Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 8, стр. 1394-1407

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе обсуждается общий подход к построению эффективной глобальной асимптотики решения задачи Коши с локализованными начальными условиями для эволюционных линейных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений и систем волнового типа с малым параметром при производной (который может как совпадать c параметром, отвечающим за размер окрестности, в которой сосредоточено начальное условие, так и отличаться от него). Рассматриваемый класс уравнений включает уравнения Шрёдингера, Дирака и Максвелла, линеаризованные уравнения газо- и гидродинамики, уравнения линейной теории поверхностных волн на воде, теории упругости, акустики и многие другие. Говоря об эффективности, мы имеем в виду асимптотические формулы, допускающие относительно простую и не требующую значительных вычислительных мощностей реализацию на современных программных системах технических вычислений, таких как Wolfram Mathematica или MatLab. Глобальная теория квазиклассических асимптотик, основанная на конструкции канонического оператора Маслова [1] (см. также [2], [3]), в своем стандартном варианте эффективных в этом смысле формул, как правило, не дает, что и неудивительно, поскольку разработана она была более пятидесяти лет назад, задолго до появления указанных программных систем. Таким образом, возникла естественная необходимость адаптации этой конструкции к появившемуся с тех пор новому инструментарию математического исследования. В последние годы авторы совместно с коллегами существенно продвинулись в решении этой проблемы. Ключевую роль при этом играют введенные в статье [4] новые представления канонического оператора Маслова в сингулярных картах. Основной практический результат состоит в том, что, по крайней мере, в главном члене эффективные асимптотики в рассматриваемых задачах удается построить, комбинируя новые формулы из [4] с известными схемами из [1]–[3] и применяя получившийся аппарат к специальным лагранжевым многообразиям с особенностями, которые не охватывались “старыми” формулами.

2. УРАВНЕНИЯ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Рассмотрим эволюционное уравнение

где переменная $t$ (время) принадлежит некоторому отрезку $[0,T]$ вещественной оси, $h \to 0$ – малый положительный параметр, $\Psi = \Psi (x,t,h)$ – неизвестная функция, а – дифференциальный или псевдодифференциальный оператор с параметром $h$ в $n$-мерном пространстве $\mathbb{R}_{x}^{n}$ с координатами $x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}})$. Напомним [2], [5], что псевдодифференциальный оператор с параметром $h$ (или $h$-псевдодифференциальный оператор, для краткости в дальнейшем – ПДО) – это оператор, представляющий собой функцию от операторов $x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}})$ умножения на независимые переменные и операторов дифференцирования $\hat {p} = ({{\hat {p}}_{1}}, \ldots ,{{\hat {p}}_{n}}) = - ih\nabla $, т.е. , где $\mathcal{H}(x,p,h)$ – некоторая функция от переменных $x$ и $p = ({{p}_{1}}, \ldots ,{{p}_{n}})$ и параметра $h$, называемая (полным) символом ПДО . Здесь номера $1$ и $2$ над операторами $\hat {p}$ и $x$ – это введенные в [2] фейнмановские номера, задающие порядок действия операторов. Необходимость их использования обусловлена тем, что операторы $x$ и $\hat {p}$, в отличие от переменных $x$ и $p$ – аргументов символа – не коммутируют между собой, и в их отсутствие было бы неясно, например, какой оператор сопоставить символу $\mathcal{H}(x,p,h) = {{x}_{1}}{{p}_{1}}$: ${{x}_{1}}{{\hat {p}}_{1}}$ или ${{\hat {p}}_{1}}{{x}_{1}} = {{x}_{1}}{{\hat {p}}_{1}} - ih$. Подробное описание соответствующих конструкций можно найти в [5]–[7], здесь же приведем только само определение ПДО с заданным порядком действия операторов $\mathop {\hat {p}}\limits^1 $, $\mathop x\limits^2 $: есть $1{\text{/}}h$-преобразование Фурье функции $u(x,h)$. Относительно символа $\mathcal{H}(x,p,h)$ будем предполагать, что это гладкая функция на ${{\mathbb{R}}^{{2n}}} \times [0,1]$, вместе со всеми производными растущая при ${\text{|}}x{\text{|}}\; + \;{\text{|}}p{\text{|}} \to \infty $ не быстрее некоторой степени ${{(\left| x \right| + \left| p \right|)}^{m}}$ (см. [2]). Функция ${{\mathcal{H}}^{0}}(x,p)$ в тейлоровском разложении $\mathcal{H}(x,p,h) = {{\mathcal{H}}^{0}}(x,p) + h{{\mathcal{H}}^{1}}(x,p) + \ldots $ символа по степеням параметра $h$ называется главным символом, а функция (ср. [8, формула (18.1.32)]) – субглавным символом оператора . Предполагается, что функция ${{\mathcal{H}}^{0}}(x,p)$ вещественная. Эти две функции определяют главный член асимптотики решения в задаче Коши для уравнения (1) с локализованными начальными данными где гладкая функция $V(y)$, задающая форму начального возмущения, достаточно быстро убывает при $y \to \infty $, а малый параметр $\mu \geqslant h$ характеризует начальный размер возмущения.

Будем также рассматривать задачу Коши для системы уравнений, которая может быть записана в виде (1), (2), где на этот раз $\Psi $ и $V$ – не скалярные функции, а вектор-функции размерности $m$, а – матрица размера $m \times m$, элементами которой являются (псевдо)дифференциальные операторы $j,k = 1, \ldots ,m$. В этом случае предполагается, что при $p \ne 0$ все собственные значения ${{\lambda }_{j}}(x,p)$, $j = 1, \ldots ,k \leqslant m$, главного символа ${{\mathcal{H}}^{0}}(x,p)$ – гладкие вещественные функции, а их геометрические кратности ${{m}_{j}}$ не зависят от $(x,p)$, причем ${{m}_{1}} + \ldots + {{m}_{k}} = m$. Эти функции называются эффективными гамильтонианами задачи (при $m = 1$ роль эффективного гамильтониана играет сама функция ${{\mathcal{H}}^{0}}(x,p)$).

Наконец, будем рассматривать задачу Коши для уравнения второго порядка

которое после введения дополнительных неизвестных функций $\Psi {\text{'}} = - ih\tfrac{{\partial \Psi }}{{\partial t}}$ переписывается в виде уравнения (1) для вектора $(\Psi ,\Psi {\text{'}})$. Для $\Psi {\text{'}}$ задается условие, аналогичное (2), при $t = 0$. Часто удобнее исследовать уравнение (3) непосредственно, не сводя его к системе вида (1).

Приведем некоторые примеры.

Пример 1. Простейшие примеры уравнений (1) и (3) в скалярном случае – это соответственно уравнение Шрёдингера $ - ih{{\psi }_{t}} - {{h}^{2}}\Delta \psi {\text{/}}2 + v(x)\psi = 0$ и многомерное волновое уравнение

Здесь $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $\left\langle {a,b} \right\rangle = \sum\nolimits_{j = 1}^n \,{{a}_{j}}{{b}_{j}}$, а $v(x)$ и ${{c}^{2}}(x) > 0$ – гладкие вещественнозначные функции. Уравнение (4) формально не имеет вида (3), но его легко привести к такому виду, умножив на ${{h}^{2}}$ и переставив все операторы дифференцирования на первое место с учетом коммутационного соотношения $[{{\hat {p}}_{j}},{{x}_{k}}] = - ih{{\delta }_{{jk}}}$, в результате чего получается уравнение где, разумеется, ${{\hat {p}}^{2}} = \left\langle {\hat {p},\hat {p}} \right\rangle $. Полные, главные и субглавные символы имеют вид для уравнения Шрёдингера и для волнового уравнения.

Пример 2. Более сложный пример дает теория линейных поверхностных волн на воде в бассейне переменной глубины $D(x) > 0$ с учетом дисперсии. B этом случае $n = 2$, $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, и функция, описывающая возвышение свободной поверхности, удовлетворяет скалярному уравнению вида (3) с оператором , символ которого имеет вид $\mathcal{H} = {{\mathcal{H}}^{0}} + h{{\mathcal{H}}^{1}} + O({{h}^{2}})$, где

$g$ – ускорение свободного падения. Отметим, что ${{\mathcal{H}}_{{sub}}}(x,p) = 0$. Здесь символ $\mathcal{H}(x,p)$ не является многочленом от $p$, так что уравнение псевдодифференциальное, а не дифференциальное.

Пример 3.  Приведем  один  из простейших физических примеров системы  уравнений вида (1) – двумерное уравнение Дирака, описывающее квантовые состояния электронов в графене. Это система уравнений для двумерной вектор-функции $\Psi (x,h)$, $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, и соответствующий матричный символ $\mathcal{H}(x,p)$ (от параметра $h$ он не зависит) имеет вид

где $U(x)$ – потенциал электрического поля, $B(x)$ – магнитное поле, $A(x) = ({{A}_{1}}(x),{{A}_{2}}(x))$ – векторный потенциал магнитного поля, $m(x)$ – переменная “масса”, описывающая примеси. Предполагается, что векторный потенциал $A(x)$ удовлетворяет условию $\operatorname{div} A = 0$. Нетрудно видеть, что в данном случае ${{\mathcal{H}}^{0}}(x,p) = \mathcal{H}(x,p)$ (полный и главный символы оператора совпадают), ${{\mathcal{H}}_{{sub}}}(x,p) = 0$, а собственные значения ${{\lambda }^{ \pm }}(x,p)$ и соответствующие нормированные собственные векторы ${{\chi }^{ \pm }}(x,p)$ главного символа имеют вид

Пример 4. Пример формы $V(y)$ начального возмущения (2) дает произведение $V(y) = {\mathbf{a}}{{e}^{{ - \left\langle {y,By} \right\rangle /2}}}$ постоянного вектора ${\mathbf{a}}$ и гауссовой экспоненты, где $B$ – вещественная положительно-определенная $n \times n$ матрица. Такая функция задает начальное возмущение в виде “шапочки”. Дифференцируя ее $k$ раз, можно получить “шапочку”, модулированную $k$ осцилляциями.

Другой, не менее важный пример получается, если взять функцию

и ее производные. В практических вычислениях эти функции удобны, в частности, тем, что их пребразование Фурье выражается в конечном виде через экспоненты. Вместо вещественной матрицы $B$ можно взять комплексную, такую, что $\operatorname{Re} B > 0$.

3. ВКБ-РЕШЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР МАСЛОВА

Разговор о лучевых разложениях и квазиклассических асимптотиках удобно начать со скалярного уравнения (1) с начальными данными более простого, чем (2), вида

где ${{S}_{0}}(x)$ и ${{a}_{0}}(x)$ – гладкие функции, ${{S}_{0}}(x)$ вещественнозначна, а ${{a}_{0}}(x)$ финитна. Асимптотическое решение задачи Коши (1), (7) будем искать в виде где вещественная фаза $S(x,t)$ и финитные по $x$ амплитуды $a(x,t)$, $b(x,t)$, … – гладкие функции (в дальнейшем мы ограничиваемся главным членом амплитуды $a(x,t)$). Анзац (8), обобщающий хорошо известные плоские волны, называется ВКБ-решением. Фаза $S(x,t)$ находится из задачи Коши для уравнения Гамильтона–Якоби а амплитуда $a$ – из соответствующего уравнения переноса (см. ниже). Во многих важных и физически интересных ситуациях глобального решения задачи (9), а значит, и глобального асимптотического ВКБ-решения (8), не существует (что совершенно не означает несуществования точного решения задачи (1), (7)). Чтобы понять, что происходит и как все-таки построить глобальное асимптотическое решение, обратимся к геометрической интерпретации ВКБ-решения (8), предполагая его существование известным. При каждом $t$ рассмотрим в фазовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{2n}}}$ с координатами $(x,p) = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}},{{p}_{1}}, \ldots ,{{p}_{n}})$ поверхность Она представляет собой лагранжево многообразие [1], т.е. ее размерность равна $n$, а интеграл $\int_\gamma \,pdx$ вдоль любого замкнутого пути $\gamma $ на ${{\Lambda }_{t}}$ не меняется при деформациях пути (что эквивалентно обращению в нуль на ${{\Lambda }_{t}}$ скобок Лагранжа). Из уравнения (9) следует, что ${{\Lambda }_{t}}$ получается из ${{\Lambda }_{{t{\text{'}}}}}$ сдвигом за время $t - t{\text{'}}$ вдоль траекторий системы Гамильтона Пусть $(x = X(\alpha ,t)$, $p = P(\alpha ,t))$ – траектория системы (11) с начальными условиями $X(\alpha ,0) = \alpha $, $P(\alpha ,0) = \tfrac{{\partial {{S}_{0}}}}{{\partial x}}(\alpha )$, $\alpha \in {{\mathbb{R}}^{n}}$. Тогда при каждом $t$ многообразие ${{\Lambda }_{t}}$ параметризовано координатами $({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{n}})$: Функция $\tau (\alpha ,t) = S(X(\alpha ,t),t)$ удовлетворяет задаче Коши для уравнения Пфаффа (где ${{\tau }_{0}}(\alpha ) = {{S}_{0}}(\alpha )$, поскольку $X(\alpha ,0) = \alpha $). Далее, якобиан отличен от нуля, а уравнение $X(\alpha ,t) = x$ имеет гладкое решение $\alpha = \alpha (x,t)$, так как функции $({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}})$ образуют систему координат на ${{\Lambda }_{t}}$ в силу (10). ВКБ-решение (8) можно записать в терминах многообразий ${{\Lambda }_{t}}$ в виде где “новая” амплитуда $A(\alpha ,t)$ находится из задачи Коши для уравнения переноса (где ${{A}_{0}}(\alpha ) = {{a}_{0}}(\alpha )$, поскольку $J(\alpha ,0) = 1$). Таким образом, асимптотическое решение (15) задачи Коши (1), (7) можно построить с помощью следующего алгоритма.

Шаг 1. Задать начальное лагранжево многообразие ${{\Lambda }_{0}}$, амплитуду $A(\alpha ,0)$ и действие ${{\tau }_{0}}(\alpha )$.

Шаг 2. Решить систему Гамильтона (11) с начальными условиями на многообразии ${{\Lambda }_{0}}$ и построить многообразия ${{\Lambda }_{t}}$ по формуле (12).

Шаг 3. Вычислить решения уравнения Пфаффа (13) и уравнения переноса (16) по формулам

Шаг 4. Вычислить якобиан (14), найти решение $\alpha = \alpha (x,t)$ уравнения $X(\alpha ,t) = x$ (т.е. осуществить переход от “лагранжевых” координат $\alpha $ на ${{\Lambda }_{t}}$ к “эйлеровым” координатам $x$ в исходном физическом пространстве) и подставить полученные выражения в формулу (15).

Если заранее неизвестно, что решение вида (8) существует, то мы по-прежнему можем выполнить шаги 1–3 этого алгоритма (при условии, что решения гамильтоновой системы продолжаются по времени неограниченно), но на шаге 4, начиная с некоторого $t = {{t}_{0}} > 0$, может оказаться, что якобиан (14) обращается в нуль в некоторых точках $(\alpha ,t)$ (они называются фокальными, а множества, образованные соответствующими точками $X(\alpha ,t)$ в физическом пространстве – каустиками), и соответственно уравнение $X(\alpha ,t) = x$ не имеет (во всяком случае, гладкого) решения, да и знаменатель в формуле (15) обращается в нуль. Таким образом, вблизи каустик записать асимптотическое решение в виде ВКБ не удается. Канонический оператор, построенный более 50 лет назад В.П. Масловым [1], решает эту проблему следующим образом. Рассмотрим сначала случай $n = 1$. Если кривая ${{\Lambda }_{t}}$ в какой-то своей части не проектируется диффеоморфно на ось $x$, то эта ее часть обязательно диффеоморфно проектируется на ось $p$, т.е. отличен от нуля якобиан $\tilde {J}(\alpha ,t) = \partial P(\alpha ,t){\text{/}}\partial \alpha $ и уравнение $P(\alpha ,t) = p$ имеет гладкое решение $\alpha = \alpha (p,t)$. Поэтому (считая, что носитель амплитуды $A(\alpha ,t)$ сосредоточен в указанной части кривой ${{\Lambda }_{t}}$) мы можем написать ВКБ-функцию

в импульсном представлении (т.е. как функцию от координаты $p$). Чтобы перейти от (17) к координатному представлению (т.е. к функции от $x$), заметим, что с точки зрения классической механики такой переход – это каноническое преобразование фазовой плоскости, задаваемое поворотом на угол $\pi {\text{/}}2$. В квантовой (волновой) механике возвращение к исходной координате $x$ задается согласно В.А. Фоку [9] (и идеям П. Дирака [10]) соответствующим этому повороту квантованным каноническим преобразованием, которое оказывается обратным $1{\text{/}}h$-преобразованием Фурье, и мы получаем Формулы (15) и (18) являются локальными – они пригодны только тогда, когда носитель амплитуды $A$ содержится в связной односвязной части многообразия ${{\Lambda }_{t}}$ – канонической карте – в которой не обращается в нуль либо якобиан $J(\alpha ,t)$ (неособая карта, формула (15)), либо якобиан $\tilde {J}(\alpha ,t)$ (особая карта, формула (18)), и чтобы получить глобальное решение, надо с помощью разбиения единицы представить амплитуду в виде суммы членов с носителями в канонических картах и затем просуммировать соответствующие функции (15) и (18), умноженные на унимодулярные коэффициенты (фазовые множители), обеспечивающие с точностью до $O(h)$ совпадение функций (15) и (18) в случае амплитуды $A(\alpha ,t)$, к которой эти формулы применимы одновременно. Такая сумма и называется каноническим оператором Маслова на ${{\Lambda }_{t}}$, примененным к амплитуде $A(\alpha ,t)$, и обозначается через $[K_{{{{\Lambda }_{t}}}}^{h}A](x,t,h)$.

Замечание. Согласованный выбор фазовых множителей может интерпретироваться как “правильный” выбор аргументов якобианов $J(\alpha ,t)$ и $\widetilde J(\alpha ,t)$ при извлечении квадратного корня и возможен только в том случае, когда на ${{\Lambda }_{t}}$ выполнены условия квантования, тесно связанные с индексом Маслова [1], [11]. Эти условия выполнены или не выполнены на многообразиях ${{\Lambda }_{t}}$ для всех $t$ одновременно, поскольку эти многообразия получаются друг из друга сдвигом вдоль гамильтонова потока. Таким образом, все сводится к тому, выполнены ли условия квантования на начальном многообразии ${{\Lambda }_{0}}$ (это отличительная черта задачи Коши). Они заведомо выполнены для многообразия ${{\Lambda }_{0}}$, построенного по функции ${{S}_{0}}(x)$, поскольку оно покрывается единственной (неособой) картой, так что выбор фазовых множителей тривиален. Мы не будем обсуждать здесь условия квантования более подробно, поскольку вопрос решается тривиальным образом и для основного интересующего нас начального условия (2).

В $n$-мерном случае, кроме чисто координатного и чисто импульсного представления, существуют смешанные координатно-импульсные представления (или канонические карты), в которых по части степеней свободы используются координаты ${{x}_{j}}$, а по всем остальным – импульсы ${{p}_{j}}$; например, в трехмерном случае возможные наборы координат в канонических картах исчерпываются восемью вариантами $({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$, $({{p}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$, $({{x}_{1}},{{p}_{2}},{{x}_{3}})$, $({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{p}_{3}})$, $({{p}_{1}},{{p}_{2}},{{x}_{3}})$, $({{p}_{1}},{{x}_{2}},{{p}_{3}})$, $({{x}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}})$, $({{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}})$. Формулы, аналогичные (18), включают интегрирование по всем импульсным переменным, входящим в набор координат соответствующей канонической карты. Кратко такой набор координат будем обозначать через $(x{\text{'}},p{\text{''}})$.

Итак, в общем случае шаг 4 заменяется на следующий:

Шаг 4''. С помощью разбиения единицы представить амплитуду $A(\alpha ,t)$ как сумму слагаемых с носителями в канонических картах, для каждого из слагаемых выразить функции $\tau (\alpha ,t)$, $A(\alpha ,t)$, $J(\alpha ,t)$ через координаты $(x{\text{'}},p{\text{''}})$ соответствующей канонической карты, составить в этих координатах ВКБ-функцию, аналогичную (17), и применить к ней обратное $1{\text{/}}h$-преобразование Фурье от переменных $p{\text{''}}$ к переменным $x{\text{''}}$.

Наконец, можно отказаться от предположения, что ${{\Lambda }_{0}}$ целиком состоит из одной неособой карты – начальное условие при $t = 0$ можно задавать каноническим оператором на лагранжевом многообразии ${{\Lambda }_{0}}$ общего вида (лишь бы на нем были выполнены условия квантования).

В ситуации, когда в задаче имеется не один, а несколько эффективных гамильтонианов ${{\lambda }_{j}}(x,p)$, $j = 1, \ldots ,k$, схема описанного выше алгоритма построения асимптотического решения задачи Коши в целом сохраняется, но сам алгоритм несколько усложняется в том отношении, что теперь начальное лагранжево многообразие ${{\Lambda }_{0}}$ следует сдвигать по траекториям гамильтоновых систем всех $k$ эффективных гамильтонианов. Асимптотическое решение в момент времени $t > 0$ имеет вид суммы $k$ слагаемых, задаваемых каноническим оператором Маслова на каждом из соответствующих лагранжевых многообразий $\Lambda _{t}^{j}$, $j = 1, \ldots ,k$. Уравнения переноса также приобретают несколько более сложный вид (см. [3, с. 201–231]).

4. ЭФФЕКТИВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

В конкретных задачах шаги 1–3 описанного в предыдущем разделе алгоритма построения асимптотического решения задачи Коши обычно опираются лишь на аналитические вычисления и на численное решение гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений и потому допускают эффективную реализацию в том смысле, как это указано во введении. Шаг 4'', напротив, приводит к затруднениям, связанным с тем, что стандартные наборы координат $(x{\text{'}},p{\text{''}})$ в канонических картах не являются естественными в рассматриваемой задаче и переход к ним с последующим интегрированием по переменным $p{\text{''}}$ оказывается весьма громоздким и эффективно не реализуется (не говоря уже о том, что потребное для решения задачи количество канонических карт может превосходить все разумные пределы). В статьях [12] и затем [4], [13] был предложен принципиально новый подход к построению и вычислению канонического оператора, основанный на том, что на лагранжевом многообразии выбираются некоторые естественные в рассматриваемой задаче координаты $\alpha $, которые затем разделяются на две группы, $\alpha = (\alpha {\text{'}},\alpha {\text{''}})$; далее переменные $\alpha {\text{'}}$ подходящим образом выражаются через (все) переменные $x$ и $\alpha {\text{''}}$, и вместо интегрирования по импульсам используется интегрирование по переменным $\alpha {\text{''}}$. При этом наборы $(\alpha {\text{'}},\alpha {\text{''}})$ часто оказываются одними и теми же в канонических картах с разными стандартными координатами $(x{\text{'}},p{\text{''}})$, что может значительно сократить число используемых областей (карт), покрывающих лагранжево многообразие, и привести к кардинальным упрощениям в практических вычислениях. Еще одно важное преимущество перехода к новому определению канонического оператора в особых картах состоит в возможности его обобщения на случай негладких лагранжевых многообразий, т.е. многообразий с нестандартными лагранжевыми сингулярностями (каустиками) нового типа. Именно такого рода лагранжевы многообразия встречаются в рассматриваемых далее задачах. При этом в задачах, где имеются большими головные волны, передние фронты суть как раз такие “нестандартные” каустики.

Приведем теперь новые формулы из [4], [13], ограничиваясь двумерным случаем ($n = 2$).

1. Исходные данные. Пусть двумерное лагранжево многообразие $\Lambda $ в четырехмерном фазовом пространстве $\mathbb{R}_{{(x,p)}}^{4}$, $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, $p = ({{p}_{1}},{{p}_{2}})$, задано в некоторой своей части параметрическими уравнениями $\Lambda = \{ x = X(\alpha ),p = P(\alpha )\} $, где $x$, $p$, $X(\alpha )$, $P(\alpha )$ – вектор-столбцы, а координаты $\alpha = ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}})$, которые нам иногда будет удобнее обозначать через $(\rho ,\phi )$, пробегают некоторую область пространства ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Предположим также, что $da$ снабжено мерой (невырожденной формой объема) $d\mu = \mu (\alpha )d{{\alpha }_{1}} \wedge d{{\alpha }_{2}}$. Мы хотим определить канонический оператор $K_{\Lambda }^{h}$ на функциях $A(\alpha )$ с носителем в окрестности $\mathcal{V}$ (вообще говоря, но не обязательно, достаточно малой) заданной точки ${{\alpha }_{0}} = ({{\rho }_{0}},{{\phi }_{0}})$. Область $\mathcal{V}$ будем отождествлять с соответствующей областью на $\Lambda $ и называть картой.

2. Дополнительные предположения и фиксация постоянных. Будем предполагать, что уравнение Пфаффа $d\tau (\alpha ) = P(\alpha )dX(\alpha )$ имеет в карте $\mathcal{V}$ однозначное решение (которое тогда определено с точностью до аддитивной постоянной). Далее, предположим, что индекс Маслова любого замкнутого пути, целиком лежащего в $\mathcal{V}$, равен нулю. (Оба предположения заведомо выполнены, если карта $\mathcal{V}$ односвязна, но мы хотим иметь возможность рассматривать карты, диффеоморфные кольцу, в которых одна из координат – $\phi $ – пробегает окружность.) Зафиксируем какое-либо вещественное решение $\tau (\alpha )$ уравнения Пфаффа (действие) и целое число $m$, которое назовем индексом карты $\mathcal{V}$.

3. Тип точки ${{\alpha }_{0}}$ и тип карты. Рассмотрим матрицу Якоби ${{X}_{\alpha }}({{\alpha }_{0}})$. Она может быть невырожденной, иметь один линейно независимый столбец или быть нулевой матрицей. Соответственно карта $\mathcal{V}$ будет неособой, особой ранга $1$ или особой ранга $2$. Разберем все три случая последовательно.

4. Неособая карта. В этом случае $det{{X}_{\alpha }}({{\alpha }_{0}}) \ne 0$. Будем предполагать, что $det{{X}_{\alpha }}(\alpha ) \ne 0$ в $\mathcal{V}$ и на образе $\mathcal{W}$ области $\mathcal{V}$ при отображении $\alpha \mapsto X(\alpha )$ определено обратное отображение $\alpha = \alpha (x)$ – решение неявного уравнения $X(\alpha ) = x$. Канонический оператор задается формулой

т.е. совпадает с обычным ВКБ-элементом – в неособой карте новые формулы от старых не отличаются. Формулы в особых картах используют универсальную фазовую функцию(впрочем, можно считать, что она же использована и в (19), поскольку $\Phi (x,\alpha (x)) = \tau (\alpha (x))$).

5. Особая карта ранга 1. В этом случае $\operatorname{rank} {{X}_{\alpha }}({{\alpha }_{0}}) = 1$. Будем обозначать $\alpha $ через $(\rho ,\phi )$ и предположим, что в карте $\mathcal{V}$ отличны от нуля функции ${{X}_{\phi }}(\rho ,\phi )$ и $detQ(\rho ,\phi )$, где

Определим функцию $\phi = \phi (x,\rho )$ из уравнения $\left\langle {{{X}_{\phi }}(\rho ,\phi ),x - X(\rho ,\phi )} \right\rangle = 0$. Локально оно разрешимо по теореме о неявной функции, так как производная левой части по $\phi $ на ее нулях равна $ - X_{\phi }^{2} \ne 0$. Предполагается, что область $\mathcal{V}$ выбрана так, что существует глобальное однозначное решение этого уравнения в области$\{ (x,\rho )x = X(\rho ,\phi )$ для некоторого $\phi $, такого, что $(\rho ,\phi ) \in \mathcal{V}\} $. Канонический оператор задается формулой

6. Особая карта ранга 2. В этом случае канонический оператор задается формулой

(в которой нетрудно, но отнюдь не всегда имеет смысл перейти к интегрированию по переменным $p = ({{p}_{1}},{{p}_{2}})$).

7. Представление начальных условий (2) с помощью канонического оператора. Начальные условия (2) могут быть представлены с помощью канонического оператора на “вертикальном” лагранжевом многообразии ${{\Lambda }_{0}}(\xi ) = \{ (x,p)\,:x = \xi ,$ $p = \alpha $ для некоторого $\alpha \in {{\mathbb{R}}^{n}}\} $ с мерой $d\mu = d{{a}_{1}} \wedge \dot { \wedge }d{{\alpha }_{n}}$. Именно, обозначим через

обычное (без параметра $h$) преобразование фурье-функции $V(y)$, и пусть ${{\widetilde V}_{\delta }}(\alpha ) = \widetilde V(\alpha {\text{/}}\delta )$, где $\delta = h{\text{/}}\mu \leqslant 1$. Тогда

5. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА И ФОРМУЛА ВАН ФЛЕКА

Для уравнения Шрёдингера $ - ih{{\psi }_{t}} - {{h}^{2}}\Delta \psi {\text{/}}2 + {v}(x)\psi = 0$ с потенциалом ${v}(x)$, удовлетворяющим условию $\left\| {{{{v}}_{{xx}}}(x)} \right\| \leqslant C$ с некоторой постоянной $C$ для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, построим для малых $t > 0$ асимптотическое решение задачи Коши с начальными условиями ${{\left. \psi \right|}_{{t = 0}}} = V((x - \xi ){\text{/}}h)$, которые представим в форме (22) (при $\delta = 1$). Решение $(X(\alpha ,t),P(\alpha ,t))$ системы Гамильтона $\dot {x} = p$, $\dot {p} = - {{{v}}_{x}}(x)$ с начальными условиями $X(\alpha ,0) = \xi $, $P(\alpha ,0) = \alpha $ существует при всех $t$, а при $t \to 0$ равномерно по $\alpha \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ справедлива асимптотика $det{{X}_{\alpha }}(\alpha ,t) = {{t}^{n}}(1 + O(t))$ (в чем нетрудно убедиться, изучая систему в вариациях), так что при достаточно малых $t > 0$ многообразие ${{\Lambda }_{t}} = \{ (x,p)\,:X = X(\alpha ,t),$ $P = P(\alpha ,t)$ для некоторого $\alpha \in {{\mathbb{R}}^{n}}\} $ диффеоморфно проектируется на физическое пространство $\mathbb{R}_{x}^{n}$. Таким образом, при этих $t$ функция ${{\psi }_{t}}$, которая получается применением канонического оператора на многообразии ${{\Lambda }_{t}}$ с мерой $d\mu = d{{\alpha }_{1}} \wedge \ldots \wedge d{{\alpha }_{n}}$ к амплитуде $\widetilde V(\alpha )$, может быть представлена в форме ВКБ-решения (19):

а $\alpha = \alpha (x,t)$ – решение системы уравнений $x = X(\alpha ,t)$. Формально в пределе при $\widetilde V \to 1$ формула (23) переходит в асимптотику функции Грина для уравнения Шрёдингера и известна в квантовой механике как формула Ван Флека. Формула (23) справедлива лишь при малых $t > 0$; далее уже в простых примерах c линейным и квадратичным потенциалом обязательно появляются фокальные точки и каустики, и приходится использовать интегральные представления. Заметим, что для уравнения Шрёдингера можно построить поправки любой степени по параметру $h$ (т.е. написать асимптотический ряд по параметру $h$) и доказать, что построенная функция приближает точное решение также с любой заданной степенной точностью по параметру $h$.

6. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

Асимптотическое решение изучим на примере задачи Коши для волнового уравнения (4):

Эффективные гамильтонианы ${{\lambda }_{ \pm }}(x,p) = \pm H(x,p)$, где $H(x,p) = c(x){\text{|}}p{\text{|}}$, как это обычно и бывает для гиперболических уравнений, однородны первой степени по импульсным переменным $p$ и вследствие этого имеют особенность при $p = 0$. Поэтому начальное лагранжево многообразие ${{\Lambda }_{0}} = {{\Lambda }_{0}}(0)$ разумно записать в полярных координатах $(\rho ,\phi )$ как ${{\Lambda }_{0}} = \{ (x,p)\,:x = 0$, $p = \rho {\mathbf{n}}(\phi )$ для некоторых $\rho \geqslant 0$, $\phi \in R\bmod 2\pi \} $, где ${\mathbf{n}}(\phi ) = {{(cos\phi ,n\phi )}^{ \top }}$. Мера при этом имеет вид $d\mu = \rho d\rho d\phi $. Решения $({{X}^{ \pm }}(\rho ,\phi ,t),{{P}^{ \pm }}(\rho ,\phi ,t))$ гамильтоновых систем обладают в силу однородности следующим замечательным свойством: если $(X(\phi ,t),P(\phi ,t))$ – решение системы (24) с верхними знаками при $\rho = 1$, тогда ${{X}^{ + }}(\rho ,\phi ,t) = X(\phi ,t)$, ${{P}^{ + }}(\rho ,\phi ,t) = \rho P(\phi ,t)$, ${{X}^{ - }}(\rho ,\phi ,t) = X(\phi + \pi ,t)$, ${{P}^{ - }}(\rho ,\phi ,t) = - \rho P(\phi + \pi ,t)$. Пусть $\Lambda _{t}^{ \pm } = \{ (x,p)\,:x = {{X}^{ \pm }}(\rho ,\phi ,t)$, $p = {{P}^{ \pm }}(\rho ,\phi ,t)$ для некоторых $\rho \geqslant 0$, $\phi \in \mathbb{R}mod2\pi \} $. Эти лагранжевы многообразия гомеоморфны полуцилиндрам и имеют лежащий в плоскости $x$-координат общий край ${{\gamma }_{t}} = \{ (x,p)\,:p = 0,$ $x = X(\phi ,t)$ для некоторого $\phi \} $. Кривая ${{\gamma }_{t}}$ определяет фронт решения, которое, согласно общим свойствам канонического оператора, оказывается локализованным в ее окрестности. Тем самым ${{\gamma }_{t}}$ можно считать каустикой специального типа. Кривая ${{\gamma }_{t}}$ может не быть гладкой; точки ее негладкости препятствуют сшиванию многообразий $\Lambda _{t}^{ \pm }$ в единое гладкое лагранжево многообразие ${{\Lambda }_{t}}$.

Воспользуемся изложенным в разд. 3 алгоритмом решения задачи Коши в сочетании с новыми интегральными формулами из разд. 4. Так как ${{X}_{\rho }}(\phi ,t) = 0$, то $det{{X}_{{\rho \phi }}}(\phi ,t) \equiv 0$, и все многообразия $\Lambda _{t}^{ \pm }$ целиком состоят из фокальных точек. Ранг матрицы ${{X}_{{\rho \phi }}}(\phi ,t)$ равен единице, если ${{X}_{\phi }}(\phi ,t) \ne 0$, и нулю в противном случае, который соответствует “точкам поворота” на ${{\gamma }_{t}}$. Рассмотрим окрестности точек, в которых ${{X}_{\phi }} \ne 0$ (особые карты ранга $1$). Пользуясь формулами из разд. 4 и учитывая тот факт, что слагаемые в асимптотике, отвечающие знакам $ + $ и $ - $, суть комплексно-сопряженные функции, получаем главный член асимптотики в виде

где $\phi (x,t)$ – решение уравнения $\left\langle {{{X}_{\phi }}(\phi ,t),x - X(\phi ,t)} \right\rangle = 0$, а $m$ – индекс Морса траектории, приходящей точку с координатой $\phi (x,t)$ на фронте ${{\gamma }_{t}}$.

Формулу эту можно упростить для случая источника (6). Eсли поворотом на угол $\theta $ матрица $B$ приводится к диагональной матрице с элементами $({{b}_{1}},{{b}_{2}})$, то функцию (25) можно представить в виде

где $y(\phi ,x)$ – альтернированное расстояние от точки $X(\phi ,t)$ до фронта ${{\gamma }_{t}}$, $S(x,t) = \tfrac{{c({{x}^{0}})}}{{c(x)}}y(x,t)$ и

Приведем теперь формулы для главного члена асимптотики в окрестности точек фронта, в которых ${{X}_{\phi }}(t,\phi ) = 0$ (особые карты ранга 2). Будем обозначать через $\phi = \phi {\text{*}}(t)$ значение параметра $\phi $, для которого справедливо последнее равенство, а также положим $x{\text{*}}(t) = X(t,\phi {\text{*}}(t))$. Тогда согласно общим формулам главный член асимптотического решения в окрестности точки $x{\text{*}}(t)$ представляется в виде

Здесь ${\mathbf{e}}(y)$ – гладкая срезающая функция, равная единице в некоторой окрестности точки $y = 0$ и нулю вне некоторой немного большей окрестности. Если ограничиться ситуациями “общего положения”, т.е. (1) ${{X}_{\phi }}(\phi {\text{*}}(t)) = 0$, ${{X}_{{\phi \phi }}}(\phi {\text{*}}(t)) \ne 0$ (2) ${{X}_{\phi }}(\phi {\text{*}}(t)) = {{X}_{{\phi \phi }}}(\phi {\text{*}}(t)) = 0$, ${{X}_{{\phi \phi \phi }}}(\phi {\text{*}}(t)) \ne 0$, то в окрестности радиуса $O({{h}^{\delta }})$, $\delta \sim {{h}^{{1/3}}}$, точки $x{\text{*}}(t)$ формулу (26) можно упростить, заменив $\left\langle {P(t,\phi ),x - X(t,\phi )} \right\rangle $ на ее разложение по степеням разности $\phi - \phi {\text{*}}(t)$ до $O({{(\phi - \phi {\text{*}}(t))}^{3}})$ в случае (1) и до $O({{(\phi - \phi {\text{*}}(t))}^{4}})$ в случае (2). Тогда можно представить функцию (26) в виде одномерного интеграла с ядром в виде функции Эйри ${\text{Ai}}(z)$ в случае (1): и функций Пирси в случае (2): Здесь знак $ + $ выбирается, когда $\left\langle {P_{{\phi \phi }}^{*},X_{{\phi \phi \phi }}^{*}} \right\rangle < 0$, и знак $ - $, когда $\left\langle {P_{{\phi \phi }}^{*},X_{{\phi \phi \phi }}^{*}} \right\rangle > 0$.

В отличие от уравнения Шрёдингера, для волнового уравнения с переменными коэффициентами поправки более высокого порядка по параметру $h$, основанные на характеристиках (траекториях системы Гамильтона) построить нельзя в силу пересечения характеристик при $p = 0$. Окрестности точки $p = 0$ соответствуют (“очень”) длинные волны, которые не улавливаются приближением геометрической оптики. Поэтому их следует рассматривать отдельно. Достаточно общий подход к этой проблеме, основанный на использовании интегральных уравнений типа Фредгольма, изложен в [2], в одномерном случае определение этой части решения, как недавно показано в [14], может быть сведено к задаче Гурса. Во всех случаях указанная часть решения вносит вклад $O({{h}^{n}})$, где $n$ – размерность физического пространства, и оказывается малой поправкой к главному члену асимптотики (см. [15]).

Подобные формулы можно написать и для гиперболических систем, включая задачи в $3$-х и $n$-мерных ситуациях. В частности, случай трехмерного волнового уравнения изучен в [16]. Сюда, в частности, относятся линеаризованная система уравнений мелкой воды, линеаризованные уравнения Эйлера и линеаризованные уравнения Навье–Стокса с малой вязкостью, уравнения магнитной гидродинамики, уравнения Максвелла и т.д. Разумеется, здесь могут возникнуть асимптотические решения с совершенно другим поведением. Например, у системы уравнений мелкой воды дополнительно к ${{H}^{ \pm }} = \pm c(x){\text{|}}p{\text{|}}$ появляется еще один эффективный гамильтониан ${{H}^{0}} = \left\langle {p,V(x,t)} \right\rangle $, описывающий движение по потоку со скоростью $V(x,t)$ локализованных вихрей малой амплитуды. При этом хотя, в отличие от ${{H}^{ \pm }}$ функция ${{H}^{0}}$– гладкая, амплитуда в асимптотике при $p = 0$ имеет негладкий сомножитель вида ${\text{|}}p{\text{|}}$ и по этой причине также нужно применять новые интегральные представления для канонического оператора. В более сложных ситуациях возникают дополнительные трудности, связанные с негладким пересечением характеристик, возникающие на множествах в фазовых пространствах, отличных от ${\text{|}}p{\text{|}} = 0$. Такие ситуации требуют отдельных, как правило, нетривиальных исследований, которые могут привести к корректировке структуры асимптотических решений. При этом асимптотические конструкции здесь скорее всего привязаны к узким классам задач, выделяемым разумными физическим условиями.

7. УРАВНЕНИЯ C ДИСПЕРСИЕЙ

При наличии дисперсии эффективные гамильтонианы не являются однородными функциями переменных $p$ первой степени. Если они и соответствующие собственные векторы матрицы $\mathcal{H}$ гладко зависят от $p$, то для построения асимптотического решения (по крайней мере, формального) можно применять схему, изложенную выше для уравнения Шрёдингера. В качестве примера, когда эффективные гамильтонианы негладкие, рассмотрим задачу Коши с локализованными начальными данными для линейного псевдодифференциального уравнения , описывающего гравитационные волны на поверхности жидкости в бассейне с переменным дном. Символ оператора в этом случае имеет вид (5), и эффективные гамильтонианы определяются формулой

где $g$ – ускорение свободного падения, а $D(x) > 0$ – гладкая функция, описывающая дно бассейна. При малых $p$ имеем где $f(z)$ – гладкая функция, и для длинных волн рассматриваемое уравнение переходит в волновое уравнение. Параметр $h$ характеризует медленность изменения дна. Начальные мы выбираем локализованными, но здесь дополнительно к параметру $h$ целесообразно ввести еще один малый параметр $\mu \geqslant h$, характеризующий размер начального возмущения: ${{\left. u \right|}_{{t = 0}}} = V(x{\text{/}}\mu )$, ${{\left. {{{u}_{t}}} \right|}_{{t = 0}}} = 0$. Физический смысл параметров $\mu $ и $h$ детально обсуждается, например, в [17], [18], при этом характер поведения решения зависит от соотношения между этими параметрами. Лагранжево многообразие теперь проектируется на двумерную область, ограниченную замкнутой кривой, вообще говоря, негладкой, и которая совпадает с введенным в разд. 6 фронтом ${{\gamma }_{t}}$ “предельного” волнового уравнения со скоростью $c = \sqrt {gD} $. Для постоянного дна $D = {\text{const}}$ соответствующие многообразия диффеоморфны дискам с выколотой (бесконечно удаленной точкой) $\left| p \right| = \infty $, $x = 0$ и границей $\Gamma _{t}^{ \pm } \equiv {{\Gamma }_{t}}\{ p = 0,\;\left| x \right| = ct\} $ (см. фиг. 1 ). Кривая ${{\gamma }_{t}}$ теперь определяет передний фронт волны и представляет собой движущуюся каустику нестандарного типа. Носитель асимптотического решения при $\mu \ll 1$ находится в области, ограниченной кривой ${{\gamma }_{t}}$. Важно подчеркнуть, что прообразы $\Gamma _{t}^{ \pm }$ переднего фронта ${{\gamma }_{t}}$ на $\Lambda _{t}^{ \pm }$ попадает на множество пересечений характеристик, задаваемых эффективными гамильтонианами ${{H}^{ \pm }}$. Вне окрестности кривой ${{\gamma }_{t}}$ можно использовать стандартные формулы для канонического оператора, но в окрестности ${{\gamma }_{t}}$ – наиболее интересной с точки зрения приложений области, нужно использовать новые интегральные представления. Соответствующие формулы (включая пример функции $V$ вида (6)) приведены в работах [19]–[22], здесь мы кратко опишем их структуру. Если ввести параметр $\delta = h{\text{/}}\mu $, то эти формулы совпадут с (25), (26), если в них ввести множитель $1{\text{/}}{{\delta }^{2}}$ и заменить $\widetilde V(\rho {\mathbf{n}})(\phi )$ на Поведение решения рассматриваемой задачи в зависимости от соотношения между параметрами описано в упоминавшихся работах. Кратко сформулируем основные выводы (см. фиг. 2). При $\mu \gg {{h}^{{2/3}}}$ мы имеем длинноволновое приближение, дисперсионные эффекты практически не играют роли и асимптотика решения локализована в окрестности ${{\gamma }_{t}}$ и такая же, как и в случае волнового уравнения. Если $\mu \sim {{h}^{{2/3}}}$, то дисперсия оказывается слабой, у решения имеется головная волна, которая локализована в окрестности переднего фронта, и имеется хвост из осцилляций меньшей амплитудой, также быстро убывающий при отдалении от ${{\gamma }_{t}}$. При $\mu \sim h$ дисперсионные эффекты становятся сильными, амплитуды осцилляций внутри области возрастают и максимум волновой амплитуды перемещается от ${{\gamma }_{t}}$ внутрь области, ограниченной ${{\gamma }_{t}}$. При этом максимальная амплитуда возбуждаемых волн при увеличении дисперсии в заданный момент времени существенно уменьшается.

Наконец, кратко опишем результаты, касающиеся асимптотического решения задачи Коши с локализованными начальными данными для двумерного уравнения Дирака для графена с линейным потенциалом [23]. Эффективные гамильтонианы в этом случае равны ${{H}^{ \pm }} = \pm \left| p \right| + U(x)$ и при $p = 0$ также имеет место эффект негладкого пересечения характеристик. В этой ситуации проекции соответствующих лагранжевых многообразий лежат внутри окружности ${{\gamma }_{t}} = \{ {\text{|}}x{\text{|}} = t\} $, однако прообразы $\Gamma _{t}^{ \pm }$ кривых ${{\gamma }_{t}}$ на соответствующих многообразиях множества $\Lambda _{t}^{ \pm }$ не совпадают с множеством, где многообразия $\Lambda _{t}^{ \pm }$ становятся негладкими, и с множеством пересечения характеристик. Тем не менее и в этом случае в [23] показано, что главный член асимптотики решения определяется с помощью модифицированного канонического оператора (разд. 4) по алгоритму из разд. 3.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Алгоритм, изложенный в разд. 3, позволяет строить асимптотические решения задачи Коши с локализованными начальными условиями для широкого класса дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений с вещественными характеристиками. В приложениях особенно интересен главный член асимптотики. В этой ситуации конструкции из разд. 3 приводят к достаточно эффективным формулам при использовании подходящих модификаций канонического оператора Маслова. Это было продемонстрировано для случая гиперболических уравнений и уравнений со слабой дисперсией в работе Доброхотова, Тироцци и Шафаревича [25] и в недавних работах Назайкинского и Шафаревича [26] и Грушина, Доброхотова и Сергеева [27], а для уравнений с сильной дисперсией в случае постоянных коэффициентов – в статье Доброхотова, Секерж-Зеньковича и Толченникова [22]. Для случая переменных коэффициентов в уравнениях волн на воде с сильной дисперсией соответствующая публикация готовится авторами к печати (с теоретической точки зрения эта задача была рассмотрена Доброхотовым и Жевандровым в статье [28], однако, для получения окончательных эффективных формул из полученных в той статье результатов нужно еще проделать сложные вычисления, связанные с методом стационарной фазы). Мы отсылаем читателя к цитированной литературе за дальнейшими подробностями.