1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 60, № 8, 2020

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 8, стр. 1367-1376

Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений наследственной механики

В. В. Власов 1, *, Н. А. Раутиан 1, **

1 МГУ им. М.В. Ломоносова, Московский Центр фундаментальной и прикладной математики
119991 Москва, Ленинские горы, 1, Россия

* E-mail: vikmont@yandex.ru
** E-mail: nrautian@mail.ru

Поступила в редакцию 07.05.2019
После доработки 11.07.2019
Принята к публикации 09.04.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучается корректная разрешимость начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффицинтами в гильбертовых пространствах, а также проводится спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами указанных уравнений. Изучаемые уравнения представляют собой абстрактную форму линейных интегродифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости и имеющих ряд других важных приложений. Получены результаты о корректной разрешимости упомянутых интегродифференциальных уравнений в весовых пространствах Соболева вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве, заданных на положительной полуоси. Установлена локализация и структура спектра оператор-функций, являющихся символами этих уравнений. Библ. 19.

Ключевые слова: интегродифференциальные уравнения, оператор-функции, спектральный анализ.

1. ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена исследованию интегродифферeнциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Рассматриваемые уравнения представляют собой абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное слагаемыми, содержащими вольтерровы интегральные операторы. Эти уравнения могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных, возникающие в теории вязкоупругости (см. [1]–[3] а также как интегродифференциальные уравнения Гуртина–Пипкина (см. [4]–[7]), которые описывают процесс распространения тепла в средах с памятью, кроме того, указанные уравнения возникают в задачах усреднения в многофазных средах (закон Дарси) (см. [8], [9]).

Перечисленные задачи можно объединить в достаточно широкий класс интегродифференциальных уравнений в частных производных, поэтому более естественно рассматривать интегро-дифферeнциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах (абстрактные интегродифференциальные уравнения), которые могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных.

Следует отметить, что метод, используемый нами для доказательства корректной разрешимости начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений, существенно отличается от более традиционного подхода, использованного Л. Пандолфи в работе [7], где разрешимость изучается в функциональном пространстве на конечном временном интервале $(0,T)$. В нашей работе разрешимость изучается в весовых пространствах Соболева $W_{{2,\gamma }}^{2}({{\mathbb{R}}_{ + }},A)$ вектор-функций на положительной полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }}$, где $A$ – положительный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Доказательство нашей теоремы 1 о резрешимости существенно использует гильбертову структуру пространств $W_{{2,\gamma }}^{2}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}})$, ${{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$, а также теорему Пэли–Винера, в то время, как в работе [7] рассмотрения проводятся в банаховом функциональном пространстве гладких функций на конечном временном интервале $(0,T)$.

В предшествующих работах авторов [10]–[12] проводилось подробное исследование задачи (2.1), (2.2) в случае, когда $B = 0$. Наш подход к исследованию основан на спектральном анализе оператор-функции (2.8), который также дает возможность получить результат о корректной разрешимости и представление решения указанной задачи в виде ряда по экспонентам, соответствующим точкам спектра оператор-функции $L(\lambda )$. Указанные результаты подытожены в гл. 3 монографии [13].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть $H$ – сепарабельное гильбертово пространство, $A$ – самосопряженный положительный оператор, $A{\text{*}} = A \geqslant {{\kappa }_{0}}$ (${{\kappa }_{0}} > 0$), действующий в пространстве $H$, имеющий компактный обратный. Превратим область определения $Dom({{A}^{\beta }})$ оператора ${{A}^{\beta }}$, $\beta > 0$, в гильбертово пространство ${{H}_{\beta }}$, введя на $Dom({{A}^{\beta }})$ норму ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{\beta }} = \left\| {{{A}^{\beta }}\, \cdot \,} \right\|$, эквивалентную норме графика оператора ${{A}^{\beta }}$. Пусть $B$ – симметрический оператор, действующий на пространстве $Dom\left( A \right)$, неотрицательный $(Bx,y) = (x,By)$, $(Bx,x) \geqslant 0$ для любых $x,y \in Dom\left( {A)} \right.$ и удовлетворяющий неравенству $\left\| {Bx} \right\| \leqslant \kappa \left\| {Ax} \right\|$, $0 < \kappa < 1$, для любого $x \in Dom\left( A \right)$, $I$ – тождественный оператор в пространстве $H$.

Рассмотрим следующую задачу для интегродифференциaльного уравнения второго порядка на положительной полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }} = (0,\infty )$:

(2.1)
$\frac{{{{d}^{2}}u(t)}}{{d{{t}^{2}}}} + Au(t) + Bu(t) - \int\limits_0^t {K(t - s)Au(s)ds} - \int\limits_0^t {Q(t - s)Bu(s)ds} = f(t),\quad t \in {{\mathbb{R}}_{ + }},$
(2.2)
$u( + 0) = {{\varphi }_{0}},$
(2.3)
${{u}^{{(1)}}}( + 0) = {{\varphi }_{1}}.$
Предположим, что ядра интегральных операторов $K(t)$ и $Q(t)$ имеют следующее представление:
(2.4)
$K(t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty \,{{a}_{k}}{{e}^{{ - {{\gamma }_{k}}t}}},\quad Q(t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty \,{{b}_{k}}{{e}^{{ - {{\gamma }_{k}}t}}},$
где коэффициенты ${{a}_{k}} > 0$, ${{b}_{k}} \geqslant 0$, ${{\gamma }_{{k + 1}}} > {{\gamma }_{k}} > 0$, $k \in \mathbb{N}$, ${{\gamma }_{k}} \to + \infty $ $(k \to + \infty )$. Кроме того, будем считать, что выполнено условие
(2.5)
$\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{{a}_{k}}}}{{{{\gamma }_{k}}}} < 1,\quad \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{{b}_{k}}}}{{{{\gamma }_{k}}}} < 1.$
Условие (2.5) означает, что $K(t),\;Q(t) \in {{L}_{1}}({{\mathbb{R}}_{ + }})$, $\mathop {\left\| K \right\|}\nolimits_{{{L}_{1}}} < 1$, $\mathop {\left\| Q \right\|}\nolimits_{{{L}_{1}}} < 1$. Если к условию (2.5) добавить также условие
(2.6)
$K(0) = \sum\limits_{k = 1}^\infty \,{{a}_{k}} < + \infty ,\quad Q(0) = \sum\limits_{k = 1}^\infty \,{{b}_{k}} < + \infty ,$
тогда ядра $K(t)$ и $Q(t)$ будут принадлежать пространству $W_{1}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }})$. Введем следующие обозначения:
$a: = \sum\limits_{k = 1}^\infty \,{{a}_{k}},\quad b: = \sum\limits_{k = 1}^\infty \,{{b}_{k}},$
${{A}_{0}}: = A + B.$
Согласно известному результату (теорема в [14, c. 361] ), оператор ${{A}_{0}}$ является самосопряженным и положительным. Превратим область определения $Dom(A_{0}^{\beta })$ оператора $A_{0}^{\beta }$, $\beta > 0$ в гильбертово пространство ${{H}_{\beta }}$, введя на $Dom(A_{0}^{\beta })$ норму ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{\beta }} = \left\| {A_{0}^{\beta }\, \cdot \,} \right\|$, эквивалентную норме графика оператора $A_{0}^{\beta }$.

Замечание 2.1. Из свойств операторов $A$ и $B$ следует, что оператор ${{A}_{0}}$ является обратимым, операторы $AA_{0}^{{ - 1}}$, $BA_{0}^{{ - 1}}$ – ограниченные, а оператор $A_{0}^{{ - 1}}$ – компактный.

Преобразование Лапласа сильного решения задачи (2.1), (2.2) с начальными условиями $u( + 0) = 0$, ${{u}^{{(1)}}}( + 0) = 0$ имеет следующее представление:

(2.7)
$\hat {u}(\lambda ) = {{L}^{{ - 1}}}(\lambda )\hat {f}(\lambda ).$
Здесь оператор-функция $L(\lambda )$ является символом уравнения (2.1) и имеет следующий вид:
(2.8)
$L(\lambda ) = {{\lambda }^{2}}I + A + B - \hat {K}(\lambda )A - \hat {Q}(\lambda )B,$
где $\hat {K}(\lambda )$ и $\hat {Q}(\lambda )$ – преобразования Лапласа ядер $K(t)$ и $Q(t)$, соответственно, имеющие представления
(2.9)
$\hat {K}(\lambda ) = \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{{a}_{k}}}}{{(\lambda + {{\gamma }_{k}})}},\quad \hat {Q}(\lambda ) = \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{{b}_{k}}}}{{(\lambda + {{\gamma }_{k}})}},$
$\hat {f}(\lambda )$ – преобразование Лапласа вектор-функции $f(t)$, $I$ – тождественный оператор в пространстве $H$.

2.1. Корректная разрешимость

Через $W_{{2,\gamma }}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}})$ обозначим пространство Соболева вектор-функций на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }} = (0,\infty )$ со значениями в $H$, снабженное нормой

$\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{W_{{2,\gamma }}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}})} \equiv \mathop {\left( {\int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - 2\gamma t}}}\left( {\mathop {\left\| {{{u}^{{(n)}}}(t)} \right\|}\nolimits_H^2 + \mathop {\left\| {{{A}_{0}}u(t)} \right\|}\nolimits_H^2 } \right)dt} } \right)}\nolimits^{1/2} ,\quad \gamma \geqslant 0.$

Подробнее о пространствах $W_{{2,\gamma }}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}})$, см. монографию [15, гл. 1]. При $n = 0$ полагаем $W_{{2,\gamma }}^{0}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}}) \equiv {{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$, при $\gamma = 0$ будем писать $W_{{2,0}}^{n} = W_{2}^{n}$.

Определение 2.1. Будем называть вектор-функцию $u$ сильным решением задачи (2.1)–(2.3), если она принадлежит пространству $W_{{2,\gamma }}^{2}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}})$, для некоторого $\gamma \geqslant 0$ (${{A}_{0}} = A + B$), удовлетворяет уравнению (2.1) почти всюду на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }}$, и начальному условию (2.2).

Определение 2.2. Вектор-функцию $u(t) \in W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})$ назовем обобщенным (слабым) решением задачи (2.1)–(2.3), если $u(t)$ удовлетворяет интегральному тождеству

$ - {\kern 1pt} \mathop {\left\langle {{{u}^{{(1)}}}(t),{{v}^{{(1)}}}(t)} \right\rangle }\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}} + \mathop {\left\langle {\mathop {(A + B)}\nolimits^{1/2} u(t),\mathop {(A + B)}\nolimits^{1/2} {v}(t)} \right\rangle }\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}} + 2\gamma \left\langle {{{u}^{{\left( 1 \right)}}}(t),{v}(t)} \right\rangle - $
(2.10)
$\, - \mathop {\left\langle {\int\limits_0^t \,K(t - s)\mathop {(A + B)}\nolimits^{ - 1/2} Au(s)ds,\mathop {(A + B)}\nolimits^{1/2} {v}(t)} \right\rangle }\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}} - $
$ - \;\mathop {\left\langle {\int\limits_0^t \,Q(t - s)\mathop {(A + B)}\nolimits^{ - 1/2} Bu(s)ds,\mathop {(A + B)}\nolimits^{1/2} {v}(t)} \right\rangle }\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}} - \mathop {\left\langle {f(t),{v}(t)} \right\rangle }\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}} - \left\langle {{{\varphi }_{1}},{v}(0)} \right\rangle = 0,$
а также условию (2.2).

Отметим, что по определению пространства $W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})$, вектор-функции ${{u}^{{(1)}}}(t)$ и $A_{0}^{{1/2}}u(t)$ принадлежат пространству ${{L}_{{2,{{\gamma }_{0}}}}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$, поскольку норма в этом пространстве определяется в виде

$\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{W_{{2,\gamma }}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{n/2}})} \equiv \mathop {\left( {\int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - 2\gamma t}}}\left( {\mathop {\left\| {{{u}^{{(n)}}}(t)} \right\|}\nolimits_H^2 + \mathop {\left\| {A_{0}^{{n/2}}u(t)} \right\|}\nolimits_H^2 } \right)dt} } \right)}\nolimits^{1/2} ,\quad \gamma \geqslant 0.$

Следующие теоремы представляют достаточные условия корректной разрешимости задачи (2.1)–(2.3).

Tеорема 2.1. Пусть выполнено условие (2.6), $f{\text{'}}(t) \in {{L}_{{2,{{\gamma }_{0}}}}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$ для некоторого ${{\gamma }_{0}} \geqslant 0$ и $f(0) = 0$, кроме того, ${{\varphi }_{0}} \in {{H}_{1}}$, ${{\varphi }_{1}} \in {{H}_{{1/2}}}$. Тогда существует такое ${{\gamma }_{1}} \geqslant {{\gamma }_{0}}$, что для любого $\gamma > {{\gamma }_{1}}$ задача (2.1)–(2.3) имеет единственное решение в пространстве $W_{{2,\gamma }}^{2}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}})$, удовлетворяющее неравенству

(2.11)
$\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{W_{{2,\gamma }}^{2}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}}} \right)} \leqslant d\left( {\mathop {\left\| {f{\kern 1pt} {\text{'}}(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},H} \right)} + \mathop {\left\| {{{A}_{0}}{{\varphi }_{0}}} \right\|}\nolimits_H + \mathop {\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{1}}} \right\|}\nolimits_H } \right),$
где константа $d$ не зависит от вектор-функции $f$ и векторов ${{\varphi }_{0}}$, ${{\varphi }_{1}}$.

Tеорема 2.2. Пусть выполнено условие (2.6), $f(t) \in {{L}_{{2,{{\gamma }_{0}}}}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$ для некоторого ${{\gamma }_{0}} \geqslant 0$, векторы ${{\varphi }_{0}} \in {{H}_{{1/2}}}$, ${{\varphi }_{1}} \in H$. Тогда существует такое ${{\gamma }_{1}} \geqslant {{\gamma }_{0}}$, что для любого $\gamma > {{\gamma }_{1}}$ задача (2.1)–(2.3) имеет обобщенное решение в пространстве $W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})$, для которого справедлива следующая оценка:

(2.12)
$\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})} \leqslant d\left( {\mathop {\left\| {f(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)} + \mathop {\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\|}\nolimits_H + \mathop {\left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\|}\nolimits_H } \right),$
где константа $d$ не зависит от вектор-функции $f$ и векторов ${{\varphi }_{0}}$, ${{\varphi }_{1}}$.

2.2. Спектральный анализ

Перейдем к изучению структуры спектра оператор-функции $L(\lambda )$, в случае, когда выполнены условия (2.5), (2.6), а также следующие условия:

(2.13)
$\mathop {\sup }\limits_{k \in N} \,\gamma _{k}^{2}({{\gamma }_{{k + 1}}} - {{\gamma }_{k}}) = + \infty .$

Существует предел

(2.14)
$\mathop {lim}\limits_{k \to \infty } \,\frac{{{{\gamma }_{k}} - {{\gamma }_{{k - 1}}}}}{{{{\gamma }_{k}}}} = 0.$

Замечание 2.2. Условие (2.14) выполняется в случае степенного поведения последовательности $\mathop {\{ {{\gamma }_{k}}\} }\nolimits_{k = 1}^\infty $, т.е. когда ${{\gamma }_{k}} \simeq {{k}^{\alpha }}$, $\alpha > 0$. В этом случае

$\frac{{{{\gamma }_{k}} - {{\gamma }_{{k - 1}}}}}{{{{\gamma }_{k}}}} \sim \frac{\alpha }{k} \to 0,\quad k \to \infty .$
В задачах усреднения в многофазных средах последовательности $\mathop {\{ {{\gamma }_{k}}\} }\nolimits_{k = 1}^\infty $являются последовательностями собственных значений некоторых вспомогательных эллиптических задач и, поэтому, имеют степенную асимптотику (подробнее см. [8], [9]). В свою очередь, условие (2.14) не выполняется, если последовательность $\mathop {\{ {{\gamma }_{k}}\} }\nolimits_{k = 1}^\infty $ ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем, большим единицы, т.е. ${{\gamma }_{k}} = c{{q}^{k}}$, $q > 1$, $c > 0$. Подобное поведение членов последовательности ${{\gamma }_{k}}$ реже встречается в приложениях.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (2.5), (2.6), (2.13), (2.14). Тогда спектр оператор-функции $L(\lambda )$ принадлежит объединению интервалов ${{\Delta }_{k}} = ( - {{\gamma }_{k}},{{\tilde {p}}_{k}}) \subset ( - {{\gamma }_{k}}, - {{\gamma }_{{k - 1}}})$, $k \in \mathbb{N}$ (${{\gamma }_{0}} = 0$) и полосы $\{ \lambda \in \mathbb{C}\,{\text{|}}\,{{\alpha }_{1}} \leqslant \operatorname{Re} \lambda \leqslant {{\alpha }_{2}}\} $, где ${{\tilde {p}}_{k}} = max\{ {{p}_{k}}(\tau {\text{'}}),{{p}_{k}}(\tau {\text{''}})\} $, ${{p}_{k}}(\tau )$ – вещественные корни уравнения

${{\Phi }_{\tau }}(p): = \tau \sum\limits_{k = 1}^\infty \,{{a}_{k}}\mathop {(p + {{\gamma }_{k}})}\nolimits^{ - 1} + (1 - \tau )\sum\limits_{k = 1}^\infty \,{{b}_{k}}\mathop {(p + {{\gamma }_{k}})}\nolimits^{ - 1} = 1,\quad 0 \leqslant \tau \leqslant 1,$
принадлежащие интервалам $( - {{\gamma }_{k}}, - {{\gamma }_{{k - 1}}})$, $k \in \mathbb{N}$ (${{\gamma }_{0}} = 0$), $\tau {\text{'}}: = \mathop {\left\| {{{A}^{{ - 1/2}}}{{A}_{0}}{{A}^{{ - 1/2}}}} \right\|}\nolimits^{ - 1} $, $\tau {\text{''}}: = \left\| {A_{0}^{{ - 1/2}}AA_{0}^{{ - 1/2}}} \right\|$, $\left( {0 < \tau {\text{'}} < \tau {\text{''}} \leqslant 1} \right)$,

${{\alpha }_{1}} = - \frac{1}{2}\mathop {sup}\limits_{\left\| f \right\| = 1} \,\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{(({{a}_{k}}A + {{b}_{k}}B)f,f)}}{{((A + B)f,f)}},\quad {{\alpha }_{2}} = - \frac{1}{2}\mathop {inf}\limits_{\left\| f \right\| = 1} \,\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{(({{a}_{k}}A + {{b}_{k}}B)f,f)}}{{((A + B + \gamma _{k}^{2}I)f,f)}},\quad f \in D(A).$

Замечание 2.3. Согласно лемме 2.1 из работы [16] оператор ${{A}^{{ - 1/2}}}B{{A}^{{ - 1/2}}}$ допускает ограниченное замыкание в пространстве $H$. Отсюда следует, что оператор ${{A}^{{ - 1/2}}}{{A}_{0}}{{A}^{{ - 1/2}}} = I + {{A}^{{ - 1/2}}}B{{A}^{{ - 1/2}}}$ допускает ограниченное замыкание в $H$. В свою очередь, в силу упомянутой леммы 2.1 из работы [16] и, в силу самосопряженности оператора ${{A}_{0}} = A + B$, оператор $A_{0}^{{ - 1/2}}AA_{0}^{{ - 1/2}}$ также допускает ограниченное замыкание в пространстве $H$. Таким образом, величины $\tau {\text{'}}$ и $\tau {\text{''}}$, фигурирующие в формулировке теоремы 3, определены корректно.

Теорема 2.4. Невещественный спектр оператор-функции $L(\lambda )$ симметричен относительно вещественной оси и состоит из собственных значений конечной алгебраической кратности, причем для любого $\varepsilon > 0$ в области ${{\Omega }_{\varepsilon }}: = \mathbb{C}{\backslash }\{ \lambda :{{\alpha }_{1}} \leqslant \operatorname{Re} \lambda \leqslant {{\alpha }_{2}},\;{\text{|}}\operatorname{Im} \lambda {\text{|}} < \varepsilon \} $, собственные значения являются изолированными, т.е. не имеют точек накопления.

Доказательства теорем 2.1, 2.3, 2.4 содержатся в статье [17].

Отметим, что в работах [18], [19] изучались интегродифференциальные уравнения с сингулярными ядрами.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.2

Вначале докажем теорему 2.2 в случае однородных (нулевых) начальных условий (${{\varphi }_{0}} = {{\varphi }_{1}} = 0$). Для доказательства корректной разрешимости задачи (2.1), (2.2) используем преобразование Лапласа. Напомним основные определения и утверждения, которые будут использоваться далее.

Определение 3.1. Назовем пространством Харди ${{H}_{2}}(Re\lambda > \gamma ,H)$ класс вектор-функций $\hat {f}(\lambda )$ со значениями в $H$, голоморфных (аналитических) в полуплоскости $\{ \lambda \in \mathbb{C}:\operatorname{Re} \lambda > \gamma \geqslant 0\} $, для которых

(3.1)
$\mathop {sup}\limits_{x > \gamma } \,\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\mathop {\left\| {\hat {f}(x + iy)} \right\|}\nolimits_H^2 dy < \infty } ,\quad \lambda = x + iy.$

Сформулируем хорошо известную теорему Пэли–Винера для вектор-функций в пространстве Харди ${{H}_{2}}(Re\lambda > \gamma ,H)$.

Теорема (Пэли–Винер). 1. Пространство ${{H}_{2}}(Re\lambda > \gamma ,H)$ совпадает с множеством вектор-функций (преобразований Лапласа), представимых в виде

(3.2)
$\hat {f}(\lambda ) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - \lambda t}}}f(t)dt} ,$
где $f(t) \in {{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$, $\lambda \in \mathbb{C}$, $\operatorname{Re} \lambda > \gamma \geqslant 0$.

2. Для любой вектор-функции $\hat {f}(\lambda ) \in {{H}_{2}}(Re\lambda > \gamma ,H)$ существует и единственно представление (3.2), где вектор-функция $f(t)$ принадлежит пространству ${{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$ и справедлива формула обращения

(3.3)
$f(t) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\hat {f}(\gamma + iy){{e}^{{(\gamma + iy)t}}}dy} ,\quad t \in {{\mathbb{R}}_{ + }},\quad \gamma \geqslant 0.$

3. Для вектор-функций $\hat {f}(\lambda ) \in {{H}_{2}}(\operatorname{Re} \lambda > \gamma ,H)$ и $f(t) \in {{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$, связанных соотношением (3.2), справедливо равенство

(3.4)
${\text{||}}\hat {f}{\text{||}}_{{{{H}_{2}}(Re\lambda > \gamma ,H)}}^{2} \equiv \mathop {sup}\limits_{x > \gamma } \,\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\mathop {\left\| {\hat {f}(x + iy)} \right\|}\nolimits_H^2 dy} = \int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - 2\gamma t}}}{\text{||}}f(t){\text{||}}_{H}^{2}dt} \equiv {\text{||}}f{\text{||}}_{{{{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)}}^{2}.$
Сформулированная теорема Пэли–Винера хорошо известна для скалярных функций и имеет естественное обобщение для вектор-функций со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Доказательство теоремы 2.2. При доказательстве теоремы 2.2 будут использоваться следующие леммы.

Лемма 3.1. Предположим, что выполнено условие теоремы 1. Тогда существует такое $\gamma > 0$, что оператор-функция $\mathop {\left( {I - V(\lambda )} \right)}\nolimits^{ - 1} $, где

(3.5)
$V(\lambda ) = \hat {K}(\lambda )A{{({{\lambda }^{2}}I + {{A}_{0}})}^{{ - 1}}} + \hat {Q}(\lambda )B{{({{\lambda }^{2}}I + {{A}_{0}})}^{{ - 1}}},$
является аналитической в правой полуплоскости $\{ \lambda :\operatorname{Re} \lambda > \gamma \} $ и справедливо следующее неравенство:

(3.6)
$\mathop {sup}\limits_{\lambda :\operatorname{Re} \lambda > \gamma } \,\left\| {\mathop {\left( {I - V(\lambda )} \right)}\nolimits^{ - 1} } \right\| \leqslant {\text{const}}.$

Лемма 3.2. Справедлива следующая оценка:

(3.7)
$\left\| {\lambda {{{({{\lambda }^{2}}I + {{A}_{0}})}}^{{ - 1}}}} \right\| \leqslant \frac{1}{{\left| {\operatorname{Re} \lambda } \right|}},\quad \left| {\operatorname{Re} \lambda } \right| > \gamma .$

Доказательства лемм 3.1, 3.2 содержатся в статье [17].

Лемма 3.3. Множество функций $\{ h(t)\} $ таких, что $h(0) = 0$, $h(t) \in W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})$ является всюду плотным в пространстве ${{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H).$

Для удобства читателей, чтобы не загромождать изложение, доказательство леммы 3.3, перенесем в приложение (см. ниже).

Вначале изучим задачу с нулевыми начальными данными ${{\varphi }_{0}} = {{\varphi }_{1}} = 0.$ Рассмотрим фундаментальную в пространстве ${{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$ последовательность функций таких, что $f_{n}^{{\left( 1 \right)}}(t) \in {{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H),$ ${{f}_{n}}(0) = 0.$

Согласно теореме 2.1 для функции ${{f}_{n}}(t)$ найдется единственное сильное решение ${{u}_{n}}(t) \in W_{{2,\gamma }}^{2}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}_{0}})$ задачи (2.1)–(2.3). Следует отметить, что сильное решение ${{u}_{n}}(t)$ удовлетворяет интегральному тождеству (2.10), что проверяется непосредственно интегрированием по частям. Заметим далее, что последовательность решений $\{ {{u}_{n}}(t)\} ,$ соответствующих функциям $\{ {{f}_{n}}(t)\} $, является фундаментальной в пространстве $W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}}).$ Указанное свойство вытекает из теоремы Пэли–Винера, а также следующей леммы 3.4.

Лемма 3.4. При сделанных предположениях относительно операторов $A$ и $B$ справедливы неравенства

(3.8)
$\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{L}^{{ - 1}}}(\lambda )} \right\| \leqslant \frac{{{\text{const}}}}{{\operatorname{Re} \lambda }},$
(3.9)
$\left\| {\lambda {{L}^{{ - 1}}}(\lambda )} \right\| \leqslant \frac{{{\text{const}}}}{{\operatorname{Re} \lambda }},\quad \operatorname{Re} \lambda \geqslant \gamma > 0.$

Для удобства читателей, чтобы не загромождать изложение, перенесем доказательство леммы 3.4 в приложение.

На основании оценок (3.8), (3.9), согласно теореме Пэли–Винера, вытекает, что

(3.10)
$\begin{gathered} \mathop {\left\| {{{u}_{n}}(t)} \right\|}\nolimits_{W_{{2,\gamma }}^{1}}^2 = \mathop {\left\| {u_{n}^{{(1)}}(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}}^2 + \mathop {\left\| {A_{0}^{{1/2}}u(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}}^2 \leqslant \mathop {\left( {\mathop {sup}\limits_{\operatorname{Re} \lambda > \gamma } \left| \lambda \right|\left\| {{{L}^{{ - 1}}}(\lambda )} \right\|} \right)}\nolimits^2 \mathop {\left\| {{{f}_{n}}(\lambda )} \right\|}\nolimits_{{{H}_{2}}(\operatorname{Re} \lambda > \gamma )}^2 + \\ \, + \mathop {\left( {\mathop {sup}\limits_{\operatorname{Re} \lambda > \gamma } \left\| {A_{0}^{{\tfrac{1}{2}}}{{L}^{{ - 1}}}(\lambda )} \right\|} \right)}\nolimits^2 \mathop {\left\| {\mathop {\hat {f}}\nolimits_n (\lambda )} \right\|}\nolimits_{{{H}_{2}}(\operatorname{Re} \lambda > \gamma )}^2 \leqslant \operatorname{const} \mathop {\left\| {{{f}_{n}}(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}}^2 . \\ \end{gathered} $

Таким образом, по фундаментальной последовательности $\mathop {\{ {{f}_{n}}(t)\} }\nolimits_{n = 1}^\infty $ в пространстве ${{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$ мы получаем фундаментальную последовательность сильных решений $\mathop {\left\{ {{{u}_{n}}\left( t \right)} \right\}}\nolimits_{n = 1}^\infty $ в пространстве $W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}}).$ В силу полноты пространства $W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})$ существует функция $u(t) = {{\lim }_{{n \to \infty }}}{{u}_{n}}(t),$ принадлежащая пространству $W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})$ и удовлетворяющая интегральному тождеству (2.10). Последнее свойство вытекает из непрерывности скалярного произведения. В самом деле, рассмотрим интегральное тождество для сильных решений ${{u}_{n}}\left( t \right),$ соответствующих вектор-функциям ${{f}_{n}}\left( t \right):$

(3.11)
$\begin{gathered} - \mathop {\left\langle {u_{n}^{{\left( 1 \right)}}(t),{{v}^{{\left( 1 \right)}}}(t)} \right\rangle }\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}} + \mathop {\left\langle {A_{0}^{{1/2}}{{u}_{n}}(t),A_{0}^{{1/2}}v(t)} \right\rangle }\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}} + 2\gamma {{\left\langle {{{u}_{n}}(t),v(t)} \right\rangle }_{{{{L}_{{2,\gamma }}}}}} - \\ - \;\mathop {\left\langle {\int\limits_0^t \,K(t - s)A_{0}^{{ - 1/2}}A{{u}_{n}}(s)ds,A_{0}^{{1/2}}v(t)} \right\rangle }\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}} - {{\left\langle {\int\limits_0^t \,Q(t - s)A_{0}^{{ - 1/2}}B{{u}_{n}}(s)ds,Av(t)} \right\rangle }_{{{{L}_{{2,\gamma }}}}}} - {{\left\langle {{{f}_{n}}(t),v(t)} \right\rangle }_{{{{L}_{{2,\gamma }}}}}} = 0. \\ \end{gathered} $
Переходя к пределу при $n \to \infty $ в соотношении (3.11), в силу непрерывности скалярного произведения, получаем, что предельная функция $u(t) = li{{m}_{{n \to \infty }}}{{u}_{n}}(t)$ удовлетворяет интегральному тождеству (2.10) при ${{\varphi }_{1}} = 0.$ Здесь мы используем то, что операторы $A_{0}^{{ - 1/2}}AA_{0}^{{ - 1/2}},$ $A_{0}^{{ - 1/2}}BA_{0}^{{ - 1/2}}$, как отмечалось ранее, допускают ограниченные замыкания в пространстве $H$.

Рассмотрим теперь общий случай, а именно задачу (2.1)–(2.3) с ненулевыми начальными условиями ${{\varphi }_{0}}$ и ${{\varphi }_{1}}$. Будем искать решение задачи (2.1)–(2.3) в виде

$u(t) = cos(A_{0}^{{1/2}}t){{\varphi }_{0}} + A_{0}^{{ - 1/2}}sin(A_{0}^{{1/2}}){{\varphi }_{1}} + w(t).$
Тогда $w\left( t \right)$ будет являться решением следующей задачи с однородными начальными условиями:
(3.12)
$\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{t}^{2}}}} + {{A}_{0}}w(t) - \int\limits_0^t \,K(t - s)Aw(s)ds - \int\limits_0^t \,Q(t - s)Bw(s)ds = {{f}_{1}}(t),\quad t > 0,$
(3.13)
$w( + 0) = 0,$
(3.14)
${{w}^{{(1)}}}( + 0) = 0,$
где ${{f}_{1}}(t) = f(t) + h(t),$ вектор-функция $h(t)$ имеет вид $h(t) = {{h}_{1}}(t) + {{h}_{2}}(t),$
(3.15)
$\begin{gathered} {{h}_{1}}(t) = \int\limits_0^t \,(K(t - s)A(cos(A_{0}^{{1/2}}s){{\varphi }_{0}} + A_{0}^{{ - 1/2}}sin(A_{0}^{{1/2}}s){{\varphi }_{1}}))ds, \\ {{h}_{2}}(t) = \int\limits_0^t \,Q(t - s)B(cos(A_{0}^{{1/2}}s){{\varphi }_{0}} + A_{0}^{{ - 1/2}}sin(A_{0}^{{1/2}}s){{\varphi }_{1}})ds. \\ \end{gathered} $
Для доказательства утверждения о разрешимости достаточно показать, что $h(t) \in {{L}_{{2,{{\gamma }_{0}}}}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$ для некоторого ${{\gamma }_{0}} \geqslant 0.$ Интегрируя по частям, имеем
(3.16)
$\int\limits_0^t \,{{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}(t - s)}}}cos(A_{0}^{{1/2}}s)ds = {{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}^{{ - 1}}}({{\gamma }_{j}}(cos(A_{0}^{{1/2}}t) - {{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}t}}}) + A_{0}^{{1/2}}sin(A_{0}^{{1/2}}t)),$
(3.17)
$\int\limits_0^t \,{{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}(t - s)}}}sin(A_{0}^{{1/2}}s)ds = {{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}^{{ - 1}}}(A_{0}^{{1/2}}({{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}t}}}I - cos(A_{0}^{{1/2}}t)) + {{\gamma }_{j}}sin(A_{0}^{{1/2}}t)).$
В дальнейшем нам потребуются следующие легко проверяемые предложения.

Предложение 3.1. При сделанных предположениях справедливы следующие неравенства:

(3.18)
$\left\| {{{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}}^{{ - 1}}}} \right\| \leqslant \frac{1}{2}\gamma _{j}^{{ - 1}}\left\| {A_{0}^{{ - 1/2}}} \right\|,\quad j \in \mathbb{N}.$

Предложение 3.2. При сделанных предположениях справедливы следующие неравенства:

(3.19)
$\left\| {{{A}_{0}}{{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}}^{{ - 1}}}} \right\| \leqslant 1,\quad j \in \mathbb{N}.$
Из соотношений (3.16), (3.17) получаем следующее представление для функций ${{h}_{1}}\left( t \right)$ и ${{h}_{2}}\left( t \right)$:
(3.20)
$\begin{gathered} {{h}_{1}}(t) = \sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{a}_{j}}A{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}^{{ - 1}}}[({{\gamma }_{j}}cos(A_{0}^{{1/2}}t) - {{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}t}}}I) + A_{0}^{{1/2}}sin(A_{0}^{{1/2}}t)]{{\varphi }_{0}} + \\ + \;\sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{a}_{j}}A[A_{0}^{{ - 1/2}}{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}^{{ - 1}}}(A_{0}^{{1/2}}({{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}t}}}I - cos(A_{0}^{{1/2}}t)) + {{\gamma }_{j}}sin(A_{0}^{{1/2}}t))]{{\varphi }_{1}}, \\ \end{gathered} $
(3.21)
$\begin{gathered} {{h}_{2}}(t) = \sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{b}_{j}}B{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}^{{ - 1}}}[({{\gamma }_{j}}cos(A_{0}^{{1/2}}t) - {{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}t}}}I) + A_{0}^{{1/2}}sin(A_{0}^{{1/2}}t)]{{\varphi }_{0}} + \\ + \;\sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{b}_{j}}B[A_{0}^{{ - 1/2}}{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}^{{ - 1}}}(A_{0}^{{1/2}}({{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}t}}}I - cos(A_{0}^{{1/2}}t)) + {{\gamma }_{j}}sin(A_{0}^{{1/2}}t))]{{\varphi }_{1}}. \\ \end{gathered} $
Из сходимости рядов $\sum\nolimits_{j = 1}^\infty {{{a}_{j}}} $, $\sum\nolimits_{j = 1}^\infty {{{b}_{j}}} $, того, что оператор $B{{A}^{{ - 1}}}$ допускает оценку $\left\| {B{{A}^{{ - 1}}}} \right\| < 1,$ предложений (3.18), (3.19), неравенств
(3.22)
$\left\| {AA_{0}^{{ - 1}}} \right\| \leqslant 1,\quad \left\| {BA_{0}^{{ - 1}}} \right\| \leqslant 1$
получаем следующие оценки для вектор-функций ${{h}_{1}}(t),\;{{h}_{2}}(t)$:
$\begin{gathered} \left\| {{{h}_{1}}(t)} \right\| \leqslant \left\| {\sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{a}_{j}}(AA_{0}^{{ - 1}}){{A}_{0}}{{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}}^{{ - 1}}}{{\gamma }_{j}}cos(A_{0}^{{1/2}}t){{\varphi }_{0}}} \right\| + \left\| {\sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{a}_{j}}(AA_{0}^{{ - 1}}){{A}_{0}}{{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}}^{{ - 1}}}{{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}t}}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + \\ + \;\left\| {\sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{a}_{j}}(AA_{0}^{{ - 1}}){{A}_{0}}{{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}}^{{ - 1}}}A_{0}^{{1/2}}sin(A_{0}^{{1/2}}t){{\varphi }_{0}}} \right\| + \left\| {\sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{a}_{j}}(AA_{0}^{{ - 1}}){{A}_{0}}A_{0}^{{ - 1/2}}{{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}}^{{ - 1}}}A_{0}^{{1/2}}{{e}^{{ - {{\gamma }_{j}}t}}}{{\varphi }_{1}}} \right\| + \\ \end{gathered} $
(3.23)
$ + \;\left\| {\sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{a}_{j}}(AA_{0}^{{ - 1}}){{A}_{0}}A_{0}^{{ - 1/2}}{{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}}^{{ - 1}}}A_{0}^{{1/2}}cos(A_{0}^{{1/2}}t){{\varphi }_{1}}} \right\| + $
$\begin{gathered} + \;\left\| {\sum\limits_{j = 1}^\infty \,{{a}_{j}}(AA_{0}^{{ - 1}}){{A}_{0}}A_{0}^{{ - 1/2}}{{{({{A}_{0}} + \gamma _{j}^{2}I)}}^{{ - 1}}}sin(A_{0}^{{1/2}}t){{\varphi }_{1}}} \right\| \leqslant {{k}_{1}}\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + {{k}_{2}}\left\| {{{\varphi }_{0}}} \right\| + \\ + \;{{k}_{3}}\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + {{k}_{4}}\left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\| + {{k}_{5}}\left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\| + {{k}_{6}}\left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\| \leqslant {{\theta }_{1}}\left( {\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + \left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\|} \right) \\ \end{gathered} $
с некоторыми положительными постоянными ${{k}_{j}}$ $(j = 1,2...6),$ ${{\theta }_{1}}$, не зависящими от векторов ${{\varphi }_{0}}$, ${{\varphi }_{1}}$. Совершенно аналогично получаем оценку для вектор-функции ${{h}_{2}}\left( t \right):$
(3.24)
${{h}_{2}}(t) \leqslant {{\theta }_{2}}\left( {\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + \left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\|} \right)$
с положительной постоянной ${{\theta }_{2}},$ не зависящей от векторов ${{\varphi }_{0}}$, ${{\varphi }_{1}}$.

При получении оценок (3.23), (3.24) мы использовали известные оценки

$\left\| {cos(A_{0}^{{1/2}}t)} \right\| \leqslant 1,\quad \left\| {sin(A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{1}})} \right\| \leqslant 1,$
а также то, что оператор $A_{0}^{{1/2}}$ и оператор-функции $cos(A_{0}^{{1/2}}t),$ $sin(A_{0}^{{1/2}}t)$ коммутируют между собой, что в свою очередь следует из самосопряженности оператора $A_{0}^{{1/2}}.$

В свою очередь, из оценок (3.23), (3.24) вытекают неравенства

(3.25)
$\mathop {\left\| {{{h}_{1}}(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}}^2 \leqslant {{k}_{1}}(\gamma ){{\left( {\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + \left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\|} \right)}^{2}},\quad {{k}_{1}}(\gamma ) = \frac{{{{\theta }_{1}}}}{{2\gamma }},$
(3.26)
$\mathop {\left\| {{{h}_{2}}(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}}^2 \leqslant {{k}_{2}}(\gamma ){{\left( {\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + \left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\|} \right)}^{2}},\quad {{k}_{2}}(\gamma ) = \frac{{{{\theta }_{2}}}}{{2\gamma }}.$

Следовательно, на основании оценок (3.25), (3.26) получаем, что вектор-функция ${{f}_{1}}(t) = f(t) + h(t)$ принадлежит пространству ${{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$ и для нее справедливо неравенство

(3.27)
$\mathop {\left\| {{{f}_{1}}(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}({{R}_{ + }},H)} \leqslant \mathop {\left\| {f(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}({{R}_{ + }},H)} + d\left( {\left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + \left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\|} \right)$
с постоянной $d$, не зависящей от векторов ${{\varphi }_{0}}$, ${{\varphi }_{1}}$. Отсюда получаем обобщенную разрешимость задачи (2.1)–(2.3) с ненулевыми начальными данными.

Перейдем к оценкам обобщенных решений. Начнем со случая нулевых начальных данных ${{\varphi }_{0}} = {{\varphi }_{1}} = 0$. Для фундаментальной в пространстве ${{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$ последовательности $\mathop {\{ {{f}_{n}}(t)\} }\nolimits_{n = 1}^\infty $ и соответствующей ей фундаментальной последовательности решений $\mathop {\{ {{u}_{n}}(t)\} }\nolimits_{n = 1}^\infty $, установлено неравенство (3.10). Переходя к пределу при $n \to \infty $ в неравенстве (3.10), в пределе мы получим неравенство

$\mathop {\left\| {u(t)} \right\|}\nolimits_{W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})} \leqslant \operatorname{const} \mathop {\left\| {f(t)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)} .$
Законность соответствующего предельного перехода установлена в начале доказательства теоремы 2.2.

Перейдем к случаю ненулевых начальных данных. Принимая во внимание, что задача с ненулевыми начальными данными может быть сведена к задаче с нулевыми начальными данными и новой правой частью ${{f}_{1}}(t) = f(t) + h(t).$ Учитывая оценку (3.27), получаем, что для решения исходной задачи выполнено неравенство

(3.28)
$\mathop {\left\| {u(t)} \right\|}\nolimits_{W_{{2,\gamma }}^{1}({{\mathbb{R}}_{ + }},A_{0}^{{1/2}})} \leqslant {{d}_{1}}\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{{{L}_{{2,\gamma }}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)}}} + \left\| {A_{0}^{{1/2}}{{\varphi }_{0}}} \right\| + \left\| {{{\varphi }_{1}}} \right\|} \right)$
с постоянной ${{d}_{1}}$, не зависящей от вектор-функции $f(t)$ и векторов ${{\varphi }_{0}}$, ${{\varphi }_{1}}$. Теорема 2.2 доказана.

Список литературы

  1. Kopachevsky N.D., Krein S.G. Operator approach to Linear // Problems of Hydrodynamics. V. 2. Nonself adjoint Problems for Viscous Fluids. Berlin: Basel–Boston, 2003.

  2. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.

  3. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.

  4. Gurtin M.E., Pipkin A.C. General theory of heat conduction with finite wave speed // Arch. Rat. Mech. Anal. 1968. V.31. P. 113–126.

  5. Ivanov S., Pandolfi L. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest // J. of Math. A. and App. 2009. V. 355. P. 1–11.

  6. Лыков А.В. Проблема тепло- и массообмена. Минск: Наука и техника, 1976.

  7. Pandolfi L. The controllability of the Gurtin-Pipkin equations: a cosine operator approach // Appl. Math. Optim. 2005. V. 52. P. 143–165.

  8. Власов В.В., Гавриков А.А., Иванов С.А., Князьков Д.Ю., Самарин В.А., Шамаев А.С. Спектральные свойства комбинированных сред // Современные проблемы матем. и механ. 2009. Т. 5. № 1. С. 134–155.

  9. Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости // Матем. сборник. 2000. Т. 191. № 7. С. 31–72.

  10. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гиперболических интегродифференциальных уравнений// Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2011. Т. 28. С. 75–114.

  11. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.C. Разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Докл. АН. 2010. Т. 434. № 1. С. 12–15.

  12. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.C. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. Т. 39. С. 36–65.

  13. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений. М.: МАКС Пресс, 2016.

  14. Kato T. Perturbation theory for linear operators. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1966.

  15. Лионс Ж.П., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: 1971.

  16. Шкаликов А.А. Сильно демпфированные пучки операторов и разрешимость соответствующих операторно-дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1988. Т. 177. № 1. С. 96–118.

  17. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости // Современная математика. Фундаментальные направления. 2015. Т. 58. С. 22–42.

  18. Власов В.В., Раутиан Н.А. Исследование операторных моделей, возникающих в задачах наследственной механики // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2019. Т. 32. С. 91–110.

  19. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и представление решений вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений с дробно-экспоненциальными ядрами // Докл. АН. 2019. Т. 488. № 5. С. 103–107.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал