Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 1, стр. 108-123

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Классический метод возмущений [1] основан на следующей идее. Рассмотрим нелинейную задачу R(α), где α = (α₁, …, α_l) – вектор числовых параметров. В операторном виде такую задачу можно записать так: $\mathcal{R}({\mathbf{u}};{\mathbf{\lambda }},{\mathbf{\alpha }}) = 0$, где $\mathcal{R}$ – некоторая нелинейная по u оператор-функция, λ – еще один вектор параметров (например, спектральных). Пусть существует решение ${\mathbf{u}} \equiv {{{\mathbf{u}}}_{0}}(x;{\mathbf{\lambda }})$ задачи R(0), где 0 = (0, …, 0), которая является линейной. При достаточно широких предположениях относительно $\mathcal{R}$ можно доказать, что как только величина |α| достаточно мала, задача R(α) имеет решение ${\mathbf{u}} \equiv {{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{\alpha }}}}(x;{\mathbf{\lambda }})$ и ${{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{\alpha }}}}(x;{\mathbf{\lambda }}) \to {{{\mathbf{u}}}_{0}}(x;{\mathbf{\lambda }})$ при |α| → 0. Этот подход реализован, например, в [2]–[4].

Пусть задача R(α'), где α' = (α₁, …, α_l', 0, …, 0) и α₁, …, α_l' ≠ 0, остается нелинейной, но является в некотором смысле более простой, чем задача R(α). Предположим, что разрешимость задачи R(α') может быть установлена и пусть ${\mathbf{u}} \equiv {{{\mathbf{u}}}_{{{\mathbf{\alpha }}'}}}(x;{\mathbf{\lambda }})$ – ее решение. Тогда при определенных условиях на $\mathcal{R}$ можно доказать, что если достаточно мала величина $\left| {{\mathbf{\alpha }} - {\mathbf{\alpha }}{\kern 1pt} '} \right|$, то разрешима будет и задача R(α) и ${{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{\alpha }}}}(x;{\mathbf{\lambda }}) \to {{{\mathbf{u}}}_{{{\mathbf{\alpha }}'}}}(x;{\mathbf{\lambda }})$ при $\left| {{\mathbf{\alpha }} - {\mathbf{\alpha }}{\kern 1pt} '} \right| \to 0$.

Обсуждаемый подход может оказаться полезным, если:

(i) найдется вектор α' такой, что R(α'), будучи более простой нелинейной задачей, может быть исследована каким-либо методом;

(ii) решения задачи R(α') существуют не только для “малых” |α'|;

(iii) задача R(α') имеет решения, не связанные с решениями задачи R(0).

Очевидно, что в случаях (ii), (iii) рассмотрение задачи R(0) в качестве “невозмущенной” даст весьма скудную информацию о решениях задачи R(α). Более того, задача R(0) может не иметь решений.

В электродинамике нелинейных волноведущих структур возникают задачи, для которых справедливы ситуации (i)–(iii). Например, задачи, зависящие от скалярного параметра α и удовлетворяющие условиям (ii), (iii), изучались в работах [5], [6]. В работе [4] введен широкий класс задач, зависящих от (векторного) параметра α, к которым применим изложенный выше подход. В работах [7], [8] изучались многопараметрические задачи, для которых справедливы условия (i)–(iii).

Перейдем к постановке задачи. Всюду ниже индекс j принимает значения 1, 2. Пусть ${\text{I}} = (0,h)$, ${\bar {I}} = [0,h]$, где h > 0 – фиксированная постоянная,

являются наборами положительных параметров. Считаем, что где $\Lambda _{j}^{ * } = ({{b}_{j}},\lambda _{j}^{ * })$, ${\text{A}}_{j}^{ * } = (0,\alpha _{j}^{ * })$, ${\text{A}}_{{j + 2}}^{ * } = (0,\alpha _{{j + 2}}^{ * })$; ${{b}_{j}} > 0$ – фиксированные постоянные; положительные числа $\lambda _{j}^{ * },\;\alpha _{j}^{ * },\;\alpha _{{j + 2}}^{ * }$ фиксированы, при этом числа $\lambda _{j}^{ * }$ и $\alpha _{{j + 2}}^{ * }$ будут определены позднее (см. следствие 1 и утверждение 5). Необходимо отметить, что параметры $\alpha _{j}^{ * }$ не предполагаются малыми.

Наконец, введем в рассмотрение вещественнозначные неотрицательные функции ${{f}_{j}} \equiv {{f}_{j}}({{s}_{j}})$ и функции произвольного знака ${{g}_{j}} \equiv {{g}_{j}}({{s}_{1}},{{s}_{2}})$ одного и двух аргументов соответственно, такие, что ${{f}_{j}}(0) = 0$ и ${{g}_{j}}(0,0) = 0$. При этом функции ${{f}_{j}}({{s}_{j}}) \in C[0, + \infty )$, ${{s}_{j}}f_{j}^{'}({{s}_{j}}) \in C[0, + \infty )$, а g_j являются однократно непрерывно дифференцируемыми при ${{s}_{1}},{{s}_{2}} \in [0, + \infty )$. Кроме этого, предполагается, что функции ${{f}_{j}}$ монотонно возрастают и на бесконечности характеризуются следующим поведением:

где $li{{m}_{{t \to + \infty }}}{{t}^{{ - {{q}_{j}}}}}\mathop {\tilde {f}}\nolimits_j (t) = 0$, а ${{q}_{j}} > 0$ – некоторые постоянные.

Задача $P = P({\mathbf{\alpha }})$ заключается в нахождении тех значений параметра ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}$, для которых существуют решения ${{u}_{1}} \equiv {{u}_{1}}(x;{\mathbf{\bar {\lambda }}},{\mathbf{\alpha }})$ и ${{u}_{2}} \equiv {{u}_{2}}(x;{\mathbf{\bar {\lambda }}},{\mathbf{\alpha }})$ системы

удовлетворяющие краевым условиям где $(x,{\mathbf{\lambda }},{\mathbf{\alpha }}) \in {\bar {I}} \times {\mathbf{\Lambda }}{\kern 1pt} {\text{*}} \times {\mathbf{A}}{\kern 1pt} *$, ${{\kappa }_{{c,j}}} = \sqrt {{{\lambda }_{j}} - {{c}_{j}}} > 0$, ${{\kappa }_{{s,j}}} = \sqrt {{{\lambda }_{j}} - {{b}_{j}}} > 0$, ${{a}_{j}},\;{{b}_{j}},\;{{c}_{j}},\;{{A}_{j}} > 0$ – вещественные постоянные такие, что ${{c}_{j}} \leqslant {{b}_{j}} < {{a}_{j}}$, и

Определение 1. Вектор ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}} \in {\mathbf{\Lambda }}{\kern 1pt} *$, где ${\mathbf{\bar {\lambda }}} = ({{\bar {\lambda }}_{1}},{{\bar {\lambda }}_{2}})$ такой, что существуют функции ${{u}_{1}} \equiv {{u}_{1}}(x;{\mathbf{\bar {\lambda }}},{\mathbf{\alpha }})$, ${{u}_{2}} \equiv {{u}_{2}}(x;{\mathbf{\bar {\lambda }}},{\mathbf{\alpha }})$, удовлетворяющие (1.1)–(1.4), называется векторным собственным значением задачи $P({\mathbf{\alpha }})$, а отвечающие ему функции u₁, u₂ – собственными функциями задачи $P({\mathbf{\alpha }})$.

Рассмотрим задачу $P({\mathbf{\alpha }}{\kern 1pt} ')$. Эта задача распадается на две (независимые) нелинейные задачи, обозначаемые P_j, удовлетворяющие условиями (ii), (iii).

Пусть ${{\Lambda }_{j}} = ({{b}_{j}}, + \infty )$ и ${\text{A}} = (0, + \infty )$. Задача P_j заключается в нахождении тех значений параметра ${{\lambda }_{j}} = {{\hat {\lambda }}_{j}}$, для которых существуют решения ${{{v}}_{j}} \equiv {{{v}}_{j}}(x;{{\hat {\lambda }}_{j}},{{\alpha }_{j}})$ уравнения

удовлетворяющие краевым условиям где $(x,{{\lambda }_{j}},{{\alpha }_{j}}) \in {\bar {I}} \times {{\Lambda }_{j}} \times {\text{A}}$, постоянные и параметры ${{a}_{j}},\;{{A}_{j}},\;{{\kappa }_{{s,j}}},\;{{\kappa }_{{c,j}}}$ определены в (1.1)–(1.3), и

Определение 2. Число ${{\lambda }_{j}} = {{\hat {\lambda }}_{j}} \in {{\Lambda }_{j}}$, для которого существует функция ${{{v}}_{j}} \equiv {{{v}}_{j}}(x;{{\hat {\lambda }}_{j}},{{\alpha }_{j}})$, удовлетворяющая (1.5)–(1.8), называется собственным значением задачи P_j, а отвечающая ему функция ${{{v}}_{j}}$ – собственной функцией задачи P_j.

Задача P(0), где 0 = (0, 0, 0, 0), распадается на две (независимые) линейные задачи, которые обозначим $P_{j}^{0}$. Задача $P_{j}^{0}$ заключается в нахождении тех значений параметра ${{\lambda }_{j}} = {{\tilde {\lambda }}_{j}}$, для которых существуют нетривиальные решения ${{w}_{j}} \equiv {{w}_{j}}(x;{{\tilde {\lambda }}_{j}})$ уравнения $w_{j}^{{''}} = - ({{a}_{j}} - {{\lambda }_{j}}){{w}_{j}}$, удовлетворяющие краевым условиям ${{\left. {({{\kappa }_{{s,j}}}{{w}_{j}} - w_{j}^{'})} \right|}_{{x = 0}}} = 0$, ${{\left. {({{\kappa }_{{c,j}}}{{w}_{j}} + w_{j}^{'})} \right|}_{{x = h}}} = 0$, где $(x,{{\lambda }_{j}}) \in {\bar {I}} \times ({{b}_{j}},{{a}_{j}})$, постоянные и параметры ${{a}_{j}},\;{{\kappa }_{{s,j}}},\;{{\kappa }_{{c,j}}}$ определены в (1.1)–(1.3), и ${{w}_{j}} \in {{C}^{2}}[0,h]$.

Основным методом исследования задач P_j является метод интегрального характеристического уравнения [9]. Отметим, что широко известные подходы нелинейного анализа, такие как вариационный метод [10], [11] и методы теории ветвления решений [12], [13], не применимы для исследования задач P(α) и P_j, см. также комментарии в работе [14].

Результаты и методы, представленные в настоящей статье, могут быть полезны и в других областях нелинейной математической физики, где возникают многопараметрические задачи на собственные значения, например, в теории связанных осцилляторов с нелинейным взаимодействием, см. [15]–[19] и библиографию там; экспериментальные наблюдения представлены в [17], [19]. Основная идея предлагаемого здесь методa заключается в сведении (когда таковое возможно) нелинейной многопараметрической задачи к нескольким нелинейным задачам с меньшим числом параметров. В рассматриваемом случае это однопараметрические задачи. Если эти (нелинейные) однопараметрические задачи могут быть эффективно исследованы и их решения существенно отличаются от решений соответствующих линеаризованных задач, то предлагаемый метод, вероятно, позволит распространить результаты, полученные для (нелинейных) однопараметрических задач, на случай многопараметрической задачи.

Заметим, что предложенный ниже подход может быть применен для задач с различными краевыми условиями, см., например, [3], где используются нелинейные краевыe условия и [8], где используются краевые условия I рода.

Статья написана в соответствии со следующим планом: формулировки результатов приведены в разд. 2; численные результаты представлены в разд. 3; обсуждение результатов и заключительные комментарии даны в разд. 4; доказательства представлены в разд. 5; физическая задача о распространении волн, которая приводит к задаче P(α), сформулирована в разд. 6.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ

Собственные значения задач P(α), P_j и $P_{j}^{0}$ обозначим через ${{{\mathbf{\bar {\lambda }}}}_{{k,l}}} = ({{\bar {\lambda }}_{{1,k}}},{{\bar {\lambda }}_{{2,l}}})$, ${{\hat {\lambda }}_{{j,k}}}$ и ${{\tilde {\lambda }}_{{j,k}}}$ соответственно, где $k,l = 1,2, \ldots $, – некоторые целочисленные индексы; также будут использоваться обозначения ${\mathbf{\bar {\lambda }}}$, ${{\hat {\lambda }}_{j}}$ и ${{\tilde {\lambda }}_{j}}$. Если собственные значение снабжены дополнительным индексом, то предполагается, что они упорядочены по возрастанию.

3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В вычислениях использованы следующие значения параметров: $n = 2$, ${{\varepsilon }_{{l,1}}} = 3$, ${{\varepsilon }_{{l,2}}} = 5$, ${{\varepsilon }_{{c,1}}} = {{\varepsilon }_{{s,1}}} = 1$, ${{\varepsilon }_{{c,2}}} = {{\varepsilon }_{{s,2}}} = 1.2$, ${{A}_{1}} = {{A}_{2}} = 1$, $h = 4$. Параметры ${{\alpha }_{j}}$ и ${{\alpha }_{{j + 2}}}$ выбраны различными в различных экспериментах.

Несмотря на то что собственные значения задач $P_{1}^{0}$, $P_{2}^{0}$ и ${{P}_{1}}$, ${{P}_{2}}$ являются скалярными величинами, мы рассматриваем их как двумерные наборы ${{{\mathbf{\tilde {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\tilde {\lambda }}_{{i,k}}},{{\tilde {\lambda }}_{{j,k'}}})$ и ${{{\mathbf{\hat {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\hat {\lambda }}_{{i,k}}},{{\hat {\lambda }}_{{j,k'}}})$, где i,  j = {1, 2} и k, k' – неотрицательные целые индексы. Объединяя эти собственные значения в пары, мы имеем возможность построить их как точки на плоскости Oλ₁λ₂. Мы не перегружаем графики излишними обозначениями: все необходимые пояснения даны в тексте и подрисуночных подписях.

На каждом графике пары ${{{\mathbf{\tilde {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\tilde {\lambda }}_{{i,k}}},{{\tilde {\lambda }}_{{j,k'}}})$, которые составлены из решений задач $P_{1}^{0}$, $P_{2}^{0}$, существуют только внутри прямоугольников на плоскости $O{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}$, границы которых отмечены штриховой линией.

На фиг. 1, 2 пары ${{{\mathbf{\tilde {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\tilde {\lambda }}_{{i,k}}},{{\tilde {\lambda }}_{{j,k'}}})$ решений задач $P_{1}^{0}$, $P_{2}^{0}$ обозначены окружностями; пары ${{{\mathbf{\hat {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\hat {\lambda }}_{{i,k}}},{{\hat {\lambda }}_{{j,k'}}})$ решений задач P₁, P₂ – красными кружками. На фиг. 2 векторные собственные значения ${{{\mathbf{\bar {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\bar {\lambda }}_{{i,k}}},{{\bar {\lambda }}_{{j,k'}}})$ задачи P(α) обозначены синими крестиками.

Для выбранных значений параметров существует 2 и 3 собственных значения задач $P_{1}^{0}$ и $P_{2}^{0}$ соответственно. Отсюда следует, что можно составить 6 пар, а именно ${{{\mathbf{\tilde {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\tilde {\lambda }}_{{i,k}}},{{\tilde {\lambda }}_{{j,k'}}})$, где ${{\tilde {\lambda }}_{{1,0}}} \approx 1.754$, ${{\tilde {\lambda }}_{{1,1}}} \approx 2.669$ и ${{\tilde {\lambda }}_{{2,0}}} \approx 1.828$, ${{\tilde {\lambda }}_{{2,1}}} \approx 3.488$, ${{\tilde {\lambda }}_{{2,2}}} \approx 4.612$.

На фиг. 1 пары ${{{\mathbf{\hat {\lambda }}}}_{{k,k'}}}$ собственных значений задач P₁, P₂ построены вместе с парами ${{{\mathbf{\tilde {\lambda }}}}_{{k,k'}}}$ собственных значений задач ${{P}_{{0,1}}}$, ${{P}_{{0,2}}}$ для того чтобы можно было сравнить их. Каждая из задач P₁, P₂ имеет бесконечное число положительных собственных значений; на фигурах представлены только по несколько первых собственных значений в каждом случае.

Фигуры 1а, 1б иллюстрируют утверждение (i) теоремы 2. Действительно, уменьшая ${{\alpha }_{1}}$ и ${{\alpha }_{2}}$, можно видеть, что существуeт, по крайней мере, одна пара ${{{\mathbf{\hat {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\hat {\lambda }}_{{i,k}}},{{\hat {\lambda }}_{{j,k'}}})$ в окрестности каждой пары ${{{\mathbf{\tilde {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\tilde {\lambda }}_{{i,k}}},{{\tilde {\lambda }}_{{j,k'}}})$ и, следовательно, существует, по крайней мере, одно собственное значение ${{\hat {\lambda }}_{{i,k}}}$ в окрестности всякого собственного значения ${{\tilde {\lambda }}_{{i,k}}}$ как только ${{\alpha }_{j}} > 0$ достаточно малы.

Фигуры 2а, 2б частично иллюстрируют теорему 3. Действительно, как видно существует по крайней мере одна пара ${{{\mathbf{\hat {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\hat {\lambda }}_{{i,k}}},{{\hat {\lambda }}_{{j,k'}}})$ в окрестности каждой пары ${{{\mathbf{\tilde {\lambda }}}}_{{k,k'}}} = ({{\tilde {\lambda }}_{{i,k}}},{{\tilde {\lambda }}_{{j,k'}}})$ как только ${{\alpha }_{3}} > 0$ и ${{\alpha }_{4}} > 0$ достаточно малы.

4. ОБСУЖДЕНИЕ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В связи с теоремой 3 уместно дать два комментария. Во-первых, поскольку числа $\lambda _{j}^{ * }$ и $\Lambda _{j}^{ * }$ заданы произвольно, а значит, могут быть выбраны достаточно большими, то теорема 3 утверждает существование векторных собственных значений задачи P(α) в том числе в области, в которой отсутствуют собственные значения задач $P_{j}^{0}$. Во-вторых, теорема 3 также дает существование тех собственных значений ${{{\mathbf{\bar {\lambda }}}}_{{{\mathbf{k,l}}}}} = ({{\bar {\lambda }}_{{1,k}}},{{\bar {\lambda }}_{{2,l}}})$, которые являются возмущениями пар решений $({{\bar {\lambda }}_{{1,k}}},{{\bar {\lambda }}_{{2,l}}})$ линейных задач $P_{j}^{0}$. Результат, аналогичный последнему, в некоторых нелинейных задачах ранее был получен с помощью интегральных уравнений, см. [2]–[4] и библиографию там.

Теорема 3 утверждает существование лишь конечного числа векторных собственных значений задачи P(α). Учитывая, что каждая из задач P_j имеет бесконечное число собственных значений (при любом ${{\alpha }_{j}} > 0$), можно предположить, что задача P(α) также имеет бесконечное число векторных собственных значений. Доказательство этого результата хотя бы для малых $\alpha _{{j + 2}}^{ * }$ явилось бы следующим существенным продвижением. Первое и очевидное препятствие к получению такого результата – отсутствие однозначной глобальной разрешимости задачи Коши (1.1), (1.2) при $x \in {\bar {I}}$ для всех λ, α таких, что ${\mathbf{(\lambda }},{\mathbf{\alpha }}) \in {\mathbf{\Lambda }} \times {\mathbf{A}}{\kern 1pt} *$, где ${\mathbf{\Lambda }} = {{\Lambda }_{1}} \times {{\Lambda }_{2}}$. Следующим препятствием является неограниченный рост максимумов собственных функций ${{{v}}_{j}}$ при ${{\hat {\lambda }}_{j}} \to + \infty $, см. утверждение (ii) теоремы 2. Вероятно, что последнее затруднение можно преодолеть, используя подходящую “нормировку” собственных функций, как это сделано при доказательстве утверждения 2.1 в работе [14].

Также обратим внимание читателя, что техника, развитая в настоящей статье, существенно отличается от техники, предложенной в работах [7], [8]. В цитированных работах для многопараметрической задачи на собственные значения получена система ИХУ, являющихся многомерным обобщением уравнения (2.2). Исследование такой системы уравнений позволяет получить результаты, аналогичные представленным в настоящей работе. Важным, однако, является то, что здесь результаты получены при помощи простых вспомогательных средств (утверждение 5 и 6), а выкладки технически более просты, чем выкладки в работах [7], [8]. В то же время необходимо отметить, что техника, развитая в цитированных работах, позволяет получить некоторые глубокие результаты о собственных значениях в “неэлектродинамическом” случае задачи P(α). А именно, если поставить задачу P(α) в экранированном волноводе (в этом случае условия III рода (1.2), (1.3) надо заменить на условия I рода [8]), то в такой задаче существует бесконечное число векторных собственных значений с отрицательными компонентами, такие собственные значения не имеют электродинамического смысла, но могут представлять интерес с точки зрения теории задач на собственные значения. В указанном случае метод ИХУ позволяет не только доказать существование бесконечного числа векторных собственных значений, но и выяснить их асимптотику и другие свойства [8].

5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Доказательство утверждения 2. Это утверждение доказано в работе [9] (см. утверждение 2 в [9]). Двукратная непрерывная дифференцируемость решения ${{{v}}_{j}}$ по переменной x при $x \in {\bar {I}}$ следует из гладкости правой части уравнения (1.5).

Доказательство теоремы 1. Доказательство этой теоремы следует из доказательства теоремы 1 и следствия 1, представленных в работе [9].

Доказательство теоремы 2. Доказательство этой теоремы следует из доказательств теорем 4, 5, 6, представленных в работе [9].

Доказательство утверждения 3. Легко показать, что функция w_j, определенная в (2.2), является положительной. Действительно, приравняв w_j к нулю, выразив из этого соотношения $\mu _{j}^{2} + {{a}_{j}} - {{\lambda }_{j}}$ и подставив результат в (2.3), получим противоречие. Теперь достаточно выяснить знак w_j в какой-либо одной точке. Легко видеть, что для любого ${{\lambda }_{j}} < {{a}_{j}}$ функция w_j положительна, а значит, она (если существует) положительна для всех ${{\lambda }_{j}} \in {{\Lambda }_{j}}$. Существование функции w_j для всех ${{\lambda }_{j}} \in {{\Lambda }_{j}}$ элементарно следует из анализа формулы (2.3).

Непрерывность функции ${{\Phi }_{j}}$ относительно ${{\lambda }_{j}} \in {{\Lambda }_{j}}$ элементарно следует из анализа формул (2.2) и (2.3).

Принимая во внимание положительность функции w_j, получаем следующие неравенства:

где ${{n}_{j}} = 0,1, \ldots $, ${{\lambda }_{j}} \in {{\Lambda }_{j}}$, а ${{T}_{j}}({{\lambda }_{j}}) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\tfrac{{ds}}{{{{w}_{j}}(s;{{\lambda }_{j}})}}} $.

В работе [9] доказано, что $li{{m}_{{{{\lambda }_{j}} \to + \infty }}}{{T}_{j}}({{\lambda }_{j}}) = 0$. Отсюда следует существование бесконечного числа решений уравнения (2.2). Действительно, для любого $h > 0$ можно подобрать такой номер ${{n}_{j}} = n_{j}^{0} \geqslant 0$, что $h < n_{j}^{0}ma{{x}_{{{{\lambda }_{j}} \in {{\Lambda }_{j}}}}}{{T}_{j}}({{\lambda }_{j}}) < ma{{x}_{{{{\lambda }_{j}} \in {{\Lambda }_{j}}}}}{{\Phi }_{j}}({{\lambda }_{j}};n_{j}^{0})$. Поскольку $li{{m}_{{{{\lambda }_{j}} \to + \infty }}}{{T}_{j}}({{\lambda }_{j}}) = 0$, то всегда можно выбрать такое значение ${{\lambda }_{j}} \geqslant \lambda _{j}^{0}$, что ${{\Phi }_{j}}(\lambda _{j}^{0};n_{j}^{0}) < (n_{j}^{0} + 1){{T}_{j}}(\lambda _{j}^{0}) < h$. Но тогда между значением ${{\lambda }_{j}}$, на котором функция ${{\Phi }_{j}}({{\lambda }_{j}};n_{j}^{0})$ достигает максимального значения, и значением $\lambda _{j}^{0}$ найдется такое ${{\lambda }_{j}} = {{\hat {\lambda }}_{j}}$, что ${{\Phi }_{j}}({{\hat {\lambda }}_{j}};n_{j}^{0}) = h$.

Далее, поскольку $li{{m}_{{{{\lambda }_{j}} \to + \infty }}}{{T}_{j}}({{\lambda }_{j}}) = 0$, то среди собственных значений ${{\hat {\lambda }}_{{j,k}}}$ встречается бесконечное множество таких, при переходе через которые функция ${{\Phi }_{j}}({{\lambda }_{j}};{{n}_{j}}) - h$, см. формулу (2.2), меняет знак. Таким образом, мы доказали, что существует бесконечное число собственных значений задачи P_j, для которых выполняется неравенство (2.4). Так как ${{f}_{j}}(z)$ является аналитической функцией z при $z \in {{R}_{\Delta }} \subset \mathbb{C}$, то в силу следствий теоремы 4 работы [9] все указанные собственные значения изолированные, а значит, каждое из них можно заключить внутрь некоторой окрестности, в замыкание которой не попадает других собственных значений задачи P_j.

Доказательство утверждения 4. Пусть ${{{v}}_{j}} \equiv {{{v}}_{j}}(x;{{\hat {\lambda }}_{j}},{{\alpha }_{j}})$ – решение задачи Коши (1.5), (1.6). Если ${{\lambda }_{j}} = {{\hat {\lambda }}_{j}}$ удовлетворяет уравнению (2.5), то, очевидно, ${{\hat {\lambda }}_{j}}$ является собственным значением, а ${{{v}}_{j}}(x;{{\hat {\lambda }}_{j}},{{\alpha }_{j}})$ – собственной функцией задачи P_j.

Пусть ${{\lambda }_{j}} = \hat {\lambda }_{j}^{*} \in {{\Lambda }_{j}}$ – некоторое решение уравнения (2.5). Рассмотрим задачу Коши (1.5), (1.6), где ${{\lambda }_{j}} = \hat {\lambda }_{j}^{*}$. В силу утверждения 2 нетривиальное решение ${{{v}}_{j}} \equiv {{{v}}_{j}}(x;\hat {\lambda }_{j}^{*},{{\alpha }_{j}})$ указанной задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от точки $(x,{{\lambda }_{j}},\alpha ) \in {\bar {I}} \times {{\Lambda }_{j}} \times {\text{A}}$. Если уравнение (2.5) выполняется при ${{\lambda }_{j}} = \hat {\lambda }_{j}^{*}$ для указанного решения задачи Коши, то ${{\lambda }_{j}} = \hat {\lambda }_{j}^{*}$ является собственным значением задачи P_j. Предположим, что для указанного решения задачи Коши уравнение (2.5) не выполняется при ${{\lambda }_{j}} = \hat {\lambda }_{j}^{*}$. Но отсюда следует, что существует неединственное решение задачи Коши (1.5), (1.6), где ${{\lambda }_{j}} = \hat {\lambda }_{j}^{*}$; для одного из них уравнение (2.5) выполняется, а для другого – нет. Такой вывод противоречит утверждению 2. А значит, предположение о существовании решения задачи Коши (1.5), (1.6), где ${{\lambda }_{j}} = \hat {\lambda }_{j}^{*}$, для которого не выполняется уравнение (2.5), неверно.

Доказательство утверждения 5. Указанное утверждение является следствием “интегральной” теоремы непрерывности [25]. Следуя [25], рассмотрим нормальную систему уравнений

правые части которой зависят от параметров ${{\gamma }_{1}}, \ldots ,{{\gamma }_{l}}$. В векторной форме систему (5.2) запишем в виде Будем предполагать, что правые части системы (5.2) определены и непрерывны вместе с их частными производными $\tfrac{\partial }{{\partial {{u}_{k}}}}{{f}_{i}}(x,{\mathbf{u}},{\mathbf{\gamma }})$ в некоторой области $\widetilde \Gamma $ пространства $\widetilde R$ переменных $x,{{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{n}},\;{{\gamma }_{1}}, \ldots ,{{\gamma }_{l}}$.

Справедлива

Теорема 4 (см. [25]). Пусть $({{x}_{0}},{{{\mathbf{u}}}_{0}},{{{\mathbf{\gamma }}}_{0}})$ – некоторая точка области $\widetilde \Gamma $ и ${\mathbf{u}} = {\mathbf{\varphi }}(x,{\mathbf{\gamma }})$ – решение уравнения (5.3), удовлетворяющее начальному условию ${\mathbf{\varphi }}({{x}_{0}},{\mathbf{\gamma }}) = {{{\mathbf{u}}}_{0}}$. Если решение ${\mathbf{u}} = {\mathbf{\varphi }}(x,{{{\mathbf{\gamma }}}_{0}})$ определено при $x \in {\bar {I}}$, то существует такое число ${{\gamma }_{0}} > 0$, что при $\left| {{\mathbf{\gamma }} - {{{\mathbf{\gamma }}}_{0}}} \right| < {{\gamma }_{0}}$ решение ${\mathbf{u}} = {\mathbf{\varphi }}(x,{\mathbf{\gamma }})$ определено на том же отрезке ${\bar {I}}$, а функция ${\mathbf{\varphi }}(x,{\mathbf{\gamma }})$ непрерывна по совокупности переменных x, ${\mathbf{\gamma }}$ при $x \in {\bar {I}}$ и $\left| {{\mathbf{\gamma }} - {{{\mathbf{\gamma }}}_{0}}} \right| < {{\gamma }_{0}}$. Кроме того, ${\mathbf{\varphi }}(x,{\mathbf{\gamma }}) \to {\mathbf{\varphi }}(x,{\mathbf{\gamma }}{\kern 1pt} *)$ равномерно по $x \in {\bar {I}}$ при ${\mathbf{\gamma }} \to {\mathbf{\gamma }}{\kern 1pt} *$ как только $\left| {{\mathbf{\gamma }} - {\mathbf{\gamma }}{\kern 1pt} *} \right| < {{\gamma }_{0}}$.

Необходимо отметить, что эта теорема сформулирована в [25] без дополнительного утверждения о равномерности стремления ${\mathbf{\varphi }}(x,{\mathbf{\gamma }})$ к ${\mathbf{\varphi }}(x,{\mathbf{\gamma }}{\kern 1pt} *)$. Однако этот факт следует из доказательства, данного в [25].

Теперь утверждение 5 является прямым следствием применения указанной выше теоремы к задаче Коши (1.1), (1.2) при дополнительном предположении о глобальной однозначной разрешимости задач Коши (1.5), (1.6) при $(x,{{a}_{j}},{{\alpha }_{j}}) \in {\bar {I}} \times {{\Lambda }_{j}} \times {\text{A}}$. Справедливость этого дополнительного предположения гарантируется утверждением 2.

Двукратная непрерывная дифференцируемость решений u₁, u₂ по x при $x \in {\bar {I}}$ следует из гладкости правых частей уравнений (1.1).

Доказательство утверждения 6. Пусть ${{u}_{j}} \equiv {{u}_{j}}(x;{\mathbf{\bar {\lambda }}},{\mathbf{\alpha }})$ – решение задачи Коши (1.1), (1.2). Если ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}$ удовлетворяет системе уравнений (2.8), то, очевидно, ${\mathbf{\bar {\lambda }}}$ является собственным значением, а ${{u}_{j}} \equiv {{u}_{j}}(x;{\mathbf{\bar {\lambda }}},{\mathbf{\alpha }})$ – собственной функцией задачи P(α).

Пусть ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}{\kern 1pt} * \in {\mathbf{\Lambda }}{\kern 1pt} *$ – некоторое решение системы уравнений (2.8). Рассмотрим задачу Коши (1.1), (1.2), где ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}{\kern 1pt} *$. В силу теоремы 5 нетривиальное решение ${{u}_{j}} \equiv {{u}_{j}}(x;{\mathbf{\bar {\lambda }}}{\kern 1pt} *,{\mathbf{\alpha }})$ указанной задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от точки $(x,{\mathbf{\lambda }},{\mathbf{\alpha }}) \in {\bar {I}} \times {\mathbf{\Lambda }}{\kern 1pt} {\text{*}} \times {\mathbf{A}}{\kern 1pt} *$. Если уравнения (2.8) выполняются при ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}{\kern 1pt} *$ для указанного решения задачи Коши, то ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}{\kern 1pt} *$ является собственным значением задачи P(α). Предположим, что для указанного решения задачи Коши уравнение (2.8) не выполняется при ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}{\kern 1pt} *$. Но отсюда следует, что существует неединственное решение задачи Коши (1.1), (1.2), где ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}{\kern 1pt} *$: для одного из них уравнения (2.8) выполняются, а для другого – нет. Такой вывод противоречит утверждению 5. А значит, предположение о существовании решения задачи Коши (1.1), (1.2), где ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}{\kern 1pt} *$, для которого не выполняется уравнение (2.8), неверно.

Доказательство теоремы 3. Искомый результат получается из таких рассуждений. Из утверждения 5 следует, что если ${\mathbf{\lambda }} \in {\mathbf{\Lambda }}{\kern 1pt} *$ и ${\mathbf{\alpha }} \to {\mathbf{\alpha }}{\kern 1pt} '$, то

равномерно при $x \in {\bar {I}}$; ${{u}_{j}}(x;{{\lambda }_{j}},{{\alpha }_{j}})$ – решение задачи Коши (1.1), (1.2), ${{{v}}_{j}}(x;{{\lambda }_{j}},{{\alpha }_{j}})$ – решение задачи Коши (1.5), (1.6).

Учитывая формулы (5.4), (5.5), ясно, что если ${\mathbf{\alpha }} \to {\mathbf{\alpha }}{\kern 1pt} '$, то

равномерно при ${\mathbf{\lambda }} \in {\mathbf{\Lambda }}{\kern 1pt} *$, где φ_j и ψ_j определены формулами (2.5) и (2.8) соответственно.

В силу формул (5.6), (5.7) получаем, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое $\epsilon {\kern 1pt} ' > 0$, что для всех ${\mathbf{\lambda }} \in {\mathbf{\Lambda }}{\kern 1pt} *$ левые части формул (2.9) по абсолютному значению будут меньше $\epsilon $ как только $\left| {{\mathbf{\alpha }} \to {\mathbf{\alpha }}{\kern 1pt} '} \right| < \epsilon {\kern 1pt} '$.

Нули правых частей формул (2.9) являются собственными значениями задач P_j. Из следствия 1 известно, что существует такая постоянная $\lambda _{j}^{ * }$ (>a_j), что интервал $({{b}_{j}},\lambda _{j}^{ * })$ содержит собственные значение задачи P_j, удовлетворяющие следствию 2. При этом предполагается, что $\lambda _{j}^{ * }$ достаточно велико и, таким образом, интервал $({{b}_{j}},\lambda _{j}^{ * })$ содержит собственные значения задачи P_j, которые не переходят в соответствующие собственные значения задачи $P_{j}^{0}$ при ${{\alpha }_{{j + 2}}} \to + 0$. Отсюда следует, что для всякого собственного значения ${{\hat {\lambda }}_{{j,k}}}$, удовлетворяющего следствию 2, найдется содержащий его отрезок такой, что правая часть формулы в (2.9), отвечающая ${{\hat {\lambda }}_{{j,k}}}$, принимает значения разных знаков на противоположных концах этого отрезка. Поскольку левые части могут быть сделаны как угодно малыми, а правые части не зависят от ${{\alpha }_{{j + 2}}}$, непрерывны по ${{\lambda }_{j}}$ и меняют знак при переходе через ${{\hat {\lambda }}_{{j,k}}}$, то при достаточно малых ${{\alpha }_{{j + 2}}}$ в указанных отрезках найдутся числа ${{\bar {\lambda }}_{{1,{{i}_{1}}}}}$ и ${{\bar {\lambda }}_{{2,{{i}_{2}}}}}$, удовлетворяющие системе (2.9).

6. ФИЗИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН

Задача P(α) описывает распространение двухчастотной электромагнитной TE-TE-волны в плоском экранированном немагнитном диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой. Нелинейный отклик среды отвечает эффектам самовоздействия для сред с центром инверсии [26]–[29].

Рассмотрим эту задачу подробнее. Пусть $\Sigma = \{ (x,y,z) \in {{\mathbb{R}}^{3}}:0 \leqslant x \leqslant h,\;(y,z) \in {{\mathbb{R}}^{2}}\} $ – диэлектрический слой, расположенный между полупространствами $x < 0$ и $x > h$ в декартовой системе координат $Oxyz$. Полупространства заполнены немагнитными средами, характеризующимися вещественными диэлектрическими проницаемостями $\epsilon = {{\epsilon }_{s}} \geqslant {{\epsilon }_{0}} > 0$ и $\epsilon = {{\epsilon }_{c}} \geqslant {{\epsilon }_{0}} > 0$ соответственно, где ${{\epsilon }_{0}}$ – диэлектрическая проницаемость вакуума. Диэлектрическая проницаемость ${{\epsilon }_{l}}$ слоя $\Sigma $ будет введена ниже; магнитная проницаемость μ во всем пространстве есть положительная постоянная.

В соответствии с [2], [4], введем двухчастотное электромагнитное поле

где здесь компоненты ${{e}_{y}}$, ${{e}_{z}}$, $h_{x}^{{(1)}}$, $h_{x}^{{(2)}}$, ${{h}_{y}}$, ${{h}_{z}}$ зависят только от одной пространственной координаты x, а ${{\gamma }_{j}}$ – подлежащие определению вещественные постоянные. Частоты ${{\omega }_{1}}$, ${{\omega }_{2}}$ различны, но их выбор подчинен некоторым ограничениям, связанным с выбранным законом нелинейности для ${{\epsilon }_{l}}$ [4], [5], [26]. Величины ${{{\mathbf{E}}}_{j}} = {\mathbf{E}}_{j}^{ + } + i{\mathbf{E}}_{j}^{ - }$, ${{{\mathbf{H}}}_{j}} = {\mathbf{H}}_{j}^{ + } + i{\mathbf{H}}_{j}^{ - }$ – называются комплексными амплитудами [30]. Другими словами, мы рассматриваем сумму двух TE-волн, распространяющихся в направлениях Oz и Oy соответственно. Поле (6.1), (6.2) носит название TE-TE-волны и представляет собой частный случай многочастотной TE-волны [4]. Вещественное (физическое) поле ${{{\mathbf{\tilde {E}}}}_{\omega }}$, ${{{\mathbf{\tilde {H}}}}_{\omega }}$ имеет вид $\operatorname{Re} {{{\mathbf{E}}}_{\omega }}$, $\operatorname{Re} {{{\mathbf{H}}}_{\omega }}$ соответственно.

Считаем, что диэлектрическая проницаемость ${{\epsilon }_{l}}$ слоя $\Sigma $ описывается диагональным $(3 \times 3)$-тензором

где ${{\epsilon }_{{yy}}} = {{\epsilon }_{y}} + {{\beta }_{1}}{{f}_{1}}({{s}_{1}}) + {{\beta }_{3}}{{g}_{1}}({{s}_{1}},{{s}_{2}})$, ${{\epsilon }_{{zz}}} = {{\epsilon }_{z}} + {{\beta }_{2}}{{f}_{2}}({{s}_{2}}) + {{\beta }_{4}}{{g}_{2}}({{s}_{1}},{{s}_{2}})$, элемент * тензора ${{\epsilon }_{l}}$ не оказывает влияния на распространение TE-TE-волны; ${{\epsilon }_{y}},\;{{\epsilon }_{z}},\;{{\beta }_{j}},\;{{\beta }_{{j + 2}}} > 0$ – вещественные постоянные; ${{s}_{1}} = {{\left| {({{{\mathbf{E}}}_{1}},{{{\mathbf{e}}}_{y}})} \right|}^{2}}$, ${{s}_{2}} = {{\left| {({{{\mathbf{E}}}_{2}},{{{\mathbf{e}}}_{z}})} \right|}^{2}}$, ${{{\mathbf{E}}}_{1}},\;{{{\mathbf{E}}}_{2}}$ – векторы электрических полей, образующих TE-TE-волну; ${{{\mathbf{e}}}_{y}},\;{{{\mathbf{e}}}_{z}}$ – единичные орты осей Oy, Oz декартовых координат Oxyz; $( \cdot , \cdot )$ – евклидово скалярное произведение.

Предполагается, что выполняются неравенства

Неравенство $min\{ {{\epsilon }_{y}},{{\epsilon }_{z}}\} > max\{ {{\epsilon }_{s}},{{\epsilon }_{c}}\} $ является необходимым условием для существования распространяющихся TE-волн в слое, заполненном линейной средой, т.е. при ${{\beta }_{1}} = {{\beta }_{2}} = {{\beta }_{3}} = {{\beta }_{4}} = 0$.

Диэлектрическая проницаемость вида (6.3) соответствует некоторым важным прикладным случаям [5], [24], [30]–[36]; кроме того, свойства функций ${{f}_{j}}$ и ${{g}_{j}}$ позволяют изучать широкий класс нелинейностей, возникающих в оптике; керровская, полиномиальная, степенная нелинейности и т.д.

Теоретически существование двухчастотных распространяющихся волн было доказано недавно: (связанные) TE-TM- и TE-TE-волны в слое с керровской нелинейностью введены и изучены в [3] и [2] соответственно. Задача о TE-TE-волне, распространяющейся на одной частоте в слое с керровской нелинейностью, была рассмотрена впервые в [31]; позже эта задача также привлекала внимание исследователей [5], [33], [34]. Случай многочастотной распространяющейся волны в нелинейных фотонных кристаллах указан в работе [35]. Общие формулировки задач о распространении многочастотных волн различных конфигураций в плоских и круглых цилиндрических волноводах, заполненных нелинейными средами, впервые представлены в [4].

Подставляя (6.1) в уравнении Максвелла и принимая во внимание линейность оператора $\operatorname{rot} $, получаем, что ${{{\mathbf{E}}}_{k}}$, ${{{\mathbf{H}}}_{k}}$ удовлетворяют следующим (связанным) уравнениям:

где i – мнимая единица. Поскольку полученная система справедлива для всех t, то приходим к системе 4 (векторных) уравнений где $j = 1,2$.

Итак, поля ${{{\mathbf{E}}}_{j}}$, ${{{\mathbf{H}}}_{j}}$ удовлетворяют уравнениям (6.5). Поскольку мы ищем распространяющиеся волны, то искомые решения затухают как $O({{\left| x \right|}^{{ - 1}}})$ при $\left| x \right| \to \infty $. Кроме этого, классическая теория электромагнитного поля утверждает, что касательные компоненты полей ${{{\mathbf{E}}}_{j}}$, ${{{\mathbf{H}}}_{j}}$ являются непрерывными на границах $x = 0$, $x = h$ [20], [21]. Дополнительно мы требуем, чтобы величины ${{\left. {{{e}_{y}}(x)} \right|}_{{x = 0}}}$ и ${{\left. {{{e}_{z}}(x)} \right|}_{{x = 0}}}$ имели фиксированные (известные) значения.

Подставляя (6.2) в (6.5) и используя обозначения ${{u}_{1}}: = {{e}_{y}}$, ${{u}_{2}}: = {{e}_{z}}$, после некоторых преобразований приходим к системе

${{h}_{y}} = - {{(i\mu {{\omega }_{2}})}^{{ - 1}}}e_{z}^{'}$, ${{h}_{z}} = {{(i\mu {{\omega }_{1}})}^{{ - 1}}}e_{y}^{'}$, где а ${{\epsilon }_{{yy}}} = {{\epsilon }_{y}} + {{\beta }_{1}}{{f}_{1}}(u_{1}^{2}) + {{\beta }_{3}}{{g}_{1}}(u_{1}^{2},u_{2}^{2})$, ${{\epsilon }_{{zz}}} = {{\epsilon }_{z}} + {{\beta }_{2}}{{f}_{2}}(u_{2}^{2}) + {{\beta }_{4}}{{g}_{2}}(u_{1}^{2},u_{2}^{2})$.

В соответствии с условием на бесконечности решения системы (6.6) в полупространствах имеют вид

где ${{A}_{j}},{{B}_{j}} \ne 0$ – вещественные постоянные и без потери общности ${{A}_{j}} > 0$.

Внутри слоя $\Sigma $ система (6.6) принимает вид

Касательными компонентами поля (6.1), (6.2) являются ${{e}_{y}}$, ${{h}_{z}}$ и ${{e}_{z}}$, ${{h}_{y}}$. Таким образом, функции ${{u}_{j}}$ и $u_{j}^{'}$ непрерывны на границах $x = 0$ и $x = h$. Принимая во внимание указанную непрерывность и используя решения в полупространствах (6.8), приходим к условиям сопряжения

Упомянутое условие фиксированных значений поля на границе имеет вид

где ${{A}_{j}}$ совпадает с одноименной постоянной в (6.8).

Сформулированная физическая задача о распространении волн есть ни что иное как задача P(α), где использованы обозначения: ${{\lambda }_{j}} = \omega _{j}^{2}{{\mu }_{0}}\gamma _{j}^{2}$, ${{a}_{1}} = \omega _{1}^{2}{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{y}}$, ${{a}_{2}} = \omega _{2}^{2}{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{z}}$, ${{b}_{j}} = \omega _{j}^{2}{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{s}}$, ${{c}_{j}} = \omega _{j}^{2}{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{c}}$; ${{\alpha }_{j}} = \omega _{j}^{2}{{\mu }_{0}}{{\beta }_{j}}$, ${{\alpha }_{{j + 2}}} = \omega _{j}^{2}{{\mu }_{0}}{{\beta }_{{j + 2}}}$, где ${{\mu }_{0}}$ – магнитная проницаемость вакуума. Постановку задачи для закрытого волновода см. в [4], [8].

Условия, перечисленные в этом пункте, приводят к условиям (1.2), (1.3) при $n = 2$ и условиям (1.6), (1.7) при $n = 1$.

Поле (6.1), (6.2) распространяется в слое $\Sigma $ только для выделенных значений пар $({{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}})$. Эти значения будем называть (векторными) постоянными распространения. С математической точки зрения, сформулированная задача является нелинейной двухпараметрической задачей на собственные значения для системы (6.9) с перечисленными начальными и краевыми условиями. Векторные собственные значения этой задачи являются векторными постоянными распространения.

Поскольку ${{\gamma }_{j}}$ в (6.2) вещественные, то ${{\lambda }_{j}} = \mu \omega _{j}^{2}\gamma _{j}^{2} > 0$. Если $n = 1$ или ${{\beta }_{3}} = {{\beta }_{4}} = 0$, то с точностью до обозначений получаем задачи P_j. Если ${{\beta }_{1}} = {{\beta }_{2}} = {{\beta }_{3}} = {{\beta }_{4}} = 0$, то получаем 2 линейных задачи об определении постоянных распространения TE-волн, распространяющихся в волноводе, заполненном линейной средой. Эти задачи эквиваленты задачам $P_{j}^{0}$, сформулированным в разд. 1.

Нелинейные законы, используемые в оптике нелинейных волноводов, часто содержат множители, которые являются малыми параметрами [5], [26], [27]. Это позволяет применять методы теории возмущений, основанные на поиске возмущенных решений соответствующих линеаризованных задач, см., например, [2]–[4]. Такой подход не всегда оправдан, поскольку могут существовать нелинеаризуемые решения (см. теорему 3).