Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 4, стр. 564-579

1. ВВЕДЕНИЕ

Задача обобщения понятия производной на случай производной дробного порядка ставилась с самого начала существования дифференциального исчисления. Так, уже в 1695 г. в письме Лопиталю Лейбниц пишет о возможном обобщении определения введeнной им производной на случай дробного порядка и о множественности таких обобщений.

В 1730 г. Эйлер, обобщивший понятие факториала на случай любых действительных чисел, указал, что аналогичным способом, т.е. интерполированием, можно и производную обобщить на случай любого действительного порядка.

В 1812 г. Лаплас, используя свое преобразование, дал определение производной дробного порядка через интеграл.

В 1819 г. Лакруа определил производную дробного порядка от степенных функций. Это определение позволило обобщить понятие дробного дифференцирования на пространство функций, в которых степенные функции образуют полную систему базисных функций. Интересно отметить, что его определение совпадает для таких функций с современным определением производной Римана–Лиувилля.

Фурье в 1822 г. определили дробную производную через свое преобразование. Он впервые указал, что при таком определении порядок производной может быть любым действительным числом как положительным, так и отрицательным.

В дальнейшем производные дробного порядка вводились разными математиками, и к настоящему времени таких определений имеется уже более 20. Исчерпывающую информацию о различных определениях можно найти в монографии [1] и обзорных работах [2], [3].

Почему же при наличии такого многообразия различных определений появляются все новые и новые определения? Причина в том, что в каждом определении имеются, при наличии положительных свойств, недостатки. Именно для их преодоления и вводятся все новые и новые определения. Так, в 2014 г. в [4] определена производная, которая нашла уже много поклонников и последователей. В работе [5] предложено новое определение дробной производной, обобщающей дробную производную Капуто. В мае 2020 г. в [6] дано определение дробной производной с несингулярным ядром. Интересно, что уже в июне того же года появилась работа [7], опровергающая корректность определения дробной производной с несингулярными ядрами. А в [8] изложена даже целая программа построения дробного анализа на основе модификаций оператора дробного дифференцирования Адамара [9]. Известен ряд обобщений определений дробных операторов на случай переменного порядка. Например, в [10]–[12] рассматриваются операторы, у которых порядок дифференцирования является детерминированной функцией времени, а в [13] исследовался случай, когда порядок дифференцирования является случайной величиной. При этом в [10] предложен алгоритм численного расчета и схемотехническая реализация введенного оператора. Следует упомянуть также и работы по дискретному дробному исчислению, введенному в середине XX в. (см. [14]–[16]), и ставшему особенно актуальным в последнее время в связи с разработкой численных методов решения уравнений с дробными операторами. В [17]–[24] даны обобщение и развитие полученных ранее результатов, выведены формулы для дискретного преобразования Лапласа и постоен метод решения разностных дробных уравнений на его основе. В [25] предложена процедура дискретизации значений дробной производной Римана–Лиувилля на основе разложения в ряды по полиномам Чебышёва.

Чтобы как-то систематизировать все обилие результатов по дробному дифференцированию, можно условно разделить публикации, посвященные изучению дифференциальных уравнений дробного порядка, на три группы:

а) работы, посвященные изучению математических проблем (существование и единственность решений, зависимость решений от начальных и граничных условий, анализ устойчивости решений, наличия особых точек, форма и смысл начальных и граничных условий, вид и метод построения общего решения для основных типов уравнений и др.);

б) работы по точным методам решения конкретных типов и разновидностей уравнений;

в) работы по разработке, обоснованию и реализации приближенных методов решения уравнений.

Значительный объем материала по математическим вопросам дробных дифференциальных уравнений собран в монографиях [1], [26]–[35]. В частности, в них приводятся теоремы существования и единственности решения начальных и краевых задач для, главным образом, линейных дробных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные в смысле Римана–Лиувилля, Капуто, Грюнвальда–Летникова, и обсуждаются основные методы решения дробных дифференциальных уравнений такие как сведение к интегральному уравнению, метод интегральных преобразований Лапласа, Меллина, Фурье, метод функций Грина и т.д. В обзорной работе [36] обсуждаются введенная Кочубеем [37], [38], [39] дробная производная и вопросы теoрии, возникающиe при ее использовании в дробных дифференциальных уравненях. В справочнике [40] для решения обыкновенных дробных дифференциальных уравнений, помимо преобразования Лапласа, применяется их сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям целого порядка. Интересным приложением дробных дифференциальных уравнений является построение с их помощью точных решений дифференциальных уравнений целого порядка [1], [30]. Все эти работы позволяют утверждать, что в настоящее время как теория дробных дифференциальных уравнений, так и теория методов их точного решения, хотя и не являются законченными, но представляют собой весьма обширную и хорошо проработанную область исследований. Однако в последнее время все большее значение – это заметно и по количеству появляющихся работ – приобретают работы по разработке, обоснованию и реализации приближенных методов решения дробных дифференциальных уравнений, т.е. работ из группы в).

Число публикаций по последней группе работ растет очень быстрыми темпами, поэтому в данной работе приведем – кроме упомянутых выше – лишь работы, вышедшие в самое последнее время.

В работе [41] обоснован полиномиальный метод решения задачи Коши для уравнения с производными Римана–Лиувилля. Доказаны корректность задачи по Адамару, сходимость метода, получены эффективные оценки погрешности. Описание алгоритма и пример численной реализации метода отсутствуют. В работах [42] и [43] описаны разностые методы решения третьей краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто. Получены априорные оценки погрешности приближенного решения в условиях разрешимости исходной задачи. Приведено подробное описание алгоритма решения, но отсутствует его численная реализация. Численный метод решения уравнения с дробной производной по времени в смысле Капуто-Фабрицио обоснован в [44]. Теоретические исследования подтверждены численными расчетами. В [45] теоретически обоснован приближенный метод решения дробного дифференциального уравнения с обобщенной производной Капуто. В доказательстве используется теория устойчивости по Уламу. Численные примеры отсутствуют.

Такое обилие определений дробной призводной с одной стороны и необходимость дробных прoизводных для прикладных исследований приводят к необходимости очертить рамки допустимости определений, т.е. ввести критерии их корректности. Такие критерии были сформулированы в работе [2] и позже повторены в современной формулировке в работе [46]. Основными критериями являются следующие:

а) если функция аналитическая, то ее производная тоже должна быть аналитической;

б) оператор дробного дифференцирования должен быть линейным;

в) при натуральных значениях порядка дифференцирования оператор должен совпадать с обычным оператором дифференцирования.

Последнее требование означает, что, как указал Эйлер [2], возникает ситуация, похожая на задачу интерполирования. Имеется система операторов целочисленного дифференцирования, требуется связать эти “точки” оператором, допускающим дифференцирование любого действительного порядка. И так же как в случае интерполирования, когда имеется сколь угодно много кривых, соединяющих заданные точки, имеется бесконечно много способов определить оператор дробного дифференцирования, совпадающий при целых значениях порядка дифференцирования с обычным оператором дифференцирования. Все такие операторы должны считаться корректно определенными. При этом важно понимать, что операторы целочисленного дифференцирования являются частными случаями операторов дробного дифференцирования, и поэтому обладают свойствами, которыми операторы дробного дифференцирования могут и не обладать. И вопрос тогда уже не столько в корректности определения оператора дробного дифференцирования, а в выборе такого оператора, который бы наилучшим образом подходил для решения конкретной задачи.

В данной работе предлагается еще одно определение оператора дробного дифференцирования функций, заданных на отрезке, позволяющее, в частности, сделать порядок производной переменным. Это определение удовлетворяет всем критериям корректности определения дробной производной. Кроме того, определенная таким образом производная является, в отличие от большинства предшествующих определений, локальной, что делает ее удобной при использовании в прикладных задачах. Приближенный метод, предлагаемый в статье, обоснован с помощью методики Вайникко [47], [48]. Приведен численный пример, подтверждающий теоретические результаты.

2. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Будем, как обычно, обозначать через $\mathbb{N}$ множество натуральных чисел, ${{\mathbb{N}}_{0}}$ – множество натуральных чисел, дополненных нулем, $\mathbb{Z}$ – множество целых чисел, $\mathbb{R}$ – множество действительных чисел, а ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ – множество неотрицательных действительных чисел.

Следующие обозначения и определения взяты из монографии [47].

Пусть $X,{{X}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$, и $Y,{{Y}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$, две пары банаховых пространств, а $\mathcal{L}(X,Y)$ – множество линейных непрерывных операторов, действующих из $X$ в $Y$.

Определение 1. Систему $\mathcal{P} = ({{p}_{n}}{{)}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ линейных ограниченных операторов ${{p}_{n}}:X \to {{X}_{n}}$ будем называть связывающей для $X$ и ${{X}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$, если для любого $x \in X$ имеем

Определение 2. Последовательность ${{({{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ элементов ${{{\mathbf{x}}}_{n}} \in {{X}_{n}}$ $\mathcal{P}$-сходится к $x \in X$, если

Определение 3. Последовательность ${{({{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ элементов ${{{\mathbf{x}}}_{n}} \in {{X}_{n}}$ $\mathcal{P}$-компактна, если любая ее подпоследовательность ${{({{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}{\kern 1pt} ' \subseteq \mathbb{N}}}}$ содержит $\mathcal{P}$-сходящуюся подпоследовательность ${{({{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \subseteq \mathbb{N}{\kern 1pt} '}}}$.

Определение 4. Последовательность операторов ${{T}_{n}}:{{X}_{n}} \to {{Y}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$, $\mathcal{P}\mathcal{Q}$-сходится к оператору $T:X \to Y$, если для любой $\mathcal{P}$-сходящейся к $x \in X$ последовательности ${{({{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ последовательность ${{({{T}_{n}}{{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ $\mathcal{Q}$-сходится к $Tx$.

Определение 5. Последовательность операторов ${{T}_{n}} \in \mathcal{L}({{X}_{n}},{{Y}_{n}})$, $n \in \mathbb{N}$, компактно $\mathcal{P}\mathcal{Q}$-сходится к вполне непрерывному оператору $T \in \mathcal{L}(X,Y)$, если ${{T}_{n}}$ $\mathcal{P}\mathcal{Q}$-сходится к оператору $T$ и выполнено следующее условие компактности:

Обозначим через $Y$ множество непрерывных на $[0,1]$ функций. С нормой

множество $Y$ становится банаховым пространством.

Зафиксируем $m \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ и обозначим через $X$ множество $m$ раз непрерывно дифференцируемых на $[0,1]$ функций, удовлетворяющих условиям

С нормой множество $X$ также становится банаховым пространством.

Оператор дифференцирования порядка $\nu \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, $0 \leqslant \nu \leqslant m$, определенный на $X$, обозначим через ${{D}^{\nu }}$. При $\nu = 0$ оператор ${{D}^{\nu }}$ будет совпадать с тождественным оператором $I = {{D}^{0}}$.

Из определения пространств $X$ и $Y$ сразу следует, что

Зафиксируем $\alpha \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$, $\alpha < m$, и определим на $X$ оператор дробного дифференцирования порядка $\alpha $

Здесь $[\alpha ]$ обозначает целую часть, а $\{ \alpha \} $ дробную часть числа $\alpha $. При таком определении оператор (1) будет совпадать с обычным оператором дифференцирования при $\alpha \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, $\alpha < m$, поэтому это определение должно считаться корректным.

Обозначим теперь через $\alpha (t)$, $t \in [0,1]$, непрерывную функцию такую, что для некоторого числа $\nu \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, $\nu < m$, имеем

Оператором дифференцирования переменного порядка $\alpha (t)$ назовем оператор И вновь, при $\alpha (t) = \nu \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ оператор (3) будет совпадать с обычным оператором дифференцирования ${{D}^{\nu }}$, поэтому и это определение должно считаться корректным.

Зафиксируем $n \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ и обозначим через ${{Y}_{n}}$ множество векторов ${{{\mathbf{y}}}_{n}} = ({{y}_{0}},{{y}_{1}},...,{{y}_{n}})$. C нормой

множество ${{Y}_{n}}$ становится банаховым пространством.

Пусть ${{X}_{n}}$ – множество векторов ${{{\mathbf{x}}}_{n}} = ({{x}_{0}},{{x}_{1}},...,{{x}_{n}})$, а ${{\bar {D}}_{n}}$ имеет вид

простейшего оператора численного дифференцирования первого порядка на ${{X}_{n}}$. Для значений $k \leqslant 0$ и $k > n$ будем полагать ${{x}_{k}} = 0$. Теперь определим на ${{X}_{n}}$ простейший оператор численного дифференцирования порядка $\nu \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, $0 \leqslant \nu \leqslant m$: При $\nu = 0$ оператор ${{\bar {D}}^{\nu }}$ будем считать тождественным оператором ${{I}_{n}} = \bar {D}_{n}^{0}$. Понятно, что при таком определении для всех ${{{\mathbf{x}}}_{n}} \in {{X}_{n}}$ будут выполняться условия а норма превращает множество ${{X}_{n}}$ в банахово пространство, причем

Пусть

сетку равноотстоящих узлов на $\mathbb{R}$. Легко видеть, что операторы ${{p}_{n}} \in \mathcal{L}(X,{{X}_{n}})$ и ${{q}_{n}} \in \mathcal{L}(Y,{{Y}_{n}})$ являются связывающими операторами для пар пространств $(X,{{X}_{n}})$ и $(Y,{{Y}_{n}})$.

Операторы $\bar {D}_{n}^{\nu }$, $\nu = 0,1,...,m$, являются $\mathcal{P}\mathcal{Q}$-сходящимися в том смысле, что для любой функции $x \in X$

однако скорость их сходимости невелика. В вычислительной схеме предлагаемого метода можно будет для повышения точности использовать любые сходящиеся операторы численного дифференцирования $D_{n}^{\nu }$

Критерием сходимости операторов вида (5) является возможность предствить их в виде

где есть полином от оператора сдвига $S_{n}^{j}$: причем При этом полином называется характеристическим полиномом, а его корни ${{\zeta }_{j}}$, $j = 1,2,...,{{r}_{\nu }} - \nu $, – характеристическими значениями оператора $D_{n}^{\nu }$.

Характеристические значения сходящегося оператора $D_{n}^{m}$ позволяют сформулировать простой необходимый и достаточный критерий его обратимости:

Действительно, разложение (6) представим в виде произведения Так как оператор ${{S}_{n}}:{{Y}_{n}} \to {{Y}_{n}}$ изометричен, т.е. то справедливы оценки Следовательно, оператор $V_{n}^{m}:{{Y}_{n}} \to {{Y}_{n}}$ имеет ограниченный обратный: Это позволяет представить оператор $D_{n}^{{ - m}}:{{Y}_{n}} \to {{X}_{n}}$, обратный к оператору $D_{n}^{m}$, в виде композиции операторов и оценить с учетом изометричности оператора $S_{n}^{{{{r}_{m}} - m}}$ и равенства ${{\left\| {\bar {D}_{n}^{{ - m}}} \right\|}_{{{{Y}_{n}} \to {{X}_{n}}}}} = 1$ его норму

Эти важные результаты о сходимости и устойчивости разностных схем были получены в работах С.Г. Крейна, Л.Н. Шаблицкой [49], [50] и Н.Н Гудович [51], [52].

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В этом разделе приведены три леммы, необходимые для дальнейшего изложения. Доказательство первой леммы имеется, например, в [53], второй и тертьей – в [47].

Лемма 1. Пусть $A$ и $B$ – линейные операторы, действующие из банахова пространства $X$ в банахово пространство $Y$. Предположим, что оператор $A$ обратим и выполнено условие ${{\left\| B \right\|}_{{X \to Y}}}{{\left\| {{{A}^{{ - 1}}}} \right\|}_{{Y \to X}}} < 1$. Тогда оператор $A + B:X \to Y$ также обратим, и справедлива оценка

Рассмотрим уравнения вида

Лемма 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) операторы $T,{{T}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$ вполне непрерывны и ${{T}_{n}}$ компактно $\mathcal{Q}\mathcal{Q}$-сходится к $T$;

2) последовательность ${{({{{\mathbf{y}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$, ${{{\mathbf{y}}}_{n}} \in {{Y}_{n}}$, $\mathcal{Q}$-сходится к $y$;

3) для любого $z \in TY$, $z \ne 0$, $\mathop {\lim }\nolimits_{n \to \infty } \left\| {{{q}_{n}}z} \right\| > 0$;

4) уравнение (7) имеет единственное решение $z{\kern 1pt} * \in Y$.

Тогда при достаточно больших $n$ уравнение (8) однозначно разрешимо и приближенные решения ${\mathbf{z}}_{n}^{*} \in {{Y}_{n}}$ $\mathcal{Q}$-сходятся к точному решению $z{\kern 1pt} * \in Y$ уравнения (7) со скоростью

(Здесь и далее $c$ обозначает вполне определенные константы, не зависящие от $n$, возможно, разные в разных вхождениях.)

Лемма 3. Если ${{({{q}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ связывающие операторы и последовательность ${{({{y}^{{(n)}}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$, ${{y}^{{(n)}}} \in Y$, компактна, то последовательность ${{({{q}_{n}}{{y}^{{(n)}}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ $\mathcal{Q}$-компактна.

4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим уравнение

с начальными условиями Здесь приняты обозначения Для индексов $\nu $, $\mu $, $\eta $ и функций ${{\alpha }_{{\nu ,\mu }}}$, ${{\beta }_{{\nu ,\eta }}}$ на $[0,1]$ предполагаются выполненными условия

5. АНАЛИЗ РАЗРЕШИМОСТИ

По определению (3) с учетом условий (2) в задаче (7), (8) сделаем замену

Получим уравнение

Задачи (10), (11) и (13), (11) равносильны в том смысле, что они обе однозначно разрешимы или нет одновременно, и в случае однозначной разрешимости их решения совпадают.

Теорема 1. Пусть для задачи (10), (11) выполнены следующие условия.

A1. Функции ${{a}_{{\nu ,\mu }}}$, $\mu = 0,1,...,{{l}_{\nu }}$, ${{g}_{{\nu ,\eta }}}$, $\eta = 0,1,...,{{k}_{\nu }}$, $\nu = 0,1,...,m - 1,$ и $y$ непрерывны, причем ${{g}_{{\nu ,\eta }}}$, $\eta = 0,1,...,{{k}_{\nu }}$, $\nu = 0,1,...,m - 1$, непрерывны по каждому аргументу равномерно относительно другого аргумента.

A2: $\sum\nolimits_{\nu = 0}^{{{l}_{{m - 1}}}} \,\{ {{\alpha }_{{m - 1,\mu }}}(t)\} {{a}_{{m - 1,\mu }}}(t) \ne 0$, $t \in [0,1]$.

A3: $\sum\nolimits_{\nu = 0}^{m - 1} \,{{\left\| {{{b}_{\nu }}{\text{/}}{{b}_{m}}} \right\|}_{Y}} + \sum\nolimits_{\nu = 0}^m \,{{\left\| {{{f}_{\nu }}{\text{/}}{{b}_{m}}} \right\|}_{Y}} < 1.$

Тогда задача (13), (11) и, следовательно, задача (10), (11) однозначно разрешимы при любой правой части $y \in Y$.

Доказательство. Задачу (13), (11) запишем в виде операторного уравнения

и оценим норму оператора $B:X \to Y$. Зафиксируем произвольный элемент $x \in X$ и оценим норму $Bx$ в пространстве $Y$: По теореме Лагранжа для любого $x \in X$ выполняются равенства поэтому и, следовательно, Это означает, что По лемме 1, учитывая, что ${{\left\| {{{D}^{m}}} \right\|}_{{X \to Y}}} = 1$, получаем, что при оператор $K:X \to Y$ обратим, т.е. задача (13), (11) и, следовательно, задача (10), (11) однозначно разрешимы при любой правой части $y \in Y$. Более того, это означает, что обратный оператор ${{\left\| {{{K}^{{ - 1}}}} \right\|}_{{Y \to X}}}$ ограничен поэтому для решения $x{\kern 1pt} * \in X$ задач (13), (11) и (10), (11) справедлива оценка Теорема 1 доказана.

Условия  теоремы 1 являются  лишь  достаточными для однозначной разрешимости задачи (10), (11). На самом деле класс разрешимых задач вида (10), (11) значительно шире. Тем не менее теорема 1 необходима для того, чтобы предположение о существовании решения этой задачи в теореме 2 не было пустым.

6. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СХЕМА

Приближенное решение задачи (10), (11) будем искать в виде вектора

Компоненты вектора (14) ${{[{{{\mathbf{x}}}_{n}}]}_{k}} = {{x}_{k}}$, $k = 0,1,...,n$, приближенные значения искомой функции в узлах ${{t}_{k}}$, $k = 0,1,...,n$, найдем из системы линейных алгебраических уравнений Здесь $D_{n}^{\nu }{{{\mathbf{x}}}_{n}}$, $\nu = 0,1,...,m$, – формулы численного дифференцирования вида (5), использующие только значения ${{x}_{k}}$, $k = ..., - m + 1, - m + 2,...,n$, причем ${{x}_{k}} = 0$, $k = ..., - m + 1, - m + 2,...,0$, а некоторые квадратурные формулы такие, что остаточные члены стремятся к нулю при $n \to \infty $ для любых непрерывных на $[0,1]$ функций ${{w}_{\nu }}$, $\nu = 0,1,...,m$.

7. ОБОСНОВАНИЕ КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНОГО МЕТОДА

Теорема 2. Пусть для задачи (10), (11) и вычислительной схемы (14), (15) выполнены условия A1, A2 теоремы 1 и, кроме того, следующие условия.

A4. Задача (10), (11) имеет единственное решение $x{\kern 1pt} * \in X$.

B1. Формулы численного дифференцирования (5) $\mathcal{P}\mathcal{Q}$-сходятся.

B2. Характеристические значения оператора $D_{n}^{m}$ по модулю отличны от 1.

Тогда при достаточно больших $n$ система уравнений (15) однозначно разрешима и приближенные решения ${\mathbf{x}}_{n}^{*}$ сходятся к точному решению $x{\kern 1pt} *$ задачи (10), (11) при $n \to \infty $ со скоростью

где

Доказательство. Пусть $z = {{D}^{m}}x$ и представим задачу (10), (11) в виде равносильного ей операторного уравнения

Здесь равносильность понимается в том смысле, что если задача (10), (11) имеет решение $x{\kern 1pt} * \in X$, то $z{\kern 1pt} * = {{D}^{m}}x{\kern 1pt} * \in Y$ будет решением уравнения (17).

Так как условие B2 теоремы 2 означает, что оператор $D_{n}^{m}:{{X}_{n}} \to {{Y}_{n}}$ обратим, то пусть ${{{\mathbf{z}}}_{n}} = D_{n}^{m}{{{\mathbf{x}}}_{n}}$ и представим также систему уравнений (15) в виде операторного уравнения

Покажем, что для уравнений (17) и (18) выполняются все условия леммы 2.

По условию A4 теоремы 2 задача (10), (11) имеет единственное решение $x{\kern 1pt} * \in X$, тогда, как указано выше, $z{\kern 1pt} * = {{D}^{m}}x{\kern 1pt} *$ будет решением уравнения (17), поэтому условие 4) леммы 2 выполнено.

Условие 3) леммы 2 означает, что элемент $z \in TY$ имеет норму ${{\left\| z \right\|}_{Y}} > 0.$ Оператор ${{q}_{n}}$ является связывающим отображением, поэтому по определению 1 имеем

и, значит, условие 3) леммы 2 также выполнено.

Условие 2) леммы 2 выполняется тривиально.

Проверим выполнение условия 1).

Так как оператор ${{D}^{m}}:X \to Y$ ограничен, то все операторы ${{D}^{\nu }}:X \to Y$, $\nu = 0,1,...,m - 1$, вполне непрерывны, а вместе с ними, с учетом условия A1, вполне непрерывен и оператор $\sum\nolimits_{\nu = 0}^{m - 1} \,{{b}_{\nu }}{{D}^{\nu }}:X \to Y$. Интегралы с непрерывными ядрами ${{f}_{\nu }}$, $\nu = 0,1,...,m$, представляют собой (см., например, [54]) вполне непрерывные операторы, поэтому оператор $B:X \to Y$ вполне непрерывен. Так как оператор ${{D}^{{ - m}}}:Y \to X$ ограничен, то композиция $T = B{{D}^{{ - m}}}:Y \to Y$ является вполне непрерывным оператором.

Проверим теперь $\mathcal{Q}\mathcal{Q}$-сходимость операторов ${{T}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$, к оператору $T$. Покажем вначале, что последовательность операторов $D_{n}^{{ - m}}:{{Y}_{n}} \to {{X}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$, $\mathcal{Q}\mathcal{P}$-сходятся к оператору ${{D}^{{ - m}}}:Y \to X$. Пусть последовательность ${{({{{\mathbf{y}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$, ${{{\mathbf{y}}}_{n}} \in {{Y}_{n}}$, и функция $y \in Y$ таковы, что ${{({{{\mathbf{y}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ $\mathcal{Q}$-сходится к $y$. Обозначим через $x = {{D}^{{ - m}}}y \in X$ и оценим разность

Слагаемое ${{\left\| {{{{\mathbf{y}}}_{n}} - {{q}_{n}}y} \right\|}_{{{{Y}_{n}}}}}$ стремится к нулю при $n \to \infty $ по условию, а слагаемое ${{\left\| {{{q}_{n}}{{D}^{m}}x - D_{n}^{m}{{p}_{n}}x} \right\|}_{{{{Y}_{n}}}}}$ стремится к нулю при $n \to \infty $, так как операторы $D_{n}^{m}$ $\mathcal{P}\mathcal{Q}$-сходятся к оператору ${{D}^{m}}$. Вместе с $\mathcal{P}\mathcal{Q}$-сходимостью операторов численного дифференцирования и интегрирования $\mathcal{Q}\mathcal{P}$-сходимость операторов $D_{n}^{{ - m}}$ к ${{D}^{{ - m}}}$ означает $\mathcal{Q}\mathcal{Q}$-сходимость операторов ${{T}_{n}}$ к $T$.

Проверим выполнение условия компактности:

Зафиксируем последовательность ${{({{{\mathbf{z}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$, ${{{\mathbf{z}}}_{n}} \in {{Y}_{n}}$, ${{\left\| {{{{\mathbf{z}}}_{n}}} \right\|}_{{{{Y}_{n}}}}} \leqslant 1$. Из обратимости операторов $D_{n}^{{ - m}}$, $n \in \mathbb{N}$, следует, что существует последовательность ${{{\mathbf{x}}}_{n}} = D_{n}^{{ - m}}{{{\mathbf{z}}}_{n}} \in {{X}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$, и она ограничена ${{\left\| {{{{\mathbf{x}}}_{n}}} \right\|}_{{{{X}_{n}}}}} \leqslant {{\left\| {V_{n}^{{ - m}}} \right\|}_{{{{Y}_{n}} \to {{Y}_{n}}}}}$. Ограниченность этой последовательности влечет ограниченность последовательности ${{(\bar {D}_{n}^{m}{{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$, ${{\left\| {\bar {D}_{n}^{m}{{{\mathbf{x}}}_{n}}} \right\|}_{{{{Y}_{n}}}}} = {{\left\| {{{{\mathbf{x}}}_{n}}} \right\|}_{{{{X}_{n}}}}}$, и, следовательно, $\mathcal{Q}$-компактность последовательностей ${{(\bar {D}_{n}^{\nu }{{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$, $\nu = 0,1,...,m - 1$. Действительно, так как

то ${{\left\| {\bar {D}_{n}^{{m - 1}}{{{\mathbf{x}}}_{n}}} \right\|}_{{{{Y}_{n}}}}} \leqslant {{\left\| {{{{\mathbf{x}}}_{n}}} \right\|}_{{{{X}_{n}}}}}$. Теперь по значениям ${{[\bar {D}_{n}^{{m - 1}}{{{\mathbf{x}}}_{n}}]}_{k}}$, $k = 0,1,...,n$, вектора $\bar {D}_{n}^{{m - 1}}{{{\mathbf{x}}}_{n}}$ постороим на $[0,1]$ сплайн первого порядка ${{v}_{{n,m - 1}}}(t)$, совпадающий со значениями ${{[\bar {D}_{n}^{{m - 1}}{{{\mathbf{x}}}_{n}}]}_{k}}$, $k = 0,1,...,n$, в узлах ${{t}_{k}}$, $k = 0,1,...,n$. Оценки следующие из определения простейших формул численного дифференцирования, означают равностепенную непрерывность сплайнов ${{v}_{{n,m - 1}}}$, $n \in \mathbb{N}$, что вместе с их ограниченностью, по теореме Арцела, означает их компактность в пространстве $Y$. По лемме 3 компактность ${{({{v}_{{n,m - 1}}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ в $Y$ означает $\mathcal{Q}$-компактность последовательности ${{q}_{n}}{{v}_{{n,m - 1}}} = \bar {D}_{n}^{{m - 1}}{{{\mathbf{x}}}_{n}}$, $n \in \mathbb{N}$. Аналогично, из ограниченности последовательности ${{(\bar {D}_{n}^{{m - 1}}{{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ будет следовать $\mathcal{Q}$-компактность последовательности ${{(\bar {D}_{n}^{{m - 2}}{{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$ и так далее для всех последовательностей ${{(\bar {D}_{n}^{\nu }{{{\mathbf{x}}}_{n}})}_{{n \in \mathbb{N}}}}$, $\nu = 0,1,...,m - 1$. Наконец, линейные комбинации $\mathcal{Q}$-компактных последовательностей являются, очевидно, $\mathcal{Q}$-компактными последовательностями, что и означает $\mathcal{Q}$-компактность последовательности

Используя равномерную непрерывность и ограниченность на ${{[0,1]}^{2}}$ функций ${{f}_{\nu }}(t,\tau ){\text{/}}{{b}_{m}}(t)$, $\nu = 0,1,...,m$, с помощью теоремы Арцела легко убедиться, что последовательности

компактны в $Y$. Вновь применяя лемму 3, получим, что последовательности а значит, и их сумма $\mathcal{Q}$-компактны.

Суммируя последовательности (19) и (20), получаем, что последовательность ${{B}_{n}}{{{\mathbf{x}}}_{n}}$, а с учетом ограниченности операторов $D_{n}^{{ - m}}$, и последовательность ${{T}_{n}}{{{\mathbf{z}}}_{n}} = {{B}_{n}}D_{n}^{{ - m}}{{{\mathbf{z}}}_{n}}$ $\mathcal{Q}$-компактны. Таким образом, условие 1) леммы 2 также выполнено.

По лемме 2 получаем, что для достаточно больших $n$ уравнение (18) имеет единственное решение ${\mathbf{z}}_{n}^{*}$ и верна оценка

Для завершения доказательства теоремы 2 осталось получить оценку (16). Используя замены переменных ${\mathbf{z}}_{n}^{*} = D_{n}^{m}{\mathbf{x}}_{n}^{*}$ и $z{\kern 1pt} * = {{D}^{m}}x{\kern 1pt} *$, получаем

Из (21) следует, что Оценим отдельно первое слагаемое правой части оценки (22) Возвращаясь к оценке (22), получаем

Теорема 2 доказана полностью.

8. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Рассмотрим уравнение вида (10)

с производными искомой функции переменных и дробных порядков удовлетворяющих на $[0,1]$ условиям (2), с начальными условиями По определениям (1), (3) производных переменных и дробных порядков найдем Заменяя производные переменных и дробных порядков их выражениями (24), перейдем от уравнения (23) к равносильному ему уравнению Подставляя в уравнение (25) функцию $x(t) = {{t}^{2}} + {{\sin }^{2}}(t)$, получаем Для уравнения (23) с правой частью (26) функция $x(t) = {{t}^{2}} + {{\sin }^{2}}t$ будет точным решением.

Зафиксируем $n \in \mathbb{N}$. По предлагаемому в статье методу приближенное решение уравнения (23) будем искать в виде вектора значений ${{{\mathbf{x}}}_{n}} = ({{x}_{0}},{{x}_{1}},...,{{x}_{n}})$ искомой функции в узлах сетки ${{t}_{k}} = k{\text{/}}n,$ $k = 0,1,...,n$. Значения производных искомой функции в узлах сетки будем приближать простейшими разностями

Интегралы аппроксимируем квадратурными формулами трапеций Заменяя в уравнении (25) производные искомой функции конечными разностями, а интегралы квадратурными суммами, получаем систему уравнений квадратурно-разностного метода решения задачи (10), (11).

В табл. 1 приведены результаты решений системы уравнений (27). В первой графе указано число узлов $n$, во второй – погрешность приближенного решения ${{\left\| {{\mathbf{x}}_{n}^{*} - {{p}_{n}}x{\kern 1pt} *} \right\|}_{{{{X}_{n}}}}}$, в третьей и четвертой – погрешности разностей ${{\varepsilon }_{n}}$ и квадратур ${{\delta }_{n}}$ соответственно. Результаты вычислительных экспериментов подтверждают теретические выводы теоремы 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Появление данной работы мотивировано трудностями, возникшими у автора при попытках конструирования и обоснования численных методов решения уравнений с дробными производными. Главным неудобством была нелокальность производных, определенных через интегралы. Действительно, простые разностные схемы решения дифференциальных уравнений используют локальность производных натуральных порядков и при ее отсутствии становятся неприменимыми. Идею определить производные дробного порядка интерполированием производных целого порядка подсказали переписка Лейбница с Лопиталем и замечания Эйлера.

В данной работе определение производных дробного порядка дано самым простым способом: на основании интерполирования сплайнами первого порядка. Очевидно, что возможны и более сложные виды интерполирования. Так же, из соображения простоты и наглядности, для вычислительной схемы были выбраны простейшие формулы численного дифференцирования. И здесь для увеличения скорости сходимости метода можно использовать более точные (но при этом и более сложные) формулы численного дифференцирования. Существенным здесь является то, что при введенном определении дробных производных все результаты по приближенным методам решения уравнений натуральных порядков легко переносятся на случай уравнений с дробными производными.

В дальнейших исследованиях предполагается непосредственное сравнение преимуществ/недостатков введенных производных на задачах, решенных с помощью призводных дробного порядка других авторов.