Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 2, стр. 227-229

1. Приведение матриц к диагональному виду, о котором говорится в названии статьи, осуществляется посредством эрмитовых конгруэнций, называемых также * –конгруэнциями. Это преобразования вида

где $P$ – невырожденная матрица.

Известная теорема матричного анализа утверждает следующее (см., например, [1, п. 4.5.15]).

Теорема 1. Пусть $A$ и $B$ – эрмитовы $n \times n$-матрицы, причем матрица $A$ невырожденна. Приведение этих матриц к диагональному виду посредством одной и той же конгруэнции возможно в том и только том случае, если матрица $C = {{A}^{{ - 1}}}B$ имеет вещественный спектр и диагонализуема подобием, т.е. найдется невырожденная матрица $R$ такая, что

Квадратная комплексная матрица $A$ называется юнитоидной, или юнитоидом, если $A$ может быть приведена к диагональному виду посредством эрмитовой конгруэнции. Юнитоидны все эрмитовы и, более общо, все нормальные матрицы. Но юнитоидом является и всякая матрица $A$, конгруэнтная некоторой нормальной матрице, независимо от того, нормальна ли сама $A$.

Наша цель в этой статье – обобщить теорему 1 на случай пары юнитоидов $A$ и $B$. Доказательство этой теоремы существенно использует определяющее свойство эрмитовых матриц

а также вещественность чисел ${{\lambda }_{i}}$ в (1). Оба этих обстоятельства отсутствуют в ситуации неэрмитовых юнитоидов, что приводит к необходимости изменения условий теоремы, основанном на следующем наблюдении: матрица $S$, приводящая $A$ и $B$ к диагональному виду, приводит в то же время к диагональному виду матрицы $A{\kern 1pt} *$ и $B{\kern 1pt} *$. Поэтому утверждение, доказываемое в статье, формулируется как

Теорема 2. Пусть $A$ и $B$ – юнитоидные $n \times n$-матрицы, причем $A$ – невырожденная матрица. Тогда:

а) Если $A$ и $B$ могут быть приведены к диагональному виду посредством одной и той же конгруэнции, то матрицы $C = {{A}^{{ - 1}}}B$ и $D = {{A}^{{ - 1}}}B{\kern 1pt} *$ диагонализуемы одним и тем же подобием, т.е. найдется невырожденная матрица $R$ такая, что

и

б) Предположим, что не вырождены оба юнитоида $A$ и $B$, причем канонические углы матрицы B попарно различны по модулю π. В этом случае из соотношений (2) и (3) следует, что $A$ и $B$ могут быть приведены к диагональному виду посредством одной и той же конгруэнции.

Доказательство теоремы 2 проводится в п. 3 после напоминания нужных сведений в п. 2. Комментарий к теореме дан в заключительном п. 4.

2. Невырожденной матрице $A$ можно сопоставить матрицу

называемую коквадратом матрицы $A$. Жорданова форма коквадрата в значительной мере определяет каноническую форму $A$ относительно эрмитовых конгруэнций.

Для юнитоидной матрицы $A$ все собственные значения ее коквадрата имеют модуль 1. В частности, ее канонической форме $F$ соответствует в качестве коквадрата диагональная унитарная матрица.

Рассмотрим противоположную ситуацию: $\Gamma $ – диагональная унитарная матрица такая, что

где числа ${{\phi }_{j}}$ попарно различны и ${{m}_{1}} + {{m}_{2}} + \cdots + {{m}_{k}} = n$. Нужно найти все матрицы $A$, для которых $\Gamma $ является коквадратом.

Рассуждая, как в [2], можно показать, что искомые матрицы $A$ описываются формулой

где ${{H}_{{{{m}_{1}}}}}, \ldots ,{{H}_{{{{m}_{k}}}}}$ – произвольные (невырожденные) эрмитовы матрицы указанных порядков ${{m}_{1}}, \ldots ,{{m}_{k}}$.

3. Утверждение а) почти очевидно. Пусть $R$ приводит $A$ и $B$, а заодно и $B{\kern 1pt} *$ к диагональному виду:

Тогда

Переходя к доказательству утверждения б), предположим, что выполнены соотношения (2) и (3). Из (2) выводим

и Аналогично из (3) находим

Положим $S = R{\kern 1pt} *{\kern 1pt} BR$. Следствием (6) и (7) является равенство

или равенство

Будучи конгруэнтна $B$, матрица $S$ есть юнитоид. Согласно (8), диагональная матрица $\Gamma = {{M}^{{ - 1}}}\Lambda $ – это коквадрат матрицы $S$. Поэтому $\Gamma $ – унитарная матрица. Представив ее в форме (4), приходим к тому, что $S$ обязана иметь вид матрицы (5). Теперь из (6) следует, что матрица $T = R{\kern 1pt} *{\kern 1pt} AR$ также блочно-диагональная, причем ее блочная структура вкладывается в блочную структуру матрицы $S$. Так как роли обеих невырожденных матриц в рассматриваемой задаче одинаковы, то $S$ и $T$ должны иметь одну и ту же, возможно, более мелкую, блочно-диагональную структуру с диагональными блоками порядков ${{n}_{1}}, \ldots ,{{n}_{l}}\;({{n}_{1}} + \cdots + {{n}_{l}} = n)$. При этом для каждого $j,\;j = 1, \ldots ,l,$ одноименные блоки ${{S}_{{jj}}}$ и ${{T}_{{jj}}}$ суть нормальные матрицы, различающиеся лишь скалярным множителем. Как следствие, $S$ и $T$ можно привести к диагональному виду дополнительной конгруэнцией, задаваемой унитарной матрицей $U$ такой же блочной структуры. Для $j = 1, \ldots ,l$ блок ${{U}_{{jj}}}$ матрицы $U$ должен диагонализовать $j$-е диагональные блоки матриц $S$ и $T$. Существование такой матрицы $U$ доказывает утверждение б).

4. Дополним теорему 2 следующим замечанием. Из соотношений (2) и (3) вытекает

Таким образом, матрицу $R$ для этих соотношений следует искать среди матриц, диагонализующих коквадрат ${{B}^{ - }}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} B$.

И, в заключение, еще одно небезынтересное наблюдение. Пусть $A$ и $B$ – невырожденные $n \times n$-матрицы, причем $A$ и $B{\kern 1pt} *$ коммутируют:

Тогда коммутируют также пары $({{A}^{{ - 1}}},B{\kern 1pt} *),$ $(A,{{B}^{ - }}{\kern 1pt} *)$ и $({{A}^{ - }}{\kern 1pt} *,B)$.

Вычислим коквадраты матриц $AB$ и $BA$:

Тем самым при выполнении условия (9) произведению матриц $A$ и $B$ соответствует в качестве коквадрата произведение коквадратов ${{\mathcal{C}}_{A}}$ и ${{\mathcal{C}}_{B}}$.

В заключение автор хотел бы выразить глубокую признательность рецензенту этой статьи, указавшему на серьезную неточность, допущенную в первоначальной формулировке теоремы 2. Эта неточность устранена.