Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 7, стр. 1193-1200

Асимптотика полиномов Лежандра по индексу в окрестности x = 1. Обобщение формулы Мелера–Рэлея

Л. А. Бакалейников^1, *, Э. А. Тропп¹

¹ ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН
194021 Санкт-Петербург, Политехническая ул., 26, Россия

Поступила в редакцию 18.10.2019
После доработки 18.10.2019
Принята к публикации 10.03.2020

DOI: 10.31857/S0044466920070029

Аннотация

Получена асимптотика полиномов Лежандра ${{P}_{n}}\left( x \right)$ по обратным степеням индекса $n$ в окрестности $x = 1.$ Показано, что коэффициент асимптотического разложения при ${{n}^{{ - k}}}$ представляет собой линейную комбинацию членов вида ${{\rho }^{p}}{{J}_{p}}\left( \rho \right)$, $0 \leqslant p \leqslant k$. Продемонстрировано совпадение первых членов полученного разложения с известным разложением полиномов Лежандра вне окрестностей концов интервала $ - 1 \leqslant x \leqslant 1$ в промежуточном пределе. Полученный результат позволяет записать равномерное разложение полиномов Лежандра по индексу во всем промежутке $\left[ { - 1,1} \right]$. Библ. 8.

Ключевые слова: полиномы Лежандра, равномерная асимптотика, формула Мелера–Рэлея.

ВВЕДЕНИЕ

Полиномы Лежандра ${{P}_{n}}\left( x \right)$ представляют собой важный класс ортогональных систем функций, часто используемый в приложениях. Поведение этих полиномов при $n \to \infty $представляет значительный интерес. Асимптотическое разложение полиномов Лежандра при больших значениях индекса приведено в монографии Гобсона (см. [1]), первый член разложения дан в книге Н.Н. Лебедева [2]. Однако эти разложения не являются равномерно пригодными на интервале $ - 1 \leqslant x \leqslant 1$. Они справедливы лишь вне окрестностей концов этого интервала, т.е. при $ - 1 + \varepsilon \leqslant x \leqslant 1 - \varepsilon $, где $\varepsilon > 0$ – произвольное малое число. Равномерное разложение функций Лежандра $P_{n}^{{ - m}}\left( z \right)$, $Q_{n}^{{ - m}}\left( z \right)$ при $\alpha = m{\text{/}}\left( {n + 1{\text{/}}2} \right) = {\text{const}}$, $m \to \infty $, $n \to \infty $получено в [3], однако эти результаты справедливы лишь при $0 < m < n$. Поведение полинома Лежандра в окрестности края промежутка ортогональности было рассмотрено Мелером в [4], и позднее, независимо от него, Рэлеем в [5]. Они показали, что

$\lim {{P}_{n}}\left( {\cos \frac{\rho }{n}} \right) = {{J}_{0}}\left( \rho \right),\quad n \to \infty ,$

где ${{J}_{0}}$ – функция Бесселя порядка 0. В [6] отмечено, что полученная Мелером–Рэлеем формула следует из связи между группой движений плоскости $ISO(2)$ и группой вращений сферы $SO(3)$. Поскольку плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса, то группу $ISO(2)$можно рассматривать как предел группы $SO(3)$, и функции Бесселя, являющиеся матричными элементами представлений группы $ISO(2)$, должны возникать в результате предельного перехода из матричных элементов $P_{{m,n}}^{l}\left( {\cos \theta } \right)$ представлений группы $SO(3)$:

$\lim P_{{m,n}}^{l}\left( {\cos \frac{r}{l}} \right) = {{i}^{{m - n}}}{{J}_{{m - n}}}\left( r \right),\quad l \to \infty .$

Частным случаем этого равенства при $m = n = 0$ и является формула Мелера–Рэлея.

Исследование поведения ортогональных полиномов вблизи края промежутка ортогональности было предпринято в ряде последующих работ. Так, в [7] результат Мелера–Рэлея был распространен на полиномы Якоби и там же было показано, что похожие асимптотические формулы справедливы для полиномов Лагерра вблизи нуля. В работе [8] формулы похожего типа были получены для полиномов совместной ортогональности. Тем не менее дальнейшие члены асимптотики полиномов Лежандра вблизи края, насколько нам известно, в литературе не приводятся.

В настоящей работе получены следующие члены асимптотики полиномов Лежандра в окрестности $x = 1$, т.е. внутреннее разложение. Показано, что в промежуточном пределе первые два члена асимптотики внутреннего и внешнего разложений совпадают. Найденный результат позволяет записать равномерное разложение ${{P}_{n}}\left( x \right)$ во всем промежутке $ - 1 \leqslant x \leqslant 1$.

1. ПЕРВЫЕ ЧЛЕНЫ ВНУТРЕННЕГО РАЗЛОЖЕНИЯ

Первые члены асимптотического разложения полиномов Лежандра в окрестности $x = 1$ при больших значениях индекса $n$ можно получить с помощью интегрального представления (см., например, [2])

${{P}_{n}}\left( {\cos \theta } \right) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {{{{\left( {\cos \theta + i\sin \theta \cos \varphi } \right)}}^{n}}d\varphi } .$

Для этого представим ${{\left( {\cos \theta + i\sin \theta \cos \varphi } \right)}^{n}}$ в виде

${{\left( {\cos \theta + i\sin \theta \cos \varphi } \right)}^{n}} = \exp \left( {n \cdot \ln \left( {\cos \theta + i\sin \theta \cos \varphi } \right)} \right),$

положим $\theta = \rho {\text{/}}n$, и заменим $\cos \left( {\rho {\text{/}}n} \right)$, $\sin \left( {\rho {\text{/}}n} \right)$ их разложениями. В результате достаточно громоздких выкладок получим

$\begin{gathered} {{\left( {\cos \theta + i\sin \theta \cos \varphi } \right)}^{n}} = \exp \left( {i\rho \cos \varphi } \right)\exp \left[ {\frac{1}{n}( - 1 + {{{\cos }}^{2}}\varphi )\frac{{{{\rho }^{2}}}}{2} + \frac{1}{{{{n}^{2}}}}\frac{1}{3}i{{\rho }^{3}}\cos \varphi (1 - {{{\cos }}^{2}}\varphi ) + } \right. \\ \, + \left. {\frac{1}{{{{n}^{3}}}}\frac{{{{\rho }^{4}}}}{{12}}( - 1 + 4{{{\cos }}^{2}}\varphi - 3{{{\cos }}^{4}}\varphi ) + O({{n}^{{ - 4}}})} \right]. \\ \end{gathered} $

Раскладывая в ряд второй сомножитель, получаем

${{\left( {\cos \theta + i\sin \theta \cos \varphi } \right)}^{n}} = \exp \left( {i\rho \cos \varphi } \right)\left( {{{w}_{0}}\left( {\rho ,\varphi } \right) + {{n}^{{ - 1}}}{{w}_{1}}\left( {\rho ,\varphi } \right) + {{n}^{{ - 2}}}{{w}_{2}}\left( {\rho ,\varphi } \right) + {{n}^{{ - 3}}}{{w}_{3}}\left( {\rho ,\varphi } \right) + O({{n}^{{ - 4}}})} \right),$

где

${{w}_{0}}\left( {\rho ,\varphi } \right) = 1,\quad {{w}_{1}}\left( {\rho ,\varphi } \right) = \frac{{{{\rho }^{2}}}}{2}( - 1 + {{\cos }^{2}}\varphi ),\quad {{w}_{2}}\left( {\rho ,\varphi } \right) = \frac{{i{{\rho }^{3}}}}{3}\cos \varphi (1 - {{\cos }^{2}}\varphi ) + \frac{{{{\rho }^{4}}}}{8}{{( - 1 + {{\cos }^{2}}\varphi )}^{2}},$

${{w}_{3}}\left( {\rho ,\varphi } \right) = - \frac{{{{\rho }^{4}}}}{{12}}{{\sin }^{2}}\varphi + \frac{{{{\rho }^{4}}}}{4}{{\cos }^{2}}\varphi {{\sin }^{2}}\varphi - \frac{{i{{\rho }^{5}}}}{6}\cos \varphi {{\sin }^{4}}\varphi - \frac{{{{\rho }^{6}}}}{{48}}{{\sin }^{6}}\varphi .$

Это дает

${{P}_{n}}\left( {\cos \theta } \right) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {{{{\left( {\cos \theta + i\sin \theta \cos \varphi } \right)}}^{n}}d\varphi } = \sum\limits_{k = 0}^3 {{{n}^{{ - k}}}{{u}_{k}}\left( \rho \right)} + O({{n}^{{ - 4}}}),$

${{u}_{k}}\left( \rho \right) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {\exp \left( {i\rho \cos \varphi } \right){{w}_{k}}\left( {\rho ,\varphi } \right)d\varphi } .$

Пользуясь интегральным представлением для функции Бесселя

(1.1)

${{J}_{\nu }}\left( z \right) = \frac{{{{{\left( {z{\text{/}}2} \right)}}^{\nu }}}}{{\Gamma \left( {1{\text{/}}2} \right)\Gamma \left( {\nu + 1{\text{/}}2} \right)}}\int\limits_0^\pi {{{{\sin }}^{{2\nu }}}\varphi \cos \left( {z\cos \varphi } \right)d\varphi ,} $

находим

(1.2)

${{u}_{0}}\left( \rho \right) = {{J}_{0}}\left( \rho \right),$

(1.3)

${{u}_{1}}\left( \rho \right) = - \frac{1}{2}\rho {{J}_{1}}\left( \rho \right).$

Коэффициент ${{u}_{2}}\left( \rho \right)$ можно представить в виде

(1.4)

$\begin{gathered} {{u}_{2}}\left( \rho \right) = \frac{{{{\rho }^{3}}}}{3}\frac{d}{{d\rho }}\frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {\exp \left( {i\rho \cos \varphi } \right){{{\sin }}^{2}}\varphi d} \varphi + \frac{{{{\rho }^{4}}}}{{8\pi }}\int\limits_0^\pi {\exp \left( {i\rho \cos \varphi } \right){{{\sin }}^{4}}\varphi d\varphi } = \\ \, = \frac{{{{\rho }^{3}}}}{3}\frac{d}{{d\rho }}\left( {\frac{1}{\rho }{{J}_{1}}\left( \rho \right)} \right) + \frac{{3{{\rho }^{2}}}}{8}{{J}_{2}}\left( \rho \right) = \frac{{{{\rho }^{2}}}}{3}\left( { - \frac{1}{\rho }{{J}_{1}}\left( \rho \right) + J_{1}^{'}\left( \rho \right)} \right) + \frac{{3{{\rho }^{2}}}}{8}{{J}_{2}}\left( \rho \right) = \frac{1}{{24}}{{\rho }^{2}}{{J}_{2}}\left( \rho \right). \\ \end{gathered} $

Здесь использовано свойство

$ - \frac{1}{\rho }{{J}_{1}}\left( \rho \right) + J_{1}^{'}\left( \rho \right) = - {{J}_{2}}\left( \rho \right),$

следующее из рекуррентных соотношений для функций Бесселя. Наконец, для ${{u}_{3}}\left( \rho \right)$ с учетом (1.1) найдем

${{u}_{3}}\left( \rho \right) = - \frac{{{{\rho }^{3}}}}{{12}}{{J}_{1}}\left( \rho \right) - \frac{{{{\rho }^{4}}}}{4}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{\rho }^{2}}}}\left( {\frac{1}{\rho }{{J}_{1}}\left( \rho \right)} \right) - \frac{{{{\rho }^{5}}}}{6}\frac{d}{{d\rho }}\frac{3}{{{{\rho }^{2}}}}{{J}_{2}}\left( \rho \right) - \frac{{{{\rho }^{6}}}}{{48}}\frac{{15}}{{{{\rho }^{3}}}}{{J}_{3}}\left( \rho \right).$

Выполняя дифференцирование и пользуясь свойствами функций Бесселя, можно показать, что

(1.5)

${{u}_{3}}\left( \rho \right) = - \frac{1}{{12}}{{\rho }^{2}}{{J}_{2}}\left( \rho \right) + \frac{1}{{48}}{{\rho }^{3}}{{J}_{3}}\left( \rho \right).$

Таким образом, формулы (1.2)–(1.5) дают явные выражения для первых коэффициентов разложения полиномов Лежандра по обратным степеням индекса $n$ в окрестности $x = 1$. Видно, что коэффициент ${{u}_{0}}\left( \rho \right)$ совпадает с найденным ранее в работах [4], [5].

2. ОБЩИЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ ВНУТРЕННЕГО РАЗЛОЖЕНИЯ

Для исследования общего вида коэффициентов асимптотического разложения воспользуемся уравнением для полиномов Лежандра, которое имеет вид

$\frac{d}{{d\theta }}\sin \theta \frac{{du}}{{d\theta }} + n\left( {n + 1} \right)\sin \theta \cdot u = 0.$

Перейдем в этом уравнении к переменной $\rho = n\theta $ и представим решение в виде ряда по обратным степеням индекса $n$

(2.1)

$u\left( \rho \right) = {{P}_{n}}\left( {\cos \left( {{\rho \mathord{\left/ {\vphantom {\rho n}} \right. \kern-0em} n}} \right)} \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {{{u}_{p}}\left( \rho \right){{n}^{{ - p}}}} .$

Раскладывая $\sin \theta = \sin \frac{\rho }{n}$ в ряд, получаем

(2.2)

$\frac{d}{{d\rho }}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{k}}}}{{\left( {2k + 1} \right)!}}\frac{{{{\rho }^{{2k + 1}}}}}{{{{n}^{{2k + 1}}}}}} \frac{{d\sum\limits_{p = 0}^\infty {{{u}_{p}}\left( \rho \right){{n}^{{ - p}}}} }}{{d\rho }} + \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{k}}}}{{\left( {2k + 1} \right)!}}\frac{{{{\rho }^{{2k + 1}}}}}{{{{n}^{{2k + 1}}}}}} \,\sum\limits_{p = 0}^\infty {{{u}_{p}}\left( \rho \right){{n}^{{ - p}}}} = 0.$

Из (2.2) видно, что коэффициенты разложения ${{u}_{k}}\left( \rho \right)$ удовлетворяют цепочке уравнений

(2.3)

$\begin{gathered} \frac{d}{{d\rho }}\rho \frac{{d{{u}_{k}}}}{{d\rho }} + \rho {{u}_{k}} = {{F}_{k}}\left( \rho \right), \\ {{F}_{k}}\left( \rho \right) = - \sum\limits_{i = 1}^{\left[ {k/2} \right]} {\frac{d}{{d\rho }}{{\rho }^{{2i + 1}}}\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}} \frac{{d{{u}_{{k - 2i}}}}}{{d\rho }} - \sum\limits_{i = 1}^{\left[ {k/2} \right]} {\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}{{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{k - 2i}}}} - \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\left( {k - 1} \right)/2} \right]} {\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}{{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{k - 1 - 2i}}}} . \\ \end{gathered} $

Граничные условия для ${{u}_{k}}\left( \rho \right)$ находятся из условий

$u\left( 0 \right) = {{\left. {{{P}_{n}}\left( {\cos \frac{\rho }{n}} \right)} \right|}_{{\rho = 0}}} = 1,\quad u{\text{'}}\left( 0 \right) = {{\left. { - \frac{1}{n}P_{n}^{'}\left( {\cos \frac{\rho }{n}} \right)\sin \frac{\rho }{n}{\kern 1pt} } \right|}_{{\rho = 0}}} = 0$

и имеют вид

(2.4)

${{u}_{k}}\left( 0 \right) = {{\delta }_{{k,0}}},\quad u_{k}^{'}\left( 0 \right) = 0.$

Легко проверить, что найденные выражения (1.2)–(1.4) удовлетворяют уравнениям (2.3) с граничными условиями (2.4) для $k = 0,1,2,3$. Полученные результаты позволяют утверждать, что коэффициенты ${{u}_{k}}\left( \rho \right)$, $k = 1,2,3$, представляют собой линейные комбинации произведений ${{\rho }^{l}}{{J}_{l}}\left( \rho \right)$, т.е.

(2.5)

${{u}_{k}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{l = 1}^k {{{S}_{{k,l}}}} {{\rho }^{l}}{{J}_{l}}\left( \rho \right).$

Предположим, что этот факт верен для всех ${{u}_{k}}\left( \rho \right)$, $k \leqslant r - 1$, и докажем, что представление (2.5) справедливо и для $k = r$.

Как видно из (2.3), правая часть является функцией ${{u}_{j}}\left( \rho \right)$, $j < r$. Покажем, что ${{F}_{r}}\left( \rho \right)$ представляет собой линейную комбинацию членов вида ${{\rho }^{{p + 1}}}{{J}_{p}}\left( \rho \right)$, $p \leqslant r - 1$.

Вычислим правую часть (2.3), используя предположение (2.5). Прежде всего легко показать, что

(2.6)

$\begin{gathered} \left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}{{{u'}}_{{r - 2i}}}\left( \rho \right)} \right){\text{'}} = \sum\limits_{l = 2}^{r - 2i} {{{S}_{{r - 2i,l}}}} \text{[}\left( {2i + 2} \right){{\rho }^{{2i + 1}}}{{\rho }^{{l - 1}}}{{J}_{{l - 1}}}\left( \rho \right) + {{\rho }^{{2i + 2}}}{{\rho }^{{l - 1}}}{{J}_{{l - 2}}}\left( \rho \right)] + \\ \, + {{S}_{{r - 2i,1}}}[\left( {2i + 2} \right){{\rho }^{{2i + 1}}}{{J}_{0}}\left( \rho \right) - {{\rho }^{{2i + 2}}}{{J}_{1}}\left( \rho \right)], \\ \end{gathered} $

т.е. $\left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}}$ содержат члены вида ${{\rho }^{{2i + 1}}}{{\rho }^{p}}{{J}_{p}}\left( \rho \right)$. В свою очередь ${{\rho }^{{2i + 1}}}{{\rho }^{p}}{{J}_{p}}\left( \rho \right)$ могут быть представлены в виде линейной комбинации

(2.7)

${{\rho }^{{2i + 1}}}{{\rho }^{p}}{{J}_{p}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{j = i}^{2i} {A_{{p,i}}^{j}} {{\rho }^{{p + j + 1}}}{{J}_{{p + j}}}\left( \rho \right).$

Докажем это по индукции. Для $i = 0$ это очевидно, при этом $A_{{p,0}}^{0} = 1$. Пусть равенство (2.7) верно для $i = m$. Покажем, что оно будет верно и для $i = m + 1$. Действительно,

$\begin{gathered} {{\rho }^{{2m + 3}}}{{\rho }^{p}}{{J}_{p}}\left( \rho \right) = {{\rho }^{2}}{{\rho }^{{2m + 1}}}{{\rho }^{p}}{{J}_{p}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{j = m}^{2m} {A_{{p,m}}^{j}} {{\rho }^{{p + j + 3}}}{{J}_{{p + j}}}\left( \rho \right) = \\ = \sum\limits_{j = m}^{2m} {2\left( {p + j + 1} \right)A_{{p,m}}^{j}} {{\rho }^{{p + j + 2}}}{{J}_{{p + j + 1}}}\left( \rho \right) - \sum\limits_{j = m}^{2m} {A_{{p,m}}^{j}} {{\rho }^{{p + j + 3}}}{{J}_{{p + j + 2}}}\left( \rho \right). \\ \end{gathered} $

Здесь использовано равенство

${{J}_{{p + j}}}\left( \rho \right) = {{\rho }^{{ - 1}}}2\left( {p + j + 1} \right){{J}_{{p + j + 1}}}\left( \rho \right) - {{J}_{{p + j + 2}}}\left( \rho \right).$

Меняя индексы суммирования в полученных суммах, получаем

(2.8)

$\begin{gathered} {{\rho }^{{2m + 3}}}{{\rho }^{p}}{{J}_{p}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{j{\text{'}} = m + 1}^{2m + 1} {2\left( {p + j{\text{'}}} \right)A_{{p,m}}^{{j{\text{'}} - 1}}} {{\rho }^{{p + j{\text{'}} + 1}}}{{J}_{{p + j{\text{'}}}}}\left( \rho \right) - \sum\limits_{j{\text{''}} = m + 2}^{2m + 2} {A_{{p,m}}^{{j{\text{''}} - 2}}} {{\rho }^{{p + j{\text{''}} + 1}}}{{J}_{{p + j{\text{''}}}}}\left( \rho \right) = \\ = \sum\limits_{j = m + 1}^{2m + 2} {A_{{p,m + 1}}^{j}} {{\rho }^{{p + j + 1}}}{{J}_{{p + j}}}\left( \rho \right), \\ A_{{p,m + 1}}^{j} = \left\{ \begin{gathered} 2(p + m + 1)A_{{p,m}}^{m},\quad j = m + 1, \hfill \\ 2(p + j)A_{{p,m}}^{{j - 1}} - A_{{p,m}}^{{j - 2}},\quad m + 2 \leqslant j \leqslant 2m + 1, \hfill \\ - A_{{p,m}}^{{2m}},\quad j = 2m + 2. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

Таким образом, равенство (2.7) справедливо и для $i = m + 1$, а следовательно, и для любого значения $i$. Коэффициенты $A_{{p,i}}^{j}$ могут быть найдены по рекуррентному соотношению (2.8).

Используем (2.7) для дальнейшего преобразования соотношений (2.6). Подстановка (2.7) в (2.6) дает

$\begin{gathered} \left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}} = \sum\limits_{l = 2}^{r - 2i} {{{S}_{{r - 2i,l}}}} \left[ {\left( {2i + 2} \right)\sum\limits_{j = i}^{2i} {A_{{l - 1,i}}^{j}} {{\rho }^{{l - 1 + j + 1}}}{{J}_{{l - 1 + j}}}\left( \rho \right) + \sum\limits_{j = i + 1}^{2i + 2} {A_{{l - 2,i + 1}}^{j}} {{\rho }^{{l - 2 + j + 1}}}{{J}_{{l - 2 + j}}}\left( \rho \right)} \right] + \\ + \;\left[ {{{S}_{{r - 2i,1}}}\left( {2i + 2} \right) - {{S}_{{r - 2i,0}}}} \right]\sum\limits_{j = i}^{2i} {A_{{0,i}}^{j}} {{\rho }^{{j + 1}}}{{J}_{j}}\left( \rho \right) - {{S}_{{r - 2i,1}}}\sum\limits_{j = i}^{2i} {A_{{1,i}}^{j}} {{\rho }^{{j + 2}}}{{J}_{{j + 1}}}\left( \rho \right) - {{S}_{{r - 2i,0}}}2i\sum\limits_{j = i - 1}^{2i - 2} {A_{{1,i - 1}}^{j}} {{\rho }^{{j + 2}}}{{J}_{{j + 1}}}\left( \rho \right). \\ \end{gathered} $

Меняя порядок суммирования, получаем

$\begin{gathered} \left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}} = \sum\limits_{h = i + 1}^{r + 1} {{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}\left\{ {\theta \left[ {h - \left( {i + 2} \right)} \right]\theta \left( {r - h} \right)\left( {2i + 2} \right)\sum\limits_{j = \max \left( {i,h - r + 2i} \right)}^{\min \left( {h - 2,2i} \right)} {A_{{h - j - 1,i}}^{j}{{S}_{{r - 2i,h - j}}} + } } \right.} \\ + \;\theta \left[ {h - \left( {i + 2} \right)} \right]\sum\limits_{j = \max \left( {i + 1,h + 1 - r + 2i} \right)}^{\min \left( {h - 1,2\left( {i + 1} \right)} \right)} {A_{{h - j - 1,i + 1}}^{j}{{S}_{{r - 2i,h - j + 1}}}} + \theta \left( {2i + 1 - h} \right)\left[ {{{S}_{{r - 2i,1}}}\left( {2i + 2} \right) - {{S}_{{r - 2i,0}}}} \right]A_{{0,i}}^{{h - 1}} - \\ \left. {\mathop - \limits_{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}^{} \;\theta \left[ {h - \left( {i + 2} \right)} \right]\theta \left( {2i + 2 - h} \right){{S}_{{r - 2i,1}}}A_{{1,i}}^{{h - 2}} - \theta \left( {2i - h} \right)2i{{S}_{{r - 2i,0}}}A_{{1,i - 1}}^{{h - 2}}} \right\}. \\ \end{gathered} $

Правая часть ${{F}_{r}}\left( \rho \right)$ содержит также произведения ${{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i}}}$, которые можно записать как линейную комбинацию членов вида ${{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}$:

${{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i}}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{l = 0}^{r - 2i} {{{S}_{{r - 2i,l}}}} {{\rho }^{{2i + 1}}}{{\rho }^{l}}{{J}_{l}} = \sum\limits_{l = 0}^{r - 2i} {{{S}_{{r - 2i,l}}}} \sum\limits_{j = i}^{2i} {A_{{l,i}}^{j}} {{\rho }^{{l + j + 1}}}{{J}_{{l + j}}} = \sum\limits_{h = i + 1}^{r + 1} {{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}\sum\limits_{j = \max \left( {i,h - r + 2i - 1} \right)}^{\min \left( {2i,h - 1} \right)} {{{S}_{{k - 2i,h - j - 1}}}} } A_{{h - j - 1,i}}^{j}.$

Тогда для $\left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}} + {{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i}}}\left( \rho \right)$ имеем

$\left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}} + {{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i}}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{h = i + 1}^{r + 1} {B_{h}^{{i,r}}{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}} ,$

$\begin{gathered} B_{h}^{{i,r}} = \theta \left[ {h - \left( {i + 2} \right)} \right]\theta \left( {r - h} \right)\left( {2i + 2} \right)\sum\limits_{j = \max \left( {i,h - r + 2i} \right)}^{\min \left( {h - 2,2i} \right)} {A_{{h - j - 1,i}}^{j}{{S}_{{r - 2i,h - j}}} + \theta \left[ {h - \left( {i + 2} \right)} \right] \times } \\ \times \;\sum\limits_{j = \max \left( {i + 1,h + 1 - r + 2i} \right)}^{\min \left( {h - 1,2\left( {i + 1} \right)} \right)} {A_{{h - j - 1,i + 1}}^{j}{{S}_{{r - 2i,h - j + 1}}} + } \theta \left( {2i + 1 - h} \right)\left[ {{{S}_{{r - 2i,1}}}\left( {2i + 2} \right) - {{S}_{{r - 2i,0}}}} \right]A_{{0,i}}^{{h - 1}} - \theta \left[ {h - \left( {i + 2} \right)} \right] \times \\ \, \times \theta \left( {2i + 2 - h} \right){{S}_{{r - 2i,1}}}A_{{1,i}}^{{h - 2}} - \theta \left( {2i - h} \right)2i{{S}_{{r - 2i,0}}}A_{{1,i - 1}}^{{h - 2}} + \sum\limits_{j = \max \left( {i,h - r + 2i - 1} \right)}^{\min \left( {h - 1,2i} \right)} {A_{{h - j - 1,i}}^{j}{{S}_{{r - 2i,h - j - 1}}}} . \\ \end{gathered} $

Покажем теперь, что коэффициент $B_{{r + 1}}^{{i,r}}$ равен нулю. Действительно, выражение $\left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}}$ содержит ${{\rho }^{{r + 1}}}{{J}_{{r - 2i - 2}}}\left( \rho \right)$ с коэффициентом ${{S}_{{r - 2i,r - 2i}}}$ (это второй член в скобках в сумме по $l$ при $l = r - 2i$ в выражении (2.6)). Остальные члены содержат $\rho $ в меньшей степени. Используем формулу (2.7) для ${{\rho }^{{r + 1}}}{{J}_{{r - 2i - 2}}}\left( \rho \right)$:

${{\rho }^{{r + 1}}}{{J}_{{r - 2i - 2}}}\left( \rho \right) = {{\rho }^{{2i + 3}}}{{\rho }^{{r - 2i - 2}}}{{J}_{{r - 2i - 2}}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{j = i + 1}^{2i + 2} {A_{{r - 2i - 2,i + 1}}^{j}} {{\rho }^{{r - 2i + j - 1}}}{{J}_{{r - 2i - 2 + j}}}\left( \rho \right).$

Коэффициент при ${{\rho }^{{r + 1}}}{{J}_{r}}\left( \rho \right)$ в этом выражении есть $A_{{r - 2i - 2,i + 1}}^{{2\left( {i + 1} \right)}}$, значение которого, как видно из рекуррента для $A_{{p,i + 1}}^{{2\left( {i + 1} \right)}}$, равно ${{( - 1)}^{{i + 1}}}$. Поэтому коэффициент при ${{\rho }^{{r + 1}}}{{J}_{r}}\left( \rho \right)$ в $\left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}{{{u'}}_{{r - 2i}}}\left( \rho \right)} \right)'$ равен ${{S}_{{r - 2i,r - 2i}}}{{\left( { - 1} \right)}^{{i + 1}}}$.

С другой стороны, в выражении

коэффициент при ${{\rho }^{{r + 1}}}{{J}_{r}}\left( \rho \right)$ есть

$\sum\limits_{j = \max \left( {i,2i} \right)}^{\min \left( {2i,r} \right)} {{{S}_{{r - 2i,r - j}}}} A_{{r - j,i}}^{j} = {{S}_{{r - 2i,r - 2i}}}A_{{r - j,i}}^{{2i}} = {{S}_{{r - 2i,r - 2i}}}{{\left( { - 1} \right)}^{i}}.$

Поэтому коэффициент $B_{{r + 1}}^{{i,r}}$ равен нулю, и

$\left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}} + {{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i}}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{h = i + 1}^r {B_{h}^{{i,r}}{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}} .$

Наконец, преобразуем члены вида ${{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i - 1}}}\left( \rho \right)$:

$\begin{gathered} {{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i - 1}}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{l = 0}^{r - 2i - 1} {{{S}_{{r - 2i - 1,l}}}} {{\rho }^{{2i + 1}}}{{\rho }^{l}}{{J}_{l}} = \sum\limits_{l = 0}^{r - 2i - 1} {{{S}_{{r - 2i - 1,l}}}} \sum\limits_{j = i}^{2i} {A_{{l,i}}^{j}} {{\rho }^{{l + j + 1}}}{{J}_{{l + j}}} = \\ \, = \sum\limits_{h = i + 1}^r {{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}\sum\limits_{j = \max \left( {i,h - r + 2i} \right)}^{\min \left( {2i,h - 1} \right)} {{{S}_{{r - 2i - 1,h - j - 1}}}} } A_{{h - j - 1,i}}^{j} = \sum\limits_{h = i + 1}^r {C_{h}^{{i,r}}{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}} . \\ \end{gathered} $

Теперь для вычисления правой части ${{F}_{r}}\left( \rho \right)$ надо умножить $\left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}} + {{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i}}}\left( \rho \right)$ и ${{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i - 1}}}\left( \rho \right)$ на $\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}$ и суммировать в первом случае от 1 до $\left[ {r{\text{/}}2} \right]$, во втором – от 0 до $\left[ {\left( {r - 1} \right){\text{/}}2} \right]$. При этом получаем

$\begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^{\left[ {r/2} \right]} {\left[ {\left( {{{\rho }^{{2i + 1}}}u_{{r - 2i}}^{'}\left( \rho \right)} \right){\text{'}} + {{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i}}}\left( \rho \right)} \right]\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}} + } \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\left( {r - 1} \right)/2} \right]} {[{{\rho }^{{2i + 1}}}{{u}_{{r - 2i - 1}}}\left( \rho \right)]\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}} = \\ \, = \sum\limits_{i = 1}^{\left[ {r/2} \right]} {\sum\limits_{h = i + 1}^r {B_{h}^{{i,r}}{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}} \frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}} + } \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\left( {r - 1} \right)/2} \right]} {\sum\limits_{h = i + 1}^r {C_{h}^{{i,r}}{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}} \frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}} = \\ \, = \sum\limits_{h = 2}^r {{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}} \left( {\sum\limits_{i = 1}^{\left[ {r/2} \right]} {\theta \left( {h - \left( {i + 1} \right)} \right)\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}} B_{h}^{{i,r}}} \right) + \sum\limits_{h = 1}^r {{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}} \left( {\sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\left( {r - 1} \right)/2} \right]} {\theta \left( {h - \left( {i + 1} \right)} \right)\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}} C_{h}^{{i,r}}} \right). \\ \end{gathered} $

Отсюда следует, что ${{F}_{r}}\left( \rho \right)$ представляет собой линейную комбинацию ${{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}$:

${{F}_{r}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{h = 1}^r {{{P}_{{r,h}}}{{\rho }^{h}}{{J}_{{h - 1}}}} ,$

${{P}_{{r,h}}} = - \theta \left( {h - 2} \right)\sum\limits_{i = 1}^{\left[ {r/2} \right]} {\theta \left[ {h - \left( {i + 1} \right)} \right]\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}} B_{h}^{{i,r}} - \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\left( {r - 1} \right)/2} \right]} {\theta \left[ {h - \left( {i + 1} \right)} \right]\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{i}}}}{{\left( {2i + 1} \right)!}}} C_{h}^{{i,r}}.$

Легко показать, что уравнение (2.3) с правой частью ${{\rho }^{p}}{{J}_{{p - 1}}}\left( \rho \right)$ имеет решением функцию

${{u}^{p}} = \frac{1}{{2p}}{{\rho }^{p}}{{J}_{p}}\left( \rho \right).$

В силу линейности уравнения решение ${{u}_{r}}\left( \rho \right)$ имеет вид

${{u}_{r}}\left( \rho \right) = \sum\limits_{h = 1}^r {\frac{{{{P}_{{r,h}}}}}{{2h}}{{\rho }^{h}}{{J}_{h}}} \left( \rho \right).$

Таким образом, представление (2.5) справедливо для $k = r$, и, следовательно, для всех $k$. Заметим, что решение в виде (2.5) удовлетворяет граничным условиям.

3. ПОСТРОЕНИЕ РАВНОМЕРНОГО АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

Продемонстрируем совпадение в промежуточном пределе первых двух членов полученного асимптотического разложения (2.1) в окрестности $x = 1$,

${{P}_{n}}\left[ {\cos \left( {\frac{\rho }{n}} \right)} \right] = {{J}_{0}}\left( \rho \right) - \frac{1}{{2n}}\rho {{J}_{1}}\left( \rho \right) + O({{n}^{{ - 2}}}),$

с первыми двумя членами разложения, справедливого вне окрестностей концов интервала $\left[ { - 1,1} \right]$. Первые два члена этого разложения приведены в [1] и имеют вид

(3.1)

${{P}_{n}}\left( {\cos \theta } \right) = {{\left( {\frac{2}{{n\pi \sin \theta }}} \right)}^{{1/2}}}\left\{ {\left( {1 - \frac{1}{{4n}}} \right)\cos \left[ {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\theta - \frac{\pi }{4}} \right] + \frac{1}{{8n}}\operatorname{ctg} \theta \sin \left[ {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\theta - \frac{\pi }{4}} \right]} \right\} + O({{n}^{{ - 5/2}}}).$

Выберем $\rho \to \infty $, $n \to \infty $, $\theta = \rho /n \to 0$. Подставим $\theta = \rho /n$ в (3.1) и разложим $\sin \frac{\rho }{n}$ и ${\text{ctg}}\frac{\rho }{n}$ в ряд. Тогда

${{P}_{n}}\left( {\cos \frac{\rho }{n}} \right) = {{\left( {\frac{2}{{\pi \rho }}} \right)}^{{1/2}}}\left\{ {\left( {1 - \frac{1}{{4n}}} \right)\cos \left( {\rho + \frac{\rho }{{2n}} - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{{8\rho }}\left[ {1 + O\left( {\frac{{{{\rho }^{2}}}}{{{{n}^{2}}}}} \right)} \right]\cos \left( {\rho + \frac{\rho }{{2n}} - \frac{\pi }{4}} \right)} \right\}\left[ {1 + O\left( {\frac{{{{\rho }^{2}}}}{{{{n}^{2}}}}} \right)} \right].$

Используя малость $\rho {\text{/}}2n$ в аргументах синуса и косинуса, находим

$\cos \left( {\rho + \frac{\rho }{{2n}} - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{\rho }{{2n}}\sin \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) + O\left( {\frac{{{{\rho }^{2}}}}{{{{n}^{2}}}}} \right),$

$\sin \left( {\rho + \frac{\rho }{{2n}} - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{\rho }{{2n}}\cos \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) + O\left( {\frac{{{{\rho }^{2}}}}{{{{n}^{2}}}}} \right),$

что приводит к

${{P}_{n}}\left( {\cos \frac{\rho }{n}} \right) = {{\left( {\frac{2}{{\pi \rho }}} \right)}^{{1/2}}}\left[ {\left( {1 - \frac{3}{{16n}}} \right)\cos \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) + \left( {\frac{1}{{8\rho }} - \frac{\rho }{{2n}}} \right)\sin \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]\left[ {1 + o(1)} \right].$

С другой стороны, используя асимптотику функций Бесселя в виде

${{J}_{0}}\left( \rho \right) = {{\left( {\frac{2}{{\pi \rho }}} \right)}^{{1/2}}}\left[ {\cos \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{{8\rho }}\sin \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) + O({{\rho }^{{ - 2}}})} \right],$

${{J}_{1}}\left( \rho \right) = {{\left( {\frac{2}{{\pi \rho }}} \right)}^{{1/2}}}\left[ {\cos \left( {\rho - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{2}} \right) - \frac{3}{{8\rho }} \cdot \sin \left( {\rho - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{2}} \right) + O({{\rho }^{{ - 2}}})} \right]$

находим

$\begin{gathered} {{P}_{n}}\left( {\cos \left( {{\rho \mathord{\left/ {\vphantom {\rho n}} \right. \kern-0em} n}} \right)} \right) = {{J}_{0}}\left( \rho \right) - \frac{1}{{2n}}\rho {{J}_{1}}\left( \rho \right) + O\left( {\frac{{{{\rho }^{2}}}}{{{{n}^{2}}}}} \right) = {{\left( {\frac{2}{{\pi \rho }}} \right)}^{{1/2}}}\left\{ {\cos \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{{8\rho }}\sin \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right)} \right. - \\ \left. {\, - \frac{\rho }{{2n}}\left[ {\cos \left( {\rho - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{2}} \right) - \frac{3}{{8\rho }}\sin \left( {\rho - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{2}} \right)} \right]} \right\}[1 + o(1)] = \\ \, = {{\left( {\frac{2}{{\pi \rho }}} \right)}^{{1/2}}}\left[ {\left( {1 - \frac{3}{{16n}}} \right)\cos \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right) + \left( {\frac{1}{{8\rho }} - \frac{\rho }{{2n}}} \right)\sin \left( {\rho - \frac{\pi }{4}} \right)} \right][1 + o(1)]. \\ \end{gathered} $

Таким образом, первые два члена внутреннего и внешнего асимптотических разложений совпадают в промежуточном пределе.

Заметим, что вследствие свойства

${{P}_{n}}\left( { - x} \right) = {{\left( { - 1} \right)}^{n}}{{P}_{n}}\left( x \right)$

легко получить разложение полинома Лежандра в окрестности $x = - 1$. При этом $\theta $ близко к $\pi $ и можно ввести $\xi = n\left( {\pi - \theta } \right)$. Тогда получим

${{P}_{n}}\left[ {\cos \left( {\pi - \frac{\xi }{n}} \right)} \right] = {{P}_{n}}\left[ { - \cos \left( {\frac{\xi }{n}} \right)} \right] = {{\left( { - 1} \right)}^{n}}{{P}_{n}}\left[ {\cos \left( {\frac{\xi }{n}} \right)} \right] = {{\left( { - 1} \right)}^{n}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{u}_{k}}\left( \xi \right)} {{n}^{{ - k}}}.$

Наконец, первые два члена равномерного в интервале $\left[ { - 1,1} \right]$ разложения можно записать в виде

$\begin{gathered} {{P}_{n}}\left( {\cos \theta } \right) = {{\left( {\frac{2}{{n\pi \sin \theta }}} \right)}^{{1/2}}}\left\{ {\left( {1 - \frac{1}{{4n}}} \right)\cos \left[ {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\theta - \frac{\pi }{4}} \right] + \frac{1}{{8n}}\operatorname{ctg} \theta \sin \left[ {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\theta - \frac{\pi }{4}} \right]} \right\} + \\ \, + {{J}_{0}}\left( {n\theta } \right) - \frac{1}{2}\theta {{J}_{1}}\left( {n\theta } \right) - {{\left( {\frac{2}{{\pi n\theta }}} \right)}^{{1/2}}}\left\{ {\left( {1 - \frac{3}{{16n}}} \right)\cos \left( {n\theta - \frac{\pi }{4}} \right) - \left( {\frac{\theta }{2} - \frac{1}{{8n\theta }}} \right)\sin \left( {n\theta - \frac{\pi }{4}} \right)} \right\} + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} + \;{{\left( { - 1} \right)}^{n}}\left\{ {{{J}_{0}}\left[ {n\left( {\pi - \theta } \right)} \right] - \frac{1}{2}\left( {\pi - \theta } \right){{J}_{1}}\left[ {n\left( {\pi - \theta } \right)} \right]} \right\} - {{\left( { - 1} \right)}^{n}}{{\left[ {\frac{2}{{\pi n\left( {\pi - \theta } \right)}}} \right]}^{{1/2}}} \times \\ \times \;\left\{ {\left( {1 - \frac{3}{{16n}}} \right)\cos \left[ {n\left( {\pi - \theta } \right) - \frac{\pi }{4}} \right] - \left[ {\frac{{\left( {\pi - \theta } \right)}}{2} - \frac{1}{{8n\left( {\pi - \theta } \right)}}} \right]\sin \left[ {n\left( {\pi - \theta } \right) - \frac{\pi }{4}} \right]} \right\} + O({{n}^{{ - 2}}}). \\ \end{gathered} $

Список литературы

Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1952.
Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматлит, 1963.
Thorne R.C. The asymptotic expansion of Legendre functions of large degree and order // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1957. V. 249. P. 597–620.
Mehler F.G. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1868. V. 68. P. 134.
Rayleigh J.S. Proc. London Math. Soc. 1878. V. 9. P. 61.
Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991.
Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.
Van Assche W. Mehler–Heine asymptotics for multiple orthogonal polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 2017. V. 145. P. 303–314.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал