Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 8, стр. 1269-1277

ВВЕДЕНИЕ

Численным методам решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием, в основном, полиномиальных сплайнов посвящен ряд работ (см., например, [1]–[4] и цитированную в них литературу).

В настоящей работе речь идет об одном новом способе построения приближенного решения в виде рациональной сплайн-функции специальной формы для начальной задачи

Будем предполагать, что существует единственное решение $y = y(x)$ этой задачи в некоторой области $D$, содержащей промежуток $[a,b)$, плоскости $Oxy$.

Разумеется, правая часть уравнения (0.1) может быть нелинейной функцией, но будем считать, что она удовлетворяет в области $D$ условиям теоремы Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши, а именно, $F(x,y)$ непрерывна в $D$ и для $F(x,y)$ в $D$ выполняется условие Липшица по переменной $y$.

Как показано ниже, при этих условиях на любом внутреннем отрезке $[a,c] \subset [a,b)$ можно построить приближенное решение задачи (0.1), (0.2) в виде рациональной сплайн-функции класса $C_{{[a,c]}}^{1}$. Более того, такое решение строится путем перехода к системе скалярных уравнений, среди уравнений которой не более одного нелинейного уравнения с одним неизвестным. При этом решение самого нелинейного уравнения можно найти простыми итерациями, а значения остальных неизвестных можно найти из других уравнений системы последовательной подстановкой уже известных значений.

Доказывается также равномерная сходимость приближенных решений в виде рациональных сплайн-функций на отрезке $[a,c]$ к точному решению $y = y(x)$ задачи (0.1), (0.2).

Известно, что часто важно знать решение начальной или краевой задачи на “массивных” сетках узлов или даже на целом промежутке. Наряду с полиномиальными слайнами с помощью приводимой ниже простой по структуре формулы (0.5) можно получить гладкое приближенное решение дифференциального уравнения на всем отрезке, а не только в некоторых дискретных точках.

Более того, в [5] для дискретных функций, определенных на произвольных сетках узлов из данного отрезка, найдены сравнительно легко проверяемые условия, при выполнении которых интерполяционная рациональная сплайн-функция по трехточечным рациональным интерполянтам сохраняет ковыпуклость с произвольной переменной направления выпуклости, свойственную исходной дискретной функции.

Это позволяет получить приближенное гладкое решение в виде рациональной сплайн-функции, интерполирующей решение дифференциального уравнения, с вполне определенными геометрическими свойствами, скажем, выпуклое вниз или вверх на данных интервалах решение.

Отметим также, что в конструкцию трехточечных рациональных интерполянтов включен параметр, который может влиять на ускорение сходимости приближенного решения в виде рациональной сплайн-функции.

Рациональные сплайн-функции, которые будут построены в качестве приближенного решения рассматриваемых задач, в общем виде определяются (см. [6]) для дискретной функции $f(x)$, определенной на произвольной сетке узлов $\Delta :{{x}_{0}} < {{x}_{1}} < \ldots < {{x}_{N}}$ $(N \geqslant 2)$.

Для краткости обозначим ${{h}_{i}} = {{x}_{i}} - {{x}_{{i - 1}}}$ $(i = 1,2, \ldots ,N)$ и для произвольного $\lambda > 0$ при $i = 1,2, \ldots ,N - 1$ определим рациональные интерполянты

по набору полюсов $g = \{ {{g}_{1}},{{g}_{2}}, \ldots ,{{g}_{{N - 1}}}\} $, где

Коэффициенты ${{\alpha }_{i}},{{\beta }_{i}}$ и ${{\gamma }_{i}}$ однозначно определяются с помощью интерполяционных условий ${{R}_{i}}({{x}_{j}},f) = f({{x}_{j}})$ $(j = i - 1,i,i + 1)$, из которых с использованием разделенных разностей получим

Положим также ${{R}_{0}}(x,f) \equiv {{R}_{1}}(x,f)$, ${{R}_{N}}(x,f) \equiv {{R}_{{N - 1}}}(x,f)$ и рассмотрим на промежутке $[{{x}_{0}},{{x}_{N}}]$ сплайн-функцию ${{R}_{{N,1}}}(x,f) = {{R}_{{N,1}}}(x,f,\Delta ,g)$ такую, что при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}]$ $(i = 1,2, \ldots ,N)$ выполняется равенство

Аппроксимационные  свойства  построенных приближенных решений основаны на следующем утверждении, в котором использованы также обозначения ${{\Delta }_{1}} = max{\text{\{ }}{{h}_{1}},{{h}_{2}}{\text{\} }},$ ${{\Delta }_{N}} = \max \{ {{h}_{{N - 1}}},{{h}_{N}}\} ,$ ${{\Delta }_{i}} = \max \{ {{h}_{{i - 1}}},{{h}_{i}},{{h}_{{i + 1}}}\} $ $(i = 2,3, \ldots ,N - 1)$; $\omega (\delta ,\varphi ) = \sup \{ {\text{|}}\varphi (x) - \varphi (y){\kern 1pt} {\text{|}}:x,y \in $ $ \in [{{x}_{0}},{{x}_{N}}],\;{\text{|}}x - y{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \delta \} .$

Лемма. Если функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема на промежутке $[{{x}_{0}},{{x}_{N}}]$, то при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}]$ $(i = 1,2, \ldots ,N)$ выполняются неравенства

Непрерывная дифференцируемость ${{R}_{{N,1}}}(x,f)$ доказана в [7], неравенство (0.7) получено в [6].

Для доказательства (0.6) заметим, что при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}]$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 1)$ найдется точка $c$ между точками $x$ и ${{x}_{i}}$, для которой имеем

Отсюда и из (0.5), (0.7) легко получить (0.6).

Далее при установлении сходимости приближенных решений к точному решению задачи (0.1), (0.2) используется также следующее представление рационального интерполянта ${{R}_{i}}(x,f)$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 1)$ для функции $f(x)$, полученное в [6]:

Возможное влияние выбора параметра $\lambda $ на ускорение сходимости приближенного решения показано на одном примере начальной задачи.

Представлена также схема приближенного решения, вообще говоря, нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью рациональных сплайн-функций. При этом промежуточная система скалярных уравнений относительно дискретного решения дифференциального уравнения снова содержит не более одного нелинейного уравнения относительно значения, соответствующего узлу ${{x}_{1}}$, а остальные значения дискретного решения в узлах ${{x}_{2}},{{x}_{3}}, \ldots ,{{x}_{N}}$ можно найти последовательной подстановкой двух предыдущих значений в соответствующее данному узлу скалярное уравнение системы.

Приближенное решение в виде рациональных сплайн-функций в случае линейных дифференциальных уравнений рассмотрено в [8].

1. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Пусть, как и выше, задача (0.1), (0.2) имеет единственное решение $y = y(x)$ класса $C_{{[a,b)}}^{1}$ в некоторой плоской области $D$, содержащей промежуток $[a,b)$, функция $F(x,y)$ непрерывна в $D$, и существует постоянная $L > 0$ такая, что для любых двух точек $(x,y)$ и $(x,z)$ из $D$ выполняется неравенство

Для данного $c \in (a,b)$ и натурального $N > (b - a){\text{/}}(b - c)$ положим $h = (c - a){\text{/}}(N - 1)$ и для краткости вычислений рассмотрим равноотстоящие точки $\Delta :{{x}_{i}} = a + ih,$ $i = 0,1, \ldots ,N$, которым соответствуют полюсы ${{g}_{i}} = {{x}_{{i + 1}}} + \lambda h,$ $i = 1,2, \ldots ,N - 1$.

Заметим, что ${{x}_{{N - 1}}} = c$, а точка ${{x}_{N}} = c + h < b$, как увидим ниже, играет роль вспомогательного узла.

В выражении каждого рационального интерполянта ${{R}_{i}}(x,f)$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 1)$ из (0.3) вместо значений $f({{x}_{j}})$ возьмем соответственно неизвестные ${{y}_{j}}$ при $j = i - 1,i,i + 1$ и полученную рациональную функцию относительно $x$ обозначим через ${{R}_{i}}(x)$.

Полагая также ${{R}_{0}}(x) \equiv {{R}_{1}}(x)$ и ${{R}_{N}}(x) \equiv {{R}_{{N - 1}}}(x)$, построим сплайн-функцию ${{R}_{{N,1}}}(x)$ такую, что при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}]$ $(i = 1,2, \ldots ,N)$ имеет место равенство

Найдем значения неизвестных ${{y}_{0}},{{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{N}}$ такие, что в соответствии с задачей (0.1), (0.2) выполняются равенства

При этом учтем следующие равенства:

Здесь значения ${{\beta }_{j}}$ и ${{\gamma }_{j}}$ берутся из равенств (0.4) с соответствующей заменой $f({{x}_{i}})$ на ${{y}_{i}}$.

Всюду ниже для краткости будем придерживаться следующих обозначений:

Тогда получим

Так как систему (1.3) можно записать в виде

отсюда и из равенств (1.5) и (1.6) имеем

Из (1.7) и при $i = 1$ из (1.8) с учетом (1.4) получим уравнение

из которого можно найти значение ${{y}_{1}}$.

Действительно, если правую часть равенства (1.9) обозначить через $\varphi ({{y}_{1}})$, ${{y}_{1}}$ – через $z$, то получим уравнение вида $z = \varphi (z)$. При этом ввиду условия (1.1) для правой части уравнения (0.1) для любых двух точек ${{z}_{1}},{{z}_{2}} \in [a,b)$ имеем

Значит, если выбрать значения параметра $\lambda > 0$ и шага $h > 0$ так, чтобы выполнялось, скажем, неравенство

то отображение $\varphi (z)$ становится сжимающим и для нахождения значения ${{y}_{1}}$ можно применить итерации (пример на выбор параметра $\lambda $ для ускорения сходимости приводится ниже).

Значения остальных неизвестных ${{y}_{{i + 1}}}$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 1)$ можно найти из равенства (1.8) последовательной подстановкой уже известных пар значений ${{y}_{{i - 1}}}$, ${{y}_{i}}$.

Чтобы получить искомое приближенное решение задачи (0.1), (0.2) на отрезке $[a,c] \subset [a,b)$ при выбранных $\lambda > 0$ и натуральном $N > (b - a){\text{/}}(b - c)$ в виде рациональной сплайн-функции ${{R}_{{N,1}}}(x)$, остается воспользоваться равенствами (0.4), (0.3) и (1.2) (с соответствующей заменой в них значений $f({{x}_{j}})$ на ${{y}_{j}}$).

2. СХОДИМОСТЬ СПЛАЙН-РЕШЕНИЯ

Придерживаясь принятых выше обозначений, $y = y(x)$ означает точное решение задачи (0.1), (0.2), а также точка $c \in (a,b)$, натуральное $N > (b - a){\text{/}}(b - c)$, $h = (c - a){\text{/}}(N - 1)$, узлам ${{x}_{i}} = a + ih$ $(i = 0,1, \ldots ,N)$ соответствуют полюсы ${{g}_{i}} = {{x}_{{i + 1}}} + \lambda h$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 1)$.

Через ${{R}_{i}}(x,y)$ $(i = 0,1, \ldots ,N)$ обозначим рациональные интерполянты вида (0.3), составленные по узлам ${{x}_{j}}$ и полюсам ${{g}_{i}}$ для функции $y = y(x)$, а через ${{R}_{{N,1}}}(x,y)$ – соответствующую сплайн-функцию вида (0.5).

Тогда по лемме в силу непрерывной дифференцируемости $y(x)$ на отрезке $[a,c]$ при $h \to 0$ имеем

Для рациональной сплайн-функции ${{R}_{{N,1}}}(x)$, соответствующей решению ${{y}_{0}},{{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{N}}$ системы (1.3), при $x \in [a,c]$ получим

Значит, для доказательства равномерной сходимости приближенных решений ${{R}_{{N,1}}}(x)$ к точному решению $y(x)$ на отрезке $[a,c]$ остается оценить на этом отрезке второе слагаемое правой части.

При $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}]$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 1)$ имеем

поэтому достаточно оценить при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}]$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 2)$ разность ${{R}_{i}}(x,y) - {{R}_{i}}(x)$ и учесть, что по определению сплайн-функций ${{R}_{{N,1}}}(x,y)$ и ${{R}_{{N,1}}}(x)$ выполняются равенства ${{R}_{{N - 1}}}(x,y) \equiv {{R}_{{N - 2}}}(x,y)$ и ${{R}_{{N - 1}}}(x) \equiv {{R}_{{N - 2}}}(x)$.

Для этого воспользуемся представлением рациональных интерполянтов ${{R}_{i}}(x,y)$ и ${{R}_{i}}(x)$ в виде (0.8) и следующими оценками в случае равномерных сеток при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}]$:

Тогда при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}]$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 2)$ получим

Значит, при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}]$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 2)$ выполняется неравенство а при $x \in [{{x}_{{N - 2}}},{{x}_{{N - 1}}}]$ имеем

Наконец, докажем, что для $k = 0,1, \ldots ,N - 1$ разность $y({{x}_{k}}) - {{y}_{k}} \to 0$ при $h \to 0$.

Для этого обозначим

где $y = y(x)$ – точное решение задачи (0.1), (0.2), значит,

Тогда при $x \in [a,c]$ в силу условия (1.1) получим

Отсюда и из леммы вытекает, что при $h \to 0$ имеем

По построению сплайна ${{R}_{{N,1}}}(x,y)$ и по условию (0.2) имеем ${{R}_{{N,1}}}({{x}_{0}},y) = y({{x}_{0}}) = A$, из (1.7) имеем ${{y}_{0}} = A$, значит, $y({{x}_{0}}) = {{y}_{0}}$.

Ясно, что по приведенной выше схеме построения приближенного решения ${{R}_{{N,1}}}(x)$ вполне аналогично равенствам (1.8) и (1.9) с учетом равенства (2.5), соответственно получим

Из равенств (2.8), (1.9) и условия (1.1) имеем

Отсюда и из неравенства (1.10) получим

значит, в силу (2.6) имеем $y({{x}_{1}}) \to {{y}_{1}}$ при $h \to 0$.

Далее, при $i = 1,2, \ldots ,N - 1$ в силу (2.7) и (1.8) выполняется равенство

откуда с учетом условия (1.1) и значений коэффициентов $p,q$ и $r$ имеем

У нас $y({{x}_{0}}) = {{y}_{0}}$, $y({{x}_{1}}) \to {{y}_{1}}$ при $h \to 0$ и выполняется условие (2.6). Поэтому по индукции из последних неравенств вытекает $y({{x}_{k}}) - {{y}_{k}} \to 0$ при $h \to 0$ для $k = 0,1, \ldots ,N - 1$.

Тогда, используя (2.3), (2.4), (2.1) и (2.2), получаем требуемую равномерную сходимость на отрезке $[a,c]$ приближенных решений:

3. ПРИМЕР ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРА НА СХОДИМОСТЬ

В случае задачи $\tfrac{{dy}}{{dx}} = {{y}^{2}}$ $(x \in [0,1))$, $y(0) = 1$ с точным решением $y(x) = 1{\text{/}}(1 - x)$, $x \in [0,1)$, уравнение (1.9) принимает вид

так как $F(x,y) = {{y}^{2}}$, $a = 0,$ $b = 1,$ $A = 1$.

Считаем, что $c \in (0;1)$, натуральное $N > \tfrac{1}{{1 - c}},$ $h = c{\text{/}}(N - 1)$, ${{x}_{i}} = ih$ $(i = 0,1, \ldots ,N)$, ${{g}_{i}} = {{x}_{{i + 1}}} + \lambda h$ $(i = 1,2, \ldots ,N - 1)$.

Покажем, что если для решения последнего (нелинейного) уравнения применим итерации, то путем выбора значения параметра $\lambda $ скорость сходимости итераций можно соответственно улучшить.

Для этого положим $\lambda = 1{\text{/}}h$ и применим итерации

Тогда получим

Значит,  третья  итерация  уже  дает приближение ${{y}_{1}} = \sum\nolimits_{i = 0}^4 {{{h}^{i}}} $ к значению точного решения $y({{x}_{1}}) = y(h) = 1{\text{/}}(1 - h)$ достаточно высокого порядка относительно $h$, а именно, $y({{x}_{1}}) - {{y}_{1}} = \tfrac{1}{2}{{h}^{5}} + \bar {\bar {o}}({{h}^{5}})$ $(h \to 0)$.

Остальные значения дискретного решения ${{y}_{2}},{{y}_{3}}, \ldots ,{{y}_{N}}$ можно найти из соответствующих уравнений (1.7) и (1.8) при $F(x,y) = {{y}^{2}}$ и $\lambda = 1{\text{/}}h$, ${{y}_{0}} = 1$.

Например, в случае $c = 0.5$, $h = 0.05$, $N = 11$, сохранив до шести знаков после запятой, имеем

Тогда из (1.7) и (1.8) соответственно получим

Из последнего равенства последовательно имеем

Легко показать, что для полученного дискретного решения ${{y}_{0}},{{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{{10}}}$ и значений точного решения $y(x)$ в узлах ${{x}_{i}} = ih$ $(i = 0,1, \ldots ,10)$ из отрезка $[a,c] = [0;0.5]$ выполняется неравенство

причем левая часть уменьшается с приближением узлов ${{x}_{i}}$ к начальной точке $0$.

4. О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Пусть задача

в которой функция $F(x,u,v)$ считается достаточно гладкой, имеет единственное решение $y = y(x)$ класса $C_{{[a,b)}}^{2}$.

Тогда с использованием известного метода линеаризации $F$ можно построить приближенное решение задачи (4.1), (4.2) в виде рациональной сплайн-функции ${{R}_{{N,2}}}(x)$ из [8]. Однако при этом в случае нелинейной функции $F$ получается система скалярных уравнений относительно дискретного решения, которая содержит $N$, вообще говоря, нелинейных уравнений и приводит к громоздким вычислениям.

Далее показано, что с помощью перехода от задачи (4.1), (4.2) к задаче для нормальной системы уравнений

можно получить систему скалярных уравнений относительно дискретного решения, которая содержит не более одного нелинейного уравнения.

Будем считать, что система (4.3)–(4.5) имеет единственное решение $(y(x),z(x))$, определенное в $[a,b)$, и приведем схему нахождения ее приближенного дискретного решения на произвольном отрезке $[a,c] \subset [a,b)$. Вопросы сходимости к точному решению можно рассмотреть по аналогии с предыдущим разделом.

Для данного $c \in (a,b)$ и натурального $N > (b - a){\text{/}}(b - c)$ положим $h = (c - a){\text{/}}(N - 1)$ и рассмотрим узлы $\Delta :{{x}_{i}} = a + ih$, $i = 0,1, \ldots ,N$, и полюсы ${{g}_{i}} = {{x}_{{i + 1}}} + \lambda h$, $i = 1,2, \ldots ,N - 1$. Соответствующие узлам $\Delta $ приближенные значения функций $y(x)$ и $z(x)$ обозначим через ${{y}_{0}},{{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{N}}$ и ${{z}_{0}},{{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$ соответственно.

Для дискретных функций $Y$ и $Z$, определенных на сетке $\Delta $ со значениями $\{ {{y}_{0}},{{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{N}}\} $ и $\{ {{z}_{0}},{{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}\} $ соответственно, по аналогии с (0.3) и (0.5) рассмотрим рациональные интерполянты ${{R}_{i}}(x,Y)$, ${{R}_{i}}(x,Z)$ и сплайн-функции ${{R}_{{N,1}}}(x,Y)$, ${{R}_{{N,1}}}(x,Z)$.

Тогда в полной аналогии с равенствами (1.7), (1.8) для нахождения неизвестных ${{y}_{j}}$ и ${{z}_{j}}$ получим следующую систему уравнений:

с теми же значениями коэффициентов ${{p}_{0}},\;{{q}_{0}},\;{{r}_{0}}$ и $p,\;q,\;r$, что и в (1.4).

Если из первого уравнения этой системы и уравнения (4.6) при $i = 1$ исключить ${{y}_{2}}$, то придем к уравнению

Аналогично из уравнения в третьей строке и уравнения (4.7) при $i = 1$, исключив ${{z}_{2}}$, получим

Из (4.8) выразим ${{y}_{1}}$ через ${{z}_{1}}$ и подставим в (4.9). Тогда (4.9) превратится в уравнение относительно ${{z}_{1}}$, так как значения всех других параметров известны. Решив полученное, вообще говоря, нелинейное уравнение, можно найти ${{z}_{1}}$, а затем из (4.8) найдем соответствующее значение ${{y}_{1}}$.

Значения ${{y}_{j}}$ и ${{z}_{j}}$ для $j = 2,3, \ldots ,N$ можно найти последовательной подстановкой уже найденных значений по равенствам (4.6) и (4.7).

Заметим также, что после нахождения значений ${{y}_{0}},{{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{N}}$ при необходимости легко переходить к приближенному дважды гладкому решению задачи (4.1), (4.2) в виде рациональной сплайн-функции ${{R}_{{N,2}}}(x)$, соответствующие явные формулы которой приведены в [8].