Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 2, стр. 179-188

1. ВВЕДЕНИЕ

Многочлен Лагранжа широко используется для интерполяции функций. Однако в случае функций с большими градиентами применение интерполяции Лагранжа может приводить к погрешностям порядка O(1) (см. [1]). Следовательно, актуален вопрос построения интерполяционных формул для функций с большими градиентами в пограничном слое. Интерполяционная формула должна строиться таким образом, чтобы ее погрешность была равномерной по резким изменениям функции в пограничном слое. Для построения таких формул можно выделить два подхода: применение интерполяции Лагранжа на сетке, сгущающейся в области пограничного слоя и построение специальных интерполяционных формул, основанных на подгонке к погранслойной составляющей функции.

Формула линейной интерполяции при наличии экспоненциального пограничного слоя на сетках Г.И. Шишкина (см. [2]) и Н.С. Бахвалова (см. [3]) исследовалась в [4]. В [5] доказано, что в случае экспоненциального пограничного слоя многочлен Лагранжа можно применять на сетке Шишкина. Для многочлена Лагранжа с произвольно заданным числом узлов интерполяции получены оценки погрешности, равномерные по малому параметру.

Подход, основанный на подгонке интерполяционной формулы к быстро растущей составляющей, менее исследован. В [6] рассмотрен вопрос интерполяции функции, представимой в виде

где функция $u(x)$ является достаточно гладкой, погранслойная составляющая $\Phi (x)$ известна и имеет большие градиенты на интервале $[a,b]$, регулярная составляющая $p(x)$ ограничена вместе с производными до некоторого порядка, постоянная $\gamma $ не задана. В частности, декомпозиция (1.1) строилась в [7] для решения сингулярно возмущенной краевой задачи, при этом Производные функции $\Phi (x)$ неограниченно растут с уменьшением параметра $\varepsilon ,$ из-за чего погрешность полиномиальных интерполяционных формул становится порядка $O(1).$

В [6] построена интерполяционная формула на произвольном сеточном интервале $[{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{n}}]$ с двумя узлами интерполяции ${{x}_{{n - 1}}}$ и ${{x}_{n}}$, точная на составляющей $\Phi (x).$ Доказано, что если $\Phi {\kern 1pt} '(x) \ne 0,$ то погрешность построенной формулы порядка $O(h)$ равномерна по составляющей $\Phi (x).$ Здесь $h$ – шаг сетки.

В [8] для функции вида (1.1) построена интерполяционная формула с произвольно заданным числом узлов интерполяции, точная на составляющей $\Phi (x)$. Однако в [8] нет оценки погрешности, равномерной по погранслойной составляющей $\Phi (x).$

В данной работе получим оценку погрешности интерполяционной формулы из [8] с $k$ узлами интерполяции. Рассмотрим применение этой формулы для построения формул численного дифференцирования и интегрирования, а также в двумерном случае.

2. АНАЛИЗ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ

Пусть ${{\Omega }^{h}}$ – равномерная сетка интервала $[a,b]$:

Предполагаем, что функция $u(x)$ вида (1.1) задана в узлах сетки, ${{u}_{n}} = u({{x}_{n}}).$

Пусть ${{L}_{n}}(u,x)$ – многочлен Лагранжа для функции $u(x)$ с узлами интерполяции ${{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}.$ Покажем, что применение многочлена Лагранжа к функции вида (1.1) может приводить к значительным погрешностям. Для этого зададим $u(x) = {{e}^{{ - x/\varepsilon }}}$ при $x \in [0,1].$ Пусть $\varepsilon = h,$ тогда при интерполяции на интервале $[0,h]$ выполнится ${{L}_{2}}(u,h{\text{/}}2) - u(h{\text{/}}2) \approx 0.075.$ Итак, точность интерполяции не повышается с уменьшением шага $h,$ если $\varepsilon = h$.

В [8] для интерполяции функции вида (1.1) построена интерполяционная формула

где $[{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{k}}]u$ – разделенная разность для функции $u(x)$ (см. [9]).

Пусть

Тогда знаменатель в (2.1) не обращается в нуль и формула задана корректно.

Покажем, что формула (2.1) является интерполяционной. Преобразуем формулу (2.1). В соответствии с [9], справедливо соотношение

где ${{r}_{{k - 1}}}(x) = (x - {{x}_{1}})(x - {{x}_{2}}) \cdots (x - {{x}_{{k - 1}}}).$ Учитывая (2.3), из (2.1) получаем Очевидно, что формула (2.4) является интерполяционной с узлами интерполяции ${{x}_{1}}$, $ \ldots ,{{x}_{k}}$. Следовательно, и формула в виде (2.1) является интерполяционной.

Учитывая, что, согласно [9, с. 44],

и получаем, что формула (2.1) является точной на многочленах степени $(k - 2)$ и на функции $\gamma \Phi (x).$

Лемма 1. Пусть выполнено условие (2.2),

Тогда

Доказательство. Интерполяционная формула (2.1) точна на составляющей $\Phi (x),$ поэтому

Учитывая (2.5), получаем

где ${{M}_{k}}(\Phi ,x)$ соответствует (2.7). Теперь из (2.9) получаем (2.8). Лемма доказана.

Следствие 1. Учитывая (2.6), из (2.8) получаем

Лемма 2. Пусть

Тогда

Доказательство. Рассмотрим случай, когда производные ${{\Phi }^{{(k - 1)}}}(x),\;{{\Phi }^{{(k)}}}(x)$ одного знака:

или

Остановимся на условиях (2.12), условия (2.13) рассматриваются аналогично. Учитывая (2.5) и (2.7), получаем

В соответствии с [9] для некоторого $s \in (a,b)$

Согласно (2.12), ${{\Phi }^{{(k - 1)}}}(x) > 0$. С учетом (2.15) имеем $z(x) = [{{x}_{1}},{{x}_{2}}, \ldots ,{{x}_{{k - 1}}},x]\Phi > 0.$ В соответствии с [9, с. 82] для производной разделенной разности справедливо соотношение Согласно (2.12), ${{\Phi }^{{(k)}}}(x) > 0.$ Учитывая (2.15), получаем $z{\kern 1pt} '(x) \geqslant 0,$ $x \in [a,b].$ Итак, функция $z(x)$ на  интервале $(a,b)$ является положительной и возрастающей. Учитывая неравенство $\left| {{{r}_{{k - 1}}}(x)} \right| \leqslant {{r}_{{k - 1}}}({{x}_{k}})$, из (2.14) получаем Теперь из (2.8) следует (2.11).

Остановимся на случае, когда производные ${{\Phi }^{{(k - 1)}}}(x)$ и ${{\Phi }^{{(k)}}}(x)$ разных знаков. Представление (1.1) для $u(x)$ может быть записано в виде

Зададим ${v}(x) = u(a + b - x),\;\Psi (x) = \Phi (a + b - x).$ Тогда (2.17) принимает вид

Пусть $k$ четно. Тогда

Следовательно, производные ${{\Psi }^{{(k - 1)}}}(x)$ и ${{\Psi }^{{(k)}}}(x)$ одного знака. Итак, ограничения (2.12) или (2.13) справедливы для функции $\Psi (x).$ Мы доказали, что в этом случае $\left| {{{M}_{k}}(\Psi ,x)} \right| \leqslant 1,$ поэтому в соответствии с (2.8) справедливо неравенство Это неравенство можно записать в виде Далее учитываем, что $v(a + b - x) = u(x),$ $\Psi (a + b - x) = \Phi (x)$, и из (2.18) получаем требуемую оценку (2.11).

Случай нечетного $k$ рассматривается аналогично. Лемма доказана.

В соответствии с леммой 2 при ограничениях (2.10) оценка погрешности построенной интерполяционной формулы (2.1) сведена к оценке погрешности интерполяции многочленом Лагранжа ${{L}_{{k - 1}}}(p,x)$ на регулярной составляющей $p(x).$ Для оценки погрешности интерполяции многочленом Лагранжа ${{L}_{{k - 1}}}(p,x)$ известны оценки через $max\left| {{{p}^{{(k - 1)}}}(x)} \right|$ и в интегральной форме.

С учетом известной оценки прогрешности интерполяции многочленом Лагранжа на равномерной сетке (см. [9]):

из (2.11) получаем

Для отдельных значений $k$ можно выписать оценку погрешности интерполяции многочленом Лагранжа в интегральной форме. Например,

Тогда из (2.11 ) получаем

Замечание 1. Условия (2.10) выполнены для пограничных слоев следующих видов:

экспоненциального пограничного слоя, когда $\Phi (x)$ соответствует (1.2);

степенного пограничного слоя, $\Phi (x) = {{(x + \varepsilon )}^{\alpha }},$ $0 < \alpha < 1,$ $x > 0,$ $\varepsilon > 0;$

слоя с логарифмической особенностью, $\Phi (x) = lnx,$ $x \geqslant \varepsilon > 0.$

3. ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМИ ГРАДИЕНТАМИ

Рассмотрим вопрос численного интегрирования функции вида (1.1). В [10], [11] показано, что применение составной квадратурной формулы Ньютона–Котеса при наличии экспоненциального пограничного слоя при достаточно малых значениях параметра $\varepsilon $ приводит к погрешностям порядка $O(h),$ несмотря на увеличение числа узлов базовой квадратурной формулы. Например, составная формула Симпсона при $\varepsilon = 1$ имеет погрешность порядка $O({{h}^{4}})$, а при $\varepsilon \leqslant h$ погрешность становится порядка $O(h).$

Таким образом, в случае равномерной сетки неприемлемо применять формулы Ньютона–Котеса для численного интегрирования функций вида (1.1). В [10]–[12] обоснованы аналоги формул Ньютона–Котеса с числом узлов от двух до пяти, построенные на основе замены подынтегральной функции $u(x)$ интерполянтом (2.1) вместо многочлена Лагранжа. В этих работах доказано, что построенные составные квадратурные формулы обладают погрешностью порядка $O({{h}^{{k - 1}}})$ равномерно по составляющей $\Phi (x)$ и ее производным, где $k$ – число узлов базовой квадратурной формулы. При оценке погрешности накладывается ограничение ${{\Phi }^{{(k - 1)}}}(x) \ne 0$ на каждом интервале с $k$ узлами, на котором строится базовая квадратурная формула. Это условие выполнено для всех функций из замечания 1. Доказано, что если выделить область пограничного слоя и вне этой области строить формулы Ньютона–Котеса, то точность составной квадратурной формулы повышается на порядок и при этом погрешность становится такой же, как в регулярном случае, когда интегрируемая функция имеет ограниченные производные.

В [13] на основе интерполянта (2.1) построен и обоснован аналог формулы Ньютона–Котеса в общем случае, когда квадратурная формула содержит $k$ узлов. При обосновании оценки погрешности потребовались ограничения на знак остаточного члена квадратурной формулы в случае функции $\Phi (x).$ Выполнение требуемых ограничений можно проверить для отдельных значений $k$ на основе задаваемых в ряде работ таблиц, в которых указан вид остаточного члена квадратурной формулы.

Полученные оценки погрешности интерполяции (2.11), (2.20) можно применить для оценивания погрешности квадратурной формулы, построенной в [13]. При этом накладываемые ограничения (2.10) имеют более простой для проверки вид, чем ограничения в [13].

Итак, применяем интерполяционную формулу в виде (2.4) для построения квадратурной формулы с $k$ узлами:

Учитывая (2.4), полученную квадратурную формулу можно записать в виде где ${{S}_{k}}(u)$ – замкнутая формула Ньютона–Котеса с $k$ узлами, Предполагается, что интеграл от функции $\Phi (x)$ можно вычислить в явном виде. Это условие выполнено для функций из замечания 1.

Лемма 3. Пусть выполнены условия (2.10). Тогда

Доказательство леммы следует из оценок (2.11), (2.19). Итак, получена оценка погрешности квадратурной формулы, равномерная по составляющей $\Phi (x).$ Погрешность $\left| {{{L}_{{k - 1}}}(p,x) - p(x)} \right|$ для отдельных значений $k$ может быть оценена более точно в интегральной форме, например, как в (2.21).

4. ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Покажем необходимость построения специальных формул численного дифференцирования в случае функций с большими градиентами. Рассмотрим классическую формулу

Тогда при $u(x) = {{e}^{{ - x/\varepsilon }}},$ $x \in [0,1]$, и $\varepsilon = h$ выполнится Получаем, что точность формулы не повышается при $h \to 0,$ если $\varepsilon = h$, и требуется разработка формул численного дифференцирования при наличии пограничного слоя. Умножением на параметр $\varepsilon $ вычисляется относительная погрешность, так как производная $u{\kern 1pt} '(x)$ порядка $O(1{\text{/}}\varepsilon ).$

Известно, что классические разностные формулы для производных, построенные дифференцированием многочлена Лагранжа, можно применять на сетках, сгущающихся в области пограничного слоя. В [14]–[17] на сетках Шишкина и Бахвалова получены оценки относительной погрешности, равномерные по параметру $\varepsilon .$

Построение специальных формул численного дифференцирования функций с большими градиентами на равномерной сетке менее исследовано.

Интерполяционную формулу (2.1) можно применить для построения формул численного дифференцирования. Дифференцируя интерполянт (2.1), получаем

В [18] в случае экспоненциального пограничного слоя были получены равномерные по $\varepsilon $ оценки относительной погрешности при вычислении первой производной при $k = 2,3$ и второй производной при $k = 3,4$, где $k$ – число узлов в формуле (4.1), и $\Phi (x)$ соответствует (1.2).

В случае погранслойной составляющей $\Phi (x)$ общего вида оценки относительной погрешности при вычислении первой производной при $k = 2,3$ и второй производной при $k = 3$ были получены в [19]. Для пояснения остановимся на случае вычисления первой производной по формуле

соответствующей (4.1). В [19] доказана следующая лемма.

Лемма 4. Предположим, что

и для некоторой постоянной ${{G}_{n}}$Тогда

В случае, когда $\Phi (x)$ соответствует (1.2), выполнится ${{B}_{n}} = m{\text{/}}\varepsilon ,$ ${{G}_{n}} = 1$. Тогда из (4.2) получаем

С помощью леммы 4 получена оценка погрешности (4.3) порядка $O(h),$ равномерная по составляющей $\Phi (x).$

Аналогично можно воспользоваться леммой 4 для оценивания погрешности в случае другой функции $\Phi (x),$ например, из замечания 1.

5. ДВУМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА

Исследуем формулу для интерполяции функции двух переменных с большими градиентами. Эта формула является обобщением формулы (2.1) и для получения оценки погрешности будет использована лемма 2.

Итак, пусть для достаточно гладкой функции $u(x,y)$ справедливо представление

где $(x,y) \in \bar {\Omega },$ $\bar {\Omega } = [a,b] \times [c,d]$. Предполагаем, что в (5.1) регулярная составляющая $p(x,y)$ и функции ${{d}_{1}}(y),$ ${{d}_{2}}(x)$ не заданы в явном виде и имеют ограниченные производные до некоторого порядка, а функции $\Phi (x),$ $\Theta (y)$ известны и имеют большие градиенты в области пограничного слоя. Остановимся на примере такой функции $u(x,y).$

Рассмотрим сингулярно возмущенную задачу для эллиптического уравнения

где $\Gamma = \bar {\Omega }{\backslash }\Omega .$ Предполагается, что функции $a,b,c,f,g$ – достаточно гладкие и угловые пограничные слои отсутствуют: В соответствии с [20] решение задачи (5.2) представимо в виде (5.1) при

Зададим сетку ${{\Omega }^{h}} = \Omega _{x}^{{{{h}_{1}}}} \times \Omega _{y}^{{{{h}_{2}}}}$ в исходной области $\bar {\Omega }:$

Построим интерполяционную формулу для функций вида (5.1), точную на погранслойных составляющих.

Сначала при заданном значении $y$ в соответствии с (2.1) зададим интерполяцию по $x:$

В (5.3) ${{L}_{{{{k}_{1}} - 1}}}(u,x,y)$ соответствует интерполяции по $x$ функции $u(x,y)$ многочленом Лагранжа с узлами интерполяции ${{x}_{1}},{{x}_{2}}, \ldots ,{{x}_{{{{k}_{1}} - 1}}}$ при заданном $y.$

По аналогии с (5.3) зададим интерполяционную формулу по $y$:

Используя (5.4), после интерполяции по $x$ осуществляем интерполяцию по $y$:

Итак, построена двумерная интерполяционная формула (5.3)–(5.5).

Формула (5.3)–(5.5) задана корректно, если знаменатель в (5.3) и (5.5) не обращается в нуль. В соответствии с соотношением (2.15) это условие выполняется, если

Несложно получить, что двумерная интерполяционная формула (5.3)–(5.5) является точной на функциях

Формула (5.3)–(5.5) исследовалась в [21], где доказана следующая лемма.

Лемма 5. Пусть выполнены условия (5.6). Тогда для некоторой постоянной $C$, не зависящей от функций $\Phi (x),$ $\Theta (y)$ и их производных, справедлива оценка погрешности

где $(x,y) \in \bar {\Omega }$, ${{M}_{{{{k}_{1}}}}}(\Phi ,x),$ ${{M}_{{{{k}_{2}}}}}(\Theta ,y)$ определяются согласно (2.7).

Оценка погрешности (5.7) зависит от погранслойных составляющих $\Phi (x),$ $\Theta (y).$ Улучшим эту оценку.

Лемма 6. Пусть

Тогда

Доказательство. По аналогии с леммой 2, где обоснована оценка (2.16) при выполнении условий (2.10), получаем, что при выполнении условий (5.8) и (5.9) справедливы оценки

Теперь из (5.7) следует (5.10), что доказывает лемму.

Замечание 2. Если исходную область $[a,b] \times [c,d]$ разбить на непересекающиеся прямоугольные ячейки с ${{k}_{1}}$ узлами по $x$ и ${{k}_{2}}$ узлами по $y,$ то при интерполяции функции $u(x,y)$ можно применить интерполяционную формулу (5.3)–(5.5) в каждой ячейке. Если ячейка не пересекается с областью больших градиентов функции $u(x,y),$ то в ней можно применять классические интерполяционные формулы, основанные на многочленах Лагранжа.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Рассмотрим функцию вида (1.1):

При этом $\Phi (x) = {{e}^{{ - x/\varepsilon }}}.$ Предполагаем, что число сеточных интервалов $N$ четно и разобьем интервал $[0,1]$ на непересекающиеся интервалы вида $[{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{{n + 1}}}],$ где $n = 1,3, \ldots ,N - 1.$ На каждом таком интервале зададим интерполяционную формулу (2.1) при $k = 3$: Зададим погрешность интерполяции многочленом Лагранжа

В табл. 1 приведена погрешность интерполяции ${{\Delta }_{{\varepsilon ,N}}}$ многочленом Лагранжа ${{L}_{3}}(u,x)$ в зависимости от $\varepsilon $ и $N.$ При малых значениях $\varepsilon $ погрешность не убывает при уменьшении шага сетки. Это подтверждает неприемлемость применения для интерполяции многочлена Лагранжа на равномерной сетке при наличии пограничного слоя.

В табл. 2 аналогичным образом представлена погрешность интерполянта ${{L}_{{\Phi ,3}}}(u,x)$ и вычисленный порядок точности ${{M}_{{\varepsilon ,N}}} = lo{{g}_{2}}({{\Delta }_{{\varepsilon ,N}}}{\text{/}}{{\Delta }_{{\varepsilon ,2N}}}).$ Из табл. 2 следует, что порядок точности интерполяционной формулы понижается с 3 до 2 при уменьшении $\varepsilon $, результаты вычислений согласуются с оценкой (2.20) при $k = 3.$

Другие результаты вычислений по всем исследуемым вопросам содержатся в публикациях авторов, приведенных в списке литературы настоящей статьи, и согласуются с полученными в данной работе оценками погрешностей.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследована неполиномиальная интерполяционная формула для функции одной переменной с большими градиентами в области пограничного слоя. Формула построена так, чтобы она была точной на погранслойной составляющей, отвечающей за рост функции в пограничном слое. Доказано, что при достаточно легко проверяемых ограничениях, которые выполнены в случаях экспоненциального и степенного пограничных слоев, при наличии логарифмической особенности построенная интерполяционная формула обладает погрешностью, равномерной по погранслойной составляющей и ее производным. Показано, как исследуемая интерполяционная формула может быть применена для построения формул численного интегрирования и дифференцирования, а также в двумерном случае. Получены соответствующие оценки погрешности.