Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 3, стр. 428-449

1. ВВЕДЕНИЕ

В работах [1]–[3] приведены результаты экспериментального и теоретического исследования образования пространственно неоднородных структур в световых пучках нелинейного оптического генератора со специальным контуром двумерной обратной связи. Такие структуры возникают в плоскости, ортогональной направлению распространения световой волны. Их возникновение обусловлено нелинейностью системы, которая обеспечивается тонким слоем нелинейной проводящей среды, и контуром двумерной обратной связи с оператором пространственного преобразования световой волны в плоскости излучения оптического генератора. В [1] также предложена математическая модель рассматриваемой системы, описывающая пространственное и временное изменение фазы электромагнитной волны и представляющая собой начально-краевую задачу с краевыми условиями Неймана для нелинейного дифференциального уравнения параболического типа с оператором преобразования пространственного аргумента. Начально-краевая задача рассматривается в области, определяемой апертурой светового излучения. В [1]–[3] также приведены результаты аналитического и численного интегрирования предложенной математической модели на окружности для оператора поворота пространственного аргумента. Эта начально-краевая задача и различные ее обобщения изучались в достаточно большом количестве работ. Отметим некоторые из них. В большинстве работ начально-краевая задача рассматривается на окружности [4]–[6] и с оператором поворота пространственного аргумента на фиксированный угол. Изучается возможность бифуркации из однородного состояния равновесия пространственно неоднородного периодического решения (бифуркации Андронова-Хопфа), исследуется его устойчивость. В работе [7] указанная краевая задача изучается в предположении малости коэффициента диффузии, где cтроится асимптотика бегущих волн. В [8] также рассмотрен случай малости коэффициента диффузии. Задача построения бегущих волн сводится к решению аналогичной задачи для некоторой более простой параболической системы, названной квазинормальной формой. При этом реализуется бесконечномерный “критический случай”, в связи с чем остается открытой проблема строгого обоснования предложенного метода. В работе [9] рассматривается возможность бифуркации неоднородных по пространственной переменной периодических решений в начально-краевой задаче с оператором поворота в круге. Показана возможность бифуркации ротационных волн. В [10], [11] начально-краевая задача рассмотрена в многомерной области с оператором преобразования достаточно общего вида. Сформулированы условия на возможность бифуркации из однородного состояния равновесия пространственно неоднородного периодического решения, предложен алгоритм построения такого решения. Модель работы [1] не учитывает фактор временного запаздывания в контуре обратной связи. Учет временного запаздывания рассмотрен в работах [12], [13], где для математической модели работы [1] с запаздывающим аргументом в функционале обратной связи на окружности показана возможность бифуркации из однородного состояния равновесия пространственно неоднородных бегущих волн, и исследуeтся их устойчивость. Аналогичная задача для кольцевой области рассмотрена в [14].

Настоящая работа посвящена изучению бифуркаций автоколебательных решений из однородных состояний равновесия указанной выше начально-краевой задачи в круге для нелинейного дифференциального уравнения параболического типа с оператором поворота пространственного аргумента на заданный угол относительно центра круга и временным запаздыванием в нелинейном функционале обратной связи. Изучены динамика однородных состояний равновесия и их устойчивость в зависимости от параметров начально-краевой задачи. В плоскости параметров управления (коэффициента усиления и угла поворота) с использованием метода $D$-разбиений в его специальной параметризации построены области устойчивости (неустойчивости) однородных состояний равновесия. Исследована динамика областей устойчивости в зависимости от величины запаздывания и других параметров начально-краевой задачи, изучены возможные механизмы потери устойчивости однородными состояниями равновесия. С использованием метода центральных многообразий и теории бифуркаций исследованы возможные бифуркации пространственно неоднородных автоколебательных решений при изменении параметров управления, а также их устойчивость. Изучена динамика таких решений в окрестности границы области устойчивости в плоскости управляющих параметров.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

относительно функции $u(\rho ,\phi ,t + s)$, заданной в полярных координатах $0 \leqslant \rho \leqslant R,$ $0 \leqslant \phi \leqslant 2\pi $ $(R > 0)$ и $t \geqslant 0,$ $ - T \leqslant s \leqslant 0$ $(T > 0)$, в котором ${{\Delta }_{{\rho \phi }}}$ – оператор  Лапласа  в  полярных координатах, ${{u}_{\theta }}(\rho ,\phi ,t) \equiv u(\rho ,(\phi + \theta )\bmod (2\pi ),t)$ $(0 \leqslant \theta < 2\pi )$ – оператор поворота пространственного аргумента, $D,\;K$ – положительные постоянные, $0 < \gamma < 1$, в области ${{\bar {K}}_{R}} \times {{\mathbb{R}}^{ + }}$, где круг ${{\bar {K}}_{R}} = \{ (\rho ,\phi ):0 \leqslant \rho \leqslant R,\;0 \leqslant \phi \leqslant 2\pi \} $, ${{\mathbb{R}}^{ + }} = \{ t:0 \leqslant t < \infty \} $, рассматривается начально-краевая задача вида В (2.2) пространство начальных условий ${{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0) = \{ u(\rho ,\phi ,s):u(\rho ,\phi ,s) \in C({{\bar {K}}_{R}} \times [ - T,0]),$ $u(\rho ,0,s) = u(\rho ,2\pi ,s),$ ${{u}_{\phi }}(\rho ,0,s) = {{u}_{\phi }}(\rho ,2\pi ,s),$ при каждом $s\;\,u(\rho ,\phi ,s) \in {{H}^{2}}({{K}_{R}})\} $, где пространство функций ${{H}^{2}}({{K}_{R}}) \subset W_{2}^{2}({{K}_{R}})$ и получено замыканием множества функций {$u(\rho ,\phi ):u(\rho ,\phi ) \in {{C}^{2}}({{\bar {K}}_{R}}),\;{{u}_{\rho }}(R,\phi ) = 0,$ $u(\rho ,\phi ):u(\rho ,\phi ) \in {{C}^{2}}({{\bar {K}}_{R}}),\;{{u}_{\rho }}(R,\phi ) = 0,$ $u(\rho ,0) = u(\rho ,2\pi ),\;{{u}_{\phi }}(\rho ,0) = {{u}_{\phi }}(\rho ,2\pi )$} в метрике пространства функций $W_{2}^{2}({{K}_{R}})$. В дальнейшем ${{L}_{2}}({{K}_{R}})$ – пространство вещественнозначных определенных в ${{K}_{R}}$ функций $u(\rho ,\phi )$, для которых ${{\left\| {u(\rho ,\phi )} \right\|}_{{{{L}_{2}}}}} = (u(\rho ,\phi ),u(\rho ,\phi ))_{{{{L}_{2}}}}^{{1/2}} < \infty ,$ ${{(u(\rho ,\phi ),v(\rho ,\phi ))}_{{{{L}_{2}}}}} = \int_{{{K}_{R}}} \,\rho u(\rho ,\phi )v(\rho ,\phi )d\rho d\phi $, здесь и в дальнейшем $W_{2}^{2}({{K}_{R}}) \subset {{L}_{2}}({{K}_{R}}),$ $W_{2}^{2}({{K}_{R}}) = \{ u(\rho ,\phi ):{{\left\| {u(\rho ,\phi )} \right\|}_{{W_{2}^{2}}}} = (u(\rho ,\phi ),u(\rho ,\phi ))_{{W_{2}^{2}}}^{{1/2}} < \infty ,$ ${{(u(\rho ,\phi ),v(\rho ,\phi ))}_{{W_{2}^{2}}}} = {{(u(\rho ,\phi ),v(\rho ,\phi ))}_{{{{L}_{2}}}}} + {{({{\Delta }_{{\rho \phi }}}u(\rho ,\phi ),{{\Delta }_{{\rho \phi }}}v(\rho ,\phi ))}_{{{{L}_{2}}}}}\} $, $C({{\bar {K}}_{R}})$ и ${{C}^{2}}({{\bar {K}}_{R}})$-пространства непрерывных и дважды непрерывно дифференцируемых в ${{\bar {K}}_{R}}$ функций, для которых определена норма ${{\left\| {u(\rho ,\phi )} \right\|}_{C}} = ma{{x}_{{\rho ,\phi }}}\left| {u(\rho ,\phi )} \right|,$ ${{\left\| {u(\rho ,\phi )} \right\|}_{{{{C}^{2}}}}} = {{\left\| {u(\rho ,\phi )} \right\|}_{C}} + {{\left\| {{{\Delta }_{{\rho \phi }}}u(\rho ,\phi )} \right\|}_{C}} < \infty $.

Фазовым пространством начально-краевой задачи (2.1), (2.2) является пространство $H({{K}_{R}}; - T,0) = \{ u(\rho ,\phi ,s):u(\rho ,\phi ,s) \in {{L}_{2}}({{K}_{R}})$ при каждом $ - T \leqslant s \leqslant 0,$ ${{\left\| {u(\rho ,\phi ,s)} \right\|}_{{{{L}_{2}}}}} \in C([ - T,0])\} $, норму в котором определим как ${{\left\| {u(\rho ,\phi ,s)} \right\|}_{H}} = ma{{x}_{s}}{{\left\| {u(\rho ,\phi ,s)} \right\|}_{{{{L}_{2}}}}}$. Областью определения правой части уравнения (2.1) является пространство ${{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$. Норму в ${{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$ определим как ${{\left\| {u(\rho ,\phi ,s)} \right\|}_{{{{H}_{0}}}}} = ma{{x}_{s}}{{\left\| {u(\rho ,\phi ,s)} \right\|}_{{W_{2}^{2}}}}$.

Под решением начально-краевой задачи (2.1), (2.2), определенным при $t > 0$, будем понимать функцию $u(\rho ,\phi ,t + s) \in {{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$ (при каждом $t > 0$), непрерывно дифференцируемую по $t$ при $t > 0$, обращающую уравнение (2.1) в тождество и удовлетворяющую начальным условиям (2.2).

Решение начально-краевой задачи (2.1), (2.2) может быть построено методом шагов следующим образом. Решение $u(\rho ,\phi ,t + s)$ начально-краевой задачи (2.1), (2.2) построим последовательно на отрезках ${{t}_{{k - 1}}} \leqslant t \leqslant {{t}_{k}},$ ${{t}_{k}} = Tk,$ $k = 1,2, \ldots ,{{t}_{0}} = 0$. Значения $u(\rho ,\phi ,t)$ на указанных отрезках обозначим соответственно через ${{u}^{{(k)}}}(\rho ,\phi ,t)$. В результате для определения ${{u}^{{(k)}}}(\rho ,\phi ,t)$ получим рекуррентную последовательность начально-краевых задач вида

в которых правая часть уравнений (2.3) и начальные условия (2.5) на каждом шаге вполне определенные функции. Решения (2.3)–(2.5) задаются формулой где $G(\rho ,\phi ,t,{{\rho }_{1}},{{\phi }_{1}})$ – функция Грина однородной части (при ${{f}^{{(k)}}}(\rho ,\phi ,t) \equiv 0$) краевой задачи (2.3), (2.4). Из (2.6) также следуют единственность решения начально-краевой задачи (2.1), (2.2) и его непрерывная зависимость от начальных условий и параметров уравнения, т.е. корректность поставленной начально-краевой задачи, а также нарастание гладкости решения по переменной $t$ при $t \to \infty $, свойственное решениям уравнений с запаздывающим аргументом.

В работе изучается динамика однородных состояний равновесия (2.1), (2.2) в зависимости от параметров $K,\;\theta ,\;\gamma ,\;T,\;D$, их устойчивость, а также характер потери устойчивости и бифурцирующие при этом автоколебательные решения.

3. АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ОДНОРОДНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ И ИХ УСТОЙЧИВОСТИ

Однородные состояния равновесия ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}(K,\gamma )$ начально-краевой задачи (2.1), (2.2) определяются как решения уравнения

Уравнение (3.1) в зависимости от $K$ и $\gamma $ может иметь несколько решений, в том числе кратные. Исследуем условия возникновения состояний равновесия, их устойчивость и механизмы потери устойчивости в зависимости от параметров уравнения (2.1).

Выберем одно из решений ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}(K,\gamma )$ уравнения (3.1) и запишем начально-краевую задачу (2.1), (2.2) в его окрестности, заменив $u(\rho ,\phi ,t) \to {{u}_{*}}(K,\gamma ) + u(\rho ,\phi ,t)$. В результате получим начально-краевую задачу

где точками обозначены слагаемые, имеющие по ${{u}_{\theta }}(\rho ,\phi ,t - T)$ более высокий порядок малости.

Рассмотрим линейную часть (3.2), (3.3)

Определяя решения (3.5), (3.6) вида $u(\rho ,\phi ,t) = u(\rho ,\phi ){{e}^{{\lambda t}}},$ $\lambda \in \mathbb{C}$ (решения Эйлера), получаем пучок операторов

действующий в ${{\tilde {L}}_{2}}({{K}_{R}})$ с областью определения ${{\tilde {H}}^{2}}({{K}_{R}})$, точки спектра которого определяют устойчивость решений начально-краевой задачи (3.5), (3.6), а соответствующие им собственные функции решения искомого вида. Здесь и в дальнейшем знаком “тильде” будем обозначать комплексное расширение соответствующего функционального пространства, скалярное произведение и норма в котором обобщаются стандартным образом. Представим $u(\rho ,\phi )$ в виде где ${{J}_{n}}(\rho )$ – функции Бесселя I рода $n$-го порядка, ${{\gamma }_{{nj}}}$ есть $j$-й положительный ноль функции $J_{n}^{'}(\rho )$, ${{\gamma }_{{00}}} = 0$, а ${{\delta }_{{jp}}}$ – символ Кронекера. Функции ${{u}_{j}}(\rho ,n\phi )$, являясь полной системой собственных функций оператора Лапласа, образуют ортогональный базис в ${{\tilde {H}}^{2}}({{K}_{R}})$ и ортонормированный в ${{\tilde {L}}_{2}}({{K}_{R}})$. Подставим (3.8) в (3.7). В результате получим последовательность уравнений из которых ненулевые ${{v}_{{00}}}$, ${{v}_{{nj}}}n = 0,1,2,...,$ $j = 1,2,...$, могут быть выбраны лишь при условии Корни уравнений (3.9) и комплексно сопряженные им величины определяют все множество точек спектра пучка операторов (3.7) и отвечают за устойчивость решений (3.5), (3.6).

Построим в пространстве параметров $K,\;\theta ,\;T,\;D,\;\gamma $ области устойчивости решений (3.5), (3.6). Для этого воспользуемся методом $D$-разбиений [15], в соответствии с которым в уравнениях (3.9) положим $\lambda = i\omega ,$ $ - \infty < \omega < \infty $, и приравняем нулю вещественную и мнимую части каждого уравнения. В результате получим выражения

которые эквивалентны равенствам Выразив теперь из второго равенства (3.11) $n\theta - \omega T$ и подставив в первое, а также, разрешив его относительно $\theta $, получим последовательность выражений $n = 1,2,...,$ $k = 1,2,...,2n,$ $j = 1,2,...,$ и

Изменяя теперь в (3.12), (3.13) параметр $ - \infty < \omega < \infty $ (при фиксированных других параметрах), получаем в области $\{ b,0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \} $ плоскости $(b,\theta )$ семейство кривых, на которых пучок операторов (3.7) имеет точки спектра, принадлежищие мнимой оси комплексной плоскости. Это семейство дополнится прямыми $b = {\text{const}}$, определяемыми выражениями (3.14), (3.15). Здесь при фиксированном $T$ из равенства (3.15) находим значения ${{\omega }_{{ * jk}}}$ и подставляем в (3.14). В результате получим искомые значения $b$. Совокупность таких кривых и прямых позволяет выделить в плоскости $(b,\theta )$ (при фиксированных других параметрах) области устойчивости решений начально-краевой задачи (3.5), (3.6). Однако нас интересуют области устойчивости состояний равновесия начально-краевой задачи (2.1), (2.2) в пространстве параметров уравнения (2.1). Выберем в качестве основных параметры $K$ и $\theta $ и построим области устойчивости состояний равновесия (2.1), (2.2) в плоскости этих параметров, считая другие параметры уравнения (2.1) фиксированными.

Рассмотрим выражения

как функции состояния равновесия ${{u}_{ * }} > 0$. Заметим, что Обозначим через $0 < {{u}_{{*1}}}(\gamma ) < {{u}_{{*2}}}(\gamma ) < ... < {{u}_{{*j}}}(\gamma ) < ...$ последовательность корней уравнения $b({{u}_{*}},\gamma ) = - 1$ и рассмотрим интервалы ${{U}_{j}}(\gamma ) = \{ {{u}_{*}}:{{u}_{{*j - 1}}}(\gamma ) < {{u}_{*}} < {{u}_{{*j}}}(\gamma )\} ,$ $j = 1,2,...,$ ${{u}_{{*0}}} = 0$. При ${{u}_{*}} \in {{U}_{{2k}}}(\gamma ),$ $k = 1,2,...,$ $b({{u}_{*}},\gamma ) < - 1$. В этом случае пучок операторов (3.7) имеет, как следует из (3.9) при $n = 0$, вещественную положительную точку спектра, которой отвечает собственная функция ${{u}_{0}}(\rho )$, т.е. такие состояния равновесия (2.1), (2.2) всегда неустойчивы, при ${{u}_{*}} \in {{U}_{{2k - 1}}}(\gamma ),$ $k = 1,2,...,$ $b({{u}_{*}},\gamma ) > - 1$. В этом случае состояния равновесия могут быть как устойчивы, так и неустойчивы, причем неустойчивость может наступить, как следует из первого равенства (3.10), лишь при условии $b({{u}_{*}},\gamma ) > 1$. В связи с этим в выражениях (3.12)–(3.15) в дальнейшем будем рассматривать лишь нечетные значения $k$. Этот случай и представляет интерес с точки зрения теории бифуркаций. Отметим, что в точках ${{u}_{ * }} = {{u}_{{ * j}}}(\gamma )$ начально-краевая задача (2.1), (2.2) имеет кратные состояния равновесия (здесь сливаются и исчезают либо возникают устойчивое и неустойчивое состояния равновесия). Обозначим ${{K}_{j}}(\gamma ) = K({{u}_{{*j}}}(\gamma ),\gamma ),$ $j = 0,1, \ldots $. На ${{U}_{{2k - 1}}}(\gamma ),\;k = 1,2,...,$ функция $K({{u}_{ * }},\gamma )$ монотонно возрастает, а на ${{U}_{{2k}}}(\gamma ),k = 1,2,...,$ монотонно убывает.

Равенства (3.12) являются четными функциями параметра $\omega $, а (3.13) нечетными функциями параметра $\omega $. При этом (3.12) при нечетных $k$ монотонно возрастают при $\omega \geqslant 0$. Считая $\omega \geqslant 0$, из равенства (3.12) выразим

и подставим в равенство (3.13), разделив его на два (для $\omega \geqslant 0$ и $\omega \leqslant 0$). В результате имеем

Изменяя теперь $0 \leqslant {{u}_{*}} < \infty ,$ ${{u}_{*}} \in {{U}_{{2k - 1}}}(\gamma ),$ $k = 1,2,...,$ в (3.16), (3.18), (3.19) при фиксированных значениях $T,\;D,\;\gamma ,\;n$ построим в области $\{ K > 0,\;0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \} $ плоскости $(K,\theta )$ кривые, на которых пучок операторов (3.7), построенный для соответствующего состояния равновесия ${{u}_{ * }}$, имеет точки спектра, принадлежащие мнимой оси комплексной плоскости. Кроме этого, при $n = 0$ из (3.14), (3.15) имеем последовательность уравнений

положительные нули которых ${{u}_{{*kp}}} \in {{U}_{{2k - 1}}}(\gamma ),$ $k = 1,2,...,$ определяют в области $\{ K > 0,\;0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \} $ последовательность прямых $K = K({{u}_{{*kp}}},\gamma )$, на которых пучок операторов (3.7), построенный для состояния равновесия ${{u}_{{*kp}}}$, имеет точки спектра вида $ \pm i{{\omega }_{ * }},{{\omega }_{ * }} > 0$, которым отвечают собственные функции вида ${{u}_{j}}(\rho )$. Для определения направления движения точек спектра (из левой комплексной полуплоскости в правую или наоборот) при пересечении построенных кривых и прямых поступим следующим образом. Пусть $({{K}_{*}},{{\theta }_{*}})$ – точка кривой или прямой, которая получена при некотором ${{u}_{*}}$ и которой соответствует точка спектра $i{{\omega }_{ * }}$, определяемая согласно (3.16), (3.17). Обозначим через $\lambda (K,\theta )$ точку спектра пучка операторов (3.7), удовлетворяющую условию $\lambda ({{K}_{*}},{{\theta }_{*}}) = i{{\omega }_{*}}$. Вычислим производные ${{\lambda }_{K}}({{K}_{*}},{{\theta }_{*}})$ ${{\lambda }_{\theta }}({{K}_{*}},{{\theta }_{*}})$, воспользовавшись (3.9), (3.16) и теоремой о неявной функции. Направление движения точки спектра определяют величины Таким образом, построим картину $D$-разбиений области $\{ K > 0,\;0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \} $ и получим границы областей устойчивости различных состояний равновесия начально-краевой задачи (2.1), (2.2), а также изучим характер потери устойчивости соответствующих состояний равновесия. При этом через ${{D}_{j}}$ обозначается область параметров, при которых пучок операторов (3.7) имеет $j$ точек спектра, принадлежащих правой комплексной полуплоскости.

На фиг. 1–8 для различных значений параметров $T,\;D,\;\gamma $ приведены картины $D$-разбиений области $\{ K > 0,\;0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \} $. Каждая замкнутая кривая, форма которой похожа на эллипс, представляет собой совокупность точек рассматриваемой области, на которых пучок операторов (3.7) имеет точки спектра вида $ \pm i{{\omega }_{*}}$. При этом, при изменении параметров $K,\;\theta $ внутрь области, ограниченной замкнутой кривой, указанные точки спектра переходят в правую комплексную полуплоскость, и наоборот. Отметим, что некоторые замкнутые кривые представлены на фигурах лишь своей частью в силу ограничений на $K$ и $\theta $. Каждая замкнутая кривая имеет маркер из двух индексов, первый из которых характеризует область ${{U}_{k}}(\gamma )$, к которой относится исследуемое состояние равновесия ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}(K,\gamma )$, второй индекс характеризует номер $n$, фигурирующий в определяющих замкнутую кривую функциях (3.16), (3.19) и являющийся индексом собственных функций пучка операторов (3.7), соответствующих точкам спектра $ \pm i{{\omega }_{ * }}$. На приведенных фигурах маркеры проставлены не на всех кривых в силу их плотности. Через $D_{j}^{p}$ обозначены области (области неустойчивости), при значении параметров из которых пучок операторов (3.7), построенный по состоянию равновесия ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}(K,\gamma ) \in {{U}_{p}}(\gamma )$ имеет $j$ точек спектра, принадлежащих правой открытой комплексной полуплоскости. Областью ${{D}_{0}}$ обозначена область, при значении параметров из которой устойчивы все имеющиеся состояния равновесия ${{u}_{*}} \in {{U}_{p}}(\gamma ),$ $k = 1,3,...$ . Из фиг. 1, 3, 7 видно, что при $T = 0$ и малых $\theta $ (близких к $2\pi $) области ${{D}_{0}}$ принадлежат точки, имеющие большие значения $K$. Применительно к начально-краевой задаче (2.1), (2.2) это означает, что при малых $\theta $ или близких к $2\pi $ бифуркация пространственно неоднородных автоколебательных решений возможна при достаточно больших значениях $K$. При увеличении $T$ область ${{D}_{0}}$ уменьшается, а области неустойчивости $D_{j}^{p}$ увеличиваются в размерах. При этом появляются дополнительные области неустойчивости, обусловленные потерей устойчивости однородными состояниями равновесия по собственным функциям ${{u}_{j}}(\rho ),\;j = 0,1, \ldots $, т.е. не зависящим от $n$, чего нет при $T = 0$. На фигурах эти области определяются горизонтальными прямыми. Эти прямые появляются парами при некоторых значениях ${{K}_{{*j}}}$, зависящих от $T,\;D,\;\gamma $. При увеличении $T$ эти прямые расходятся – одна идет вверх, другая вниз, образуя область неустойчивости. При этом сначала потеря устойчивости происходит по собственной функции ${{u}_{0}}(\rho )$, т.е. не зависящей от $\rho $. Отметим, что при больших значениях $T$ потеря устойчивости однородными состояниями равновесия возможна лишь по собственной функции ${{u}_{0}}(\rho )$. При уменьшении параметра $D$ происходит увеличение количества областей неустойчивости (фиг. 7, 8). Из приведенных фигур видно, что потеря устойчивости однородным состоянием равновесия ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}(K,\gamma )$ может происходить с одновременным прохождением двух пар комплексно-сопряженных точек спектра пучка операторов (3.7) через мнимую ось комплексной плоскости. Это могут, например, быть точки, отмеченные на фиг. 3 знаком *. При этом одна из собственных функций может быть ${{u}_{0}}(\rho )$. Такая точка отмечена * на фиг. 5. Возможна также одновременная потеря устойчивости двумя состояниями равновесия. Такая точка отмечена * на фиг. 4. При уменьшении $D$ таких состояний равновесия может быть больше.

4. БИФУРКАЦИИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ (2.1), (2.2)

Изучим возможные бифуркации автоколебательных решений начально-краевой задачи (2.1), (2.2) из однородных состояний равновесия, обусловленные потерей их устойчивости. Воспользуемся для этого методом инвариантных (центральных) многообразий распределенных динамических систем [16]–[18] и теорией нормальных форм нелинейных обыкновенных диффреренциальных уравнений в окрестности состояний равновесия [19]. При фиксированных $T,\;D,\;\gamma $ выберем параметры ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$ таким образом, чтобы они соответствовали точке границы области устойчивости состояния равновесия ${{u}_{*}}$ начально-краевой задачи (2.1), (2.2) и при этом пучок операторов (3.7) имел одну пару комплексно сопряженных точек спектра $ \pm i{{\omega }_{*}}$, где ${{\omega }_{*}} > 0$ определяется согласно (3.17). Пусть для определенности точка спектра $\lambda = i{{\omega }_{*}}$ удовлетворяет уравнению (3.9) при некотором $n > 0$. Это означает, что точка ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$ удовлетворяет уравнению (3.18) и находится на правой ветви замкнутой кривой, определяющей границу области устойчивости, имеющей минимум в точке $\theta = \pi {\text{/}}n$. Это может быть, например, точка, отмеченная * на фиг. 8. Отметим, что на левой ветви упомянутой замкнутой кривой точка ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$ будет находиться, если выбранные параметры удовлетворяют уравнению (3.18) при $\lambda = - i{{\omega }_{*}}$ и $n > 0$.

Положим $K = {{K}_{*}} + \varepsilon $, где $\varepsilon $ – малый параметр, и исследуем возможность бифуркации из состояния равновесия

пространственно неоднородных решений при изменении параметра $\varepsilon $. Здесь и ниже многоточием будем обозначать слагаемые, имеющие более высокий порядок малости по параметру $\varepsilon $. Отметим, что теперь в (3.2), (3.5), (3.7), (3.9) имеем соответственно в дальнейшем будем использовать обозначение пучка операторов (3.7) $P(\lambda ;\varepsilon )$ и уравнений (3.9)${{P}_{{nj}}}(\lambda ;\varepsilon )$.

Обозначим через $\lambda (\varepsilon ),\;\bar {\lambda }(\varepsilon )$ точки спектра пучка операторов $P(\lambda ;\varepsilon )$, удовлетворяющие условию $\lambda (0) = i{{\omega }_{ * }}$. Им будут соответствовать собственные функции ${{u}_{1}}(\rho ,n\phi ),\;{{\bar {u}}_{1}}(\rho ,n\phi )$; $\lambda (\varepsilon )$ аналитически зависит от $\varepsilon $ и

Рассмотрим присоединенную к (3.5), (3.6) (формально-сопряженную [20] с (3.5), (3.6)) начально-краевую задачу

относительно функции $v(\rho ,\phi ,t + s)$ в области ${{\bar {K}}_{R}} \times {{\mathbb{R}}^{ - }}$, где ${{\mathbb{R}}^{ - }} = \{ t: - \infty < t \leqslant 0\} $, $0 \leqslant s \leqslant T\;(T > 0)$, ${{v}_{{ - \theta }}}(\rho ,\phi ,t) \equiv v(\rho ,(\phi - \theta )\bmod (2\pi ),t)$ $(0 \leqslant \theta < 2\pi )$.

Фазовым пространством начально-краевой задачи (4.5), (4.6) является пространство $H({{K}_{R}};0,T) = \{ v(\rho ,\phi ,s):v(\rho ,\phi ,s) \in {{L}_{2}}({{K}_{R}})$  при  каждом  $0 \leqslant s \leqslant T$, ${{\left\| {v(\rho ,\phi ,s)} \right\|}_{{{{L}_{2}}}}} \in C([0,T])\} $, областью определения правой части уравнения (4.5) является пространство ${{H}_{0}}({{K}_{R}};0,T) = \{ v(\rho ,\phi ,s):v(\rho ,\phi ,s) \in C({{\bar {K}}_{R}} \times [0,T]),$ $v(\rho ,0,s) = v(\rho ,2\pi ,s),$ ${{v}_{\phi }}(\rho ,0,s) = {{v}_{\phi }}(\rho ,2\pi ,s)$, при каждом $s\;\,v(\rho ,\phi ,s) \in {{H}^{2}}({{K}_{R}})\} $. Нормы в указанных пространствах вводятся по аналогии с $H({{K}_{R}}; - T,0),$ ${{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$. Начально-краевая задача (4.5), (4.6) корректно поставлена (и разрешима) в сторону убывания $t$.

Между элементами пространств $u(\rho ,\phi ,s) \in H({{K}_{R}}; - T,0)$ и $v(\rho ,\phi ,s) \in H({{K}_{R}};0,T)$ введем скалярное произведение

Решения (3.5), (3.6) и (4.5), (4.6) связаны между собой следующим образом. Обозначим через $u(\rho ,\phi ,t + s)$ и $v(\rho ,\phi ,t + s)$ решения (3.5), (3.6) и (4.5), (4.6) соответственно, определенные при $t > {{\tau }_{1}},$ $u(\rho ,\phi ,{{\tau }_{1}} + s) = {{u}_{0}}(\rho ,\phi ,s) \in {{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$ и $t < {{\tau }_{2}},$ $v(\rho ,\phi ,{{\tau }_{2}} + s) = {{v}_{0}}(\rho ,\phi ,s) \in {{H}_{0}}({{K}_{R}};0,T)$, и пусть при этом ${{\tau }_{1}} < {{\tau }_{2}}$. Тогда при ${{\tau }_{1}} < t < {{\tau }_{2}}$ справедливо равенство

которое легко доказывается дифференцированием по $t$. В частности, для решений $u(\rho ,\phi ,t + s)$ и $v(\rho ,\phi ,t + s)$, определенных при $ - \infty < t < \infty $, равенства (4.8) выполнены при всех $t$.

Определяя теперь решения (4.5), (4.6) вида $v(\rho ,\phi ,t) = v(\rho ,\phi ){{e}^{{pt}}},$$p \in \mathbb{C}$, получаем характеристический пучок операторов

действующий в ${{\tilde {L}}_{2}}({{K}_{R}})$ с областью определения ${{\tilde {H}}^{2}}({{K}_{R}})$. Точки спектра (4.9) и точки спектра (3.7) могут быть упорядочены таким образом, что будут выполнены соотношения ${{p}_{j}} = - {{\bar {\lambda }}_{j}},$ $j = 1,2, \ldots $ . Таким образом, пучок операторов $Q(p;\varepsilon )$ имеет пару комплексно сопряженных точек спектра $p(\varepsilon ) = - \bar {\lambda }(\varepsilon ),\bar {p}(\varepsilon )$, которым отвечают собственные функции ${{v}_{1}}(\rho ,n\phi ) = {{R}_{{n1}}}(\rho ){{e}^{{ - in\varphi }}}{\text{/}}{{(2\pi )}^{{1/2}}},$ ${{\bar {v}}_{1}}(\rho ,n\phi )$.

Введем в рассмотрение функции

Обозначим через ${{H}_{ + }}(\varepsilon )$ линейную оболочку функций (4.10), т.е. множество функций вида а через ${{H}_{ - }}(\varepsilon )$ множество функций ${{u}_{ - }}(\rho ,\phi ,s) \in {{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$, для которых $\left\langle {{{u}_{ - }}(\rho ,\phi ,s),{{h}_{1}}(\rho ,n\phi ,s;\varepsilon )} \right\rangle = 0$, $\left\langle {{{u}_{ - }}(\rho ,\phi ),{{{\bar {h}}}_{1}}(\rho ,n\phi ,s;\varepsilon )} \right\rangle = 0$. Очевидно ${{H}_{ + }}(\varepsilon ) \oplus {{H}_{ - }}(\varepsilon ) = {{H}_{0}}({{K}_{R}}, - T,0)$; ${{H}_{ + }}(\varepsilon )$ определяет двумерное пространство решений ${{u}_{ + }}(\rho ,\phi ,t + s;\varepsilon )$ начально-краевой задачи (3.5), (3.6) вида (4.11), в котором $z = z(t)$ – решение уравнения

Обозначим через ${{S}_{{u*}}}(R) = \{ u(\rho ,\phi ,s):$ $u(\rho ,\phi ,s) \in {{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0),$ ${{\left\| {u(\rho ,\varphi ,s) - {{u}_{*}}} \right\|}_{{{{H}_{0}}}}} < R\} $ шар радиуса $R$ c центром в ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}(K,\gamma )$ пространства ${{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$. В случае ${{u}_{ * }} = 0$ будем использовать обозначение $S(R) = {{S}_{0}}(R)$. В дальнейшем ${{S}_{ \pm }}(R;\varepsilon ) = S(R) \cap {{H}_{ \pm }}(\varepsilon )$.

Множество $M(\varepsilon ) \subset S(R)$ будем называть инвариантным многообразием начально-краевой задачи (3.2), (3.3), если для ее решений $u(\rho ,\phi ,t + s)$ с начальными условиями $u(\rho ,\phi ,{{t}_{0}} + s) \in M(\varepsilon )$ при некотором ${{t}_{0}}$ следует, что $u(\rho ,\phi ,t + s) \in M(\varepsilon )$ при всех $t > {{t}_{0}}$ пока $u(\rho ,\phi ,t + s) \in S(R)$.

Результаты работы [16] и монографий [17], [18] применительно к начально-краевой задаче (3.2), (3.3) позволяют сформулировать следующие теоремы.

Теорема 1. Существуют такие ${{\varepsilon }_{0}} > 0$ и $R > 0$, что при ${\text{|}}\varepsilon {\text{|}} < {{\varepsilon }_{0}}$ начально-краевая задача (3.2), (3.3) имеет инвариантное многообразие $M(\varepsilon ) \subset S(R)$, которое может быть представлено в виде

где нелинейный оператор $G({{u}_{ + }};\varepsilon )(G(0;\varepsilon ) \equiv 0)$ действует из ${{S}_{ + }}(R;\varepsilon ) \oplus [ - {{\varepsilon }_{0}},{{\varepsilon }_{0}}]$ в ${{S}_{ - }}(R;\varepsilon )$ и гладко зависит от входящих переменных (в смысле дифференцирования по Фреше).

Обозначим через $d(u(\rho ,\phi ,s);\varepsilon )$ расстояние от точки $u(\rho ,\phi ,s) \in S(R)$ до множества $M(\varepsilon )$ в метрике пространства ${{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$. Справедлива

Теорема 2. Пусть ${{u}_{0}}(\rho ,\phi ,s) \in S(R)$ – начальное условие решения $u(\rho ,\phi ,t + s;\varepsilon )$ начально-краевой задачи (3.2) , (3.3) $(u(\rho ,\phi ,s;\varepsilon ) = {{u}_{0}}(\rho ,\phi ,s))$. Тогда $t > 0$

где $K,\alpha > 0$ – некоторые постоянные.

Таким образом, поведение решений начально-краевой задачи (3.2), (3.3) с начальными условиями из $S(R)$ полностью определяется поведением решений на инвариантном многообразии $M(\varepsilon )$, которое может быть описано поведением решений некоторой двумерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Многообразие $M(\varepsilon )$, следуя [17], [18], будем называть центральным многообразием начально-краевой задачи (3.2), (3.3).

На основании представления (4.11) оператор $G({{u}_{ + }};\varepsilon )$ будем рассматривать как оператор $G(\rho ,n\phi ,s,z,\bar {z};\varepsilon )$ $(G(\rho ,n\phi ,s,z,\bar {z};\varepsilon ) \equiv G(\rho ,n\phi + 2\pi ,s,z,\bar {z};\varepsilon ),$ $G(\rho ,n\phi ,s,0,0;\varepsilon ) \equiv 0)$, действующий из ${{\mathbb{C}}^{2}} \oplus [ - {{\varepsilon }_{0}},{{\varepsilon }_{0}}]$ в ${{S}_{ + }}(R)$ и гладко зависящий от входящих переменных. С учетом этого и (4.12) представим оператор $G(\rho ,n\phi ,s,z,\bar {z};\varepsilon )$ и систему дифференциальных уравнений траекторий на $M(\varepsilon )$ в виде разложений

где ${{v}_{{kj}}}(.) = {{v}_{{kj}}}(\rho ,n\varphi ,s;\varepsilon ),$ ${{v}_{{jk}}} = {{\bar {v}}_{{kj}}}(.),$ ${{\left\| {g(\rho ,n\phi ,s,z,\bar {z};\varepsilon )} \right\|}_{{{{H}_{1}}}}} = o({\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}),{\text{|}}Z(z,\bar {z};\varepsilon ){\kern 1pt} {\text{|}} = o({\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}})$. Система (4.16) представлена в нормализованном до кубических слагаемых виде [16].

Отметим следующее. Пусть $u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\rho ,\phi ,t + s;\varepsilon )$ – решение начально-краевой задачи (3.2), (3.3). Продолжим его периодически по $\phi $ на $\mathbb{R}$. Функция $u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\rho ,\phi + c,t + s;\varepsilon )$, где $c$ – произвольное вещественное число, также является решением (3.2), (3.3), в чем легко убедиться непосредственно, обозначив ${{\phi }_{1}} = \phi + c$ и с учетом равенства ${{\Delta }_{{\rho ,\phi }}}u{\kern 1pt} * = {{\Delta }_{{\rho ,{{\phi }_{1}}}}}u{\kern 1pt} *$. При этом, если $u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\rho ,\phi ,t + s;\varepsilon ) \in M(\varepsilon )$, то $u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\rho ,\varphi + c,t + s;\varepsilon ) \in M(\varepsilon )$, так как согласно (3.8), (4.10), (4.11) $u_{ + }^{*}(\rho ,\phi + c,t + s;\varepsilon ) \in {{H}_{ + }}(\varepsilon )$, где $u_{ + }^{*}(\rho ,\phi ,t + s;\varepsilon )$ – проекция $u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\rho ,\phi ,t + s;\varepsilon )$ на ${{H}_{ + }}(\varepsilon )$ по направлению ${{H}_{ - }}(\varepsilon )$. Следствием этого являются справедливые для любого вещественного $c$ тождества

Для построения центрального многообразия и системы дифференциальных уравнений траекторий на нем воспользуемся подходом, используемым в работах [21], [22]. Отметим, что близкая к указанному подходу схема построения уравнений траекторий на центральном многообразии для дифференциально-разностных уравнений приведена в [18]. В соответствии со сказанным перейдем от (3.2), (3.3) к эквивалентной начально-краевой задаче в области ${{\bar {K}}_{R}} \times [ - T,0] \times {{\mathbb{R}}^{ + }}$, положив $w(\rho ,\phi ,s,t) = u(\rho ,\phi ,t + s),$

Условие принадлежности траекторий (4.16) краевой задачe (4.18), (4.19) в силу многообразия (4.15) определяет тождества

для определения коэффициентов разложений (4.15), (4.16). Приравнивая в (4.20), (4.21) коэффициенты при одинаковых степенях $z,\;\bar {z}$ получаем рекуррентную последовательность краевых задач для определения входящих в (4.15), (4.16) функций ${{v}_{{jk}}}(\rho ,n\phi ,s;\varepsilon ) \in {{\tilde {H}}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$ и $d(\varepsilon )$, гладко зависящих от $\varepsilon $. При первых степенях равенства выполнены в силу (4.11), (4.12). Приравняв коэффициенты при ${{z}^{2}}$, получим для определения ${{v}_{{20}}}(\rho ,n\phi ,s;\varepsilon )$ краевую задачу которая имеет единственное решение Аналогично для определения ${{v}_{{11}}}(\rho ,n\varphi ,s;\varepsilon )$ имеем краевую задачу единственное решение которой имеет вид С учетом равенства ${{v}_{{02}}}(\rho ,n\phi ;\varepsilon ) = {{\bar {v}}_{{20}}}(\rho ,n\phi ;\varepsilon )$, приравняем теперь в (4.20), (4.21) коэффициенты при ${{z}^{3}}$. В результате получим для определения ${{v}_{{30}}}(\rho ,n\phi ,s;\varepsilon )$ краевую задачу которая имеет единственное решение Приравняв теперь в (4.20), (4.21) коэффициенты при ${{z}^{2}}\bar {z}$, получим краевую задачу вида При $d(\varepsilon ) \equiv 0$ краевая задача (4.25), (4.26) не разрешима в точке $\varepsilon = 0$. Разрешимости добиваемся выбором $d(\varepsilon )$. Общее решение уравнения (4.25) имеет вид где ${{w}_{{21}}}(\rho ){{e}^{{in\phi }}}{\text{/}}{{(2\pi )}^{{3/2}}} \in {{\tilde {H}}_{1}}({{K}_{R}})$ произвольная функция. Подставив (4.27) в (4.26), получим Краевая задача (4.28) разрешима не всегда, так как $L(0){{R}_{{n1}}}(\rho ) = 0$, а также $L{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (0){{R}_{{n1}}}(\rho ) = 0$, где $L{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (0)$ – сопряженный с $L(0)$ в смысле скалярного произведения (3.8) оператор. Необходимым и достаточным условием разрешимости является равенство $({{f}_{{21}}}(\rho ;\varepsilon ),{{R}_{{n1}}}(\rho )) = 0$, из которого находим и решение которое определяется однозначно и удовлетворяет условию $({{w}_{{21}}}(\rho ;\varepsilon ),{{R}_{{n1}}}(\rho )) = 0$.

Проанализируем поведение решений уравнения (4.16). Для выбранной точки $({{K}_{*}},{{\theta }_{*}})$ значение $\pi {\text{/}}n < {{\theta }_{*}} < 3\pi {\text{/}}(2n)$. Поэтому $cos(n{{\theta }_{*}}) < 0$. Знак ${{b}_{1}}({{u}_{*}},\gamma )$ в (4.5), (4.4) определяется знаком производной ${{b}_{{{{u}_{ * }}}}}({{u}_{*}},\gamma )$. Поэтому ${{b}_{1}}({{u}_{*}},\gamma ) > 0$ на нижней части правой ветви замкнутой кривой границы области устойчивости решений (3.5), (3.6) (области ${{D}_{0}}$), ${{b}_{1}}({{u}_{*}},\gamma ) < 0$ на верхней части правой ветви замкнутой кривой границы области ${{D}_{0}}$. Аналогичный знак имеет величина ${{\chi }_{1}}$ в (4.4). Численный анализ, выполненный для различных значений параметров $D,T,\gamma $, показал, что в точках ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$ границы области устойчивости решений (3.5), (3.6) $a(0) < 0$. Поэтому при прохождении нижней части правой ветви замкнутой кривой границы области устойчивости в сторону увеличения параметра $K(\varepsilon > 0)$ в уравнении (4.16) происходит рождение устойчивого периодического решения (прямая бифуркация Андронова-Хопфа). Положим в (4.16) $z = r{{e}^{{i\tau }}}$. В результате с учетом (4.17) будем иметь систему уравнений

где ${{Z}_{1}}(r{{e}^{{i\tau }}},r{{e}^{{ - i\tau }}};\varepsilon ) \equiv {{Z}_{1}}(r,r;\varepsilon ) \equiv {{Z}_{1}}({{r}^{2}};\varepsilon ) \equiv R({{r}^{2}};\varepsilon ) + iT({{r}^{2}};\varepsilon ),$ ${\text{|}}{{Z}_{1}}({{r}^{2}};\varepsilon ){\kern 1pt} {\text{|}} = o({{r}^{2}})$ – гладкие по ${{r}^{2}}$ и $\varepsilon $ функции. Из первого уравнения (4.30) находим асимптотически устойчивое состояние равновесия ${{r}^{2}}(\varepsilon ) = r_{*}^{2}\varepsilon + O({{\varepsilon }^{2}})(r_{*}^{2} = - {{\chi }_{1}}{\text{/}}a(0))$ и подставляем во второе уравнение. В результате имеем асимптотически орбитально устойчивое периодическое решение уравнения (4.16)периода $2\pi {\text{/}}({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{1}}(\varepsilon ))$.

На верхней части правой ветви замкнутой кривой границы области устойчивости бифуркация рождения устойчивого периодического решения происходит при уменьшении параметра $K(\varepsilon < 0)$, т.е. при переходе из области неустойчивости в область устойчивости (при увеличении $K$ происходит “влипание” устойчивого периодического решения в неустойчивое состояние равновесия (обратная бифуркация Андронова-Хопфа). Аналогичная ситуация наблюдается и при прохождении левой ветви замкнутой кривой границы области устойчивости решений (3.5), (3.6). В этом случае уравнению (3.9) при выбранных ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}},\;n$ удовлетворяет корень $\lambda = - i{{\omega }_{*}},$ ${{\omega }_{*}} > 0$.

Подставив (4.31) в (4.15), получим периодическое решение ${{w}_{*}}(\rho ,n\phi ,s,\tau ;{{\varepsilon }^{{1/2}}})$ начально-краевой задачи (4.18), (4.19), которое с учетом (4.17) может быть записано в виде ${{w}_{*}}(\rho ,n\phi + \tau ,s;{{\varepsilon }^{{1/2}}})$, а согласно (4.18) в виде ${{u}_{*}}(\rho ,n\phi + ({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{1}}(\varepsilon ))(t + s);{{\varepsilon }^{{1/2}}})$. Покажем, что это решение может быть представлено в виде сходящегося ряда по степеням ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$. Выпишем в явном виде с учетом (4.15), (4.18), (4.31) коэффициеты разложения ${{u}_{*}}(.)$ при ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$ и $\varepsilon $. В результате получим

Введем в рассмотрение пространство ${{H}_{{an}}}({{K}_{R}}) \subset {{H}^{2}}({{K}_{R}})$ вещественных аналитических функций, состоящее из таких бесконечно дифференцируемых фунций $u(\rho ,\psi ),$ ${{\partial }^{k}}u(\rho ,0){\text{/}}\partial {{\psi }^{k}} = {{\partial }^{k}}u(\rho ,2\pi ){\text{/}}\partial {{\psi }^{k}},$ $k = 0,1, \ldots $, для которых конечна норма

Очевидно, что ${{H}_{{an}}}({{K}_{R}})$ – банахово пространство. Продолжим функции $u(\rho ,\psi )$ по переменной $\psi $ на $\mathbb{R}$ $2\pi $-периодически. Соответствующее пространство $2\pi $-периодических по $\psi $ функций $u(\rho ,\psi )$ обозначим ${{H}_{{an}}}(K_{R}^{*})$.

В (4.32) обозначим ${{\rho }_{*}} = {{\rho }_{1}},$ ${{\omega }_{{*1}}} = {{\omega }_{1}}$ и считая $w(\rho ,\psi ;{{\varepsilon }^{{1/2}}}) = w(\rho ,s) \in {{H}_{{an}}}(K_{R}^{*})$ искомой функцией, а ${{\rho }_{1}},\;{{\omega }_{1}}$ параметрами, подставим (4.32) в (3.2). Слагаемые при степенях ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$ и $\varepsilon $ сократятся в силу выбора функций ${{w}_{{jk}}}(\rho ;\varepsilon )$. Сократив полученное равенство на ${{\varepsilon }^{{3/2}}}$, получим для определения $w(\rho ,s)$ следующее операторное уравнение в ${{H}_{{an}}}(K_{R}^{*})$:

где $\mu = {{\varepsilon }^{{1/2}}}$, ${{f}_{3}}(\rho ),\;{{f}_{{3\rho }}}(R) = 0$ – аналитическая функция $\rho $, $F(\rho ,\psi ,w(\rho ,\psi );\mu ):{{H}_{{an}}}(K_{R}^{*}) \to {{H}_{{an}}}(K_{R}^{*})$ – нелинейный ограниченный аналитический по $w$ и $\mu \;\,({\text{|}}\mu {\kern 1pt} {\text{|}} < {{\mu }_{0}})$ оператор (определение см., например, в [23]).

Функции ${{w}_{1}}(\rho ,\psi ) = {{R}_{{n1}}}(\rho ){{e}^{{i\psi }}}{\text{/}}{{(2\pi )}^{{1/2}}},$ ${{w}_{{ - 1}}}(\rho ,\psi ) = {{R}_{{n1}}}(\rho ){{e}^{{ - i\psi }}}{\text{/}}{{(2\pi )}^{{1/2}}}$ и только они (с точностью до их линейной комбинации) удовлетворяют уравнению $B{{w}_{j}}(\rho ,\psi ) = 0,$ $j = - 1,1$, а также уравнению $B{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{w}_{j}}(\rho ,s) = 0,$ $j = - 1,1$, где $B{\kern 1pt} *{\kern 1pt} w \equiv - {{w}_{\psi }}{{\omega }_{*}} + w - D{{\Delta }_{{\rho ,\phi }}}w + b(0)w(\rho ,\psi - n\theta + \omega T)$ сопряженный с $B$ оператор:   ${{(B{{w}_{2}},{{w}_{3}})}_{{{{L}_{2}}}}} = {{({{w}_{2}},B{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{w}_{3}})}_{{{{L}_{2}}}}}$,    ${{w}_{2}},{{w}_{3}} \in {{H}_{{an}}}(K_{R}^{*})$.  В  связи  с  этим  операторное уравнение $Bw = G(\rho ,\psi ),$ $G(\rho ,\psi ) \in {{H}_{{an}}}(K_{R}^{*})$ имеет решение тогда и только тогда, когда ${{(G(\rho ,\psi ),{{w}_{j}}(\rho ,\psi ))}_{{{{L}_{2}}}}} = 0,\;\,j = - 1,1$. Решение, удовлетворяющее условию ${{(w(\rho ,\psi ),{{w}_{j}}(\rho ,\psi ))}_{{{{L}_{2}}}}} = 0$ $j = - 1,1$, будет единственным и будет определяться в виде $w(\rho ,\psi ) = {{B}^{{ - 1}}}G(\rho ,\psi )$. При этом обратный оператор ${{B}^{{ - 1}}}$ будет вполне непрерывным. Условия разрешимости операторного уравнения (4.33)

однозначно определяют аналитические по $w \in {{H}_{{an}}}(K_{R}^{*})$ и $\mu ({\text{|}}\mu {\kern 1pt} {\text{|}} < {{\mu }_{0}})$ нелинейные функционалы Подставим (4.35) в правую часть уравнения (4.33). В результате будем иметь удовлетворяющий условиям (4.35) нелинейный ограниченный аналитический по $w \in {{H}_{{an}}}(K_{R}^{*})$ и $\mu \;({\text{|}}\mu {\kern 1pt} {\text{|}} < {{\mu }_{0}})$ оператор $\Phi (\rho ,\psi ,w(\rho ,\psi );\mu ),\Phi (\rho ,\psi ,w(\rho ,\psi );0) \equiv {{\Phi }_{0}}(\rho ,\psi )$. Это позволяет записать операторное уравнение (4.33) в виде Осталось применить к (4.33) теорему о неявной функции для нелинейных уравнений в банаховых пространствах, доказательство которой см., например, в [23]. Полученное решение $w(\rho ,\psi ;\mu )$ будет аналитической функцией при ${\text{|}}\mu {\kern 1pt} {\text{|}} < {{\mu }_{0}}$. Подставив $w(\rho ,\psi ;{{\varepsilon }^{{1/2}}})$ в (4.32), получим периодическое решение ${{u}_{*}}(\rho ,\psi ;{{\varepsilon }^{{1/2}}})$, которое представлено в виде сходящегося ряда по степеням ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$Функции ${{u}_{j}}(\rho ,\psi )$ и величины ${{\omega }_{{*j}}}$, входящие в (4.37), могут быть получены до любого порядка непосредственно. Для этого в (4.37) необходимо заменить ${{r}_{*}} \to {{r}_{*}} + \varepsilon {{r}_{{*1}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{r}_{{*2}}} + \ldots $ и подставить в начально-краевую задачу (3.2), (3.3). Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях ${{\varepsilon }^{{1/2}}}$, получаем рекуррентную последовательность операторных уравнений $B{{u}_{j}}(\rho ,\psi ) = {{G}_{j}}(\rho ,\psi )$, где ${{G}_{j}}(\rho ,\psi ) = {{G}_{j}}(\rho ,\psi ,{{u}_{1}}(\rho ,\psi ),...,{{u}_{{j - 1}}}(\rho ,\psi ))$ при $j = 2k$ и ${{G}_{j}}(\rho ,\psi ) = {{G}_{j}}(\rho ,\psi ,{{u}_{1}}(\rho ,\psi ),...,{{u}_{{j - 1}}}(\rho ,\psi ),{{r}_{{*k}}},{{\omega }_{{*k}}})$ при $j = 2k + 1$, $k = 1,2, \ldots $. При $j = 2k$ операторные уравнения однозначно разрешимы, при $j = 2k + 1$ условия разрешимости ${{({{G}_{j}}(\rho ,\psi ),{{w}_{p}}(\rho ,\psi ))}_{{{{L}_{2}}}}} = 0,$ $p = - 1,1$, однозначно определяют ${{r}_{{*k}}},\;{{\omega }_{{*k}}}$, а решение, удовлетворяющее условиям ${{({{u}_{j}}(\rho ,\psi ),{{w}_{p}}(\rho ,s))}_{{{{L}_{2}}}}} = 0,$ $p = - 1,1$, определяется однозначно. При этом ${{u}_{{2k}}}(\rho ,\psi )$ содержат лишь четные гармоники по $\psi $ до порядка $2k$ включительно, а ${{u}_{{2k + 1}}}(\rho ,\psi )$ – лишь нечетные гармоники по $\psi $ до порядка $2k + 1$ включительно.

Решение вида (4.37) представляет собой ротационную волну, вращающуюся по часовой стрелке.

Если точка ${{K}_{ * }},\;{{\theta }_{ * }}$ будет находиться на гранце области ${{D}_{0}}$, соответствующей левой ветви замкнутой кривой, имеющей минимум в точке $\theta = \pi {\text{/}}n$, и при этом пучок операторов (3.7) имеет пару комплексно сопряженных точек спектра $ \pm i{{\omega }_{*}},\;{{\omega }_{*}} > 0$, то все рассуждения почти дословно повторяются. В этом случае начально-краевая задача (3.2), (3.3) имеет при $\varepsilon > 0$ в окрестности нулевого состояния равновесия периодическое решение вида (4.37), в котором $\psi = - n\phi + ({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{1}}(\varepsilon ))(t + s)$, т.е. это решение представляет собой ротационную волну, вращающуюся против часовой стрелки.

Пусть теперь ${{\theta }_{*}} = \pi {\text{/}}n$. В этом случае пучок операторов (3.7) имеет двухкратную нулевую точку спектра, которой отвечают две собственные функции ${{u}_{{n1}}}(\rho ,n\phi ),$ ${{\bar {u}}_{{n1}}}(\rho ,n\phi )$. В этом случае система уравнений (4.16) траекторий на центральном многообразии строится аналогично, при этом имеем, в чем легко убедиться непосредственно с учетом (4.17), $\operatorname{Im} \lambda (\varepsilon ) = 0$, ${\text{Im}}d(\varepsilon ) = 0$, $\operatorname{Im} {{Z}_{1}}(z,\bar {z};\varepsilon ) = 0$. В результате, перейдя в (4.16) к полярным координатам $z = r{{e}^{{i\tau }}}$, имеем систему уравнений

которая имеет семейство устойчивых состояний равновесия $r(\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{{1/2}}}{{r}_{*}}(1 + O(\varepsilon )),$ $\tau = c$, где $c$ – произвольная постоянная, ${{\rho }_{*}} = {{( - {{\chi }_{1}}{\text{/}}a(0))}^{{1/2}}}$. Этому семейству состояний равновесия в начально-краевой задаче (3.2), (3.3) соответствует однопараметрическое семейство устойчивых пространственно неоднородных состояний равновесия, определяемых формулой (4.37), в которой $({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{{*1}}}(\varepsilon ))(t + s) \equiv {\text{const}}$.

Таким образом, при изменении ${{\theta }_{ * }}$ вдоль границы области ${{D}_{0}}$ при $K = {{K}_{ * }} + \varepsilon $ и проходя точку ${{\theta }_{*}} = \pi {\text{/}}n$, в окрестности состояния равновесия ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}({{K}_{*}}(\theta ),\gamma )$ устойчивая ротационная волна (пространственно неоднородное периодическое решение периода $T(\varepsilon ) = 2\pi {\text{/}}({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{1}}(\varepsilon ))$) меняет направление вращения, проходя через однопараметрическое семейство пространственно неоднородных состояний равновесия. При этом период периодического решения $T(\varepsilon ) \to \infty $ при $\theta \to \pi {\text{/}}n$.

Сказанное сформулируем окончательно в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть при выбранных $D,\;T,\;\gamma $ параметры ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$ принадлежат границе области устойчивости состояния равновесия ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}({{K}_{*}},\gamma )$ и при этом уравнение (3.9) имеет решение $\lambda = i{{\omega }_{*}}( - i{{\omega }_{*}}),$ ${{\omega }_{*}} > 0$ при некотором $n > 0$, пусть также ${{\chi }_{1}} > 0$ и $a(0) < 0$. Тогда существуют такие ${{\varepsilon }_{0}},\;R > 0$, что при $K = {{K}_{*}} + \varepsilon ,$ $0 < \varepsilon < {{\varepsilon }_{0}}$ в шаре ${{S}_{{{{u}_{ * }}}}}(R)$ начально-краевая задача (2.1), (2.2) имеет пространственно неоднородное периодическое решение ${{u}_{*}}(\rho ,\psi ;{{\varepsilon }^{{1/2}}}) \in {{H}_{{an}}}({{K}_{R}})$, $\psi = n\phi + ({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{1}}(\varepsilon ))(t + s)$ $(\psi = - n\phi + ({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{1}}(\varepsilon ))(t + s))$, периода $T(\varepsilon ) = 2\pi {\text{/}}({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{1}}(\varepsilon ))$ вида (4.37). Все остальные решения начально-краевой задачи (2.1), (2.2) с начальными условиями из ${{S}_{{{{u}_{ * }}}}}(R)$ при $t \to \infty $ стремятся к этому периодическому решению в норме ${{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$. Это решение является ротационной волной, вращающейся по часовой стрелке (против часовой стрелки). Если при этом ${{\theta }_{*}} = \pi {\text{/}}n$, то в шаре ${{S}_{{{{u}_{ * }}}}}(R)$ начально-краевая задача (2.1), (2.2) имеет однопараметрическое семейство пространственно неоднородных состояний равновесия, задаваемых формулой (4.37), в которой $({{\omega }_{*}} + \varepsilon {{\omega }_{{*1}}}(\varepsilon ))(t + s) \equiv {\text{const}}$. При прохождении параметром ${{\theta }_{*}}$ точки $\pi {\text{/}}n$ период периодического решения (4.37) – $T(\varepsilon ) \to \infty $, и ротационная волна меняет направление вращения.

Рассмотрим теперь случай, когда точка ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$ границы области устойчивости состояния равновесия ${{u}_{*}} = {{u}_{*}}({{K}_{*}},\gamma )$ (2.1), (2.2) является точкой пересечения замкнутых кривых, определяющих границу области ${{D}_{0}}$ и соответствующих различным значениям $n$. Это могут быть, например, точки, отмеченные * на фиг. 3. В этом случае пучок операторов (3.7) имеет две пары комплексно сопряженных точек спектра $ \pm i{{\omega }_{{*j}}},{{\omega }_{{*j}}} > 0,$ $j = 1,2$, которым отвечают собственные функции ${{e}_{{{{n}_{j}}1}}}(\rho ,\varphi ),\;{{\bar {e}}_{{{{n}_{j}}1}}}(\rho ,\varphi ),$ $j = 1,2$, возможен также случай, когда одна из пар комплексно сопряженных точек спектра превращается в двухкратную нулевую точку. При этом ${{n}_{1}}$ и ${{n}_{2}}$ всегда связаны соотношением ${{n}_{1}} = n,$ ${{n}_{2}} = n + 1$, а уравнению (3.9) может удовлетворять как $i{{\omega }_{{*j}}}$, так и $ - i{{\omega }_{{*j}}}$. Отметим также, что между ${{\omega }_{{*1}}}$ и ${{\omega }_{{*2}}}$ невозможны резонансные соотношения ${{\omega }_{{*1}}}{\text{/}}{{\omega }_{{*2}}} = 1{\text{/}}3,\;1{\text{/}}2,\;1,\;2,\;3$. Это несложно показать, предположив противное и получив противоречие из равенства выражений (3.18), (3.19) для разных $n$. Поэтому дальнейший анализ будет проводиться по “нерезонансной” схеме.

Рассмотрим сначала случай двух пар комплексно сопряженных точек спектра пучок операторов (3.7). При этом для определенности считаем, что уравнению (3.9) при $n$ и $n + 1$ удовлетворяют соответственно $i{{\omega }_{{*1}}}$ и $i{{\omega }_{{*2}}}$ и ${{\omega }_{{*j}}} > 0,$ $j = 1,2$. Этому условию удовлетворяет, например, точка, отмеченная на фиг. 3 и имеющая большую координату $\theta $. Положим $K = {{K}_{*}} + {{\varepsilon }_{1}},$ $\theta = {{\theta }_{*}} + {{\varepsilon }_{2}}$, где ${{\varepsilon }_{1}},\;{{\varepsilon }_{2}}$ – малые параметры, в дальнейшем обозначим $\bar {\varepsilon } = ({{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{1}})$. Из (3.9) находим

Введем функции В этом случае ${{H}_{ + }}(\bar {\varepsilon })$ есть множество функций вида а ${{H}_{ - }}(\bar {\varepsilon })$ – соответственно множество функций ${{u}_{ - }}(\rho ,\phi ,s) \in {{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$, для которых $\left\langle {{{u}_{ - }}(\rho ,\phi ,s),{{h}_{{1j}}}(\rho ,\phi ,s;\bar {\varepsilon })} \right\rangle = 0,$ $\left\langle {{{u}_{ - }}(\rho ,\phi ,s),\mathop {\bar {h}}\nolimits_{1j} (\rho ,\phi ,s;\bar {\varepsilon })} \right\rangle = 0,$ $j = 1,2$ (${{H}_{ + }}(\bar {\varepsilon }) \oplus {{H}_{ - }}(\bar {\varepsilon }) = {{H}_{0}}({{K}_{R}}; - T,0)$); ${{H}_{ + }}(\bar {\varepsilon })$ определяет четырехмерное пространство решений ${{u}_{ + }}(\rho ,\varphi ,s,t;\bar {\varepsilon })$ начально-краевой задачи (3.5), (3.6) вида (4.41), в котором ${{z}_{j}} = {{z}_{j}}(t)$ – решение уравнений

Пусть ${{S}_{ \pm }}(R)(\bar {\varepsilon }) = S(R) \cap {{H}_{ \pm }}(\bar {\varepsilon })$. В рассматриваемом случае начально-краевая задача (3.2), (3.3) имеет четырехмерное центральное (инвариантное) многообразие $M(\bar {\varepsilon }) \subset S(R)$, которое определено теоремами 1, 2 применительно к рассматриваемому случаю и которое представимо в виде

где ${{v}_{{jk}}}(.) = {{v}_{{jk}}}(\rho ,\varphi ,s;\bar {\varepsilon }),$ ${{v}_{{jk}}}(.) = {{\bar {v}}_{{kj}}}(.),$ ${{\left\| {g(\rho ,\phi ,{{z}_{1}},{{{\bar {z}}}_{1}},{{z}_{2}},{{{\bar {z}}}_{2}};\bar {\varepsilon })} \right\|}_{{{{H}_{1}}}}} = o({\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}),$ ${\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} = {{({\text{|}}{{z}_{1}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}\; + \;{\text{|}}{{z}_{2}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}})}^{{1/2}}}$. При этом система обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющая поведение траекторий (3.2), (3.3) на (4.43) и записанная в нормализованной форме до кубических слагаемых включительно [16], имеет вид где ${\text{|}}{{Z}_{j}}({{z}_{1}},\mathop {\bar {z}}\nolimits_1 ,{{z}_{2}},\mathop {\bar {z}}\nolimits_2 ;\bar {\varepsilon }){\kern 1pt} {\text{|}} = o({\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}),$ $j = 1,2$. По аналогии с (4.17) имеем

В рассматриваемом случае условие принадлежности траекторий системы уравнений (4.44) начально-краевой задачи (3.2), (3.3) в силу многообразия (4.43) определяют тождества

для определения коэффициентов разложений (4.43), (4.44). Приравнивая в (4.46), (4.47) коэффициенты при одинаковых степенях ${{z}_{1}},\;{{\bar {z}}_{1}},\;{{z}_{2}},\;{{\bar {z}}_{2}}$, получаем для определения функций, входящих в (4.43), рекуррентную последовательность краевых задач аналогичных (4.22), (4.26). Часть этих краевых задач однозначно разрешима автоматически, однозначной разрешимости другой части добиваемся выбором коэффициентов ${{d}_{{jk}}}(\bar {\varepsilon })$ (однозначным) по аналогии с краевой задачей (4.26). Опуская громоздкие вычисления, приведем необходимые для бифуркационного анализа выражения для коэффициентов ${{d}_{{jk}}}(\bar {\varepsilon }) = {{a}_{{jk}}}(\bar {\varepsilon }) + i{{c}_{{jk}}}(\bar {\varepsilon })$:

Исследуем поведение решений системы уравнений (4.44). Перейдем в плоскости параметров $\bar {\varepsilon } = ({{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}})$ и плоскостях ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ к полярным координатам, соответственно положив

и ${{z}_{j}} = {{\varepsilon }^{{1/2}}}{{\rho }_{j}}{{e}^{{i{{\tau }_{j}}}}},$ ${{\rho }_{j}} \geqslant 0,$ $j = 1,2$. Запишем систему уравнений (4.44) с учетом (4.39), (4.45), (4.48) в новых переменных и в зависимости от новых параметров В (4.49), (4.50) имеем $\chi _{j}^{1}(\alpha ,\varepsilon ) = {{\chi }_{j}}(\alpha ,\varepsilon ){\text{/}}\varepsilon ,$ $\sigma _{j}^{1}(\alpha ,\varepsilon ) = {{\sigma }_{j}}(\alpha ,\varepsilon ){\text{/}}\varepsilon $ – непрерывные при $0 \leqslant \varepsilon < {{\varepsilon }_{0}}$ функции,

Поведение решений системы уравнений (4.49), (4.50) при малых $\varepsilon $ определяется в основном (см., например, [24]) поведением решений главной части уравнений “медленных” переменных (4.49)

где $\chi _{j}^{*}(\alpha ) = \chi _{j}^{1}(\alpha ,0)$. Так, экспоненциально устойчивым состояниям равновесия (4.51) вида $({{\rho }_{{*1}}},0)$ и $(0,{{\rho }_{{*2}}})$ при малых $\varepsilon $ в (4.49), (4.50) и системе уравнений (4.44) соответствуют периодические решения с периодами, близкими к $2\pi {\text{/}}{{\omega }_{{*1}}}$ и $2\pi {\text{/}}{{\omega }_{{*2}}}$, соответственно, и того же характера устойчивости. Состоянию равновесия вида $({{\rho }_{{*1}}},{{\rho }_{{*2}}}),$ ${{\rho }_{{*j}}} > 0$ в (4.49), (4.50) и (4.44) соответствует двумерный инвариантный тор, характер устойчивости которого определяется устойчивостью (неустойчивостью) состояния равновесия. Отметим, что система уравнений (4.51) может иметь периодические решения лишь в исключительных (вырожденных) случаях. Численный анализ, выполненный для различных значений параметров $T,\;D,\;\gamma $ показал, что в точках ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$, являющихся точками пересечения замкнутых ветвей границы области ${{D}_{0}}$, отвечающих различным значениям $n,n + 1$, всегда выполнены следующие неравенства: ${{a}_{{jk}}}(0) < 0,$ $j,k = 1,2,$ $\Delta = {{a}_{{11}}}(0){{a}_{{22}}}(0) - {{a}_{{12}}}(0){{a}_{{21}}}(0) < 0$. Эти условия считаем в дальнейшем выполненными. Система уравнений вида (4.51) подробно проанализирована в работе [25]. В нашем случае система уравнений (4.51) легко анализируется непосредственно. Формулы состояний равновесия (4.51) имеют вид В соответствии с этим на плоскости ${{\varepsilon }_{1}},\;{{\varepsilon }_{2}}$ определим прямые (лучи), выходящие из нулевой точки: ${{\Gamma }_{1}}:\chi _{1}^{*}(\alpha ) = 0,$ ${{\Gamma }_{2}}:\chi _{2}^{*}(\alpha ) = 0,$ ${{\Gamma }_{3}}: - {{a}_{{22}}}(0)\chi _{1}^{*}(\alpha ) + {{a}_{{12}}}(0)\chi _{2}^{*}(\alpha ) = 0,$ ${{\Gamma }_{4}}:{{a}_{{21}}}(0)\chi _{1}^{*}(\alpha ) - {{a}_{{11}}}(0)\chi _{2}^{*}(\alpha ) = 0$. Бифуркационная диаграмма и соответствующие фазовые портреты (4.51) в зависимости от $\alpha $ приведены на фиг. 9. Диаграмма приведена применительно к рассматриваемой точке. В других точках границы области ${{D}_{0}}$ расположение прямых ${{\Gamma }_{j}}$ может быть несколько иным, но характер фазовых перестроек остается неизменным.

Каждому состоянию равновесия вида (4.52) в начально-краевой задачe (2.1), (2.2) соответствует периодическое решение вида (4.37) (ротационная волна), принадлежащее ${{S}_{{{{u}_{ * }}}}}(R)$, аналогичного с состоянием равновесия характера устойчивости. Доказательство этого утверждения проводится по изложенной выше схеме. Состоянию равновесия (4.53) в (2.1), (2.2) соответствует двумерный инвариантный тор, принадлежащий ${{S}_{{{{u}_{ * }}}}}(R)$, в нашем случае он всегда неустойчив.

Таким образом, бифуркационный сценарий с окрестности точки ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$ пересечения замкнутых кривых, соответствующих значениям $n$ и $n + 1$ границы области ${{D}_{0}}$, выглядит следующим образом. При $\theta < {{\theta }_{*}}$ и $K > {{K}_{*}}$ в ${{S}_{{{{u}_{ * }}}}}(R)$ имеется единственное устойчивое периодическое решение вида (4.37) – ротационная волна, соответствующая значению $n$. При увеличении $\theta $ из состояния равновесия ${{u}_{*}}$ бифурцирует неустойчивое периодическое решение вида (4.37) – ротационная волна, соответствующая значению $n + 1$. При дальнейшем увеличении $\theta $ из этого периодического решения бифурцирует неустойчивый двумерный инвариантный тор, делая периодическое решение асимптотически орбитально устойчивым. Таким образом, в ${{S}_{{{{u}_{ * }}}}}(R)$ имеется два устойчивых периодических решения, являющихся ротационными волнами, и неустойчивый инвариантный тор. При дальнейшем увеличении $\theta $ неустойчивый инвариантный тор “влипает” в устойчивое периодическое решение, соответствующее значению $n$, делая его неустойчивым. В дальнейшем это неустойчивое периодическое решение “влипает” в неустойчивое состояние равновесия ${{u}_{*}}$. В окрестности ${{u}_{*}}$ остается одна ротационная волна, соответствующая значению $n + 1$.

Случай, когда пучoк операторов (3.7) при ${{K}_{*}},\;{{\theta }_{*}}$ имеет пару комплексно сопряженных чисто мнимых точек спектра и двухкратную нулевую точку спектра, а остальные точки спектра имеют отрицательные вещественные части, рассматривается аналогично. При этом роль одной спиральной волны будет играть однопараметрическое семейство пространственно неоднородных состояний равновесия. Также аналогично рассматривается случай, когда одна собственная функция пучка операторов не зависит от $\phi $ (отмеченный * на фиг. 5). В этом случае одно бифурцирующее периодическое решение является пространственно однородным.