые положительные числа.

Доказательство. Для функции ${{P}_{ + }} = {{P}_{ + }}(\xi ,\tau )$ условие (2.13) выполняется, а условие (2.12) не имеет значения в силу отграниченности области ${{\Omega }_{0}}$ от координатных осей. Поэтому остается удовлетворить только одному условию (2.11).

Имеем

где

Обозначим через $\Psi (\xi ,\tau )$ выражение, стоящее в “больших” скобках:

и покажем, что можно добиться выполнения неравенства

Сначала исследуем зависимость величины $\Psi (\xi ,\tau )$ от переменной $\xi \in [{{\rho }_{0}},\infty )$. Производная

Здесь первые два слагаемые отрицательны, а знак последнего слагаемого совпадает со знаком выражения $Q_{0}^{'} + \kappa {{Q}_{0}}$. Имеем

Эта величина отрицательна при условии

Так как ${{Q}_{0}} \leqslant \phi - {{\bar {u}}_{0}}$, то имеем

Поэтому $\kappa $ можно выбрать из условия

При этом условии $Q_{0}^{'} + \kappa {{Q}_{0}} < 0$ и производная $\partial \Psi {\text{/}}\partial \xi < 0$. Значения $\Psi $ убывают с ростом переменной $\xi $.

Аналогично исследуем зависимость величины $\Psi $ от переменной $\tau $ на промежутке $[{{\rho }_{0}},\infty )$. Производная

Здесь первые два слагаемых отрицательны, а знак последнего слагаемого совпадает со знаком выражения

Величина $\Pi _{0}^{'} + \kappa {{\Pi }_{0}} < 0$, если

Так как ${{\Pi }_{0}} \leqslant \varphi - {{\bar {u}}_{0}}$, то (2.18) выполняется, если

Здесь $\phi - \beta < 0$ по условию (A). Считаем, что

При этом условии $\Pi _{0}^{'} + \kappa {{\Pi }_{0}} < 0$ и производная $\partial \Psi {\text{/}}\partial \tau < 0$. Значения $\Psi $ убывают с ростом переменной $\tau $. Собираем (2.17) и (2.19) вместе, получаем условие

при котором значения $\Psi (\xi ,\tau ) \leqslant \Psi ({{\rho }_{0}},{{\rho }_{0}})$. Причем число $\Psi ({{\rho }_{0}},{{\rho }_{0}})$ является верхней точной гранью множества значений $\Psi (\xi ,\tau )$ в области ${{\Omega }_{0}}$. Это число равно где

Величина ${{\Psi }_{0}} = {{\Psi }_{0}}(\kappa ,r)$ непрерывно зависит от параметра $\kappa $. Поэтому, чтобы удовлетворить неравенству (2.16) на промежутке $\kappa \in (0,{{\kappa }_{0}})$, где ${{\kappa }_{0}}$ – некоторое положительное число, достаточно доказать, что при $\kappa = 0$ величина ${{\Psi }_{0}}(0,r) < 0$. Имеем

если выполняются условия:

1) коэффициент ${{B}_{0}}(0) = A(\beta - {{\bar {u}}_{0}} - 2{{\Pi }_{0}} - 2{{Q}_{0}}) > 0$;

2) дискриминант $D = B_{0}^{2}(0) - 8{{A}^{2}}{{\Pi }_{0}}{{Q}_{0}} > 0$;

3) величина $r > 0$ находится между корнями ${{r}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ уравнения ${{\Psi }_{0}}(0,r) = 0$.

Дискриминант $D$ можно представить в виде

Поэтому условия ${{B}_{0}}(0) > 0$ и $D > 0$ эквивалентны неравенству

Имеем

если

Функция

на промежутке $[0,\infty )$ монотонно убывает от значения $W(0) > 0$ до значения $W(\infty ) < 0$ и потому обратима. Условие (2.22) будет выполнено, если взять

При выполнении этого условия корни уравнения ${{\Psi }_{0}}(0,r) = 0$ будут положительными. В качестве параметра $r$ можно взять любое число из промежутка между этими корнями:

или, с учетом обозначений, где ${{\Pi }_{0}} = {{\Pi }_{0}}(0,{{\rho }_{0}})$, ${{Q}_{0}} = {{Q}_{0}}({{\rho }_{0}},0)$. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если выполнены условия 1–5 и (A), то задача (2.11)–(2.13) в области ${{\Omega }_{1}}$ имеет решение вида

где $\kappa $ – достаточно малое положительное число, а функция $h(\tau )$ на промежутке $\tau \in [0,{{\rho }_{0}}]$ обладает свойствами

Доказательство. Для функции ${{P}_{ + }} = {{P}_{ + }}(\xi ,\tau )$ условия (2.12) и (2.13) выполняются. Поэтому остается удовлетворить условию (2.11), левая часть которого имеет вид

Обозначим через $\Psi = \Psi (\xi ,\tau )$ выражение, стоящее в “больших” скобках:

и покажем, что можно добиться выполнения неравенства

Сначала исследуем зависимость величины $\Psi $ от переменной $\xi \in [0,\infty )$. Производная

Здесь первые два слагаемых всегда отрицательны, а третье – отрицательно при условии (2.20). Поэтому значения $\Psi $ убывают с ростом переменной $\xi $ так, что

Если $\kappa \leqslant {{\kappa }_{0}}$, $A \leqslant {{A}_{0}}$, где ${{\kappa }_{0}}$ и ${{A}_{0}}$ – достаточно малые положительные числа, то знак последнего выражения совпадет со знаком величины $ - h{\text{'}}(\tau )$, которая отрицательна.

Если $A > {{A}_{0}}$, то в исходной задаче (0.1)–(0.3) можно сделать замену вида $t = \mu {{t}_{1}}$, где положительное число $\mu < {{A}_{0}}{\text{/}}A$. Тогда вместо (0.1) получится уравнение

или

В результате такого преобразования коэффициент $A$ заменится на ${{A}_{1}} = \mu A < {{A}_{0}}$. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если выполнены условия 1–5 и (A), то задача (2.11)–(2.13) в области ${{\Omega }_{2}}$ имеет решение вида

где $\kappa $ – достаточно малое положительное число, а $h(\xi )$ – функция, удовлетворяющая на промежутке $\xi \in \left[ {0,{{\rho }_{0}}} \right]$ условиям (2.26).

Доказательство. Для функции ${{P}_{ + }} = {{P}_{ + }}(\xi ,\tau )$ условия (2.12), (2.13) в области ${{\Omega }_{2}}$ выполняются. Поэтому остается удовлетворить условию (2.11), левая часть которого имеет вид

Обозначим через $\Psi = \Psi (\xi ,\tau )$ выражение, стоящее в “больших” скобках:

и покажем, что можно добиться выполнения неравенства

Сначала исследуем зависимость величины $\Psi $ от переменной $\tau \in \left[ {0,\infty } \right)$. Производная

Здесь первые два слагаемых всегда отрицательны, а знак третьего слагаемого совпадает со знаком выражения $\Pi _{0}^{'} + \kappa {{\Pi }_{0}}$, которое отрицательно при условии (2.20). Поэтому производная $\partial \Psi {\text{/}}\partial \tau < 0$ и величина $\Psi $ убывает с ростом переменной $\tau $. Значения

Если $\kappa \leqslant {{\kappa }_{0}}$, $A \leqslant {{A}_{0}}$, где ${{\kappa }_{0}}$ и ${{A}_{0}}$ – достаточно малые положительные числа, то знак последнего выражения совпадает со знаком величины $h{\text{''}}(\xi )$, которая отрицательна. Лемма 3 доказана.

Итак, в областях ${{\Omega }_{0}}$, ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ построены гладкие куски верхнего решения ${{P}_{ + }}(\xi ,\tau )$ задачи (2.11)–(2.13). С учетом условий (2.26) эти куски непрерывно стыкуются между собой на общих частях границ областей. Методами работы [3] по непрерывному кусочногладкому барьеру можно построить гладкий верхний барьер. Нижний барьер строится симметрично верхнему. Теорема 1 доказана.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСЛЕДУЮЩИХ ЧЛЕНОВ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ И ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА

Теорема 2. Если выполнены условия 1–5 и (A), то задачи (1.9)–(1.11) имеют решения ${{P}_{k}}(\xi ,\tau )$, удовлетворяющие экспоненциальным оценкам убывания вида (1.12).

Доказательство этой теоремы рассмотрено в работе [3].

Будем считать, что в угловой точке $(1,0)$ прямоугольника $\Omega $ функция $F$ удовлетворяет условию, аналогичному (A).

Условие (B). Функция $F(u) = F(u,1,0,0)$ имеет вид

где $B$ – положительное число, а граничное значение $\phi (1)$ и число $\gamma $ удовлетворяют неравенствам

Если выполнены условия 1–5, (A) и (B), то формальное асимптотическое разложение решения задачи (0.1)–(0.3) определяется полностью.

Теорема 3. Если выполнены условия 1–5, (A) и (B), то для достаточно малых $\varepsilon $ задача (0.1)–(0.3) имеет решение $u(x,t,\epsilon )$, для которого ряд

является асимптотическим представлением при $\epsilon \to 0$ в замкнутом прямоугольнике $\bar {\Omega }$.

Доказательство теоремы основано на разрешимости задач, определяющих пограничные функции ${{\Pi }_{k}}$, ${{Q}_{k}}$, $Q_{k}^{ * }$, ${{P}_{k}}$ и $P_{k}^{ * }$ при $k \geqslant 1$, и полностью повторяет доказательство соответствующего утверждения работы [1].