Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 2, стр. 217-231

ВВЕДЕНИЕ

Задачи оптимального управления, описывающиеся уравнениями в частных производных, особенно в постановках [1], давно привлекают внимание исследователей. Иcследование этих задач не теряет своей актуальности и в настояще время (см., например, [2]–[4] и библиографию в них). Однако исследований таких задач, содержащих малый параметр, очень мало, особенно, когда ищется полное асимптотическое разложение по малому параметру их решений. Одними из первых работ, где строилась такая асимптотика, были работы [5], [6], в которых на управление накладывались геометрические ограничения.

В научной школе А.М. Ильина по асимптотическому анализу исследованы некoторые задачи оптимального управления, описывающиеся краевыми задачами для линейных уравнений эллиптического типа с интегрально квадратичным критериeм качества (как с распределенным управлением (см. [7], [8]), так и с граничным (см. [9], [10])) и с различного рода сингулярностями (малый параметр при старших производных, малые полости в области определения уравнения, наличие угловых точек на границе). Условия оптимальности в таких задачах описываются краевыми задачами для систем двух уравнений эллиптического типа с дополнительным параметром (когда ограничения на управление по существу) и дополнительным соотношением на этот параметр. В ряде случаев такие задачи являются бисингулярными и для построения полного асимптотического разложения применяется метод согласования (см. [11]).

Данная работа является обобщением работы [12] на случай управления потоком через границу двухсвязной области с различной интенсивностью управления на каждой из частей границы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть $\Omega : = {{\Omega }_{1}}{{\backslash }}{{\bar {\Omega }}_{2}} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ $(n = 2,3)$ – ограниченная двухсвязная область $({{\bar {\Omega }}_{2}} \subset {{\Omega }_{1}})$ с границей $\Gamma : = \partial \Omega = \partial {{\Omega }_{1}} \cup \partial {{\Omega }_{2}} = :{{\Gamma }_{1}} \cup {{\Gamma }_{2}}$, удовлетворяющей условию: граница $\Gamma $ области $\Omega $ есть бесконечно дифференцируемое многообразие размерности $n - 1$, расположенное локально по одну сторону от $\Gamma $ (иными словами, мы рассматриваем $\bar {\Omega }$ как многообразие с краем $\Gamma $ класса ${{C}^{\infty }}$).

Рассматривается следующая задача граничного оптимального управления (см. [1, гл. 2, соотношения (2.41), (2.9)]):

Здесь $\nu > 0,$ ${{H}^{1}}(\Omega )$ – соболевское пространство функций, $\partial {\text{/}}\partial n$ – производная по внешней нормали к $\Gamma $, а через $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$, $\left\| {\left| {\, \cdot \,} \right|} \right\|$, ${{\left\| {\left| {\, \cdot \,} \right|} \right\|}_{i}}$, $i = 1,2$, обозначены нормы в пространствах ${{L}_{2}}(\Omega )$, ${{L}_{2}}(\Gamma )$ и ${{L}_{2}}({{\Gamma }_{i}})$ соответственно. Скалярные произведения в этих пространствах будем обозначать через $( \cdot , \cdot )$, $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $ и ${{\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle }_{i}}$ соответственно.

Для функций, определенных на границе области, будем использовать следующие обозначения: если $g \in {{L}_{2}}(\Gamma )$, то ${{g}_{i}}: = {{\left. g \right|}_{{{{\Gamma }_{i}}}}} \in {{L}_{2}}({{\Gamma }_{i}})$, $i = 1,2$. И наоборот, если ${{g}_{i}} \in {{L}_{2}}({{\Gamma }_{i}})$, $i = 1,2$, то через $g \in {{L}_{2}}(\Gamma )$ будем обозначать функцию такую, что ${{g}_{i}}: = {{\left. g \right|}_{{{{\Gamma }_{i}}}}} \in {{L}_{2}}({{\Gamma }_{i}})$, $i = 1,2$.

Предполагается, что выполнены следующие условия:

а решение краевой задачи (1.1) понимается в обобщенном смысле (см., например, [1, гл. 1, § 3, п. 3.4]): для любого $\varphi \in {{H}^{1}}(\Omega )$ (с учетом (1.2) и (1.4)) справедливо равенство

2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ

В этом случае единственное оптимальное управление ${{u}_{\varepsilon }}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ и соответствующее ему ${{z}_{\varepsilon }}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ находятся как решение следующей задачи (см. [1, гл. 2, соотношения (2.41), (2.36), (2.49)]):

Здесь

Лемма 1. Пусть $p \in {{L}_{2}}(\Gamma )$, $u \in {{\mathcal{U}}_{r}}$, $\mu \in {{L}_{2}}(\Gamma )$ и $\mu (x) \ne 0$ почти всюду на $\Gamma $. Тогда условие

эквивалентно следующему: При этом

Доказательство. Поскольку

то, взяв минимум по ${v} \in {{\mathcal{U}}_{r}}$ – шару радиуса $r$ с центром в нуле, получим что в силу неравенства Коши–Буняковского дает Тем самым (2.4) эквивалентно равенству (2.7).

Если $\mu p + {{\nu }^{{ - 1}}}{{\mu }^{2}}u = 0$, то (2.7) выполняется и $u = - \nu p{\text{/}}\mu $. В противном случае

Пусть $\lambda : = \left\| {\left| {\mu p + {{\nu }^{{ - 1}}}{{\mu }^{2}}u} \right|} \right\|{\text{/}}r$. Тогда $u = - \lambda p$, откуда находим т.е. (2.5) выполняется и, если $\left\| {\left| u \right|} \right\| < r$, то $\lambda = 0$.

Пусть теперь $\lambda \geqslant 0$ и удовлетворяет (2.5). Положим

В этом случае Таким образом, вектора $\mu p + {{\nu }^{{ - 1}}}{{\mu }^{2}}$ и ${{u}_{\lambda }}$ противоположно направлены и поэтому Отметим, что если $\mu p + {{\nu }^{{ - 1}}}{{\mu }^{2}}{{u}_{\lambda }} \ne 0$, то $\lambda \ne 0$ и в силу (2.5) $\left\| {\left| {{{u}_{\lambda }}} \right|} \right\| = r$, т.е. (2.7) выполнено.

В силу леммы 1 задача (2.1)–(2.3) (а значит, и задача (1.1)–(1.3)) эквивалентна краевой задаче

зависящей от скалярного параметра ${{\lambda }_{\varepsilon }} \geqslant 0$ с дополнительным соотношением (2.5) при $r = 1$. Оптимальное управление ${{u}_{\varepsilon }}$ определяется функцией ${{p}_{\varepsilon }}$ по формуле (2.6), принимающей вид ${{u}_{\varepsilon }} = {{\left. { - \hat {\lambda }( \cdot ;\lambda )p} \right|}_{\Gamma }}$.

При этом, если в задаче (1.1)–(1.3) ограничение на управление не по существу, то

Отметим, что в любом случае

Цель работы – изучить поведение ${{z}_{\varepsilon }},\;{{p}_{\varepsilon }}$ и ${{\lambda }_{\varepsilon }}$ при $\varepsilon \to 0.$

В дальнейшем различные положительные константы, зависящие только от области $\Omega $ и коэффициента $a({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$, часто будем обозначать одной и той же буквой $K$ (возможно с индексами).

В [9, лемма 2] доказано, что если выполнено условие (1.4), $f \in {{L}_{2}}(\Omega )$, $q \in {{L}_{2}}(\Gamma )$ и ${{y}_{\varepsilon }}$ есть решение задачи

то существует $K > 0$ такое, что

Поскольку ${{z}_{\varepsilon }}$ – решение задачи (1.1), (1.2) есть решение задачи (2.11) с функцией $q$ такой, что ${{\left. q \right|}_{{{{\Gamma }_{i}}}}} = {{g}_{i}} + {{\mu }_{i}}{{u}_{\varepsilon }}$, $i = 1,2$, то

Применяя (2.12), получаем, что Но ${{p}_{\varepsilon }}$ удовлетворяет (2.11) с $f = - {{z}_{d}}$ и $q = 0$, поэтому в силу (2.12) получим, что

Таким образом, если $\{ {{z}_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }}\} $ – решение задачи (2.8), (1.1)–(1.3), то существует $K > 0$ такое, что

Тем самым, для ${{z}_{\varepsilon }}$ – решения задачи (1.1)–(1.3), получим следующие асимптотические оценки:

В [10, теорема 1] показано, что если

то при любых ${{\hat {\lambda }}_{1}} > 0$ и ${{\hat {\lambda }}_{2}} > 0$ задача разрешима единственным образом и функции $\{ z,p\} $ – ее решение, удовлетворяют соотношению $z,p \in {{H}^{2}}(\Omega )$.

При этом, если ${{f}_{j}} \in {{C}^{\infty }}(\bar {\Omega })$, а ${{g}_{{j,i}}} \in {{C}^{\infty }}({{\Gamma }_{i}})$, $j,i = 1,2$, то $z,p \in {{C}^{\infty }}(\bar {\Omega })$.

Лемма 2. Пусть $\{ z,p\} $ — решение задачи (2.15). Тогда

Доказательство. В силу определения обобщенного решения задачи (2.15) (см. (1.5)) для любых $\varphi ,\psi \in {{H}^{1}}(\Omega )$ справедливы равенства

Положив $\varphi = p$ в (2.17), а $\psi = z$, и вычитая из первого получившегося равенства второе, получим (2.16).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1.4) и (2.14). Если {z, p} – решение задачи (2.15), то существует K > 0 такое, что справедливы оценки

где D$_{1}(f,g): = {{\varepsilon }^{{1/2}}}({{\left\| f \right\|}_{1}} + \left\| {{{f}_{2}}} \right\|) + \left\| {\left| {{{g}_{1}}} \right|} \right\| + \left\| {\left| {{{g}_{2}}} \right|} \right\|$.

Доказательство. Сначала рассмотрим ${{z}_{1}}$ и ${{p}_{1}}$ — решение задачи

Тогда в силу (2.12)

Так как ${{p}_{1}}$ удовлетворяет (2.11) с $f = {{f}_{2}} + {{z}_{1}}$ и $q = {{g}_{2}}$, то

Таким образом, в силу (2.12) для функции ${{p}_{1}}$ тоже справедливы оценки вида (2.18):

Теперь функции ${{z}_{2}}: = z - {{z}_{1}}$ и ${{p}_{2}}: = p - {{p}_{1}}$ удовлетворяют системе

Соотношение (2.16), примененное к ${{z}_{2}}$ и ${{p}_{2}}$, с учетом вида системы (2.20) дает неравенство

Отсюда следует, что

Последнее неравенство есть квадратичное неравенство относительно ${{\left\| {\left| {{{p}_{2}}} \right|} \right\|}_{1}}$ и ${{\left\| {\left| {{{p}_{2}}} \right|} \right\|}_{2}}$. Применяя элементарную оценку решения таких неравенств (получающуюся методом выделения полных квадратов), получаем

Отсюда получим

Из (2.21) и (2.22) следует, что

Задача для ${{p}_{2}}$ есть задача (2.11) с $f = {{z}_{2}}$ и $q = 0$. Применив оценки (2.12) (с учетом (2.23) и (2.18)) для ${{p}_{2}}$, получим Тем самым,

Аналогично, задача для ${{z}_{2}}$ есть задача (2.11) с $f = 0$ и $q$: ${{\left. q \right|}_{{{{\Gamma }_{i}}}}} = - {{\hat {\lambda }}_{i}}({{p}_{1}} + {{p}_{2}})$, $i = 1,2$. При этом в силу (2.22) и (2.19)

Применив оценки (2.12) для ${{z}_{2}}$, получим

Теперь для получения итоговых оценок осталось применить неравенство треугольника для норм функций $z = {{z}_{1}} + {{z}_{2}}$ и $p = {{p}_{1}} + {{p}_{2}}$.

3. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ

Для обоснования асимптотических разложений решений задачи (2.8), (2.5) при $r = 1$ нужны теоремы об оценке уклонения точного решения $\{ {{z}_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }},{{\lambda }_{\varepsilon }}\} $ этой задачи от решений аппроксимационной задачи

в случае, когда при $\varepsilon \to 0$и аппроксимации условия (2.5) при $r = 1$.

Отметим, что если при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$ выполнено неравенство

то в этом случае условие (2.5) при $r = 1$ переходит в условие (2.9).

При выполнении (3.3) теорема 1 дает необходимые оценки погрешности аппроксимаций.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1.4)$,$ (3.2) $и$ (3.3). Если $\{ {{z}_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }},{{\lambda }_{\varepsilon }}\} $ – решение задачи (2.8),(2.5) при r = 1, a $\{ {{z}_{{\varepsilon ,\gamma ,\nu }}},{{p}_{{\varepsilon ,\gamma ,\nu }}}\} $ – решение задачи (3.1) $с$ ${{\lambda }_{{\varepsilon ,\gamma }}} = 0$, т.е. ${{\hat {\lambda }}_{{i,\varepsilon ,\gamma }}} = {{\hat {\lambda }}_{{i,\nu }}}$, $i = 1,2$, то

при $\varepsilon \to 0.$

В случае, когда при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$ ограничения на управление по существу, т.е.

аппроксимация условия (2.5) при $r = 1$ имеет вид и для получения доказательства аппроксимационной теоремы требуется вспомогательное утверждение о зависимости от $r$ оптимального ${{u}_{{\varepsilon ,r}}}$ в задаче (1.1)–(1.3) при условии $\left\| {\left| {{{u}_{{\varepsilon ,r}}}} \right|} \right\| = r$.

Лемма 3. Пусть выполнены условия (1.4), a ${{u}_{{\varepsilon ,r}}}$ — решение задачи (1.1)–(1.3) $с$ $\mathcal{U} = {{\mathcal{U}}_{r}}$ и $\left\| {\left| {{{u}_{{\varepsilon ,r}}}} \right|} \right\| = r$ при всех $r \in [{{r}_{ * }};r{\kern 1pt} {\text{*}}]$. Тогда при некоторых $K > 0$ и ${{\varepsilon }_{0}} > 0$

Доказательство. Пусть ${{z}_{{\varepsilon ,0}}}$ – решение задачи (1.1) с $u = 0$, а оператор $A:{{L}_{2}}({{\Gamma }_{1}}) \to {{L}_{2}}(\Omega )$ ставит в соответствие функции ${{u}_{\varepsilon }}$ решение задачи (1.1) с $f = 0$ и $g = 0$. Тогда ${{z}_{\varepsilon }} = {{z}_{{\varepsilon ,0}}} + A{{u}_{\varepsilon }}$ и функционал качества примет вид

где ${{{v}}_{0}}: = {{z}_{{\varepsilon ,0}}} - {{z}_{d}}$. По теореме 3 из [12]

По определению $\left\| A \right\|$ в силу оценок (2.13) получим $\left\| A \right\| \leqslant K({{\varepsilon }^{{ - 1/2}}}(1 + \mu ) + 0) \leqslant {{K}_{1}}{{\varepsilon }^{{ - 1/2}}}$. При этом $\left\| {{{{v}}_{0}}} \right\| \leqslant \left\| {{{z}_{{\varepsilon ,0}}}} \right\| + \left\| {{{z}_{d}}} \right\|\mathop \leqslant \limits^{(2.12)} K({{\varepsilon }^{{ - 1/2}}}(\left\| {\left| g \right|} \right\| + \mu ) + \left\| f \right\|) + \left\| {{{z}_{d}}} \right\|$. Тем самым

при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (1.4), (3.2) и (3.4). Если $\{ {{z}_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }},{{\lambda }_{\varepsilon }}\} $ – решение задачи (2.8), (2.5) при r = 1, a $\{ {{z}_{{\varepsilon ,\gamma }}},{{p}_{{\varepsilon ,\gamma }}}\} $ – решение задачи (3.1) c (3.2), (3.5), то

при $\varepsilon \to 0$, и $\gamma > 4$.

Доказательство. Функции ${{\hat {z}}_{{\varepsilon ,\gamma }}}: = {{z}_{{\varepsilon ,\gamma }}} - {{z}_{\varepsilon }}$ и ${{\hat {p}}_{{\varepsilon ,\gamma }}}: = {{p}_{{\varepsilon ,\gamma }}} - {{p}_{\varepsilon }}$ являются решением системы

Поскольку

при $\varepsilon \to 0$, то, применяя к решению системы (3.7) оценки (2.18) и (2.19), получаем все оценки доказываемой теоремы, кроме оценки величины ${{\left\| {\hat {\lambda }( \cdot ;{{\lambda }_{\varepsilon }}) - \hat {\lambda }( \cdot ;{{\lambda }_{{\varepsilon ,\gamma }}})} \right\|}_{{C(\Gamma )}}}$.

Так как

то

Из (2.10), (3.8) и уже полученных оценок следует, что

при $\varepsilon \to 0$.

4. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ

В силу теорем 2 и 3 для построения асимптотического разложения рассматриваемой задачи нужно построить ее формальное асимптотическое решение (см., например, [11]). Его построение осуществляется аналогично тому, как это делается в случае одного уравнения (см., например, [14], [15]).

Внешнее разложение ищем в виде рядов

коэффициенты которых находятся из соответствующей рекуррентной системы

В силу (1.4) все ${{z}_{{2k}}},{{p}_{{2k}}} \in {{C}^{\infty }}(\bar {\Omega })$ и ряды (4.1) хорошо аппроксимируют уравнения из (2.8), но, вообще говоря, не аппроксимируют граничных условий (и дополнительного условия (2.5) в случае (3.4)).

Для аппроксимации граничных условий (и дополнительного условия (2.5)) в малых окрестностях границ ${{\Gamma }_{i}}$ (пограничные слои) вводятся новые переменные (это можно сделать в силу гладкости границ) $({{s}_{i}},{{\tau }_{i}})$, где ${{s}_{i}}$ – координата на многообразии ${{\Gamma }_{i}}$, а ${{\tau }_{i}}$ – расстояние по нормали к ${{\Gamma }_{i}}$, исходящей из точки на ${{\Gamma }_{i}}$ с координатой ${{s}_{i}}$.

В пограничных слоях стандартно (см., например, [14], [11, c. 31–34]) перейдем к растянутым переменным ${{\xi }_{i}}: = {{\tau }_{i}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$ и к следующему виду внутреннего разложения:

аппроксимирующему однородную систему из (2.8) и подправляющему граничные условия.

При переходе к новым координатам $({{s}_{i}},{{\xi }_{i}})$ оператор ${{\mathcal{L}}_{\varepsilon }}$ перейдет в оператор

Здесь ${{L}_{{i,1}}}$ и ${{L}_{{i,2}}}$ – дифференциальные операторы 1-го и 2-го порядков, содержащие лишь дифференцирование по переменной ${{s}_{i}}$, с гладкими коэффициентами от ${{s}_{i}}$ и ${{\tau }_{i}} = \varepsilon {{\xi }_{i}}$, а волна над функцией, определенной в переменных $x$, означает выражение этой функции в переменных ${{s}_{i}}$ и ${{\tau }_{i}}$.

Подставляя в однородную систему, соответствующую системе из (2.8), ряды (4.3) и разлагая коэффициенты в уравнениях системы и операторов ${{\tilde {\mathcal{L}}}_{{\varepsilon ,i}}}$ в ряды Тейлора по переменной ${{\tau }_{i}} = \varepsilon {{\xi }_{i}}$, получим следующую систему:

где ${{F}_{{i,m}}}({{s}_{i}},{{\xi }_{i}})$ и ${{G}_{{i,m}}}({{s}_{i}},{{\xi }_{i}})$ линейно выражаются через предыдущие ${{Z}_{{i,m}}}$, ${{P}_{{i,m}}}$ и их производные и полиномиально зависят от ${{\xi }_{i}}$ и гладко от ${{s}_{i}}$, а функция разложена в ряд по степеням малого параметра $\varepsilon $ в окрестности границы ${{\Gamma }_{i}}$, $i = 1,2$.

Сначала рассмотрим построение асимптотики решения задачи (2.8), (2.9).

Отметим, что в данном случае задача для главных членов внутреннего разложения имеет вид

Отсюда следует, что ${{m}_{0}} = 0$ и, тем самым, граничные условия в (4.5) имеют вид

В классе экспоненциально убывающих при ${{\xi }_{i}} \to + \infty $ функций система (4.5) имеет единственное решение

и, тем самым,

Граничные условия в рассматриваемом случае таким образом имеют вид

где ${{\hat {F}}_{{i,m}}}({{s}_{i}})$ и ${{\hat {G}}_{{i,m}}}({{s}_{i}})$ однозначно определяются предыдущими коэффициентами внешнего и соответствующего внутреннего разложений.

Задачи (4.4), (4.9) в классе экспоненциально убывающих при ${{\xi }_{i}} \to + \infty $ функций имеют единственное решение. Каждая из функций ${{Z}_{{i,m}}}$ и ${{P}_{{i,m}}}$ с учетом (4.7) имеет вид $Q({{\xi }_{i}}:{{s}_{i}}){{e}^{{ - \sqrt {{{{\tilde {a}}}_{{i,0}}}({{s}_{i}})} {{\xi }_{i}}}}}$, где $Q({{\xi }_{i}}:{{s}_{i}})$ – полином по ${{\xi }_{i}}$ с коэффициентами, гладко зависящими от ${{s}_{i}}$.

Таким образом, в рассматриваемом случае все коэффициенты рядов (4.3) однозначно находятся и в силу теоремы 2 ряды

при $\varepsilon \to 0$ суть асимптотические разложения компонент $\{ {{z}_{{\varepsilon ,\nu }}},{{p}_{{\varepsilon ,\nu }}}\} $ решения задачи (2.15) c $\lambda = 0$, ${{f}_{1}} = f$, ${{f}_{2}} = - {{z}_{d}}$, ${{g}_{{1,1}}} = g$ и ${{g}_{{j,i}}} = 0$ для остальных пар $j,i$.

Здесь ${{\eta }_{i}}({{s}_{i}},{{\tau }_{i}})$ – срезающие функции пограничных слоев, т.е. бесконечно дифференцируемые функции, равные $1$ в некоторой окрестности границ ${{\Gamma }_{i}}$ и равные $0$ вне чуть больших окрестностей границ ${{\Gamma }_{i}}$. Тем самым доказана теорема.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (1.4). Тогда ряды (4.10) c ${{m}_{0}} = 0$ и коэффициентами, однозначно определенными из (4.2) для внешнего разложения, и как решения задач (4.4), (4.6) и (4.9) для внутреннего разложения, при $\varepsilon \to 0$ суть асимптотические разложения компонент $\{ {{z}_{{\varepsilon ,\nu }}},{{p}_{{\varepsilon ,\nu }}}\} $ – решения задачи (2.8), (2.9) при r = 1$.$

В частности, в силу (4.8)

Таким образом, при выполнении неравенства при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$ выполняется неравенство $\left\| {\left| {\hat {\lambda }( \cdot ,0){{p}_{{\varepsilon ,\nu }}}} \right|} \right\| < 1$ и, тем самым, ${{z}_{{\varepsilon ,\nu }}} = {{z}_{\varepsilon }}$, а ${{p}_{{\varepsilon ,\nu }}} = {{p}_{\varepsilon }}$. Поэтому при выполнении (4.12) теорема 4 есть теорема об асимптотическом разложении решений задачи (2.8), (2.5) при $r = 1$.

Пусть теперь выполнено неравенство

Тогда в силу (4.11) при всех достаточно малых $\varepsilon > 0$ справедливо следующее неравенство: $\left\| {\left| {\hat {\lambda }( \cdot ,0){{p}_{{\varepsilon ,\nu }}}} \right|} \right\| > 1$, и поэтому реализуется случай (3.4).

Пусть ${{\hat {\lambda }}_{{i,\varepsilon }}} = {{\varepsilon }^{{{{m}_{\lambda }}}}}{{\hat {\lambda }}_{{i,0}}}$, $i = 1,2$. Тогда задача для главных членов внутреннего разложения имеет вид

В предыдущем случае слагаемое $\tfrac{\partial }{{\partial {{\xi }_{i}}}}{{Z}_{{i,0}}}({{s}_{i}},0)$ не использовалось, поэтому теперь естественно взять ${{m}_{0}} = - 1$, что влечет ${{m}_{\lambda }} = 1$, т.е. ${{\hat {\lambda }}_{{i,\varepsilon }}} = O(\varepsilon )$ при $\varepsilon \to + 0$. Поэтому в рассматриваемом случае удобно в определении $\hat {\lambda }(x;{{\lambda }_{\varepsilon }})$ взять вместо параметра ${{\lambda }_{\varepsilon }}$ параметр ${{\Lambda }_{\varepsilon }}: = \lambda _{\varepsilon }^{{ - 1}}$ и, тем самым,

При этом асимптотическое разложение $\mathop {\widehat \lambda }\nolimits_{i,\varepsilon } $ будем искать в виде

В силу (4.14) величины $\hat {\lambda }(i,\varepsilon )$ и коэффициенты ${{\hat {\lambda }}_{{i,m}}}$ их разложений связаны соотношениями

где ${{q}_{m}}$ однозначно определяются предыдущими ${{\hat {\lambda }}_{{i,\tilde {m}}}}$ ($\tilde {m} < m$).

Исходя из (3.4), естественно взять в качестве ${{\hat {\lambda }}_{{i,0}}}$ решение уравнения

Решая систему получаем и, тем самым, уравнение (4.17) принимает вид С учетом (4.16) рассмотрим функцию ${{\mathcal{F}}_{1}}(\hat {\lambda }): = \mathcal{F}(\hat {\lambda },{{\mu }_{2}}\mu _{1}^{{ - 1}}\hat {\lambda })$. Она непрерывна, строго возрастает, ${{\mathcal{F}}_{1}}(0) = 0$ и ${{\mathcal{F}}_{1}}( + \infty ) = \left\| {\left| {\tilde {g}} \right|} \right\| > 1$. Поэтому существует единственное ${{\hat {\lambda }}_{0}} > 0$ такое, что ${{\mathcal{F}}_{1}}({{\hat {\lambda }}_{0}}) = 1$. Положим Для таких ${{\hat {\lambda }}_{{1,0}}}$, ${{\hat {\lambda }}_{{2,0}}}$ равенство (4.19) выполнено.

При $m > 0$ граничные условия в этом случае имеют вид

Здесь ${{\hat {F}}_{{i,m}}}$ и ${{\hat {G}}_{{i,m}}}$ однозначно определяются коэффициентами разложений (4.3), (4.15) с меньшими индексами и являюся гладкими функциями на ${{\Gamma }_{i}}$.

При известных ${{\hat {\lambda }}_{{i,m}}}$ задачи (4.4), (4.21) в классе экспоненциально убывающих при ${{\xi }_{i}} \to + \infty $ функций имеют единственное решение. Каждая из функций ${{Z}_{{i,m}}}$ и ${{P}_{{i,m}}}$ в силу (4.18) имеет вид $Q({{\xi }_{i}}:{{s}_{i}}){{e}^{{ - \sqrt {{{{\tilde {a}}}_{{i,0}}}({{s}_{i}})} {{\xi }_{i}}}}}$, где $Q({{\xi }_{i}}:{{s}_{i}})$ — полином по ${{\xi }_{i}}$ с коэффициентами, гладко зависящими от ${{s}_{i}}$.

Для нахождения ${{\hat {\lambda }}_{{i,m}}}$ при $m > 0$ используется асимптотическое равенство, соответствующее (3.4):

где ${{\hat {P}}_{{i,m}}} = {{P}_{{i,m}}} + \widetilde {{{p}_{{i,m - 1}}}}$.

Уравнение для ${{\lambda }_{{i,m}}}$ при $m > 0$ из (4.22) с учетом (4.20) – выбора ${{\lambda }_{{i,0}}}$, имеет вид

где константы ${{h}_{m}}$ однозначно определяются предыдущими членами разложений.

Функции ${{Z}_{{i,m}}}$ и ${{P}_{{i,m}}}$ удобно представить в виде

где $\{ {{Z}_{{i,m,1}}},{{P}_{{i,m,1}}}\} $ – решение задачи а $\{ {{\tilde {Z}}_{i}},{{\tilde {P}}_{i}}\} $ – решение задачи

Отметим, что ${{Z}_{{i,m,1}}}$ и ${{P}_{{i,m,1}}}$ однозначно определяются предыдущими членами разложений, а ${{\tilde {P}}_{i}}({{s}_{i}},0)$ находится по формуле (4.18):

С учетом (4.24) уравнение (4.23) принимает вид

где константы ${{h}_{{m,1}}}$ однозначно определяются предыдущими членами разложений.

Выражая ${{\lambda }_{{2,m}}}$ в силу (4.16) через ${{\lambda }_{{1,m}}}$ и подставляя это выражение в (4.28), приходим к уравнению для нахождения ${{\lambda }_{{1,m}}}$, а следовательно, и ${{\lambda }_{{2,m}}}$:

где константы ${{h}_{{m,2}}}$ однозначно определяются предыдущими членами разложений.

Лемма 4. Пусть выполнены условия (1.4). Тогда

Доказательство. В силу (4.16) и (4.27) имеем

Поскольку $\tfrac{{2\tilde {a}_{{i,0}}^{{2/3}}({{s}_{i}})}}{{2\tilde {a}_{{i,0}}^{{2/3}}({{s}_{i}}) + {{{\hat {\lambda }}}_{{i,0}}}}}$ и $P_{{i,0}}^{2}$ непрерывны, $\tfrac{{2\tilde {a}_{{i,0}}^{{2/3}}({{s}_{i}})}}{{2\tilde {a}_{{i,0}}^{{2/3}}({{s}_{i}}) + {{{\hat {\lambda }}}_{{i,0}}}}}$ положительна, а ${{\hat {\lambda }}_{{i,0}}}P_{{i,0}}^{2}$ неотрицательна на ${{\Gamma }_{i}}$, то равенство $C = 0$ равносильно соотношению ${{P}_{{i,0}}} \equiv 0$, что в силу (4.17) невозможно.

В силу леммы 4 из (4.29) находятся однозначно ${{\hat {\lambda }}_{{i,m}}}$ и все коэффициенты рядов (4.3) и (4.15). Таким образом, справедлива

Теорема 5. Пусть выполнены условия (1.4) и (4.13). Тогда ряды (4.10) c ${{m}_{0}} = - 1$ и коэффициентами, однозначно определенными из (4.2) для внешнего разложения, и как решения задач (4.4), (4.21), (4.23)–(4.26) и (4.29) для внутреннего разложения, при $\varepsilon \to 0$ суть асимптотические разложения компонент $\{ {{z}_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }}\} $ – решения задачи (2.8) $при$ r = 1, а ряды из (4.15) есть асимптотические разложения величин $\mathop {{{{\hat {\lambda }}}_{{i,\varepsilon }}}}\nolimits_{} $, $i = 1,2$.

5. ПРИМЕР

Проиллюстрируем описанные конструкции на следующем примере:

где т.е. $a = 1$, $f({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{x}_{1}}$, ${{\mu }_{1}} = 2$, ${{\mu }_{2}} = 1$, ${{g}_{1}} = q$ – const, ${{g}_{2}} = 0$ и $\nu = 1$.

В этом случае внешнее разложение имеет только одно слагаемое:

и, тем самым, вне малой окрестности границы ${{z}_{\varepsilon }} = {{x}_{1}} + O({{\varepsilon }^{{ + \infty }}})$ при $\varepsilon \to + 0$.

Координаты ${{s}_{i}}$ — это полярный угол по модулю $2\pi $, ${{\tau }_{1}} = \rho - 1$, ${{\tau }_{2}} = 2 - \rho $, где $\rho $ — полярный радиус. Поэтому в силу вида оператора Лапласа в полярных координатах получим

Раскладывая ${{(1 + \varepsilon {{\xi }_{1}})}^{{ - 1}}}$, ${{(1 + \varepsilon {{\xi }_{1}})}^{{ - 2}}}$, ${{(2 - \varepsilon {{\xi }_{1}})}^{{ - 1}}}$ и ${{(2 - \varepsilon {{\xi }_{1}})}^{{ - 2}}}$ в степенные ряды по $\varepsilon $, получаем степенные разложения операторов ${{\tilde {\mathcal{L}}}_{{\varepsilon ,i}}}$, в частности, Поскольку ${{z}_{0}}$ и ${{p}_{0}}$ в полярных координатах имеют вид $\rho cos\phi $, то

Отметим, что $\left\| {\left| g \right|} \right\| = \sqrt {2\pi } q$ и, если $\sqrt {2\pi } q < 1$, то ограничения на управления не по существу, ${{\hat {\lambda }}_{{1,\nu }}} = 1{\text{/}}2$, $\mathop {{{{\hat {\lambda }}}_{{2,\nu }}}}\nolimits_{} = 1$ и граничные условия (4.6) имеют вид

и, тем самым,

Таким образом, в полярных координатах ${{z}_{\varepsilon }}$ (в малой окрестности границы $\Gamma $) и ${{u}_{\varepsilon }}$ имеют при $\varepsilon \to + 0$ следующее асимптотическое представление:

Заметим, что в рассматриваемой области срезающие функции при внутреннем разложении можно опустить.

Если $\sqrt {2\pi } q > 1$, то ограничения на управление по существу и уравнение (4.19) примут вид

Поэтому ${{\hat {\lambda }}_{{1,0}}} = 2{\text{/}}(\sqrt {2\pi } q - 1)$, а в силу (4.16) имеем ${{\hat {\lambda }}_{{2,0}}} = 1{\text{/}}(\sqrt {2\pi } q - 1)$. Таким образом, в силу (4.18) и в полярных координатах ${{z}_{\varepsilon }}$ (в малой окрестности границы $\Gamma $) и ${{u}_{\varepsilon }}$ имеют при $\varepsilon \to + 0$ следующее асимптотическое представление: