Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 3, стр. 478-487

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В упругой среде, занимающей полупространство, малые относительные перемещения описываются уравнениями Ламэ

где $u$ – вектор перемещений, $\lambda $ и $\mu $ – параметры Ламэ, ${{\rho }_{0}}$– плотность упругой среды. Пусть на свободную поверхность $S$ упругой среды действует внешнее давление $np$, где $n$ – вектор внешней нормали к $S$, $p$ – заданная функция точки поверхности и времени $t$. В соответствии с [1], граничные условия на свободной поверхности зададим в виде где $g$– ускорение силы тяжести (вектор силы тяжести противоположен вектору $n$).

Параметры Ламэ связаны с коэффициентом Пуассона $\nu $ и модулем Юнга $E$ соотношениями

Согласно теории предельного перехода считаем, что $\nu \to \frac{1}{2} - 0$, а $E \to + 0$, но так, что отношение $\frac{E}{{1 - 2\nu }} \to k > 0$. Поэтому $\mu \to + 0$, $\lambda \to \frac{k}{3} > 0$, что означает отсутствие в упругой среде волн сдвига. Для отличного от нуля параметра Ламэ мы сохраним прежнее обозначение $\lambda $. Тогда уравнения для перемещений и граничные условия на свободной поверхности принимают вид

Представим вектор перемещений в виде $u = grad\varphi $. Введем цилиндрическую систему координат $(r,\theta ,z)$, для которой поверхность $S$ совпадает с плоскостью $z = 0$ и орт оси $z$ сонаправлен с вектором $n$.

Пусть внешнее давление имеет вид $p(r,t) = {{p}_{0}}f(r){{e}^{{ - \alpha t}}}\sin \omega t$, где $f(r)$ – заданная функция, ${{p}_{0}}$, $\alpha $, $\omega $ – заданные положительные постоянные величины. Заметим, что задача установившихся колебаний упругого полупространства в случае предельного значения коэффициента Пуассона и осевой симметрии рассматривалась в [2], где было доказано существование классического решения при $r > 0$, $z \leqslant 0$ и получены асимптотические формулы для компонент вектора перемещений при достаточно больших $r$. Формальное интегральное представление решения задачи Лэмба в случае распределенной гармонической нагрузки для $0 < \nu < \frac{1}{2}$ представлено в [3], где было проведено сравнение аналитического и численного решений. В работе [4] начально-краевая задача Лэмба для полупространства решалась методом конечных элементов.

Для функции $\varphi $ получим уравнение и граничное условие на свободной поверхности:

Дополним их граничным условием на бесконечности и начальными условиями Кроме того, считаем, что решение $\varphi $ ограничено при $r > 0$, $z \leqslant 0$, $t > 0$, а функция $f(r)$ имеет вид

Перейдем к безразмерным переменным по формулам

В безразмерных переменных получим задачу Далее для краткости у безразмерных переменных индексы будем опускать.

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Так как правая часть в граничном условии при $z = 0$ не зависит от $\theta $, то и искомая функция $\varphi $ не будет зависeть от $\theta $. Пусть искомая функция допускает представление в виде интеграла Фурье–Бесселя

где ${{J}_{0}}(u)$ – функция Бесселя нулевого порядка, $\Phi (x,z,t)$ – образ Фурье–Бесселя функции $\varphi (r,z,t)$.

Далее будем считать, что дифференцирование достаточное число раз по $r$, $z$, $t$ интеграла (3) под знаком интеграла законно. Подставим интеграл (3) в уравнение (1):

Воспользуемся соотношениями [5]: $J_{0}^{'}(u) = - {{J}_{1}}(u),$ $J_{1}^{'}(u) = {{J}_{0}}(u) - \frac{{{{J}_{1}}(u)}}{u}$, где ${{J}_{1}}(u)$ – функция Бесселя первого порядка. Откуда

Тогда образ Фурье–Бесселя будет удовлетворять уравнению

Подставим интеграл (3) в граничные и начальные условия и воспользуемся равенством из [5] $\int_0^{ + \infty } {{{J}_{0}}(xr){{e}^{{ - lx}}}xdx} = l{{({{r}^{2}} + {{l}^{2}})}^{{ - 3/2}}}$, $r > 0$. Окончательно будем иметь

Предположим, что функции $\Phi $, $\frac{{\partial \Phi }}{{\partial z}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{z}^{2}}}}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{t}^{2}}}}$ удовлетворяют условиям существования изображения по Лапласу при фиксированных $x$, $z$. Применим к задаче (4), (5) преобразование Лапласа по переменной $t$. Пусть Тем самым, для определения функции $\Psi $ получим задачу где $\frac{1}{{{{{(p + \gamma )}}^{2}} + 1}}$ – изображение по Лапласу функции ${{e}^{{ - \gamma t}}}\sin t$, продолженное на всю комплексную плоскость, из которой удалены точки $p = - \gamma \pm i$. Решение уравнения (6), удовлетворяющее условию (8), будем искать в виде $\Psi (p,x,z) = Y(p,x){{\operatorname{e} }^{{zy(p,x)}}},$ где $y(p,x) = \sqrt {{{p}^{2}} + {{x}^{2}}} $ – аналитическая в области $D\,:p \notin ( - i\infty , - ix] \cup [ix, + i\infty )$ функция и такая, что $y(p,x) > 0$ $\forall \operatorname{Re} p$ при фиксированном $x > 0.$ Исследование функции $y(p,x)$ показывает, что $\operatorname{Re} \{ y(p,x)\} > 0$ $\forall p \in D$ и $\forall x > 0$. Поэтому для указанных $p,$ $x$ $\left| {{{e}^{{zy(p,x)}}}} \right| = {{e}^{{zRe\left\{ {y(p,x)} \right\}}}} \to + 0$ при $z \to - \infty $ и для любого $z \leqslant 0$ и тех же $p$, $x$ выполняется неравенство $\left| {{{\operatorname{e} }^{{zy(p,x)}}}} \right| \leqslant 1.$ Из условия (7) будем иметь Тогда где $b > 0$ – любое.

Таким образом, для решения $\varphi (r,z,t)$ задачи (1), (2) получаем формальное интегральное представление (3), где $\Phi (x,z,t)$ при $x > 0$ определяется интегралом (9) – интегралом Меллина. При этом мы считаем, что подынтегральная функция в (3) имеет предел в точках $(0,r,z,t)$, равный нулю. Далее мы установим этот факт.

3. ОЦЕНКА ВНУТРЕННЕГО ИНТЕГРАЛА

Докажем, что интеграл Меллина сходится абсолютно. Подынтегральная функция в (9), обозначим ее $F(p,x,z,t)$, аналитична в области $D$ при фиксированных $x,$ $z,$ $t,$ за исключением четырех точек – полюсов первого порядка:

где $0 < \sigma (x) < x.$ Тогда при достаточно больших $\left| p \right| = \left| {b + i\eta } \right|$ будем иметь Откуда следует, что интеграл Меллина сходится абсолютно по признаку сравнения, причем сходимость равномерная по $z$ на полупрямой $( - \infty ,0]$ и по $t$ на любом отрезке $\left[ {0,T} \right]$. Выразим этот интеграл через сумму вычетов функции $F$ и сумму интегралов от данной функции вдоль берегов разрезов $( - i\infty , - ix],$ $[ix, + i\infty ).$ Рассмотрим замкнутый контур $\Gamma $, состоящий из вертикального отрезка ${{L}_{R}}$, дуг ${{C}_{R}}$, $C_{R}^{'}$, $C_{R}^{{''}}$ окружности радиуса $R$ с центром в точке $p = 0$, отрезков ${{L}_{{1r}}}$, ${{L}_{{1l}}}$, ${{L}_{{2r}}}$, ${{L}_{{2l}}}$ по берегам разрезов и окружностей ${{C}_{{\rho 1}}}$, ${{C}_{{\rho 2}}}$ радиусов $\rho $ с центрами в точках $p = \pm ix$ соответственно (фиг. 1). По основной теореме теории вычетов

При всех $p \in {{C}_{R}},C_{R}^{'},C_{R}^{{''}}$ для достаточно больших $R$ и всех $p \in {{C}_{{\rho k}}}$, $k = 1,2$, для достаточно малых $\rho $ справедливы соответственно оценки

где Покажем, что интегралы по ${{C}_{R}}$, $C_{R}^{'}$, $C_{R}^{{''}}$ стремятся к нулю при $R \to + \infty $. Из неравенства (11), согласно лемме Жордана для левой полуплоскости (см. [6]), следует, что $\mathop {lim}\limits_{R \to + \infty } \int_{{{C}_{R}}}^{} {Fdp} = 0.$ Для интеграла по $C_{R}^{'}$: $p = R{{e}^{{is}}}$, $s \in \left[ {{{s}_{0}}(R),\frac{\pi }{2}} \right]$, ${{s}_{0}}(R) = arccos\left( {\frac{b}{R}} \right)$ с учетом (11) имеем Точно так же доказывается, что интеграл по $C_{R}^{{''}}$ стремится к нулю при $R \to + \infty $.

Покажем, что интегралы по окружностям ${{C}_{{\rho k}}}$, $k = 1,2$, стремятся к нулю при $\rho \to + 0.$ Для интеграла по ${{C}_{{\rho 1}}}$: $p = ix + \rho {{\operatorname{e} }^{{is}}}$, $s \in \left[ { - \frac{{3\pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right]$ с учетом (12) имеем

Точно так же доказывается, что интеграл по ${{C}_{{\rho 2}}}$ стремится к нулю при $\rho \to + 0$.

Обозначим через ${{\Gamma }_{{1l}}}$, ${{\Gamma }_{{1r}}}$ соответственно левый и правый берега разреза $[ix, + i\infty )$, а через ${{\Gamma }_{{2l}}}$, ${{\Gamma }_{{2r}}}$ соответственно левый и правый берега разреза $( - i\infty , - ix]$. Значения функции $y(p,x)$ на берегах разрезов следующие:

где квадратный корень – арифметический.

Перейдем в (10) к пределу при $R \to + \infty $, $\rho \to + 0$. В силу сходимости интеграла Меллина получим

где ${{I}_{{1l}}}(x,z,t)$, … , ${{I}_{{2r}}}(x,z,t)$ – интегралы по ${{\Gamma }_{{1l}}}$, ... , $\Gamma {}_{{2r}}$ соответственно. Эти интегралы имеют вид

Докажем, что каждый из интегралов, умноженный на $x$, имеет предел в точках $(0,z,t),$ равный нулю, и получим для указанных произведений оценку по переменной $x \geqslant 0,$ равномерную относительно переменных $z \leqslant 0$, $t > 0$. Рассмотрим, например, произведение $x{{I}_{{1l}}}(x,z,t)$. Сделаем замену $s = \eta - x$. Тогда

Заметим, что функция ${{f}_{0}}$ непрерывна на множестве $s \geqslant 0$, $x > 0$, $z \leqslant 0$, $t > 0$, а интеграл ${{I}_{2}}$ сходится равномерно на множестве $0 < x \leqslant {{x}_{1}}$, $z \leqslant 0$, $t > 0$  $\forall {{x}_{1}} > 0$ по признаку Вейерштрасса в силу оценки $\left| {{{f}_{0}}} \right| < \frac{{B{{x}_{1}}}}{{2\gamma {{s}^{3}}}}$. Поэтому функция $x{{I}_{{1l}}}(x,z,t)$ непрерывна на множестве $G:$ $x > 0$, $z \leqslant 0$, $t > 0$.

Пусть $\delta $– любое число из интервала $\left( {0,\sqrt {1 + {{\gamma }^{2}}} - 1} \right)$. Тогда для всех $0 < s \leqslant 1,$ $0 < x \leqslant \delta ,$ $z \leqslant 0,$ $t > 0$ имеем оценку

Отсюда, в силу того, что интеграл ${{I}_{1}}$ – собственный, а интеграл $\int_0^1 {\frac{{ds}}{{\sqrt s }}} $ – сходящийся, для всех $0 < x \leqslant \delta $, $z \leqslant 0$, $t > 0$ имеем неравенство $0 \leqslant \left| {{{I}_{1}}} \right| \leqslant {{C}_{1}}\sqrt x {{e}^{{ - lx}}}$. Переходя в этом неравенстве к пределу при $x \to + 0$, получаем, что ${{I}_{1}} \to 0$ при $x \to + 0$ равномерно относительно $z$, $t$. Тогда для всех $0 \leqslant x \leqslant \delta ,$ $z \leqslant 0$, $t > 0$ будем иметь оценку $\left| {{{I}_{1}}} \right| \leqslant {{C}_{1}}\sqrt x {{e}^{{ - lx}}}$. Для всех $s \geqslant 1,$ $0 < x \leqslant \delta $, $z \leqslant 0,$ $t > 0$ имеем неравенство $\left| {{{f}_{0}}} \right| < \frac{{Bx{{e}^{{ - lx}}}}}{{2\gamma {{s}^{3}}}}.$ Поэтому, рассуждая как и выше, получаем, что ${{I}_{2}} \to 0$ при $x \to + 0$ равномерно относительно $z$, $t$ и $\left| {{{I}_{2}}} \right| \leqslant {{C}_{2}}x{{e}^{{ - lx}}}$ для всех $0 \leqslant x \leqslant \delta ,$ $z \leqslant 0$, $t > 0$. Следовательно, $x{{I}_{{1l}}} \to 0$ при $x \to + 0$ также равномерно, и поэтому существует предел данной функции в точках $(0,z,t)$, равный нулю, а для указанных $x,\;z,\;t$ имеет место неравенство Если же $x \geqslant \delta $, то при всех $s \geqslant 0$, $z \leqslant 0$, $t > 0{\text{:}}$ $\left| {{{f}_{0}}} \right| \leqslant \frac{{Bx{{e}^{{ - lx}}}}}{{2\gamma {{{\left( {s + \delta } \right)}}^{3}}}}$. Поэтому $x\left| {{{I}_{{1l}}}} \right| \leqslant {{C}_{4}}x{{e}^{{ - lx}}}$ для всех $x \geqslant \delta ,$ $z \leqslant 0,$ $t > 0.$ Тогда для всех $x \geqslant 0$ и тех же $z$, $t$: $x\left| {{{I}_{{1l}}}} \right| \leqslant {{C}_{5}}\left( {\sqrt x + x} \right){{e}^{{ - lx}}}$.

Доопределяя функцию $x{{I}_{{1l}}}(x,z,t)$ в точках $(0,z,t)$ нулем, получаем функцию, непрерывную на множестве $G{\kern 1pt} '\,:$ $x \geqslant 0$, $z \leqslant 0$, $t > 0$.

Точно так же доказывается, что остальные интегралы по берегам разрезов, умноженные на $x$, можно доопределить до непрерывных на $G{\kern 1pt} '$ функций, для которых справедливы аналогичные оценки.

Оценим вычеты в полюсах ${{p}_{n}}$, $n = 1,2,3,4$. Так как $y(\eta ,x) = \sqrt {{{x}^{2}} - {{\eta }^{2}}} > 0$, $ - x < \eta < x$, то вычеты в полюсах ${{p}_{k}}(x)$, $k = 1,2$, имеют вид

где верхний знак соответствует индексу $k = 1$, а нижний – $k = 2$. Отсюда Так как $\sigma (x) = O{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x)$, $\sqrt {{{x}^{2}} - {{\sigma }^{2}}(x)} = O{\kern 1pt} *{\kern 1pt} ({{x}^{2}})$ при $x \to + 0$, то ${{f}_{1}}(x) \to + 0$ при $x \to + 0.$ Поэтому $res[F,{{p}_{k}}] \to 0$ при $x \to + 0$ равномерно относительно $z$, $t$, т.е. $res[F,{{p}_{k}}]$ непрерывны на $G{\kern 1pt} '$. Кроме того, ${{f}_{1}}(x) < \frac{B}{{4\gamma {{\sigma }^{2}}(x)}}$ для всех $x > 0$ . Поскольку $\sigma (x) \to + \infty $ при $x \to + \infty $, то ${{f}_{1}}(x) \to + 0$ при $x \to + \infty $. Следовательно, в силу непрерывности, $\left| {{{f}_{1}}(x)} \right| \leqslant {{C}_{6}}$ для всех $x \geqslant 0$ и, стало быть, $\left| {\operatorname{res} [F,{{p}_{k}}]} \right| \leqslant {{С}_{6}}{{e}^{{ - lx}}}$ на $G{\kern 1pt} '$.

В показательной форме значения функции $y(p,x)$ в полюсах ${{p}_{m}},$ $m = 3,4$, следующие:

где непрерывная функция ${{\psi }_{m}}(x)$ имеет вид Здесь верхний знак соответствует индексу $m = 3$, а нижний – $m = 4$. Заметим, что При этом $p_{m}^{2} + \beta {{y}_{m}} \ne 0$ для любых $\beta > 0$, $\gamma > 0$. В самом деле, поскольку выражение в квадратных скобках положительно при любом $\gamma > 0$.

Вычеты в полюсах ${{p}_{m}}$ имеют вид

Отсюда Так как ${{f}_{2}}(x) \to + 0$ при $x \to + 0,$ то $\sqrt x res[F,{{p}_{m}}] \to 0$ при $x \to + 0$ равномерно относительнo z, t, т.е. $\sqrt x res[F,{{p}_{m}}]$, а следовательно, и $xres[F,{{p}_{m}}]$ непрерывны на $G{\kern 1pt} '$. Так как при достаточно больших $x$ $\beta \left| {y({{p}_{m}},x)} \right| > {{\left| {{{p}_{m}}} \right|}^{2}} = 1 + {{\gamma }^{2}}$, то при этих же $x$Поскольку $\left| {y({{p}_{m}},x)} \right| = O{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x)$ при $x \to + \infty $, то ${{f}_{2}}(x) \to + 0$ при $x \to + \infty $. Тогда, в силу непрерывности, $\left| {{{f}_{2}}(x)} \right| \leqslant {{C}_{7}}$, и на $G{\kern 1pt} '$ имеет место неравенство $x\left| {res[F,{{p}_{m}}]} \right| \leqslant {{С}_{7}}\sqrt x {{e}^{{ - lx}}}$. Поэтому подынтегральную функцию в (3) можно доопределить до непрерывной при $r \in (0, + \infty )$, $(x,z,t) \in G{\kern 1pt} '$ функции и всюду на $G{\kern 1pt} '$ справедливо неравенство Из неравенства (14), в свою очередь, следует, что решение $\varphi (r,z,t)$ равномерно ограничено при $r > 0$, $z \leqslant 0$, $t > 0$:

4. ОЦЕНКА ВНЕШНЕГО ИНТЕГРАЛА

Получим оценку интеграла в правой части (3) при больших $r$. Представим его в виде

Тогда

Если $\frac{1}{{\sqrt r }} \leqslant x < + \infty $, где $r \gg 1$, то $xr \gg 1$. Поэтому для функции Бесселя в интеграле $I{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ можно воспользоваться асимптотикой на бесконечности (см. [5])

где $\left| {g(xr)} \right| \leqslant {{C}_{{11}}} \cdot {{(xr)}^{{ - 3/2}}}$ при $xr \gg 1$. С помощью полученных ранее оценок будем иметь где $\int\limits_0^{ + \infty } {{{e}^{{ - \frac{{l{{s}^{2}}}}{{\sqrt r }}}}}ds} = \sqrt {\frac{\pi }{l}} \frac{{{{r}^{{1/4}}}}}{2}$ – интеграл Пуассона. Отсюда для решения $\varphi (r,z,t)$ будем иметь равномерную оценку при больших значениях полярного радиуса:

Подынтегральная функция в (3) непрерывна по совокупности переменных $x \geqslant 0$, $r > 0$, $z \leqslant 0$, $t > 0$ вместе с частной производной по $r$. Интегралы

сходятся равномерно по $r$, согласно признаку Вейерштрасса. Поэтому для компоненты ${{u}_{r}}(r,z,t)$ вектора перемещений будем иметь интегральное представление Рассуждая как и выше, получаем, что для ${{u}_{r}}(r,z,t)$ справедлива равномерная оценка