Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 11, стр. 1839-1849

1. ВВЕДЕНИЕ

Уже на протяжении десятилетий многие ученые – математики и физики – сосредоточены на построении и изучении свойств математических моделей, описывающих характеристики материалов с трещинами (см. [1]–[3]). Композитные материалы все чаще используются в различных технических системах, и возникновение трещин в подобных материалах, безусловно, меняет их свойства и поведение системы в целом, что обеспечивает актуальность и необходимость изучения подобных задач не только в настоящее время, но и в обозримом будущем. Одними из перспективных являются задачи теплопроводности, упругости, теплоупругости в материалах с трещинами. Было построено большое количество таких моделей (см. [4]–[6]), различающихся, в том числе, областями пространства, моделирующими материал, количеством, расположением, конфигурацией трещин и т.д.

Настоящая работа отличается от изученных ранее задач тем, что в ней рассматривается случай нестационарного распределения тепла в плоскости, составленной из двух полуплоскостей, состоящих из неоднородных материалов с различными коэффициентами внутренней теплопроводности, имеющими экспоненциальный вид. На стыке полуплоскостей предполагается наличие конечной трещины.

Введем обозначения. Пусть

Предполагается, что коэффициенты внутренней теплопроводности заданы равенствами ${{k}_{1}}(x) = {{c}_{1}}\exp ({{k}_{1}}x)$ при $x \in \mathbb{R}_{ + }^{2}$; ${{k}_{2}}(x) = {{c}_{2}}\exp ({{k}_{2}}x)$ при $x \in \mathbb{R}_{ - }^{2}$, где ${{c}_{1}}$, ${{c}_{2}}$ – произвольные, отличные от нуля константы, ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$ – произвольные положительные константы.

Тогда нестационарные уравнения теплопроводности в нижней и верхней полуплоскостях имеют вид

$n = 1,2$; при $n = 1$ $x \in \mathbb{R}_{ + }^{2}$, $t \in (0; + \infty )$; при $n = 2$ $x \in \mathbb{R}_{ - }^{2}$, $t \in (0; + \infty )$.

Уравнения (1) дополняются граничными условиями сопряжения

где ${{x}_{1}} \in \mathbb{R}$, $t > 0$.

Здесь ${{q}_{0}}({{x}_{1}},t)$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}},t)$ – некоторые известные функции. Условие (2) описывает разность между температурами верхнего и нижнего берега трещины, а условие (3) – разность между тепловыми потоками через эти берега.

Также заданы начальные условия

где $n = 1,\;2$, при $n = 1$ $x \in \mathbb{R}_{ + }^{2}$, при $n = 2$ $x \in \mathbb{R}_{ - }^{2}$.

Предполагаются выполненными условия согласования ${{q}_{0}}({{x}_{1}},0) = {{q}_{1}}({{x}_{1}},0) = 0$.

Введем обозначение ${{R}_{n}} = {{((s_{1}^{2} + 0.25k_{n}^{2}) + {{a}^{{ - 2}}}p)}^{{0.5}}}$, $n = 1,\;2$.

Основной результат работы сформулируем в теореме 1.

Теорема 1. Пусть функции ${{q}_{0}}({{x}_{1}},t)$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}},t)$ равны нулю при ${{x}_{1}} \notin [ - 1,\;1]$ и $t \notin [0,T]$, $T > 0$, существуют ограниченные по ${{x}_{1}} \in [ - 1,\;1]$, $t \geqslant 0$ производные $\frac{{\partial q}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial q}}{{\partial t}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}q}}{{\partial {{t}^{2}}}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}q}}{{\partial {{x}_{1}}\partial t}}$, $\frac{{{{\partial }^{3}}q}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{t}^{2}}}}$, выполнены условия согласования ${{q}_{0}}({{x}_{1}},0) = {{q}_{1}}({{x}_{1}},0) = 0$.

Тогда решение задачи (1)–(4) задается формулами

где $n = 1,\;2$, $\sigma > - {{a}^{2}}\left( {{{{\left| {{{s}_{1}}} \right|}}^{2}} + 0.5{{k}^{2}}} \right)$, $k = \min ({{k}_{1}},{{k}_{2}})$.

Выполняется граничное условие (2), граничное условие (3) выполнено в смысле главного значения. Также выполнены начальные условия (4).

Для доказательства теоремы 1 были сформулированы и доказаны вспомогательные утверждения.

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧИ (1)–(4), СВЕДЕНИЕ К ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ, ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ

Используя замены переменных ${{u}_{p}}(x) = \exp ( - 0.5{{k}_{p}}{{x}_{2}}){{{v}}_{p}}(x)$, $p = 1,\;2$, ${{{v}}_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},t) = z({{x}_{1}}, - {{x}_{2}},t)$, перепишем задачу (1)–(4) в виде

Обозначим через ${{\hat {V}}_{1}}(x,t)$ и ${{\hat {V}}_{2}}(x,t)$ четное продолжение функций ${{{v}}_{1}}(x,t)$ и $z(x,t)$ на нижнюю полуплоскость, т.е.

Пусть вне трещины $l = [ - 1;\;1] \times \{ 0\} $ на границе полуплоскостей $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ и $\mathbb{R}_{ - }^{2}$ – прямой $Г = \mathbb{R} \times \{ 0\} $ температурные поля и тепловые потоки совпадают.

Тогда

Пусть также функции ${{\hat {V}}_{1}}(x,t)$, ${{\hat {V}}_{2}}(x,t)$ равны нулю при $t < 0.$

Тогда, вычислив обобщенные производные, в $S{\text{'}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ перейдем к обобщенной задаче

где $n = 1,\;2$, $\delta ({{x}_{2}})$ – дельта-функция Дирака.

Здесь ${{[f]}_{{{{x}_{2}} = 0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} (f({{x}_{1}},\varepsilon ,t) - f({{x}_{1}}, - \varepsilon ,t))$.

Используя свойства четности функций ${{\hat {V}}_{1}}(x,t)$ и ${{\hat {V}}_{2}}(x,t)$, перепишем задачу (12) в виде

Применяя к равенствам (13) преобразование Лапласа по переменной $t$ и преобразование Фурье по переменным ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ и, используя свойства указанных преобразований, перейдем к задаче

где $n = 1,\;2$, ${{L}_{{t \to p}}}{{F}_{{x \to s}}}{{\hat {V}}_{n}} = {{\tilde {\hat {V}}}_{n}}(s,p)$, ${{L}_{{t \to p}}}{{F}_{{{{x}_{1}} \to {{s}_{1}}}}}\left[ {\frac{{\partial {{{\hat {V}}}_{n}}({{x}_{1}}, + 0,t)}}{{\partial {{x}_{2}}}}} \right] = w_{n}^{1}({{s}_{1}},p)$.

Утверждение 1. Справедливы соотношения

где $n = 1,\;2$, ${{L}_{{t \to p}}}{{F}_{{{{x}_{1}} \to {{s}_{1}}}}}[{{\hat {V}}_{n}}({{x}_{1}}, + 0,t)] = w_{n}^{0}({{s}_{1}},p)$.

Доказательство. Отметим, что

откуда следует равенство

Выражая из соотношений (14) ${{\tilde {\hat {V}}}_{n}}(s,p)$ и подставляя в (17) с использованием введенных выше обозначений, получаем

Таким образом,

Проинтегрировав левую и правую части (19) по переменной ${{s}_{2}}$ в интервале $( - \infty ;\infty )$, придем к соотношениям

Из последних равенств и равенств (16) вытекают представления (15).

Утверждение 2. Решения уравнений (14) можно записать в виде

где ${{L}_{{t \to p}}}{{F}_{{{{x}_{1}} \to {{s}_{1}}}}}[{{q}_{0}}(x,t)] = {{p}_{0}}({{s}_{1}},p)$, ${{L}_{{t \to p}}}{{F}_{{{{x}_{1}} \to {{s}_{1}}}}}[{{q}_{1}}(x,t)] = {{p}_{1}}({{s}_{1}},p)$.

Доказательство. Применим к равенствам (8), (9) преобразование Лапласа по переменной $t$ и преобразование Фурье по переменным ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, получим соотношения

Выражая из равенств (15), (21), (22) функции $w_{1}^{0}({{s}_{1}},p)$, $w_{2}^{0}({{s}_{1}},p)$, $w_{1}^{1}({{s}_{1}},p)$, $w_{2}^{1}({{s}_{1}},p)$ через ${{p}_{0}}({{s}_{1}},p)$ и ${{p}_{1}}({{s}_{1}},p)$ и подставляя в (14), приходим к выражениям (20).

Отметим, что функции ${{\hat {V}}_{1}} = L_{{p \to t}}^{{ - 1}}F_{{s \to x}}^{{ - 1}}{{\tilde {\hat {V}}}_{1}}$, ${{\hat {V}}_{2}} = L_{{p \to t}}^{{ - 1}}F_{{s \to x}}^{{ - 1}}{{\tilde {\hat {V}}}_{2}}$. Используя представления (20), перейдем к равенствам

из которых, вычислив интеграл по переменной ${{s}_{2}}$и проведя обратную замену, получим выражения (5).

3. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ${{\hat {V}}_{1}}$, ${{\hat {V}}_{2}}$ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЫПОЛНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

Лемма 1. Пусть функция $q({{x}_{1}},t)$ равна нулю при ${{x}_{1}} \notin [ - 1,\;1]$ и финитна по $t$: ${\text{supp}}\;q({{x}_{1}},t) \subseteq [0,T]$. Пусть также существуют ограниченные по ${{x}_{1}} \in [ - 1,\;1]$, $t \geqslant 0$ производные $\frac{{\partial q}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial q}}{{\partial t}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}q}}{{\partial {{t}^{2}}}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}q}}{{\partial {{x}_{1}}\partial t}}$, $\frac{{{{\partial }^{3}}q}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{t}^{2}}}}$ и выполнено условие согласования $q({{x}_{1}},0) = 0$.

Тогда функция ${{L}_{{t \to p}}}{{F}_{{{{x}_{1}} \to {{s}_{1}}}}}q({{x}_{1}},t)$ является аналитической по $p$ в полуплоскости $\operatorname{Re} p \geqslant - {{\varepsilon }_{0}}$ и при $\operatorname{Re} p = - 0.5{{\varepsilon }_{0}}$ справедлива оценка

где $c$, ${{\varepsilon }_{0}}$ – положительные константы,

Доказательство. Сначала докажем выполнение неравенства

где

В силу представления

получаем:

1) при $\left| {{{s}_{1}}} \right| < 1$ оценку

2) при $\left| {{{s}_{1}}} \right| \geqslant 1$ оценку

Из неравенств (26) и (27) следует, что при всех ${{x}_{1}} \in \mathbb{R}$ выполняется оценка (25).

Перейдем теперь к изучению функций $\frac{{{{\partial }^{m}}r({{x}_{1}},p)}}{{\partial x_{1}^{m}}}$, $m = 0,\;1$.

В силу представлений

и оценки (25) функции $\frac{{{{\partial }^{m}}r({{x}_{1}},p)}}{{\partial x_{1}^{m}}}$ – аналитические в полуплоскости $\operatorname{Re} p \geqslant - {{\varepsilon }_{0}}$ при любом ${{\varepsilon }_{0}} > 0$. Пусть ${{\varepsilon }_{0}} = 0.25{{k}^{2}} + s_{1}^{2}$, где $k = \min \{ {{k}_{1}},{{k}_{2}}\} $. Тогда оценки функций $\frac{{{{\partial }^{m}}r({{x}_{1}},p)}}{{\partial x_{1}^{m}}}$ достаточно провести при $\operatorname{Re} p = - {{\varepsilon }_{0}}$. Получим

Из оценок (25) и (28) следует утверждение леммы.

Введем обозначения

с учетом которых, а также используя  обозначения, введенные в лемме 1, и вычисляя интеграл по переменной ${{s}_{2}}$, получим, что представления (23) можно записать в виде ${{\hat {V}}_{n}}({{x}_{1}},t) = \hat {V}_{n}^{1}({{x}_{1}},t) + \hat {V}_{n}^{0}({{x}_{1}},t)$, где $n = 1,\;2$.

Лемма 2. Пусть $p = - 0.5{{\varepsilon }_{0}} + i\xi $, $\xi \in \mathbb{R}$. Тогда при $c > 0$ справедлива оценка

Доказательство. Отметим, что в силу оценки $0.25k_{n}^{2} - 0.5{{\varepsilon }_{0}} > 0$, выполнено вложение

При этом справедливо представление

используя которое, получаем цепочку преобразований

Таким образом, лемма доказана.

На основе неравенств (24)–(29) можно сделать вывод об оценке функции $\hat {V}_{n}^{1}(x,t)$, справедливой при всех $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, $t \geqslant 0$:

где

Из оценки (30) на основании теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла заключаем, что функции $\hat {V}_{n}^{1}({{x}_{1}},t)$ непрерывны по совокупности переменных $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, $t \geqslant 0$ (см. [7]).

Тогда

откуда

Перейдем к изучению поведения функций $\hat {V}_{n}^{0}({{x}_{1}},{{x}_{2}},t)$ при ${{x}_{2}} \to + 0.$

Отметим справедливость равенства

Будем рассматривать функции

для которых выполнено равенство $\hat {V}_{1}^{{01}}({{x}_{1}},0,t) = \hat {V}_{2}^{{01}}({{x}_{1}},0,t)$.

Тогда

Пусть

Функцию $\hat {u}_{1}^{{01}}$ можно представить в виде суммы $\hat {u}_{1}^{{01}} = \hat {u}_{1}^{{010}} + \hat {u}_{1}^{{011}}$, где

Из (24) следует оценка $\left| {{{{\hat {q}}}_{0}}({{s}_{1}},p)} \right| \leqslant c{{(1 + \left| {{{s}_{1}}} \right|)}^{{ - 1}}}{{({{(0.25{{k}^{2}} + s_{1}^{2})}^{2}} + {{\xi }^{2}})}^{{ - 1}}}.$

Отметим также, что при любом $\varepsilon \in (0;\;1)$ справедливы оценки

которые выполнены в силу неравенства $\operatorname{Re} {{R}_{1}} \geqslant {{2}^{{ - 0.5}}}\left| {{{R}_{1}}} \right| > 0$ и, как следствие, $\left| {\exp \left( { - \left| {{{x}_{2}}} \right|{{R}_{1}}} \right)} \right| \leqslant 1$.

Из оценки (32) и утверждения леммы 1 при $p = - s_{1}^{2} - 0.25k_{1}^{2} + i\xi $ вытекает оценка

Пусть $\varepsilon = 0.25$, тогда, используя (33), получаем

Таким образом, выполнено неравенство

Следовательно,

Тогда $\mathop {\lim }\limits_{{{x}_{2}} \to + 0} {{\hat {V}}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},t) = 0.5{{q}_{0}}({{x}_{1}},t)$. Очевидно, что $\mathop {\lim }\limits_{{{x}_{2}} \to + 0} {{\hat {V}}_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},t) = - 0.5{{q}_{0}}({{x}_{1}},t)$.

Итак, выполнено условие

Перейдем к изучению $\frac{{\partial {{{\hat {V}}}_{n}}(x,t)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, $n = 1,\;2$. Отметим, что $\frac{{\partial {{{\hat {V}}}_{n}}(x,t)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ при ${{x}_{2}} > 0$ можно представить в виде суммы:

где

Заметим, что представление $\hat {W}_{1}^{1}(x,t)$ совпадает с представлением $\hat {V}_{1}^{0}(x,t)$, а представление $\hat {W}_{2}^{1}(x,t)$ совпадает с представлением $ - \hat {V}_{2}^{0}(x,t)$ с заменой функции ${{\hat {q}}_{0}}$ на ${{\hat {q}}_{1}}$. Откуда следует равенство

если ${{q}_{1}}$ удовлетворяет тем же условиям, что и ${{q}_{0}}$ при изучении $\hat {V}_{n}^{0}(x,t)$.

Из вышесказанного можно сделать вывод о том, что

Рассмотрим теперь $\hat {W}_{n}^{0}(x,t)$, $n = 1,\;2$. Отметим выполнение равенства

При выполнении условий леммы 2 из последнего тождества вытекает оценка

где $G({{s}_{1}},p) = {{R}_{1}}{{R}_{2}}{{({{R}_{1}} + {{R}_{2}})}^{{ - 1}}} - 0.25({{R}_{2}} + {{R}_{1}})$.

Функцию $\hat {W}_{n}^{0}(x,t)$ представим в виде суммы $\hat {W}_{n}^{0}(x,t) = Y_{n}^{1}(x,t) + Y_{n}^{2}(x,t)$, где

Изучим сначала выражение (41).

Лемма 3. Пусть для функции ${{q}_{0}}({{x}_{1}},t)$ выполнены условия леммы 1. Тогда $Y_{n}^{2}(x,t)$ являются непрерывными по переменным ${{x}_{1}} \in \mathbb{R}$, ${{x}_{2}} \geqslant 0$, $t \geqslant 0$ и

Доказательство. Пусть ${{\varepsilon }_{0}} = (s_{1}^{2} + 0.25k_{n}^{2}){{a}^{2}}$, значит, $R_{n}^{2} = s_{1}^{2} + 0.25k_{n}^{2} - 0.5s_{1}^{2} - 0.125k_{n}^{2} + {{a}^{{ - 2}}}i\xi \geqslant 0.5s_{1}^{2} + 0.125k_{n}^{2} + {{a}^{{ - 2}}}i\xi $ $R_{n}^{2} = s_{1}^{2} + 0.25k_{n}^{2} - 0.5s_{1}^{2} - 0.125k_{n}^{2} + {{a}^{{ - 2}}}i\xi \geqslant 0.5s_{1}^{2} + 0.125k_{n}^{2} + {{a}^{{ - 2}}}i\xi $, $\operatorname{Re} (R_{n}^{2}) > 0$ и, как в лемме 2, $\left| {\exp \left( { - \left| {{{x}_{2}}} \right|{{R}_{n}}} \right)} \right| \leqslant 1$.

Заметим также, что

Таким образом, выполнена оценка

Оценка (43) на основании теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла доказывает утверждение леммы 3 в части непрерывности функций $Y_{n}^{2}(x,t)$, $n = 1,\;2$.

Заметим, что тогда выполнено равенство

из которого следует (42). Лемма доказана.

Из леммы 3 можно сделать вывод о том, что

Рассмотрим теперь функции, заданные равенством (40). Отметим, что для суммы интегралов $Y_{n}^{1}(x,t)$, $n = 1,2$, справедливо представление

Запишем разность экспонент в представлении (45) в виде интеграла по отрезку $l$, соединяющему точки ${{x}_{2}}{{R}_{2}}$ и ${{x}_{2}}{{R}_{1}}$ комплексной плоскости. Также как и при выводе оценки (43), отметим, что $\operatorname{Re} ({{x}_{2}}{{R}_{n}}) > 0$, поэтому для любой точки $z \in l$ имеем $\operatorname{Re} z > 0$, откуда $\left| {\exp ( - z)} \right| \leqslant 1.$ Отметим, что $\operatorname{Re} {{R}_{n}} > 0$. Прибавляя и отнимая необходимые слагаемые, получаем цепочку преобразований

где $p = (s_{1}^{2} + 0.25k_{n}^{2}){{a}^{2}} + i\xi $, $\xi \in \mathbb{R}$.

Получившаяся оценка основана на применении к каждой из четырех возникших разностей теоремы Лагранжа со средними точками ${{\Theta }_{k}}$, $k = 1,\;2,\;3,\;4$. Последний переход возможен благодаря оценке (29).

Используя неравенства (46) и (24), оценим выражение (45):

Из последней оценки следует равенство$\mathop {\lim }\limits_{{{x}_{2}} \to + 0} \left| {Y_{1}^{1}(x,t) + Y_{2}^{1}(x,t)} \right| = 0$.

Таким образом, $\mathop {\lim }\limits_{{{x}_{2}} \to + 0} (\hat {W}_{2}^{0}(x,t) + \hat {W}_{1}^{0}(x,t)) = 0$ и, окончательно, получим $\mathop {\lim }\limits_{{{x}_{2}} \to + 0} \left( {\frac{{\partial {{{\hat {V}}}_{1}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} + \frac{{\partial {{{\hat {V}}}_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}}} \right) = {{q}_{1}}({{x}_{1}},t),$ т.е. второе граничное условие выполнено в смысле главного значения.

Следствие 1. Пусть $\operatorname{Re} p = {{\left| s \right|}^{2}} + R > 0$. Тогда в условиях и обозначениях леммы 1 справедлива оценка

Доказательство. Заметим, что при измененных условиях на $p$ в оценке (28) справедливо неравенство ${{\left| p \right|}^{{ - 2}}} > {{({{R}^{2}} + {{\operatorname{Im} }^{2}}p)}^{{ - 1}}}$, из чего следует утверждение следствия.

Запишем представления функций ${{\hat {V}}_{n}}({{x}_{1}},t)$, $n = 1,\;2$, в виде суммы

где

Сначала изучим функции $h_{n}^{1}(x,t)$ при ${{\varepsilon }_{0}} = (0.25{{k}^{2}} + s_{1}^{2}){{a}^{2}}$, $k = \min \left\{ {{{k}_{1}},{{k}_{2}}} \right\}$.

Используя результаты лемм 1 и 2, получаем неравенство

Исследуем выражение $\left| {\exp (pt) - 1} \right|$. В силу выполнения равенства

и того, что $\operatorname{Re} p < 0$, справедлива оценка

Из представления (49), оценок (50) и (51) при $\xi = \operatorname{Im} p$ и $0 < \varepsilon < 0.5$ следует неравенство

откуда

Покажем теперь, что $h_{n}^{2}(x,t) \equiv 0$. Учитывая, что подынтегральное выражение в (49) – аналитическая функция в полуплоскости $\operatorname{Re} p > ( - s_{1}^{2} - 0.25{{k}^{2}}){{a}^{2}}$, где $k = \min \left\{ {{{k}_{1}},{{k}_{2}}} \right\}$, сдвинем контур интегрирования с прямой $\operatorname{Re} p = - 0.5{{a}^{2}}(s_{1}^{2} + 0.25{{k}^{2}})$ на прямую $\operatorname{Re} p = R + s_{1}^{2}$, где $R > 0$ – произвольное число.

Опираясь на неравенство (47) при $\xi = \operatorname{Im} p$, получаем оценку

где $\varepsilon > 0$ – произвольное число. Следовательно, $\left| {h_{n}^{2}} \right| \leqslant {{(1 + {{R}^{2}})}^{{ - 0.5\varepsilon }}}\tilde {c}$. Устремляя $R \to + \infty $, имеем

Из (48), (52), (53) следует выполнение условий