Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 2, стр. 218-226

1. ВВЕДЕНИЕ

На основе сингулярно возмущенных задач моделируются различные конвективно-диффузионные процессы с преобладающей конвекцией. Применение классических разностных схем на равномерной сетке для численного решения таких задач приводит к существенным погрешностям, если шаг сетки соизмерим с возмущающим параметром $\varepsilon .$ Для достижения сходимости разностной схемы, равномерной по параметру $\varepsilon ,$ известны два основных подхода: подгонка разностной схемы к погранслойной составляющей (см. [1]) и сгущение сетки в области пограничного слоя. Широко применяются сетки Бахвалова (см. [2]) и Шишкина (см. [3], [4]).

Вопрос применения формул численного дифференцирования к функциям с большими градиентами в пограничном слое значительно меньше исследован. В случае равномерной сетки применение классических разностных формул для вычисления производных приводит к погрешностям порядка $O(1),$ если малый параметр $\varepsilon $ соизмерим с шагом сетки (см. [5]). Таким образом, актуальна задача построения формул численного дифференцирования, погрешность которых равномерна по малому параметру $\varepsilon $.

Остановимся на имеющихся работах по построению формул численного дифференцирования. Как и при построении разностных схем, выделяются два подхода: применение классических формул численного дифференцирования на сетках, сгущающихся в пограничном слое, и построение формул подгонки к погранслойной составляющей в случае равномерной сетки.

Рассмотрим работы, в которых применяются формулы для производных, точные на погранслойной составляющей, выделенной с точностью до множителя. В [6] на равномерной сетке построены формулы численного дифференцирования, точные на погранслойной составляющей функции. Сеточный шаблон такой формулы содержит произвольно заданное число узлов. В [7] получены оценки погрешности формулы из [6], равномерные по параметру $\varepsilon ,$ при вычислении первой и второй производных в случае экспоненциального пограничного слоя. В [8] для формул из [6], приближающих первую и вторую производные, получены оценки погрешности, равномерные по погранслойной составляющей, рассматриваемой в виде функции общего вида. При таком подходе могут учитываться различные особенности, например, наличие степенного пограничного слоя.

Остановимся на анализе публикаций, в которых классические формулы численного дифференцирования применяются на сгущающихся в пограничном слое сетках. В [9], [10] на сетке Шишкина находится решение разностной схемы и через это решение находится первая производная. Получены оценки погрешности нахождения решения и производной, равномерные по $\varepsilon .$

В [11] оценивается погрешность формул численного дифференцирования на классе функций, соответствующих решению краевой задачи при наличии экспоненциального пограничного слоя. Класс таких функций выделяется на основе декомпозиции Шишкина (см. [3], [12]) для решения сингулярно возмущенной задачи. На сетке Шишкина получены оценки погрешности классических разностных формул для производных, равномерные по параметру $\varepsilon $. Оценки получены в общем виде, когда вычисляется производная произвольно заданного порядка, и сеточный шаблон для этой производной содержит произвольно заданное число узлов.

В [13], [14] получены равномерные по параметру $\varepsilon $ оценки погрешности разностных формул для вычисления первой и второй производных на сетке Бахвалова. Рассмотрены случаи, когда сеточный шаблон в разностных формулах для производных содержит два и три узла.

Целью настоящей работы является оценка погрешности классических формул численного дифференцирования на сетке Бахвалова (см. [2]) применительно к функциям с большими градиентами в экспоненциальном пограничном слое. Класс таких функций будет задаваться на основе декомпозиции Шишкина (см. [3]) для решения сингулярно возмущенной задачи. Оценка погрешности будет проводиться в общем случае, когда на основе разностного аналога приближается производная произвольно заданного порядка.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для того чтобы функция $u(x)$ соответствовала решению сингулярно возмущенной задачи, зададим ее на основе декомпозиции Шишкина (см. [3]) для решения задачи

где функции $p(x)$ и $\Phi (x)$ достаточно гладкие и в явном виде не заданы, $\alpha > 0,$ $\varepsilon \in (0,1]$, $J$ будет задаваться.

В (2.2) и далее под $C$ и ${{C}_{j}}$ будем понимать положительные постоянные, не зависящие от $\varepsilon $ и $N,$ где $N$ – число интервалов сетки. Одной постоянной ${{C}_{j}}$ будем ограничивать различные величины, если это понятно по тексту.

Согласно (2.2), регулярная составляющая $p(x)$ имеет производные, ограниченные до некоторого порядка, а производные погранслойной составляющей $\Phi (x)$ могут неограниченно расти с уменьшением $\varepsilon .$

В соответствии с [3], [12] для заданного $J$ можно осуществить декомпозицию (2.1) с выполнением ограничений (2.2) для решения сингулярно возмущенной задачи

где ${{a}_{1}}(x) \geqslant \alpha > 0$, ${{a}_{2}}(x) \geqslant 0$, $\varepsilon > 0,$ функции ${{a}_{1}}(x),\;{{a}_{2}}(x),\;f(x)$ – достаточно гладкие. При малых значениях $\varepsilon $ решение задачи (2.3) имеет область больших градиентов у границы $x = 0,$ чему соответствует представление (2.1).

Декомпозиция (2.1) справедлива и для решения задачи Коши $\varepsilon u{\kern 1pt} '(x) + {{a}_{1}}(x)u(x) = f(x)$, $u(0) = A,$ где ${{a}_{1}}(x) \geqslant \alpha > 0$, $\varepsilon \in (0,1].$

Введем обозначения. Пусть ${{\Omega }^{h}}$ – сетка интервала $[0,1]:$

Пусть ${{L}_{{m,k}}}(u,x)$ – многочлен Лагранжа для функции $u(x)$ с $k$ узлами интерполяции ${{x}_{m}}, \ldots ,{{x}_{{m + k - 1}}}$ на интервале $[{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}].$ Пусть $K = 2(1 - \varepsilon )$, $u_{n}^{{(j)}} = {{u}^{{(j)}}}({{x}_{n}}),$ $j \geqslant 0.$ Будем писать $f = O(g)$, если справедлива оценка ${\text{|}}f{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant C{\kern 1pt} {\text{|}}g{\kern 1pt} {\text{|}}$, и $f = O{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (g)$, если $f = O(g)$ и $g = O(f)$.

На каждом интервале $[{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}]$ из покрытия интервала $[0,1],$ в случае сетки ${{\Omega }^{h}}$ из класса сеток Бахвалова, будем вычислять производные функции $u(x)$ на основе дифференцирования многочлена Лагранжа:

(оценим погрешность формулы (2.4) на сетке, задаваемой ниже).

3. ЗАДАНИЕ НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКИ

Зададим сетку Бахвалова (см. [2]) с учетом модификации из [15]. В соответствии с [15] для задания узлов сетки определим функцию $g(t){\kern 1pt} :$

где $k$ соответствует (2.4), $k \geqslant 2.$ Зададим в (3.2) При $\varepsilon > {{e}^{{ - 1}}}$ задаем $\sigma = 1{\text{/}}2$. При $\sigma = 1{\text{/}}2$ задаем сетку ${{\Omega }^{h}}$ равномерной.

При $\sigma < 1{\text{/}}2$ задаем сетку ${{\Omega }^{h}}$ с узлами ${{x}_{n}} = g(n{\text{/}}N)$, $n = 0,1, \ldots ,N$, где $g(t)$ соответствует (3.1)–(3.3).

Учитывая (3.1), зададим узлы сетки на интервале $[0,\sigma ]:$

Учитывая (3.4), получаем

Несложно убедиться, что последовательность шагов ${{h}_{n}},\;n = 1,2, \ldots ,N{\text{/}}2$, – строго возрастающая. Из (3.5) следует

Теперь на основе (3.2) зададим узлы на интервале $[\sigma ,1]:$

На этом интервале сетка равномерна с шагами ${{h}_{n}} = 2(1 - \sigma ){\text{/}}N$.

Несложно показать, что для некоторой постоянной ${{C}_{2}}$ справедлива оценка

4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Будем предполагать, что исходный интервал $[0,1]$ покрыт интервалами $[{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}],$ $m = 0,k - 1, \ldots ,N - k + 1$. Оценим погрешность формулы (2.4).

Теорема 1. Пусть функция $u(x)$ имеет представление (2.1) с ограничениями (2.2) при $J = k + i$, $0 \leqslant i < k,$ $N$ кратно $2(k - 1)$, и узлы сетки ${{\Omega }^{h}}$ соответствуют (3.3), (3.4), (3.7). Тогда для некоторой постоянной $C$ при всех $x \in [{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}]$ и $m = 0,k - 1, \ldots ,N - k + 1$ в зависимости от значения $m$ справедливы следующие оценки погрешности:

Доказательство. Предполагаем, что в (3.3) $\sigma < 1{\text{/}}2$, так как при $\sigma = 1{\text{/}}2$ для некоторой постоянной ${{C}_{0}}\;\;\varepsilon \geqslant {{C}_{0}}$ и производные функции $u(x)$ являются $\varepsilon $-равномерно ограниченными. Тогда применимы известные в регулярном случае оценки погрешности вычисления производных на основе многочлена Лагранжа, и эти оценки по точности не ниже, чем получаемые оценки при $\sigma < 1{\text{/}}2$.

По условию теоремы $N$ кратно $2(k - 1),$ поэтому каждый интервал $[{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}]$ целиком попадает в погранслойную область $[0,\sigma ]$ или находится вне ее.

В соответствии с [16], c. 89, справедлива формула для погрешности вычисления $i$-й производной функции $u(x)$:

где $[x,{{x}_{m}},{{x}_{{m + 1}}}, \ldots ,{{x}_{{m + k - 1}}}]u$ – разделенная разность для функции $u(x)$ (см. [16], c. 38),

В случае произвольных точек исходного интервала ${{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{p}}$ для некоторого $s \in (\min \{ {{y}_{j}}\} ,\max \{ {{y}_{j}}\} )$ справедливо представление (см. [16], c. 40):

Учитывая (4.6) в (4.5), при всех $x \in [{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}]$ для некоторой постоянной $C$ получаем

Учитывая (2.1), погрешность ${\text{|}}{{u}^{{(i)}}}(x) - L_{{m,k}}^{{(i)}}(u,x){\kern 1pt} {\text{|}}$ оценим отдельно на составляющих $p(x)$ и $\Phi (x)$.

Учитывая (2.2), (3.8), из (4.7) для некоторой постоянной ${{C}_{3}}$ получаем

Теперь оценим погрешность на составляющей $\Phi (x).$ Рассмотрим возможные случаи для интервала $[{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}]$.

1. Пусть $m + k - 1 < N{\text{/}}2$. Тогда интервал $[{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}]$ не последний в пограничном слое, поэтому $m + k - 1 \leqslant N{\text{/}}2 - k + 1$. Оценим ${\text{|}}{{w}_{{m,k}}}(x){\kern 1pt} {\text{|}}$. Учитываем, что шаги сетки $\{ {{h}_{n}}\} $ при $n \leqslant N{\text{/}}2$ возрастают. Следовательно, для некоторой постоянной ${{C}_{1}}$ при всех $n = m,m + 1, \ldots ,m + k - 1$ выполняется соотношение ${\text{|}}x - {{x}_{n}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{C}_{1}}{{h}_{{m + k - 1}}}.$ Можно показать, что при условии $m + k - 1 \leqslant N{\text{/}}2 - k + 1$ справедлива оценка

Тогда на интервале $[{{x}_{m}},{{x}_{{m + k - 1}}}]$ для всех шагов справедлива оценка ${{h}_{l}} = O{\kern 1pt} *{\kern 1pt} ({{h}_{j}})$. Следовательно, для некоторой постоянной ${{C}_{2}}\;\;{\text{|}}{{w}_{{m,k}}}(x){\text{|}} \leqslant {{C}_{2}}h_{{m + 1}}^{k}.$ Аналогично, Учитывая (2.2), (3.5) и (4.9), из (4.7) получаем В соответствии с (3.4) В силу заданного ограничения $m + k - 1 \leqslant N{\text{/}}2 - k + 1$ и условия $k \geqslant 2,$ имеем $N - Km - K > K,$ поэтому значение логарифма в (4.10) между нулем и единицей. Тогда из (4.10) для некоторой постоянной ${{C}_{2}}$ получаем Из оценок (4.8), (4.11) получаем (4.1).

2. Пусть $m + k - 1 = N{\text{/}}2$. Учитывая (3.6) и оценку

из (4.7) получаем

Учитывая, что $m = N{\text{/}}2 - k + 1$ и (3.4), получаем

Рассмотрим случай $1 + K{\text{/}}(N\varepsilon ) \leqslant e.$ Тогда значение логарифма в (4.12) между нулем и единицей, поэтому из (4.12), (4.13) получаем

Из (4.14) получаем оценку Учитывая оценки (4.8), (4.15), получаем оценку (4.2).

Рассмотрим случай $1 + K{\text{/}}(N\varepsilon ) \geqslant e.$ Учитывая (4.13), из (4.12) получаем

Из (4.16) для некоторой постоянной ${{C}_{2}}$ следует

Из (4.8), (4.17) для некоторой постоянной $C$ получаем оценку (4.3).

3. Пусть $m \geqslant N{\text{/}}2$. Оценка (4.4) следует из (4.7) с применением соотношений (2.2), (3.3), (3.8), (4.8). Теорема доказана.

Получим оценку абсолютной погрешности вне области пограничного слоя. При $m \geqslant N{\text{/}}2$ из (4.7) для некоторой постоянной ${{C}_{1}}$ имеем

Из этого соотношения с учетом (2.1), (4.8) для некоторой постоянной $C$ получаем оценку абсолютной погрешности вне области пограничного слоя: Из этой оценки следует, что абсолютная погрешность при вычислении производной порядка $i$ становится величиной порядка $O(1{\text{/}}{{N}^{{k - i}}})$ при $m > N{\text{/}}2$.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Проведем сравнение точности при вычислении производных на равномерной сетке, сетках Шишкина и Бахвалова.

Зададим сетку Шишкина (см. [3]) на основе соотношений

где $k$ – число узлов интерполяции многочлена Лагранжа ${{L}_{k}}(u,x).$ Согласно [11], в случае функции вида (2.1) и заданной сетки (5.1) для некоторой постоянной $C$ при всех $m$

Для численных экспериментов зададим функцию вида (2.1):

где функция $\Phi (x) = {{e}^{{ - x/\varepsilon }}}$ имеет большие градиенты при малых значениях $\varepsilon .$

В таблицах приведена максимальная погрешность по узлам ${{\tilde {x}}_{{n,j}}}$ сгущенной сетки, полученной из исходной сетки делением каждого сеточного интервала $[{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{n}}]$ на $10$ равных частей. В таблицах $e - m$ обозначает ${{10}^{{ - m}}}.$

Будем вычислять первую производную на интервалах $[{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{{n + 1}}}]$ по формуле, использующей в сеточном шаблоне три узла:

Относительная погрешность

формулы (5.3) приведена в табл. 1, 2 на равномерной сетке и на сетке Бахвалова. Результаты табл. 1 показывают неприемлемость применения равномерной сетки при $\varepsilon \leqslant 1{\text{/}}N$. В табл. 2 приведен и вычисленный порядок точности при вычислении первой производной на сетке Бахвалова. Полученные погрешности порядка $O({{N}^{{ - 2}}})$ согласуются с оценками погрешности теоремы 1 при $k = 3,$ $i = 1$.

Зададим формулу для вычисления второй производной на интервале $[{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{{n + 1}}}]$:

В табл. 3, 4 приведены погрешность

и вычисленный порядок точности ${{M}_{{N,\varepsilon }}}$ формулы (5.4) на сетках Шишкина и Бахвалова.

Данные табл. 3 для сетки Шишкина согласуются с оценкой (5.2). Результаты табл. 4 для погрешности на сетке Бахвалова согласуются с оценкой погрешности порядка $O(1{\text{/}}N)$, соответствующей теореме 1 при $k = 3,$ $i = 2$. Отметим, что аналогичные результаты получены при вычислении других производных. Применение равномерной сетки при $\varepsilon \leqslant 1{\text{/}}N$ приводит к существенным погрешностям.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследован вопрос применимости классических формул численного дифференцирования на сетке Бахвалова к функциям с большими градиентами в экспоненциальном пограничном слое. Необходимость исследования связана с тем, что применение таких формул к функциям с большими градиентами на равномерной сетке может приводить к погрешностям порядка $O(1).$ Разностные формулы для производных построены на основе дифференцирования многочлена Лагранжа произвольно заданной степени на подынтервалах сетки Бахвалова, содержащих заданное число узлов и покрывающих исходный интервал. Оценки погрешности формул численного дифференцирования получены в общем случае, когда вычисляется производная произвольно заданного порядка и сеточный шаблон в формуле для этой производной содержит произвольно заданное число узлов. На всех подынтервалах, кроме последнего в пограничном слое, получена оценка погрешности порядка $O(1{\text{/}}{{N}^{{k - i}}})$ равномерно по параметру $\varepsilon ,$ где $i$ – порядок вычисляемой производной, $k$ – число узлов в шаблоне для производной. Только на последнем в пограничном слое подынтервале сохранилась слабая логарифмическая зависимость от параметра $\varepsilon .$ При увеличении параметра $\varepsilon $ полученные оценки переходят в известные оценки в регулярном случае, когда дифференцируемая функция имеет ограниченные производные. Ранее такой подход к оцениванию погрешности формул численного дифференцирования для функций с большими градиентами не применялся. Результаты численных экспериментов согласуются с полученными оценками.