Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 8, стр. 1377-1382

Отсутствие знакопеременных решений для некоторых эллиптических неравенств в ограниченных областях

Е. И. Галахов^1, *, О. А. Салиева^2, **

¹ РУДН
117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, Россия

² МГТУ “Станкин”
127994 Москва, ГСП-4, Вадковский пер., 1, Россия

^* E-mail: egalakhov@gmail.com
^** E-mail: olga.a.salieva@gmail.com

Поступила в редакцию 15.02.2020
После доработки 15.02.2020
Принята к публикации 09.04.2020

DOI: 10.31857/S0044466920080086

Полный текст (PDF)

Аннотация

В статье рассматриваются нелинейные эллиптические неравенства в ограниченных областях и системы таких неравенств, содержащие слагаемые, зависящие различным образом от положительной и отрицательной частей искомой функции. Получены достаточные условия отсутствия нетривиальных решений исследуемых неравенств и систем в соответствующих функциональных классах. Библ. 5.

Ключевые слова: нелинейные эллиптические неравенства, положительная и отрицательная часть, нетривиальные решения, пробные функции.

1. ВВЕДЕНИЕ

За последние десятилетия появилось большое количество работ о достаточных условиях отсутствия нетривиальных (отличных от тождественного нуля или другой константы п.в.) решений нелинейных неравенств в соответствующих функциональных классах. Метод исследования этой проблемы, основанный на использовании пробных функций специального вида, был предложен С.И. Похожаевым [1] и развит в его совместных работах с Э. Митидиери, В. Галактионовым и другими авторами (см., в частности, монографии [2], [3]), а также в статьях авторов настоящей работы (см. [4], [5] и библиографию там).

Метод основан на специальном выборе так называемых пробных функций в некоторой слабой формулировке рассматриваемой задачи (см. далее), причем этот выбор зависит не только от структуры рассматриваемого оператора и нелинейности, но и от функционального класса, в котором ищется решение. Точнее, в качестве типичного семейства пробных функций для квазилинейного стационарного дифференциального неравенства в рамках метода, как правило, выбирается ${{\varphi }_{\eta }}(x)u_{\varepsilon }^{{ - \lambda }}(x)$, где u_ε(x) = u(x) + ε, $u(x)$ – предполагаемое решение задачи, $\varepsilon > 0$, ${{\varphi }_{\eta }}(x)$ – стандартная сглаженная характеристическая функция некоторого множества, диаметр которого определяется параметром $\eta > 0$, и, как правило, $\lambda > 0$. Однако для так называемых коэрцитивных задач, например,

$Au = {{\Delta }_{p}}u\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;(\nabla {{\left| {\nabla u{\kern 1pt} } \right|}^{{p - 2}}}\nabla u) \geqslant {{u}^{q}},$

знак $\lambda $ обратный (т.е. $\lambda < 0$), а если главная часть дифференциального неравенства линейна, например,

$Au = {{( - \Delta )}^{k}}u \geqslant {{u}^{q}},$

допустим выбор $\lambda = 0$. Алгебраические преобразования интегрального неравенства, получаемого из рассматриваемой формулировки задачи при указанном выборе пробных функций, приводят к априорным оценкам решения, зависящим от $\eta $. Устремляя параметр $\eta $ к бесконечности (в случае неограниченных областей) или к нулю (в ограниченных), при определенных значениях параметров задачи можно прийти к противоречию с предполагаемыми свойствами решения. В нестационарных задачах пробные функции зависят также от временной переменной, но общая структура рассуждений аналогична. При этом до сих пор, как правило, рассматривались неравенства, в которых нелинейные слагаемые зависели от абсолютной величины искомой функции.

Здесь мы модифицируем метод пробных функций для получения достаточных условий отсутствия нетривиальных решений некоторых квазилинейных эллиптических неравенств в ограниченных областях и систем таких неравенств, содержащих слагаемые, зависящие различным образом от положительной и отрицательной частей искомой функции. Основная идея модификации заключается в последовательном использовании двух новых классов пробных функций вида ${{\varphi }_{R}}(x)u_{{\varepsilon , + }}^{\lambda }(x)$ и ${{\varphi }_{R}}(x)u_{{\varepsilon , - }}^{{ - \lambda }}(x)$, где ${{u}_{{\varepsilon , + }}}(x) = max(u(x),0) + \varepsilon $, ${{u}_{{\varepsilon , - }}}(x) = - min(u(x),0) + \varepsilon $, $\varepsilon > 0$, ${{\varphi }_{R}}(x)$ сохраняет традиционную структуру, а знак и величина параметра $\lambda $ определяются характером задачи, для доказательства того, что ${{u}_{ + }}(x)\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;max(u(x),0) \equiv 0$ и ${{u}_{ - }}(x)\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \; - {\kern 1pt} min(u(x),0) \equiv 0$ соответственно.

Содержательная часть статьи состоит из двух разделов. В разд. 2 доказано отсутствие нетривиальных решений для некоторых скалярных квазилинейных эллиптических неравенств, а в разд. 3 – для соответствующих систем.

2. СКАЛЯРНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Пусть $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ – ограниченная область с гладкой границей. Будем использовать обозначения

${{u}_{ + }}(x) = max\{ u(x),0\} ,\quad {{u}_{ - }}(x) = - min\{ u(x),0\} ,\quad \rho = \rho (x) = {\text{dist}}(x,\partial \Omega ).$

Рассмотрим квазилинейное эллиптическое неравенство

(2.1)

$ - {{\Delta }_{p}}u \geqslant a(x)u_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x)u_{ - }^{{{{q}_{2}}}}\quad (x \in \Omega ),$

где

${{\Delta }_{p}}u\;\mathop {{\text{def}}}\limits^{\text{ = }} \;(\nabla {\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{{p - 2}}}\nabla u),\quad p > 1,\quad a(x) \geqslant {{c}_{1}}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}},\quad b(x) \geqslant {{c}_{2}}{{\rho }^{{{{\beta }_{2}}}}}$

с некоторыми константами ${{c}_{1}},{{c}_{2}} > 0$, ${{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}} \in \mathbb{R}$ для всех $x \in \Omega $.

Определение 1. Будем говорить, что функция $u \in W_{{{\text{loc}}}}^{{1,p}}(\Omega )$, для которой существует ${{\lambda }_{0}} > 0$ такое, что

${{u}_{ + }} \in L_{{{\text{loc}}}}^{{{{q}_{1}} - \lambda }}(\Omega ),\quad {{u}_{ - }} \in L_{{{\text{loc}}}}^{{{{q}_{2}} + \lambda }}(\Omega ),\quad {\text{|}}\nabla u{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{p}}{{u}^{{ \pm \lambda - 1}}} \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$

при $\lambda \in [0,{{\lambda }_{0}}]$, удовлетворяет неравенству (2.1) в слабом смысле (распределений), если для любой неотрицательной пробной функции $\varphi \in C_{0}^{1}(\Omega )$ выполняется следующее неравенство:

(2.2)

$\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla u{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{p - 2}}}(\nabla u,\nabla \varphi )dx \geqslant \int\limits_\Omega \,(a(x)u_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x)u_{ - }^{{{{q}_{2}}}})\varphi dx,$

где предполагается, что все интегралы существуют.

Замечание 1. В дальнейшем, кроме пробных функций $\varphi \in C_{0}^{1}(\Omega )$, мы будем рассматривать также пробные функции вида $u_{{\varepsilon , + }}^{{ \pm \lambda }}(x)\varphi (x)$ и $u_{{\varepsilon , - }}^{{ \pm \lambda }}(x)\varphi (x)$, где ${{u}_{{\varepsilon , + }}}(x) = {{u}_{ + }}(x) + \varepsilon $, ${{u}_{{\varepsilon , - }}}(x) = {{u}_{ - }}(x) + \varepsilon $, $\varepsilon \geqslant 0$, а значение параметра $\lambda $ будет уточнено ниже. Соответственно решения будут рассматриваться в классе, для которого существуют интегралы из (2.2) с пробными функциями указанных видов.

Теорема 1. Пусть $min({{q}_{1}},{{q}_{2}}) > p - 1$ и

(2.3)

$p{{q}_{i}} + {{\beta }_{i}}(p - 1) \leqslant 0,\quad i = 1,2.$

Тогда неравенство (2.1) не имеет слабых решений, отличных от тождественного нуля п.в.

Доказательство. Введем семейство функций ${{\varphi }_{\eta }} \in C_{0}^{1}(\Omega ;[0,1])$ вида

(2.4)

${{\varphi }_{\eta }}(x) = {{\psi }_{\eta }}(x)$

с $\varkappa > \tfrac{{pq}}{{q - p}}$, где $q = min({{q}_{1}},{{q}_{2}})$, и ${{\psi }_{\eta }} \in C_{0}^{1}(\Omega ;[0,1])$ такими, что

(2.5)

${{\psi }_{\eta }}(x) = \left\{ \begin{gathered} 1,\quad \rho (x) \geqslant 2\eta , \hfill \\ 0,\quad \rho (x) \leqslant \eta , \hfill \\ \end{gathered} \right.$

причем существует константа $c > 0$ такая, что

(2.6)

${\text{|}}\nabla {{\psi }_{\eta }}(x){\text{|}} \leqslant c{{\eta }^{{ - 1}}},\quad x \in \Omega .$

Предположим, что существует решение c . Подставляя $\varphi (x) = u_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda }}(x){{\varphi }_{\eta }}(x)$ с $\lambda \in (0,{{\lambda }_{0}}]$ в (2.2), получаем

$\begin{gathered} \int\limits_\Omega \,u_{ + }^{{{{q}_{1}}}}u_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda }}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx \leqslant \int\limits_\Omega \,({\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{{p - 2}}}\nabla u,D(u_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda }}{{\varphi }_{\eta }}))dx = - \lambda \int\limits_\Omega \,{{u}_{{\varepsilon , + }}} + {{\;}^{{\lambda - 1}}}{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{p}}{{\varphi }_{\eta }}dx + \\ \, + \int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{p - 2}}}(\nabla {{u}_{ + }},\nabla {{\varphi }_{\eta }})dx \leqslant - \lambda \int\limits_\Omega \,u_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda - 1}}{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{p}}{{\varphi }_{\eta }}dx + \int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\text{|}}dx. \\ \end{gathered} $

Используя неравенство Юнга

$ab \leqslant \frac{{{{a}^{s}}}}{s} + \frac{{{{b}^{{s{\text{'}}}}}}}{{s{\text{'}}}},\quad a,b > 0,\quad s > 1,$

при соответствующем выборе a, b и s, после перехода к пределу при $\varepsilon \to + 0$ (допустимого по теореме Лебега об ограниченной сходимости) получим

(2.7)

$\int\limits_\Omega \,u_{ + }^{{{{q}_{1}} - \lambda }}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx + \lambda \int\limits_\Omega \,u_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda - 1}}{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{p}}{{\varphi }_{\eta }}dx \leqslant c(\lambda )\int\limits_\Omega \,u_{ + }^{{ - \lambda + p - 1}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{p}}\varphi _{\eta }^{{1 - p}}dx.$

Вновь применяя неравенство Юнга с соответствующими параметрами к подынтегральной функции в правой части (2.7) и отбрасывая второе неотрицательное слагаемое в его левой части, приходим к

$\frac{1}{2}\int\limits_\Omega \,u_{ + }^{{{{q}_{1}} - \lambda }}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx \leqslant c(\lambda )\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{{\tfrac{{p({{q}_{1}} - \lambda )}}{{{{q}_{1}} - p + 1}}}}}{{\rho }^{{ - \tfrac{{{{\beta }_{1}}( - \lambda + p - 1)}}{{{{q}_{1}} - p + 1}}}}}\varphi _{\eta }^{{1 - \tfrac{{p({{q}_{1}} - \lambda )}}{{{{q}_{1}} - p + 1}}}}dx.$

Используя (2.4), (2.5), заменим левую часть полученного неравенства на интеграл от той же неотрицательной функции по меньшей области $\{ x{\kern 1pt} :\;{{\varphi }_{\eta }}(x) = 1\} $, а правую часть оценим с помощью условия (2.6):

$\int\limits_{\{ x:{{\varphi }_{\eta }}(x) = 1\} } \,u_{ + }^{{{{q}_{1}} - \lambda }}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}dx \leqslant c{{\eta }^{{1 - \tfrac{{p({{q}_{1}} - \lambda ) + {{\beta }_{1}}(p - 1 - \lambda )}}{{{{q}_{1}} - p + 1}}}}},$

что приводит к противоречию при $\eta \to {{0}_{ + }}$, если в (2.3) для $i = 1$ выполнено строгое неравенство и $\lambda > 0$ достаточно мало. Если же в (2.3) для $i = 1$ имеет место равенство, повторяя те же рассуждения для неравенства (2.7) без отбрасывания второго слагаемого, получаем

$\int\limits_{\{ x:{{\varphi }_{\eta }}(x) = 1\} } \,u_{ + }^{{{{q}_{1}} - \lambda }}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}dx + \frac{\lambda }{2}\int\limits_{\{ x:{{\varphi }_{\eta }}(x) = 1\} } \,u_{ + }^{{ - \lambda - 1}}{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{p}}{{\varphi }_{\eta }}dx \leqslant c{{\eta }^{{1 - \tfrac{{p({{q}_{1}} - \lambda ) + {{\beta }_{1}}(p - 1 - \lambda )}}{{{{q}_{1}} - p + 1}}}}},$

откуда

(2.8)

$\int\limits_{\{ x:{{\varphi }_{\eta }}(x) = 1\} } \,u_{ + }^{{ - \lambda - 1}}{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{p}}{{\varphi }_{\eta }}dx \leqslant c{{\eta }^{{1 - \tfrac{{p({{q}_{1}} - \lambda ) + {{\beta }_{1}}(p - 1 - \lambda )}}{{{{q}_{1}} - p + 1}}}}}.$

Далее, подставляя $\varphi (x) = {{\varphi }_{\eta }}(x)$ в (2.2) и применяя неравенство Гёльдера, имеем

$\int\limits_\Omega \,u_{ + }^{{{{q}_{1}}}}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx \leqslant \mathop {\left( {\int\limits_\Omega \,u_{ + }^{{ - \lambda - 1}}{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{p}}{{\varphi }_{\eta }}dx} \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{p}} \mathop {\left( {\int\limits_\Omega \,u_{ + }^{{(\lambda + 1)(p - 1)}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{p}}\varphi _{\eta }^{{1 - p}}dx} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} .$

Используя (2.8) и повторно применяя неравенство Гёльдера, а затем условие (2.6), получаем

$\int\limits_\Omega \,u_{ + }^{{{{q}_{1}}}}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx \leqslant c{{\eta }^{{\tfrac{{(p - 1)(n({{q}_{1}} - p + 1) - p({{q}_{1}} - \lambda ) - {{\beta }_{1}}(p - 1 - \lambda ))}}{{p({{q}_{1}} - p + 1)}}}}}{{\left( {\int\limits_{{\text{supp}}|\nabla {{\varphi }_{\eta }}|} \,u_{ + }^{{{{q}_{1}}}}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx)} \right)}^{{^{{\tfrac{{p - 1}}{{p{{q}_{1}}}}}}}}} \times $

$\begin{array}{*{20}{c}} {\, \times \mathop {\left( {\int\limits_{{\text{supp}}|\nabla {{\varphi }_{\eta }}|} \,{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{{\tfrac{{p{{q}_{1}}}}{{{{q}_{1}} - (p - 1)(\lambda + 1)}}}}}{{{({{\rho }^{{{{\beta }_{1}}(\lambda + 1)}}}\varphi _{\eta }^{{{{q}_{1}} + 1}})}}^{{\tfrac{{1 - p}}{{{{q}_{1}} - (p - 1)(\lambda + 1)}}}}}dx} \right)}\nolimits^{\tfrac{{{{q}_{1}} - (p - 1)(\lambda + 1)}}{{p{{q}_{1}}}}} \leqslant } \end{array}$

$ \leqslant \;c{{\eta }^{{\tfrac{{(p - 1)( - p({{q}_{1}} - \lambda ) - {{\beta }_{1}}(p - 1 - \lambda ))) - p{{q}_{1}} + {{\beta }_{1}}(1 - p)(\lambda + 1)}}{{p{{q}_{1}}}}}}}\mathop {\left( {\int\limits_{{\text{supp}}|\nabla {{\varphi }_{\eta }}|} \,u_{ + }^{{{{q}_{1}}}}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx} \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{{p{{q}_{1}}}}} = c\mathop {\left( {\int\limits_{{\text{supp}}|\nabla {{\varphi }_{\eta }}|} \,u_{ + }^{{{{q}_{1}}}}{{\rho }^{{{{\beta }_{1}}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx} \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{{p{{q}_{1}}}}} ,$

где при $\eta \to {{0}_{ + }}$ правая часть стремится к 0 аналогично (2.8), что вновь приводит к противоречию, завершающему доказательство того, что ${{u}_{ + }} \equiv 0$ п.в. в $\Omega $. Аналогично, используя пробные функции $\varphi (x) = u_{ - }^{\lambda }(x){{\varphi }_{\eta }}(x)$, доказываем, что ${{u}_{ - }} \equiv 0$ п.в. в $\Omega $. Это завершает доказательство теоремы.

3. СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ

Рассмотрим систему квазилинейных дифференциальных неравенств

(3.1)

$\begin{gathered} - {{\Delta }_{p}}u \geqslant a(x)v_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x){v}_{ - }^{{{{q}_{2}}}},\quad x \in \Omega , \\ - {{\Delta }_{q}}v \geqslant c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}},\quad x \in \Omega , \\ \end{gathered} $

где $p,q,{{p}_{1}},{{q}_{1}},{{p}_{2}},{{q}_{2}} > 1$, причем $p - 1 < {{p}_{1}},$ $q - 1 < {{q}_{1}}$, $a,\;b,\;cd$ – неотрицательные функции такие, что $a(x) \geqslant {{c}_{1}}{{\rho }^{\alpha }}$, $b(x) \geqslant {{c}_{2}}{{\rho }^{\beta }}$, $c(x) \geqslant {{c}_{3}}{{\rho }^{\gamma }}$, $d(x) \geqslant {{c}_{4}}{{\rho }^{\delta }}$ при $x \in \Omega $, ${{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{4}} > 0$, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{R}$.

Определение 1. Пара функций $(u,v){\kern 1pt} :\;u,v \in W_{{{\text{loc}}}}^{{1,p}}(\Omega ) \times W_{{{\text{loc}}}}^{{1,q}}(\Omega )$, для которой существует ${{\lambda }_{0}} > 0$ такое, что ${{u}_{ + }} \in L_{{{\text{loc}}}}^{{{{q}_{1}} - \lambda }}(\Omega )$, ${{u}_{ - }} \in L_{{{\text{loc}}}}^{{{{q}_{2}} + \lambda }}(\Omega )$, ${{v}_{ + }} \in L_{{{\text{loc}}}}^{{{{p}_{1}} - \lambda }}(\Omega )$, ${{v}_{ - }} \in L_{{{\text{loc}}}}^{{{{p}_{2}} + \lambda }}(\Omega )$, ${\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{p}}{{v}^{{ \pm \lambda - 1}}} \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ и ${\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{q}}{{u}^{{ \pm \lambda - 1}}} \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ при $\lambda \in [0,{{\lambda }_{0}}]$, называется слабым решением системы (3.1), если они удовлетворяют интегральным неравенствам

(3.2)

$\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{{p - 2}}}(Du,\nabla {{\varphi }_{1}})dx \geqslant \int\limits_\Omega \,(a(x)v_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x)v_{ - }^{{{{q}_{2}}}}){{\varphi }_{1}}dx,} \\ {\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla {v}{{{\text{|}}}^{{q - 2}}}(D{v},D{{\varphi }_{2}})dx \geqslant \int\limits_\Omega \,(c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}}){{\varphi }_{2}}dx} \end{array}$

для всех неотрицательных пробных функций ${{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}} \in C_{0}^{1}(\Omega )$, где предполагается, что рассматриваемые интегралы существуют.

Замечание 1. В дальнейшем, кроме пробных функций $\varphi \in C_{0}^{1}(\Omega )$, мы будем рассматривать также пробные функции вида

$u_{{\varepsilon , + }}^{{ \pm \lambda }}(x)\varphi (x),\quad {v}_{{\varepsilon , + }}^{{ \pm \lambda }}(x)\varphi (x),\quad u_{{\varepsilon , - }}^{{ - \pm \lambda }}(x)\varphi (x),\quad {v}_{{\varepsilon , - }}^{{ \pm \lambda }}(x)\varphi (x),$

где ${{u}_{{\varepsilon , + }}} = {{u}_{ + }} + \varepsilon $, ${{v}_{{\varepsilon , + }}} = {{v}_{ + }} + \varepsilon $, ${{u}_{{\varepsilon , - }}} = {{u}_{ - }} + \varepsilon $, ${{v}_{{\varepsilon , - }}} = {{v}_{ - }} + \varepsilon $, $\varepsilon \geqslant 0$, а значение параметра $\lambda $ будет уточнено ниже. Соответственно решения будут рассматриваться в классе, для которого существуют интегралы из (3.2) с пробными функциями указанных видов.

Теорема 3.1. Пусть

$\mathop {min}\limits_{i,j = 1,2} {{p}_{i}}{{q}_{j}} > (p - 1)(q - 1),\quad \mathop {max}\limits_{i = 1, \ldots ,4} {{a}_{i}} < 0,\quad \mathop {max}\limits_{i = 1, \ldots ,4} {{b}_{i}} < 0,$

где

$\begin{gathered} {{a}_{1}} = \frac{{({{p}_{1}} + \gamma + 1 + (q - 1)({{q}_{1}} + \alpha + 1))(p - 1)}}{{{{p}_{1}}{{q}_{1}} - (p - 1)(q - 1)}},\quad {{a}_{2}} = \frac{{({{p}_{2}} + \delta + 1 + (q - 1)({{q}_{1}} + \alpha + 1))(p - 1)}}{{{{p}_{2}}{{q}_{1}} - (p - 1)(q - 1)}}, \\ {{a}_{3}} = \frac{{({{p}_{1}} + \gamma + 1 + (q - 1)({{q}_{2}} + \beta + 1))(p - 1)}}{{{{p}_{1}}{{q}_{2}} - (p - 1)(q - 1)}},\quad {{a}_{4}} = \frac{{({{p}_{2}} + \delta + 1 + (q - 1)({{q}_{2}} + \beta + 1))(p - 1)}}{{{{p}_{2}}{{q}_{1}} - (p - 1)(q - 1)}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{b}_{1}} = \frac{{({{q}_{1}} + \alpha + 1 + (p - 1)({{p}_{1}} + \gamma + 1))(q - 1)}}{{{{p}_{1}}{{q}_{1}} - (p - 1)(q - 1)}},\quad {{b}_{2}} = \frac{{({{q}_{2}} + \beta + 1 + (p - 1)({{p}_{1}} + \gamma + 1))(q - 1)}}{{{{p}_{2}}{{q}_{1}} - (p - 1)(q - 1)}}, \\ {{b}_{3}} = \frac{{({{q}_{2}} + \beta + 1 + (p - 1)({{p}_{1}} + \gamma + 1))(q - 1)}}{{{{p}_{1}}{{q}_{2}} - (p - 1)(q - 1)}},\quad {{b}_{4}} = \frac{{({{q}_{2}} + \delta + 1 + (p - 1)({{p}_{2}} + \delta + 1))(q - 1)}}{{{{p}_{2}}{{q}_{1}} - (p - 1)(q - 1)}}. \\ \end{gathered} $

Тогда система (3.1) не имеет нетривиальных решений.

Доказательство. Пусть ${{\varphi }_{\eta }} \in C_{0}^{\infty }(\bar {\Omega })$ – семейство пробных функций из предыдущего раздела, где $\varkappa > 0$ достаточно велико.

Подставив ${{\varphi }_{1}}(x) = u_{{\varepsilon , + }}^{\lambda }(x){{\varphi }_{\eta }}(x)$ в первое неравенство (3.2), а ${{\varphi }_{2}}(x) = v_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda }}(x){{\varphi }_{\eta }}(x)$ во второе, где $\varepsilon > 0$ и $\max \{ 1 - p,1 - q\} < - \lambda < 0$, получим

(3.3)

$\int {(a(x)v_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x)v_{ - }^{{{{q}_{2}}}})u_{{\varepsilon , + }}^{\lambda }{{\varphi }_{\eta }}dx \leqslant \lambda } \int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{p}}u_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda - 1}}{{\varphi }_{\eta }}dx} + \int {({\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\text{|}}u_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda }}dx} ,$

(3.4)

$\int {(c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}})v_{{\varepsilon , + }}^{\lambda }{{\varphi }_{\eta }}dx} \leqslant \lambda \int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ + }}{{{\text{|}}}^{q}}v_{{\varepsilon , + }}^{{\lambda - 1}}{{\varphi }_{\eta }}dx} + \int {({\text{|}}\nabla {{v}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{q - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\text{|}}v_{{\varepsilon , + }}^{{ - \lambda }}dx} .$

Применение неравенство Юнга к первым слагаемым в правых частях полученных соотношений с последующим предельным переходом при $\varepsilon \to {{0}_{ + }}$ приводит к

(3.5)

$\int {(a(x)v_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x)v_{ - }^{{{{q}_{2}}}})u_{ + }^{\lambda }{{\varphi }_{\eta }}dx} + \frac{\lambda }{2}\int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{p}}u_{ + }^{{ - \lambda - 1}}{{\varphi }_{\eta }}dx} \leqslant {{c}_{\lambda }}\int {\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{p}}}}{{\varphi _{\eta }^{{p - 1}}}}u_{ + }^{{ - \lambda + p - 1}}dx} ,$

(3.6)

$\int {(c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}})v_{ + }^{{ - \lambda }}{{\varphi }_{\eta }}dx} + \frac{\lambda }{2}\int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ + }}{{{\text{|}}}^{q}}v_{ + }^{{ - \lambda - 1}}{{\varphi }_{\eta }}dx} \leqslant {{d}_{\lambda }}\int {\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{q}}}}{{\varphi _{\eta }^{{q - 1}}}}v_{ + }^{{ - \lambda + q - 1}}dx} ,$

где константы ${{c}_{\lambda }}$ и ${{d}_{\lambda }}$ положительны и зависят только от $p,\;q$ и $\lambda $.

Аналогично, подставляя ${{\varphi }_{1}}(x) = u_{{\varepsilon , - }}^{\lambda }(x){{\varphi }_{\eta }}(x)$ в первое неравенство (3.2), а ${{\varphi }_{2}}(x) = v_{{\varepsilon , - }}^{{ - \lambda }}(x){{\varphi }_{\eta }}(x)$ во второе, где $\varepsilon > 0$ и $max\{ 1 - p,1 - q\} < - \lambda < 0$, получаем

(3.7)

$\int {(a(x)v_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x)v_{ - }^{{{{q}_{2}}}})u_{ - }^{\lambda }{{\varphi }_{\eta }}dx} + \frac{\lambda }{2}\int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ - }}{{{\text{|}}}^{p}}u_{ - }^{{\lambda - 1}}{{\varphi }_{\eta }}dx} \leqslant {{e}_{\lambda }}\int {\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{p}}}}{{\varphi _{\eta }^{{p - 1}}}}u_{ - }^{{\lambda + p - 1}}dx} ,$

(3.8)

$\int {(c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}})v_{ - }^{\lambda }{{\varphi }_{\eta }}dx} + \frac{{{\text{|}}\lambda {\text{|}}}}{2}\int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ + }}{{{\text{|}}}^{q}}v_{ - }^{{\lambda - 1}}{{\varphi }_{\eta }}dx} \leqslant {{f}_{\lambda }}\int {\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{q}}}}{{\varphi _{\eta }^{{q - 1}}}}v_{ - }^{{\lambda + q - 1}}dx} ,$

где константы ${{e}_{\lambda }}$ и ${{f}_{\lambda }}$ зависят только от $p,\;q$ и $\lambda $.

Далее, умножая каждое из дифференциальных неравенств (3.1) на ${{\varphi }_{\eta }}$ и интегрируя по частям, аналогично предыдущему придем к соотношениям

(3.9)

$\int {(a(x)v_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x)v_{ - }^{{{{q}_{2}}}}){{\varphi }_{\eta }}dx} \leqslant \int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} + \int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ - }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} ,$

(3.10)

$\int {(c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}}){{\varphi }_{\eta }}dx} \leqslant \int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{q - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{{\eta {\kern 1pt} }}}{\text{|}}dx} + \int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ - }}{{{\text{|}}}^{{q - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} .$

Применим к каждому из интегралов в правых частях полученных соотношений неравенство Гёльдера. С учетом (3.5)–(3.8) получим

(3.11)

$\begin{gathered} \int {{\text{|}}\nabla {{u}_{{ + {\kern 1pt} }}}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} \leqslant \mathop {\left( {\int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{p}}u_{ + }^{{\lambda - 1}}{{\varphi }_{\eta }}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{p}} \mathop {\left( {\int {\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{p}}}}{{\varphi _{\eta }^{{p - 1}}}}u_{ + }^{{(1 - \lambda )(p - 1)}}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} \leqslant \\ \, \leqslant {{g}_{\lambda }}\mathop {\left( {\int {\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}{{{\kern 1pt} }^{p}}}}{{\varphi _{\eta }^{{p - 1}}}}u_{ + }^{{ - \lambda + p - 1}}d} x} \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{p}} \mathop {\left( {\int {\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{p}}}}{{\varphi _{\eta }^{{p - 1}}}}u_{ + }^{{(1 - \lambda )(p - 1)}}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} \\ \end{gathered} $

и аналогичные соотношения для интегралов

$\int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ - }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} ,\quad \int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{q - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} ,\quad \int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ - }}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{q - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} .$

Применяя неравенство Гёльдера с параметром $r > 1$ таким, что

(3.12)

$(\lambda + p - 1)r = {{p}_{1}},$

к первому интегралу в правой части (3.11), будем иметь

(3.13)

$\int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} \leqslant {{g}_{\lambda }}\mathop {\left( {\int {c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}}{{\varphi }_{\eta }}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{{pr}}} \mathop {\left( {\int {{{c}^{{ - \tfrac{{r{\text{'}}}}{r}}}}(x)\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{{pr'}}}}}{{\varphi _{\eta }^{{pr' - 1}}}}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{{pr{\text{'}}}}} \mathop {\left( {\int {\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{{{\text{|}}}^{p}}}}{{\varphi _{\eta }^{{p - 1}}}}u_{ + }^{{(1 - \lambda )(p - 1)}}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} ,$

где $\frac{1}{r} + \frac{1}{{r{\text{'}}}} = 1$.

Применяя неравенство Гёльдера с параметром $y > 1$ к последнему интегралу в правой части (3.13) таким, что

(3.14)

$(1 - \lambda )(p - 1)y = {{p}_{1}},$

и учитывая (3.13), приходим к оценке

(3.15)

$\begin{gathered} \int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\text{|}}dx} \leqslant \\ \leqslant {{g}_{\lambda }}\mathop {\left( {\int {(c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}}){{\varphi }_{\eta }}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{{pr}} + \tfrac{1}{{py}}} \mathop {\left( {\int {{{c}^{{ - \tfrac{{r{\text{'}}}}{r}}}}(x)\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{pr{\text{'}}}}}}}{{\varphi _{\eta }^{{pr{\text{'}} - 1}}}}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{{pr{\text{'}}}}} \mathop {\left( {\int {{{c}^{{ - \tfrac{{y{\text{'}}}}{y}}}}(x)\frac{{{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{py{\text{'}}}}}}}{{\varphi _{\eta }^{{py{\text{'}} - 1}}}}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{py{\text{'}}}}} , \\ \end{gathered} $

где $\frac{1}{y} + \frac{1}{{y{\text{'}}}} = 1$. Подставляя выражения (3.12) и (3.14) для параметров $r$ и $y$ соответственно, с учетом выбора ${{\varphi }_{\eta }}$ и условий на $c(x)$ и $d(x)$ получаем

(3.16)

$\int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\text{|}}dx} \leqslant {{g}_{\lambda }}\mathop {\left( {\int {(c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}}){{\varphi }_{\eta }}dx} } \right)}\nolimits^{\tfrac{{p - 1}}{{{{p}_{1}}}}} {{\eta }^{{\tfrac{{(1 - p)({{p}_{1}} + \gamma + 1)}}{{{{p}_{1}}}}}}}.$

Аналогичные оценки получаем для

$\int {{\text{|}}\nabla {{u}_{ - }}{{{\text{|}}}^{{p - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} ,\quad \int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ + }}{{{\text{|}}}^{{q - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} ,\quad \int {{\text{|}}\nabla {{v}_{ - }}{{{\text{|}}}^{{q - 1}}}{\text{|}}\nabla {{\varphi }_{\eta }}{\kern 1pt} {\text{|}}dx} .$

Объединяя полученные оценки с (3.9) и (3.10) и вводя обозначения

$A = A(\eta ) = \int {(a(x)v_{ + }^{{{{q}_{1}}}} + b(x)v_{ - }^{{{{q}_{2}}}}){{\varphi }_{\eta }}dx} ,\quad B = B(\eta ) = \int {(c(x)u_{ + }^{{{{p}_{1}}}} + d(x)u_{ - }^{{{{p}_{2}}}}){{\varphi }_{\eta }}dx} ,$

приходим к оценкам

(3.17)

$\begin{gathered} A \leqslant {{C}_{\lambda }}\left( {{{B}^{{\tfrac{{p - 1}}{{{{p}_{1}}}}}}}{{\eta }^{{\tfrac{{(1 - p)({{p}_{1}} + \gamma + 1)}}{{{{p}_{1}}}}}}} + {{B}^{{\tfrac{{p - 1}}{{{{p}_{2}}}}}}}{{\eta }^{{\tfrac{{(1 - p)({{p}_{2}} + \delta + 1)}}{{{{p}_{2}}}}}}}} \right), \\ B \leqslant {{D}_{\lambda }}\left( {{{A}^{{\tfrac{{q - 1}}{{{{q}_{1}}}}}}}{{\eta }^{{\tfrac{{(1 - q)({{q}_{1}} + \alpha + 1)}}{{{{q}_{1}}}}}}} + {{A}^{{\tfrac{{q - 1}}{{{{q}_{2}}}}}}}{{\eta }^{{\tfrac{{(1 - q)({{q}_{2}} + \beta + 1)}}{{{{q}_{2}}}}}}}} \right), \\ \end{gathered} $

где константы ${{C}_{\lambda }}$ и ${{D}_{\lambda }}$ положительны и зависят только от параметров исходных неравенств и от $\lambda $. Следовательно, в каждом из неравенств (17) хотя бы одно из слагаемых правой части больше, чем половина левой части. Отсюда получим

$A(\eta ) \leqslant {{E}_{\lambda }}{{\eta }^{{ - \mathop {max}\limits_{i = 1, \ldots ,4} {{a}_{i}}}}},\quad B(\eta ) \leqslant {{F}_{\lambda }}{{\eta }^{{ - \mathop {max}\limits_{i = 1, \ldots ,4} {{b}_{i}}}}},$

где константы ${{E}_{\lambda }}$ и ${{F}_{\lambda }}$ положительны и зависят только от параметров исходных неравенств и от $\lambda $.

Устремляя $\eta \to {{0}_{ + }}$, приходим к противоречию, доказывающему утверждение теоремы.

Список литературы

Похожаев С.И. Существенно нелинейные емкости, порожденные дифференциальными операторами // Докл. АН. 1997. Т. 357. С. 592–594.
Митидиери Э., Похожаев С.И. Теоремы Лиувилля для некоторых классов нелинейных нелокальных задач // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 2005. Т. 248. С. 158–178.
Galaktionov V., Mitidieri E., Pohozaev S. Blow-up for Higher-Order Parabolic, Hyperbolic, Dispersion and Schrodinger Equations // Chapman and Hall/CRC. Boca Raton. 2014. 569 p.
Galakhov E., Salieva O. On blow-up of solutions to differential inequalities with singularities on unbounded sets // JMAA. 2013. V. 408. P. 102–113.
Salieva O. On nonexistence of solutions to some nonlinear parabolic inequalities // Comm. Pure Appl. Anal. 2017. V. 16. № 3.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал