Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 11, стр. 1962-1974

О влиянии бета-эффекта на спектральные характеристики неустойчивых возмущений океанских течений

С. Л. Скороходов^1, *, Н. П. Кузьмина^2, **

¹ Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
119991 Москва, ул. Вавилова, 40, Россия

² Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН
117997 Москва, Нахимовский пр-т, 36, Россия

^* E-mail: sskorokhodov@gmail.com
^** E-mail: kuzmina@ocean.ru

Поступила в редакцию 12.03.2020
После доработки 21.05.2020
Принята к публикации 07.07.2020

DOI: 10.31857/S0044466920110137

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основе уравнения потенциального вихря в квазигеострофическом приближении представлен анализ устойчивых и неустойчивых возмущений океанских течений конечного поперечного масштаба с вертикальным линейным профилем скорости (течения типа Куэтта). В модели учитывается влияние вертикальной диффузии плавучести, трения и бета-эффекта (изменение параметра Кориолиса с широтой). Для анализа используется метод малых возмущений. Задача зависит от нескольких физических параметров и сводится к решению спектральной несамосопряженной задачи для уравнения 4-го порядка с малым параметром при старшей производной. Построены асимптотические разложения собственных функций и собственных значений при малых значениях волнового числа $k$. С помощью метода продолжения по параметру $k$ вычислены траектории собственные значения, которые позволили провести сравнение влияния бета-эффекта на неустойчивые возмущения первой моды и более высоких мод. Показано, что неустойчивость течения сложным образом зависит от физических параметров течения. Библ. 21. Фиг. 2.

Ключевые слова: спектральная несамосопряженная задача, метод продолжения по параметру, метод Ньютона, асимптотические разложения.

ВВЕДЕНИЕ

Работа является продолжением исследований устойчивых и неустойчивых возмущений типичных для океана модельных течений (см. [1]–[8]). В отличие от моделей, представленных в перечисленных работах, здесь будут учитываться не только вертикальная диффузия плавучести и трение, но и бета-эффект (изменение параметра Кориолиса с широтой), т.е. влияние на динамику возмущений сферичности Земли. Анализ будет проводиться для течения с линейным вертикальным профилем скорости (течение типа Куэтта). Динамика малых возмущений такого течения описывается линейным уравнением потенциального вихря в квазигеострофическом приближении. Вывод основных уравнений модели подробно представлен в [3]–[7].

Важно также отметить, что исследование влияния бета-эффекта на динамику возмущений геострофических течений проводилось в приближении идеальной жидкости (без учета диффузии плавучести и трения) для течений бесконечного поперечного масштаба (см. [9], [10]). Задача в более полной постановке (c учетом диссипации и конечного поперечного масштаба течения) может позволить описать новые физические особенности динамики возмущений.

С помощью предложенного ранее подхода к решению возникающей спектральной задачи (см. [5], [6], [3]) разработан аналитико-численный метод решения такой задачи типа Орра–Зоммерфельда и построены асимптотические разложения собственных функций (СФ) и собственных значений (СЗ) при малых волновых числах $k$. Этот метод позволил провести многочисленные расчеты и исследовать неустойчивость модельных течений в широком диапазоне физических параметров.

Постановка задачи. Область, в которой исследуется модельное течение, является бесконечным (вдоль направления течения) горизонтальным слоем с верхней и нижней границами ${{z}_{0}}$ и ${{z}_{1}}$ и боковыми границами ${{y}_{0}}$ и ${{y}_{1}}$. Декартовы координаты внутри такого слоя следующие: вертикальная переменная $z \in [{{z}_{0}},{{z}_{1}}]$, поперечная переменная $y \in [{{y}_{0}},{{y}_{1}}]$ и продольная переменная $x$ направлена вдоль течения, $x \in ( - \infty ,\infty )$.

Следуя стандартному методу исследования неустойчивости течения (см., например, [3], [5]), представим возмущение безразмерного давления в виде бегущей вдоль оси $x$ волны:

(0.1)

$p(x,y,z;t) = sin\left( {\pi n\frac{{y - {{y}_{0}}}}{{{{y}_{1}} - {{y}_{0}}}}} \right){{e}^{{ik(x - ct)}}}F\left( {\frac{z}{H}} \right),\quad n \in \mathbb{N},$

где $k$ – волновое число возмущения вдоль координаты $x$, $({{y}_{1}} - {{y}_{0}}){\text{/}}n$ – масштаб возмущения в поперечном направлении $y$, $H$ – вертикальный масштаб слоя, а $F\left( {\tfrac{z}{H}} \right)$ – искомый вертикальный профиль возмущения давления.

В безразмерных переменных задача исследования динамики течения с линейным вертикальным профилем скорости $U(z) = z$ сводится к решению на отрезке $z \in [0,1]$ уравнения для комплекснозначной функции $F = F(z)$:

(0.2)

$\frac{1}{{ik{\text{R}}}}\left[ {{{F}^{{({\text{IV}})}}} - {\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '} \right] = (z - c)\left[ {F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' - {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})F} \right] + \mu F,$

где ${\text{R}} = {\text{Pe}}H{\text{/}}L$, ${\text{Pe}}$ – число Пекле (аналог числа Рейнольдса), $L = {{y}_{1}} - {{y}_{0}}$ – поперечный масштаб течения, ${\text{Pr}}$ – число Прандтля, ${\text{Bu}}$ – число Бургера, $\mu $ – параметр, учитывающий бета-эффект, $i$ – мнимая единица.

Два краевых условия задают отсутствие протекания на горизонтальных границах слоя $z = 0$ и $z = 1$:

(0.3)

$\frac{1}{{ik{\text{R}}}}F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(0) = - cF{\kern 1pt} '(0) - F(0),\quad \frac{1}{{ik{\text{R}}}}F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(1) = (1 - c)F{\kern 1pt} '(1) - F(1).$

Еще два условия на этих границах задают равенство нулю потоков плавучести,

(0.4)

$F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(0) = F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(1) = 0.$

Поставленная задача является спектральной для бесконечно дифференцируемой комплекснозначной функции $F(z)$ на отрезке $z \in [0,1]$.

Задача. Найти СФ $F(z)$ и соответствующие им СЗ $c$, т.е. решения уравнения (0.2) с краевыми условиями (0.3), (0.4).

Отметим здесь, что оператор задачи является несамосопряженным, он содержит малый параметр ${{(k{\text{R}})}^{{ - 1}}}$ при старшей производной (величина $k{\text{R}}$ для реальных течений может быть очень большой), а спектральный параметр $c$ входит как в уравнение (0.2), так и в краевое условие (0.3). Собственных функций ${{F}_{m}}(z)$ и соответствующих им СЗ ${{c}_{m}}$ будет счетное множество, а неустойчивость по времени возмущений давления $p(x,y,z;t)$ возникает для тех СФ, которым соответствует СЗ ${{c}_{m}}$ с положительной мнимой частью ${\text{Im}}({{c}_{m}}) > 0$, что следует из представления (0.1).

Обзор литературы и современное состояние исследований спектра подобных операторов содержится в [11]; обзор методов вычисления СЗ таких задач дан в [12]–[14]. В [5]–[7], [15] изложен метод, позволивший эффективно вычислить СФ и СЗ уравнений типа Орра–Зоммерфельда с высокой точностью. В настоящей работе этот метод получил дальнейшее развитие и был использован для решения задачи (0.2)–(0.4).

В [6] для случая $\mu = 0$ и $n = 1$ при вещественных параметрах $k$, ${\text{R}}$, ${\text{Pr}}$, ${\text{Bu}}$ было доказано свойство симметрии СЗ ${{c}_{m}}$ относительно прямой ${\text{Re}}(c) = \tfrac{1}{2}$ и показано образование двойных СЗ при некоторых значениях $k$.

Именно, если ${{c}_{m}}$ является СЗ задачи (0.2)–(0.4) при $\mu = 0$ и $n = 1$, то

${{\hat {c}}_{m}} = 1 - {\text{Re}}({{c}_{m}}) + i{\text{Im}}({{c}_{m}})$

также является СЗ этой задачи.

Это свойство симметрии СЗ может быть аналогично доказано для задачи (0.2)–(0.4) при $\mu = 0$ и $n \in \mathbb{N}$.

Однако для $\mu \ne 0$ эта симметрия исчезает и двойные СЗ не образуются. При этом расстояние между двумя соседними траекториями СЗ, т.е. величина

$\varrho = \mathop {min}\limits_k \left| {{{c}_{{m + 1}}}(k) - {{c}_{m}}(k)} \right|,$

может быть очень малой, а это, в свою очередь, может приводить к дополнительным трудностям в численном анализе.

1. МЕТОД РАСЧЕТА СФ И СЗ

Вычисление СФ $F(z)$ и соответствующих СЗ $c$ основано на построении степенных разложений $F(z)$ в граничных точках $z = 0$ и $z = 1$ и их гладкой сшивке в некоторой точке ${{z}_{*}} \in (0,1)$ (см. [5]–[7], [15], [16]).

Пусть спектральный параметр $c$ зафиксирован. Тогда $F(c;z)$, решение уравнения (0.2), представим в виде следующих разложений в точках $z = 1$ и $z = 0$:

(1.1)

$F(c;z) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \,{{a}_{m}}(c){{(z - 1)}^{m}},$

(1.2)

$F(c;z) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \,{{b}_{m}}(c){{z}^{m}},$

где коэффициенты ${{a}_{m}}$ и ${{b}_{m}}$ зависят от параметров задачи $k,\;{\text{R}},\;{\text{Pr}},\;{\text{Bu}},\;n,\;\mu $ и выбранного спектрального параметра $c$. Разложения (1.1), (1.2) сходятся при всех ${\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} < \infty $, поскольку решение уравнения (0.2) имеет единственную особую точку $z = \infty $.

Подставляя ряды (1.1), (1.2) в уравнение (0.2), получаем рекуррентные соотношения для коэффициентов ${{a}_{m}}$ и ${{b}_{m}}$:

(1.3)

$\begin{gathered} {{a}_{{m + 4}}} = \{ (m + 1)(m + 2)[{\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}) + (1 - c)ik{\text{R}}]{{a}_{{m + 2}}} + ik{\text{R}}m(m + 1){{a}_{{m + 1}}} + \\ \, + ik{\text{R}}[\mu + {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})(c - 1)]{{a}_{m}} - ik{\text{RBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}){{a}_{{m - 1}}}\} {{[(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4)]}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $

(1.4)

$\begin{gathered} {{b}_{{m + 4}}} = \{ (m + 1)(m + 2)[{\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}) - ik{\text{R}}c]{{b}_{{m + 2}}} + ik{\text{R}}m(m + 1){{b}_{{m + 1}}} + \\ \, + ik{\text{R}}[\mu + {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})c]{{b}_{m}} - ik{\text{RBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}){{b}_{{m - 1}}}\} {{[(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4)]}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $

Учет краевых условий (0.3) дает связь коэффициентов ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, ${{a}_{3}}$ и ${{b}_{0}}$, ${{b}_{1}}$, ${{b}_{3}}$:

(1.5)

${{a}_{3}} = \frac{{ik{\text{R}}}}{6}[(1 - c){{a}_{1}} - {{a}_{0}}],\quad {{b}_{3}} = - \frac{{ik{\text{R}}}}{6}(c{{b}_{1}} + {{b}_{0}}).$

Краевое условие (0.4) приводит к равенствам для ${{a}_{2}}$ и ${{b}_{2}}$:

(1.6)

${{a}_{2}} = 0,\quad {{b}_{2}} = 0.$

Теперь построим функцию ${{F}_{1}}(c;z)$ в виде разложения (1.1), задав $a_{0}^{{(1)}}$ и $a_{1}^{{(1)}}$ следующими:

$a_{0}^{{(1)}} = 1,\quad a_{1}^{{(1)}} = 0,$

коэффициенты $a_{2}^{{(1)}}$ и $a_{3}^{{(1)}}$ определив из (1.6) и (1.5), а все последующие $a_{m}^{{(1)}}$ вычислив из соотношения (1.3), где дополнительно полагаем $a_{{ - 1}}^{{(1)}} = 0$.

Аналогично этому построим вторую функцию ${{F}_{2}}(c;z)$ в виде такого же разложения (1.1), но задав $a_{0}^{{(2)}}$ и $a_{1}^{{(2)}}$ следующими:

$a_{0}^{{(2)}} = 0,\quad a_{1}^{{(2)}} = 1.$

Тогда общее решение $F(c;z)$ уравнения (0.2) с краевыми условиями (0.3), (0.4) лишь в точке $z = 1$ есть линейная комбинация ${{F}_{1}}(c;z)$ и ${{F}_{2}}(c;z)$,

(1.7)

$F(c;z) = {{t}_{1}}{{F}_{1}}(c;z) + {{t}_{2}}{{F}_{2}}(c;z),$

с произвольными весовыми коэффициентами ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$.

Теперь построим две функции ${{F}_{3}}(c;z)$ и ${{F}_{4}}(c;z)$ в виде разложений (1.2), задав коэффициенты $b_{0}^{{(1)}}$, $b_{1}^{{(1)}}$ и $b_{0}^{{(2)}}$, $b_{1}^{{(2)}}$ следующими,

$b_{0}^{{(1)}} = 1,\quad b_{1}^{{(1)}} = 0,\quad b_{0}^{{(2)}} = 0,\quad b_{1}^{{(2)}} = 1,$

положив ${{b}_{2}}$, в соответствии с (1.6), нулевыми, ${{b}_{3}}$ вычислив из (1.5), а все последующие коэффициенты ${{b}_{m}}$ для обоих разложений вычислив из соотношения (1.4) с учетом равенства $b_{{ - 1}}^{{(1)}} = b_{{ - 1}}^{{(2)}} = 0$.

Тогда общее решение $F(c;z)$ уравнения (0.2) с краевыми условиями (0.3), (0.4) лишь в точке $z = 0$ есть линейная комбинация ${{F}_{3}}(c;z)$ и ${{F}_{4}}(c;z)$,

(1.8)

$F(c;z) = {{t}_{3}}{{F}_{3}}(c;z) + {{t}_{4}}{{F}_{4}}(c;z),$

с произвольными весовыми коэффициентами ${{t}_{3}}$ и ${{t}_{4}}$.

Для построения СФ и нахождения СЗ задачи (0.2)–(0.4) выберем произвольную точку ${{z}_{ * }}$ на интервале $(0,1)$ и потребуем совпадения в этой точке как функций (1.7) и (1.8), так и их первых трех производных по z, т.е.

(1.9)

${{t}_{1}}F_{1}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}) + {{t}_{2}}F_{2}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}) - {{t}_{3}}F_{3}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}) - {{t}_{4}}F_{4}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}) = 0,\quad p = 0,1,2,3.$

В силу исходного уравнения (0.2) четвертого порядка мы заключаем, что в точке ${{z}_{ * }}$ все производные более высокого порядка разложений ${{t}_{1}}{{F}_{1}}(c;z) + {{t}_{2}}{{F}_{2}}(c;z)$ и ${{t}_{3}}{{F}_{3}}(c;z) + {{t}_{4}}{{F}_{4}}(c;z)$ также совпадают. Это обеспечит гладкость искомого решения $F(c;z)$ исходной задачи во всех точках $z \in [0,1]$.

Ненулевое решение системы (1.9) возможно только в случае равенства нулю вронскиана $W({{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}},{{F}_{4}})$:

(1.10)

$W({{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}},{{F}_{4}};c;{{z}_{ * }}) = 0.$

Решая это уравнение, мы находим искомую комплексную скорость бегущей волны $c$, зависящую от параметров задачи (0.2)–(0.4).

Решение (1.10) будем строить с помощью метода Ньютона

(1.11)

${{c}^{{(q + 1)}}} = {{c}^{{(q)}}} - W(...;{{c}^{{(q)}}};{{z}_{*}}){{\left[ {\frac{{\partial W(...;{{c}^{{(q)}}};{{z}_{*}})}}{{\partial c}}} \right]}^{{ - 1}}},\quad q = 0,1, \ldots \;,$

а начальные приближения ${{c}^{{(0)}}}$ будем брать на основе метода продолжения по параметру $k$ и из представленных ниже асимптотических разложений при $k \to 0$.

Необходимая для метода Ньютона производная $\partial W(...;c;{{z}_{*}}){\text{/}}\partial c$ от вронскиана (1.10) системы (1.9) находилась с помощью явного дифференцирования по спектральному параметру “c” всех производных $F_{1}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}})$, $F_{2}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}})$, $F_{3}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}})$, $F_{4}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}})$ для $p = 0,1,2,3$. Например, смешанные производные $\partial F_{1}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}){\text{/}}\partial c$ и $\partial F_{2}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}){\text{/}}\partial c$ вычислялись дифференцированием рядов (1.1),

(1.12)

$\frac{{\partial {{F}^{{(p)}}}(c;{{z}_{*}})}}{{\partial c}} = \sum\limits_{m = 0}^\infty \,\frac{{m!}}{{(m - p){\kern 1pt} !}}{{a}_{m}}(c){{({{z}_{*}} - 1)}^{{m - p}}},\quad p = 0,1,2,3,$

а необходимые для разложений (1.12) производные ${{a}_{m}} = {{a}_{m}}(c)$ находились дифференцированием по “c” соотношений (1.3) и (1.5),

$\begin{gathered} a_{{m + 4}}^{'} = \left\{ {(m + 1)(m + 2)[{\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}) + (1 - c)ik{\text{R}}]a_{{m + 2}}^{'} - } \right.(m + 1)(m + 2)ik{\text{R}}{{a}_{{m + 2}}} + ik{\text{R}}m(m + 1)a_{{m + 1}}^{'} + \\ + \;ik{\text{RBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})[(c - 1)a_{m}^{'} + {{a}_{m}}] + \left. {ik{\text{R}}\mu a_{m}^{'} - ik{\text{RBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})a_{{m - 1}}^{'}} \right\}{{[(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4)]}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $

$a_{3}^{'} = \frac{{ik{\text{R}}}}{6}[ - {{a}_{1}} + (1 - c)a_{1}^{'} - a_{0}^{'}],$

где значения $a_{0}^{'}$, $a_{1}^{'}$ и $a_{2}^{'}$ равны нулю. Построенное разложение для $\partial W(...;c;{{z}_{*}}){\text{/}}\partial c$ позволяет избежать использования конечно-разностной производной

$\frac{{W(...;c + \Delta c;{{z}_{*}}) - W(...;c;{{z}_{*}})}}{{\Delta c}}$

и связанной с ней потери точности при малых ${\text{|}}\Delta c{\kern 1pt} {\text{|}}$.

2. АСИМПТОТИКА СФ И СЗ ПРИ $k \to 0$

Построим при $k \to 0$ асимптотическое разложение СФ и СЗ при ненулевых параметрах ${\text{R}}$, ${\text{Bu}}$, ${\text{Pr}}$, $n \in \mathbb{N}$ и $\mu \geqslant 0$. Здесь необходимо отдельно рассмотреть два варианта – случай конечных СЗ и случай неограниченных СЗ.

2.1. Ограниченные СЗ

Исследуем сначала асимптотическое разложение при $k \to 0$ для СФ и СЗ задачи (0.2)–(0.4) при условии, что СЗ имеет конечный предел.

Введем следующую сдвижку аргумента $z$ и СЗ $c$:

(2.1)

$z = w + \frac{1}{2},\quad c = \omega + \frac{1}{2}.$

Тогда уравнение (0.2) для $F(w)$ и краевые условия (0.3), (0.4) примут следующий вид:

(2.2)

${{F}^{{(4)}}} - {\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = ik{\text{R}}\left\{ {(w - \omega )\left[ {F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{'}} - {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})F} \right] + \mu F} \right\},\quad w \in \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right],$

(2.3)

$F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( { - \frac{1}{2}} \right) = ik{\text{R}}\left[ { - \left( {\frac{1}{2} + \omega } \right)F{\kern 1pt} '\left( { - \frac{1}{2}} \right) - F\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right],\quad F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( {\frac{1}{2}} \right) = ik{\text{R}}\left[ {\left( {\frac{1}{2} - \omega } \right)F{\kern 1pt} '\left( {\frac{1}{2}} \right) - F\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right],$

(2.4)

$F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0,\quad F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0.$

Используя методы асимптотического анализа [17], [18], представим решение задачи (2.2)–(2.4), т.е. СФ $F(k;w)$ и соответствующее ей СЗ $\omega (k)$, в виде разложения по степеням малого параметра $k$:

(2.5)

$F(k;w) = {{\varphi }_{0}}(w) + k{{\varphi }_{1}}(w) + {{k}^{2}}{{\varphi }_{2}}(w) + \ldots ,$

(2.6)

$\omega (k) = {{\omega }_{0}} + k{{\omega }_{1}} + {{k}^{2}}{{\omega }_{2}} + \ldots ,\quad \quad k \to 0.$

Подстановка (2.5), (2.6) в уравнение (2.2) и краевые условия (2.3), (2.4) и приравнивание соответствующих слагаемых при степенях ${{k}^{p}},p = 0,1, \ldots $, приводит к цепочке краевых задач для ${{\varphi }_{p}}(w)$ на отрезке $w \in \left[ { - \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}} \right]$. Первая из них, для ${{\varphi }_{0}}(w)$, имеет вид

(2.7)

$\varphi _{0}^{{''''}}(w) - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}\varphi _{0}^{{''}}(w) = 0,$

(2.8)

$\varphi _{0}^{{'''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \varphi _{0}^{{'''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0,\quad \varphi _{0}^{{''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \varphi _{0}^{{''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0.$

Решением (2.7), (2.8) является линейная функция,

(2.9)

${{\varphi }_{0}}(w) = {{A}_{0}} + {{B}_{0}}w\quad \forall {{A}_{0}},{{B}_{0}}.$

Далее, для функции ${{\varphi }_{1}}(w)$ и константы ${{\omega }_{0}}$ имеем уравнение

(2.10)

$\varphi _{1}^{{''''}}(w) - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}\varphi _{1}^{{''}}(w) = i{\text{R}}\{ (w - {{\omega }_{0}})[\varphi _{0}^{{''}}(w) - {\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}{{\varphi }_{0}}(w)] + \mu {{\varphi }_{0}}(w)\} $

и краевые условия

(2.11)

$\varphi _{1}^{{'''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = i{\text{R}}\left[ { - \left( {\frac{1}{2} + {{\omega }_{0}}} \right)\varphi _{0}^{'}\left( { - \frac{1}{2}} \right) - {{\varphi }_{0}}\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right],\quad \varphi _{1}^{{'''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = i{\text{R}}\left[ {\left( {\frac{1}{2} - {{\omega }_{0}}} \right)\varphi _{0}^{'}\left( {\frac{1}{2}} \right) - {{\varphi }_{0}}\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right],$

(2.12)

$\varphi _{1}^{{''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \varphi _{1}^{{''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0.$

Решение уравнения (2.10) ищем в виде суммы ${{\varphi }_{1}} = {{\varphi }_{h}} + {{\varphi }_{{nh}}}$, где ${{\varphi }_{h}}$ – общее решение однородного уравнения, а ${{\varphi }_{{nh}}}$ – частное решение неоднородного уравнения. Учитывая вид (2.9) для ${{\varphi }_{0}}$, выводим следующее представление для функции ${{\varphi }_{{nh}}}(w)$:

(2.13)

${{\varphi }_{{nh}}}(w) = {{D}_{2}}{{w}^{2}} + {{D}_{3}}{{w}^{3}} + {{D}_{4}}{{w}^{4}},$

где

(2.14)

${{D}_{2}} = \frac{{i{\text{R}}{{B}_{0}}}}{{\mathop {{\text{Pr}}}\nolimits^2 {\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}}} - \frac{{i{\text{R}}{{A}_{0}}}}{{2{\text{Pr}}}}\left( {{{\omega }_{0}} + \frac{\mu }{{{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}}}} \right),\quad {{D}_{3}} = \frac{{i{\text{R}}}}{{6{\text{Pr}}}}\left( {{{A}_{0}} - {{\omega }_{0}}{{B}_{0}} - \frac{{\mu {{B}_{0}}}}{{{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}}}} \right),\quad {{D}_{4}} = \frac{{i{\text{R}}{{B}_{0}}}}{{12{\text{Pr}}}}.$

Решение ${{\varphi }_{h}}(w)$ запишем в виде

(2.15)

${{\varphi }_{h}}(w) = {{A}_{1}}sinh\lambda w + {{B}_{1}}cosh\lambda w + {{D}_{0}} + {{D}_{1}}w,\quad \lambda = \pi n\sqrt {{\text{PrBu}}} ,$

с произвольными константами ${{A}_{1}},\;{{B}_{1}},\;{{D}_{0}}$ и ${{D}_{1}}$. Тогда, подставляя решение ${{\varphi }_{1}} = {{\varphi }_{h}} + {{\varphi }_{{nh}}}$ в краевые условия (2.11), (2.12), получаем систему для искомых коэффициентов ${{A}_{1}}$ и ${{B}_{1}}$:

${{\lambda }^{2}}{{B}_{1}}cosh\frac{\lambda }{2} + 2{{D}_{2}} + 3{{D}_{4}} = 0,\quad {{\lambda }^{2}}{{A}_{1}}sinh\frac{\lambda }{2} + 3{{D}_{3}} = 0,$

${{\lambda }^{3}}\left( {{{A}_{1}}cosh\frac{\lambda }{2} - {{B}_{1}}sinh\frac{\lambda }{2}} \right) + 6{{D}_{3}} - 12{{D}_{4}} + i{\text{R}}({{\omega }_{0}}{{B}_{0}} + {{A}_{0}}) = 0,$

${{\lambda }^{3}}\left( {{{A}_{1}}cosh\frac{\lambda }{2} + {{B}_{1}}sinh\frac{\lambda }{2}} \right) + 6{{D}_{3}} + 12{{D}_{4}} + i{\text{R}}({{\omega }_{0}}{{B}_{0}} + {{A}_{0}}) = 0.$

Учитывая соотношения (2.14) и разрешая эту систему относительно ${{A}_{1}}$ и ${{B}_{1}}$, получаем систему относительно коэффициентов ${{A}_{0}}$ и ${{B}_{0}}$ в представлении ${{\varphi }_{0}}(z)$ из (2.9):

$\left( {\frac{\mu }{\lambda } + \frac{{{{\omega }_{0}}\lambda }}{{{\text{Pr}}}}} \right)sinh\frac{\lambda }{2}{{A}_{0}} - \left[ {\left( {\frac{2}{\lambda } + \frac{\lambda }{4}} \right)\frac{{sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{{{\text{Pr}}}} - \frac{{cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{{{\text{Pr}}}}} \right]{{B}_{0}} = 0,$

$\left[ {\frac{{\lambda cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{{2{\text{Pr}}}} - \frac{{(1 + {\text{Pr}})sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{{{\text{Pr}}}}} \right]{{A}_{0}} - \left[ {\frac{{\mu cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{{2\lambda }} + \frac{{\lambda {{\omega }_{0}}cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{{2{\text{Pr}}}} - \frac{{\mu sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{{{{\lambda }^{2}}}} + \frac{{{{\omega }_{0}}({\text{Pr}} - 1)sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{{{\text{Pr}}}}} \right]{{B}_{0}} = 0.$

Нетривиальность решения этой системы требует равенства нулю ее детерминанта, что приводит к трансцендентному уравнению для искомой величины ${{\omega }_{0}}$:

(2.16)

${{Q}_{0}}\omega _{0}^{2} + {{Q}_{1}}{{\omega }_{0}} + {{Q}_{2}} = 0,$

где

(2.17)

${{Q}_{0}} = \lambda \left[ {\frac{{\lambda cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{2} + ({\text{Pr}} - 1)sinh\frac{\lambda }{2}} \right],\quad {{Q}_{1}} = \mu {\text{Pr}}\left[ {cosh\frac{\lambda }{2} + ({\text{Pr}} - 2)\frac{{sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{\lambda }} \right],$

(2.18)

${{Q}_{2}} = \frac{{{{\mu }^{2}}\mathop {{\text{Pr}}}\nolimits^2 }}{{{{\lambda }^{2}}}}\left( {\frac{{cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{2} - \frac{{sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{\lambda }} \right) - \left[ {\left( {\frac{2}{\lambda } + \frac{\lambda }{4}} \right) - \frac{\lambda }{2}} \right]\left[ {\frac{{\lambda cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{2} - ({\text{Pr}} + 1)sinh\frac{\lambda }{2}} \right].$

Решение уравнения (2.16) есть

(2.19)

${{\omega }_{{{{0}_{{1,2}}}}}} = \frac{{ - {{Q}_{1}} \pm \sqrt {Q_{1}^{2} - 4{{Q}_{0}}{{Q}_{2}}} }}{{2{{Q}_{0}}}},$

откуда получаем, что при $Q_{1}^{2} - 4{{Q}_{0}}{{Q}_{2}} < 0$ оба значения ${{\omega }_{{{{0}_{{1,2}}}}}}$ комплексно-сопряженные, одно из них лежит в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} {{\omega }_{0}} > 0$, а значит, при малых параметрах $k$, в силу представления (2.1), обеспечивает условие $\operatorname{Im} c > 0$, что приводит к неустойчивости исследуемого течения.

При $Q_{1}^{2} - 4{{Q}_{0}}{{Q}_{2}} > 0$ оба значения ${{\omega }_{{{{0}_{{1,2}}}}}}$, как видно из (2.19), лежат на оси $\operatorname{Im} {{\omega }_{0}} = 0$, а значит, при $k \to + 0$ это практически соответствует нейтральности возмущений с точностью до первого члена разложения (2.6).

Теперь рассмотрим случай достаточно широких течений, которым соответствуют значения параметра ${\text{Bu}} \ll 1$; при этом значения ${\text{Pr}} \sim 1$. Тогда, учитывая определение $\lambda $ в (2.15), заключаем, что при не слишком больших $n$ величина $\lambda \ll 1$. Разложим выражения ${{Q}_{0}}$, ${{Q}_{1}}$ и ${{Q}_{2}}$ из равенств (2.17), (2.18) в ряд по малому параметру $\lambda $ и получим для ${{\omega }_{{{{0}_{{1,2}}}}}}$:

(2.20)

$\begin{gathered} {{\omega }_{{{{0}_{{1,2}}}}}} = - \mu \left( {\frac{{{\text{Pr}}}}{{2{{\lambda }^{2}}}} + \frac{1}{{24}} - \frac{{{\text{Pr}} + 5}}{{1440{\text{Pr}}}}{{\lambda }^{2}}} \right) \pm \\ \, \pm \sqrt {{{\mu }^{2}}\left( {\frac{{\mathop {{\text{Pr}}}\nolimits^2 }}{{4{{\lambda }^{4}}}} - \frac{{{\text{Pr}}}}{{24{{\lambda }^{2}}}} + \frac{{{\text{Pr}}}}{{1440}} + \frac{1}{{192}} - \frac{{2\mathop {{\text{Pr}}}\nolimits^2 + 21{\text{Pr}} + 70}}{{120960{\text{Pr}}}}{{\lambda }^{2}}} \right) - \frac{1}{{12}} + \frac{{5 - {\text{Pr}}}}{{360{\text{Pr}}}}{{\lambda }^{2}}} + O({{\lambda }^{4}}). \\ \end{gathered} $

Из (2.20) в частном случае $\mu = 0$ следует результат, ранее полученный в [6], что в исходной задаче ограниченные СЗ при $k \to 0$ имеют следующую асимптотику при малых $\lambda = \pi n\sqrt {{\text{PrBu}}} $:

${{c}_{{1,2}}} = \frac{1}{2} \pm \sqrt { - \frac{1}{{12}} + \frac{{5 - {\text{Pr}}}}{{360{\text{Pr}}}}{{\lambda }^{2}}} + O({{\lambda }^{4}}).$

Отсюда получаем, что при $\mu = 0$ и малых $\lambda $ и $k$ одно из СЗ задачи имеет ${\text{Im}}(c) \approx \tfrac{{\sqrt 3 }}{6}$ и исследуемое течение является неустойчивым.

В случае $\mu > 0$, как следует из (2.20), неустойчивость для малых $k$ и $\lambda $ будет возникать при $\tfrac{{{{\mu }^{2}}\mathop {{\text{Pr}}}\nolimits^2 }}{{4{{\lambda }^{4}}}} < \tfrac{1}{{12}}$. Учитывая определение $\lambda $ в (2.15), это приводит (при ${\text{Pr}} \sim 1$) к условию

(2.21)

$\mu < \frac{{{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}{\text{Bu}}}}{{\sqrt 3 }}.$

Проведенные многочисленные расчеты СЗ исходной задачи показали справедливость оценки (2.21) для границы устойчивости течения при малых $k$ и $\lambda $.

Если же величина $\lambda $ не является малой, то из (2.19) получаем, что неустойчивость течения для малых $k$ будет возникать при $Q_{1}^{2} < 4{{Q}_{0}}{{Q}_{2}}$, т.е. при выполнении условия

(2.22)

$\begin{gathered} {{\mu }^{2}}\mathop {{\text{Pr}}}\nolimits^2 \left\{ {{{{\left[ {cosh\frac{\lambda }{2} + ({\text{Pr}} - 2)\frac{{sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{\lambda }} \right]}}^{2}} - \left[ {cosh\frac{\lambda }{2} + ({\text{Pr}} - 1)2\frac{{sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{\lambda }} \right]\left( {cosh\frac{\lambda }{2} - \frac{{2sinh\tfrac{\lambda }{2}}}{\lambda }} \right)} \right\} < \\ \, < 4\lambda \left[ {\frac{{\lambda cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{2} + ({\text{Pr}} - 1)sinh\frac{\lambda }{2}} \right]\left[ {\left( {\frac{2}{\lambda } + \frac{\lambda }{4}} \right) - {\text{cth}}\frac{\lambda }{2}} \right]\left[ {({\text{Pr}} + 1)sinh\frac{\lambda }{2} - \frac{{\lambda cosh\tfrac{\lambda }{2}}}{2}} \right], \\ \end{gathered} $

где $\lambda = \pi n\sqrt {{\text{PrBu}}} $. Отметим здесь, что из неравенства (2.22) оценка (2.21) для малых $\lambda $ следует при разложении в ряд всех слагаемых.

Таким образом, для случая $k \to 0$ здесь получена связь величины $\mu $ с другими параметрами течения, показывающая его неустойчивость.

2.2. Неограниченные СЗ

Построение асимптотического разложения при $k \to 0$ для СФ и неограниченно растущих СЗ задачи (0.2)–(0.4) проводится так же, как это было сделано в [6].

Домножая обе части уравнения (0.2) и краевого условия (0.3) на величину $ik{\text{R}}$ и обозначая произведение $ik\left( {c - \tfrac{1}{2}} \right)$ через $\widetilde C$, а $z - \tfrac{1}{2}$ через $w$, получаем для $F(w)$ и параметра $\widetilde C$ следующую задачу:

(2.23)

${{F}^{{(4)}}}(w) - {\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(w) = {\text{R}}(ikw - \widetilde C)[F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(w) - {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})F(w)] + ik{\text{R}}\mu F(w),$

$F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {\text{R}}\widetilde CF{\kern 1pt} '\left( { - \frac{1}{2}} \right) + ik{\text{R}}\left[ { - \frac{1}{2}F{\kern 1pt} '\left( { - \frac{1}{2}} \right) - F\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right],\quad \quad F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0,$

$F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( {\frac{1}{2}} \right) = - {\text{R}}\widetilde CF{\kern 1pt} '\left( {\frac{1}{2}} \right) + ik{\text{R}}\left[ {\frac{1}{2}F{\kern 1pt} '\left( {\frac{1}{2}} \right) - F\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right],\quad F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0,$

$\widetilde C = ik\left( {c - \frac{1}{2}} \right),\quad w = z - \frac{1}{2}.$

Теперь полагаем, что решение $F(k;w)$ и величина $\widetilde C(k)$ имеют асимптотические разложения

(2.24)

$F(k;w) = {{\varphi }_{0}}(w) + k{{\varphi }_{1}}(w) + \ldots ,\quad \widetilde C(k) = {{\chi }_{0}} + k{{\chi }_{1}} + \ldots ,\quad {{\chi }_{0}} \ne 0,\quad k \to 0.$

Тогда для функций ${{\varphi }_{m}}(w)$ и искомых констант ${{\chi }_{m}}$ опять получаем цепочку краевых задач, как и в предыдущем случае; первая из них, для ${{\varphi }_{0}}(w)$ и ${{\chi }_{0}}$, имеет вид

(2.25)

$\varphi _{0}^{{''''}}(w) + ({\text{R}}{{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}})\varphi _{0}^{{''}}(w) - {\text{R}}{{\chi }_{0}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}{{\varphi }_{0}}(w) = 0,$

(2.26)

$\varphi _{0}^{{'''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = - {\text{R}}{{\chi }_{0}}\varphi _{0}^{'}\left( {\frac{1}{2}} \right),\quad \varphi _{0}^{{''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0,\quad \varphi _{0}^{{'''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {\text{R}}{{\chi }_{0}}\varphi _{0}^{'}\left( { - \frac{1}{2}} \right),\quad \varphi _{0}^{{''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0.$

Представляя решение уравнения (2.25) в виде

(2.27)

${{\varphi }_{0}}(w) = Acos(\lambda w) + Bsin(\lambda w),$

получаем для $\lambda $ характеристическое уравнение

(2.28)

${{\lambda }^{4}} - ({\text{R}}{{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}){{\lambda }^{2}} - {\text{R}}{{\chi }_{0}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}} = 0.$

Некратные корни $\lambda _{1}^{2}$ и $\lambda _{2}^{2}$ ($\lambda _{1}^{2} \ne \lambda _{2}^{2}$) этого уравнения возникают при условии неравенства нулю его дискриминанта, т.е.

(2.29)

${{({\text{R}}{{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}})}^{2}} + 4{\text{R}}{{\chi }_{0}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}} \ne 0;$

в дальнейшем рассмотрении ограничимся только этим условием.

Решение уравнения (2.28) запишем относительно величин ${{q}_{1}} = \lambda _{1}^{2}$ и ${{q}_{2}} = \lambda _{2}^{2}$:

(2.30)

${{q}_{{1,2}}} = \frac{1}{2}\left( {{\text{R}}{{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}} \pm \sqrt {{{{({\text{R}}{{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}})}}^{2}} + 4{\text{R}}{{\chi }_{0}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}} } \right).$

Дальнеший анализ задачи (2.25), (2.26) аналогичен решению задачи для $\mu = 0$ в работе [6], поэтому приведем здесь окончательные результаты для асимптотики СЗ и СФ.

2.2.1. Решения ${{\varphi }_{0}}(w)$ вида ${\mathbf{cos}}(\lambda w)$. Представляя решение ${{\varphi }_{0}}(w)$ уравнения (2.25) в виде

(2.31)

${{\varphi }_{0}}(w) = {{A}_{1}}cos(\sqrt {{{q}_{1}}} w) + {{A}_{2}}cos(\sqrt {{{q}_{2}}} w),$

получаем для ${{\chi }_{0}}$ трансцендентное уравнение

(2.32)

$\sqrt {{{q}_{2}}} ({{q}_{1}} - {\text{R}}{{\chi }_{0}})sin\frac{{\sqrt {{{q}_{1}}} }}{2}cos\frac{{\sqrt {{{q}_{2}}} }}{2} = \sqrt {{{q}_{1}}} ({{q}_{2}} - {\text{R}}{{\chi }_{0}})sin\frac{{\sqrt {{{q}_{2}}} }}{2}cos\frac{{\sqrt {{{q}_{1}}} }}{2},$

где ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ определены в (2.30). Решая (2.32) численно и проверяя условие некратности корней (2.29), получаем счетное множество искомых коэффициентов ${{\chi }_{0}}$ в представлении (2.24).

В частных случаях уравнение (2.32) имеет явные решения. Например, при ${\text{Pr}} = 1$ получаем условие $cos\tfrac{{\sqrt {{\text{R}}{{\chi }_{0}}} }}{2} = 0$, решение которого есть

(2.33)

${{\chi }_{{0,m}}} = \frac{{{{\pi }^{2}}}}{{\text{R}}}{{(1 + 2m)}^{2}},\quad m = 0,1,2,...\;.$

Тогда счетное множество СЗ исходной задачи, неограниченно растущих при $k \to 0$ и ${\text{Pr}} = 1$, имеют асимптотику

(2.34)

${{c}_{m}} = - i\frac{{{{\pi }^{2}}}}{{k{\text{R}}}}{{(1 + 2m)}^{2}} + \frac{1}{2} + O(1),\quad k \to 0,\quad m = 0,1,2,...\;.$

2.2.2. Решения ${{\varphi }_{0}}(w)$ вида ${\mathbf{sin}}(\lambda w)$. Представляя решение ${{\varphi }_{0}}(w)$ уравнения (2.25) в виде

(2.35)

${{\varphi }_{0}}(w) = {{B}_{1}}sin(\sqrt {{{q}_{1}}} w) + {{B}_{2}}sin(\sqrt {{{q}_{2}}} w),$

получаем для ${{\chi }_{0}}$ трансцендентное уравнение

(2.36)

$\sqrt {{{q}_{2}}} ({{q}_{1}} - {\text{R}}{{\chi }_{0}})cos\frac{{\sqrt {{{q}_{1}}} }}{2}sin\frac{{\sqrt {{{q}_{2}}} }}{2} = \sqrt {{{q}_{1}}} ({{q}_{2}} - {\text{R}}{{\chi }_{0}})cos\frac{{\sqrt {{{q}_{2}}} }}{2}sin\frac{{\sqrt {{{q}_{1}}} }}{2},$

где ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ определены в (2.30). Решая (2.36) численно и проверяя условие некратности корней (2.29), получаем счетное множество искомых коэффициентов ${{\chi }_{0}}$ в представлении (2.24).

В частных случаях уравнение (2.36) имеет явные решения. Например, при ${\text{Pr}} = 1$, аналогично пп. 2.2.1, для ${{\chi }_{0}}$ получаем уравнение $sin\tfrac{{\sqrt {{\text{R}}{{\chi }_{0}}} }}{2} = 0$. Множество его решений ${{\chi }_{{0,m}}}$ имеет вид

(2.37)

${{\chi }_{{0,m}}} = \frac{{{{\pi }^{2}}}}{{\text{R}}}{{(2m)}^{2}},\quad m = 1,2,...\;.$

Таким образом, в исходной задаче для решений вида (2.35) возникает счетное множество СЗ, неограниченно растущих при $k \to 0$; при ${\text{Pr}} = 1$ первые члены их асимптотики имеют вид

(2.38)

${{c}_{m}} = - i\frac{{{{\pi }^{2}}}}{{k{\text{R}}}}{{(2m)}^{2}} + \frac{1}{2} + O(1),\quad k \to 0,\quad m = 1,2,...\;.$

Объединяя вместе результаты (2.34) и (2.38), получаем, что в задаче при ${\text{Pr}} = 1$ первые члены асимптотики множества неограниченно растущих СЗ имеют вид

(2.39)

${{c}_{m}} = - i\frac{{{{\pi }^{2}}}}{{k{\text{R}}}}{{m}^{2}} + \frac{1}{2} + O(1),\quad m = 1,2,...,\quad k \to 0.$

3. ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА

Для проверки результатов расчета СЗ и СФ исходной задачи (0.2)–(0.4) были проведены многочисленные расчеты в широком диапазоне физических параметров ${\text{Pr}}$, ${\text{Bu}}$, ${\text{R}}$, $\mu $, $n$ и волновых чисел $k$. При этом варьировалась длина обрываемых разложений (1.1) и (1.2) и их производных по $z$ и по $c$, значительно увеличивалась мантисса ${\text{Digits}}$ в используемой арифметике, изменялась точка сшивки ${{z}_{ * }} \in (0,1)$ разложений в системе (1.9). Итерационный метод Ньютона (1.11) строился так, что начальное приближение ${{c}^{{(0)}}}$ при малых $k$ бралось из асимптотических разложений, построенных в п. 2, а при увеличении $k$ использовался метод продолжения по параметру. Дополнительным инструментом проверки наличия СЗ в некоторой области $\mathcal{D}$ на комплексной плоскости “c” служил обобщенный принцип аргумента (см. [19]) для аналитической в области $\mathcal{D}$ функции $W(c)$,

(3.1)

$K = \frac{1}{{2\pi i}}\oint\limits_{\partial D} {\frac{{W{\kern 1pt} '(...;c;{{z}_{*}})}}{{W(...;c;{{z}_{*}})}}dc} ,\quad \mathop \sum \limits_{p = 1}^K \,{{c}_{p}} = \frac{1}{{2\pi i}}\oint\limits_{\partial D} {c\frac{{W{\kern 1pt} '(...;c;{{z}_{*}})}}{{W(...;c;{{z}_{*}})}}dc} ,$

где $W(...;c;{{z}_{ * }})$ – вронскиан (1.10) четырех независимых решений, вычисляемых в точке сшивки ${{z}_{ * }}$, $K$ – число комплексных нулей функции $W(...;c;{{z}_{ * }})$ внутри области $\mathcal{D}$, $\sum\nolimits_{p = 1}^K \,{{c}_{p}}$ – сумма координат этих нулей. В качестве области $\mathcal{D}$ выбирался круг в комплексной плоскости спектрального параметра “c”, а интегрирование по контуру $\partial{ \mathcal{D}}$ проводилось с помощью квадратур Гаусса.

Для случая $\mu = 0$ и $n = 1$ результаты расчета СЗ полностью совпали с СЗ, найденными в работе [6]. Здесь же отметим, что в этом случае возникают двойные СЗ с вещественной частью ${\text{Re}}(c) = \tfrac{1}{2}$ при определенных волновых числах ${{k}_{ * }}$, которые также совпали с двойными СЗ в [6].

Аналогично предыдущему, при $\mu = 0$ и $n = 2,3,...$, здесь также для определенных волновых чисел ${{k}_{ * }}$ возникают двойные СЗ $c$ на этой же прямой ${\text{Re}}(c) = \tfrac{1}{2}$. Такое поведение исследуемых СЗ имеет много схожего с траекториями СЗ в задаче Орра–Зоммерфельда для течения Куэтта, см. в [15], [16].

В окрестности этих значений ${{k}_{*}}$ метод Ньютона (1.11) начинал сходиться очень медленно, что связано со стремлением к нулю не только вронскиана $W(c)$ (см. (1.10)), но и его производной $W{\kern 1pt} '(c)$ в точке ветвления ${{c}_{m}}({{k}_{*}})$. Исключение этой неопределенности типа $0{\text{/}}0$ приводит к необходимости использования модификации метода Ньютона с включением второй производной:

(3.2)

${{c}^{{(q + 1)}}} = {{c}^{{(q)}}} - T \pm \sqrt {{{T}^{2}} - \frac{{2W({{c}^{{(q)}}})}}{{W{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '({{c}^{{(q)}}})}}} ,\quad T = \frac{{W{\kern 1pt} '({{c}^{{(q)}}})}}{{W{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '({{c}^{{(q)}}})}},\quad q = 0,1, \ldots ,$

причем знаки $ \pm $ выбираются так, чтобы обеспечить непрерывность обеих ветвей двух функций ${{c}_{m}}(k)$ и ${{c}_{{m + 1}}}(k)$. Второй порядок ветвления функций ${{c}_{m}}(k)$ и ${{c}_{{m + 1}}}(k)$ в окрестности точек ${{k}_{*}}$ обеспечивает численную устойчивость итерационного процесса (3.2) и его быструю сходимость.

Совокупность описанных методов позволила гарантированно вычислять СЗ и СФ, а также двойные СЗ ${{c}_{m}}({{k}_{*}})$ с относительной точностью не менее 20–40 верных дес. знач. цифр.

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Приведем результаты расчетов спектра задачи (0.2)–(0.4) для различных параметров ${\text{Pr}}$, ${\text{Bu}}$, ${\text{R}}$, $\mu $, $n$ и волновых чисел $k$. Картина траекторий СЗ ${{c}_{m}}(k)$ при изменении $k$ будет иметь как сходство, так и отличие от случая $\mu = 0$, $n = 1$, представленного в [6]. Здесь мы ограничимся описанием только нейтральных и неустойчивых возмущений, которым соответствует первое СЗ.

При малых $k \to 0$ первое СЗ ${{c}_{1}}(k)$, описываемое асимптотикой (2.6), лежит либо на вещественной оси ${\text{Im}}(c) = 0$, либо в полуплоскости ${\text{Im}}(c) > 0$ и свидетельствует о неустойчивости течения. (Напомним здесь, что второе СЗ и счетное множество остальных СЗ, описываемых разложением (2.24), соответствуют устойчивым возмущениям.)

На фиг. 1 в плоскости комплексного “c” приведены траектории первого СЗ ${{c}_{1}}(k)$ при возрастании числа $k$ для значений физических параметров ${\text{R}} = 10$, ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{Bu}} = 0.01$, $\mu = 0.035$ и мод $n = \overline {1,4} $. Точкам ${{A}_{n}}$ соответствуют значения ${{c}_{1}}(k)$ при $k = 0$ для моды $n$. Точкам ${{B}_{n}}$ соответствуют значения ${{c}_{1}}(k)$ при $k = 3$ для тех же мод (точки ${{B}_{3}}$ и ${{B}_{4}}$ расположены очень близко к ${{A}_{3}}$ и ${{A}_{4}}$ и поэтому не отмечены). Точкам ${{D}_{n}}$ соответствуют значения ${{c}_{1}}(k)$ при $k = 20$ для тех же мод $n$. Точка $E$ соответствует значениям ${{c}_{1}}(k)$ при $k = 105$ для всех мод $n$, поскольку разность между всеми ${{E}_{n}}$ по модулю не превосходила ${{10}^{{ - 4}}}$.

Фиг. 1.

Траектории ${{c}_{1}}(k)$ для ${\text{Bu}} = 0.01$, ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{R}} = 10$, $\mu = 0.035$ и $n = 1,2,3,4$ при увеличении $k \in (0,110]$.

Сплошная линия соответствует непрерывному изменению ${{c}_{1}}(k)$ при росте волнового числа $k \in (0,110]$. При $k > 110$ эти СЗ ${{c}_{1}}(k)$ для всех мод $n = \overline {1,4} $ переходят в полуплоскость ${\text{Im}}(c) < 0$, что соответствует устойчивым возмущениям течения.

Этот анализ показывает, что траектории СЗ ${{c}_{1}}(k)$ для мод $n = 2,3,4$ практически полностью “ложатся” на траекторию СЗ ${{c}_{1}}(k)$ для $n = 1$.

При других параметрах эти СЗ ведут себя не менее сложным образом.

На фиг. 2 приведены траектории первого СЗ ${{c}_{1}}(k)$ в полуплоскости ${\text{Im}}(c) > 0$ для набора параметров ${\text{R}} = 1000$, ${\text{Pr}} = 2$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $\mu = 0.001$ и мод $n = \overline {1,4} $.

Фиг. 2.

Траектории ${{c}_{1}}(k)$ для ${\text{Bu}} = 0.0001$, ${\text{Pr}} = 2$, ${\text{R}} = 1000$, $\mu = 0.001$ и $n = 1,2,3,4$ при увеличении $k \in (0,242]$.

Точкам ${{A}_{n}}$ соответствуют значения ${{c}_{1}}(k)$ при $k = 0$ для моды $n$. Точкам ${{B}_{n}}$ соответствуют значения ${{c}_{1}}(k)$ при $k = 3$ для тех же мод. Точка $D$ соответствует значениям ${{c}_{1}}(k)$ при $k = 150$ для всех мод $n$, а точка $E$ – значениям ${{c}_{1}}(k)$ при $k = 242$для всех мод n. Все точки ${{D}_{n}}$ отличались от отмеченной $D$ не более, чем на ${{10}^{{ - 4}}}$; то же самое касается точек ${{E}_{n}}$ и $E$.

При $k > 242$ эти СЗ переходят в полуплоскость ${\text{Im}}(c) < 0$, что соответствует устойчивым возмущениям.

Отсюда видно, что, как и в предыдущем примере, траектории СЗ ${{c}_{1}}(k)$ для $n = 2,3,4$ практически полностью “ложатся” на траекторию СЗ ${{c}_{1}}(k)$ при $n = 1$.

Напомним также, что при $\mu \ne 0$ в наших расчетах не возникали двойные СЗ, в отличие от случая $\mu = 0$, когда на оси ${\text{Re}}(c) = \tfrac{1}{2}$ при определенных волновых числах ${{k}_{*}}$ возникали двойные СЗ (см. [6]). Таким образом, мерой близости СЗ задачи к образованию двойных СЗ являлась малость величины $\mu $.

Отметим еще, что траектории СЗ в полуплоскости ${\text{Im}}(c) < 0$ имели весьма сложную структуру по сравнению с задачей без учета бета-эффекта. Так, в частности, с увеличением числа $k$ СЗ могли двигаться сильно немонотонно и для широкого диапазона изменения расчетных величин $k$ эти СЗ оставались в нижней полуплоскости, т.е. соответствовали устойчивым возмущениям.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках уравнения потенциального вихря проводится исследование устойчивых и неустойчивых возмущений геострофического течения с линейным вертикальным профилем скорости с учетом вертикальной диффузии плавучести, трения, бета-эффекта и для различных значений волнового числа $k$ и номера моды $n$. Анализ проводится с помощью метода малых возмущений.

Для возникающей спектральной несамосопряженной задачи реализован эффективный аналитико-численный метод решения для ОДУ 4-го порядка с малым параметром при старшей производной и с вхождением спектрального параметра как в уравнение, так и в краевые условия. Метод основан на построении степенных разложений для линейно-независимых решений ОДУ, удовлетворяющих части краевых условий, и на выборе подходящей комбинации этих решений.

Для анализа зависимости СФ и СЗ этих задач от физических параметров ${\text{R}}$, ${\text{Pr}}$, ${\text{Bu}}$, $\mu $, $n \in \mathbb{N}$ построены асимптотики СФ и СЗ при малых значениях волнового числа $k$. Показано, что при $k \to + 0$ в задаче существуют 2 ограниченных СЗ и счетное множество неограниченно растущих СЗ с предельной точкой $c = - i\infty $.

Высокоточный расчет СЗ задачи основан на итерационном методе Ньютона с выбором начального значения исходя из построенных асимптотик и с использованием метода продолжения по параметру $k$.

Проведенный численный анализ показал, что в случае параметра $\mu = 0$ при определенных значениях волнового числа $k$ из пар простых СЗ образуются двойные СЗ, лежащие на прямой ${\text{Re}}(c) = \tfrac{1}{2}$. При значениях параметра $\mu \ne 0$ двойных СЗ не образуется.

В окрестности двойных СЗ классический итерационный метод Ньютона теряет свою эффективность, поэтому здесь был использован модифицированный метод Ньютона с учетом второй производной. Это позволило с высокой точностью вычислить большое количество СЗ, двойных СЗ и построить траектории СЗ ${{c}_{m}}(k)$ при увеличении волнового числа $k$. Участки этих траекторий ${{c}_{m}}(k)$, попадающие в верхнюю полуплоскость ${\text{Im}}(c) > 0$, описывают неустойчивые по времени возмущения. Диапазон изменения волнового числа $k$ неустойчивых возмущений исследуемого течения весьма сложным образом зависит от значений физических параметров задачи.

Представленные результаты дают возможность также судить об интересном и отчасти парадоксальном эффекте. Использованное в работе приближение конечного фронта показывает, что благодаря бета-эффекту амплитуды длинноволновых неустойчивых возмущений более высоких мод ($n = 2,3, \ldots $) могут расти быстрее, чем амплитуда первой моды ($n = 1$). Это дает основание для предположения, что длинноволновые возмущения могут иметь поперечный масштаб меньше масштаба течения или фронта.

Полученные результаты в некоторых случаях представляют интерес для интерпретации данных натурных наблюдений интрузий и вихрей в зонах океанских зональных течений, см. [20], [21].

Список литературы

Кузьмина Н.П. Об одной гипотезе образования крупномасштабных интрузий в Арктическом бассейне // Фундаментальная и прикл. гидрофиз. 2016. Т. 9. № 2. С. 15–26.
Kuzmina N.P. Generation of large-scale intrusions at baroclinic fronts: An analytical consideration with a reference to the Arctic ocean // Ocean Science. 2016. V. 12. P. 1269–1277; https://doi.org/10.5194/os-12-1269-2016
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. О неустойчивости геострофического течения с линейным вертикальным сдвигом скорости на масштабах интрузионного расслоения // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54. № 1. С. 54–63.
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. Описание возмущений океанских геострофических течений с линейным вертикальным сдвигом скорости с учетом трения и диффузии плавучести // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55. № 2. С. 73–85.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Аналитико-численный метод решения задачи типа Орра–Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в океане // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 6. С. 1022–1039.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Спектральный анализ модельных течений типа Куэтта применительно к океану // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 5. С. 867–888.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Эффективный метод решения модифицированной задачи Орра–Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в Арктическом бассейне // Таврический вестник информатики и матем. 2016. № 3 (2.16). С. 88–97.
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. Спектральная задача типа Орра–Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в Арктическом бассейне // Международная научно-техническая конференция “Современные проблемы термогидромеханики океана” (СПТО-2017), 28–30 ноября 2017, М.: ИО РАН, Сб. тезисов. С. 87–90.
Charney J.G. The Dynamics of Long Waves in a Baroclinic Westerly Current // J. of Meteorology. 1947. V. 4. № 5. P. 135–162.
Green J.S.A. A problem in baroclinic stability // Quart. Journal. of the Royal. Meteorol. Soc. 1960. V. 86. № 368. P. 237–251.
Demuth M., Hansmann M., Katriel G. Eigenvalues of non-selfajoint operators: a comparison of two approaches // Operator Theory: Advances and Applications. 2013. V. 232. P. 107–163.
Reddy S.C., Schmid P.J., Henningson D.S. Pseudospectra of the Orr–Sommerfeld operator // SIAM J. Appl. Math. 1993. V. 53. № 1. P. 15–47.
Trefethen L.N. Pseudospectra of linear operators // SIAM Review. 1997. V. 39. № 3. P. 383–406.
Бойко А.В., Грек Г.Р., Довгаль А.В., Козлов В.В. Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях. М.: Ин-т компьют. исследований, 2006.
Скороходов С.Л. Численный анализ спектра задачи Орра–Зоммерфельда // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 10. С. 1672–1691.
Скороходов С.Л. Точки ветвления собственных значений оператора Орра–Зоммерфельда // Докл. АН. 2007. Т. 416. № 5. С. 600–605.
Найфэ А. Методы возмущений. М.: Наука, 1976. 474 с.
Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
Kuzmina N.P. On the parameterization of interleaving and turbulent mixing using CTD data from the Azores Frontal Zone // J. Mar. Syst. 2000. V. 23. P. 285–302.
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. О неустойчивости геострофического течения с постоянным вертикальным сдвигом скорости с учетом диффузии массы и импульса // Международный симпозиум “Мезомасштабные и субмезомасштабные процессы в гидросфере и атмосфере” (МСП-2018), 30 октября – 2 ноября 2018, М.: ИО РАН, Труды конф. С. 205–208. https://doi.org/10.29006/978-5-990149-4-1-2018-57

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал