Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 5, стр. 696-705

1. ВВЕДЕНИЕ

Некоторые важные классы матриц характеризуются в терминах такого оператора $\mathfrak{C}$, что для любой матрицы $A$ из заданного класса ранг матрицы $\mathfrak{C}(A)$ (который называется рангом смещения матрицы $A$) достаточно мал. Формула смещения позволяет выразить исходную матрицу $A$ как сумму произведений матриц, принадлежащих двум структурированным матричным алгебрам, причем количество слагаемых совпадает с рангом смещения матрицы $A$.

Известны формулы, позволяющие разложить семейства матриц, расширяющие классы тёплицевых, ганкелевых, сумм тёплицевых и ганкелевых матриц, а также матриц Вандермонда, в короткие суммы произведений нижних и верхних тёплицевых, циркулянтных, и $\tau $-матриц. Соответствующие формулы смещения можно найти в [1]–[8].

Матричные алгебры, использующиеся в формулах смещения, обладают свойствами симметричности, эрмитовости или персимметричности. Для обобщения перечисленных свойств мы вводим и исследуем понятия $J$-эрмитовости матрицы и замкнутости матричной алгебры относительно $J$-сопряжения. Они естественно обобщают классическое понятие эрмитовости матриц. В качестве приложения мы приводим теорему о формулах смещения с использованием алгебр, замкнутых относительно $J$-сопряжения. Она обобщает теоремы о формулах смещения в [1], [2], поскольку предположения о симметричности или персимметричности матриц алгебры содержатся в предположении о замкнутости относительно $J$-сопряжения. На самом деле, для алгебр, чьи элементы суть полиномы от фиксированной циклической матрицы (матрицы, минимальный многочлен которой совпадает с характеристическим), в [3] было показано, что ограничения на структуру алгебры не нужны. Однако из нашей теоремы следуют формулы низкой сложности, связанные с алгебрами, которые не порождаются одним элементом. Более того, алгебры, использованные в [9], имеют размерность большую, чем размер матриц, что может быть использовано для уменьшения числа слагаемых в формуле смещения. Эти алгебры являются замкнутыми относительно $J$-сопряжения, но не порождаются одним элементом. Мы планируем обобщить теорему для работы с подобными алгебрами.

В разд. 2 вводится понятие $J$-эрмитовости, и показывается, каким образом оно обобщает классическую эрмитовость. В разд. 3 мы исследуем свойства алгебр, замкнутых относительно $J$-сопряжения, и показываем, что многие известные алгебры тёплицевых, циркулянтных, антициркулянтных и ${{\tau }_{{\varepsilon ,\varphi }}}$-матриц являются замкнутыми относительно $J$-сопряжения. В разд. 4 теоремы из [1], [2] обобщаются на случай замкнутых относительно $J$-сопряжения алгебр, а известные формулы смещения получаются как следствия. В разд. 5 подведены итоги работы.

2. J-ЭРМИТОВЫ МАТРИЦЫ

Определение 1. Пусть $J$ – унитарная эрмитова комплексная матрица размера $n \times n$. Комплексная матрица $A$ размера $n \times n$ называется $J$-эрмитовой, если $JAJ = {{A}^{h}}$.

Отметим, что $A$ является $J$-эрмитовой тогда и только тогда, когда $JA = {{A}^{h}}J = {{(JA)}^{h}}$. Иначе говоря, $A$ является $J$-эрмитовой тогда и только тогда, когда $JA$ эрмитова.

Рассмотрим несколько примеров. Любая эрмитова матрица является $J$-эрмитовой для $J = I$. Если $J$ является матрицей перестановки следующего вида (обменной матрицей)

то J-эрмитовость матрицы является обобщением понятия персимметричности для комплексных матриц. Например, матрица Z является J-эрмитовой для вышеописанной матрицы J: $J$-эрмитовы матрицы обладают свойствами, аналогичными свойствам эрмитовых матриц. Например, если две эрмитовы матрицы коммутируют, то их произведение также является эрмитовым. Обобщение этого утверждения на случай $J$-эрмитовых матриц тривиально.

Предложение 1. Если две $J$-эрмитовых матрицы коммутируют, то их произведение $J$-эрмитово.

Известно, что любая матрица представляется в виде суммы эрмитовой и косоэрмитовой матриц. Следующее предложение содержит обобщение этого факта, использующее $J$-эрмитовость.

Предложение 2. Любая матрица $H$ представима в виде $H = {{H}_{1}} + i{{H}_{2}}$, где ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$ – $J$-эрмитовы.

Доказательство. Матрицы

являются $J$-эрмитовыми и, очевидно,

3. АЛГЕБРЫ, ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО $J$-СОПРЯЖЕНИЯ

Определение 2. Пусть $J$ – унитарная эрмитова комплексная $n \times n$ матрица. Множество комплексных $n \times n$ матриц $H$ называется замкнутым относительно $J$-сопряжения, если ${{(JXJ)}^{h}} \in \mathcal{H}$ для любого $X \in \mathcal{H}$. В частном случае $J = I$ множество, замкнутое относительно $J$-сопряжения, называется замкнутым относительно сопряжения.

Пример 1. Рассмотрим несколько примеров.

• Очевидно, любое множество эрмитовых матриц замкнуто относительно сопряжения.

• Пусть $U$ – унитарная матрица. Тогда множество $\mathcal{U} = {\text{\{ }}UD{{U}^{h}}\,|\,D\;{\text{диагональна\} }}$ является алгеброй матриц, одновременно диагонализуемых матрицей $\mathcal{U}$ (SDU-алгеброй). Алгебра $U$ замкнута относительно сопряжения. Действительно, если $X = U\operatorname{diag} ({{\lambda }_{i}}){{U}^{h}}$, то

• Пусть $U$ – унитарная матрица, а $P$ – симметричная матрица перестановки. Тогда множество $\mathcal{U} = \{ U({{D}_{1}} + {{D}_{2}}P){{U}^{h}}\,|\,{{D}_{1}}\;{\text{и}}\;{{D}_{2}}\;{\text{диагональны}}\} $ является алгеброй матриц, замкнутой относительно сопряжения. Действительно, если $X = U({{D}_{1}} + {{D}_{2}}P){{U}^{h}}$, то

• так как $PD_{2}^{h}P$ диагональна.

• Алгебры ${{\tau }_{{\alpha ,\beta }}}$, введенные в [2], замкнуты относительно сопряжения. Они определяются как алгебры, состоящие из полиномов от матрицы

для некоторых вещественных $\alpha $ и $\beta $.

• Если $J$ – это обменная матрица, то каждая замкнутая относительно сопряжения персимметричная алгебра является замкнутой относительно $J$-сопряжения. Рассмотрим несколько примеров:

– Множество тёплицевых матриц.

– Множество верхних (нижних) треугольных тёплицевых матриц.

– Множества циркулянтных и антициркулянтных матриц.

– Матричная $\tau $-алгебра.

– Алгебры ${{\mathcal{C}}_{e}}$ = {${{C}_{1}} + J{{C}_{2}}\,|\,{{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ циркулянтны${\text{\} }}$ и ${{\mathcal{S}}_{e}}$ = {${{S}_{1}} + J{{S}_{2}}\,|\,{{S}_{1}}$ и ${{S}_{2}}$ антициркулянтны${\text{\} }}$ (они имеют размерность больше, чем $n$, см. [9]).

Предложение 3. Если $H$ есть $J$-эрмитова матрица, то верно следующее:

• алгебра $\mathcal{H}$, порожденная матрицей $H$, замкнута относительно $J$-сопряжения;

• коммутант множества ${\text{\{ }}H{\text{\} }}$ (множество матриц, коммутирующих с $H$) замкнут относительно $J$-сопряжения.

Тривиальное доказательство оставляется читателю. Пусть, например, $J$ является обменной матрицей. Рассмотрим алгебру $\mathcal{H}$, порожденную матрицей $Z$ из (1). Поскольку $Z$ является $J$-эрмитовой, алгебра $\mathcal{H}$ замкнута относительно $J$-сопряжения. Если $Z$ – циклическая матрица, известно, что коммутант множества ${\text{\{ }}Z{\text{\} }}$ равен $\mathcal{H}$.

Из предложения 2 легко вывести следующее полезное утверждение.

Следствие 1. Пусть $\mathcal{H}$ – алгебра, замкнутая относительно $J$-сопряжения. Тогда любая матрица $H \in \mathcal{H}$ представима в виде $H = {{H}_{1}} + i{{H}_{2}}$, где ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$ суть $J$-эрмитовы матрицы из $\mathcal{H}$. Более того, $\mathcal{H}$ имеет базис, состоящий из $J$-эрмитовых матриц.

Предложение 4. Пусть $\mathcal{H}$ есть $n$-мерная коммутативная алгебра, замкнутая относительно $J$-сопряжения, порожденная матрицей $H$. Тогда найдется $J$-эрмитова матрица $H{\kern 1pt} '$, которая порождает алгебру $\mathcal{H}$.

Доказательство. Рассмотрим разложение $H = {{H}_{1}} + i{{H}_{2}}$, где ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$ суть $J$-эрмитовы. Рассмотрим жорданово разложение матрицы $H$. $H$ является циклической матрицей, а значит, на каждое собственное значение приходится ровно один жорданов блок:

Поскольку матрицы $X{{H}_{1}}{{X}^{{ - 1}}}$ и $X{{H}_{2}}{{X}^{{ - 1}}}$ коммутируют с $XH{{X}^{{ - 1}}}$, они являются блочно-диагональными матрицами с верхними треугольными тёплицевыми блоками: Для доказательства утверждения достаточно доказать существование таких $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$, что $\forall i = 1,\; \ldots ,\;n$ матрица $\alpha {{T}_{i}} + \beta {{\tilde {T}}_{i}} = {{T}_{{i,\alpha ,\beta }}}$ является циклической, и ${{({{T}_{{i,\alpha ,\beta }}})}_{{11}}} \ne {{({{T}_{{j,\alpha ,\beta }}})}_{{11}}}$ $\forall i \ne j$.

Мы знаем, что матрица ${{T}_{i}} + j{{\tilde {T}}_{i}} = {{K}_{i}}$ циклическая для всех $i$. Значит, $\forall i$, для почти всех $(\alpha ,\beta ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, $\alpha {{T}_{i}} + \beta {{\tilde {T}}_{i}}$ – тёплицева матрица с ненулевыми числами над главной диагональю. Эта матрица является циклической, так как ${{T}_{{i,\alpha ,\beta }}} - {{({{T}_{{i,\alpha ,\beta }}})}_{{11}}}I$ содержит $(n - 1) \times (n - 1)$ невырожденную подматрицу.

Более того, поскольку ${{({{K}_{i}})}_{{11}}} \ne {{({{K}_{j}})}_{{11}}}$ $\forall i \ne j$, для почти всех $(\alpha ,\beta ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ выполнено ${{(\alpha {{T}_{i}} + \beta {{\tilde {T}}_{i}})}_{{11}}} \ne {{(\alpha {{T}_{j}} + \beta {{\tilde {T}}_{j}})}_{{11}}}$, так что существует такое $(\alpha ,\beta ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, что матрица $\alpha X{{H}_{1}}{{X}^{{ - 1}}} + \beta X{{H}_{2}}{{X}^{{ - 1}}}$ циклическая.

Теперь мы вводим важное для вывода формул смещения понятие.

Определение 3. Пусть $\mathcal{H}$ есть $n$-мерная матричная алгебра.

• Говорят, что вектор $w \in {{\mathbb{C}}^{n}}$ характеризует $\mathcal{H}$ строчно, если $\forall x \in {{\mathbb{C}}^{n}}$ существует единственная матрица ${{\mathcal{H}}_{{(w)}}}(x) \in \mathcal{H}$, удовлетворяющая равенству ${{w}^{t}}{{\mathcal{H}}_{{(w)}}}(x) = {{x}^{t}}$.

• Говорят, что вектор $\exists {v} \in {{\mathbb{C}}^{n}}$ характеризует $\mathcal{H}$ столбцово, если $\forall y \in {{\mathbb{C}}^{n}}$ существует единственная матрица, ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(y) \in \mathcal{H}$, удовлетворяющая равенству ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(y){v} = y$.

Два типа характеризации для замкнутых относительно $J$-сопряжения алгебр связаны между собой следующим тривиальным утверждением.

Предложение 5. Если $\mathcal{H}$ – алгбера, замкнутая относительно $J$-сопряжения, а ${v}$ характеризует $\mathcal{H}$ столбцово, то ${{J}^{t}}{\bar {v}}$ характеризует $\mathcal{H}$ строчно.

Для коммутативных алгебр выполнено также следующее элементарное равенство.

Предложение 6. Пусть $\mathcal{H}$ есть $n$-мерная коммутативная матричная алгебра:

• если $w$ характеризует $\mathcal{H}$ строчно, то ${{y}^{t}}{{\mathcal{H}}_{{(w)}}}(x) = {{x}^{t}}{{\mathcal{H}}_{{(w)}}}(y)$ $\forall x,y \in {{\mathbb{C}}^{n}}$;

• если ${v}$ характеризует $\mathcal{H}$ столбцово, то ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(y)x = {{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(x)y$ $\forall x,y \in {{\mathbb{C}}^{n}}$.

Теорема 2.5 в [10] утверждает, что если $\mathcal{H}$ порождена циклической матрицей $H$, то найдутся два вектора, которые характеризуют ее строчно и столбцово соответственно. Однако не каждая матричная алгебра размерности $n$ порождается одним элементом, даже если существуют векторы, которые характеризуют ее. Далее приведен пример такой алгебры, причем каждый ее элемент не является циклическим.

Пример 2:

Для каждой матрицы $H \in \mathcal{H}$, $H - {{H}_{{11}}}I$ – матрица ранга не больше, чем $n - 2$, так что собственное значение ${{H}_{{11}}}$ имеет геометрическую кратность не меньше, чем $2$, а значит, матрица $H$ не может быть циклической. Если $J$ – обменная матрица, то $\mathcal{H}$ замкнута относительно $J$-сопряжения, характеризуется строчно вектором ${{e}_{1}}$ и столбцово вектором ${{e}_{n}}$.

Если $\mathcal{U}$ – SDU-алгебра, то легко получить явное выражение для матриц ${{\mathcal{U}}^{{({v})}}}(z)$ и ${{\mathcal{U}}_{{(w)}}}(z)$.

Предложение 7. Пусть $\mathcal{U}$ есть SDU-алгебра.

• Если ${v}$ – такой вектор, что ${{({{U}^{h}}{v})}_{i}} \ne 0$ $\forall i$, то

• Если $w$ – такой вектор, что ${{({{w}^{t}}U)}_{i}} \ne 0$ $\forall i$, то

Если $L = \operatorname{diag} {{({{U}^{h}}{v})}^{{ - 1}}}{{U}^{h}}$, то собственные значения матрицы ${{\mathcal{U}}^{{({v})}}}(z)$ совпадают с компонентами вектора $Lz$. Таким образом, эрмитовы элементы алгебры $\mathcal{U}$ образуют множество $\{ {{\mathcal{U}}^{{({v})}}}(z)\,|\,Lz\; - \;{\text{вещественный}}\;{\text{вектор}}\} $. Этот результат можно обобщить на случай алгебр, замкнутых относительно $J$-сопряжения.

Предложение 8. Пусть $\mathcal{H}$ есть $n$-мерная коммутативная алгебра, замкнутая относительно $J$-сопряжения, а ${v}$ – вектор, характеризующий $\mathcal{H}$ столбцово. Тогда существует такая невырожденная матрица $L$, зависящая от ${v}$, что

Доказательство. Для начала рассмотрим $J$-эрмитову матрицу $H \in \mathcal{H}$. Если $H{v} = x$, то $H = {{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(x)$. Из предложения 1 вытекает, что число

является вещественным для всех таких $y$, что матрица ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(y)$ есть $J$-эрмитова.

Ввиду следствия 1, $\mathcal{H}$ допускает базис $\{ {{\mathcal{H}}^{{({v})}}}({{y}_{i}})\} _{{i = 1}}^{n}$, состоящий из $J$-эрмитовых матриц. Векторы ${{y}_{1}},\; \ldots ,\;{{y}_{n}}$, очевидно, линейно независимы. Определив матрицу $L$ равенствами

получаем, что $L$ невырождена, а $LJx$ веществен.

Чтобы доказать обратное включение, рассмотрим матрицу ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(x)$, не являющуюся $J$-эрмитовой. Пользуясь следствием 1, мы можем записать равенство

где ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}({{x}_{2}})$ – ненулевая $J$-эрмитова матрица. Тогда $LJx = LJ{{x}_{1}} + iLJ{{x}_{2}}$ не веществен, так как векторы $LJ{{x}_{2}}$ и $LJ{{x}_{1}}$ вещественны, а $LJ{{x}_{2}}$ отличен от нуля.

В случае когда $w$ характеризует алгебру строчно, можно доказать существование такой невырожденной матрицы $M$, зависящей от $w$, что ${{\mathcal{H}}_{{(w)}}}(x)$ есть $J$-эрмитова тогда и только тогда, когда ${{x}^{t}}JM$ веществен.

4. ТЕОРЕМЫ СМЕЩЕНИЯ ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО $J$-СОПРЯЖЕНИЯ АЛГЕБР

В качестве приложения в этом разделе мы докажем обобщения теорем из [1], [2], использующихся в разложениях смещения замкнутых относительно $J$-сопряжения алгебр.

В [3] используются алгебры, порожденные циклической матрицей. Приведем основной результат.

Теорема 1 (см. 6 в [3]). Пусть $H$ – циклическая матрица, порождающая алгебру $\mathcal{H}$, вектор ${v}$ характеризует $\mathcal{H}$ столбцово, а $w$ характеризует $\mathcal{H}$ строчно. Рассмотрим алгебру $\mathcal{K}$, порожденную матрицей $K = H + {v}{{w}^{t}}$. Для любой матрицы $A$, если

то

Ниже мы получим аналогичный результат для алгебр, замкнутых относительно $J$-сопряжения. Для алгебр, порожденных циклическим элементом, наш результат слабее, чем теорема 1. Однако наша теорема подходит для работы с алгебрами, которые не порождаются одной матрицей, как в примере 2 и в [9]. Более того, из нижеследующей теоремы можно вывести значительную часть известных формул смещения.

Предположим, что $\mathcal{H}$ и $\mathcal{K}$ – две $n$-мерные коммутативные матричные алгебры, замкнутые относительно $J$-сопряжения. Более того, пусть $H \in \mathcal{H}$, $K \in \mathcal{K}$ суть $J$-эрмитовы матрицы, ${v} \in {{\mathbb{C}}^{n}}$, причем $H + {v}{{{v}}^{h}}J = K$. Наконец, пусть вектор ${v}$ характеризует $\mathcal{H}$ столбцово, а вектор $w = {{({{{v}}^{h}}J)}^{t}}$ характеризует $\mathcal{K}$ строчно.

Замечание 1. Для SDU-алгебр, если $U[z] + Ux{{x}^{h}}{{U}^{h}} = \mathcal{V}[z{\text{'}}]$, где ${{x}_{i}} \ne 0$ $\forall i$, а $Ux$ характеризует алгебру $\mathcal{U}$, то унитарная матрица $W = {{U}^{h}}V$ такова, что ${{U}^{h}}VD(z{\text{'}}){{V}^{h}}U = D(z) + x{{x}^{h}}$. Следовательно, столбцы ${\text{\{ }}{{w}_{i}}{\text{\} }}$ матрицы $W$ являются собственными векторами матрицы $D(z) + x{{x}^{h}}$:

Следовательно, а значит, $W$ – унитарная матрица типа Коши. Таким образом, для рассмотрения SDU-алгебр, удовлетворяющих условиям теоремы 2, придется исследовать унитарные матрицы типа Коши.

Определение 4. $J$-разложением матрицы $A \in {{\mathbb{C}}^{{n \times n}}}$ мы будем называть разложение

где векторы ${{x}_{m}}$, ${{y}_{m}}$ таковы, что ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}({{x}_{m}})$ и ${{\mathcal{K}}_{{(w)}}}({{y}_{m}})$ являются $J$-эрмитовыми.

Из следствия 1 и предложения 8 следует, что существуют такие $L$, $M$ (зависящие от алгебр $\mathcal{K}$, $\mathcal{H}$ и векторов ${v}$, $w$), что у матрицы $A$ имеется $J$-разложение тогда и только тогда, когда $LJAJM$ – вещественная матрица. Следовательно, если у $A$ существует $J$-разложение, то также существует “оптимальное” $J$-разложение, в котором число слагаемых совпадает с рангом матрицы $A$ (достаточно рассмотреть вещественное скелетное разложение матрицы $LJAJM = \sum {e{{x}_{m}}\tilde {y}_{m}^{t}} $, а потом разложение матрицы $A = \sum {J{{L}^{{ - 1}}}{{{\tilde {x}}}_{m}}\mathop {\tilde {y}}\nolimits_m^t {{M}^{{ - 1}}}J} $).

Лемма 1. Если у $A$ существует $J$-разложение, то у $AH - HA$ также существует $J$-разложение.

Доказательство. Рассмотрим $J$-разложение $A = \sum\nolimits_{i = 1}^l {{{x}_{i}}} y_{i}^{t}$ и скелетное разложение коммутатора

Чтобы показать, что мы получили $J$-разложение, достаточно доказать, что ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(H{{x}_{i}})$ и ${{\mathcal{K}}_{{(w)}}}({{H}^{t}}{{y}_{i}})$ являются $J$-эрмитовыми. Из равенства следует, что матрица ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(H{{x}_{i}})$ – $J$-эрмитова, поскольку она равна произведению коммутирующих $J$-эрмитовых матриц.

Теперь для матрицы ${{\mathcal{K}}_{{(w)}}}({{H}^{t}}{{y}_{i}})$ запишем равенство:

Матрица ${{\mathcal{K}}_{{(w)}}}({{y}_{i}})K$, очевидно, $J$-эрмитова. Для завершения доказательства осталось показать, что число $(y_{i}^{t}{v})$ вещественно: Значит, матрица $(y_{i}^{t}{v})I = (y_{i}^{t}{v})JJ$ также $J$-эрмитова.

Лемма 2 (см. [1], [11]). Пусть $A \in {{\mathcal{C}}^{{n \times n}}}$ и ${{\mathfrak{C}}_{H}}(A) = AH - HA = \sum\nolimits_{i = 1}^k {{{x}_{i}}} y_{i}^{t}$. Тогда

Доказательство:

где последнее равенство следует из совпадения характеристических многочленов матриц $\tilde {H}AH$ и $H\tilde {H}A$.

Теорема 2. Пусть $\mathcal{H}$ и $\mathcal{K}$ суть $n$-мерные коммутативные матричные алгебры, замкнутые относительно $J$-сопряжения. Пусть $H \in \mathcal{H}$, $K \in \mathcal{K}$ суть $J$-эрмитовы матрицы, $\exists {v} \in {{\mathbb{C}}^{n}}$, причем $H + {v}{{{v}}^{h}}J = K$, вектор ${v}$ характеризует $\mathcal{H}$ столбцово, а вектор $w = {{({{{v}}^{h}}J)}^{t}}$ характеризует $\mathcal{K}$ строчно.

1. Для любой $A \in {{\mathbb{C}}^{{n \times n}}}$, если ${{\mathfrak{C}}_{H}}(A) = AH - HA = \sum\nolimits_{i = 1}^k {{{x}_{i}}y_{i}^{t}} ,$ то

где $C$ — матрица, коммутирующая с $H$.

2. Если $H$ является циклической, то $C = {{\mathcal{H}}^{{({v})}}}(A{v})$.

Доказательство. Матрица $C$ коммутирует с $H$ тогда и только тогда, когда

Рассмотрим подробнее правую часть последнего равенства: Значит, для завершения доказательства первой части достаточно показать, что Из следствия 1 следует, что матрицы ${{\mathcal{H}}^{{({v})}}}({{x}_{i}})$, ${{\mathcal{K}}_{{(w)}}}({{y}_{i}})$ могут быть представлены в виде линейных комбинаций $J$-эрмитовых матриц: Теперь имеем Положим Из предложения 8 и леммы 1 следует, что где ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{2}}$ определены в виде Значит, для завершения доказательства первой части достаточно показать равенства: Запишем подробнее $m$-й столбец в (4): Для преобразований мы использовали предложение 6, а последнее равенство вытекает из (3) и леммы 2. Аналогичным образом преобразуется $m$-я строка в (5), а значит, первая часть теоремы доказана.

Если матрица $H$ — циклическая, то коммутант множества ${\text{\{ }}H{\text{\} }}$ совпадает с алгеброй $\mathcal{H}$, а значит, $C$ принадлежит алгебре $\mathcal{H}$,

Значит, используя (2), получаем выражение для $\rho $: Теорема доказана.

Теперь мы хотим показать, что, с учетом примера 1, из теоремы 2 можно вывести некоторые известные формулы.

1. Формулы Гейдера в [7], использующие циркулянтные и треугольные тёплицевы матрицы:

где $J$ – обменная матрица.

2. Формулы Гохберга–Ольшевского в [4], использующие циркулянтные и антициркулянтные матрицы:

3. Формулы Гохберга–Семенцула в [5], использующие верхние и нижние треугольные тёплицевы матрицы:

4. Формулы Боццо–ди Фиоре в [2], использующие ${{\tau }_{{\varepsilon ,\varphi }}}$-алгебры с $\varepsilon ,\varphi = 0,\;1,\; - {\kern 1pt} 1$:

где $J = I$ – единичная матрица.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы ввели понятия $J$-эрмитовости и замкнутости множества матриц относительно $J$-сопряжения. В качестве приложения мы доказали теорему о формулах разложения смещения, которая обобщает и структурирует известные результаты. Поскольку эта теорема применима к алгебрам, отличным от алгебр полиномов от фиксированной матрицы, она может привести к новым формулам низкой сложности, связанным с алгебрами, не порожденными одним элементом. Также есть потенциал для обобщения на алгебры с размерностью, большей чем размер матрицы, таких как в [9]. Эти темы могут быть исследованы в будущем.

Мы с радостью отмечаем доброжелательность и эффективность организационного комитета конференции MMMA2019, а также вспоминаем множество прекрасных и важных моментов, проведенных в Москве вместе с участниками конференции, в Институте вычислительной математики им. Г.И. Марчука РАН, в Сколковском институте науки и технологий и в МГУ им. М.В. Ломоносова.