Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 10, стр. 1704-1714

1. ВВЕДЕНИЕ

Выбор граничного условия отражения, аппроксимирующего взаимодействие частиц с поверхностью тел, является одним из основных моментов при исследовании течений разреженного газа. При решении прикладных задач взаимодействие моноатомного газа с поверхностями, как правило, моделируется классическими условиями Максвелла, Эпштейна (см. [1]), Ночиллы (см. [2]), Черчиньяни–Лэмпис (см. [3]), а также их различными комбинациями и обобщениями (см. [4], [5]). При изучении течений молекулярного газа часто используются модель отражения Лорда (см. [6]) или условия Максвелла с неполной аккомодацией. Как и в случае моноатомного газа, для получения результатов, близких к экспериментальным, применяются различные модификации условий Максвелла и Черчиньяни–Лэмпис (см. [7], [8]). Данные граничные условия, учитывая закон отражения частиц с вращательными степенями свободы, не описывают обмена внутренней и поступательной энергий. Модель граничных условий с учетом энергетического обмена была предложена В. Рыковым (см. [9]). Несмотря на то что эта модель была представлена достаточно давно (в 1986 г.), она мало использовалась, и только несколько примеров ее применения можно найти в научной литературе (см. [10], [11]). Одной из причин этого является то, что величина энергетического обмена в условиях В. Рыкова является свободным внешним параметром, зависящим от двух вспомогательных коэффициентов, значения которых должны быть заданы априори. При этом критерием правильности выбора является согласование вращательной и поступательной температур около поверхности с экспериментальными данными. Так как экспериментальные данные, как правило, дают информацию о каком-то определенном режиме течения, то общая картина влияния обменов энергии на течение газа остается невыясненной. Поэтому представляется важным провести анализ данных условий и установить связь между интенсивностью энергетического обмена и параметрами течения, а также определить влияние величины обменов на изменения температуры газа около поверхности в зависимости от параметра разреженности, скорости набегающего потока и температуры поверхности.

2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И МОДЕЛИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ МОЛЕКУЛЯРНОГО ГАЗА

Детальным методом исследования влияния внутренних энергий на течение молекулярного газа является подход, основанный на решении полуклассического кинетического уравнения Ван-Чанг и Улунбека, но из-за своей сложности оно редко используется в прикладных задачах. Менее детальные подходы на основе кинетических уравнений используют двух- или трехтемпературные приближения, учитывая только изменение внутренней энергии и основываются на обобщении модельных уравнений типа БГК (Бхатнагара–Гросса–Крука), эллипсоидальной статистической модели или модели Шахова для одноатомного газа. При этом вращательная энергия молекул в модельных уравнениях описывается, как правило, классически (непрерывной величиной), а суммирование заменяется интегрированием. Колебательная энергия остается дискретной (см., например, [12]–[16]).

Сравнение поверхностных коэффициентов и температурных полей при обтекании цилиндра молекулярным газом (азотом) при сверхзвуковых скоростях (с числами Маха = 10, 25), полученных применением модели из [16] и методом DSMC из [17], показало удовлетворительное согласие, при этом влияние колебательной энергии на параметры течения оказалось достаточно слабым. Поэтому в настоящей работе мы будем рассматривать различные граничные условия при обтекании тел двухатомным газом (азотом), учитывая только вращательные энергии и используя модель Рыкова (R-модель) (см. [12]).

Описание течений двухатомного газа в [12] осуществляется введением функции распределения $f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\xi }},{{I}_{r}})$, зависящей от времени $t$, вектора координат ${\mathbf{x}}$, вектора скорости ${\mathbf{\xi }}$ и непрерывной переменной ${{I}_{r}}~({{I}_{r}} > 0)$, соответствующей вращательной энергии. В этом случае число степеней свободы внутренней энергии ${{k}_{{{\text{rot}}}}} = 2$. Макропараметры газа (плотность числа частиц $n$, вектор скорость ${\mathbf{u}}$, температуры ${{T}_{{{\text{tr}}}}},\;{{T}_{{{\text{rot}}}}}$, векторы тепловых потоков ${{{\mathbf{q}}}_{{{\text{tr}}}}},\;{{{\mathbf{q}}}_{{{\text{rot}}}}}$ и энергии ${{E}_{{{\text{tr}}}}},\;{{E}_{{{\text{rot}}}}}$) определяются с использованием собственной скорости ${\mathbf{C}} = {\mathbf{\xi }} - {\mathbf{u}}$ и обозначения $\left\langle {\left\langle f \right\rangle } \right\rangle = \int_{{{R}^{3}} \times {{R}^{ + }}}^{} {f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{\xi }},{{I}_{r}})d{\mathbf{\xi }}d{{I}_{r}}} $ следующим образом (нижний индекс tr соответствует поступательным переменным, а rot – вращательным):

где $m$ – масса молекул, ${{k}_{{\text{B}}}}$ – постоянная Больцмана. Давление поступательного движения ${{p}_{{{\text{tr}}}}}$ и равновесная температура ${{T}_{{{\text{eqr}}}}}$, устанавливаемая за счет обменов поступательной и вращательной энергий, определяются согласно формулам

В R-модели интеграл столкновений представляется суммой двух релаксационных членов, аппроксимирующих упругие и неупругие соударения. Усреднение функций распределения по внутренним энергиям и интегрирование по переменной ${{I}_{r}}$ с весовыми коэффициентами +1, ${{I}_{r}}$,

приводит кинетическое уравнение к системе двух модельных уравнений где введены следующие обозначения: Величина ${{\delta }_{D}}$ определяется по коэффициентам самодиффузии газа D и вязкости поступательного движения ${{\mu }_{{{\text{tr}}}}}$, соотношением ${{\delta }_{D}} = {{\mu }_{{{\text{tr}}}}}{\text{/}}nmD$. Для молекул со степенным законом взаимодействия при индексе вязкости, близком к единице (максвелловские молекулы) ${{\delta }_{D}} = 1{\text{/}}1.55$. Параметры ${{\omega }_{0}},\;{{\omega }_{1}}$ зависят от свойств рассматриваемого газа и определяются либо из экспериментальных данных по релаксации тепловых потоков, либо по числу Прандтля, которое для R-модели, как следует из [18], представляется в виде Здесь $\gamma = 7{\text{/}}5$, а ${{Z}_{r}}$ – вращательное число столкновений, определяющее вращательную и поступательную частоты столкновений равенствами ${{\nu }_{{{\text{rot}}}}} = \nu {\text{/}}{{Z}_{r}}$, ${{\nu }_{{{\text{tr}}}}} = \nu (1 - 1{\text{/}}{{Z}_{r}})$ и $\nu = {{p}_{{{\text{tr}}}}}{\text{/}}{{\mu }_{{{\text{tr}}}}}$.

Рассмотрим постановку граничных условий для функций ${{f}_{0}},\;{{f}_{1}}$, следуя аппроксимации взаимодействия газа с поверхностью, предложенной в [9]. Закон отражения в этом случае предполагается диффузным с температурой поверхности ${{T}_{w}}$ и функцией распределения отраженных частиц в виде

где ${{\beta }_{{{\text{tr}}}}} = \sqrt {m{\text{/}}(2{{k}_{{\text{B}}}}{{T}_{{{\text{tr}},r}}})} $, ${{T}_{{{\text{tr}},r}}}$, ${{T}_{{{\text{rot}},r}}}$ – поступательная и вращательная температуры отраженных частиц, а ${{n}_{w}}$ – плотность, удовлетворяющая условию непротекания.

Интегрируя (2.1) по переменной ${{I}_{r}}$ с весовыми коэффициентами +1, ${{I}_{r}}$, получаем

Поступательная и вращательная энергии, уносимые отраженными частицами ${{E}_{{{\text{tr}},r}}}$, ${{E}_{{{\text{rot}},r}}}$, и энергии отраженных частиц при равновесии газа с поверхностью тела ${{E}_{{{\text{tr}},w}}},\;{{E}_{{{\text{rot}},w}}}~$ связаны с ${{T}_{{{\text{tr}},r}}}$, ${{T}_{{{\text{rot}},r}}}$ следующими формулами: При этом сами температуры ${{T}_{{{\text{tr}},r}}}$, ${{T}_{{{\text{rot}},r}}}$ определяются из условия аккомодации энергии, которое можно записать в виде где введены векторы энергий падающих и отраженных молекул и матрица коэффициентов аккомодации следующими соотношениями: Здесь $~{{E}_{{{\text{tr}},i}}},\;{{E}_{{{\text{rot}},i}}}$ – поступательная и вращательная энергии падающих на поверхность частиц. Если коэффициенты ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = {{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}} = 0$, то обмен энергии между поступательными и вращательными степенями свободы отсутствует, и граничные условия для энергий имеют вид а температуры отраженных частиц определяются c использованием (2.2) следующим образом: При отличных от нуля коэффициентах ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$ энергии отраженных молекул определяются по формулам что приводит к соотношениям для температур Условия (2.5), (2.6) можно записать также в следующем виде: где $Q = {{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}({{E}_{{{\text{tr}},i}}} - {{E}_{{{\text{tr}},w}}}) - {{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}({{E}_{{{\text{rot}},i}}} - {{E}_{{{\text{rot}},w}}})$ определяет величину обмена энергии. Если $Q > 0$, то превалирует переход поступательной энергии молекул во вращательную, и наоборот, если $Q < 0$. Задание величины Q достаточно произвольно, однако при выборе параметров ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$ нужно учитывать условия положительности энергий отраженных частиц ${{E}_{{{\text{rot}},r}}} > 0$ и ${{E}_{{{\text{tr}},r}}} > 0$. Кроме того, так как при обтекании выпуклых тел сверхзвуковым потоком вращательная температура у поверхности меньше поступательной (за исключением возможно теневой области), то значения Q на части поверхности, обращенной к потоку, можно выбрать таким, чтобы выполнялось условие ${{T}_{{{\text{rot}},r}}} < {{T}_{{{\text{tr}},r}}}$. Из соотношений (2.2), (2.7), (2.8) и используя обозначения получаем

Отметим, что правая часть (2.9) оценивает значения температур для вылетающих с поверхности молекул. Для температур на поверхности поступательного движения ${{T}_{{{\text{tr}},s}}}$ и вращательного движения ${{T}_{{{\text{rot}},s}}}$ нужно учесть энергию частиц, приходящих на тело. Выполнение условия ${{T}_{{{\text{rot}},s}}} < {{T}_{{{\text{tr}},s}}}$ приводит к более общему условию для величины обмена. Оценить допустимую величину Q можно по значениям энергий и скорости падающего потока для свободномолекулярного режима. Тогда для температур отраженных частиц, вводя обозначение

будем иметь где ${{U}_{n}}$, ${{U}_{t}}$ – нормальная и тангенциальная компоненты скорости свободно молекулярного потока, а $\left\langle {u0} \right\rangle $ – $0.5\operatorname{erfc} ( - {{\beta }_{{{\text{tr}}}}}{{U}_{n}})$. Из (2.2), (2.7), (2.8) получим Сравнивая условия (2.9) и (2.10), мы видим, что в случае обтекания тел на элементах поверхности, обращенных к потоку, ${{U}_{n}} > 0$, и из условия (2.9) следует (2.10), а в теневой области, где величина $F({{U}_{n}},{{U}_{t}},{{\beta }_{{{\text{tr}}}}})$ может стать отрицательной, условие (2.10) является более сильным. При уменьшении числа Кнудсена компоненты скорости ${{U}_{n}},\;{{U}_{t}}$ около поверхности стремятся к нулю и (2.9), (2.10) становятся практически эквивалентными. Отметим, что при постоянных значениях коэффициентов ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$ не всегда удается удовлетворить этим условиям на всей поверхности, так как величины в правых частях (2.9), (2.10) и величина обмена Q могут менять знак.

Полная энергия отраженных частиц ${{E}_{r}} = {{E}_{{{\text{tr}},r}}} + {{E}_{{{\text{rot}},r}}}$ выражается формулой

так что поверхностный коэффициент теплопередачи для свободномолекулярного режима не зависит от энергетического обмена, а в случае произвольных значений числа Кнудсена изменяется очень незначительно. Основное отличие при использовании граничных условий (2.7), (2.8) проявляется в поведении температурных полей около поверхности тела, которое и исследуется в настоящей работе.

3. МЕТОД И ДЕТАЛИ РАСЧЕТА

При численном анализе рассматривается двумерная стационарная задача сверхзвукового обтекания цилиндрического тела с закругленным сечением (см. ниже фиг. 4). Влияние величины энергетического обмена на параметры течения оценивается сравнением поведения температуры около поверхности.

Численный расчет проводится методом дискретных ординат с применением кинетического модуля программного комплекса Unified Flow Solver (UFS) (см. [19]), использующего для решения расщепление кинетического уравнения на этапы свободномолекулярного течения и релаксацию. В дискретном скоростном пространстве выбирается равномерная кубическая сетка. В физическом пространстве используется иерархическая адаптивно измельчаемая сетка. В пространственных координатах применяется метод конечных объемов второго порядка на неструктурированной декартовой сетке. Поверхность тела аппроксимируется с помощью метода скошенных ячеек. Стационарное решение ищется с помощью явного по времени метода установления. Интеграл столкновений в кинетическом уравнении аппроксимируется согласно R-модели Рыкова (см. [12]). Для выполнения законов сохранения релаксационного оператора используется итерационная процедура Ньютона.

Физические параметры задачи взяты из [17], где предполагается, что закон вязкости соответствует взаимодействию по модели $\mu = {{\mu }_{{{\text{ref}}}}}{{(T{\text{/}}{{T}_{{{\text{ref}}}}})}^{\omega }}$, и

При расчетах используются безразмерные величины введением характерных значений длины d, температуры и плотности набегающего потока ${{T}_{\infty }}$, ${{\rho }_{\infty }}$, и наиболее вероятной молекулярной скорости ${{{v}}_{m}} = \sqrt {~2R{{T}_{\infty }}~} $. Тепловой поток, давление и вязкость обезразмериваются на ${{\rho }_{\infty }}{v}_{m}^{3}{\text{/}}2$, ${{\rho }_{\infty }}{v}_{m}^{2}{\text{/}}2$ и ${{\mu }_{\infty }} = \mu ({{T}_{\infty }})$ соответственно. Введение характерных величин приводит к безразмерной форме кинетическое уравнение с числом Кнудсена ${\text{Kn}} = {{\lambda }_{\infty }}{\text{/}}d$, где ${{\lambda }_{\infty }}$ – длина свободного пробега. Вращательное число столкновений ${{Z}_{r}}~$ в расчетах задается постоянным и ${{Z}_{r}} = 4$.

Вычисления, представленные ниже, выполнены с размерами ячеек в скоростном пространстве ${{\Delta \xi /}}{{{v}}_{m}} = 0.3{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 0.4$. Адаптация сетки в физическом пространстве выполнялась по расстоянию от тела. Минимальный размер ячейки около поверхности выбирался от $h{\text{/}}d = 4 \times {{10}^{{ - 3}}}$ до $h{\text{/}}d = 2 \times {{10}^{{ - 2}}}$ в зависимости от числа Кнудсена.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

Исследуем, как влияют граничные условия (2.7), (2.8) на температурные поля на примере обтекания цилиндрического тела с параболическим сечением и прямой задней кромкой (см. ниже фиг. 4). Xарактерный параметр длины d равен максимальной ширине сечения. Парциальные коэффициенты аккомодации заданы значениями ${{\alpha }_{{{\text{tr}}}}} = 0.6$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}}}}} = 0.5$, которые близки к коэффициентам, полученным для азота в [20].

Пример 1. Рассмотрим сначала случай обтекания при температуре поверхности тела ${{T}_{w}} = {{T}_{\infty }}$. В безразмерных переменных ${{T}_{w}} = 1$. Зададим скорость набегающего потока, соответствующей числу Мах = 3. В свободномолекулярном режиме при отсутствии энергетических обменов внутренняя энергия при любых заданных коэффициентах аккомодации и любой скорости частиц, падающих на поверхность, не изменяется, что не является физически корректным, так как исключает возбуждение вращательных степеней свободы (см. [21]). Рассмотрим случай, когда преобладает передача поступательной энергии во вращательную, т.е. Q > 0. Так как в свободномолекулярном режиме величина $({{E}_{{{\text{rot}},i}}} - {{E}_{{{\text{rot}},w}}}) = 0$, то для анализа влияния интенсивности энергетического обмена на решение будем изменять ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$.

Для выбора значений ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$ рассмотрим поведение коэффициента в зависимости от угла наклона нормали к элементу поверхности при свободномолекулярном режиме обтекания. На фиг. 1а приведены графики значений ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$, дающие равенство в условиях (2.9) и (2.10) (кривые 1, 2 соответственно). Видно, что условие ${{T}_{{{\text{rot}},s}}} < {{T}_{{{\text{tr}},s}}}$ можно удовлетворить при $\varphi < 140^\circ $, выбрав ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} < 0.24$, однако при этом ${{T}_{{{\text{rot}},r}}} > {{T}_{{{\text{tr}},r}}}$. Значения температур на поверхности и температур отраженных частиц при ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = 0.2$ приведены на фиг. 1б и 1в.

Учитывая значения ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$ в свободномолекулярном режиме обтекания, рассмотрим влияние энергетических обменов на поведение температур при числах Кнудсена Kn = 1 и Kn = 0.1 для следующих значений параметров:

вариант 1: ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = 0.0$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}} = 0.0$,

вариант 2: ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = 0.1$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}} = 0.0$,

вариант 3: ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = ~0.2$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}} = 0.0$.

Из фиг. 2а следует, что при Kn = 1 передача поступательной энергии во вращательную приводит к значительному изменению температур по сравнению с течением без обмена. Особенно сильно увеличивается вращательная температура газа, и при выбранных значениях ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$ остается меньше поступательной температуры у поверхности тела.

При уменьшении числа Kn правая часть условия (2.10) стремится к нулю, и решения с обменом и без обмена становятся близкими. На фиг. 2б, где представлены вращательная и поступательная температуры газа у поверхности при Kn = 0.1, видно, что отличия температур становятся малыми и локализованы около поверхности. При этом для варианта 2 температуры становятся уже равными, а для варианта 3 ${{T}_{{{\text{rot}}}}} > {{T}_{{{\text{tr}}}}}$. Таким образом, с уменьшением числа Кнудсена допустимые значения ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$ и Q уменьшаются и граничные условия без обмена энергий (2.3), (24) и с обменом (2.7), (2.8) становятся эквивалентными.

В рассмотренных случаях параметр ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$ = 0, и передача вращательной энергии в поступательную энергию молекул явным образом не задана. Значения ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$, отличные от нуля, могут приводить к изменению поведения температур в поле течения. Однако для скоростей набегающего потока с Мах ≫ 1 влияния перехода вращательной энергии в поступательную оказывается слабым, так как величина $\left| {{{E}_{{{\text{rot}},i}}} - {{E}_{{{\text{rot}},w}}}} \right| \ll \left| {{{E}_{{{\text{tr}},i}}} - {{E}_{{{\text{tr}},w}}}} \right|$ за исключением частей поверхности, где $({{E}_{{{\text{tr}},i}}} - {{E}_{{{\text{tr}},w}}}) \cong 0$. Кроме этого, выбором в точке торможения $a_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}^{*} = {{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} - {{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}({{E}_{{{\text{rot}},i}}} - $ $ - \;{{E}_{{{\text{rot}},w}}}){\text{/}}({{E}_{{{\text{tr}},i}}} - {{E}_{{{\text{tr}},w}}})$ можно сделать обмены Q близкими.

На фиг. 3 показаны профили поступательной и вращательной температур газа на поверхности от координаты x, отсчитываемой от вершины параболы, с равными обменами в точке торможения для двух вариантов параметров (Kn = 1):

вариант 1: ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = 0.138$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}} = 0.5$,

вариант 2: ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = 0.128$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}} = 0.0$.

Несмотря на отличие значений в вариантах 1 и 2, температуры вдоль линии торможения совпадают (график опущен), а отличия температур газа на поверхности малы.

При увеличении скорости набегающего потока общая тенденция влияния граничных условий на течение газа не изменяется. Положительный обмен, удовлетворяющий условиям (2.9), (2.10), стремится к нулю при уменьшении числа Kn. При ${\text{Kn}}\sim 1$ основное влияние испытывает вращательная температура, изменяясь не только около поверхности, но и во всем поле течения. На фиг. 4 приведены изолинии вращательной и поступательной температур при обмене энергий (${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$ = 0.24, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}} = 0.0$) и без обмена (${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$ = ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$ = 0.0) для скорости набегающего потока Мах = 10 при температуре поверхности ${{T}_{w}} = 2.5$.

Рассмотрим случай Q < 0, соответствующий переходу вращательной энергии в поступательную при значения параметров ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$ = 0 и ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$ = 0.5. Отметим, что данным выбором параметров мы искусственно создаем передачу вращательной энергии в поступательную, что может и не соответствовать реальной картине отражения.

На фиг. 5, где приведены для сравнения профили температур с Q < 0 и Q = 0, видно, что переход вращательной энергии в поступательную слабо влияет на течение как при Kn = 1, так и при Kn = 0.1. Относительные изменения вращательной и поступательной температур в точке торможения составляют 10 и 2% соответственно. Отметим, что при уменьшении числа Кнудсена относительные изменения вращательной и поступательной температур около поверхности сохраняются по величине.

Пример 2. Рассмотрим обтекание при Kn = 1, с температурой поверхности тела выше равновесной температуры набегающего потока со скоростью Mах = 3. В безразмерных переменных ${{T}_{w}} = 4.5$. Для анализа влияния энергетических обменов на течение газа рассмотрим два варианта параметров:

вариант 1: ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = 0.0$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$ = 0.4,

вариант 2: ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = 0.4$, ${{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$ = 0.0.

Нас интересует, возможен ли переход поступательной энергии во вращательную при малых значениях ${{E}_{{{\text{tr}},i}}} - {{E}_{{{\text{tr}},w}}}$. Из представленных графиков (фиг. 6) следует, что значения коэффициентов варианта 1 дают переход поступательной энергии во вращательную, несмотря на то что ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}} = 0.~$ Так как ${{E}_{{{\text{rot}},i}}} - {{E}_{{{\text{rot}},w}}} < 0$ , то величина обмена оказывается положительной, что и приводит к передаче поступательной энергии во вращательную. Положительная величина обмена, как и в примерах, рассмотренных выше, приводит к значительному повышению вращательной температуры. При значениях коэффициентов из варианта 2 реализуется обратная передача энергии, которая практически не влияет на параметры.

Таким образом, в рассмотренном случае определяющим фактором энергообмена является знак величины Q независимо от значений коэффициентов ${{\alpha }_{{{\text{tr}},{\text{rot}}}}}$, $~{{\alpha }_{{{\text{rot}},{\text{tr}}}}}$.

В данной работе мы проанализировали только ряд предельных случаев использования граничных условий с энергообменом, не рассматривая дозвуковые течения и области за телом. Из приведенных примеров видно, что определяющим фактором при взаимодействии газа с поверхностью является величина обмена Q, которая может быть близкой при разных значениях используемых коэффициентов обмена. Задавая разные значения величины Q, мы можем моделировать различные условия отражения частиц поверхностью. При этом положительные значения независимо от значений коэффициентов обмена будут приводить к передаче поступательной энергии во вращательную, а отрицательные – наоборот.

Однако для использования таких граничных условий в реальных задачах необходимы дополнительная информации и детализация процесса передачи энергий, возможно, с заменой постоянных коэффициентов обмена на параметры, зависящие от энергии падающих на поверхность частиц и температуры отражения.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенный анализ граничных условий отражения молекулярного газа от поверхности с парциальными коэффициентами аккомодации и с обменом энергий показывает, что преобладание передачи поступательной энергии во вращательную существенно изменяет температуру газа около поверхности при умеренных и больших числах Кнудсена. С уменьшением числа Кнудсена переход поступательной энергии во вращательную становится незначительным, и условия без энергетического обмена могут использоваться при решении задач.

Переход вращательной энергии в поступательную гораздо слабее влияет на параметры течения, однако приводит к отличию температур около поверхности тела даже при малых числах Кнудсена. Такой процесс передачи энергии должен использовать дополнительную информацию о величине и условиях обмена и исследоваться более детально, учитывая распределение вращательной энергии по уровням.

При температуре поверхности выше равновесной энергетический обмен реализуется при значениях коэффициентов, соответствующих обратному переходу. Это связано с тем, что приходящие частицы не отдают, а получают энергию от поверхности.

Численные расчеты программным комплексом UFS проводились на вычислительных ресурсах Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН.