Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 11, стр. 1861-1866

Задача линейного сопряжения для обобщенного уравнения Коши–Римана с сверхсингулярными точками на полуплоскости

И. Н. Дорофеева^1, *, А. Б. Расулов^1, **

¹ ФГБУ ВО МЭИ
111250 Москва, ул. Красноказарменная, 14, Россия

^* E-mail: idoro224@gmail.com
^** E-mail: rasulzoda55@gmail.com

Поступила в редакцию 20.05.2021
После доработки 20.05.2021
Принята к публикации 07.07.2022

EDN: NGFLDR
DOI: 10.31857/S0044466922110084

Аннотация

Для уравнения с оператором Коши–Римана с сильными изолированными точечными особенностями в младшем коэффициенте найдено интегральное представление решения в классе ограниченных функций на бесконечности и исследована задача линейного сопряжения на полуплоскости. Библ. 15.

Ключевые слова: оператор Коши–Римана, сильные особенности в точках, оператор Помпейю–Векуа, полуплоскость, задача типа линейного сопряжения.

Рассмотрим на комплексной плоскости $\mathbb{C}$ вне множества заданных конечных точек $l = \{ {{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{m}},\;\operatorname{Re} {{z}_{j}} \ne 0,\;j = \overline {1,m} \} $ уравнение

(1)

${{\partial }_{{\bar {z}}}}u - Au = f,\quad A(z) = \sum\limits_{j = 1}^m \frac{{(z - {{z}_{j}}){{a}_{j}}(z)}}{{{\text{|}}z - {{z}_{j}}{{{\text{|}}}^{{{{n}_{j}} + 1}}}}},\quad {{n}_{j}} > 1.$

Предполагается, что функции ${{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{m}}$ и $f$ непрерывны и удовлетворяют условиям

(2)

${{a}_{j}}(z) = {{a}_{j}}({{z}_{j}}) + O({\kern 1pt} {\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{{{n}_{j}} - 2/p}}})\quad {\text{при}}\quad z \to {{z}_{j}},\quad j = \overline {1,m} ;\quad f(z) = o({\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - 1 - \alpha }}})\quad {\text{при}}\quad z \to \infty ,$

где ${{a}_{j}}({{z}_{j}}) \ne 0,$ ${{n}_{j}} > 1,{\kern 1pt} $ $j = \overline {1,m} ,{\kern 1pt} $ $p > 2$ и $\alpha = \min ({{n}_{1}}, \ldots ,{{n}_{m}})$.

Обобщенная система Коши–Римана

(3)

$\frac{{\partial u}}{{\partial{ \bar {z}}}} + au + b\bar {u} = f$

ранее рассматривалась, в основном, в конечной области $D \subseteq \mathbb{C}$, c комплекснозначными функциями $a(z),\;b(z),\;f(z)$ – заданными в ограниченной области $D,$ $u(z)$ – неизвестная функция.

Хорошо известно, сколь важную роль в приложениях играет теория обобщенных аналитических функций уравнения (3), созданная И.Н. Векуа [1], в случае, когда $a,b,f \in {{L}_{p}}(D)$, $p > 2$. Она имеет глубокие связи со многими разделами анализа, геометрии и механики, включая квазиконформные отображения, теорию поверхностей, теорию оболочек, газовую динамику. В частности, она широко используется при моделировании трансзвуковых течений газа, состояний безмоментного напряженного равновесия выпуклых оболочек и многих других процессов.

В этой теории ключевую роль играет интеграл Помпейю

(4)

$(Tf)(z) = - \frac{1}{\pi }\int\limits_G \frac{{f(\zeta ){{d}_{2}}\zeta }}{{\zeta - z}},$

с плотностью $f \in {{L}^{p}}(D),$ $p > 2$, где здесь и ниже ${{d}_{2}}\zeta $ означает элемент площади. Хорошо известно, что этот оператор ограничен из ${{L}^{p}}(D)$ в соболевское пространство ${{W}^{{1,p}}}(D)$ и имеет место вложение ${{W}^{{1,p}}}(D) \subseteq {{C}^{\mu }}(\bar {D})$ с показателем Гёльдера $\mu = (p - 2){\text{/}}p$ и ${{\partial }_{{\bar {z}}}}Tf = f.$ Следовательно, если $A,f \in {{L}^{p}}(D),$ $p > 2$, и $\Omega = TA,$ то общее решение уравнения (1) дается формулой [1]:

$u = {{e}^{\Omega }}[\phi + T({{e}^{{ - \Omega }}}f)],$

где $\phi - $ произвольная аналитическая функция.

Уравнение (3) с коэффициентами $a = O({{\bar {z}}^{{ - 1}}}),$ $b = O({{\bar {z}}^{{ - 1}}})$, при $z \to 0 \in D$ в связи с его многочисленными приложениями рассматривалось многими авторами. В монографии Л.Г. Михайлова [2] разрешимость интегрального уравнения, к которому сводится уравнение (3), доказывается при определенных условиях малости этих коэффициентов и на основе полученного решения исследована граничная задача Гильберта.

З.Д. Усмановым [3] построена теория уравнения (3) при $a = 0,$ $b(z) = {{\bar {z}}^{{ - 1}}}\beta {{e}^{{ik\varphi }}},$ $k \in Z$. Однако случай, когда $b(z) = {{\bar {z}}^{{ - 1}}}({{\beta }_{1}}{{e}^{{ik\varphi }}} + {{\beta }_{2}}{{e}^{{im\varphi }}})$, где ${{\beta }_{1}} \ne {{\beta }_{2}}$, приводит к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которые не поддаются исследованию. Поэтому в дальнейшем основной целью исследований З.Д. Усманова [4] является нахождение связи решений уравнений (3) с коэффициентами $a(z) = 0,{\kern 1pt} $ $b(z) = {{\bar {z}}^{{ - 1}}}\beta $ и с коэффициентами $a(z) = 0,{\kern 1pt} $ $b(z) = O({{\bar {z}}^{{ - 1}}})$ при $z \to 0 \in D$ посредством линейного интегрального уравнения с вполне непрерывным оператором, чтобы какой-либо вопрос для общего уравнения редуцировать к аналогичному вопросу для уравнения частного вида с постоянными коэффициентами. Доказано, что существуют решения уравнения, допускающие особенности порядка $\nu > 0$ в точке $z = 0$ в виде рядов Фурье, коэффициенты которого определяются через функции Бесселя (функции Макдональда).

H. Begehr и Dao-Qing Dai [5] изучили уравнение

(5)

$\frac{{\partial u}}{{\partial{ \bar {z}}}} = \frac{{Q(z)}}{{P(z)}} + au + b\bar {u},$

с коэффициентами $a = O({{\bar {z}}^{{ - 1}}}),$ при $z \to 0 \in D$, $b(z) \in {{L}^{p}}(D),{\kern 1pt} $ $p > 2,$ где $Q(z)$ и $P(z)$ – многочлены комплексной переменной $z$; и полином $P$ имеет только простые корни в замкнутом единичном диске $D.$ Было установлено, что число решений задачи Римана–Гильберта для уравнения (5) зависит не только от ее индекса, но и от местоположения и типа особенностей.

Класс непрерывных решений уравнения (3) при $a(z) = O({{\bar {z}}^{{ - 1}}}),{\kern 1pt} $ $b = O({{\bar {z}}^{{ - 1}}})$ изучен в работах А.Б. Тунгатарова [6]. Решение уравнения (3) с сингулярными коэффициентами в виде рядов также изучается в работе А. Мезиани [7].

По мнению многих исследователей класс уравнений (3) (при $a = O({{\bar {z}}^{{ - 1}}}),$ ${\kern 1pt} b = O({{\bar {z}}^{{ - 1}}})$ при $z \to 0 \in D$), исследованный Л.Г. Михайловым, является простейшим и, пожалуй, единственным представителем класса обобщенных систем Коши–Римана с квазисуммируемыми коэффициентами, относительно которого ряд результатов удается получить путем использования основного оператора (4) теории регулярных обобщенных систем Коши–Римана [8].

Поэтому пришли к другим методам исследования уравнения (3), минуя оператор Помпейю-Векуа (4). Например, А. Тунгатаровым и др. [6] уравнения (3), имеющие особенности первого порядка в точке или на линии, рассмотрены в бесконечной угловой области произвольного раствора. Кратко изложим схему построения решения. Используя сочетания метода Фукса и метода Фурье разделения переменных, уравнения (1) приводятся к сингулярным интегральным уравнениям. Далее с помощью модифицированного метода последовательных приближений из этих сингулярных интегральных уравнений получены представления решений, где в правой части имеется $n$ кратный интеграл, содержащий неизвестную функцию. При $n \to \infty $ этот член стремится к нулю, и поэтому интегральные представления превращаются в многообразия непрерывных решений.

Нам удалось применить оператор Помпейю (4) к исследованию уравнения (3) в случае , когда коэффициенты $a,b$ имеют сильные особенности в точках и линиях области $D$ (см., например, [11], [12]).

В работах А.П. Солдатова [9], [10] даны оценки классического интеграла Помпейю (4), рассматриваемого на всей комплексной плоскости с особыми точками $z = 0$ и $z = \infty $ в семействах различных весовых пространств, некоторые из которых мы используем в данной работе.

Для более подробного ознакомления с обзором проделанных работ можно обратиться к работам [2], [3], [6] и другим источникам.

Следовательно, если в ранее изложенных работах исследование обобщенной системы уравнений Коши–Римана велось, в основном, в конечной области, в нашем случае рассматривается расширенная комплексная плоскость, дополненная по сравнению с обычной бесконечно удаленной точкой: $\mathbb{C} \cup \{ \infty \} = \bar {\mathbb{C}}$. Геометрически точка $z = \infty $ изображается точкой сферы Римана (ее “северный полюс”). Следовательно, к m-конечным точкам ${{z}_{j}},{\kern 1pt} j = \overline {1,m} $, плоскости, в которых коэффициент $A$ имеет сильные особенности, добавится еще одна особая точка $z = \infty .$

Пусть $\mathbb{C} = {{\mathbb{C}}^{ + }} \cup \mathbb{R} \cup {{\mathbb{C}}^{ - }},$ где ${{\mathbb{C}}^{ + }}$ и ${{\mathbb{C}}^{--}}$ – соответственно, верхная и нижная плоскость, $\mathbb{R}$ – вещественная ось.

В рассматриваемом случае интегральный оператор $T$ понимается по отношению к неограниченной области, в том числе и по отношению к областям ${{\mathbb{C}}^{ + }},{\kern 1pt} \;{{\mathbb{C}}^{ - }}$ или $\mathbb{C}$. Хорошо известно [1], что если функция $f$ непрерывно дифференцируема и $f(z) = O({\kern 1pt} {\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{\delta }})$ при $z \to \infty $ с некоторым $\delta < - 1,$ то функция

(6)

$(Tf)(z) = - \frac{1}{\pi }\int\limits_\mathbb{C} \frac{{f(\zeta ){{d}_{2}}\zeta }}{{\zeta - z}},{\kern 1pt} \quad \zeta ,z \in \mathbb{C},$

непрерывно дифференцируема и является решением уравнения (1) при $A = 0.$ В монографии [1] И.Н. Векуа описал условие на функцию $f$, обеспечивающее принадлежность $Tf$ классу ${{C}^{\mu }}(\mathbb{C})$ в терминах введенного им пространства ${{L}^{{p,\nu }}}(\mathbb{C}),\;p > 2$. Под ${{C}^{\mu }}(\mathbb{C})$ здесь понимается класс непрерывных функций $f(z)$, которые вместе с $f(1{\text{/}}z)$ принадлежат ${{C}^{\mu }}(D)$ в единичном круге $D$. По определению пространство ${{L}^{{p,\nu }}}(\mathbb{C})$ состоит из всех функций $f$, для которых $f(z)$ и ${{f}_{\nu }}(z) = {\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - \nu }}}f(1{\text{/}}z)$ принадлежат ${{L}^{p}}(D)$. В этих обозначениях если $f \in {{L}^{{p,2}}}(\mathbb{C}),$ $p > 2$, то функция $Tf \in {{C}^{\mu }}(\mathbb{C})$, $\mu = 1 - 2{\text{/}}p$, и обращается в нуль на бесконечности (см. теоремы 1.24, 1.25 в монографии [1]). В частности, $(Tf)(z) = o({\kern 1pt} {\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{\mu - 1}}})$ при $z \to \infty $.

Обычно под обобщенным решением уравнения (1) понимается функция $u$, которая в области ${{\mathbb{C}}^{ + }}{{\backslash }}\{ l\} $ допускает обобщенную производную по $\bar {z}$, причем

${{u}_{{\bar {z}}}} \in {{L}^{{p,2}}}(\mathbb{C}_{\varepsilon }^{ + }),\quad \mathbb{C}_{\varepsilon }^{ + } = \{ z,\;{\text{|}}z - {{z}_{j}}{\kern 1pt} {\text{|}} > \varepsilon ,\;j = 1, \ldots ,m\} ,$

для любого $\varepsilon > 0$, ограниченная на бесконечности и удовлетворяющая уравнению (1) почти всюду.

В дальнейшем для компактного изложения при ${{n}_{j}} > 1,{\kern 1pt} $ $j = \overline {1,m} $, введем следующие обозначения:

${{\omega }_{j}} = \frac{2}{{({{n}_{j}} - 1){\text{|}}z - {{z}_{j}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{{{n}_{j}} - 1}}}}},\quad {{A}_{0}}(z) = \sum\limits_{j = 1}^m \frac{{(z - {{z}_{j}})[{{a}_{j}}(z) - {{a}_{j}}({{z}_{j}})]}}{{{\text{|}}z - {{z}_{j}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{{{n}_{j}} + 1}}}}},$

где ${{\omega }_{j}}$ – решение уравнения ${{u}_{{\bar {z}}}}(z) = - (z - {{z}_{j}}){\kern 1pt} {\text{|}}z - {{z}_{j}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - 1 - n}}},{\kern 1pt} $ ${{a}_{j}} \in C({{\mathbb{C}}^{ + }} \cup \mathbb{R}),$ $j = \overline {1,m} $.

Введем сингулярный интеграл

$\Omega (z) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} ({{T}_{\varepsilon }}A)(z) \equiv - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} {\kern 1pt} \frac{1}{\pi }\int\limits_{\mathbb{C}_{\varepsilon }^{ + }} \frac{{A(\zeta ){{d}_{2}}\zeta }}{{\zeta - z}},$

где интегральный оператор ${{T}_{\varepsilon }}$ определяется аналогично (2) по отношению к области $\mathbb{C}_{\varepsilon }^{ + }.$

Теорема 1. Пусть ${{n}_{j}} > 1,{\kern 1pt} $ $j = \overline {1,m} $, и ${{A}_{0}} \in {{L}^{{p,2}}}({{\mathbb{C}}^{ + }})$. Тогда функция $\Omega (z)$, ${\kern 1pt} z \ne {{z}_{j}},$ $j = \overline {1,m} ;$ существует и представима в виде

(7)

$\Omega (z) = - \sum\limits_{j = 1}^m \,{{a}_{j}}({{z}_{j}}){{\omega }_{j}} + h(z),$

где $h(z) \in {{C}^{\mu }},$ определяется равенством

$h(z) = (T{{A}_{0}})(z) + \frac{1}{{\pi i}}\sum\limits_{j = 1}^m \frac{{{{a}_{j}}({{z}_{j}})}}{{({{n}_{j}} - 1)}}\int\limits_\mathbb{R} \frac{1}{{{\text{|}}z - {{z}_{j}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{{{n}_{j}} - 1}}}}}\frac{{d\zeta }}{{\zeta - z}}$

и удовлетворяет уравнению ${{\Omega }_{{\bar {z}}}} = A.$

Соответственно в предположении ${{e}^{{ - \Omega }}}f \in {{L}^{{p,2}}}({{\mathbb{C}}^{ + }}),$ обобщенное решение уравнения (1) дается формулой

(8)

$u = {{e}^{\Omega }}[\phi + T({{e}^{{ - \Omega }}}f)],$

где $\phi \in {{C}^{\mu }}(\overline {{{\mathbb{C}}^{ + }}} {{\backslash }}\{ l\} )$ – произвольная аналитическая в области ${{\mathbb{C}}^{ + }}{{\backslash }}\{ l\} $ функция и $\phi (z) = o({\kern 1pt} {\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - 2/p}}})$ при ${\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} \to \infty .$

Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы об интегральном представлении системы Коши–Римана с одной сверхсингулярной точкой, которое приведено в [15] и базируется на тождестве ${{\partial }_{{\bar {z}}}}\Omega = A$ и формуле Грина

$\int\limits_B \frac{{\partial U}}{{\partial{ \bar {\zeta }}}}{{d}_{2}}\zeta = \frac{1}{{2i}}\int\limits_{\partial B} {\kern 1pt} Ud\zeta ,$

в круге $B = \{ {\kern 1pt} {\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} < R\} $ достаточно большого радиуса $R$. Тогда при $R \to \infty $ убеждаемся в справедливости теоремы.

Замечание 1. Заметим, что при $0 < \delta < 1$ условие

$u(z) = O({\kern 1pt} {\text{|}}z - {{z}_{j}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - \delta }}})\exp \left[ { - \frac{{\operatorname{Re} 2a({{z}_{j}})}}{{(n - 1){\kern 1pt} {\text{|}}z - {{z}_{j}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{n - 1}}}}}} \right],$

при $z \to {{z}_{j}},{\kern 1pt} $ $j = \overline {1,m} $, равносильно тому, что в этом представлении функция $\phi $ имеет $z = {{z}_{j}},{\kern 1pt} $ $j = \overline {1,m} $, устранимую особую точку и, следовательно, аналитична во всей области ${{\mathbb{C}}^{ + }}$ и по условию $\phi (z) = o({\kern 1pt} {\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - 2/p}}})$ при ${\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} \to \infty .$

Поэтому фактически функция $u$ относится к классу функций, для которых ${{e}^{{ - \Omega }}}u \in H(\overline {{{\mathbb{C}}^{ + }}} )$. Этот класс функций, удовлетворяющий условию Гёльдера с некоторым показателем, удобно обозначить через $H(\overline {{{\mathbb{C}}^{ + }}} ,{{e}^{\Omega }}),$ где .

Замечание 2. Заметим, что ${{A}_{{0j}}}(z) \in {{L}^{p}}(G),$ $p > 2,$ если

${{a}_{j}}(z) - {{a}_{j}}({{z}_{j}}) = O({\kern 1pt} {\text{|}}z - {{z}_{j}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{{{\gamma }_{j}}}}}),\quad {{\gamma }_{j}} > {{n}_{j}} - 2{{p}^{{ - 1}}},\quad {{n}_{j}} > 1,\quad j = \overline {1,m} .$

Заметим, что теорема 1 сохраняет свою силу, если условие ${{A}_{0}}(z) \in {{L}^{{p,2}}}(\mathbb{C})$ заменено на (2), или, более точно, на условие ${{a}_{j}}(z) - {{a}_{j}}({{z}_{j}}) = o({\kern 1pt} {\text{|}}z{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - \alpha }}})$ при $z \to \infty $.

2. ЗАДАЧА ТИПА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

Требуется найти решение уравнения (1) в полуплоскостях ${{\mathbb{C}}^{ + }},$ ${{\mathbb{C}}^{ - }}$, соответственно принадлежащее классам ${{L}^{{p,2}}}({{\mathbb{C}}^{ \pm }}) \cap H(\overline {{{\mathbb{C}}^{ + }}} ,{{e}^{\Omega }})$ и такое, что для функций ${{({{e}^{{ - \Omega }}}u)}^{ \pm }},$ ограниченных в ${{\mathbb{C}}^{ + }},$ и ${{\mathbb{C}}^{ - }},$ предельные значения на контуре $\mathbb{R}$ удовлетворяют следующему граничному условию:

(9)

${{({{e}^{{ - \Omega }}}u)}^{ + }}(t) = G(t){{({{e}^{{ - \Omega }}}u)}^{ - }}(t) + g(t),{\kern 1pt} \quad t \in \mathbb{R},$

где $G(t),\;g(t)$ – заданные на $\mathbb{R}$ функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, как в конечных точках, так и в окрестности бесконечно удаленной точки контура, причем $G(t) \ne 0,$ $t \in \mathbb{R}$ и $g(t) = o({\kern 1pt} {\text{|}}t{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - \delta }}}),$ $\delta > 0,$ $t \to \infty $.

Используя интегральное представление (4) и условие задачи (9), мы приходим к следующей задаче линейного сопряжения теории аналитических функций для полуплоскости:

(10)

${{\phi }^{ + }}(t) = G(t){{\phi }^{ - }}(t) + \tilde {g}(t),\quad t \in \mathbb{R},$

где

$\tilde {g} = {{T}^{ + }}({{e}^{{ - \Omega }}}f) + g - G{{T}^{ - }}({{e}^{{ - \Omega }}}f),\quad {{T}^{ \pm }}({{e}^{{ - \Omega }}}f) = {{\left\{ {\frac{1}{\pi }\int\limits_{{{\mathbb{C}}^{ + }}} \frac{{{{e}^{{ - \Omega }}}(\zeta )f(\zeta )}}{{\zeta - z}}{{d}_{2}}\zeta } \right\}}^{ \pm }}.$

Из (9) и (10) следует, что индекс ${{\unicode{230} }} = \operatorname{Ind} G(t)$ этих задач совпадает.

Таким образом, задача (9) приводится к задаче линейного сопряжения для полуплоскости теории аналитических функций, решение которой явным образом находится (см. [13, с. 120]). Следовательно, если ${{\unicode{230} }} = \operatorname{Ind} G(t) \geqslant 0$, то задача (1), (9) разрешима, ее общее решение дается формулой (4), в которой функция $\phi (z)$ имеет вид

(11)

$\phi (z) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{X(z)}}{{2\pi i}}\int\limits_\mathbb{R} {\frac{{\widetilde {g(\tau )}}}{{{{X}^{ + }}(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau - z}}} + X(z)\frac{{{{P}_{{{\unicode{230} }}}}(z)}}{{{{{(z + i)}}^{{{\unicode{230} }}}}}}\quad {\text{при}}\quad {{\unicode{230} }} \geqslant 0; \hfill \\ X(z)\left[ {\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\mathbb{R} {\frac{{\widetilde {g(\tau )}}}{{{{X}^{ + }}(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau - z}}} + C} \right]\quad {\text{при}}\quad {{\unicode{230} }} < 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

где

${{X}^{ + }}(z) = {{e}^{{{{\Gamma }^{ + }}(z)}}},\quad {{X}^{ - }}(z) = {{\left( {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right)}^{{ - {{\unicode{230} }}}}}{{e}^{{{{\Gamma }^{ - }}(z)}}},$

$\Gamma (z) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\mathbb{R} \frac{{\ln \left[ {{{{\left( {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right)}}^{{ - {{\unicode{230} }}}}}G(\tau )} \right]}}{{\tau - z}}d\tau ,$

${{P}_{{{\unicode{230} }}}}(z)$ – полином степени не выше ${{\unicode{230} }}$ с произвольными комплексными коэффициентами. При ${{\unicode{230} }} < 0$ функция $X(z)$ в точке $z = - i$ имеет полюс порядка $ - {{\unicode{230} }}$, поэтому для разрешимости задач нужно положить $C = - \psi ( - i)$. При ${{\unicode{230} }} < - 1$, кроме того, должно выполняться еще следующее условие:

(12)

$\int\limits_\mathbb{R} \frac{{\widetilde {g(\tau )}}}{{{{X}^{ + }}(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{{{{(\tau + i)}}^{k}}}} = 0,\quad k = 2,... - {{\unicode{230} }}.$

Формула (11) выражает решение задачи Римана в полуплоскости для аналитических функций, которое является ограниченным на бесконечности [13], [14].

Как следует из интегрального представления (4), решение изчезает в бесконечно-удаленной точке. Подставляя в краевое условие (10) ${{\phi }^{ \pm }}(\infty ) = 0,$ получим $g(\infty ) = 0.$ Следовательно, чтобы задача линейного сопряжения для полуплоскости имела решение, исчезающее на бесконечности, свободный член краевого условия должен на бесконечности обращаться в нуль. Поэтому предположим, что $g(t) = o({\kern 1pt} {\text{|}}t{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - \delta }}}),$ $\delta > 0,$ $t \to \infty $. Для получения решения в данном случае нужно в (11) вместо ${{P}_{{{\unicode{230} }}}}$ взять ${{P}_{{{{\unicode{230} }} - 1}}},$ а постоянную $C$ приравнять к нулю. Таким образом,

(13)

$\phi (z) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{X(z)}}{{2\pi i}}\int\limits_\mathbb{R} {\frac{{\widetilde {g(\tau )}}}{{{{X}^{ + }}(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau - z}}} + X(z)\frac{{{{P}_{{{{\unicode{230} }} - 1}}}(z)}}{{{{{(z + i)}}^{{{\unicode{230} }}}}}}\quad {\text{при}}\quad {{\unicode{230} }} > 0; \hfill \\ \frac{{X(z)}}{{2\pi i}}\int\limits_\mathbb{R} {\frac{{\widetilde {g(\tau )}}}{{{{X}^{ + }}(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau - z}}} \quad {\text{при}}\quad {{\unicode{230} }} \leqslant 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

При ${{\unicode{230} }} \leqslant 0$ в этой формуле нужно положить ${{P}_{{{\unicode{230} }}}} \equiv 0.$ К условиям разрешимости нужно добавить еще условие

$\Psi (i) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\mathbb{R} {\frac{{\widetilde {g(\tau )}}}{{{{X}^{ + }}(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau - i}}} = 0.$

Таким образом, эти условия примут вид

(14)

$\int\limits_\mathbb{R} \frac{{\widetilde {g(\tau )}}}{{{{X}^{ + }}(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{{{{(\tau + i)}}^{k}}}} = 0,\quad k = 1,2,... - {\kern 1pt} {{\unicode{230} }}.$

Терема 2. Пусть ${{\unicode{230} }} = \operatorname{Ind} G(t) > 0.$ Тогда задача (1), (9) для полуплоскости безусловно разрешима и ее общее решение дается формулой (4), в которой функция $\phi (z)$ определяется формулой (13), причем это решение зависит линейно от ${{\unicode{230} }}$ произвольных постоянных. Если ${{\unicode{230} }} \leqslant 0$, то задача имеет е-динственное решение. При ${{\unicode{230} }} < 0$ разрешима однозначно лишь при выполнении $ - {{\unicode{230} }}$ условий разрешимости (14).

Список литературы

Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. 628 с.
Михайлов Л.Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Таджик НИИНТИ, 1963. 183 с.
Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши–Римана с сингулярной точкой. Душанбе: Изд-во АН ТаджССР, 1993. 244 с.
Усманов З.Д. Связь многообразия решений общей и модельной обобщенных систем Коши - Римана с сингулярной точкой // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 2. С. 302–307.
Begehr, Dai D.Q. On continuous solutions of a generalized Cauchy–Riemann system with more than one singularity // J. Differen. Eq. 2004. V. 196. P. 67–90.
Abdymanapov S.A.,Tungatarov A.B. Some classes of elliptic systems in the plane with singular coefficients. A-lmaty: Nauka, 2005. 169 p.
Meziani A. Representation of solutions of a singular CR equation in the plane // Complex Var. and Elliptic Eq. 2008. V. 53. P. 1111–1130.
Abdymanapov S.A., Begehr H., Harutugian G., Tungatarov A. Four boundary value problems for the Cauchy–Riemann equation in a quarter plane // More Progresses in analysis. Pro. of the 5th Interna. ISAAC Congress. Catania, Italy, 2005. P. 1137–1147.
Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи, I //Современ. матем. Фундамент. напр. Функц. анализ. 2017. Т. 63. № 1. С. 1–189.
Об интеграле Помпею и некоторых его обобщениях // Вестник ЮУрГУ ММП. 2021. Т. 14. № 1. С. 53–67.
Расулов А.Б., Солдатов А.П. Краевая задача для обобщенного уравнения Коши–Римана с сингулярными коэффициентами// Дифференц. ур-ния 2016. Т. 52. № 5. С. 637–650.
Раджабов Н.Р., Расулов А.Б. О корректной постановке задач для системы Бицадзе со сверхсингулярной точкой и окружностью // Научные Ведомости БелГУ серия математика, физика. 2011. № 23(118). Вып. 25. С. 93–101.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М: Наука, 1977. 640 с.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.
Расулов А.Б., Дорофеева И.Н. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Коши–Римана с сверхсингулярной точкой на полуплоскости // Ж. вычисл. матем и матем. физ. 2020. Т. 60. № 10. С. 82–88.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал