Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 7, стр. 1070-1081

Корпоративная динамика в цепочках связанных логистических уравнений с запаздыванием

С. А. Кащенко^*

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
150003 Ярославль, ул. Советская, 14, Россия

Поступила в редакцию 14.02.2020
После доработки 26.11.2020
Принята к публикации 11.03.2021

DOI: 10.31857/S0044466921070085

Аннотация

Рассматривается локальная динамика связанных цепочек одинаковых осцилляторов. В качестве базовой модели осциллятора предложено известное логистическое уравнение с запаздыванием. Осуществлен переход к изучению пространственно распределенной модели. Рассмотрены представляющие наибольший интерес два типа связей: диффузионные и однонаправленные. В задаче об устойчивости состояния равновесия выделены критические случаи. Они, как оказывается, имеют бесконечную размеренность: бесконечно много корней характеристического уравнения стремятся к мнимой оси при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего величину, обратную к числу элементов цепочки. В качестве основного результата построены специальные нелинейные краевые задачи, нелокальная динамика которых описывает поведение всех решений цепочки из окрестности состояния равновесия. Библ. 33.

Ключевые слова: бифуркации, устойчивость, нормальные формы, сингулярные возмущения, динамика.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время особое внимание уделяется таким важным объектам, как цепочки взаимодействующих осцилляторов. Эти цепочки возникают при моделировании многих прикладных задач в радиофизике (см. [1], [2]), лазерной оптике (см. [3]–[5]), механике (см. [6], [7]), теории нейронных сетей (см. [8], [9]), биофизике (см. [10]), математической экологии (см. [11]–[16]) и др. В данной работе исследуются актуальные для биофизики и математической экологии цепочки связанных логистических уравнений с запаздыванием. В качестве базового объекта рассматривается хорошо известное логистическое уравнение с запаздыванием

$\dot {u} = r\left[ {1 - u(t - T)} \right]u,$

где $u = u(t) \geqslant 0$ – нормированная численность (плотность) популяции в момент времени $t$, $r > 0$ – коэффициент мальтузианского роста, а коэффициент $T > 0$ – время запаздывания.

Отметим, что с помощью нормировки времени $t \to Tt$ можно коэффициент $T$ принять равным 1, а получившийся при этим коэффициент $rT$ можно опять переобозначить через $r$. Таким образом, далее в качестве базового рассматриваем уравнение

(1)

$\dot {u} = r\left[ {1 - u(t - 1)} \right]u,\quad u \geqslant 0.$

Напомним (см., например, [11]–[13]), что при условиях $0 < r \leqslant \tfrac{\pi }{2}$ состояние равновесия ${{u}_{0}} \equiv 1$ этого уравнения асимптотически устойчиво, а при $r > \tfrac{\pi }{2}$ в уравнении (1) существует устойчивый цикл.

При $0 < r - \tfrac{\pi }{2} \ll 1$ его асимптотика имеет вид

(2)

$u = 1 + {{\left( {r - \frac{\pi }{2}} \right)}^{{1/2}}}C{\kern 1pt} {\text{cos}}\left( {\left( {\frac{\pi }{2} + O\left( {r - \frac{\pi }{2}} \right)} \right)t} \right) + O\left( {r - \frac{\pi }{2}} \right),\quad C = {{\left( {40{{{(3\pi - 2)}}^{{ - 1}}}} \right)}^{{1/2}}}.$

При $r \gg 1$ соответствующий цикл имеет ярко выраженный релаксационный характер (см. [14]), причем и амплитуда цикла, и его период неограниченно растут при $r \to \infty $.

Цепочкой связанных логистических уравнений с запаздыванием называют систему из $N$ уравнений

(3)

${{u}_{j}} = r\left[ {1 - {{u}_{j}}(t - 1)} \right]{{u}_{j}} + d\left( {\sum\limits_{i = 1,i \ne j}^N {{{\alpha }_{{ij}}}} {{u}_{i}}(t) - {{u}_{j}}} \right),\quad j = 1,\;2,\; \ldots ,\;N,$

в которой удобно считать, что количество популяций $N$ является четным, а коэффициент $d$ положителен. Будем предполагать, что эта цепочка замкнута в кольцо, т.е. $j = \pm 1,\; \pm 2,\; \ldots $ и ${{u}_{{j + N}}} \equiv {{u}_{j}}(t)$.

Относительно коэффициентов ${{\alpha }_{{ij}}}$ примем три идеологически важных ограничения. Во-первых, из биологических соображений вытекает, что эти коэффициенты неотрицательны: ${{\alpha }_{{ij}}} \geqslant 0$, иначе при некоторых начальных условиях численность хотя бы одной из популяций может стать отрицательной. Во-вторых, предполагаем, что среда однородна. Это означает, что для коэффициентов связей ${{\alpha }_{{ij}}}$ выполнены условия ${{\alpha }_{{ij}}} = {{\alpha }_{{j - i}}}$, ${{\alpha }_{{j + N}}} = {{\alpha }_{j}}$, ${{\alpha }_{0}} = 0$. Тогда систему (3) можно представить в виде

(4)

${{u}_{j}} = r\left[ {1 - {{u}_{j}}(t - 1)} \right]{{u}_{j}} + d\left( {\sum\limits_{i = - \tfrac{1}{2}N}^{\tfrac{1}{2}N} {{{\alpha }_{{j - i}}}} {{u}_{i}}(t) - {{u}_{j}}(t)} \right).$

В-третьих, предполагаем, что выполнено условие

(5)

$\sum\limits_1^N {{{\alpha }_{j}}} = 1.$

Это означает, что в системе (4) имеются однородные решения

${{u}_{j}}(t) \equiv u(t),\quad j = 1,\;2,\; \ldots ,\;N,$

где $u(t)$ – решение уравнения (1).

Как одни из наиболее важных и часто встречающихся в приложениях, отметим два вида связей: 1) диффузионная связь, когда

(6)

${{\alpha }_{1}} = {{\alpha }_{{ - 1}}} = \frac{1}{2},\quad {{\alpha }_{j}} = 0\quad {\text{при}}\quad j = \pm {\kern 1pt} 2,\; \ldots ,\; \pm {\kern 1pt} \frac{1}{2}N,$

2) однонаправленная или адвективная связь, когда

(7)

${{\alpha }_{1}} = 1,\quad {{\alpha }_{j}} = 0\quad {\text{при}}\quad j = - 1,\; \pm {\kern 1pt} 2,\; \ldots ,\; \pm {\kern 1pt} \frac{1}{2}N.$

Значение ${{u}_{j}}(t)$ можно ассоциировать со значением плотности популяции с номером $j$, находящейся в точке некоторой “окружности” $L$ с угловой координатой ${{x}_{j}}$, т.е.

${{u}_{j}}(t) = u(t,{{x}_{j}}).$

Основное предположение в настоящей работе состоит в том, что значение $N$ предполагается достаточно большим, т.е. для параметра $\varepsilon = 2\pi {{N}^{{ - 1}}}$ выполнено условие

(8)

$0 < \varepsilon \ll 1.$

При малых $\varepsilon $ количество значений ${{x}_{j}}$ на окружности $L$ является достаточно большим, поэтому представляется естественным перейти от дискретной переменной ${{x}_{j}}$ к непрерывной пространственной переменной $x \in [0,2\pi ]$, имея в виду, что для $u(t,{{x}_{{j + n}}})$ выполнено равенство $u(t,x + \varepsilon n)$. В более общем случае система (4) принимает вид краевой задачи

(9)

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = r\left[ {1 - u(t - 1,x)} \right]u + d\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty F (s,\varepsilon )u(t,x + s)ds - u} \right),$

(10)

$u(t,x + 2\pi ) \equiv u(t,x).$

Относительно функции $F(s,\varepsilon )$ полагаем, что

(11)

$\int\limits_{ - \infty }^\infty F (s,\varepsilon )ds = 1,\quad F(s,\varepsilon ) \geqslant 0.$

Например, в случае (6) $F(s,\varepsilon ) = {{F}_{\delta }}(s + \varepsilon ) + {{F}_{\delta }}(s - \varepsilon )$, а в случае (7) $F(s,\varepsilon ) = {{F}_{\delta }}(s + \varepsilon )$. Здесь ${{F}_{\delta }}(s)$ – $\delta $-функция, сосредоточенная в точке $s = 0$, т.е. для любого $\delta > 0$ имеем $\int_{ - \delta }^\delta {{{F}_{\delta }}} (s)ds = 1$.

Ниже будем рассматривать достаточно гладкие функции $F(s,\varepsilon )$. По-видимому, наиболее важным с прикладной точки зрения являются функции $F$, состоящие из комбинаций функций вида ${{c}_{1}}exp\left( { - {{{(s - {{c}_{2}})}}^{2}}{{\sigma }^{{ - 2}}}} \right)$ ($\sigma > 0,{{c}_{{1,2}}}$ – некоторые постоянные). Так, обобщением диффузионного типа связей является функция

(12)

$F(s,\varepsilon ) = \frac{1}{{2\sigma \sqrt \pi }}\left[ {exp\left( { - {{{(s + \varepsilon )}}^{2}}{{\sigma }^{{ - 2}}}} \right) + exp\left( { - {{{(s - \varepsilon )}}^{2}}{{\sigma }^{{ - 2}}}} \right)} \right],$

а обобщением одностороннего типа связей – функция

(13)

$F(s,\varepsilon ) = \frac{1}{{\sigma \sqrt \pi }}exp\left( { - {{{(s + \varepsilon )}}^{2}}{{\sigma }^{{ - 2}}}} \right).$

В качестве фазового пространства, т.е. пространства начальных условий, фиксируем ${{C}_{{[ - 1,0] \times [0,2\pi ]}}}$ пространство непрерывных на отрезке $t \in [ - 1,\;0]$ и непрерывных и $2\pi $-периодических по пространственной переменной функций.

Краевая задача (9), (10) имеет однородное состояние равновесия $u(t,x) \equiv {{u}_{0}} = 1$. Поставим вопрос об исследовании при малых $\varepsilon $ локальной динамики (9), (10), т.е. об исследовании поведения при $t \to \infty $ всех решений (9), (10) с начальными условиями из некоторой достаточно малой в норме ${{C}_{{[ - 1,0] \times [0,2\pi ]}}}$ и не зависящей от $\varepsilon $ окрестности состояния равновесия ${{u}_{0}}$.

Тем самым речь идет об изучении динамики распределенных цепочек логистических уравнений с запаздыванием. Отметим, что исследованию динамики в различных цепочках связанных систем были посвящены результаты многих авторов (см., например, [17]–[24]). В настоящей работе, используя специальные методы локального анализа (см. [25]–[28]), будут построены квазинормальные формы – эволюционные краевые задачи, нелокальная динамика которых определяет поведение всех решений исходной краевой задачи (7), (6) в окрестности ${{u}_{0}}$.

Приведем без доказательства два стандартных утверждения, являющихся аналогом классических теорем А.М. Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Рассмотрим линеаризованную в окрестности ${{u}_{0}}$ краевую задачу

(14)

$\frac{{\partial {v}}}{{\partial t}} = - r{v}(t - 1,x) + d\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty F (s,\varepsilon ){v}(t,x + s)ds - {v}} \right),$

(15)

${v}(t,x + 2\pi ) \equiv {v}(t,x).$

Характеристическое уравнение для нее имеет вид

(16)

$\begin{gathered} \lambda + rexp( - \lambda ) = d\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty F (s,\varepsilon )exp(iks)ds - 1} \right), \\ k = 0,\; \pm {\kern 1pt} 1,\; \pm {\kern 1pt} 2,\; \ldots \\ \end{gathered} $

Теорема 1. Пусть все корни уравнения (16) имеют отрицательную вещественную часть и отделены от мнимой оси при $\varepsilon \to 0$. Тогда найдется такое ${{\varepsilon }_{0}} > 0$, что при всех $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}})$ все решения краевой задачи (9), (10) из некоторой достаточно малой и не зависящей от $\varepsilon $ окрестности состояния равновесия ${{u}_{0}}$ стремятся к ${{u}_{0}}$ при $t \to \infty $.

Теорема 2. Пусть уравнение (16) имеет корень с положительной и отделенной от нуля при $\varepsilon \to 0$ вещественной частью. Тогда при малых $\varepsilon $ состояние равновесия ${{u}_{0}}$ в (9), (10) неустойчиво и в некоторой достаточной малой и не зависящей от $\varepsilon $ окрестности ${{u}_{0}}$ не существует аттрактора этой краевой задачи.

Таким образом, в условиях теоремы 1 поставленная задача о локальной в окрестности ${{u}_{0}}$ динамике тривиальна, а в условии теоремы 2 она не может быть исследована методами локального анализа.

Ниже будем предполагать, что реализуется критический случай, т.е. уравнение (16) не имеет корней с положительной и отделенной от нуля при $\varepsilon \to 0$ вещественной частью, но существует корень, вещественная часть которого стремится к нулю при $\varepsilon \to 0$.

Ограничимся здесь рассмотрением только указанных выше двух наиболее важных и интересных случаев, когда выполнены условия (12) или (13). Отметим, что методика рассмотрения общего случая та же, что и для этих двух случаев. Важно подчеркнуть, что будет рассмотрена ситуация, когда в (12), (13) параметр $\sigma $ является достаточно малым, что приведет к появлению новых динамических эффектов. В связи с этим интересно выявить роль диффузионного слагаемого, когда в (9) добавляется выражение $\varkappa \tfrac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}$, причем коэффициент $\varkappa $ тоже является малым параметром. Тем самым будет рассмотрена краевая задача

(17)

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = r\left[ {1 - u(t - 1,x)} \right]u + d\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty F (s,\varepsilon )u(t,x + s)ds - u} \right) + \varkappa \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}},$

(18)

$u(t,x + 2\pi ) \equiv u(t,x).$

В следующем разделе рассмотрены вопросы о динамике краевой задачи (9), (10) в случае связей диффузионного типа. Показано, что в зависимости от величины параметра $\sigma $ могут реализоваться принципиально различные ситуации. Все они описаны в соответствующих подразделах. В разд. 2 исследуется динамика (9), (10) при односторонних связях.

Будут построены специальные нелинейные краевые задачи, не содержащие малых параметров, которые играют роль нормальных форм. Кроме этого, будет рассмотрена важная задача о взаимодействующих осцилляторах в цепочке со слабыми связями. Речь пойдет об изучении динамики в случае, когда параметр $\varkappa $ является достаточно малым. В заключительном разделе сформулированы выводы.

1. ДИНАМИКА ЦЕПОЧЕК В СЛУЧАЕ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА СВЯЗЕЙ

Предполагаем, что функция $F(s,\varepsilon )$ задана равенством (12). В зависимости от параметра $\sigma $ можно выделить три принципиально различные ситуации. В первой из них, самой простой, предполагается, что параметр $\sigma > 0$ как-то фиксирован и, естественно, не зависит от малого параметра $\varepsilon $. Этот случай рассмотрен в п. 1.1. В п. 1.2 предполагаем, что найдется такое значение ${{\sigma }_{0}} > 0$, что

(19)

$\sigma = \varepsilon {{\sigma }_{0}}.$

При этом условии реализуется упомянутый выше критический случай бесконечной размерности. Наконец, в п. 1.3 предполагаем, что параметр $\sigma $ еще более мал: $\sigma = o(\varepsilon )$. Точнее, будем для некоторого фиксированного ${{\sigma }_{0}} > 0$ рассматривать соотношение

(20)

$\sigma = {{\varepsilon }^{2}}{{\sigma }_{0}}.$

Этот случай наиболее сложен и интересен. Он естественным образом обобщает случай “чисто диффузионных” связей, когда $\sigma \sim 0$.

1.1. Динамика цепочек при фиксированном значении $\sigma $

Фиксируем в формуле (12) произвольное значение ${{\sigma }_{0}} > 0$. Необходимое и достаточное условие отрицательности при всех $\varepsilon > 0$ вещественных частей всех собственных значений характеристических уравнений (16) состоит в выполнении неравенств

(21)

$0 < r < \frac{\pi }{2}.$

При условии $r = \tfrac{\pi }{2}$ уравнение (16) имеет ровно два чисто мнимых корня ${{\lambda }_{ \pm }} = \pm i\tfrac{\pi }{2}$, а вещественные части остальных коней отрицательны и отделены от нуля при $\varepsilon \to 0$. Тем самым выполнены условия хорошо изученной бифуркации Андронова–Хопфа. Пусть для произвольно фиксированного значения ${{r}_{1}}$ имеем

(22)

$r = \frac{\pi }{2} + {{\varepsilon }^{2}}{{r}_{1}}.$

Тогда близкие при $\varepsilon \ll 1$ к ${{\lambda }_{ \pm }}$ корни ${{\lambda }_{ \pm }}(\varepsilon )$ уравнения (16) имеют вид

(23)

$\begin{gathered} {{\lambda }_{ + }}(\varepsilon ) = {{\lambda }_{ - }}(\varepsilon ), \\ {{\lambda }_{ + }}(\varepsilon ) = i\frac{\pi }{2} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }_{{10}}} + O({{\varepsilon }^{4}}), \\ {\text{где}}\quad {{\lambda }_{{10}}} = {{\left( {1 + \frac{{{{\pi }^{2}}}}{4}} \right)}^{{ - 1}}}\left( {\frac{\pi }{2} + i} \right){{r}_{1}}. \\ \end{gathered} $

При этих условиях и при достаточно малых $\varepsilon $ краевая задача (9), (10) имеет в окрестности ${{u}_{0}} = 1$ двумерное устойчивое локальное интегральное инвариантное многообразие $M(\varepsilon )$, на котором эту краевую задачу можно с точностью до $O({{\varepsilon }^{4}})$ записать в виде специального скалярного комплексного обыкновенного дифференциального уравнения

(24)

$\frac{{d\xi }}{{d\tau }} = {{\lambda }_{{10}}}\xi + g\xi {{\left| \xi \right|}^{2}},$

в котором $\tau = {{\varepsilon }^{2}}t$ – медленное время, а $\xi (\tau )$ – медленно меняющаяся амплитуда в асимптотическом представлении решений на многообразии $M(\varepsilon )$:

(25)

$u = 1 + \varepsilon \left( {\xi (\tau )exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right) + \bar {\xi }(\tau )exp\left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)} \right) + {{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}}(t,\tau ) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(t,\tau ) + \; \ldots \;.$

Здесь функции ${{u}_{j}}(t,\tau )$ – 4-периодические по $t$. Подставим формальное выражение (25) в (9) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon $. Сначала, приравнивая коэффициенты при ${{\varepsilon }^{2}}$, находим, что

(26)

${{u}_{2}} = \frac{{2 - i}}{5}{{\xi }^{2}}exp(i\pi t) + \frac{{2 + i}}{5}{{\xi }^{2}}exp( - i\pi t).$

На следующем шаге из условия разрешимости получающегося уравнения относительно ${{u}_{3}}$ приходим к необходимости выполнения соотношения (24), в котором

(27)

$g = - \frac{\pi }{2}\left[ {3\pi - 2 + i(\pi + 6)} \right]{{\left( {10\left( {1 + \frac{4}{{{{\pi }^{2}}}}} \right)} \right)}^{{ - 1}}}.$

Сформулируем итоговые утверждения. Доказательства их хорошо известны (см., например, [11], [12]).

Теорема 3. Пусть ${{r}_{1}} < 0$. Тогда при всех достаточно малых $\varepsilon $ решение краевой задачи (9), (10) из некоторой достаточно малой и не зависящей от $\varepsilon $ окрестности состояния равновесия ${{u}_{0}} = 1$ стремится к $1$ при $t \to \infty $.

Теорема 4. Пусть ${{r}_{1}} > 0$. Тогда все, кроме нулевого, решения уравнения (24) стремятся к орбитально устойчивому циклу

(28)

$\begin{gathered} {{\xi }_{0}}(\tau ) = {{\left[ {10\frac{\pi }{2}{{r}_{1}}{{{(3\pi - 2)}}^{{ - 1}}}} \right]}^{{1/2}}}{{\xi }_{0}}exp(i{{\phi }_{0}}\tau ), \\ {{\phi }_{0}} = \operatorname{Im} {{\lambda }_{{10}}} + \xi _{0}^{2}\operatorname{Im} g, \\ \end{gathered} $

а все решения (

) из $M(\varepsilon )$ при $t \to \infty $ стремятся к циклу

(29)

${{u}_{0}}(t,\varepsilon ) = 1 + \varepsilon \left( {{{\xi }_{0}}\left( {{{\varepsilon }^{2}}t} \right)exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right) + \mathop {\bar {\xi }}\nolimits_0 \left( {{{\varepsilon }^{2}}t} \right)exp\left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)} \right) + O({{\varepsilon }^{2}}).$

Таким образом, в рассмотренной ситуации краевая задача (9), (10) может иметь в окрестности ${{u}_{0}}$ только однородный цикл, являющийся решением в условии (22) логистического уравнения (2). По-видимому, рассмотренный здесь случай интереса не представляет.

1.2. Динамика цепочек при значении $\sigma $ порядка $\varepsilon $

Предполагаем, что выполнено условие (19). Тогда характеристическое уравнение (16) имеет совокупность корней ${{\lambda }_{m}}(\varepsilon )$ и ${{\bar {\lambda }}_{m}}(\varepsilon )$ ($m = 0,\; \pm 1,\; \pm 2,\; \ldots $), вещественные части которых стремятся к нулю при $\varepsilon \to \infty $. Для этих корней справедливо представление

(30)

$\begin{gathered} {{\lambda }_{m}}(\varepsilon ) + \left( {\frac{\pi }{2} + {{\varepsilon }^{2}}{{r}_{1}}} \right)exp( - {{\lambda }_{m}}(\varepsilon )) = d\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty F (s,\varepsilon )exp(ims)ds - 1} \right) = \\ = \;d\left( {{\text{cos}}(\varepsilon m)exp\left( { - {{\varepsilon }^{2}}{{m}^{2}}\sigma _{0}^{2}} \right) - 1} \right). \\ \end{gathered} $

Отсюда получаем, что для каждого целого $m$ выполнено асимптотическое равенство

${{\lambda }_{m}}(\varepsilon ) = i\frac{\pi }{2} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }_{1}} + \; \ldots ,\;{{\lambda }_{1}} = {{\lambda }_{{10}}} - {{\left( {1 + i\frac{\pi }{2}} \right)}^{{ - 1}}}d\left( {\frac{1}{2} + \sigma _{0}^{2}} \right){{m}^{2}}.$

Каждому такому корню отвечает решение ${{{v}}_{m}}(t,x)$ линейной краевой задачи (14), (15), для которого

$\begin{gathered} {{{v}}_{m}}(t,x) = exp\left( {i\frac{\pi }{2}t + imx} \right){{\nu }_{m}}(\tau ), \\ {\text{где}}\quad {{\nu }_{m}}(\tau ) = {{\nu }_{m}}exp\left( {\left( { - {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }_{1}} + O({{\varepsilon }^{4}})} \right)t} \right). \\ \end{gathered} $

Введем в рассмотрение формальный ряд

(31)

$\begin{gathered} u(t,x,\varepsilon ) = 1 + \varepsilon \left( {exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right)\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{\xi }_{m}}} (\tau )exp(imx)} \right. + \\ + \;\left. {exp\left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {\mathop {\bar {\xi }}\nolimits_m } (\tau )exp( - imx)} \right) + {{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}}(t,\tau ,x) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(t,\tau ,x) + \; \ldots \;. \\ \end{gathered} $

Здесь $\tau = {{\varepsilon }^{2}}t$ – медленное время, ${{\xi }_{m}}(\tau )$ – неизвестные медленно меняющиеся амплитуды, а функции ${{u}_{j}}(t,\tau ,x)$ – периодичны по $t$ и $x$. Отметим, что в линейном приближении, т.е. при ${{u}_{j}} \equiv 0$, формула (31) задает совокупность решений линейной краевой задачи (14), (15).

Выражение (31) можно существенно упростить. Для этого положим

$\xi (\tau ,x) = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{\xi }_{m}}} (\tau )exp(imx).$

Тогда из (31) вытекает, что

(32)

$\begin{gathered} u(t,x,\varepsilon ) = 1 + \varepsilon \left( {\xi (\tau ,x)exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right) + \bar {\xi }(\tau ,x)exp\left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)} \right) + \\ + \;{{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}}(t,\tau ,x) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(t,\tau ,x) + \; \ldots \;. \\ \end{gathered} $

Подставим (31) в (9), (10) и в получившемся формальном тождестве будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon $. На первом шаге при ${{\varepsilon }^{1}}$ тождество выполнено, а на втором шаге, собирая коэффициенты при ${{\varepsilon }^{2}}$, приходим к равенству (26), в котором $\xi = \xi (\tau ,x)$. На следующем шаге из условия разрешимости получающегося уравнения относительно ${{u}_{3}}$ приходим к краевой задаче для определения $\xi (\tau ,x)$:

(33)

$\frac{{\partial \xi }}{{\partial \tau }} = {{d}_{0}}\frac{{{{\partial }^{2}}\xi }}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{\lambda }_{{10}}}\xi + g\xi {{\left| \xi \right|}^{2}},\quad \xi (t,x + 2\pi ) \equiv \xi (\tau ,x),$

где ${{d}_{0}} = {{\left( {1 + i\tfrac{\pi }{2}} \right)}^{{ - 1}}}\left( {\tfrac{1}{2} + \sigma _{0}^{2}} \right)$, а коэффициенты ${{\lambda }_{{10}}}$ и $g$ те же, что и в (23), и (27).

Сформулируем основные результаты.

Теорема 5. Пусть краевая задача (33) имеет ограниченное при $\tau \to \infty $ решение ${{\xi }_{0}}(\tau ,x)$. Тогда функция

$\begin{gathered} {{u}_{0}}(t,x,\varepsilon ) = 1 + \varepsilon \left( {{{\xi }_{0}}(\tau ,x)exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right) + \mathop {\bar {\xi }}\nolimits_0 (\tau ,x)exp\left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)} \right) + \\ + \;{{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{2 - i}}{5}\xi _{0}^{2}(\tau ,x)exp(i\pi t) + \frac{{2 + i}}{5}\bar {\xi }_{0}^{2}(\tau ,x)exp( - i\pi t)} \right) \\ \end{gathered} $

удовлетворяет краевой задаче (9), (10) с точностью до $O({{\varepsilon }^{4}})$.

Вопрос о существовании и об устойчивости точного решения (9), (10), близкого при $\varepsilon \to 0$ к соответствующему решению краевой задачи (33), может быть решен, например, в случае, когда ${{\xi }_{0}}(\tau ,x)$– периодическое решение, обладающее свойством грубости. Под грубостью будем понимать следующее. Если ${{\xi }_{0}}(\tau ,x) \equiv {\text{const}} \cdot exp(i\omega \tau + imx)$, то лишь один мультипликатор линеаризованной на ${{\xi }_{0}}(\tau ,x)$ краевой задачи равен по модулю 1. В остальных случаях условие грубости состоит в том, что только два мультипликатора линеаризованной на ${{\xi }_{0}}(\tau ,x)$ краевой задачи равны по модулю 1.

Теорема 6. Пусть ${{\xi }_{0}}(\tau ,x)$ – периодическое с периодом ${{\omega }_{0}}$ решение краевой задачи (33), обладающее свойством грубости. Тогда при всех достаточно малых $\varepsilon $ краевая задача (9), (10) имеет периодическое по $t$ решение ${{u}_{0}}(t,x,\varepsilon )$ с периодом ${{\omega }_{0}} + O(\varepsilon )$ той же, что и ${{\xi }_{0}}(\tau ,x)$, устойчивости и для которого верно асимптотическое равенство

(34)

${{u}_{0}}(t,x,\varepsilon ) = 1 + \varepsilon \left( {{{\xi }_{0}}(\left( {1 + O(\varepsilon )} \right){{\varepsilon }^{2}}t,x} \right)exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right) + \mathop {\bar {\xi }}\nolimits_0 \left( {(1 + O(\varepsilon )){{\varepsilon }^{2}}t,x} \right)exp\left. {\left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)} \right) + \; \ldots \;.$

Доказательство теоремы 5 вытекает непосредственно из приведенного построения асимптотики решения краевой задачи (9), (10). Обоснование теоремы 6 стандартно (см., например, [29], [30]), но громоздко, поэтому его опустим.

Замечание 1. При рассмотрении более общей по сравнению с (9), (10) краевой задачи (17), (18) с малым коэффициентом диффузии $\varkappa = {{\varepsilon }^{2}}{{\varkappa }^{0}}$, изменения невелики. Коэффициент ${{d}_{0}}$ в (33) дополняется еще одним слагаемым:

${{d}_{0}} = {{\left( {1 + i\frac{\pi }{2}} \right)}^{{ - 1}}}d\left( {\frac{1}{2} + \sigma _{0}^{2}} \right) + {{\left( {1 + i\frac{\pi }{2}} \right)}^{{ - 1}}}{{\varkappa }^{0}}.$

Отметим, что краевая задача (33) может обладать богатой динамикой, поэтому этот же вывод справедлив и для цепочки рассматриваемых осцилляторов.

1.3. Динамика цепочек при $\sigma = O({{\varepsilon }^{2}})$

Предполагаем, что выполнено условие (20). Выделим все те корни характеристического уравнения (16), вещественные части которых стремятся к нулю при $\varepsilon \to 0$. Корни $\lambda = \lambda (k)$ этого уравнения находятся из формулы

(35)

$\begin{gathered} \lambda + \left( {{{r}_{0}} + {{\varepsilon }^{2}}{{r}_{1}}} \right)exp( - \lambda ) = d\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {} F(s,\varepsilon )exp(iks)ds - 1} \right) = \\ = \;d\left( {cos(z)exp\left( { - {{\varepsilon }^{4}}\sigma _{0}^{2}{{z}^{2}}} \right) - 1} \right), \\ \end{gathered} $

где $z = \varepsilon k$. Условие стремления вещественных частей корней к нулю обусловлено обращением в нуль с точностью дo o(1)(при $\varepsilon \to 0$) правой части в (36). Этому условию удовлетворяют такие номера $k = k(\varepsilon )$, для которых $cos(z) \sim 1$. Для описания таких номеров введем обозначения. Фиксируем произвольное целое $n$ и через ${{\theta }_{n}} = {{\theta }_{n}}(\varepsilon ) \in [0,\;1)$ обозначим выражение, которое дополняет до целого значение $2\pi n{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$. Оказывается, что функцию ${{\theta }_{n}}(\varepsilon )$ можно считать тождественно равной нулю. Дело в том, что введенный выше параметр $\varepsilon $ был определен как $\varepsilon = 2\pi {{N}^{{ - 1}}}$. Поэтому $2\pi n{{\varepsilon }^{{ - 1}}} = nN$, т.е. целое.

Тогда совокупность номеров $k(\varepsilon )$ корней $\lambda (k(\varepsilon ))$ в рассматриваемом случае состоит из значений

(36)

$k(\varepsilon ) = 2\pi n{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + m,\quad m,n = 0,\; \pm 1,\; \pm 2,\; \ldots \;.$

Эти корни удобно обозначать через ${{\lambda }_{{m,n}}}(\varepsilon )$. Для них имеем асимптотическое выражение

${{\lambda }_{{m,n}}}(\varepsilon ) = i\frac{\pi }{2} - {{\varepsilon }^{2}}{{\left( {1 + i\frac{\pi }{2}} \right)}^{{ - 1}}}\left( {{{m}^{2}} + 4{{\pi }^{2}}\sigma _{0}^{2}{{n}^{2}}} \right) + O({{\varepsilon }^{4}}).$

Следуя изложенной выше схеме исследования, введем в рассмотрение формальный ряд

(37)

$\begin{gathered} u = 1 + \varepsilon \left( {exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right)\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{{\xi }_{{m,n}}}} } (\tau )exp\left( {i\left( {2\pi n{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + m} \right)x} \right)} \right. + \\ + \;\varepsilon \left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)\left. {\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\mathop {\bar {\xi }}\nolimits_{m,n} } } (\tau )exp\left( { - i\left( {2\pi n{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + m} \right)x} \right)} \right) + {{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}}(t,\tau ,x) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(t,\tau ,x) + \; \ldots , \\ \end{gathered} $

где $\tau = {{\varepsilon }^{2}}t$, а функции ${{u}_{j}}(t,\tau ,x)$ периодичны по $t$ и $x$.

Положим $y = 2\pi {{\varepsilon }^{{ - 1}}}x$ и

$\xi (\tau ,x,y) = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{{\xi }_{{m,n}}}} } (\tau )exp(iny + imx).$

Тогда выражение (37) можно упростить:

(38)

$u = 1 + \varepsilon \left( {exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right)\xi (\tau ,x,y) + exp\left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)\bar {\xi }(\tau ,x,y)} \right) + {{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}} + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}} + \; \ldots \;.$

Подставим (38) в (9) и будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon $. Сначала находим ${{u}_{2}}(\tau ,t,x)$, а затем из условия разрешимости уравнения относительно ${{u}_{3}}$ приходим к выражению для определения $\xi (\tau ,x,y)$:

(39)

$\frac{{\partial \xi }}{{\partial \tau }} = {{\left( {1 + i\frac{\pi }{2}} \right)}^{{ - 1}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}\xi }}{{\partial {{x}^{2}}}} + 4{{\pi }^{2}}\sigma _{0}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\xi }}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right) + {{\lambda }_{{10}}}\xi + g\xi {{\left| \xi \right|}^{2}},$

(40)

$\xi (\tau ,x + 2\pi ,y) \equiv \xi (\tau ,x,y + 2\pi ) \equiv \xi (\tau ,x,y),$

где коэффициенты ${{\lambda }_{{10}}}$ и $g$ те же, что и в (24).

Основные результаты здесь в идеологическом плане повторяют утверждение теорем 5 и 6. Приведем для примера аналог теоремы 5.

Теорема 7. Пусть ${{\xi }_{0}}(\tau ,x,y)$– ограниченное при $\tau \to \infty $ решение краевой задачи (39), (40). Тогда функция

(41)

${{u}_{0}}(t,x,\varepsilon ) = 1 + \varepsilon \left( {exp\left( {i\frac{\pi }{2}t} \right){{\xi }_{0}}\left( {{{\varepsilon }^{2}}t,x,2{{\pi }^{{ - 1}}}x} \right) + exp\left( { - i\frac{\pi }{2}t} \right)\mathop {\bar {\xi }}\nolimits_0 \left( {{{\varepsilon }^{2}}t,x,2\pi {{\varepsilon }^{{ - 1}}}x} \right)} \right) + {{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}}$

удовлетворяет краевой задаче (9), (10) с точностью до $O({{\varepsilon }^{3}})$.

Краевые задачи (33) и (38), (40) численно исследовались многими авторами (см., например, [31]). Показано, что для таких краевых задач, особенно для (39), (40), характерны сложные и нерегулярные колебания. Согласно формулам (32) и (38), связывающих решения этих краевых задач и решений краевой задачи (9), (10), такой же вывод можно сформулировать и о решениях (9), (10).

2. ДИНАМИКА ЦЕПОЧЕК ПРИ ОДНОСТОРОННИХ СВЯЗЯХ

Рассмотрим краевую задачу (9), (10), в которой для функции $F(s,\varepsilon )$ выполнено равенство (13), а для параметра $\sigma $ имеет место соотношение (19).

Предположим, что в отсутствие связей состояние равновесия ${{u}_{0}} = 1$ логистического уравнения (1) асимптотически устойчиво. Тем самым значения параметра $r$ удовлетворяют неравенству

(42)

$0 < r < \frac{\pi }{2}.$

Пункт 2.1 посвящен анализу линеаризованной на ${{u}_{0}}$ краевой задаче, а в п. 2.2 построена нелинейная краевая задача, которая играет роль нормальной формы.

2.1. Линейный анализ

Характеристическое уравнение для линеаризованной на ${{u}_{0}}$ краевой задачи в рассматриваемом случае приобретает вид

(43)

$\lambda + rexp( - \lambda ) = d\left( {exp\left( {iz - \sigma _{0}^{2}{{z}^{2}}} \right) - 1} \right),$

где $d > 0$, $z = \varepsilon k$, $k = 0,\; \pm 1,\; \pm 2, \ldots $. Для ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия в краевой задаче (14), (15) исследуем расположение корней уравнения (43).

Приведем без доказательств несколько простых утверждений о корнях (43).

Лемма 1. При всех $d > 0$ и при всех $z \in [\pi (2n + 1),\pi (2n + 2)]$, $n = 0,\; \pm 1,\; \pm 2,\; \ldots $, уравнение (43) не может иметь корней с нулевой вещественной частью.

Лемма 2. Для каждого $z \in (2\pi n,\pi (2n + 1))$ найдется такое $d > 0$, что при $d = {{d}_{z}}$ уравнение (43) имеет корень с нулевой вещественной частью.

Введем обозначение: $d(r) = \mathop {min}\limits_{ - \infty < z < \infty } {{d}_{z}} = {{d}_{{z(r)}}}$.

Тогда при всех $d \in (0,d(r))$ состояние равновесия краевой задачи (14), (15) асимптотически устойчиво. При $d = d(r)$ и $z = z(r)$ уравнение (43) имеет корни ${{\lambda }_{ \pm }}(r)$ с нулевой вещественной частью: ${{\lambda }_{ \pm }}(r) = \pm i\omega (r)$, $\omega (r) > 0.$

Лемма 3. Для значений $\omega (r)$ и $z(r)$ выполнены неравенства

$0 < z(r) < \pi ,\quad \frac{\pi }{2} < \omega (r) < \frac{{3\pi }}{2}.$

Рассмотрим отдельно вопросы об асимптотике выражений $d(r)$, $\omega (r)$ и $z(r)$ при $r \to 0$ и при $r \to \tfrac{\pi }{2}$.

Пусть сначала $r \to 0$. Обозначим через ${{\omega }_{0}}$ корень из промежутка $\left( {\tfrac{\pi }{2},\pi } \right)$ уравнения $\operatorname{tg} \omega = - {{\omega }^{{ - 1}}}$ и положим

${{c}_{0}} = \left( {1 + \sigma _{0}^{2}} \right)\omega _{0}^{2}\left( {\omega _{0}^{2} + 4} \right),\quad {{z}_{0}} = {{\omega }_{0}}c_{0}^{{ - 1}}.$

Лемма 4. При $r \to 0$ имеют место асимптотические равенства

$d(r) = {{c}_{0}}{{r}^{{ - 1}}}(1 + o(1)),\quad \omega (r) = {{\omega }_{0}} + o(1),\quad z(r) = {{z}_{0}}r(1 + o(1)).$

Пусть затем $r = \tfrac{\pi }{2} - \mu $ и $0 < \mu \ll 1$. Введем обозначения: через ${{z}_{{00}}} \in \left( {0,\tfrac{\pi }{2}} \right)$ обозначим наименьший корень уравнения

$z = \left( {\frac{\pi }{2} - 2\sigma _{0}^{2}z} \right){{\left( {1 + \pi \sigma _{0}^{2}z} \right)}^{{ - 1}}}.$

Положим

$\begin{gathered} {{c}_{{00}}} = {{\left( {{{f}_{2}} + \frac{2}{\pi }{{f}_{1}}} \right)}^{{ - 1}}},\quad {{w}_{{00}}} = - \frac{2}{\pi }{{f}_{1}}{{\left( {{{f}_{2}} + \frac{2}{\pi }{{f}_{1}}} \right)}^{{ - 1}}}, \\ {{f}_{1}} = cos{{z}_{{00}}} \cdot exp\left( { - \sigma _{0}^{2}z_{{00}}^{2}} \right) - 1, \\ {{f}_{2}} = sin{{z}_{{00}}} \cdot exp\left( { - \sigma _{0}^{2}z_{{00}}^{2}} \right). \\ \end{gathered} $

Лемма 5. При всех достаточно малых $\mu $ имеют место асимптотические равенства

$\begin{gathered} d(r) = {{c}_{{00}}}\mu (1 + o(1)), \\ \omega (r) = \frac{\pi }{2} + {{\omega }_{{00}}}\mu (1 + o(1)),\quad z(r) = {{z}_{{00}}} + o(1). \\ \end{gathered} $

Обоснования лемм 4, 5 достаточно простые, но громоздкие. Поэтому их опустим.

Фиксируем далее значение ${{r}_{0}} \in \left( {0,\tfrac{\pi }{2}} \right)$ и произвольные величины ${{r}_{1}}$ и ${{d}_{1}}$. Положим в (9), (10)

(44)

$r = {{r}_{0}} + {{\varepsilon }^{2}}{{r}_{1}},\quad d = d({{r}_{0}}) + {{\varepsilon }^{2}}{{d}_{1}}.$

Ниже через $\theta = \theta (\varepsilon ) \in [0,\;1)$ обозначаем выражение, которое дополняет до целого величину $z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}}$. Исследуем асимптотику всех корней уравнения (43), близких к мнимой оси. Обозначим их через ${{\lambda }_{m}}(\varepsilon )$ и ${{\lambda }_{m}}(\varepsilon ),$ $m = 0,\; \pm 1,\; \pm 2,\; \ldots $. Имеем равенства

(45)

${{\lambda }_{m}}(\varepsilon ) = i\omega (r) + \varepsilon i{{R}_{1}}(\theta + m) + {{\varepsilon }^{2}}\left( {{{R}_{{20}}} + {{{(\theta + m)}}^{2}}{{R}_{2}}} \right) + \; \ldots ,$

где

${{R}_{1}} = (1 - {{r}_{0}}exp{{\left( { - i\omega ({{r}_{0}}))} \right)}^{{ - 1}}}d({{r}_{0}})z({{r}_{0}})\left( {1 + 2i\sigma _{0}^{2}} \right)exp\left( { - \sigma _{0}^{2}{{z}^{2}}({{r}_{0}}) + i{{z}_{0}}({{r}_{0}})} \right),$

${{R}_{{20}}} = {{\left( {1 - {{r}_{0}}exp( - i\omega ({{r}_{0}}))} \right)}^{{ - 1}}}\left[ {{{d}_{1}}\left( {1 - exp\left( { - \sigma _{0}^{2}{{z}^{2}}({{r}_{0}}) + i{{z}_{0}}({{r}_{0}})} \right) - 1} \right) - {{r}_{1}}exp( - i\omega ({{r}_{0}}))} \right],$

${{R}_{2}} = {{(1 - {{r}_{0}}exp( - i\omega ({{r}_{0}})))}^{{ - 1}}}\left[ {\frac{1}{2}{{r}_{0}}exp( - i\omega ({{r}_{0}}))R_{1}^{2}} \right. + d({{r}_{0}})\left. {\left( {2\sigma _{0}^{2}{{z}^{2}}({{r}_{0}}) - \left( {\sigma _{0}^{2} + \frac{1}{2}} \right)} \right)exp\left( { - \sigma _{0}^{2}{{z}^{2}}({{r}_{0}}) + iz({{r}_{0}})} \right)} \right].$

Важно отметить, что

(46)

$\operatorname{Im} {{R}_{1}} = 0\quad {\text{и}}\quad \operatorname{Re} {{R}_{2}} < 0.$

2.2. Построение квазинормальной формы

Введем в рассмотрение формальный ряд

(47)

$\begin{gathered} u = 1 + \varepsilon \left( {exp\left( {i\omega ({{r}_{0}})t} \right)\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{\xi }_{m}}} (\tau )exp\left( {i\left( {z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}} + \theta + m} \right)x + \varepsilon i{{R}_{1}}(\theta + m)t} \right)} \right. + \\ + \;\left. {exp( - i\omega ({{r}_{0}})t)\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{{\bar {\xi }}}_{m}}(\tau )} exp\left( { - i\left( {z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}} + \theta + m} \right)x - \varepsilon i{{R}_{1}}(\theta + m)t} \right)} \right) + \\ + \;{{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}}(t,\tau ,x,\varepsilon ) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(t,\tau ,x,\varepsilon ) + \; \ldots ,\quad \tau = {{\varepsilon }^{2}}t. \\ \end{gathered} $

Это выражение можно существенно упростить. Положим

$\xi (\tau ,y) = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{{\xi }_{m}}} (\tau )exp(imy),\quad y = x + \varepsilon {{R}_{1}}t.$

Тогда от (47) переходим к представлению

(48)

$\begin{gathered} u = 1 + \varepsilon \left( {exp\left( {i\left( {\omega ({{r}_{0}}) + \varepsilon {{R}_{1}}\theta } \right)t + i\left( {z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}} + \theta } \right)x} \right)\xi (\tau ,y)} \right. + \\ + \;\left. {exp\left( { - i\left( {\omega ({{r}_{0}}) + \varepsilon {{R}_{1}}\theta } \right)t - i\left( {z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}} + \theta } \right)x} \right)\bar {\xi }(\tau ,y)} \right) + \\ + \;{{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}}(t,\tau ,x,y) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(t,\tau ,x,y) + \; \ldots \;. \\ \end{gathered} $

Фигурирующие здесь функции ${{u}_{j}}(t,\tau ,x,y)$ периодичны по $t$, $x$ и $y$.

Подставим (48) в (9). Тогда, применяя стандартные процедуры, сначала находим ${{u}_{2}}(t,\tau ,x,y)$:

$\begin{gathered} {{u}_{2}}(t,\tau ,x,y) = {{u}_{{20}}}{{\left| {\xi (\tau ,y)} \right|}^{2}} + \\ + \;{{u}_{{21}}}{{\xi }^{2}}(\tau ,y)exp\left( {2i\left( {\omega ({{r}_{0}}) + \varepsilon {{R}_{1}}\theta } \right)t + 2i\left( {z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}} + \theta } \right)x} \right) + \\ + \;{{u}_{{21}}}\mathop {\bar {\xi }}\nolimits^2 (\tau ,y)exp\left( { - 2i\left( {\omega ({{r}_{0}}) + \varepsilon {{R}_{1}}\theta } \right)t - 2i\left( {z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}} + \theta } \right)x} \right), \\ \end{gathered} $

где

${{u}_{{20}}} = - 2cos\omega ({{r}_{0}}),$

${{u}_{{21}}} = - 2rcos(2\omega ({{r}_{0}})){{\left[ {2i\omega ({{r}_{0}}) + {{r}_{0}}exp( - 2i\omega ({{r}_{0}})) - d({{r}_{0}})(exp( - 2i\omega ({{r}_{0}}) - 4\sigma _{0}^{2}{{z}^{2}}({{r}_{0}})) - 1)} \right]}^{{ - 1}}}.$

На следующем этапе получим уравнение для ${{u}_{3}}(t,\tau ,x,y)$, из условия разрешимости которого в указанном классе функций приходим к краевой задаче для определения $\xi (\tau ,y)$:

(49)

$\frac{{\partial \xi }}{{\partial \tau }} = {{R}_{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}\xi }}{{\partial {{y}^{2}}}} - i\theta {{R}_{2}}\frac{{\partial \xi }}{{\partial y}} + \left( {{{R}_{{20}}} + {{\theta }^{2}}{{R}^{2}}} \right)\xi + q\xi {{\left| \xi \right|}^{2}},$

(50)

$\xi (\tau ,y + 2\pi ) \equiv \xi (\tau ,y).$

Для коэффициента $q$ имеем равенство

$q = {{r}_{0}}{{(1 - {{r}_{0}}exp( - i\omega ({{r}_{0}})))}^{{ - 1}}}\left[ {2cos(\omega ({{r}_{0}}))(1 + exp( - i\omega ({{r}_{0}})) - {{u}_{{21}}}(exp(i\omega ({{r}_{0}})) + exp( - 2i\omega ({{r}_{0}})))} \right].$

Для формулировки основного результата введем еще одно обозначение. Фиксируем произвольно значение ${{\theta }_{0}} \in [0,\;1)$ и через ${{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}})$ обозначим такую последовательность, что ${{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}}) \to 0$ при $n \to \infty $ и для каждого $n$ выполнено равенство $\theta ({{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}})) = {{\theta }_{0}}$.

Из приведенных выше построений вытекает следующее утверждение.

Теорема 8. Пусть при некотором $\theta = {{\theta }_{0}}$ краевая задача (49), (50) имеет ограниченное при $\tau \to \infty $, $y \in [0,\;2\pi ]$ решение ${{\xi }_{o}}(\tau ,y)$. Тогда функция

$\begin{gathered} {{u}_{0}} = 1 + \varepsilon \left( {exp\left( {i\left( {\omega ({{r}_{0}}) + \varepsilon {{R}_{1}}{{\theta }_{0}}} \right)t + i\left( {z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{0}}} \right)x} \right){{\xi }_{0}}(\tau ,y)} \right. + \\ + \;\left. {exp\left( { - i\left( {\omega ({{r}_{0}}) + \varepsilon {{R}_{1}}{{\theta }_{0}}} \right)t - i\left( {z({{r}_{0}}){{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{0}}} \right)x} \right){{{\bar {\xi }}}_{0}}(\tau ,y)} \right),\quad \tau = {{\varepsilon }^{2}}t,\quad y = x + \varepsilon {{R}_{1}}t, \\ \end{gathered} $

при условиях (13), (19) и при $\varepsilon = {{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}})$ удовлетворяет краевой задаче (9), (10) с точностью до $O({{\varepsilon }^{2}})$.

ВЫВОДЫ

Показано, что рассмотренные критические случаи в задаче об устойчивости распределенной цепочки логистических уравнений с запаздыванием имеют бесконечную размерность. Это приводит к тому, что описание их локальной динамики сводится к исследованию нелокального поведения решений краевых задач типа Гинзбурга–Ландау. Известно (см., например., [31]), что динамика таких объектов может быть сложной, причем для них характерны нерегулярные колебания, явления мультистабильности и др. Сами динамические эффекты существенно зависят от выбора связей. Показано, что в ряде случаев решения содержат быстро и медленно осциллирующие по пространственной переменной составляющие. Основные результаты определяют структуру асимптотических по невязке решений исходных краевых задач. Вопрос о существовании, устойчивости и более сложных асимптотических разложений точных решений, близких к построенным, может быть решен в случае периодических решений нормализованных уравнений.

Остановимся отдельно на роли фигурирующего выше параметра $\theta = \theta (\varepsilon ) \in [0,\;1)$. Напомним, что динамические свойства исходной системы определяются квазинормальной формой (49), (50), куда входит параметр $\theta $. При различных значениях этого параметра динамика (49), (50), а значит, и краевой задачи (9), (10), может меняться. Детально это показано в [32]. Отсюда следует, что при $\varepsilon \to 0$ может происходить бесконечный процесс прямых и обратных бифуркаций.

Сформулируем еще один вывод общего плана. Выше было показано, что квазинормальные формы, определяющие динамику исходной краевой задачи, являются уравнениями Гинзбурга–Ландау. Устойчивость простейших решений этих уравнений исследована в [33]. В частности, установлено, что свойства их устойчивости во многом определяются мнимыми составляющими коэффициентов диффузии и ляпуновской величины (коэффициенты $g$ и $q$ в (49) и (50)). Численный анализ соответствующего критерия позволил сформулировать вывод о неустойчивости простейших решений вида ${\text{const}} \cdot exp(i\omega t + ikx)$. Таким образом, в рассмотренных цепочках синхронизация решений является достаточно редким явлением.

Отметим, что в зависимости от коэффициента $\sigma $ функции $F(s,\varepsilon )$ ((12), (13)) в качестве квазинормальной формы могут выступать параболические краевые задачи как с одной, так и с двумя пространственными переменными. Кроме этого, выявлены порядки (по параметру $\varepsilon $) коэффициентов диффузии в исходной краевой задаче, которые делают сопоставимым вклад диффузионного слагаемого со слагаемым, обеспечивающим связь элементов цепочки.

Список литературы

Maurer J., Libchaber A. Effect of the Prandtl number on the onset of turbulence in liquid ⁴He // J. Phys. Lett. (France) 1982. V. 41. P. 515.
Кузнецов С.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Автономная система – генератор гиперболического хаоса. Схемотехническое моделирование и эксперимент // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21. № 5. С. 17–30.
Brun E., Derighette B., Meier D., Holzner R., Raveni M. Observation of order and chaos in a nuclear spin-flip laser // J. Opt. Soc. Am. B. 1985. V. 2. P. 156.
Dangoisse D., Glorieux P., Hennequin D. Chaos in a CO₂ laser with modulated parameters: Experiments and numerical simulations // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P. 4775.
Chembo Y.K., Jacquot M., Dudley J.M., Larger L. Ikeda-like chaos on a dynamically filtered supercontinuum light source // Phys. Rev. A. 2016. V. 94. P. 023847.
Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester: Wiley, 1986.
Foss J., Longtin A., Mensour B., Milton J. Multistability and delayed recurrent loops // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 708.
Sysoev I.V., Ponomarenko V.I., Kulminskiy D.D., Prokhorov M.D. Recovery of couplings and parameters of elements in networks of time-delay systems from time series // Phys. Rev. E. 2016. V. 94. P. 052207.
Ponomarenko V.I., Kulminskiy D.D., Prokhorov M.D. Chimeralike states in networks of bistable time-delayed feedback oscillators coupled via the mean field // Phys. Rev. E. 2017. V. 96. P. 022209.
Караваев А.С., Ишбулатов Ю.М., Киселев А.Р., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Миронов С.А., Шварц В.А., Гриднев В.И., Безручко Б.П. Модель сердечно-сосудистой системы человека с автономным контуром регуляции среднего артериального давления // Физиология человека. 2017. Т. 43. № 1. С. 70–80.
Kuang Y. Delay Differential Equations : With Applications in Population Dynamics. Boston: Academic Press, 1993. 410 p. (Mathematics in science and engineering; 191). ISBN 0124276105.
Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer Verlag, 1996. 439 p. (Applied mathematical sciences; 119). ISBN 9780387947716.
Gourley S.A., Sou J.W.-H., Wu J.H. Nonlocality of reaction-diffusion equations induced by delay: biological modeling and nonlinear dynamics // J. Math. Sci. 2004. V. 124. № 4. P. 5119–5153. https://doi.org/10.1023/B:JOTH.0000047249.39572.6d
Kashchenko S.A. Asymptotics of the solutions of the generalized hutchinson equation // Automat. Control and Comp. Sci. 2013. V. 47. № 7. P. 470–494. https://doi.org/10.3103/S0146411613070079
Кащенко С.А. Динамика логистического уравнения с двумя запаздываниями // Дифференц. ур-ния. 2016. Т. 52. № 5. С. 561–571. https://doi.org/10.1134/S0374064116050022
Кащенко С.А., Логинов Д.О. Бифуркации при варьировании граничных условий в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией // Матем. заметки. 2019. Т. 106. № 1. С. 138–143. https://doi.org/10.4213/mzm12438
Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. Springer, 1984.
Kuramoto Y., Battogtokh D. Coexisting of coherence and incoherence in nonlocally coupled phase oscillators // Nonlinear Phenom Complex Syst. 2002. V. 5. № 4. P. 380.
Haken H. Brain dynamics: synchronization and activity patterns in pulse-coupled neural nets with delays and noise. Springer, 2002.
Osipov G.V., Kurths J., Zhou Ch. Synchronization in Oscillatory Networks. Berlin: Springer, 2007.
Afraimovich V.S., Nekorkin V.I., Osipov G.V., and Shalfeev V.D. Stability, structures and chaos in nonlinear synchronization networks. Singapore: World Scientific, 1994.
Крюков А.К., Осипов, Г.В., Половинкин А.В. Мультистабильность синхронных режимов в ансамблях неидентичных осциллятолров: Цепочка и решетка связанных элементов // Изв. вузов “ПНД”, 2009. Т. 17. № 2.
Крюков А.К., Канаков О.И., Осипов Г.В. Волны синхронизации в ансамблях слабонелинейных осцилляторов // Изв. вузов “ПНД”. 2009. Т. 17. № 1.
Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001.
Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Dynamics of the Kuramoto equation with spatially distributed control // Comm. Nonlin. Sci. and Numer. Simulat. 2016. V. 34. P. 123–129. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2015.10.011
Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. № 5. С. 1049–1052.
Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // Inter. J. of Bifurcat. and Chaos in Appl. Sci. and Eng. 1996. V. 6. № 6. P. 1093–1109. https://doi.org/10.1142/S021812749600059X
Кащенко С.А. Простейшие критические случаи в динамике нелинейных систем с малой диффузией // Тр. Московского матем. общества. 2018. Т. 79. Вып. 1. С. 97–115. https://doi.org/10.1090/mosc/285
Kashchenko S.A. Asymptotics of periodic solutions of autonomous parabolic equations with small diffusion // Siberian Math. J. 1986. V. 27. № 6. P. 880–889.
Кащенко С.А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием // Ж. вычисл матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 5. С. 693–702.
Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А.Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. 544 с.
Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Infinite process of forward and backward bifurcations in the logistic equation with two delays // Nonlin. Phenomena in Complex Syst. 2019. V. 22. № 4. P. 407–412.
Kashchenko A.A. Analysis of running waves stability in the Ginzburg–Landau equation with small diffusion // Automat. Control and Comp. Sci. 2015. V. 49. № 7. P. 514–517.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал