Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 3, стр. 351-354

В работе [1] рассмотрена задача минимизации функционала

на замкнутом выпуклом множестве где $\Omega $ – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{d}}$ с липшицевой границей $\partial \Omega $ и единичной внешней нормалью $\nu $, $f$ и $\phi $ – заданные функции такие, что $f \in {{L}_{2}}(\Omega )$, $\phi \in {{C}^{2}}(\bar {\Omega })$ и $\phi (x) \leqslant 0$ на $\partial \Omega $.

Известно, что задача (1) имеет единственное решение $u \in H_{{{\text{loc}}}}^{3}(\Omega ) \cap W_{{{\text{loc}}}}^{{2,\infty }}(\Omega )$ (см. [2], [3]), причем

Отметим сразу, что для того, чтобы множество $K$ было непусто, на функцию $\phi $ необходимо наложить дополнительное условие на границе $\partial \Omega $ или вблизи нее. Иначе, например, в случае $\Omega = ( - 1,1) \subset {{\mathbb{R}}^{1}}$ и $\phi (x) = 1 - {{x}^{2}}$ для любой функции ${v} \in H_{0}^{2}(\Omega )$ имеем ${v}(x) = \int_{ - 1}^x {(x - \xi ){v}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\xi ){\kern 1pt} d\xi } = $ $ = o(x + 1)$ при $x \to - 1$, что несовместимо с условием ${v} \geqslant \phi $ п.в. в $\Omega $. В качестве упомянутого условия можно взять $\phi (x) \leqslant C{{(\operatorname{dist} (x,\partial \Omega ))}^{2}}$ для $x \in \Omega $, где $C > 0$ – некоторая константа, или $\partial \phi {\text{/}}\partial \nu \geqslant 0$ на множестве $\partial \Omega \cap \{ x:\phi (x) = 0\} $, если нормаль $\nu $ определена во всех точках этого множества. Тогда элементом множества $K$ будет, например, $C{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {{\rho }^{2}}$ с подходящей константой $C{\kern 1pt} ' > 0$, где $\rho $ – регуляризованное расстояние до $\partial \Omega $ из [4, гл. VI, § 2, теорема 2].

В [1] вводится также пространство $H(\Omega ,\operatorname{div} \operatorname{Div} ) = \{ y \in {{L}_{2}}(\Omega ;M_{{{\text{sym}}}}^{{d \times d}}):\operatorname{div} \operatorname{Div} y \in {{L}_{2}}(\Omega )\} $ функций со значениями в пространстве $M_{{{\text{sym}}}}^{{d \times d}} \cong {{\mathbb{R}}^{{d(d + 1)/2}}}$ симметричных $(d \times d)$-матриц.

Для (единственного) решения $u \in K$ задачи (1) в [1] получено следующее интегральное тождество.

Теорема 1 (см. [1, теорема 2.1]). Пусть $u \in K$ – решение задачи (1). Для любой функции $y{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$ такой, что

и любой функции ${v} \in K$ справедливо тождествогдесуть меры отклонения функций ${v}$ и $y{\kern 1pt} *$ от точных решений $u$ и $p{\kern 1pt} *$ задачи (1) и сопряженной задачи (см. [1]) соответственно, $[{\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ]$ – скачок соответствующей величины на границе ${{\Gamma }_{u}}$ между областями $\{ u = \phi \} $ и $\{ u > \phi \} ,$

Далее, как замечено в [1], условие (2) неудобно для приложений и хотелось бы иметь оценку величины $\mu ({v}) + \mu {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (y{\kern 1pt} *)$ для любых функций $y{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$, а не только для $y{\kern 1pt} *$, удовлетворяющих условию (2). Такая оценка получена в [1] в следующем виде.

Теорема 2 (см. [1, теорема 2.2]). Для любых функций $y{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$ и $v \in K$ и произвольного числа $\beta \in (0,1]$ имеем

где${{C}_{{\text{F}}}}$ – константа из неравенства Фридрихса для области $\Omega $.

На самом деле несложное рассуждение показывает, что сама теорема 1 справедлива для любых функций $y{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$ (т.е. ограничение (2) можно снять уже в теореме 1) и для любых функций $v \in H_{0}^{2}(\Omega )$ (а не только для $v \in K$).

Теорема 1'. Пусть $u \in K$ – решение задачи (1) и $p{\kern 1pt} *$ – решение сопряженной задачи. Тогда для любых функций $y{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$ и $v \in H_{0}^{2}(\Omega )$ справедливо тождество (3).

Доказательство. В силу плотности функций из $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ в $H_{0}^{2}(\Omega )$ теорему достаточно доказать для $v \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$. Зафиксируем произвольные функции $y{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$ и $v \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$. Пусть $C > 0$ – такая константа, что $\phi (x) \leqslant C{{(\rho (x))}^{2}}$ (см. выше) и ${\text{|}}v(x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant C{{(\rho (x))}^{2}}$ при всех $x \in \Omega $. Рассмотрим функции ${{v}_{0}} = 3C{{\rho }^{2}} \in H_{0}^{2}(\Omega )$ и $y_{0}^{*} \in H(\Omega ,{\text{div}}\,{\text{Div}})$ такую, что

(легко показать, что такая функция $y_{0}^{*}$ существует, поскольку правая часть неравенства здесь из ${{L}_{2}}(\Omega )$), и пусть ${{v}_{t}} = {{v}_{0}} - t({{v}_{0}} - v)$, $y_{t}^{*} = y_{0}^{*} - t(y_{0}^{*} - y{\kern 1pt} *)$, $t \in \mathbb{R}$. Тогда ${{v}_{t}} \in H_{0}^{2}(\Omega )$, $y_{t}^{*} \in H(\Omega ,{\text{div}}\,{\text{Div}})$, причем при ${\text{|}}t{\kern 1pt} {\text{|}} < 1{\text{/}}2$ выполнены неравенство ${{v}_{t}} \geqslant \phi $ и условие (2) для $y_{t}^{*}$. Поэтому в силу теоре-мы 1 для ${{v}_{t}}$ и $y_{t}^{*}$ при ${\text{|}}t{\kern 1pt} {\text{|}} < 1{\text{/}}2$ справедливо тождество (3). Но для ${{v}_{t}}$ и $y_{t}^{*}$ обе части тождества (3) являются многочленами второй степени по $t$. Равенство двух многочленов при всех ${\text{|}}t{\kern 1pt} {\text{|}} < 1{\text{/}}2$ означает тождественное равенство этих многочленов при всех $t$, а значит, и при $t = 1$. Но при $t = 1$ имеем ${{v}_{1}} = v$ и $y_{1}^{*} = y{\kern 1pt} *$. Теорема доказана.

В частности, в модельной задаче из [1], разд. 3 для функции $\tilde {n}{\kern 1pt} *$ условие (2) нарушено. Тем не менее тождество (3) сохраняется, что можно проверить, вычислив все интегралы (например, с помощью онлайн-калькулятора [5]):

так что обе части тождества равны $118\;112{\text{/}}315 \approx 374.9587$ (в вычисление интегралов в [1] вкрались некоторые ошибки, так что в неравенстве (3.6) из [1] свободные от $\beta $ члены слева и справа должны быть равны $374.9587 \ldots $).

Таким образом, в виде теоремы 1' мы получаем усиление обеих теорем 1 и 2 из [1]. Действительно, сравнение теорем 1' и 1 очевидно, а для сравнения теорем 1' и 2 достаточно заметить, что левая часть неравенства (4) строго меньше²² левой части тождества (3) (коэффициенты при квадратах ${{L}_{2}}$-норм уменьшены на $\beta {\text{/}}2$), а правая часть неравенства (4) строго больше правой части тождества (3) (помимо увеличения на $\beta {\text{/}}2$ коэффициента при квадрате ${{L}_{2}}$-нормы, добавлен еще один неотрицательный член – квадрат нормы разности ${{(f - \operatorname{div} \operatorname{Div} y{\kern 1pt} *)}_{ + }}$ с коэффициентом $3C_{{\text{F}}}^{2}{\text{/}}(2\beta )$).

Однако следует отметить еще один момент. Основная цель неравенства (4), как и тожде-ства (3), – получить оценку отклонения приближенных решений от точных. При ограничении (2) (и $v \in K$) все члены в левых частях (4) и (3) неотрицательны, поэтому все эти левые части или же только сумму квадратов ${{L}_{2}}$-отклонений (сумму в скобках в левой части (4)) можно рассматривать как меру отклонения, оценка которой (при использовании неравенства (4)) или же точное значение (при использовании тождества (3)) дается правой частью (неравенства (4) или тождества (3) соответственно). При этом все участвующие в оценке функции известны (в отличие от точных решений, которые в общем случае неизвестны).

Но при снятии ограничения (2) член $\mu _{\phi }^{*}(y{\kern 1pt} *)$ может перестать быть неотрицательным, и его уже не следует включать в меру отклонения. Чтобы получить неравенство, которое можно использовать в приложениях, данный член нужно оценить снизу. Например, это можно сделать так³³:

где ${{(a)}_{ - }} = - {{( - a)}_{ + }}: = \min \{ a,0\} $ и $\beta > 0$ – произвольная константа. Поэтому из теоремы 1' получаем следующее неравенство.

Теорема 2'. Пусть $u \in K$ – решение задачи (1) и $p{\kern 1pt} *$ – решение сопряженной задачи. Тогда для любых функций $y{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} \operatorname{Div} )$ и $v \in H_{0}^{2}(\Omega )$ и любого $\beta \in (0,1)$ справедливо неравенство

Заметим, что здесь уже в левой части все члены неотрицательны (при условии $v \in K$) в отличие от неравенства (4) в теореме 2, где знак члена $\mu _{\phi }^{*}(y{\kern 1pt} *)$ априори неизвестен. При этом левая часть неравенства (5) заведомо не меньше левой части неравенства (4). Поэтому в качестве меры отклонения функций $v \in K$ и $y{\kern 1pt} *$ от точных решений $u$ и $p{\kern 1pt} *$ соответственно более естественно рассматривать левую часть неравенства (5), нежели левую часть неравенства (4) из теоремы 2. Или же в качестве такой меры отклонения можно рассматривать только первые два члена в левой части неравенства (5). Тогда неравенство (5) немедленно дает оценку такой меры через известные функции (поскольку третий и четвертый члены в левой части (5) заведомо неотрицательны для $v \in K$).

Отметим также, что если выполнено условие (2), то последний член в (5) обращается в нуль и, устремляя $\beta $ к нулю в (5), получаем тождество (3) (точнее, получаем неравенство, у которого обе части совпадают с соответствующими частями тождества (3)). Таким образом, можно сделать вывод, что чем меньше ${{L}_{2}}$-норма функции ${{(f - \operatorname{div} \operatorname{Div} y{\kern 1pt} *)}_{ + }}$ (которая фактически показывает, насколько сильно нарушено условие (2)), тем более точную оценку отклонения дает неравен-ство (5) (при подходящем выборе $\beta $).

Автор выражает благодарность Андрею Геннадьевичу Куликовскому и рецензенту за полезные замечания.