Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 8, стр. 1408-1421

1. ВВЕДЕНИЕ

Cистема уравнений Максвелла в гауссовой системе единиц имеет вид [1]

где $(x,t) \in \Omega \times (0,T)$, $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$, $T > 0$. Предполагается, что векторные поля $\vec {H}$, $\vec {J}$, $\vec {D}$, $\vec {E}$, $\vec {B}$ удовлетворяют линейным материальным соотношениям где ${{\vec {J}}^{{{\text{ст}}}}}$ – объемная плотность сторонних токов.

Система (1.1)–(1.5) будет рассматриваться при следующих граничных и начальных условиях:

где $\vec {\nu }(x)$ – единичный вектор внешней нормали в точке $x \in \partial \Omega $,

В прикладных задачах для моделирования достаточно медленных электромагнитных процессов вместо системы (1.1)–(1.5) часто используются различные квазистационарные приближения [1]–[3]. При моделировании относительно медленных электромагнитных процессов в плазме получило достаточно широкое распространение приближение Дарвина [1], [4]–[9]. В этом приближении полагается, что ток смещения $\tfrac{1}{c}\tfrac{\partial }{{\partial t}}\vec {D} = \tfrac{1}{c}\tfrac{\partial }{{\partial t}}\varepsilon \vec {E}$ в уравнении (1.1) можно заменить на $ - \tfrac{1}{c}\tfrac{\partial }{{\partial t}}\varepsilon \operatorname{grad} \varphi $, где

Для областей, заполненных неоднородной проводящей средой с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon (x)$, первое уравнение системы в этом приближении принимает вид

Система (1.7), (1.2)–(1.5) в этом случае рассматривается при граничных и начальных условиях

Вопросы о иерархии различных квазистационарных приближений обсуждаются в работах [2], [10], [11]. В частности, в [11] отмечается, что приближение Дарвина охватывает используемые при моделировании различных физических процессов традиционные нерелятивистское магнитное приближение и нерелятивистское электрическое приближение [1]–[3].

Для медленно протекающих процессов в средах с достаточно высокой проводимостью характерно нерелятивистское магнитное приближение, которое также называется магнитным гидродинамическим приближением или просто квазистационарным приближением [1]–[3], [12]. Формально это приближение заключается в пренебрежении током смещения, т.е. в уравнении (1.1) можно положить $\tfrac{1}{c}\tfrac{\partial }{{\partial t}}\vec {D} \approx 0$. Различным аспектам математического и численного моделирования, исследованию корректности различных постановок задач для этого приближения посвящена достаточно обширная литература, в частности – работы [13]–[25]. В работах [13]–[15] обсуждается обоснование квазистационарного магнитного приближения.

Другое квазистационарное приближение, называемое нерелятивистским электрическим приближением [2], применяется для описания достаточно медленных процессов в средах с малой проводимостью. В частности, традиционно используется при моделировании электромагнитных процессов в атмосфере [26]–[31]. Формально это приближение заключается в пренебрежении слагаемым $\tfrac{1}{c}\tfrac{\partial }{{\partial t}}\vec {B}$ в уравнении (1.2), что приводит к потенциальности электрического поля в пространственно-односвязных областях.

В работах [10], [32]–[34] получены строгие результаты о корректности задач для линейной системы уравнений Максвелла (1.1)–(1.4) в рамках приближения Дарвина и установлена асимптотическая связь между решениями задач, полученных в рамках дарвиновского приближения, и решениями соответствующих задач для исходной нестационарной системы Максвелла при малом значении параметра $\beta = \Delta x{\text{/}}(c\Delta t)$, где $\Delta x$ – характерный пространственный масштаб, $\Delta t$ – характерный временной масштаб, $c$ – скорость света. В этих работах предполагалось, что в системе (1.1)–(1.4) объемная плотность тока $\vec {J}$ и объемная плотность заряда $\rho $ – заданные функции, что формально соответствует предположению о непроводящей среде (в (1.5) $\sigma \equiv 0$). В этом случае задача определения электрического и магнитного полей разбивается на независимые друг от друга эллиптические задачи поиска потенциальной составляющей электрического поля ${{\vec {E}}_{L}} = - \operatorname{grad} \varphi $, магнитной индукции $\vec {B}$ и вихревой составляющей электрического поля ${{\vec {E}}_{T}} = \vec {\mathcal{E}}$.

В настоящей работе изучается приближение Дарвина для системы уравнений Максвелла в неоднородных проводящих средах. Условие неоднородности сред приводит, в отличие от работ [32]–[34], к связанной системе дифференциальных уравнений для неизвестных функций $\vec {H}$, $\vec {\mathcal{E}}$, $ - \operatorname{grad} \varphi $, не сводящейся к классическим задачам математической физики. Доказывается теорема о существовании и единственности решения начально-краевой задачи для системы уравнений Максвелла в указанном приближении при общих условиях на коэффициенты. Для строгого исследования решений задачи используется метод Фаэдо–Галеркина. Приводятся оценки близости решения задачи к решению соответствующей нестационарной задачи через норму производной по времени напряженности поля сторонних токов. Рассматриваемые оценки зависят от двух безразмерных параметров: $\beta $ и $\gamma = 4\pi \sigma {\text{*}}\Delta t$, где $\sigma {\text{*}}$ – характерное значение удельной проводимости, и получены при дополнительном условии согласования начальных данных

позволяющем избежать эффекта пограничного слоя по времени.

2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В работе предполагается, что $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ – открытая ограниченная область, гомеоморфная шару в ${{\mathbb{R}}^{3}}$ с липшиц-непрерывной границей $\Gamma $, в почти каждой точке $x \in \Gamma $ определен единичный вектор внешней нормали $\vec {\nu }(x)$.

Определяются следующие гильбертовы пространства вектор-функций с соответствующими скалярными произведениями [35], [36]:

где через ${{( \cdot , \cdot )}_{{2,\Omega }}}$ обозначено скалярное произведение в ${{L}_{2}}(\Omega )$ и в ${{\{ {{L}_{2}}(\Omega )\} }^{3}}$.

Через ${{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$, ${{H}_{0}}({\text{div}};\Omega )$ обозначается замыкание множества пробных вектор-функций ${{\left\{ {\mathcal{D}(\Omega )} \right\}}^{3}}$ соответственно в $H({\text{rot}};\Omega )$ и $H({\text{div}};\Omega )$, ${{K}_{0}}({\text{rot}};\Omega ) = K({\text{rot}};\Omega ) \cap {{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$, ${{K}_{0}}({\text{div}};\Omega ) = K({\text{div}};\Omega ) \cap {{H}_{0}}({\text{div}};\Omega )$ ${{K}_{0}}({\text{div}};\Omega ) = K({\text{div}};\Omega ) \cap {{H}_{0}}({\text{div}};\Omega )$.

Справедливы следующие утверждения (см. [35], [36]).

Лемма 1. Пусть $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ – липшицева область. Функция $\vec {u} \in H({\text{rot}};\Omega )$ лежит в классе ${{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$ тогда и только тогда, когда при всех ${\vec {v}} \in H({\text{rot}};\Omega )$

Лемма 2. Для любой функции $\vec {u} \in K({\text{rot}};\Omega )$ найдется функция $p \in {{H}^{1}}(\Omega )$ такая, что $\vec {u} = \operatorname{grad} p$. Если $\vec {u} \in {{K}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$, можно выбрать $p \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Пусть $\eta :{{\left\{ {{{L}_{2}}(\Omega )} \right\}}^{3}} \to {{\left\{ {{{L}_{2}}(\Omega )} \right\}}^{3}}$ – непрерывный линейный самосопряженный оператор такой, что при некоторых ${{\eta }_{1}}$, ${{\eta }_{2}} > 0$ имеем

для всех $\vec {u} \in {{\left\{ {{{L}_{2}}(\Omega )} \right\}}^{3}}$. Обозначим через ${{\left\{ {{{L}_{2}}(\eta ;\Omega )} \right\}}^{3}}$ пространство ${{\left\{ {{{L}_{2}}(\Omega )} \right\}}^{3}}$, снабженное скалярным произведением ${{(\vec {u},{\vec {v}})}_{\eta }} = {{(\eta \vec {u},{\vec {v}})}_{{2,\Omega }}}$. Положим также

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 3. Ортогональное дополнение к $K(\operatorname{div} \eta ;\Omega )$ в ${{\left\{ {{{L}_{2}}(\eta ;\Omega )} \right\}}^{3}}$ совпадает с подпространством ${{K}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$.

Лемма 4. Ортогональное дополнение к ${{K}_{0}}(\operatorname{div} \eta ;\Omega )$ в ${{\left\{ {{{L}_{2}}(\eta ;\Omega )} \right\}}^{3}}$ совпадает с подпространством $K({\text{rot}};\Omega )$.

Леммы 3, 4 вытекают из соответствующих утверждений для $\eta \equiv 1$, доказанных в [35], [36], поскольку

Лемма 5. Cуществует такая постоянная $C(\Omega ) > 0$, зависящая только от области $\Omega $, что для всех $\vec {u} \in {{U}_{i}}(\eta ;\Omega )$, $i = 1,\;2$, справедливо неравенство

Лемма доказана, например, в [24].

3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА

Система уравнений Максвелла (1.1)–(1.4) с учетом материальных соотношений (1.5) в гауссовой системе единиц записывается в виде

$(x,t) \in Q = \Omega \times (0,T)$.

Система (3.1), (3.2) рассматривается при однородных краевых условиях

и начальных условиях

Неизвестные функции $\vec {J}$, $\vec {D}$, $\vec {B}$ могут быть найдены из соотношений (1.5), уравнение (1.4) служит для опредения функции $\rho $.

В работе предполагается, что ${{\vec {J}}^{{{\text{ст}}}}}:Q \to {{\mathbb{R}}^{3}}$, $\vec {h}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{3}}$, $\vec {e}:\Omega \to {{R}^{3}}$ – суммируемые с квадратом функции, $\mu $, $\sigma $, $\varepsilon $ – функции из ${{L}_{\infty }}(\Omega )$, удовлетворяющие условиям

${{\mu }_{i}}$, ${{\sigma }_{i}}$, ${{\varepsilon }_{i}}$ ($i = 1,\;2$) – заданные положительные числа.

Определим следующие гильбертовы пространства вектор-функций:

$V(\Omega ) = H({\text{rot}};\Omega ) \times {{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$, $L(\Omega ) = {{\left\{ {{{L}_{2}}(\Omega )} \right\}}^{3}} \times {{\left\{ {{{L}_{2}}(\Omega )} \right\}}^{3}}$ со скалярным произведением

Пусть $A:V(\Omega ) \to L(\Omega )$ – линейный оператор, определенный соотношением

Тогда задача (3.1)–(3.4) допускает следующую обобщенную постановку.

Найти такую функцию $\Psi = \{ \vec {H},\vec {E}\} \in {{L}_{2}}(0,T,L(\Omega ))$, что для всех $\Phi = \left\{ {\vec {u},{\vec {v}}} \right\} \in V(\Omega )$

Введем оператор $B:L(\Omega ) \to L(\Omega )$, $B\Phi = \{ 0,\;{{\varepsilon }^{{ - 1}}}\sigma {\vec {v}}\} $ и функционал $f:L(\Omega ) \to {{\mathbb{R}}^{1}}$, $f(\Phi ) = {{({{\vec {J}}^{{{\text{ст}}}}},{\vec {v}})}_{{2,\Omega }}}$. Тогда равенство (3.5) примет вид

Справедлива

Теорема 1. Для любых ${{\Psi }_{0}} \in L(\Omega )$, ${{\vec {J}}^{{{\text{ст}}}}} \in {{L}_{2}}(0,T,{{\{ {{L}_{2}}(\Omega )\} }^{3}})$ существует единственное решение $\Psi \in {{L}_{2}}(0,T,L(\Omega ))$ задачи (3.5), (3.6). Если ${{\Psi }_{0}} \in V(\Omega )$, ${{\vec {J}}^{{{\text{ст}}}}} \in {{H}^{1}}(0,T,{{\{ {{L}_{2}}(\Omega )\} }^{3}})$, то $\Psi \in {{L}_{2}}(0,T,V(\Omega ))$, $\partial {\text{/}}\partial t\Psi \in {{L}_{\infty }}(0,T,L(\Omega ))$ и справедливы соотношения (3.1), (3.2).

Теорема доказывается так же, как соответствующие утверждения в [37] (теоремы 4.1, 5.1 главы VII).

Из (3.2) вытекает, что при $\vec {h} \in {{U}_{2}}(\mu ;\Omega )$ для решения задачи (3.1)–(3.4) выполнено условие

Пусть $\Delta x$ – характерный пространственный масштаб, $\Delta t$ – характерный временной масштаб, $\sigma {\text{*}}$ – характерное значение удельной проводимости, $\rho {\text{*}}$ – характерное значение плотности заряда. Заменим переменную $x$ на $\Delta x \cdot x{\text{'}}$, $t$ на $\Delta t \cdot t{\text{'}}$. Положим $\sigma = \sigma {\text{*}}{{\sigma }_{0}}$, ${{\sigma }_{{01}}} \leqslant {{\sigma }_{0}}(x{\text{'}}) \leqslant {{\sigma }_{{02}}}$, и введем следующие обозначения:

Система уравнений Максвелла (3.1), (3.2) принимает вид

где $(x{\text{'}},t{\text{'}}) \in Q{\text{'}} = \Omega {\text{'}} \times (0,T{\text{'}})$.

Система (3.7), (3.8) рассматривается при однородных краевых условиях

соответствующих (3.3), и начальных условиях

Уравнение (1.4) примет в безразмерных величинах вид

Условие (1.9) на начальные данные в безразмерных величинах записывается в виде

Далее, для удобства, будем опускать штрихи при безразмерных переменных $(x{\text{'}},t{\text{'}})$ и области их изменения $Q{\text{'}} = \Omega {\text{'}} \times (0,T{\kern 1pt} ')$.

Лемма 6. Пусть выполнено условие (3.11). Тогда для решения задачи (3.7)–(3.10) имеет место оценка

Доказательство. Пусть ${{\Phi }_{1}}$, …, ${{\Phi }_{n}}$, … – базис в $V(\Omega )$ такой, что ${{\Psi }_{0}} = {{g}_{0}}{{\Phi }_{1}}$. Докажем неравенство для приближенного решения задачи (3.7)–(3.10), имеющего вид

При $t = 0$ имеем

Умножая (3.14) на $g_{{jn}}^{'}(0)$ и суммируя по $j = 1,\; \ldots ,\;n$, получаем

Продифференцируем (3.13) по $t$, умножим на $g_{{jn}}^{'}$, просуммируем по $j = 1,\; \ldots ,\;n$:

Отсюда получаем Пусть $y(t) = {{\left\{ {\int_0^t {\left\| {\partial {\text{/}}\partial t{{{\vec {E}}}_{n}}} \right\|_{{2,\Omega }}^{2}dt} } \right\}}^{{1/2}}}$, тогда откуда вытекает (3.12).

4. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ДАРВИНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Докажем корректность начально-краевой задачи для системы уравнений Максвелла в дарвиновском приближении (1.7), (1.2)–(1.5).

Согласно леммам 2, 3 можно положить

Система уравнений Максвелла в квазистационарном приближении (1.7), (1.2)–(1.5) принимает в безразмерных единицах вид Система (4.1), (4.2) рассматривается при граничных условиях и начальных условиях

Введем гильбертовы пространства ${{V}_{0}}(\Omega ) = H({\text{rot}};\Omega ) \times {{K}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$, $U(\Omega ) = {{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega ) \cap $ $ \cap \;K(\operatorname{div} \varepsilon ;\Omega ) = {{U}_{1}}(\varepsilon ;\Omega )$, ${{(\vec {u},{\vec {v}})}_{U}} = {{(\vec {u},{\vec {v}})}_{{{\text{rot}},\Omega }}}$.

Задача (4.1)–(4.4) допускает следующую постановку: найти $\Psi = \left\{ {\vec {H},\operatorname{grad} \varphi } \right\} \in {{L}_{2}}(0,T,{{V}_{0}}(\Omega ))$ и $\vec {\mathcal{E}} \in {{L}_{2}}(0,T,U(\Omega ))$ такие, что для всех $\Phi = \left\{ {\vec {u},\operatorname{grad} \psi } \right\} \in {{V}_{0}}(\Omega )$, ${\vec {v}} \in U(\Omega )$ имеем

и

Условие на начальные данные задачи, эквивалентное (3.11), имеет вид

Теорема 2. Пусть $\vec {h} \in H({\text{rot}};\Omega )$, ${{\vec {E}}^{{{\text{ст}}}}} \in {{H}^{1}}(0,T,{{\{ {{L}_{2}}(\Omega )\} }^{3}})$ и выполнено условие (4.8). Тогда существует единственное решение $\Psi $, $\vec {\mathcal{E}}$ задачи (4.5)–(4.7). При этом $\Psi \in {{L}_{\infty }}(0,T,L(\Omega ))$, $\partial {\text{/}}\partial t\Psi \in {{L}_{2}}(0,T,L(\Omega ))$ и справедливы соотношения (4.1), (4.2). Имеют место оценки

где $C(\Omega )$ – константа из неравенства (2.1).

Доказательство. Пусть ${{\Phi }_{1}}$, …, ${{\Phi }_{n}}$, … – базис в ${{V}_{0}}(\Omega )$ такой, что ${{\Psi }_{0}} = {{g}_{0}}{{\Phi }_{1}}$, ${{\Phi }_{j}} = \{ {{\vec {u}}_{j}},\operatorname{grad} {{\psi }_{j}}\} $, ${{{\vec {v}}}_{1}}$, …, ${{{\vec {v}}}_{n}}$, … – базис в $U(\Omega )$. Определим приближенное решение задачи (4.5), (4.6), (4.7):

Умножим (4.11) на ${{g}_{{jn}}}$, (4.12) на ${{h}_{{jn}}}$, просуммируем по $j = 1,\; \ldots ,\;n$ и получим

где ${{\vec {E}}_{n}} = {{\vec {\mathcal{E}}}_{n}} - \operatorname{grad} {{\varphi }_{n}} \in {{L}_{2}}(0,T,{{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega ))$,

При $t = 0$ из (4.12) получаем ${{\vec {E}}_{n}}(0) = 0$, из (4.11) следует, что

т.е. $\partial {\text{/}}\partial t{{\Psi }_{n}}(0) = 0$.

Продифференцируем (4.11) и (4.12) по $t$, умножим на $g_{{jn}}^{'}$ и $h_{{jn}}^{'}$ соответственно, просуммируем по $j = 1,\; \ldots ,\;n$ и получим

Существует подпоследовательность ${{\Psi }_{{{{n}_{k}}}}}$, сходящаяся $ * $-слабо в ${{L}_{\infty }}(0,T,L(\Omega ))$ к некоторой функции $\Psi \in {{L}_{\infty }}(0,T,L(\Omega ))$, при этом $\partial {\text{/}}\partial t{{\Psi }_{{{{n}_{k}}}}}$ сходится $ * $-слабо в ${{L}_{\infty }}(0,T,L(\Omega ))$ к ${{\Psi }^{1}} \in {{L}_{\infty }}(0,T,L(\Omega ))$, ${{\vec {\mathcal{E}}}_{{{{n}_{k}}}}}$ сходится слабо в ${{L}_{2}}(0,T,{{\{ {{L}_{2}}(\Omega )\} }^{3}})$ к $\vec {\mathcal{E}} \in {{L}_{2}}(0,T,K(\varepsilon ,\Omega ))$. Для всех $\Phi \in L(\Omega )$, $\omega \in \mathcal{D}(0,T)$ имеем

т.е. $\partial {\text{/}}\partial t\Psi = {{\Psi }^{1}} \in {{L}_{2}}(0,T,L(\Omega ))$.

Пусть $\omega \in {{C}^{1}}([0,T])$, $\omega (T) = 0$. Умножим (4.11), (4.12) на $\omega $ и проинтегрируем по частям:

Переходя к пределу при ${{n}_{k}} \to \infty $, получаем

По линейности имеем для всех $\Phi $, являющихся линейными комбинациями ${{\Phi }_{i}}$ и ${\vec {v}}$, являющихся линейными комбинациями ${{{\vec {v}}}_{i}}$. Так как эти комбинации плотны в ${{V}_{0}}(\Omega )$ и в $U(\Omega )$ соответственно, равенства справедливы для всех $\Phi \in {{V}_{0}}(\Omega )$, ${\vec {v}} \in U(\Omega )$. В частности, если взять $\omega \in \mathcal{D}(0,T)$, получим равенства (4.5), (4.6), которые выполняются в смысле распределений на $(0,T)$.

Умножим (4.5) на $\omega \in {{C}^{1}}[0,T]$, $\omega (T) = 0$ и получим

т.е. выполнено начальное условие.

Из (4.5) вытекает, что ${{(\vec {\mathcal{E}},\operatorname{rot} \vec {u})}_{{2,\Omega }}} = - {{(\mu \partial {\text{/}}\partial t\vec {H},\vec {u})}_{{2,\Omega }}}$ для всех $\vec {u} \in H({\text{rot}};\Omega )$, т.е. $\vec {E} \in {{L}_{2}}(0,T,H({\text{rot}};\Omega ))$ и справедливо равенство (4.1). Умножая (4.1) на $\vec {u} \in H({\text{rot}};\Omega )$, получаем ${{(\operatorname{rot} \vec {\mathcal{E}},\vec {u})}_{{2,\Omega }}} = {{(\vec {\mathcal{E}},\operatorname{rot} \vec {u})}_{{2,\Omega }}}$, т.е. $\vec {\mathcal{E}} \in {{L}_{2}}(0,T,{{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega ))$.

Пусть $\vec {w} \in {{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$, $\vec {w} = {\vec {v}} + \operatorname{grad} \psi $, ${\vec {v}} \in U(\Omega )$, $\operatorname{grad} \psi \in {{K}_{0}}({\text{rot}};\Omega )$. Из (4.5), (4.6) получаем

$\operatorname{rot} \vec {H} \in {{L}_{2}}(0,T,{{{\text{\{ }}{{L}_{2}}(\Omega ){\text{\} }}}^{3}})$, т.е. $\vec {H} \in {{L}_{2}}(0,T,H({\text{rot}};\Omega ))$, $\Psi \in {{L}_{2}}(0,T,{{V}_{0}}(\Omega ))$.

Пусть ${{\Psi }_{1}}$, ${{\vec {\mathcal{E}}}_{1}}$ и ${{\Psi }_{2}}$, ${{\vec {\mathcal{E}}}_{2}}$ – два решения задачи, $\Psi = {{\Psi }_{1}} - {{\Psi }_{2}}$, $\vec {\mathcal{E}} = {{\vec {\mathcal{E}}}_{1}} - {{\vec {\mathcal{E}}}_{2}}$, тогда $\Psi (0) = 0$,

т.е. решение единственно.

Из оценки (4.13) следует, что

При $t = 0$ из (4.6) получаем

для ${\vec {v}} \in U(\Omega )$, т.е. $\vec {\mathcal{E}}(0) = 0$.

Продифференцировав (4.6) по $t$, получим

Из равенства (4.2) вытекает, что $\operatorname{rot} \vec {\mathcal{E}} = - \beta \partial {\backslash }\partial t\mu \vec {H} \in {{L}_{\infty }}(0,T,{{{\text{\{ }}{{L}_{2}}(\Omega ){\text{\} }}}^{3}})$. Таким образом,

где $s > 0$. Возьмем $s = 2{{\beta }^{2}}\gamma {{\mu }_{2}}{{\sigma }_{{02}}}C(\Omega )$, где $C(\Omega )$ – константа из неравенства (2.1). Имеем

Таким образом, справедлива оценка (4.10).

5. СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ И КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧ

Пусть ${\text{\{ }}{{\vec {H}}^{n}},{{\vec {E}}^{n}}{\text{\} }} \in {{L}_{2}}(0,T,V(\Omega ))$ – решение задачи (3.7)–(3.10), ${{\vec {E}}^{n}} = {{\vec {\mathcal{E}}}^{n}} - \operatorname{grad} {{\varphi }^{n}}$, где $\vec {E} \in {{L}_{2}}(0,T,U(\Omega ))$, $\operatorname{grad} {{\varphi }^{n}} \in {{L}_{2}}(0,T,{{H}_{0}}({\text{rot}};\Omega ))$. Обозначим через ${\text{\{ }}{{\vec {H}}^{d}},\operatorname{grad} {{\varphi }^{d}}{\text{\} }} \in {{L}_{2}}(0,T,{{V}_{0}}(\Omega ))$, ${{\vec {\mathcal{E}}}^{d}} \in {{L}_{2}}(0,T,U(\Omega ))$ решение задачи (4.1)–(4.4), где $ - {\text{grad}}{{\varphi }_{0}} = \vec {e}$, $\kappa {{\rho }^{n}} = - \operatorname{div} \varepsilon \operatorname{grad} {{\varphi }^{n}} \in {{L}_{2}}(0,T,{{H}^{{ - 1}}}(\Omega ))$ $\kappa {{\rho }^{n}} = - \operatorname{div} \varepsilon \operatorname{grad} {{\varphi }^{n}} \in {{L}_{2}}(0,T,{{H}^{{ - 1}}}(\Omega ))$, $\kappa {{\rho }^{d}} = - \operatorname{div} \varepsilon \operatorname{grad} {{\varphi }^{d}} \in {{L}_{2}}(0,T,{{H}^{{ - 1}}}(\Omega ))$.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (3.11) и (4.8). Тогда справедливы неравенства

где положительные постоянные $a$ и ${{C}_{i}}$, $i = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 5$, не зависят от $\beta $, $\gamma $.

Доказательство. Положим $\vec {H} = {{\vec {H}}^{n}} - {{\vec {H}}^{d}}$, $\vec {\mathcal{E}} = {{\vec {\mathcal{E}}}^{n}} - {{\vec {\mathcal{E}}}^{d}}$, $\varphi = {{\varphi }^{n}} - {{\varphi }^{d}}$, $\vec {E} = \vec {\mathcal{E}} - \operatorname{grad} \varphi $, $\rho = {{\rho }^{n}} - {{\rho }^{d}}$. Тогда ${\text{\{ }}\vec {H},\vec {E}{\text{\} }} \in {{L}_{2}}(0,T,V(\Omega ))$,

Умножая скалярно (5.6) на ${\text{grad}}\varphi $, получаем

Если ${{\varepsilon }^{{ - 1}}}{{\sigma }_{0}} \equiv {\text{const}}$, то ${{({{\sigma }_{0}}\vec {\mathcal{E}},\operatorname{grad} \varphi )}_{{2,\Omega }}} = {{({{\varepsilon }^{{ - 1}}}{{\sigma }_{0}}\varepsilon \vec {\mathcal{E}},\operatorname{grad} \varphi )}_{{2,\Omega }}} = 0$, следовательно, $\operatorname{grad} \varphi = 0$. В противном случае имеем Умножив (5.6) на $\vec {E}$, (5.7) на $\vec {H}$, получим откуда имеем

Для всех $\psi \in H_{0}^{1}(\Omega )$ и почти всех $t \in (0,T)$

Таким образом,

Из (5.6) также получаем

Из теорем 1, 2 вытекает, что $\operatorname{rot} \vec {E} \in {{L}_{2}}(0,T,{{K}_{0}}({\text{div}};\Omega ))$. Следовательно, для почти всех $t \in (0,T)$ верно

и для $\vec {H}(t)$ справедлива оценка (2.1).

Используя оценку (3.12), из (5.8)–(5.12) получаем неравенства (5.1)–(5.5), где

${{C}_{5}} = {{\varepsilon }_{2}}{{C}_{1}}$, $a = T{{\sigma }_{{01}}}\varepsilon _{1}^{{ - 1}}$, $C(\Omega )$ – постоянная из неравенства (2.1).

Укажем асимптотические свойства функций от $\gamma $, фигурирующих в правой части неравенств (5.1)–(5.3), (5.5):

${{f}_{\varphi }}(\gamma ) \leqslant min{\text{\{ }}a\gamma ,{{\gamma }^{{ - 1}}}{\text{\} }} \leqslant \sqrt a $, ${{f}_{\varphi }}(\gamma ) = O(\gamma )$ при $\gamma \to 0$, ${{f}_{\varphi }}(\gamma ) = O({{\gamma }^{{ - 1}}})$ при $\gamma \to \infty $;

функция ${{f}_{\mathcal{E}}}(\gamma )$ монотонно убывает, ${{f}_{\mathcal{E}}}(\gamma ) \to a$ при $\gamma \to 0$, ${{f}_{\mathcal{E}}}(\gamma ) = O({{\gamma }^{{ - 1}}})$ при $\gamma \to \infty $;

${{f}_{H}}(\gamma ) = {{f}_{\varphi }}{{(\gamma )}^{{1/2}}}$, ${{f}_{H}}(\gamma ) = O(\sqrt \gamma )$ при $\gamma \to 0$, ${{f}_{H}}(\gamma ) = O(1{\text{/}}\sqrt \gamma )$ при $\gamma \to \infty $.

С учетом замечания, сделанного при доказательстве теоремы 3, в случае, когда среда однородная ($\varepsilon \equiv {\text{const}}$, $\mu \equiv {\text{const}}$, ${{\sigma }_{0}} \equiv 1$) имеем

и справедливы оценки где ${{\vec {E}}^{{{\text{ст}}}}} = {{\vec {\mathcal{E}}}^{{{\text{ст}}}}} + \operatorname{grad} {{\psi }^{{{\text{ст}}}}}$, ${{\vec {\mathcal{E}}}^{{{\text{ст}}}}} \in {{L}_{2}}(0,T,K(\operatorname{div} \Omega ))$, $\mathop {\operatorname{grad} \psi }\nolimits^{{\text{ст}}} \in {{L}_{2}}(0,T,{{K}_{0}}({\text{rot}};\Omega ))$.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные в теореме 3 неравенства (5.1)–(5.5) позволяют оценивать в различных нормах отличие между квазистационарными и нестационарными полями $\vec {H}$, $\vec {\mathcal{E}}$, ${\text{grad}}\varphi $, $\rho $ через ${{\left\| {\partial {\text{/}}\partial t{{{\vec {E}}}^{{{\text{ст}}}}}} \right\|}_{{2,Q}}}$ с коэффициентами, зависящими от параметров $\beta = \Delta x{\text{/}}(c\Delta t)$ и $\gamma = 4\pi \sigma {\text{*}}\Delta t$, характеризующими скорость протекающих процессов.

Отметим, что для медленных процессов при $\Delta t \to \infty $ будет выполнено $\beta \to 0$ и $\gamma \to \infty $, и для близости напряженностей магнитных полей ${{\vec {H}}^{n}}$ и ${{\vec {H}}^{d}}$ достаточно малости коэффициента $\beta $ (оценка (5.4)), хотя есть и альтернативная оценка (5.3) через $\gamma $ в силу асимптотических свойств ${{f}_{H}}(\gamma )$ при $\gamma \to \infty $. Соответственно для близости составляющих напряженностей электрических полей ${{\vec {\mathcal{E}}}^{n}}$ и ${{\vec {\mathcal{E}}}^{d}}$, $\operatorname{grad} {{\varphi }^{n}}$ и $\operatorname{grad} {{\varphi }^{d}}$, а также плотностей зарядов ${{\rho }^{n}}$ и ${{\rho }^{d}}$ достаточно малости $1{\text{/}}\gamma $ в силу асимптотических свойств функций ${{f}_{\mathcal{E}}}(\gamma )$ и ${{f}_{\varphi }}(\gamma )$.

Также можно отметить, что в силу асимптотических свойств функций ${{f}_{\varphi }}(\gamma )$ и ${{f}_{H}}(\gamma )$ при $\gamma \to 0$ (быстро протекающие процессы) из оценок (5.1), (5.3), (5.5) может следовать близость полей ${{\vec {H}}^{n}}$ и ${{\vec {H}}^{d}}$, $\operatorname{grad} {{\varphi }^{n}}$ и $\operatorname{grad} {{\varphi }^{d}}$, ${{\rho }^{n}}$ и ${{\rho }^{d}}$.

При применении неравенств (5.1)–(5.5) следует иметь в виду, что при варьировании параметра $\gamma $, зависящего также от удельной проводимости $\sigma $, может меняться также норма $\partial {\text{/}}\partial t{{\vec {E}}^{{{\text{ст}}}}}$, поскольку ${{\vec {E}}^{{{\text{ст}}}}} = {{\vec {J}}^{{{\text{ст}}}}}{\text{/}}\sigma $.

В случае однородных сред потенциальная составляющая электрического поля $\operatorname{grad} {{\varphi }^{d}}$ в приближении Дарвина совпадает с точным значением потенциальной составляюшей электрического поля $\operatorname{grad} {{\varphi }^{n}}$.