Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 10, стр. 1757-1763

1. ВВЕДЕНИЕ

Среди методов теории сингулярных возмущений методы пограничных функций Васильевой–Бутузова [1], метод усреднения Крылова–Боголюбова–Митропольского и метод регуляризации Ломова [2], [3] занимают особое место. Эти методы показали свою эффективность в исследовании различных линейных и нелинейных задач.

Например, в работе [4] методом пограничных функций изучаются контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах, а в работе [5] рассматривается задача Коши для сингулярно возмущенного интегродифференциального уравнения Фредгольма и т.д.

В работе [6] метод регуляризации С.А. Ломова обобщается на интегральные и интегродифференциальные уравнения с несколькими быстро изменяющимися и медленно изменяющимися ядрами, на уравнения с вырождающимися ядрами высокого порядка, на сингулярно возмущенные уравнения в частных производных с одномерным и двумерным интегральными операторами, а также на дифференциальные системы с пересечением корней характеристического уравнения предельного оператора.

Насколько нам известно, разработка этого метода для сингулярно возмущенных систем уравнений в частных производных первого порядка типа сингулярно возмущенных уравнений Коши–Римана ранее не проводилась, хотя такие уравнения имеют многочисленные приложения: например, в теории упругости, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с точками уплощения и в теории двумерного стационарного дозвукового течения идеального газа [8].

В настоящей работе алгоритм метода регуляризации С.А. Ломова [2] обобщается на сингулярно возмущенные уравнения в частных производных первого порядка с особенностью в младшем коэффициенте, и на основе структуры регуляризованного асимптотического решения исследуется задача инициализации [7] (т.е. задача выбора класса исходных данных рассматриваемого уравнения, при которых его решение стремится (при $\varepsilon \to + 0$) к некоторой предельной функции равномерно на всем промежутке времени, включая и зону пограничного слоя).

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть область $D$ содержит точку $z = 0$ и ограничена простым гладким контуром $\Gamma ,$ ориентированным против часовой стрелки. Удобно положить ${{D}_{\delta }} = D \cap \{ {\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} > \delta \} $ с малым $\delta > 0.$

В области $D$ рассмотрим следующую сингулярно возмущенную систему уравнений Коши–Римана с сингулярными младшими коэффициентами:

где $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}}]$, ${{\varepsilon }_{0}} \ll 1$ , ${{a}_{j}},\;{{f}_{j}}$ – заданные функции, $j = 1,2$.

Пусть для краткости $\rho (z) = \bar {z}.$ Умножая второе уравнение (1) на мнимую единицу $i = \sqrt { - 1} $ и объединяя его с первым уравнением, а также используя $2{{\partial }_{{\bar {z}}}} = {{\partial }_{x}} + i{{\partial }_{y}}$ – оператор Коши–Римана, с учетом $u = {{u}_{1}} + i{{u}_{2}}$, $a = {{a}_{1}} + i{{a}_{2}}$, $f = {{f}_{1}} + i{{f}_{2}}$ записываем систему уравнений (1) в удобной форме для исследования, т.е. в комплексном виде:

где $a \in C(\bar {D})$. Решением этого уравнения является функция $u \in C(\bar {D}) \cap {{C}^{\infty }}({{D}_{\delta }})$, для любого $\delta > 0$. Далее, для упрощения вычислений предположим, что $\Gamma :\left| z \right| = R.$ Для уравнения (2) в области $D$ рассмотрим следующую задачу типа Дирихле.

Требуется найти решение уравнения (2) из класса $u \in C(\bar {D}) \cap {{C}^{\infty }}({{D}_{\delta }})$, удовлетворяющее на контуре $\Gamma $ граничному условию

где $g(t) \in C(\Gamma ).$

В настоящей работе метод регуляризации С.А. Ломова обобщается на сингулярно возмущенное уравнение Коши–Римана с сингулярным младшим коэффициентом. Доказывается, что ряд, полученный как решение задачи (3), сходится в обычном смысле абсолютно и равномерно по переменному $z$ во всей области $\bar {D}$.

3. ПОСТРОЕНИЕ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Модельным называем уравнение (2) в случае, когда $a(z) = a(0)$, $\forall z \in \bar {D}$:

В исследовании обобщенных систем Коши–Римана существенную роль играет интегральный оператор Векуа–Помпейу (см. [8, с. 31]):

где здесь и ниже ${{d}_{2}}\zeta $ означает элемент площади. Если $f \in {{L}^{p}}(D)$, $p > 2$, то функция $U = Tf$ принадлежит соболевскому пространству ${{W}^{{1,p}}}(D)$ и удовлетворяет уравнению ${{U}_{{\bar {z}}}} = f$, причем оператор $T$ ограничен, ${{L}^{p}}(D) \to {{W}^{{1,p}}}(D)$. Напомним, что имеет место следующее вложение (см. [8, с. 39]) данного пространства в класс Гёльдера: в частности, оператор $T$ компактен в пространствах ${{L}^{p}}(D)$ и $C(\bar {D})$. Всюду в дальнейшем предполагается, что $p > 2$.

Если функция $f$ принадлежит ${{L}^{p}}({{D}_{\delta }})$ для любого $\delta > 0$, но, вообще говоря, не суммируема во всей области $D$, то под правой частью (5) условимся понимать сингулярный интеграл

конечно, в предположении, что указанный предел существует.

Вначале построим формальное решение однородного уравнения (4).

Вводя обозначение

запишем формальное решение уравнения (4), согласно оператору Векуа–Помпейу, в виде

Для вычисления значения $\Omega $ воспользуемся леммой из [9]:

Лемма. Функция $\Omega (z)$ существует и представима в виде

где $h(z) \in H(\overline D )$ и определяется равенством

Заметим, что в предположении ${\text{|}}{{R}^{{ - 1}}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - \tfrac{{2a(0)}}{\varepsilon } - 1}}}f \in {{L}^{p}}(D)$ формальное общее решение уравнения (2) дается формулой

где $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}}]$, ${{\varepsilon }_{0}} \ll 1$ и $\phi $ – произвольная аналитическая в области $D{\backslash }\{ 0\} $ функция.

Подставляя значение $\Omega (z)$ из формулы (6) в формальное решение для $u(z),$ получим следующую формулу

Для наглядности функции $\Omega (z)$ предположим, что контур $\Gamma $ области $D$ является окружностью, т.е. $\Gamma :{\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} = R.$ Тогда функция $h(z) = 2a(0)\ln R$.

В этом случае формула (7) выглядит так:

Согласно методу С.А. Ломова вводим новую дополнительную переменную производная которой равна Вводим новую неизвестную функцию В результате вместо исходной задачи (4), (3) рассмотрим следующую расширенную задачу Для уравнения (8) в области $D$ рассмотрим следующую задачу типа Дирихле.

Требуется найти решение уравнения (2) из класса $u \in C(\bar {D}) \cap {{C}^{\infty }}({{D}_{\delta }})$, удовлетворяющее на контуре $\Gamma $ граничному условию

где $g(t) \in C(\Gamma ).$

Согласно теореме Пуанкаре [6], решение расширенной задачи будем искать в виде

Подставляя (9) в (8), получаем Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра $\varepsilon ,$ получим следующие итерационные задачи:

4. РЕШЕНИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Рассмотрим первую итерационную задачу (10₀).

Если $\varepsilon $ и $a(0)$ – вещественные числа, то переменную $\tau = \tau (\varepsilon ,z)$ можно представить как произведение $2{{\varepsilon }^{{ - 1}}}a(0)$ на вещественную переменную $ln\tfrac{{{\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}}}}{R}$.

Поэтому уравнение

можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого дается формулой где ${{\phi }_{0}}(z)$ – произвольная аналитическая функция комплексного переменного $z.$

Теперь, используя второе условие задачи (10₀) для определения значения произвольной аналитической функции ${{\phi }_{k}}(z),$ приходим к следующей задаче

где $\widetilde {{{g}_{0}}(t)} = g(t) - \operatorname{Re} \tfrac{1}{{a(0)}}\int_0^\tau \,{{e}^{{ - t}}}f(t,z)dt$.

Так как

следовательно, ${\text{Re}}\tfrac{1}{{a(0)}}{{\left. {\int_0^\tau \,{{e}^{{ - t}}}f(t,z)dt{\kern 1pt} } \right|}_{\Gamma }} = 0$, тогда $\widetilde {g(t)} = g(t)$ и Подставляя значение ${{\phi }_{0}}(z)$ в формулу (8), получим решение первой итерационной задачи

Аналогичным образом поступаем для общего случая.

Рассмотрим первое уравнение (10_k):

решение которого дается формулой

Используя второе условие задачи (10_k) для определения значения произвольной аналитической функции ${{\phi }_{k}}(z)$, приходим к следующей задаче

где $\widetilde {{{g}_{k}}(t)} = - {\text{Re}}\tfrac{{\bar {z}}}{{a(0)}}{{\left. {\int_0^\tau \,{{e}^{{ - t}}}\tfrac{{\partial {{u}_{{k - 1}}}}}{{\partial{ \bar {z}}}}dt{\kern 1pt} } \right|}_{\Gamma }} = 0$.

Следовательно,

В результате для определения коэффициентов ${{u}_{k}}(\tau ,z)$ получим следующую формулу

Подставляя коэффициенты ${{u}_{0}}(\tau ,z)$, ${{u}_{k}}(\tau ,z)$, $k \geqslant 1$ в ряд (9) и учитывая значение τ = $\tfrac{{a(0)}}{\varepsilon }({\text{ln}}{{r}^{2}}\, - \,{\text{ln}}{{R}^{2}}),$ получаем единственное формальное решение задачи в виде

где коэффициенты ${{u}_{k}}(\tau ,z)$ определяются согласно рекуррентной формуле (13).

5. ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ СХОДИМОСТИ ФОРМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ К ТОЧНОМУ

В рамках решения задачи инициализации относительно коэффициента уравнения (1) и правой части $f(t,z)$ требуем выполнения следующих условий:

При выполнении первого из этих условий $\tau = - \infty $ при $\varepsilon \to 0.$ При условии ${{c}_{0}} = 0,$ получим формулу Аналогично, для определения коэффициента первого порядка, с учетом получим формулу С учетом для определения коэффициента второго порядка, получим формулу Аналогично, для коэффициента ${{u}_{3}}(\tau ,\varepsilon )$ получим Далее, на основе математической индукции для определения коэффициента ${{u}_{k}}(\tau ,\varepsilon )$, $k \geqslant 0$, получим Далее, так как то, подставляя значение $\tau (\varepsilon ,z)$ в формулу (15) для определения коэффициента ${{u}_{k}}(\tau ,\varepsilon )$, $k \geqslant 1$, получаем

Из предыдущих формул, а также из формулы (16) следует, что на границе области $D,$ т.е. на границе $\Gamma $ все коэффициенты ${{u}_{k}}(\tau ,z) = 0$, $k \geqslant 1$, для любого $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}}]$, ${{\varepsilon }_{0}} \ll 1$.

Следовательно, на границе $\Gamma $ полученный асимптотический ряд (14) совпадает с точным решением задачи (2), (3). Поэтому достаточно показать равномерную сходимость для ${\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} < R$.

Пусть ${\text{|}}g(t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{M}_{0}}$, ${{M}_{0}} > 0$. Тогда ${\text{|}}{{\phi }_{0}}(z){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{M}_{0}}$, ${{M}_{0}} > 0$.

Тогда

Следовательно, для ${{u}_{k}}(\tau ,z)$ получим следующую оценку

Отсюда непосредственно следует, что ряд в формуле (15) сходится абсолютно и равномерно по переменному $z$ во всей области $\bar {D}$ и имеет место оценка

Из оценки (17) следует, что мажорантный ряд имеет конечную сумму и ряд в интегральном представлении (14) сходится в обычном смысле абсолютно и равномерно по переменному $z$ во всей области $\bar {D}$.