1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 11, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 11, стр. 1763-1798

Формулы для вычисления интегралов типа Эйлера и их приложение к задаче построения конформного отображения многоугольников

С. И. Безродных 1, *

1 ФИЦ ИУ РАН
119333 Москва, ул. Вавилова, 44, корп. 2, Россия

* E-mail: sbezrodnykh@mail.ru

Поступила в редакцию 20.04.2023
После доработки 25.05.2023
Принята к публикации 09.06.2023

Аннотация

Рассматриваются интегралы типа Эйлера и тесно связанная с ними функция Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, являющаяся гипергеометрической функцией многих комплексных переменных ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$. Для функции $F_{D}^{{(N)}}$ найдены новые формулы аналитического продолжения, позволяющие представить ее в виде гипергеометрических рядов Горна, экспоненциально сходящихся в соответствующих подобластях ${{\mathbb{C}}^{N}}$, в том числе вблизи гиперплоскостей, имеющих вид $\{ {{z}_{j}} = {{z}_{l}}\} $, $j,l = \overline {1,N} $, $j \ne l$. Совокупность найденных в работе формул продолжения и тождеств для $F_{D}^{{(N)}}$ дает эффективный аппарат для вычисления этой функции и выражаемых через нее интегралов типа Эйлера во всем комплексном пространстве ${{\mathbb{C}}^{N}}$, включая сложные случаи, когда переменные образуют одну или несколько групп очень близких величин. Представлено приложение полученных результатов к решению проблемы параметров интеграла Кристоффеля–Шварца в ситуации “кроудинга” и построению конформных отображений многоугольников. Библ. 45. Фиг. 3.

Ключевые слова: гипергеометрические интегралы типа Эйлера, функции Лауричеллы и Горна, аналитическое продолжение, интеграл Кристоффеля–Шварца, эффект “кроудинга”.

Список литературы

  1. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

  2. Exton H. Multiple hypergeometric functions and application. New York: John Willey & Sons, Inc, 1976.

  3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973.

  4. Kraniotis G.V. Periapsis and gravitomagnetic precessions of stellar orbits in Kerr and Kerr–de Sitter black hole spacetimes // Class. Quant. Grav. 2007. V. 24. P. 1775–1808.

  5. Primoa A., Tancredic L. Maximal cuts and differential equations for Feynman integrals. An application to the three-loop massive banana graph // Nucl. Phys. B. 2017. V. 921. P. 316–356.

  6. Berge J., Massey R., Baghi Q., Touboul P. Exponential shapelets: basis functions for data analysis of isolated features // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2019. V. 486. № 1. P. 544–559.

  7. Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. Application of hypergeometric functions of two variables in wireless communication theory // Lobachevskii J. Math. 2019. V. 40. 7. P. 938–953.

  8. Akerblom N., Flohr M. Explicit formulas for the scalar modes in Seiberg–Witten theory with an application to the Argyres–Douglas point // J. High Energy Phys. 2005. V. 2. № 057. P. 24.

  9. Looijenga E. Uniformization by Lauricella functions: an overview of the theory of Deligne–Mostow. In “Arithmetic and geometry around hypergeometric functions.” Progress in mathematics. V. 260. Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser Verlag AG, 2005.

  10. Власов В.И., Скороходов С.Л. Аналитическое решение задачи о кавитационном обтекании клина. II // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 11. С. 1873–1893.

  11. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Generalized Euler integrals and $A$-hypergeometric functions // Adv. Math. 1990. V. 84. P. 255–271.

  12. Matsumoto K. Relative twisted homology and cohomology groups associated with Lauricella’s ${{F}_{D}}$, 2019. Ar-Xiv:1804.00366v2.

  13. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.–Л.: Гостехиздат, 1950.

  14. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного М.: Наука, 1953.

  15. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

  16. Trefethen L.N. Numerical computation of the Schwarz – Christoffel transformation // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1980. V. 1. P. 82–102.

  17. Henrici P. Applied and Computational Complex Analysis. V. 1–3. New York: John Wiley & Sons, 1991.

  18. Lauricella G. Sulle funzioni ipergeometriche a piu variabili // Rendiconti Circ. Math. Palermo. 1893. V. 7. P. 111–158.

  19. Iwasaki K., Kimura H., Shimomura Sh., Yoshida M. From Gauss to Painlevé: a modern theory of special functions. Aspects of Mathematics. V. E16. Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1991.

  20. Безродных С.И. Гипергеометрическая функция Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, задача Римана–Гильберта и некоторые приложения // Успехи матем. наук. 2018. Т. 73. № 6 (444). С. 3–94.

  21. Безродных С.И. Формулы для вычисления функции Лауричеллы в ситуации кроудинга переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 62. № 12. С. 2054–2076.

  22. Гельфанд И.М., Граев М.И., Ретах В.С. Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47. Вып. 4 (286). С. 3–82.

  23. Bezrodnykh S.I. Analytic continuation of the Horn hypergeometric series with an arbitrary number of variables // Integral Transform. Spec. Funct. 2020. V. 31. 10. P. 788–803.

  24. Садыков Т.М., Цих А.К. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных. М.: Наука, 2014.

  25. Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. On some formulas for the Horn functions ${{H}_{6}}(a,b,b{\kern 1pt} ',w,z)$ and $H_{8}^{{(c)}}(a,b;w,z)$ // Integral Transform. Spec. Funct. 2021. Published online. https://doi.org/10.1080/10652469.2021.201742710.1080/10652469.2021.2017427

  26. Ananthanarayan B., Beraay S., Friot S., Marichev O., Pathak T. On the evaluation of the Appell ${{F}_{2}}$ double hypergeometric function, 2021; arXiv:2111.05798v1

  27. Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. On some formulas for the Horn function ${{H}_{7}}(a,b,b{\kern 1pt} ';c;w,z)$ // Integral Transform. Spec. Funct. 2021. Publ. online. https://doi.org/10.1080/10652469.2022.205660010.1080/10652469.2022.2056600

  28. Kalmykov M., Bytev V., Kniehl B., Moch S.-O., Ward B., Yost S. Hypergeometric functions and Feynman diagrams. In: Blümlein J., Schneider C. (eds) Anti-Differentiation and the Calculation of Feynman Amplitudes. Texts & Monographs in Symbolic Computation (A Series of the Research Institute for Symbolic Computation, Johannes Kepler University, Linz, Austria). Springer, Cham, 2021.

  29. Zemach C. A conformal map formula for difficult cases // J. Comput. Appl. Math. 1986. V. 14. P. 207–215.

  30. Krikeles B.C., Rubin R.L. On the crowding of parameters associated with Schwarz–Christoffel transformation // Appl. Math. Comut. 1988. V. 28. № 4. P. 297–308.

  31. Голузин Г., Канторович Л., Крылов В., Мелентьев П., Муратов М., Стенин Н. Конформное отображение односвязных и многосвязных областей. Л.–М.: Наука, 1937.

  32. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматлит, 1962.

  33. Gaier D. Konstructive Methoden der konformen Abbildung. Berlin: Springer-Verlag, 1964.

  34. Безродных С.И., Власов В.И. Задача Римана–Гильберта в сложной области для модели магнитного пересоединения в плазме // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 3. С. 277–312.

  35. Безродных С.И., Власов В.И. Задача Римана–Гильберта в областях сложной формы и ее приложение // Spectr. Evolut. Problem. 2006. Т. 16. С. 51–61.

  36. Богатырев А.Б. Конформное отображение прямоугольных семиугольников // Матем. сб. 2012. Т. 203. № 12. С. 35–56.

  37. Накипов Н.Н., Насыров С.Р. Параметрический метод нахождения акцессорных параметров в обобщенных интегралах Кристоффеля–Шварца // Уч. зап. Казанского университета. Сер. Физ.-матем. науки. 2016. Т. 158. № 2. С. 202–220.

  38. Безродных С.И. Функция Лауричеллы и конформное отображение многоугольников // Матем. заметки. 2022. Т. 112. № 4. С. 500–520.

  39. Banjai L. Revisiting the Crowding Phenomenon in Schwarz–Christoffel Mapping // SIAM J. Sci. Comput. 2008. V. 30. № 2. P. 618–636.

  40. Власов В.И., Скороходов С.Л. Конформное отображение $L$-образной области в аналитическом виде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 12. С. 1943–1980.

  41. Trefethen L.N., Driscoll T.A. Schwarz–Christoffel transformation. Campridge: Cambridge Univer. Press, 2005.

  42. Driscoll T.A. A MATLAB toolbox for Schwarz–Christoffel mapping // ACM Transact. Math. Soft. 1996. V. 22. P. 168–186.

  43. Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. Докторская дисс. М.: ВЦ АН СССР, 1990.

  44. Власов В.И. О вариации отображающей функции при деформировании области // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. № 6. С. 1299–1302.

  45. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал