Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 11, стр. 1933-1949

О регулярности слабых решений обобщенной модели вязкоупругости Фойгта

В. Г. Звягин^1, *, В. П. Орлов^1, **

¹ Воронежский государственный университет
394018 Воронеж, Университетская площадь, 1, Россия

^* E-mail: zvg_vsu@mail.ru
^** E-mail: orlov_vp@mail.ru

Поступила в редакцию 12.10.2019
После доработки 20.05.2020
Принята к публикации 07.07.2020

DOI: 10.31857/S0044466920110162

Аннотация

В настоящей работе устанавливаются существование и единственность сильного решения начально-краевой задачи для системы уравнений движения жидкости, являющейся дробным аналогом модели вязкоупругости Фойгта, в плоском случае. Реологическое уравнение данной модели содержит производные дробного порядка. Библ. 30.

Ключевые слова: вязкоупругая среда, уравнения движения, начально-граничная задача, слабое решение, модель вязкоупругости Фойгта, дробная производная.

1. ВВЕДЕНИЕ

Как хорошо известно, уравнение Коши движения несжимаемой жидкости с постоянной плотностью, заполняющей ограниченную область $\Omega \subset {{R}^{N}}$, N = 2, 3, $\partial \Omega \in {{C}^{2}}$ (см. [1]), имеет вид

(1.1)

$\rho \left( {\partial {v}{\text{/}}\partial t + \sum\limits_{i = 1}^N {{{{v}}_{i}}\partial {v}{\text{/}}\partial {{x}_{i}}} } \right) = - \nabla p + \operatorname{Div} \sigma + \rho f,\quad \operatorname{div} {v}(t,x) = 0,\quad (t,x) \in {{Q}_{T}} = [0,T] \times \Omega .$

Здесь ${v}(t,x) = ({{{v}}_{1}}(t,x), \ldots ,{{{v}}_{N}}(t,x))$ – вектор скорости частицы в точке x области Ω в момент времени t, ρ – плотность жидкости, p = p(t, x) – давление жидкости в точке x в момент времени t, σ(t, x) – девиатор тензора напряжений, f(t, x) – плотность внешних сил, действующих на жидкость; $\operatorname{Div} \sigma $ есть вектор, координатами которого являются дивергенции вектор-столбцов матрицы σ.

Без ограничения общности будем считать плотность ρ равной единице.

Тип сплошной среды (жидкости) определяется соответствующим уравнением состояния (реологическим соотношением). Широкий спектр моделей сплошных сред определяется в одномерном случае с помощью реологического соотношения вида (см., например, [2], [3])

(1.2)

$\sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^s {{{b}_{{ki}}}D_{{0t}}^{{{{\beta }_{{ki}}}}}{{D}^{k}}\sigma } } = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^r {{{a}_{{ki}}}D_{{0t}}^{{{{\beta }_{{ki}}}}}{{D}^{k}}\epsilon {\text{,}}} } $

где $D_{{0t}}^{\alpha }$ – дробная производная Римана–Лиувилля порядка α > 0, σ – напряжение, а $\epsilon $ – деформации.

Частным случаем моделей (1.2) являются модели с целочисленными производными (β_ki = 0), такие как хорошо известные модели Ньютона, Максвелла, Фойгта (Кельвина–Фойгта), Джеффриса и др. (см., например, [4]–[6] и ссылки в них).

Переход к моделям с дробными производными вызван потребностью изучения большого класса полимеров, в которых необходимо учитывать эффекты ползучести и релаксации. Оказывается, что подходящими для этого являются модели с дробными производными в реологических соотношениях. Широко известными и используемыми являются модели Скотта-Блэра, Зенера, Бюргерса, обобщенные модели Максвелла и Кельвина–Фойгта, описывающие специфические классы полимеров. В [3] дана механическая интерпретация этих моделей и приведен библиографический обзор.

Ниже мы ограничиваемся простейшим случаем дробной модели (1.2), являющейся аналогом модели Фойгта (см. [2]). Данная дробная модель имеет механическую интерпретацию в виде параллельного соединения $\mathcal{N}\,||\,SB$ элементов Ньютона и Скотта-Блэра (см. [3]). Элемент Ньютона $\mathcal{N}$ определяется реологическим соотношением ${{\sigma }_{1}} = {{\nu }_{1}}{{\dot {\varepsilon }}_{1}}$ , а элемент Скотта-Блэра SB определяется реологическим соотношением ${{\sigma }_{2}} = {{\nu }_{2}}D_{{0t}}^{\alpha }{{\epsilon }_{2}}$, 0 < α < 1. Здесь

$D_{{0t}}^{\alpha }y(t) = \Gamma (1 - \alpha )\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}y{\kern 1pt} '(s)ds} $

дробная производная Капуто порядка α (Γ(1 – α) – гамма-функция Эйлера) (см. [7, с. 6–8]).

Соответствующая многомерная модель определяется реологическим соотношением (см. [8])

(1.3)

$\sigma = {{\gamma }_{0}}\mathcal{E}({v}) + {{\gamma }_{1}}I_{{0t}}^{{1 - \alpha }}\mathcal{E}({v}),\quad 0 < \alpha < 1.$

Здесь $\mathcal{E}({v})$ является тензором скоростей деформации, т.е. матрицей с компонентами

${{\mathcal{E}}_{{ij}}}({v}) = \frac{1}{2}(\partial {{{v}}_{i}}{\text{/}}\partial {{x}_{j}} + \partial {{{v}}_{j}}{\text{/}}\partial {{x}_{i}}),$

а матрица σ является девиатором тензора напряжений σ. Выражение

$I_{{0t}}^{{1 - \alpha }}z(t) = \frac{1}{{\Gamma (1 - \alpha )}}\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}z(s)ds} $

является дробным интегралом Римана–Лиувилля порядка 1 – α (см. [7, с. 6–8]).

Подстановка (1.3) в уравнение (1.1) приводит к начально-краевой задаче

(1.4)

$\begin{gathered} \partial {v}{\text{/}}\partial t + \sum\limits_{i = 1}^N {{{{v}}_{i}}\partial {v}{\text{/}}\partial {{x}_{i}}} - {{\mu }_{0}}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v}) - {{\mu }_{1}}\operatorname{Div} \int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({v})(s,x)ds} + \nabla p = f(t,x), \\ (t,x) \in {{Q}_{T}};\quad \operatorname{div} {v}(t,x) = 0,\quad (t,x) \in {{Q}_{T}}; \\ \end{gathered} $

(1.5)

${v}(0,x) = {{{v}}^{0}}(x),\quad x \in Q,\quad {v}(t,x) = 0,\quad (t,x) \in [0,T] \times \partial \Omega $

с некоторыми коэффициентами μ₀ > 0 и μ₁ ≥ 0.

В работах [8], [9] было установлено существование слабого решения начально-краевой задачи (1.4), (1.5) и некоторого ее обобщения в случае N = 2, 3. В [10]–[13] для данной модели был изучен случай наличия памяти вдоль траекторий поля скоростей.

Вопрос о регулярности слабых решений уравнений вязкоупругости, и, в частности, существования сильных решений, является весьма актуальным с разных точек зрения. Отправляясь от классического случая системы Навье–Стокса, исследованию свойств регулярности слабых решений для более сложных моделей посвящено значительное количество работ (см., например, [14] и ссылки в ней). Что касается сильной разрешимости (см., например, [15, с. 127], используя различные варианты регуляризации, удалось установить сильную разрешимость для ряда моделей с реологическими уравнениями с целыми производными, приводящихся к интегродифференциальным уравнениям с гладкими ядрами (см., например, [4], [16]–[22] и ссылки в них). Сильная разрешимость для моделей гидродинамики с дробными производными в реологических соотношениях, насколько нам известно, не изучалась. Целью этой статьи является заполнить этот пробел для таких моделей, приводящих к интегродифференциальным уравнениям с сингулярными ядрами.

В настоящей работе рассматривается вопрос о регулярности слабых решений обобщенной модели Фойгта (1.4), (1.5) в плоском случае, что в результате дает сильную разрешимость этой модели.

Особенностью этой дробной модели является наличие в уравнении движения (1.4) интегродифференциального оператора старшего порядка с сингулярным ядром. Это не позволяет напрямую применить аппроксимационно-топологический метод, как в случае целочисленных моделей, и требует привлечения методов теории сингулярных операторов и в конечном счете использования галеркинских приближений основных задач.

Заметим, что методика, используемая для данной модели, предположительно применима и для других упомянутых выше дробных моделей.

Структура работы следующая. В разд. 2 приводятся вспомогательные утверждения. В разд. 3 формулируется основной результат. В разд. 4 устанавливаются свойства гладкости слабых решений, априорные оценки решений. В разд. 5 изучаются галеркинские приближения основных задач. Разд. 6 посвящен изучению сильной разрешимости регуляризации основной задачи. В разд. 7 доказывается основная теорема.

Константы в неравенствах и цепочках неравенств, не зависящие от существенных параметров, обозначаются одной буквой M.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы будем использовать следующие обозначения. Нам понадобятся функциональные пространства V и H (см. [24, с. 20]) соленоидальных функций. Пространство V = = $\{ {v} \in W_{2}^{1}{{(\Omega )}^{N}}:{{\left. {v} \right|}_{\Gamma }} = 0,\;\operatorname{Div} {v} = 0\} $ является гильбертовым со скалярным произведением

${{({v},u)}_{V}} = \sum\limits_{i,j = 1}^N {\int\limits_\Omega {{{\mathcal{E}}_{{ij}}}(u){{\mathcal{E}}_{{ij}}}({v})dx} } $

и соответствующей нормой. Эта норма в пространстве V эквивалентна норме, индуцированной из пространства $W_{2}^{1}{{(\Omega )}^{N}}$. Пространство H является замыканием V в норме пространства ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{N}}$, V ^–1 – пространство, сопряженное к V. Знак $\left\langle {g,u} \right\rangle $ означает действие функционала $g \in {{V}^{{ - 1}}}$ на элемент $u \in V$.

Нормы в пространствах H, L₂(Ω)^N и L₂(Ω)^N×N будем обозначать через ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{0}}$, в V как ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{1}}$, в пространстве $W_{2}^{\beta }(\Omega )$ для $\beta \in {{R}^{1}}$ как ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{\beta }}$. Нормы в L₂(0, T; H) и L₂(0, T; L₂(Ω)), обозначаются ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$, нормы в L₂(0, T; V) и ${{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{1}(\Omega ))$ как ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{0,1}}}$, а норма в пространстве L₂(0, T; V^–1) как ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{0, - 1}}}$. Норма в пространстве ${{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}})$ обозначается через ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{0,2}}}$.

Через (⋅, ⋅) обозначается скалярное произведение в гильбертовых пространствах L₂(Ω), H, L₂(Ω)^N, L₂(Ω)^N×N, в каких именно – ясно из контекста.

Пусть $\mathcal{P}$ – оператор ортогонального проектирования на H в пространстве L₂(Ω)² (см. [24, I.1.4]). Обозначим через A действующий в H оператор с областью определения D(A) = = $W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}} \cap \mathop {W_{2}^{1}}\limits^0 {{(\Omega )}^{2}} \cap H$, определенный дифференциальным выражением $A{v} = - \mathcal{P}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v})$. Заметим, что для соленоидальной ${v}$ справедливо равенство $2\operatorname{Div} \mathcal{E}({v}) = \Delta {v}$.

Оператор A является в H самосопряженным положительно-определенным оператором (см., например, [25, гл. IV, § 1]). Определена его дробная степень A^1/2. Для ${v} \in D({{A}^{{1/2}}}) = V$ справедливы неравенства

(2.1)

${{m}_{1}}{{\left| {v} \right|}_{1}} \leqslant {{\left| {{{A}^{{1/2}}}{v}} \right|}_{0}} \leqslant {{m}_{2}}{{\left| {v} \right|}_{1}},$

а для ${v} \in D(A)$ неравенства

(2.2)

${{m}_{1}}{{\left| {v} \right|}_{2}} \leqslant {{\left| {A{v}} \right|}_{0}} \leqslant {{m}_{2}}{{\left| {v} \right|}_{2}}.$

Здесь m_i > 0.

Кроме того, для ${v},u \in D({{A}^{{1/2}}})$ = V справедливы соотношение ($\mathcal{E}({v}),\mathcal{E}(u)$) = (${{A}^{{1/2}}}{v},{{A}^{{1/2}}}u$ ) и неравенства

(2.3)

${{\left| {\mathcal{E}({v})} \right|}_{0}} = {{\left| {{{A}^{{1/2}}}{v}} \right|}_{0}},\quad {{m}_{1}}{{\left| {v} \right|}_{1}} \leqslant {{\left| {\mathcal{E}({v})} \right|}_{0}} \leqslant {{m}_{2}}{{\left| {v} \right|}_{1}},\quad {{\left| {\operatorname{Div} \mathcal{E}({v})} \right|}_{{ - 1}}} \leqslant M{{\left| {v} \right|}_{1}}.$

3. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Введем функциональные пространства

${{W}_{1}}(a,b) \equiv \{ {v}:{v} \in {{L}_{2}}(a,b;V) \cap {{L}^{\infty }}(a,b;H),{v}{\kern 1pt} ' \in {{L}_{2}}(a,b;{{V}^{{ - 1}}})\} ;$

$W(a,b) \equiv \{ {v}:{v} \in {{L}_{2}}(a,b;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{N}}) \cap {{L}^{\infty }}(a,b;H),\;{v}{\kern 1pt} ' \in {{L}_{2}}(a,b;H)\} .$

Определение 3.1. Слабым решением задачи (1.4), (1.5) для N = 2 называется функция ${v} \in {{W}_{1}}(0,T)$, удовлетворяющая тождеству

(3.1)

$d({v},\varphi ){\text{/}}dt - \sum\limits_{i = 1}^2 {({{{v}}_{i}}{v},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}})} + {{\mu }_{0}}(\mathcal{E}({v}),\mathcal{E}(\varphi )) + {{\mu }_{1}}\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({v})(s,x)ds} ,\mathcal{E}(\varphi )} \right) = \left\langle {f,\varphi } \right\rangle $

при любой $\varphi \in V$ и п.в. t ∈ [0, T] и начальному условию (1.5).

Замечание. Так как слабое решение ${v}$ принадлежит пространству W₁(0, T), то известно (см. [24, Теорема III.3.1]), что в плоском случае ${{W}_{1}}(0,T) \subset C([0,T],H)$. Поэтому начальное условие из (1.5) имеет смысл.

В [8] установлена

Теорема 3.1. Пусть $f \in {{L}_{2}}(0,T;{{V}^{{ - 1}}})$, ${{{v}}^{0}} \in H$ и N = 2. Тогда задача (1.4), (1.5) имеет единственное слабое решение, удовлетворяющее неравенствам

(3.2)

$\mathop {\sup }\limits_t {{\left| {{v}(t, \cdot )} \right|}_{0}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{0,1}}} \leqslant {{M}_{0}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{0, - 1}}} + {{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{0}}} \right),$

(3.3)

${{\left\| {\partial {v}{\text{/}}\partial t} \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,T;{{V}^{{ - 1}}})}}} \leqslant {{\Phi }_{0}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{0, - 1}}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{0}}} \right).$

Здесь константа M₀не зависит от f и ${{{v}}^{0}}$, а ${{\Phi }_{0}}(t,s)$ – некоторая положительная возрастающая по t ≥ 0 и s ≥ 0 функция.

Сформулируем основные результаты.

Пусть $f \in {{L}_{2}}(0,T;H)$, ${{{v}}^{0}} \in V$ и N = 2. Из условия теоремы 3.1 имеем, что задача (1.4), (1.5) имеет единственное слабое решение из W₁(0, T). Однако оно обладает лучшими свойствами, а именно, это единственное слабое решение является сильным.

Запишем задачу (1.4), (1.5) в операторной форме. Нам будет удобно трактовать ${v}$ как функцию переменной t со значениями в H и записывать как ${v}(t)$, обозначая через ${v}{\kern 1pt} '(t)$ ее производную.

Положим

(3.4)

${{K}_{\varepsilon }}({v}) = \sum\limits_{i = 1}^2 {{{{v}}_{i}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}({{{(1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}})}}^{{ - 1}}}{v})} ,\quad \varepsilon \geqslant 0,\quad {\text{для}}\quad {v} \in V.$

Здесь $\left| {v} \right| = {{({v}_{1}^{2} + {v}_{2}^{2})}^{{ - 1/2}}}$ означает норму вектора ${v} = ({{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}})$.

Проектируя в L₂(Ω)²уравнение (1.4) на H, получаем операторную форму задачи (1.4), (1.5)

(3.5)

${v}{\kern 1pt} {\text{'}} + \mathcal{P}{{K}_{0}}({v}) + {{\mu }_{0}}A{v} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}A{v}(s, \cdot )ds} = f,\quad t \in [0,T],\quad {v}(0) = {{{v}}^{0}}.$

Определение 3.2. Сильным решением задачи (3.5) называется функция ${v} \in W(0,T)$, удовлетворяющая при п.в. t ∈ [0, T] уравнению (3.5) и начальному условию (3.5).

Следующий результат является основным.

Теорема 3.2. Пусть f ∈ L₂(0, T; H), ${{{v}}^{0}} \in V$ и N = 2. Тогда задача (3.5) имеет единственное сильное решение ${v}$.

Доказательствo теоремы 3.2 основывается на свойствах решений регуляризованных задач

(3.6)

$\begin{gathered} \partial {v}{\text{/}}\partial t + {{K}_{\varepsilon }}({v}) - {{\mu }_{0}}\Delta {v} - {{\mu }_{1}}\operatorname{Div} \int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({v})(s,x)ds} + \nabla p = f(t,x), \\ (t,x) \in {{Q}_{T}};\quad \operatorname{div} {v}(t,x) = 0,\quad (t,x) \in {{Q}_{T}}; \\ \end{gathered} $

(3.7)

${v}(0,x) = {{{v}}^{0}}(x),\quad x \in Q,\quad {v}(t,x) = 0,\quad (t,x) \in [0,T] \times \partial \Omega {\kern 1pt} .$

Операторная форма задачи (3.6), (3.7) имеет вид

(3.8)

${v}{\kern 1pt} {\text{'}} + \mathcal{P}{{K}_{\varepsilon }}({v}) + {{\mu }_{0}}A{v} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}A{v}(s, \cdot )ds} = f,\quad t \in [0,T],\quad {v}(0) = {{{v}}^{0}}.$

Определение слабого и сильного решения регуляризованных (ε > 0) задач дается аналогично нерегуляризованному случаю (ε = 0). А именно, слабым решением задачи (3.6), (3.7) (или, что то же (3.8)) называется функция ${v} \in {{W}_{1}}(0,T)$, удовлетворяющая тождеству

(3.9)

$d({v},\varphi ){\text{/}}dt - \sum\limits_{i = 1}^2 {({{{v}}_{i}}{{{(1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}})}}^{{ - 1}}}{v},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}})} + {{\mu }_{0}}(\mathcal{E}({v}),\mathcal{E}(\varphi )) + {{\mu }_{1}}\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({v})(s)ds} ,\mathcal{E}(\varphi )} \right) = \left\langle {f,\varphi } \right\rangle $

при любой φ ∈ V и п.в. t ∈ [0, T] и начальному условию (1.5).

Сильным решением задачи (3.8) называется функция ${v} \in W(0,T)$, удовлетворяющая при п.в. t ∈ [0, T] уравнению и начальному условию из (3.8).

Справедлива

Теорема 3.3. Пусть ε > 0, f ∈ L₂(0, T; H), ${{{v}}^{0}} \in V$ и N = 2. Тогда задача (3.6), (3.7) имеет единственное сильное решение ${v}$. Кроме того, справедливо равномерное по ε > 0 неравенство

(3.10)

${{\left\| {v} \right\|}_{{0,2}}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{W_{2}^{1}(0,T;H)}}} + \mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left| {{v}(t, \cdot )} \right|}_{1}} \leqslant \Phi \left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Здесь Φ(t, s) – некоторая положительная возрастающая по t ≥ 0 и s ≥ 0 функция.

4. СВОЙСТВА СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

4.1. Регулярность слабых решений

При f ∈ L₂(0, T; V^–1) и ${{{v}}^{0}} \in H$ и N = 2 из теоремы 3.1 вытекает существование единственного слабого решения задачи (1.4), (1.5). Аналогичное утверждение справедливо и для более простой регуляризованной задачи (3.6), (3.7).

Установим следующее свойство слабых решений задачи (3.6), (3.7) (или, что то же, задачи (3.8)).

Теорема 4.1. Пусть ε ≥ 0, f ∈ L₂(0, T; H), ${{{v}}^{0}} \in V$ и N = 2. Пусть слабое решение ${v}$ задачи (3.8) принадлежит W(0, T). Тогда ${v}$ является сильным решением.

Доказательство теоремы 4.1. Так как ${v} \in W(0,T)$ является слабым решением задачи (3.6), (3.7), то при любом φ ∈ V функция ${v}$ удовлетворяет тождеству (3.9). Воспользовавшись тем, что ${v} \in W(0,T)$, в частности, при п.в. t ${v}(t,x) \in W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}} \cap \mathop {W_{2}^{1}}\limits^0 {{(\Omega )}^{2}}$, и тем, что $\operatorname{div} {v}$ = 0, проинтегрируем в слагаемых в (3.9) по частям:

(4.1)

$\begin{gathered} {{J}_{2}} = \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {{{{v}}_{i}}{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_\Omega {{{{v}}_{i}}{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v}\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} dx} = \\ = - \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_\Omega {\partial {{{v}}_{i}}{\text{/}}\partial {{x}_{i}}{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v}\varphi } dx} - \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_\Omega {{{{v}}_{i}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\left( {{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v}} \right.\varphi } dx} = \\ = - \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {{{{v}}_{i}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\left( {{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v}} \right),\varphi } \right) = } - ({{K}_{\varepsilon }}({v}),\varphi ); \\ \end{gathered} $

(4.2)

${{J}_{3}} = (\mathcal{E}({v}),\mathcal{E}(\varphi )) = - {\kern 1pt} {\kern 1pt} (\operatorname{Div} \mathcal{E}({v}),\varphi );$

(4.3)

${{J}_{4}} = \left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({v})(s)ds} ,\mathcal{E}(\varphi )} \right) = - \left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v})(s)ds} ,\varphi } \right),\quad \left\langle {f,{v}} \right\rangle = \left( {f,{v}} \right).$

Пользуясь тем, что $\varphi = \mathcal{P}\varphi $, ${v} = \mathcal{P}{v}$ для $\varphi ,{v} \in H$ и самосопряженностью $\mathcal{P}$ в пространстве L₂(Ω)², получаем из (4.1), (4.3)

(4.4)

$\begin{gathered} {{J}_{2}} = - \,({{K}_{\varepsilon }}({v}),\varphi ) = - \,({{K}_{\varepsilon }}({v}),\mathcal{P}\varphi ) = - \,(\mathcal{P}{{K}_{\varepsilon }}({v}),\varphi ); \\ {{J}_{3}} = - \,(\operatorname{Div} \mathcal{E}({v}),\varphi ) = - \,(\operatorname{Div} \mathcal{E}({v}),\mathcal{P}\varphi ) = ( - \mathcal{P}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v}),\varphi ); \\ {{J}_{4}} = - \left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v})(s)ds} ,\varphi } \right) = - \left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v})(s)ds} ,\mathcal{P}\varphi } \right) = \\ = - \left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{P}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v})(s)ds} ,\varphi } \right). \\ \end{gathered} $

Так как ${v} \in W_{2}^{1}(0,T;H)$, то при п.в. t справедливо равенство

(4.5)

$d({v}(t),\varphi ){\text{/}}dt = ({v}{\kern 1pt} '(t),\varphi ).$

Используя соотношения (3.5), (4.4) и (4.5), перепишем (3.9) в виде

(4.6)

$\left( {{v}{\kern 1pt} {\text{'}} + \mathcal{P}{{K}_{\varepsilon }}({v}) + {{\mu }_{0}}A{v} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{P}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v})(s)ds} ,\varphi } \right) = (f,\varphi ).$

Так как (4.6) справедливо при любой φ ∈ V, а V плотно в H, то из (4.6) вытекает соотношение

${v}{\kern 1pt} {\text{'}} + \mathcal{P}{{K}_{\varepsilon }}({v}) + {{\mu }_{0}}A{v} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{P}\operatorname{Div} \mathcal{E}({v})(s, \cdot )ds} = f$

при п.в. t ∈ [0, T]. Очевидно и выполнение начального условия ${v}(0) = {{{v}}^{0}}$.

Таким образом, ${v}$ является сильным решением задачи (3.8).

Теорема 4.1 доказана.

4.2. Априорные оценки решений задачи (3.8) с параметром

Ниже мы установим априорные оценки сильных решений задачи (3.8). Но сначала нам будет удобно рассматривать более общую, чем (3.8) задачу с параметром k > 0.

Введем функцию R(t):

(4.7)

Умножая формально уравнение (3.8) на exp(–kt), где k > 0, с помощью простых преобразований получаем задачу

(4.8)

${\bar {v}}{\kern 1pt} {\text{'}} + \exp (kt)\mathcal{P}{{K}_{\varepsilon }}({\bar {v}}) + k{\bar {v}} + {{\mu }_{0}}A{\bar {v}} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {R(t - s)A{\bar {v}}(s)ds} = \bar {f},\quad t \in [0,T],\quad {v}(0) = {{{v}}^{0}}.$

Здесь ${\bar {v}} = \exp ( - kt){v}$, $\bar {f} = \exp ( - kt)f$. Для простоты, опуская черту в обозначениях функций в (4.8), мы вместо задачи (4.8) будем рассматривать задачу

(4.9)

${v}{\kern 1pt} {\text{'}} + \exp (kt)\mathcal{P}{{K}_{\varepsilon }}({v}) + k{v} + {{\mu }_{0}}A{v} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {R(t - s)A{v}(s)ds} = f,\quad t \in [0,T],\quad {v}(0) = {{{v}}^{0}}.$

Теорема 4.2. Пусть ε ≥ 0, f ∈ L₂(0, T; V^–1), ${{{v}}^{0}} \in H$ и N = 2. Пусть k достаточно велико. Тогда для сильных решений ${v}$ задач (4.9) справедливы оценки

(4.10)

$\mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left| {{v}(t)} \right|}_{0}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{0,1}}} \leqslant {{M}_{0}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{0, - 1}}} + {{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{0}}} \right).$

Доказательство. Докажем оценку (4.10).

Применим обе части уравнения (4.9) как функционал из V^–1 к ${v}$. Учитывая, что $\left\langle {{{K}_{\varepsilon }}({v}),{v}} \right\rangle = \left( {{{K}_{\varepsilon }}({v}),{v}} \right) = 0$, $\left\langle {f,{v}} \right\rangle = (f,{v})$ и проводя несложные выкладки, получаем

(4.11)

$\frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}\left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + k\left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + {{\mu }_{0}}(\mathcal{E}({v}),\mathcal{E}({v})) + {{\mu }_{1}}\left( {\int\limits_0^t {R(t - s)(\mathcal{E}({v})(s)ds,\mathcal{E}({v})(t)} } \right) = (f(t),{v}(t)).$

Здесь мы учли, что ${{K}_{\varepsilon }}({v})$ ортогонально ${v}$ в H.

Учитывая (2.1)–(2.3) и проводя простые преобразования, получаем отсюда

(4.12)

$\frac{d}{{dt}}\left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {v} \right|_{1}^{2} \leqslant M\left( {{{{\left| {f(t)} \right|}}_{{ - 1}}}{{{\left| {{v}(t)} \right|}}_{1}} + \int\limits_0^t {R(t - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{1}}ds{{{\left| {{v}(t)} \right|}}_{1}}} } \right).$

Из (4.12) имеем при произвольном δ > 0

(4.13)

$\frac{d}{{dt}}\left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {{v}(t)} \right|_{1}^{2} \leqslant \delta \left| {{v}(t)} \right|_{1}^{2} + {{C}_{1}}(\delta )\left| {f(t)} \right|_{{ - 1}}^{2} + {{C}_{1}}(\delta ){{\left( {\int\limits_0^t {R(t - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{1}}ds} } \right)}^{2}}.$

Выбирая δ достаточно малым и перенося первое слагаемое справа в левую часть (4.13), получаем отсюда

(4.14)

$\frac{d}{{dt}}\left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {{v}(t)} \right|_{1}^{2} \leqslant {{M}_{1}}\left( {\left| {f(t)} \right|_{{ - 1}}^{2} + {{{\left( {\int\limits_0^t {R(t - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{1}}ds} } \right)}}^{2}}} \right).$

Интегрируя (4.14) на [0, t], 0 ≤ t ≤ T, получаем

(4.15)

$\left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \int\limits_0^t {\left| {{v}(s)} \right|_{1}^{2}ds} \leqslant {{M}_{2}}\left( {\left\| f \right\|_{{0, - 1}}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{0}^{2} + \int\limits_0^t {{{{\left( {\int\limits_0^t {R(\xi - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{1}}d\xi } } \right)}}^{2}}} ds} \right).$

Пусть

$I(t) = \int\limits_0^t {R(t - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{1}}ds} .$

Считая ${v}$ равной нулю вне интервала [0, T], пользуясь (4.7) и делая замену переменной ξ = t – s, перепишем правую часть I(t) в виде

(4.16)

$I(t) = \int\limits_0^t {R(t - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{1}}ds} = \int\limits_0^t {R(\xi ){{{\left| {{v}(t - \xi )} \right|}}_{1}}d\xi } = \int\limits_0^{ + \infty } {R(\xi ){{{\left| {{v}(t - \xi )} \right|}}_{1}}d\xi } .$

Учитывая, что

(4.17)

$\int\limits_0^{ + \infty } {R(\xi )d\xi } \leqslant {{k}^{{\alpha - 1}}}\Gamma (1 - \alpha ),$

с помощью интегрального неравенства Минковского, использования инвариантности L₂ нормы относительно сдвига и (4.17), получаем, что при любом 0 ≤ $\bar {T}$ ≤ T справедливо неравенство

(4.18)

$\begin{gathered} {{\left\| {I(t)} \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,\bar {T})}}} \leqslant \int\limits_0^{ + \infty } {R(\xi ){{{\left\| {{{{\left| {{v}(t - \xi )} \right|}}_{1}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,\bar {T})}}}d\xi } \leqslant \int\limits_0^{ + \infty } {R(\xi )d\xi {{{\left\| {{{{\left| {{v}(t)} \right|}}_{1}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,\bar {T})}}}} \leqslant \\ \leqslant \int\limits_0^T {R(\xi )d\xi {{{\left\| {v} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,\bar {T};V)}}}} \leqslant {{M}_{3}}{{k}^{{\alpha - 1}}}{{\left\| {v} \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,\bar {T};V)}}}. \\ \end{gathered} $

Из оценок (4.15) и (4.18) следует, что

(4.19)

$\mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} \left| {{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \left\| {v} \right\|_{{0,1}}^{2}ds \leqslant {{M}_{4}}\left( {\left\| f \right\|_{{0, - 1}}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{0}^{2}} \right) + {{M}_{4}}{{k}^{{2(\alpha - 1)}}}\left\| {v} \right\|_{{0,1}}^{2}.$

Выбирая k достаточно большим, так, чтобы ${{M}_{4}}{{k}^{{2(\alpha - 1)}}}$ ≤ q < 1, и перенося последнее слагаемое в (4.19) в левую часть, получаем отсюда оценку (4.10).

Теорема 4.2 доказана.

Теорема 4.3. Пусть ε ≥ 0, f ∈ L₂(0, T; H), ${{{v}}^{0}} \in V$ и N = 2. Пусть ${v}$ является сильным решением задачи (4.9). Пусть k достаточно велико. Тогда справедливы оценки

(4.20)

$\mathop {\sup }\limits_t {{\left| {{v}(t, \cdot )} \right|}_{1}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{0,2}}} \leqslant {{\Phi }_{1}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right),$

(4.21)

${{\left\| {{v}{\kern 1pt} '} \right\|}_{0}} \leqslant {{\Phi }_{1}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Здесь Φ₁(t, s) – некоторая положительная возрастающая по t ≥ 0 и s ≥ 0 функция.

Доказательство. Докажем оценки (4.20) и (4.21).

Умножая скалярно в H уравнение (4.9) на ${v}{\kern 1pt} {\text{'}} + {{\mu }_{0}}A{v}$, учитывая (2.1)–(2.3) и проводя несложные выкладки, получаем при произвольном δ > 0

(4.22)

$\begin{gathered} \left| {{v}{\kern 1pt} '(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {A{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \frac{d}{{dt}}\left| {{{A}^{{1/2}}}{v}(t)} \right|_{0}^{2} \leqslant \delta ({{\left| {{v}{\kern 1pt} '(t)} \right|}_{0}} + \left| {A{v}(t)} \right|_{0}^{2}) + \\ + \;{{C}_{1}}(\delta )\left( {\left| {f(t)} \right|_{0}^{2} + {{{\left( {\int\limits_0^t {R(t - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{2}}ds} } \right)}}^{2}} + \exp (2kt)\left| {{{K}_{\varepsilon }}({v})} \right|_{0}^{2}} \right). \\ \end{gathered} $

Оценим $\left| {{{K}_{\varepsilon }}({v})} \right|_{0}^{2}$. Напомним, что

(4.23)

${{K}_{\varepsilon }}({v}) = \sum\limits_{i = 1}^2 {{{{v}}_{i}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}({{{(1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}})}}^{{ - 1}}}{v}).} $

Непосредственным дифференцированием получаем, что справедливо равенство

(4.24)

$\begin{gathered} \frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}({{(1 + \varepsilon {{\left| {v} \right|}^{2}})}^{{ - 1}}}{v}) = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\left( {{{{\left( {1 + \varepsilon \sum\limits_{i = 1}^2 {{{{\left| {{{{v}}_{k}}} \right|}}^{2}}} } \right)}}^{{ - 1}}}{v}} \right) = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\left( {{{{\left( {1 + \varepsilon \sum\limits_{i = 1}^2 {{{{\left| {{{{v}}_{k}}} \right|}}^{2}}} } \right)}}^{{ - 1}}}} \right){v} + {{\left( {1 + \varepsilon \sum\limits_{i = 1}^2 {{{{\left| {{{{v}}_{k}}} \right|}}^{2}}} } \right)}^{{ - 1}}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}{v} = \\ = - 2\varepsilon {{\left( {1 + \varepsilon \sum\limits_{i = 1}^2 {{{{\left| {{{{v}}_{k}}} \right|}}^{2}}} } \right)}^{{ - 2}}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^2 {{{{v}}_{k}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}{{{v}}_{k}}} } \right){v} + {{\left( {1 + \varepsilon \sum\limits_{i = 1}^2 {{{{\left| {{{{v}}_{k}}} \right|}}^{2}}} } \right)}^{{ - 1}}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}{v} = \\ = - 2\varepsilon {{(1 + \varepsilon {{\left| {v} \right|}^{2}})}^{{ - 2}}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^2 {{{{v}}_{k}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}{{{v}}_{k}}} } \right){v} + {{(1 + \varepsilon {{\left| {v} \right|}^{2}})}^{{ - 1}}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}{v}. \\ \end{gathered} $

Воспользовавшись элементарными оценками, получаем из соотношения (4.24) неравенство

(4.25)

$\left| {\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}({{{(1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}})}}^{{ - 1}}}{v})} \right| \leqslant M(\varepsilon {{(1 + \varepsilon {{\left| {v} \right|}^{2}})}^{{ - 2}}}\left| {v} \right|\left| {\partial {v}{\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right| + {{(1 + \varepsilon {{\left| {v} \right|}^{2}})}^{{ - 1}}}\left| {\partial {v}{\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right|).$

Из (4.23), (4.24) вытекает, что

$\left| {{{K}_{\varepsilon }}({v})} \right| \leqslant M\left( {\frac{{\varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}}}}{{{{{(1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}})}}^{2}}}}\left| {{{{v}}_{x}}} \right| + \frac{{\left| {v} \right|}}{{1 + \varepsilon {{{\left| {v} \right|}}^{2}}}}\left| {{{{v}}_{x}}} \right|} \right) \leqslant M\left| {v} \right|\left| {{{{v}}_{x}}} \right|.$

Здесь $\left| {{{{v}}_{x}}} \right|$ – норма матрицы Якоби ${{{v}}_{x}}$ – вектор функции ${v}$.

Из (4.23) и (4.25) с помощью неравенства Гёльдера получаем, что

${{\left| {{{K}_{\varepsilon }}({v})} \right|}_{0}} \leqslant M{{\left\| {v} \right\|}_{{{{L}_{4}}{{{(\Omega )}}^{2}}}}}{{\left\| {v} \right\|}_{{W_{4}^{1}{{{(\Omega )}}^{2}}}}}.$

Отсюда следует (см. [24, раздел III.3.3])

(4.26)

$\left| {{{K}_{\varepsilon }}({v})} \right|_{0}^{2} \leqslant M\left| {{v}(t)} \right|_{1}^{2}{{\left| {{v}(t)} \right|}_{0}}{{\left| {{v}(t)} \right|}_{2}}.$

Пользуясь неравенством (4.26) и оценкой (4.10), имеем при произвольном δ > 0

(4.27)

$\begin{gathered} \exp (kt)\left| {{{K}_{\varepsilon }}({v})} \right|_{0}^{2} \leqslant M\exp (kt)\left| {{v}(t)} \right|_{1}^{2}{{\left| {{v}(t)} \right|}_{0}}{{\left| {{v}(t)} \right|}_{2}} \leqslant \delta \left| {{v}(t)} \right|_{2}^{2} + {{C}_{2}}(\delta )\exp (2kt){{(\mathop {\sup }\limits_t \left| {{v}(t)} \right|_{2}^{2})}^{2}}\left| {v} \right|_{1}^{4} \leqslant \\ \leqslant \delta \left| {{v}(t)} \right|_{2}^{2} + {{C}_{2}}(\delta )\exp (2kt){{M}_{4}}{{\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right)}^{2}}\left| {{v}(t)_{1}^{4}} \right|. \\ \end{gathered} $

Вернемся к неравенству (4.22). Подставляя (4.27) в (4.22), имеем

(4.28)

$\begin{gathered} \left| {{v}{\kern 1pt} '(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {A{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \frac{d}{{dt}}\left| {{{A}^{{1/2}}}{v}(t)} \right|_{0}^{2} \leqslant 2\delta (\left| {{v}{\kern 1pt} '(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {A{v}(t)} \right|_{0}^{2}) + \\ + \;{{C}_{3}}(\delta )\left( {\left| {f(t)} \right|_{0}^{2} + {{{\left( {\int\limits_0^t {R(t - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{2}}ds} } \right)}}^{2}} + \exp (2kt){{{\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right)}}^{2}}\left| {{v}(t)_{1}^{4}} \right|} \right). \\ \end{gathered} $

Выбирая δ достаточно малым, получаем отсюда

(4.29)

$\left| {{v}{\kern 1pt} '(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {A{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \frac{d}{{dt}}\left| {{{A}^{{1/2}}}{v}(t)} \right|_{0}^{2} \leqslant M\left( {\left| {f(t)} \right|_{0}^{2} + {{{\left( {\int\limits_0^t {R(t - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{2}}ds} } \right)}}^{2}} + \exp (2kT){{{\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right)}}^{2}}\left| {{v}(t)_{1}^{4}} \right|} \right)$

с некоторой константой M.

Оценим интеграл в правой части (4.29).

В силу (4.18) при $\bar {T}$ = t имеем

(4.30)

$\int\limits_0^t {{{{\left( {\int\limits_0^\tau {R(\tau - s){{{\left| {{v}(s)} \right|}}_{2}}ds} } \right)}}^{2}}d\tau = \int\limits_0^t {{{I}^{2}}(\tau )d\tau } } \leqslant M{{k}^{{\alpha - 1}}}\int\limits_0^t {\left| {{v}(s)} \right|_{2}^{2}ds} .$

Пользуясь (4.29) и (4.30), получаем

(4.31)

$\left| {{v}{\kern 1pt} '(t)} \right|_{0}^{2} + \frac{d}{{dt}}\left| {{{A}^{{1/2}}}{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \left| {A{v}(t)} \right|_{0}^{2} \leqslant M\left( {\left| {f(t)} \right|_{0}^{2} + {{k}^{{\alpha - 1}}}\int\limits_0^t {\left| {{v}(s)} \right|_{2}^{2}ds} + \exp (2kt){{{\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right)}}^{2}}\left| {{v}(t)_{1}^{4}} \right|} \right).$

Интегрируя (4.31) на [0, t], 0 ≤ t ≤ T, имеем

(4.32)

$\begin{gathered} \int\limits_0^t {\left| {{v}{\kern 1pt} '(s)} \right|_{0}^{2}ds} + \left| {{{A}^{{1/2}}}{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \int\limits_0^t {\left| {A{v}(s)} \right|_{0}^{2}ds} \leqslant {{M}_{5}}\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right) + \hfill \\ + \;{{M}_{5}}{{k}^{{2(\alpha - 1)}}}\int\limits_0^T {\left| {{v}(s)} \right|_{2}^{2}ds} + {{M}_{5}}\exp (kt)\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right)\int\limits_0^t {\left| {{v}(s)_{1}^{4}} \right|ds} . \hfill \\ \end{gathered} $

Выбирая k достаточно большим так, что ${{M}_{5}}{{k}^{{2(\alpha - 1)}}}$ ≤ q < 1 и перенося второе слагаемое справа в левую часть (4.32), получаем

(4.33)

$\int\limits_0^t {\left| {{v}{\kern 1pt} '(s)} \right|_{0}^{2}ds} + \left| {{{A}^{{1/2}}}{v}(t)} \right|_{0}^{2} + \int\limits_0^t {\left| {A{v}(s)} \right|_{0}^{2}ds} \leqslant {{M}_{5}}\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right) + M\exp (kt)\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right)\int\limits_0^t {\left| {{v}(s)_{1}^{4}} \right|ds} .$

Пользуясь соотношениями (2.1)–(2.3), перепишем (4.33) в виде

(4.34)

$\int\limits_0^t {\left| {{v}{\kern 1pt} '(s)} \right|_{0}^{2}ds} + \left| {{v}(t)} \right|_{1}^{2} + \int\limits_0^t {\left| {{v}(s)} \right|_{2}^{2}ds} \leqslant {{M}_{6}}\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right) + {{M}_{6}}\exp (kt)\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right)\int\limits_0^t {\left| {{v}(s)_{1}^{4}} \right|ds} .$

Из последней оценки (4.33) следует, что для функции g(t) = $\left| {{v}(t)} \right|_{1}^{2}$ справедливо неравенство типа Гронуолла

(4.35)

$g(t) \leqslant {{C}_{4}} + {{C}_{4}}\int\limits_0^t {\left| {{v}(s)} \right|_{1}^{2}g(s)ds.} $

Здесь

(4.36)

${{C}_{4}} = {{M}_{7}}\exp (kT)\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right).$

Из (4.10), (4.35) и (4.36) следует, что

(4.37)

$g(t) \leqslant {{C}_{4}}\exp \left( {{{C}_{4}}\int\limits_0^T {\left| {{v}(s)} \right|_{1}^{2}ds} } \right) \leqslant {{C}_{4}}\exp \left( {{{C}_{4}}{{M}_{0}}{{{\left( {\left\| f \right\|_{{0, - 1}}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{0}^{2}} \right)}}^{2}}} \right) \leqslant {{C}_{4}}\exp \left( {{{C}_{4}}{{M}_{8}}{{{\left( {\left\| f \right\|_{0}^{2} + \left| {{{{v}}^{0}}} \right|_{1}^{2}} \right)}}^{2}}} \right).$

Из (4.37) вытекает, что

(4.38)

$\left| {{v}(t, \cdot )} \right|_{1}^{2} \leqslant {{\Psi }_{1}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}} + {{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Здесь Ψ₁(t, s) – некоторая положительная возрастающая по t ≥ 0 и s ≥ 0 функция.

Из (4.34) и (4.38) вытекает, что справедливо неравенство

(4.39)

$\left\| {{v}{\kern 1pt} '} \right\|_{0}^{2} + \mathop {\sup }\limits_{t \in [0,T]} \left| {{v}(t)} \right|_{1}^{2} + \left\| {v} \right\|_{{0,2}}^{2} \leqslant {{\Psi }_{2}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Здесь величина Ψ₂ зависит от ${{\left\| f \right\|}_{0}}$ и ${{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}_{1}}$.

Оценки (4.20), (4.21) доказаны.

Теорема 4.3 доказана.

4.3. Априорные оценки решений задачи (4.9)

Установим априорные оценки сильных решений задачи (4.9)

Пусть ${\bar {v}}$ является решением задачи (4.8) с правой частью $\bar {f} = \exp ( - kt)f$. Нетрудно видеть, что функция ${v} = \exp (kt){\bar {v}}$ является решением задачи (4.9) с правой частью f.

Очевидно, что для любой u ∈ L₂(0, T) справедливы неравенства

(4.40)

${{\left\| {\bar {u}} \right\|}_{0}} \leqslant {{\left\| u \right\|}_{0}} \leqslant \exp (kT){{\left\| {\bar {u}} \right\|}_{0}}.$

В силу (4.40) из теорем 4.2 и 4.3 вытекает

Теорема 4.4. Пусть ε ≥ 0, f ∈ L₂(0, T; V^–1), ${{{v}}^{0}}$ ∈ H и N = 2. Тогда для слабых решений задачи (4.9) справедливы оценки

(4.41)

$\mathop {\sup }\limits_t {{\left| {{v}(t)} \right|}_{0}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{0,1}}} \leqslant {{M}_{0}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{0, - 1}}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{0}}} \right).$

Пусть ε ≥ 0, f ∈ L₂(0, T; H), ${{{v}}^{0}}$ ∈ V. Пусть ${v}$ ∈ W(0, T) является сильным решением задачи (4.9). Тогда справедливы оценки

(4.42)

$\mathop {\sup }\limits_t {{\left| {{v}(t)} \right|}_{1}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{0,2}}} \leqslant {{\Phi }_{1}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{0,}}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right),$

(4.43)

${{\left\| {{v}{\kern 1pt} '} \right\|}_{0}} \leqslant {{\Phi }_{1}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Здесь Φ₁(t, s) – некоторая положительная возрастающая по t ≥ 0 и s ≥ 0 функция.

Отметим, что в частном случае ε = 0 утверждение теоремы 4.4 означает справедливость ее утверждения для решений задач (3.5) и (3.8).

Приведенные выше результаты установлены в предположении существования сильных решений соответствующих задач. В то время как существование слабых решений соответствующих задач установлено в теореме 3.1, существование сильных решений еще не доказано.

Для доказательства их существования мы воспользуемся методом Фаэдо–Галеркина.

5. ГАЛЕРКИНСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЗАДАЧ

5.1. Галеркинские приближения задачи (4.9)

Рассмотрим галеркинские приближения задачи (4.9). Пусть e_k, k = 1, 2, …, являются ортонормированными собственными функциями, а λ_k собственными значениями самосопряженного в H оператора A, так что Ae_k = λ_ke_k. Зафиксируем натуральное число n. Обозначим через ${{\mathcal{P}}_{n}}$ оператор ортогонального проектирования в H на подпространство H_n, порожденное элементами e₁, e₂, …, e_n.

Спроектируем задачу (4.9) на H_n:

(5.1)

${v}{\kern 1pt} {\text{'}} + \exp (kt){{\mathcal{P}}_{n}}{{K}_{\varepsilon }}({v}) + k{v} + {{\mu }_{0}}An{v} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {R(t - s)An{v}(s)ds} = {{\mathcal{P}}_{n}}f,\quad t \in [0,T],\quad {v}(0) = {{\mathcal{P}}_{n}}{{{v}}^{0}}.$

Определение 5.1. Сильным решением задачи (5.1) называется H_n-значная функция ${v}$ ∈ W(0, T), удовлетворяющая при п.в. t ∈ [0, T] уравнению и начальному условию (5.1).

Здесь действующий в H_n оператор A_n определяется как A_n = ${{\mathcal{P}}_{n}}A$.

Для галеркинских приближений ${v}$ задачи (5.1) справедлива

Теорема 5.1. Пусть k > 0, f ∈ L₂(0, T; H), ${{{v}}^{0}}$ ∈ V и N = 2. Пусть k достаточно велико. Тогда существует сильное решение задачи (5.1) и справедливы оценки

(5.2)

$\mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left| {{v}(t, \cdot )} \right|}_{0}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{0,1}}} \leqslant {{M}_{0}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{0, - 1}}} + {{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{0}}} \right),$

(5.3)

$\mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left| {{v}(t, \cdot )} \right|}_{1}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{0,2}}} \leqslant {{\Phi }_{2}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right),$

(5.4)

${{\left\| {{v}{\kern 1pt} '} \right\|}_{0}} \leqslant {{\Phi }_{2}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Здесь Φ₂(t, s) – некоторая положительная возрастающая по t ≥ 0 и s ≥ 0 функция.

Доказательство. Будем искать решение задачи (5.1) в виде

(5.5)

${v}(t) = \sum\limits_{k = 1}^n {{{g}_{k}}(t){{e}_{k}}} .$

Умножим скалярно в H (5.1) на e_i. Тогда функции g_i(t) являются решением интегродифференциальной системы уравнений

(5.6)

$g_{i}^{'}(t) + {{D}_{i}}(g) + k{{g}_{i}}(t) + {{\mu }_{0}}{{\lambda }_{i}}{{g}_{i}}(t) + {{\mu }_{1}}{{\lambda }_{i}}\int\limits_0^t {R(t - s){{g}_{i}}(s)ds} = {{f}_{i}},\quad t \in [0,T],\quad {{g}_{i}}(0) = {v}_{i}^{0},\quad 1 \leqslant i \leqslant n.$

Здесь g = (g₁, …, g_n), f_i = (f, e_i), ${v}_{i}^{0} = ({{{v}}^{0}},{{e}_{i}})$, а выражение D_i(g) определяется следующим образом.

Запишем собственные функции e_k и ${v}$ в координатной форме: e_k = (e_k1, e_k2), ${v} = ({{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}})$. Тогда из (5.5) следует, что

(5.7)

${{{v}}_{j}}(t) = \sum\limits_{k = 1}^n {{{g}_{k}}(t){{e}_{{kj}}}} ,\quad \partial {v}{\text{/}}\partial {{x}_{j}} = \sum\limits_{r = 1}^n {{{g}_{r}}(t)\partial {{e}_{{kj}}}{\text{/}}\partial {{x}_{j}}} ,\quad j = 1,2.$

При умножении (5.1) на e_i второе слагаемое дает выражение exp(kt)(${{\mathcal{P}}_{n}}{{K}_{\varepsilon }}({v}),{{e}_{i}}$).

Пользуясь самосопряженностью ${{\mathcal{P}}_{n}}$, (5.5) и (5.7), получаем, что

(5.8)

$\begin{gathered} ({{\mathcal{P}}_{n}}{{K}_{\varepsilon }}({v}),{{e}_{i}}) = ({{K}_{\varepsilon }}({v}),{{\mathcal{P}}_{n}}{{e}_{i}}) = ({{K}_{\varepsilon }}({v}),{{e}_{i}}) = \\ = \sum\limits_{j = 1}^2 {\sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{r = 1}^n {{{g}_{k}}{{g}_{r}}(t)(t){{e}_{{kj}}}(\partial e{\text{/}}\partial {{x}_{j}},{{e}_{i}})} } } = \sum\limits_{k,r = 1}^n {\sum\limits_{r = 1}^n {{{d}_{{kri}}}{{g}_{k}}{{g}_{r}}(t)(t)} } {\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $

Здесь

${{d}_{{kri}}} = \sum\limits_{j = 1}^2 {{{e}_{{kj}}}(\partial e{\text{/}}\partial {{x}_{j}},{{e}_{i}})} .$

Заметим, что

(5.9)

${{(1 + \varepsilon {{\left| {{v}(t)} \right|}^{2}})}^{{ - 1}}} = {{(1 + \varepsilon {{\left| {g(t)} \right|}^{2}})}^{{ - 1}}} = {{\left( {1 + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^n {{{g}_{k}}{{{(t)}}^{2}}} } \right)}^{{ - 1}}}.$

Из (5.8), (5.9) следует, что

(5.10)

${{D}_{i}}(g) = \exp (kt){{(1 + \varepsilon {{\left| {g(t)} \right|}^{2}})}^{{ - 1}}}\sum\limits_{k,r = 1}^n {{{d}_{{kri}}}{{g}_{k}}(t){{g}_{r}}(t)} .$

Проинтегрируем теперь (5.6) по t. Заметим сначала, что

(5.11)

$\int\limits_0^t {\int\limits_0^s {R(s - \xi ){{g}_{i}}(\xi )d\xi ds} } = \int\limits_0^t {\int\limits_s^t {R(s - \xi )ds{{g}_{i}}(\xi )d\xi } } \equiv \int\limits_0^t {\bar {R}(t,\xi ){{g}_{i}}(\xi )d\xi } .$

Используя (5.10) и (5.11), имеем

(5.12)

$\begin{gathered} {{g}_{i}}(t) + k\int\limits_0^t {{{g}_{i}}(s)ds} + \int\limits_0^t {\left( {\exp (ks){{{(1 + \varepsilon {{{\left| {g(s)} \right|}}^{2}})}}^{{ - 1}}}\sum\limits_{k,r = 1}^n {{{d}_{{kri}}}{{g}_{k}}(s){{g}_{r}}(s)} } \right)ds} + \\ + \;{{\mu }_{0}}{{\lambda }_{i}}\int\limits_0^t {{{g}_{i}}(s)ds} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {\bar {R}(t,s){{\lambda }_{i}}{{g}_{i}}(s)ds} = {{g}_{i}}(0) + \int\limits_0^t {{{f}_{i}}(s)ds} ,\quad t \in [0,T],\quad {{g}_{i}}(0) = {v}_{i}^{0}. \\ \end{gathered} $

Система (5.12) является системой вида

(5.13)

${{g}_{i}}(t) + k\int\limits_0^t {{{g}_{i}}(s)ds} + \int\limits_0^t {{{Z}_{1}}(s,g(s))ds} + \int\limits_0^t {{{Z}_{2}}(t,s)g(s)ds} = \hat {f}(t).$

Здесь

$\hat {f}(t) = {{\mathcal{P}}_{n}}{{{v}}^{0}} + \int\limits_0^t {{{\mathcal{P}}_{n}}f(s)ds} ,\quad {{Z}_{1}}(s,g) = ({{Z}_{{11}}}(s,g),{{Z}_{{12}}}(s,g)),$

${{Z}_{{1,i}}}(s,g) = \exp (ks){{(1 + \varepsilon {{\left| {g(s)} \right|}^{2}})}^{{ - 1}}}\sum\limits_{k,r = 1}^n {{{d}_{{kri}}}{{g}_{k}}(s){{g}_{r}}(s)} + {{\mu }_{0}}{{\lambda }_{i}},\quad i = 1,2,\quad {{Z}_{{2,i}}} = {{\mu }_{1}}{{\lambda }_{i}}\bar {R}(t,s).$

Ядро Z₁(s, g) непрерывно дифференцируемо по переменным s и g_i, а ядро Z₂(t, s) непрерывно дифференцируемо по t, s.

Из [26, гл. X, § 2] вытекает, что при достаточно большом k₀ и k > k₀ система (5.13) однозначно разрешима, при этом g(t) является дифференцируемой по t. Отсюда, из принадлежности e_k ∈ ∈ $D(A) \cap {{H}_{n}}$ при 1 ≤ k ≤ n и (5.5) следует, что H_n-значная функция ${v} \in W(0,T)$. Нетрудно показать, что ${v}$ удовлетворяет при п.в. t ∈ [0, T] уравнению и начальному условию (5.1).

Доказательство оценок теоремы 5.1 проводится так же, как и доказательство соответствующих оценок из теоремы 4.3.

Теорема 5.1 доказана.

5.2. Априорные оценки галеркинских приближений задачи (3.8)

Пусть ${\bar {v}}$ является решением задачи (5.1) с правой частью $\bar {f} = \exp ( - kt)f$. Нетрудно видеть, что тогда функция ${v} = \exp (kt){\bar {v}}$ является решением задачи

(5.14)

${v}{\kern 1pt} {\text{'}} + {{\mathcal{P}}_{n}}{{K}_{\varepsilon }}({v}) + {{\mu }_{0}}{{A}_{n}}{v} + {{\mu }_{1}}\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}{{A}_{n}}{v}(s, \cdot )ds} = {{\mathcal{P}}_{n}}f,\quad t \in [0,T],\quad {v}(0) = {{\mathcal{P}}_{n}}{{{v}}^{0}}.$

Задача (5.14) определяет галеркинские приближения задачи (3.8).

В силу (4.40) из теоремы 5.1 вытекает

Теорема 5.2. Пусть f ∈ L₂(0, T; H), ${{{v}}^{0}}$ ∈ V и N = 2. Тогда существует сильное решение задачи (5.14) и справедливы оценки

(5.15)

(5.16)

$\mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left| {{v}(t)} \right|}_{1}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{0,2}}} \leqslant {{\Phi }_{3}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right),$

(5.17)

${{\left\| {{v}{\kern 1pt} '} \right\|}_{0}} \leqslant {{\Phi }_{3}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Здесь Φ₃(t, s) – некоторая положительная возрастающая по t ≥ 0 и s ≥ 0 функция.

6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.3

6.1. Аппроксимирующие задачи

Пусть ε > 0. Обозначим через ${{{v}}^{n}}$ решение задачи (5.14). Тогда,

(6.1)

$({{{v}}^{n}}){\kern 1pt} {\text{'}} + {{\mathcal{P}}_{n}}{{K}_{\varepsilon }}({{{v}}^{n}}) + {{\mu }_{0}}{{A}_{n}}{{{v}}^{n}} + {{\mu }_{1}}\operatorname{Div} \int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}{{A}_{n}}{{{v}}^{n}}(s,x)ds} = {{\mathcal{P}}_{n}}f,\quad t \in [0,T],\quad {v}(0) = {{\mathcal{P}}_{n}}{{{v}}^{0}}.$

Задача (6.1) определяет галеркинское приближение ${{{v}}^{n}}$ задачи (3.8). В силу теоремы 5.2 задача (6.1) имеет сильное решение ${{{v}}^{n}}$ при фиксированном n, и справедливы неравенства

(6.2)

$\mathop {\sup }\limits_t {{\left| {{{{v}}^{n}}(t, \cdot )} \right|}_{0}} + {{\left\| {{{{v}}^{n}}} \right\|}_{{0,1}}} \leqslant {{M}_{0}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{0, - 1}}} + {{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{0}}} \right),$

(6.3)

$\mathop {\sup }\limits_t {{\left| {{{{v}}^{n}}(t, \cdot )} \right|}_{1}} + {{\left\| {{{{v}}^{n}}} \right\|}_{{0,2}}} \leqslant {{\Phi }_{4}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right),$

(6.4)

${{\left\| {({{{v}}^{n}}){\kern 1pt} '} \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,T;H)}}} \leqslant {{M}_{1}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right) \leqslant {{\Phi }_{4}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

6.2. Предельный переход

Так как, очевидно, сильное решение является слабым, то из определения слабого решения задачи (6.1) следует, что функция ${{{v}}^{n}}$ удовлетворяет тождеству

(6.5)

$\begin{gathered} d({{{v}}^{n}},\varphi ){\text{/}}dt - \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {{v}_{i}^{n}{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {{{{v}}^{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right) + {{\mu }_{0}}(\mathcal{E}({{{v}}^{n}}),\mathcal{E}(\varphi ))} + \\ + \;{{\mu }_{1}}\int\limits_0^T {\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s),\mathcal{E}(\varphi )} } \right)} = (f,\varphi ) \\ \end{gathered} $

для любой j ∈ H_n. Здесь учтено, что $({{\mathcal{P}}_{n}}f,\varphi ) = (f,\varphi )$ для $\varphi \in {{H}_{n}}$.

Зафиксируем n₀. Рассмотрим (6.1) при n > n₀ и φ ∈ ${{H}_{{{{n}_{0}}}}}$. Из оценок (6.2)–(6.4) следует, что последовательность ${{{v}}^{n}}$ ограничена в гильбертовых пространствах ${{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}})$ и $W_{2}^{1}(0,T;H)$ и поэтому слабо компактна. Будем считать, что ${{{v}}^{n}}$ слабо в ${{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}})$ и $W_{2}^{1}(0,T;H)$ сходится к некоторой ${v}$. Кроме того, ${{{v}}^{n}}$ *-слабо сходится к ${v}$ в ${{L}_{\infty }}(0,T;H)$) и сильно в L₂(Q_T)² (с точностью до подпоследовательности) (см. [27]).

Покажем, что ${v}$ является слабым решением задачи (3.8).

Интегрируя (6.5) по t, получаем

(6.6)

$\begin{gathered} ({{{v}}^{n}}(T),\varphi ) - \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_0^T {\left( {{v}_{i}^{n}{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {{{{v}}^{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{{{v}}^{n}},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)ds} + {{\mu }_{0}}\int\limits_0^T {(\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s),\mathcal{E}(\varphi ))ds} } + \\ + \;{{\mu }_{1}}\int\limits_0^T {\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s)ds,\mathcal{E}(\varphi )} } \right)dt} = \int\limits_0^T {(f,\varphi )ds + ({{{v}}^{0}},\varphi )} ,\quad \varphi \in {{H}_{{{{n}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $

Пусть

${{I}_{1}}(n) = ({{{v}}^{n}}(T),\varphi ),\quad {{I}_{2}}(n) = \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_0^T {\left( {{v}_{i}^{n}{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {{{{v}}^{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{{{v}}^{n}},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)} } {\kern 1pt} ds,$

${{I}_{3}}(n) = {{\mu }_{0}}\int\limits_0^T {(\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s),\mathcal{E}(\varphi ))ds} ,$

${{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s)ds,\mathcal{E}(\varphi )} } \right)dt} .$

Запишем тождество (6.6) в виде

(6.7)

${{I}_{1}}(n) - {{I}_{2}}(n) + {{\mu }_{0}}{{I}_{3}}(n) + {{\mu }_{1}}{{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {(f,\varphi )ds + ({{{v}}^{0}},\varphi )} $

и перейдем в (6.7) или, что то же в (6.6), к пределу при $n \to + \infty $.

Из оценки (6.2) вытекает ограниченность ${{{v}}^{n}}$ в L₂(0, T; V) и ограниченность значений ${{{v}}^{n}}$(T, x) в H непрерывных H-значных функций ${{{v}}^{n}}$(t, ⋅). Без ограничения общности будем считать, что ${{{v}}^{n}}$ слабо сходится к ${v}$ в L₂(0, T, V), а ${{{v}}^{n}}$(T, x) слабо сходится к ${v}(T,x)$ в H. Следовательно,

(6.8)

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{I}_{1}}(n) = ({v}(T),\varphi ),\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{I}_{3}}(n) = \int\limits_0^T {(\mathcal{E}({v})(s),\mathcal{E}(\varphi ))dt} .$

Слабая сходимость ${{{v}}^{n}}$ к ${v}$ в L₂(0, T; V) и сильная в L₂(0, T; H) позволяет утверждать (см. [28, с. 87]), что

(6.9)

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{I}_{2}}(n) = \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_0^T {\left( {{{{v}}_{i}}{{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {{{{v}}^{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)} } {\kern 1pt} ds.$

Рассмотрим I₄(n). Меняя порядок интегрирования в I₄(n), имеем

$\begin{gathered} {{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s)ds,\mathcal{E}(\varphi )} } \right)dydt} = \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega {\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s,y)} :\int\limits_s^T {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}(\varphi )(y)dt} dyds} = \\ = \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega {\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s,y)} :\psi (s,y)dyds} ,\quad \psi (s,y) = \int\limits_s^T {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}(\varphi )(y)dt} . \\ \end{gathered} $

Здесь A : B означает $\sum\nolimits_{i,j = 1}^2 {{{a}_{{ij}}}{{b}_{{ij}}}} $, где a_ij, b_ij суть коэффициенты 2 × 2-матриц A и B.

Таким образом,

(6.10)

${{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega {\mathcal{E}(({{{v}}^{n}})(s,y)} ):\psi (s,y)dyds} .$

В подынтегральном выражении члена I₄(n) первый сомножитель сходится слабо в L₂(Q_T)^2×2. Отсюда вытекает, что в (6.10) допустим предельный переход при $n \to + \infty $ и

(6.11)

${{I}_{4}}(n) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {\left( {\mathcal{E}({v})(s),\int\limits_s^T {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}(\varphi )ds} } \right)} {\kern 1pt} dt.$

Меняя порядок интегрирования в (6.11), получаем

(6.12)

${{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}(\mathcal{E}({v})(s),\mathcal{E}(\varphi ))ds} } {\kern 1pt} dt.$

Из установленной сходимости слагаемых I_i(n) вытекает справедливость соотношения

(6.13)

$\begin{gathered} ({v}(T),\varphi ) - \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_0^T {\left( {{{{v}}_{i}}(t){{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {{v}(t)} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v}(t),\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)dt} + {{\mu }_{0}}\int\limits_0^T {(\mathcal{E}({v})(t),\mathcal{E}(\varphi ))dt} } + \\ + \;{{\mu }_{1}}\int\limits_0^T {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}(\mathcal{E}({v})(s)),\mathcal{E}(\varphi )} dsdt} = \int\limits_0^T {(f(t),\varphi ){\kern 1pt} dt} \\ \end{gathered} $

при любой гладкой $\varphi \in {{V}_{{{{n}_{0}}}}}$.

Используя плотность множества гладких функций из $\bigcup\nolimits_{n = 1}^{ + \infty } {{{V}_{n}}} $ в V нетрудно показать, что (6.13) справедливо при любой φ ∈ V и любом t ∈ (0, T) вместо T.

Меняя в (6.13) T на t и дифференцируя по t при почти всех t, получаем, что ${v}$ удовлетворяет тождеству

(6.14)

$\begin{gathered} d({v}(t),\varphi ){\text{/}}dt - \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {{{{v}}_{i}}(t){{{\left( {1 + \varepsilon {{{\left| {{v}(t)} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{v}(t),\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right) + {{\mu }_{0}}(\mathcal{E}({v})(t),\mathcal{E}(\varphi ))} + \\ + \;{{\mu }_{1}}\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}(\mathcal{E}({v})(s))ds,\mathcal{E}(\varphi )} } \right) = (f(t),\varphi ). \\ \end{gathered} $

Таким образом, ${v}$ является слабым решением задачи (3.6), (3.7).

Покажем, что найденное ${v}$ ∈ W(0, T). Поскольку ${v}$ является слабым пределом последовательности ${{{v}}^{n}}$ в ${{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}})$ и $W_{2}^{1}(0,T;H)$, то (см. [29, с. 173, 179]) ${v} \in {{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}}) \cap W_{2}^{1}(0,T;H)$ и

(6.15)

${{\left\| {v} \right\|}_{{0,2}}} \leqslant {{\underline {\lim } }_{{n \to + \infty }}}{{\left\| {{{{v}}^{n}}} \right\|}_{{0,2}}},\quad {{\left\| {v} \right\|}_{{W_{2}^{1}(0,T;H)}}} \leqslant {{\underline {\lim } }_{{n \to + \infty }}}{{\left\| {{{{v}}^{n}}} \right\|}_{{W_{2}^{1}(0,T;H)}}}.$

Из (6.15) следует, что ${v} \in {{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}}) \cap W_{2}^{1}(0,T;H)$. Следовательно, $L({v}) = {v}{\kern 1pt} {\text{'}} + \Delta {v}$ принадлежит L₂(Q_T)². Из общих свойств решений параболических уравнений вытекает, что ${v} \in {{L}_{\infty }}(0,T;W_{2}^{1}{{(\Omega )}^{2}})$ (см. [30, гл. III, § 6]). Кроме того,

(6.16)

${{\left\| {v} \right\|}_{{{{L}_{\infty }}(0,T;W_{2}^{1}{{{(\Omega )}}^{2}})}}} \leqslant M\left( {{{{\left\| {L({v})} \right\|}}_{0}} + {{{\left| {{{{v}}_{0}}} \right|}}_{1}}} \right) \leqslant M\left( {{{{\left\| {v} \right\|}}_{{0,2}}} + {{{\left\| {v} \right\|}}_{{W_{2}^{1}(0,T;H)}}} + {{{\left| {{{{v}}_{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Из оценок (6.3), (6.4) и (6.15), (6.16) следует справедливость неравенства

(6.17)

${{\left\| {v} \right\|}_{{0,2}}} + {{\left\| {v} \right\|}_{{W_{2}^{1}(0,T;H)}}} + \mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left| {{v}(t, \cdot )} \right|}_{1}} \leqslant {{\Psi }_{3}}$

с некоторой величиной Ψ₃, зависящей от ${{\left\| f \right\|}_{0}}$ и ${{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}_{1}}$.

Таким образом, слабое решение ${v}$ принадлежит пространству W(0, T).

Из теоремы 4.1 вытекает, что ${v}$ является сильным решением задачи (3.6), (3.7), или, что то же, задачи (3.8).

Теорема 3.3 доказана.

7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.2

7.1. Регуляризованные задачи

Установим сильную разрешимость задачи (3.5). Построим последовательность регуляризованных задач (1.4), (1.5). Рассмотрим последовательность задачи (3.6), (3.7) при ε = 1/n, зависящих от n = 1, 2, … :

(7.1)

$\partial {{{v}}^{n}}{\text{/}}\partial t + {{K}_{{1/n}}}({v}) - {{\mu }_{0}}\Delta {{{v}}^{n}} + \nabla {{p}^{n}} - {{\mu }_{1}}\operatorname{Div} \int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{\alpha - 1}}}\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s,x)ds} = f;$

(7.2)

$\operatorname{div} {{{v}}^{n}} = 0;$

(7.3)

${{{v}}^{n}}(0,x) = {{{v}}^{0}}(x),\quad x \in \Omega ;\quad {{\left. {{{{v}}^{n}}} \right|}_{{[0,T] \times \partial \Omega }}} = 0.$

В силу теоремы 3.3 задача (7.1)–(7.3) имеет сильное решение ${{{v}}^{n}}$ при фиксированном n и справедливы неравенства

(7.4)

$\mathop {\sup }\limits_t {{\left| {{{{v}}^{n}}(t, \cdot )} \right|}_{1}} + {{\left\| {{{{v}}^{n}}} \right\|}_{{0,2}}} \leqslant \Phi \left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right),$

(7.5)

${{\left\| {({{{v}}^{n}}){\kern 1pt} '{\kern 1pt} } \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,T;H)}}} \leqslant {{M}_{1}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right) \leqslant \Phi \left( {{{{\left\| f \right\|}}_{0}},{{{\left| {{{{v}}^{0}}} \right|}}_{1}}} \right).$

Здесь Φ(t, s) – некоторая положительная возрастающая по t ≥ 0 и s ≥ 0 функция.

Из оценок (7.4) и (7.5) следует, что последовательность ${{{v}}^{n}}$ ограничена в гильбертовых пространствах ${{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}})$ и $W_{2}^{1}(0,T;H)$ и поэтому слабо компактна. Будем считать, что ${{{v}}^{n}}$ слабо в ${{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}})$ и $W_{2}^{1}(0,T;H)$. Кроме того, ${{{v}}^{n}}$ *-слабо сходится к ${v}$ в ${{L}_{\infty }}(0,T;W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{2}})$ и сильно в L₂(Q_T)² (с точностью до подпоследовательности (см. [27]).

Покажем, что ${v}$ является слабым решением задачи (3.5).

7.2. Предельный переход

Так как, очевидно, сильное решение является слабым, то из определения слабого решения задачи (7.1)–(7.3) следует, что функция ${{{v}}^{n}}$ удовлетворяет тождеству

(7.6)

$\begin{gathered} d({{{v}}^{n}},\varphi ){\text{/}}dt - \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {{v}_{i}^{n}{{{\left( {1 + {{n}^{{ - 1}}}{{{\left| {{{{v}}^{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{{{v}}^{n}},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right) + {{\mu }_{0}}(\mathcal{E}({{{v}}^{n}}),\mathcal{E}(\varphi ))} + \\ + \;{{\mu }_{1}}\left( {\int\limits_0^T {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s))ds,\mathcal{E}(\varphi )} } } \right) = (f,\varphi ) \\ \end{gathered} $

при любой φ ∈ V и п.в. t ∈ [0, T] и начальному условию (7.3).

Интегрируя (7.6) по t, получаем

(7.7)

$\begin{gathered} ({{{v}}^{n}}(T),\varphi ) - \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_0^T {\left( {{v}_{i}^{n}{{{\left( {1 + {{n}^{{ - 1}}}{{{\left| {{{{v}}^{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{{{v}}^{n}},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)ds} + {{\mu }_{0}}\int\limits_0^T {(\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s),\mathcal{E}(\varphi ))ds} } + \\ + \;{{\mu }_{1}}\int\limits_0^T {\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s)ds,\mathcal{E}(\varphi )} } \right)dt} = \int\limits_0^T {(f,\varphi )ds + ({{{v}}^{0}},\varphi )} ,\quad \varphi \in V. \\ \end{gathered} $

Пусть

${{I}_{1}}(n) = ({{{v}}^{n}}(T),\varphi ),\quad {{I}_{2}}(n) = \sum\limits_{i = 1}^2 {\int\limits_0^T {\left( {{v}_{i}^{n}{{{\left( {1 + {{n}^{{ - 1}}}{{{\left| {{{{v}}^{n}}} \right|}}^{2}}} \right)}}^{{ - 1}}}{{{v}}^{n}},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)} } {\kern 1pt} ds,$

${{I}_{3}}(n) = {{\mu }_{0}}\int\limits_0^T {(\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s),\mathcal{E}(\varphi ))ds} ,$

${{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {\left( {\int\limits_0^t {{{{(t - s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({{{v}}^{n}})(s)ds,\mathcal{E}(\varphi )} } \right)dt} .$

Запишем тождество (7.7) в виде

(7.8)

${{I}_{1}}(n) - {{I}_{2}}(n) + {{\mu }_{0}}{{I}_{3}}(n) + {{\mu }_{1}}{{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {(f,\varphi )ds + ({{{v}}^{0}},\varphi )} $

и перейдем в (7.8) или, что то же, в (7.7), к пределу при $n \to + \infty $.

Из оценки (7.4) вытекает ограниченность ${{{v}}^{n}}$ в L₂(0, T; V) и ограниченность значений ${{{v}}^{n}}$(T) в H непрерывных H-значных функций ${{{v}}^{n}}$(t). Без ограничения общности будем считать, что ${{{v}}^{n}}$ слабо сходится к ${v}$ в L₂(0, T; V), а ${{{v}}^{n}}$(T, x) слабо сходится к ${v}$(T, x) в H. Далее, доказательство соотношений

(7.9)

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{I}_{1}}(n) = ({v}(T),\varphi ),\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{I}_{3}}(n) = \int\limits_0^T {(\mathcal{E}({v})(s),\mathcal{E}(\varphi ))dt} ,$

(7.10)

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{I}_{2}}(n) = \sum\limits_{i = 1}^N {\int\limits_0^T {\left( {{{{v}}_{i}}{v},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)} } {\kern 1pt} ds,$

(7.11)

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{I}_{4}}(n) = \int\limits_0^T {\left( {\int\limits_0^t {\mathcal{E}({v})(s),\mathcal{E}(\varphi )} } \right)} {\kern 1pt} dsdt$

проводится по той же схеме, что и доказательство соотношений (6.8), (6.9) и (6.12). Из установленной сходимости слагаемых I_i(n) вытекает справедливость

(7.12)

$({v}(T),\varphi )\, - \,\int\limits_0^T {\left( {{{{v}}_{i}}{v},\partial \varphi {\text{/}}\partial {{x}_{i}}} \right)dt} \, + \,{{\mu }_{0}}\int\limits_0^T {(\mathcal{E}({v})(t),\mathcal{E}(\varphi ))dt} \, + \,{{\mu }_{1}}\int\limits_0^T {\left( {\int\limits_0^t {{{{(t\, - \,s)}}^{{ - \alpha }}}\mathcal{E}({v})(s)} } \right)ds,\mathcal{E}(\varphi )dt} \,\, = \,\int\limits_0^T {(f(t),\varphi ){\kern 1pt} dt} $

при любой гладкой φ.

Используя плотность множества гладких функций в V, нетрудно показать, что (7.12) справедливо при любой φ ∈ V и любом t ∈ (0, T) вместо T.

Меняя в (7.12) T на t и дифференцируя по t при почти всех t, получаем, что ${v}$ удовлетворяет (3.1), т.е. ${v}$ является слабым решением задачи (1.4), (1.5).

Для завершения доказательства теоремы 3.2 осталось показать, что найденное v ∈ W(0, T).

Доказательство этого факта проводится по той же схеме, что и приведенное в конце доказательства теоремы 3.3 доказательство того, что слабое решение задачи (1.4), (1.5) принадлежит ${v}$ ∈ W(0, T).

Из теоремы 4.1 для ε = 0 тогда вытекает, что ${v}$ является сильным решением задачи (3.5), или, что то же, задачи (1.4), (1.5).

Далее, очевидно, что всякое сильное решение задачи (3.5) является слабым решением задачи (1.4), (1.5).

Единственность сильного решения вытекает из единственности слабого.

Теорема 3.2 доказана.

Список литературы

Дьярмати И. Неравновесная гидродинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Изд-во иностр. лит., 1974.
Огородников Е.Н., Радченко В.П., Яшагин Н.С. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2011. Т. 22. № 1. С. 255–268.
Mairandi F., Spada G. Creep, Relaxation and Viscosity Properties fir Basic Fractional Models in Rheology // The European Physical Journal. Special Topics. 2011. V. 193. P. 133–160.
Звягин В.Г. О разрешимости некоторых начально-краевых задач для математических моделей движения нелинейно-вязких и вязкоупругих жидкостей // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. С. 57–69.
Звягин В.Г., Турбин М.В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред. М.: Крассанд, 2012.
Zvyagin V.G., Orlov V.P. Some mathematical models in thermomechanics of continua // J. of Fixed Point Theory and Appl. 2014. V. 15. № 1. P. 3–47.
Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техн., 1987.
Орлов В.П., Роде Д.А., Плиев М.А. О слабой разрешимости обобщенной модели вязкоупругости Фойгта // Сиб. матем. журнал. 2017. Т. 5. № 5. С. 1110–1127.
Звягин В.Г., Орлов В.П. О разрешимости начально-краевой задачи для одной модели вязкоупругости с дробными производными // Сиб. матем. журнал. 2018. Т. 59. № 6. С. 1351–1369.
Zvyagin V., Orlov V. Weak solvability of fractional Voigt model of viscoelasticity // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A. 2018. V. 38. № 12. P. 6327–6350.
Zvyagin V., Orlov V. On one problem of viscoelastic fluid dynamics with memory on an infinite time interval // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B. 2018. V. 23. № 9. P. 3855–3877.
Звягин В.Г., Орлов В.П. О слабой разрешимости одной дробной модели вязкоупругости // Докл. АН. 2018. Т. 483. № 2. С. 136–139.
Звягин В.Г., Орлов В.П. О слабой раз решимости дробной модели вязкоупругости Фойгта // Докл. АН. 2017. Т. 476. № 5. С. 492–494.
Seregin G. Lecture notes on regularity theory for the Navier–Stokes equations. Singapore: World scientific, 2015.
Robinson J.C., Rodrigo J.L., Sadowski W. The three-dimensional Navier–Stokes equations. Cambridge: University Press, 2016.
Орлов В.П., Соболевский П.Е. О гладкости обобщенных решений уравнений движения почти ньютоновских жидкостей // Числ. методы механ. сплошной среды. 1985. Т. 16. № 1. С. 107–119.
Orlov V.P., Sobolevskii P.E. On mathematical modes of a viscoelasticity with a memory // Diff. Integral Equations. 1991. V. 4. № 1. P. 103–115.
Орлов В.П. О сильных решениях регуляризованной модели нелинейно-вязкоупругой среды // Матем. заметки. 2008. Т. 84. № 2. С. 238–253.
Орлов В.П., Паршин М.И. Об одной задаче динамики термовязкоупругой среды с памятью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 4. С. 653–668.
Звягин В.Г., Орлов В.П. Об одной модели термовязкоупругости Джеффриса–Олдройда // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 10. С. 131–141.
Звягин А.В., Звягин В.Г., Поляков Д.М. О диссипативной разрешимости альфа-модели движения жидкости с памятью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 7. С. 1243–1257.
Дмитриенко В.Т., Звягин В.Г. О сильных решениях начально-краевой задачи для регуляризованной модели несжимаемой вязкоупругой среды // Изв. вузов. Матем. 2004. № 9. С. 24–40.
Звягин В.Г., Воротников Д.А. Обзор результатов и открытых проблем по математическим моделям движения вязкоупругих сред типа Джеффриса // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2009. № 2. С. 30–50.
Темам Р. Уравнение Навье–Стокса. М.: Мир, 1981.
Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.
Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик А.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости // Дифференц. ур-ния. 2002. Т. 38. № 12. С. 1633–1645.
Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье–Стокса. М.: Едиториал УРСС, 2004.
Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал